Trabalho Escolar Sobre Mediana Altura Bissetriz Mediatriz de Um Triangulo

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    12-Oct-2015

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  • Mediana , Altura , Bissetriz e Mediatriz de um TringuloMediana

    Definio: Denomina-se mediana de um tringulo o segmento que liga um vrtice aoponto mdio do lado oposto a este vrtice.

    AMA mediana do tringulorelativa ao vrtice A .

    Obviamente o tringulo possui 3 medianas, uma para cada vrtice. O encontro das 3medianas ocorre em um ponto denominado Baricentro.

    Baricentro de um tringulo o ponto de interseco das suas medianas.

    G o Baricentro do ABC.AMA , BMB , CM C so asmedianas do ABC.

    AMA I BMB I CM C = { G }

    O Baricentro conhecido como centro de massa ou centro de gravidade, por estemotivo adota-se a letra G para represent-lo.O ponto G divide as medianas em dois segmentos tais que a parte que contm ovrtice igual ao dobro da outra.

    Portanto temos: AG = 2 . GMA , BG = 2 . GMB e CG = 2 . GMC

  • AlturaDefinio: Denomina-se altura de um tringulo o segmento de reta que

    perpendicular a um lado e contm o vrtice oposto a este lado.

    AHA a altura do tringulorelativa ao vrtice A .

    Note que a altura pode ser externa ao tringulo, como na figura abaixo:

    O ponto HA externo.

    Define-se Ortocentro de um tringulo como sendo a interseco das retas que contmas Alturas deste tringulo.

    H o Ortocentro do ABC.

    AHA , AHB e AHC so asalturas do ABC .

    AHA

    , AHB

    e AHC

    so as retas que contm asalturas .

    AHA

    I AHB

    I AHC

    = { H }Note que o ponto H (ortocentro) pode ser externo ao tringulo, conforme a figuraabaixo:

  • Como voc pode ver o ponto H pertence s retas que contm os segmentos dasalturas , H no o ponto de encontro das alturas e sim das retas que contm asalturas.

    Bissetriz:

    Definio: Denomina-se bissetriz do ngulo interno de um tringulo o segmento dereta que divide o ngulo interno em duas metades iguais.

    Note que a bissetriz de um ngulo uma semi-reta e a bissetriz de um tringulo umsegmento, note ainda que o tringulo possui trs bissetrizes internas, uma para cadavrtice.Incentro o ponto de interseco das bissetrizes internas de um tringulo.

    S o Incentro do ABC.

    ASA , BSB , CSC so as

    bissetrizes internas do ABC.

    ASA I BSB I CSC = { S }

    Propriedades:

    1) O Incentro o centro da circunferncia inscrita no tringulo.

    S o centro da circunferncia inscrita no tringulo , ou seja , a circunferncia tangnciaos lados do tringulo nos pontos P , Q e R . Ento: SP = SQ = SR

  • 2) As distncias dos vrtices aos pontos de tangncia dos lados pertencentes a estevrtice so congruentes.

    AR AQBR BPCP CQ

    =

    =

    =

    RS|T|

    Demonstrao:

    Vamos demonstrar para um vrtice ; para os demais vale o mesmo procedimento.

    ARS AQSAS comumSR SQ raio da circunfernciaARS AQS ngulo reto no ponto de gncia

    =

    =

    RS|T| $ $ tan

    Pelo caso especial de LLA para tringulos retngulos , ARS AQS

    AR = AQ c.q.d.

    Mediatriz:Definio: Denomina-se mediatriz de um segmento de reta, a reta perpendicular ao

    segmento que passa pelo seu ponto mdio.

    M o ponto mdio de AB.

    m perpendicular a AB.

    m a mediatriz de AB.

    Propriedade: Se P m , ento PA PB

    Prova: P , P m PA PB

    MA MB pois M o ponto mdio de ABAMP BMP ngulo reto pois m perpendicular a ABMP comum

    RS||

    T||$ $

    Por LAL PMA PMB PA PB c.q.d.

    Obs: Em um tringulo existem 3 mediatrizes, uma para cada lado.

  • Circuncentro de um tringulo o ponto de interseco das mediatrizes dos seus lados.

    O o circuncentro do ABC.

    mA , mB e mC so asmediatrizes do ABC.

    mA I mB I mC = { O }

    Propriedades:

    1) O circuncentro o centro da circunferncia circunscrita a um tringulo.

    Demonstrao:

    Se { O } = mA I mB I mC por definio ento:

    O mA OB OC

    O mB OA OC

    O mC OA OB

    OA OB OC R = OA = OB = OC

    Portanto uma circunferncia de centro O e raio R passa por A , B e C emcircunscreve o ABC. c.q.d.

    O o centro da circunferncia quecontm A, B e C e OA = OB = OC.

    2) O circuncentro pode ser externo ao tringulo e isto ocorre quando este obtusngulo.

  • Casos especiais1) Em um tringulo equiltero as medianas alturas , mediatrizes e bissetrizes

    so coincidentes, o que implica que o baricentro, ortocentro, circuncentro eincentro tambm coincidem.

    2) Em um tringulo issceles , o baricentro , ortocentro , circuncentro e incentroesto alinhados.

    Exemplos:

    1) Em um tringulo retngulo de lados 30 , 40 e 50 , inscrevemos uma circunferncia,qual o seu raio?

    Pelas propriedades do incentro temos:AP = AQ BP = BR CR = CQ

    Como ABC retngulo em B , ento:

    SR = SP = BP = BR = r (raio da circunferncia inscrita)Ento temos:

    Portanto 30 - r + 40 - r = 50

    20 = 2r r = 10

  • 2) Obter o raio das circunferncias inscritas e circunscritas em um tringulo equiltero dealtura 21 cm.

    Como no tringulo equiltero, o baricentro, ortocentro, incentro e circuncentro coincidem,podemos obter o centro das circunferncias pela propriedade do baricentro.

    Ou seja: AO = 2 . OHA e AO + OHA = 21

    30 HA = 21 OHA = 7 e AO = 14

    Portanto o raio da circunferncia inscrita 7 cm e o raio da circunferncia circunscrita 14 cm.