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Mediana , Altura , Bissetriz e Mediatriz de um TringuloMediana
Definio: Denomina-se mediana de um tringulo o segmento que liga um vrtice aoponto mdio do lado oposto a este vrtice.
AMA mediana do tringulorelativa ao vrtice A .
Obviamente o tringulo possui 3 medianas, uma para cada vrtice. O encontro das 3medianas ocorre em um ponto denominado Baricentro.
Baricentro de um tringulo o ponto de interseco das suas medianas.
G o Baricentro do ABC.AMA , BMB , CM C so asmedianas do ABC.
AMA I BMB I CM C = { G }
O Baricentro conhecido como centro de massa ou centro de gravidade, por estemotivo adota-se a letra G para represent-lo.O ponto G divide as medianas em dois segmentos tais que a parte que contm ovrtice igual ao dobro da outra.
Portanto temos: AG = 2 . GMA , BG = 2 . GMB e CG = 2 . GMC
AlturaDefinio: Denomina-se altura de um tringulo o segmento de reta que
perpendicular a um lado e contm o vrtice oposto a este lado.
AHA a altura do tringulorelativa ao vrtice A .
Note que a altura pode ser externa ao tringulo, como na figura abaixo:
O ponto HA externo.
Define-se Ortocentro de um tringulo como sendo a interseco das retas que contmas Alturas deste tringulo.
H o Ortocentro do ABC.
AHA , AHB e AHC so asalturas do ABC .
AHA
, AHB
e AHC
so as retas que contm asalturas .
AHA
I AHB
I AHC
= { H }Note que o ponto H (ortocentro) pode ser externo ao tringulo, conforme a figuraabaixo:
Como voc pode ver o ponto H pertence s retas que contm os segmentos dasalturas , H no o ponto de encontro das alturas e sim das retas que contm asalturas.
Bissetriz:
Definio: Denomina-se bissetriz do ngulo interno de um tringulo o segmento dereta que divide o ngulo interno em duas metades iguais.
Note que a bissetriz de um ngulo uma semi-reta e a bissetriz de um tringulo umsegmento, note ainda que o tringulo possui trs bissetrizes internas, uma para cadavrtice.Incentro o ponto de interseco das bissetrizes internas de um tringulo.
S o Incentro do ABC.
ASA , BSB , CSC so as
bissetrizes internas do ABC.
ASA I BSB I CSC = { S }
Propriedades:
1) O Incentro o centro da circunferncia inscrita no tringulo.
S o centro da circunferncia inscrita no tringulo , ou seja , a circunferncia tangnciaos lados do tringulo nos pontos P , Q e R . Ento: SP = SQ = SR
2) As distncias dos vrtices aos pontos de tangncia dos lados pertencentes a estevrtice so congruentes.
AR AQBR BPCP CQ
=
=
=
RS|T|
Demonstrao:
Vamos demonstrar para um vrtice ; para os demais vale o mesmo procedimento.
ARS AQSAS comumSR SQ raio da circunfernciaARS AQS ngulo reto no ponto de gncia
=
=
RS|T| $ $ tan
Pelo caso especial de LLA para tringulos retngulos , ARS AQS
AR = AQ c.q.d.
Mediatriz:Definio: Denomina-se mediatriz de um segmento de reta, a reta perpendicular ao
segmento que passa pelo seu ponto mdio.
M o ponto mdio de AB.
m perpendicular a AB.
m a mediatriz de AB.
Propriedade: Se P m , ento PA PB
Prova: P , P m PA PB
MA MB pois M o ponto mdio de ABAMP BMP ngulo reto pois m perpendicular a ABMP comum
RS||
T||$ $
Por LAL PMA PMB PA PB c.q.d.
Obs: Em um tringulo existem 3 mediatrizes, uma para cada lado.
Circuncentro de um tringulo o ponto de interseco das mediatrizes dos seus lados.
O o circuncentro do ABC.
mA , mB e mC so asmediatrizes do ABC.
mA I mB I mC = { O }
Propriedades:
1) O circuncentro o centro da circunferncia circunscrita a um tringulo.
Demonstrao:
Se { O } = mA I mB I mC por definio ento:
O mA OB OC
O mB OA OC
O mC OA OB
OA OB OC R = OA = OB = OC
Portanto uma circunferncia de centro O e raio R passa por A , B e C emcircunscreve o ABC. c.q.d.
O o centro da circunferncia quecontm A, B e C e OA = OB = OC.
2) O circuncentro pode ser externo ao tringulo e isto ocorre quando este obtusngulo.
Casos especiais1) Em um tringulo equiltero as medianas alturas , mediatrizes e bissetrizes
so coincidentes, o que implica que o baricentro, ortocentro, circuncentro eincentro tambm coincidem.
2) Em um tringulo issceles , o baricentro , ortocentro , circuncentro e incentroesto alinhados.
Exemplos:
1) Em um tringulo retngulo de lados 30 , 40 e 50 , inscrevemos uma circunferncia,qual o seu raio?
Pelas propriedades do incentro temos:AP = AQ BP = BR CR = CQ
Como ABC retngulo em B , ento:
SR = SP = BP = BR = r (raio da circunferncia inscrita)Ento temos:
Portanto 30 - r + 40 - r = 50
20 = 2r r = 10
2) Obter o raio das circunferncias inscritas e circunscritas em um tringulo equiltero dealtura 21 cm.
Como no tringulo equiltero, o baricentro, ortocentro, incentro e circuncentro coincidem,podemos obter o centro das circunferncias pela propriedade do baricentro.
Ou seja: AO = 2 . OHA e AO + OHA = 21
30 HA = 21 OHA = 7 e AO = 14
Portanto o raio da circunferncia inscrita 7 cm e o raio da circunferncia circunscrita 14 cm.