Teori Otomata Dan BahasaMatematika Dasar Teori HimpunanRelasiLogikaGraph

kelompok : Hilyas Nugraha 12651081 Valdi Adrian Abrar 12651086 Nur Rohman 12651102

Teori HimpunanHimpunan adalah kumpulan dari obyek. Contoh :

kumpulan dari 4 huruf a,b,c dan d merupakanhimpunan, dimana ditulis sbb:L = { a, b, c, d }

Untuk mengindikasikan bahwa x merupakananggota dari himpunan S, kita tulis x ∈ S,sedang y bukan merupakan anggota himpunan S,kita tulis y ∉ S

Cara Penulisan Himpunan Mendaftarkan semua anggotanya

Contoh: A = {a,e,i,o,u} B = {2,3,5,7,11,13,17,19}

Menyatakan sifat yang dimiliki anggotanyaContoh:A = Himpunan vokal dalam abjad latinB = Himpunan bilangan prima yang kurang dari 20

Menggunakan notasi pembentuk himpunanContoh:P = {x | x himpunan bilangan asli antara 7 dan 15}(Maksudnya P = {8,9,10,11,12,13,14})Q = { t | t biangan asli}(Maksudnya Q = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,…}

Definisi – Definisi dari Teori Himpunan

Himpunan Universal : seluruh elemen yang mungkin ada U = { 1 , … , 10 }

Definisi-definisi pada Teori HimpunanHimpunan bagian (subset)

Jika setiap anggota himpunan A juga merupakan anggota dari himpunan B, maka dapat dikatakan bahwa A merupakan ‘himpunan bagian’ dari B, maka ditulis A ⊆ B.

Contoh : A = {1,3,5} dan B = {0,1,2,3,4,5,6}. Maka A⊆B.

Definisi-definisi pada Teori HimpunanHimpunan disjoint

Jika setiap anggota himpunan A bukan merupakan anggota dari himpunan B, maka dapat dikatakan bahwa A bukan merupakan ‘himpunan bagian’ dari B

Contoh : A = {1,2,3} dan B = {5,6}. Maka A B = ∅

Definisi-definisi pada Teori HimpunanHimpunan Kosong

Merupakan himpunan yang tidak mempunyai anggota, dilambangkan dengan “ ” atau { }∅ = {}∅S ∪ = S∅S ∩ = ∅ ∅ = Universal set∅S - = S∅

- S = ∅ ∅

Definisi-definisi pada Teori HimpunanCardinalitas Himpunan

Untuk himpunan yang mempunyai nilai akhir A = { 2, 5, 7 }

|A| = 3

(ukuran set/himpunan)

Definisi-definisi pada Teori HimpunanPowersets

Powerset adalah Himpunan dalam himpunanS = { a, b, c }Powerset dari S = himpunan dari seluruh subsets SObservasi:2s ={Ø,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}

Operasi HimpunanGabungan (Union)

Gabungan himpunan A dan B ditulis dengan A ∪ B adalah suatu himpunan yang anggotanya berada di A atau berada di B. Jadi A ∪ B = { x | x ∪ A atau x ∪ B }

Contoh:A = {1,2,3} dan B = {2,3,4,5}. Maka A ∪ B = {1,2,3,4,5}

Operasi HimpunanIrisan (Intersection)

Irisan himpunan A dan B ditulis dengan A B adalah suatu himpunan yang anggotanya berada di A dan juga berada di B.Jadi A ∩ B = { x | x ∩ A dan x ∩ B }

Contoh:A = {1,2,3} dan B = {2,3,4,5}. Maka A ∩ B = {2,3}

Operasi HimpunanSelisih (Difference)

Selisih himpunan antara himpunan A dan himpunan B ditulisdengan A–B, dimana himpunan yang terdapat pada himpunan A tetapi tidak terdapat pada himpunan B.Jadi A-B = { x | x ∈ A atau x ∉ B }Contoh :A = {1,2,3} dan B = {2,3,4,5}. Maka A-B = {1}

Operasi HimpunanKomplemen

Komplemen dari A ditulis dengan “A“ adalah himpunan yang anggotanya berada dalam himpunan semesta tetapi bukan berada di A.Jadi A = { x | x ∈ S, x ∉ A }U={1,2,3,...7}. Jika A = {1,2,3} maka A = {4,5,6,7}

Cartesian ProductPerkalian antar himpunan

A = { 2, 4 } B = { 2, 3, 5 }A X B = { (2, 2), (2, 3), (2, 5), ( 4, 2), (4, 3), (4, 5) }| A X B |= |A|.|B| → 2 . 3 → 6

RelasiRelasi antar himpunan S dan T adalah

himpunan dari pasangan berurutan (s,t) dimana:s ∈ S (s Anggota dari S)t ∈ T

Himpunan dari elemen pertama di sebut “DOMAIN” dari relasi.

Himpunan dari elemen kedua disebut “RANGE” dari relasi.

• Misal S={a,b,c,d,e} dan

T={w,x,y,z}• Relasi yang terjadi:R={(a,y),(c,w),(c,z),

(d,y)}

Logika adalah suatu metode atau teknik yang diciptakan untuk meneliti ketepatan penalaran (pemikiran yang masuk akal).

Logika matematika adalah ilmu yang digunakan untuk menentukan nilai kebenaran dari suatu pernyataan atau penarikan kesimpulan berdasarkan aturan-aturan dasar yang berlaku.

Logika

Dalam logika Matematika dikenal istilah:• Kalimat pernyataan• Kalimat bukan pernyataan• Kalimat terbuka

Operasi logika & PERNYATAAN MAJEMUKPernyataan majemuk adalah pernyataan yang dibentuk dari beberapa pernyataan tunggal yang dirangkai dengan menggunakan kata hubung dalam suatu operasi logika. Beberapa operasi logika tersebut adalah :a. Negasi (ingkaran/ tidak)b. Disjungsi (atau)c. Konjungsi (dan)d. Implikasi (jika... maka...)e. Biimplikasi (... jika dan hanya jika ...) NEGASI

BIIMPLIKASI

DISJUNGSI

KONJUNGSI

IMPLIKASI

negasi

p ~p

BS

SB

Contoh:p: 7 adalah bilangan prima , maka ~p: 7 bukan bilangan primaq : 3+2 sama dengan 6 , maka ~q: 3+2 tidak sama dengan 6

Tabel kebenarannya :

Jika p merupakan sebuah pernyataan, maka ingkaran atau negasi dari p ditulis dengan lambang ~p.

DISJUNGSI

p q

BBSS

BSBS

BBBS

qp

Disjungsi adalah gabungan dari dua pernyataan yang dirangkai dengan menggunakan kata hubung atau.Disjungsi pernyataan p dan pernyataan q, ditulis dengan lambang:

Disjungsi p ν q bernilai benar jika salah satu p atau q atau keduanya adalah benar; disjungsi bernilai salah hanya jika p dan q bernilai salah. Tabel kebenaran disjungsi sebagai berikut:

qp

dibaca p atau q

CONTOH disjungsip : Saya rajin belajarq : Saya lulus UNpvq : Saya rajin belajar atau saya lulus UN

p : 2 adalah bilangan primaq : 2 adalah bilangan genappvq : 2 adalah bilangan prima atau 2 adalah bilangan genap

p : Faktor dari 15 adalah 1, 3, 5, 15 q : 15 adalah bilangan primapvq : Faktor dari 15 adalah 1, 3, 5, 15 atau 15 adalah bilangan prima

p : 15 adalah bilangan primaq : Faktor dari 15 adalah 1, 3, 5, 15 pvq : 15 adalah bilangan prima atau faktor dari 15 adalah 1, 3, 5, 15

p : 9 adalah bilangan primaq : 9 adalah bilangan genappvq : 9 adalah bilangan prima atau 9 adalah bilangan genap

(benar)(benar)(benar)

(benar)(salah)(benar)

(salah)(benar)(benar)

(salah)(salah)(salah)

1.

2.

3.

4.

5.

p qBBSS

BSBS

BSSS

KonjungsiKonjungsi adalah pernyataan yang dibentuk dari dua pernyataan yang dirangkai dengan kata hubung dan.Konjungsi pernyataan p dan pernyataan q, ditulis dengan lambang:

qp Dibaca p dan q

Konjungsi bernilai benar jika p dan q keduanya adalah benar; konjungsi bernilai salah jika salah satu p atau q (atau keduanya) adalah salah. Tabel kebenarannya adalah:

qp

CONTOH Konjungsip : Pagi ini udaranya segarq : Matahari bersinar terangp˄q : Pagi ini udaranya segar dan matahari bersinar terang

p : 2 adalah bilangan primaq : 2 adalah bilangan genapp˄q : 2 adalah bilangan prima dan 2 adalah bilangan genap

p : Faktor dari 15 adalah 1, 3, 5, 15 q : 15 adalah bilangan primap˄q : Faktor dari 15 adalah 1, 3, 5, 15 dan 15 adalah bilangan prima

p : 15 adalah bilangan primaq : Faktor dari 15 adalah 1, 3, 5, 15 p˄q : 15 adalah bilangan prima dan faktor dari 15 adalah 1, 3, 5, 15

p : 9 adalah bilangan primaq : 9 adalah bilangan genapp˄q : 9 adalah bilangan prima dan 9 adalah bilangan genap

(benar)(benar)(benar)

(benar)(salah)(salah)

(salah)(benar)(salah)

(salah)(salah)(salah)

1.

2.

3.

4.

5.

IMPLIKASI

p q

BBSS

BSBS

BSBB

qp

Implikasi atau Kondisional adalah pernyataan majemuk yang dibentuk dari dua pernyataan p dan pernyataan q dalam bentuk jika p maka q.

Implikasi jika p maka q ditulis dengan lambang:

qp

Dibaca jika p maka q ataup hanya jika qq jika pp syarat cukup bagi qq syarat perlu bagi p

Tabel kebenaran implikasi adalah sebagai berikut:

CONTOH Implikasip : Kamu lulus ujianq : Kamu diberi hadiah : Jika kamu lulus ujian maka kamu diberi hadiah

p : 2 adalah bilangan genapq : 2 + 3 adalah 5 : Jika 2 adalah bilangan genap maka 2 + 3 adalah 5

p : 2 adalah bilangan genapq : 2 + 3 adalah 7 : Jika 2 adalah bilangan genap maka 2 + 3 adalah 7

p : 2 + 3 adalah 7q : 2 adalah bilangan genap : Jika 2 + 3 adalah 7 maka 2 adalah bilangan genap

p : 2 + 3 adalah 7q : 2 adalah bilangan ganjil : Jika 2 + 3 adalah 7 maka 2 adalah bilangan ganjil

(benar)(benar)(benar)

(benar)(salah)(salah)

(salah)(benar)(benar)

(salah)(salah)(benar)

1.

2.

3.

4.

5.

qp

qp

qp

qp

qp

BIIMPLIKASI

p q

BBSS

BSBS

BSSB

qp

Biimplikasi atau disebut juga Bikondisional adalah hubungan pernyataan-pernyataan p dan q yang dituliskan sebagai berikut:

qp dibaca :p jika dan hanya jika qJika p maka q dan jika q maka

pp syarat perlu dan cukup bagi

qq syarat perlu dan cukup bagi

p

Tabel kebenaran

CONTOH biImplikasip : Kucing termasuk karnivoraq : Kucing pemakan daging : Kucing termasuk karnivora jika dan hanya jika kucing pemakan daging

(benar)(benar)(benar)

(benar)(salah)(salah)

(salah)(benar)(salah)

(salah)(salah)(benar)

1.

2.

3.

4.

5.

p : 2 adalah bilangan genapq : 2 x 3 = 6 : 2 adalah bilangan genap jika dan hanya jika 2 x 3 = 6

p : 2 adalah bilangan genapq : 2 x 3 = 5 : 2 adalah bilangan genap jika dan hanya jika 2 x 3 = 5

p : 2 adalah bilangan ganjilq : 2 x 3 = 6 : 2 adalah bilangan ganjil jika dan hanya jika 2 x 3 = 6

p : 2 adalah bilangan ganjilq : 2 x 3 = 5 : 2 adalah bilangan ganjil jika dan hanya jika 2 x 3 = 5

(benar)(benar)(benar)qp

qp

qp

qp

qp

GraphSecara matematis, graph didefinisikan sebagai berikut:

Graph G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V,E) yang dalam hal ini:

V = himpunan tidak-kosong dari simpul-simpul (vertices atau node) = {v1,v2, ... , vn}

E = himpunan sisi (edges atau arcs) yang menghubungkan sepasang simpul = {e1,e2, ..., en} atau dapat ditulis singkat notasi G = (V,E)

Menyatakan bahwa V tidak boleh kosong, sedangkan E boleh kosong. Jadi, sebuah graph dimngkinkan tidak mempunyai sisi satu buah pun. Tetapi simpulnya harus ada, minimal satu. Graph yang hanya mempunyai satu buat simpul tanpa sebuah sisi pun dinamakan graf trivial.

Simpul pada graph dapat dinomori dengan huruf seperti a, b, c, ..., dengan bilangan asli 1, 2, 3, ..., atau gabungan keduanya. Sedangkan sisi yang menghubungkan simpul vi dengan simpul vj dinyatakan dengan pasangan (vi, vj) atau dengan lambang e1, e2, ... Dengan kata ain jika e adalah sisi yang menghubungkan simpul vi dengan vj, maka e dapat ditulis sebagai: e = (v1,vj)

Tiga buah graph (a) graph sederhana , (b) graph ganda dan (c)graph semu

Gambar di atas memperlihatkan tiga buah graph G1,G2, dan G3. G1 adalah graph dengan himpunan simpul V dan himpunan E adalahV = {1,2,3,4}E = {(1,2),(1,3),(2,3),(2,4),(3,4)}

G2 adalah graph dengan himpunan simpul V dan himpunan sisi E adalah:V = {1,2,3,4}E = {(1,2),(2,3),(1,3),(1,3),(2,4),(3,4),(3,4)} -> Himpunan Ganda = {e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7}

G3 adalah graph dengan himpunan simpul V dan himpunan sisi E adalah:V = {1,2,3,4}E = {(1,2),(2,3),(1,3),(1,3),(2,4),(3,4),(3,4),(3,3)} -> Himpunan ganda = {e1,e2,e3,e3,e4,e5,e6,e7,e8}

Pada G2, sisi e3 = (1,3) dan sisi e4 = (1,3) dinamakan sisi-ganda karena kedia sisi ini menghubung dua buah simpul yang sama, yaitu simpul 1 dan simpul 3. pada G3, sisi e8 = (3,3) dinamakan gelang atau loop karena ia berawal dan berakhir pada simpul yang sama

Contoh GraphMisalkan :

V = {1,2,3,4} dan E = {e₁, e₂, e₃, e₄, e₅} dengan didefinisikan sbb:ℓ ℓ (e₁) = (ℓ e₅) = {1,2} ℓ (e₂) = {4,3} ℓ (e₃) = {1,3} ℓ (e₄) = {2,4}

• Graph untuk G ={V,E} sbb:

Definisi-definisi dalam Graph

Derajat dari node: derajat dari suatu node dihitung dari jumlah busur yang terhubung dengan node itu. Contoh derajat node 1 adalah 3.

Grap terhubung: jika setiap pasang simpul x dan y, terdapat lintasan dari simpul x ke simpul y.

Panjang lintasan: banyaknya sisi yang dilalui lintasan tsb.

Definisi-definisi dalam GraphLintasan: urutan node, atau sisi yang

dibentuk dari satu simpul ke simpul yang lain (rangkaian node yang terhubung dengan busur).

Definisi-definisi dalam GraphPath: lintasan dimana tidak ada node yang

diulang

Definisi-definisi dalam GraphSirkuit/cycle: lintasan yang memiliki node

awal dan node akhir yang sama (lintasan yang kembali ke node awal).