TUGAS 1C
Berdasarkan Datanya Sendiri-sendiri dan Dengan Berbagai Teknik, Mahasiswa Menghitung: Rentang, Standar Deviasi, Variansi, Skewness, Kurtosis, Skor Baku
OLEH:
Tri Asih Wahyu KrisnawatiS1 Teknik Tenaga Listrik (TTL) / 125514002 / 2012
Viky Dimas WijayantoS1 Teknik Tenaga Listrik (TTL) / 125514009 / 2012
Hayu Putra F. HS1 Teknik Tenaga Listrik (TTL) / 125514233 / 2012
Hari / Jam Kuliah : Kamis / 13.00-14.40
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN TEKNIK ELEKTRO
JURUSAN TEKNIK ELEKTRO
FAKULTAS TEKNIK
UNIVERSITAS NEGERI SURABAYA
2014
BERDASARKAN DATANYA SENDIRI-SENDIRI DAN DENGAN BERBAGAI TEKNIK, MAHASISWA MENGHITUNG: RENTANG, STANDAR DEVIASI,
VARIANSI, SKEWNESS, KURTOSIS, SKOR BAKU
A. DASAR TEORI Selain ada ukuran gejala pusat dan ukuran letak, masih ada lagi ukuran lain ialah
ukuran simpangan atau ukuran dispersi. Ukuran ini dinamakan ukuran variasi. Beberapa ukuran disperse yang terkenal ialah rentang, rentang antar kuartil, simpangan kuartil atau deviasi kuartil, rata-rata simpangan atau rata-rata deviasi, simpangan baku atau standar deviasi, varians dan koefisien variasi.a. RENTANG
Rentang merupakan ukuran variasi yang paling mudah ditentukan. Rumus untuk
menentukan rentang adalah :
Rentang = data terbesar - data terkecil ……(1.1)
Rentang antar kuartil juga mudah ditentukan, dan ini merupakan selisih antara K3 dan
K1.. jadi didapatlah hubungan :
RAK = K3-K1 ......(1.2)
Dimana: RAK = rentang antar kuartil
K3 = kuartil ketiga,
K1 = kuartil pertama.
Simpangan kuartil atau disebut pula rentang semi antar kurtil, harganya setengah dari
rentang antar kuartil. Jadi, jika simpangan kuartil disingkat dengan SK, maka:
SK = 1/2(K3-K1) …… (1.3)
Rata-rata simpangan adalah jarak antar tiap data dengan rata-rata hitung nilai
pengamatan. Rata-rata simpangan baku dapat dihitung dengan rumus:
RS = Ʃ|x i−x|
n ……(1.4)
a. STANDAR DEVIASI
Standar deviasi atau simpangan baku merupakan ukuran simpangan yang paling
banyak digunakan. Pangkat dua dari simpangan baku dinamakan varians. Untuk sampel,
simpangan baku akan diberi simbul s., sedangkan untuk populasi diberi simbul σ (sigma).
Variansinya tentulah s2 untuk varians sampel dan σ2 untuk varians populasi. Jika kita
mempunyai sampel berukuran n dengan data x1, x2, x…, xn atau data tunggal varians
dapat dihitung dengan rumus:
s2=Ʃ(x i−x)2
n−1 ...........(1.2)
Untuk mencari simpangan baku s, dari s2 diambil harga akarnya yang positif. Dari
rumus sebelumnya varians s2 dapat dihitung sebagai berikut:
1) Hitung rata-rata x
2) Tentukan selisih x1-x, x2-x, ...,xn-x,
3) Tentukan kuadrat selisih tersebut, yakni (x1-x)2,(x2-x)2…..,(xn-x)2
4) Kuadrat-kuadrat dijumlahkan
5) Jumlah tersebut dibagi oleh (n-1)
Bentuk lain untuk rumus varians sampel adalah :
s2=nƩ x i
2−(Ʃ x i)2
n(n−1) …………….(1.3)
Jika data dari sampel telah disusun dalam daftar distribusi atau data kelompok,
maka untuk menentukan varian s2 dipakai rumus;
s2=Ʃ f i(x i−x )2
n−1 …………..…(1.4)
Atau yang lebih baik digunakan adalah :
s2=nƩ f i x i
2−(Ʃ f i x i)2
n(n−1) …………....(1.5)
Untuk menghitung varians sehingga perhitungan akan lebih sederhana dapat
digunakan rumus:
s2=p2( nƩ f ic i2−( Ʃ f ic i )
2
n (n−1 ) ) ……………(1.6)
b. SIMPANGAN BAKU (STANDAR DEVIASI)
Untuk simpangan baku kita dapat menentukan simpangan baku gabungan. Simpangan
baku gabungan dapat dihitung dengan rumus ;
s2=Ʃ ( ni−1 ) si
2
Ʃ ni−k …………. (1.7)
Atau lengkapnya;
s2=(n1−1 ) si
2+( n2−1 ) s22+…+(nk−1)sk
2
n1+n2+…+nk−k.
…......... (1.8)
dengan s2 berarti varians gabungan untuk sampel yang berukuran n.
c. BILANGAN BAKU DAN KOEFISIEN VARIASI
Bilangan baku sering dipakai untuk membandingkan keadaan distribusi fenomena,
rumus untuk bilangan baku adalah:
zi=x0+s0( x i−x
s )……..…… (1.9)
Perhatikan bahwa untuk x0 = 0 s0 = 1, rumus menjadi:
z i=xi−x
suntuk i=1,2 ,…,n ………(2.0)
Untuk membandingkan variasi antara nilai-nilai besar dan nilai-nilai kecil, digunakan
dispersi relative yang ditentukan oleh:
Dispersi relaif = dispersi absolut
rata−rata …………. (2.1)
Jika untuk disperse absolute diambil simpangan baku, maka didapat koefisien variasi,
disingkat KV. Rumusnya, dinyatakan dalam persen, berbentuk:
KV = simpanganbakurata−rata
x100 % ………..…(2.2)
d. SKEWNESS (KEMIRINGAN)
Untuk mengetahui derajat taksimeri sebuah model, digunakan ukuran kemiringan
yang ditentukan oleh :
Kemiringan = Rata−rata−Modus
Simpangan baku
Rumus empirik untuk kemiringan adalah:
Kemiringan = 3 (Rata−rata−Median )
Simpangan baku
Kriteria kemiringan :
- Model positif, terjadi bila kurvanya memiliki ekor yang memanjang ke sebelah
kanan.
- Model negative, terjadi bila ekornya memanjang ke sebelah kiri.
e. KURTOSIS
Kurtosis merupakan tinggi rendahnya atau runcing datarnya bentuk kurva. Untuk
menyelidiki apakah distribusi normal atau tidak, sering dipakai koefisien kurtosis
presentil,diberi simbuk k. dengan rumusnya adalah;
k= SKP90−P10
=
12 ( K 3−K1 )P90−P10
…………...(2.3)
Salah satu ukuran kurtosisi ialah koefisien kurtosis, diberi simbul a4, ditentukan oleh
rumus:
a4= (m4/m22) …………….(2.4)
Kriteria yang didapat dari rumus ini adalah:
a) a4 = 0,262 distribusi normal
b) a4 > 0,263 distribusi leptokurtik, (Runcing)
c) a4 < 0,263 distribusi platikurtik. (Landai)
B. PERMASALAHANBerdasarkan data yang sudah dihitung sebelumnya, mahasiswa menghitung secara
manual perhitungan dibawawah ini:a. Rentang,b. Standar Deviasi,c. Variansi,d. Skewnesse. Kurtosis,f. Skor baku.
C. PEMBAHASAN o Rentang (range)
RAK =K3 – K1
= 86,6875 – 72,9342
= 13,7533
SK = 1/2 (K3 – K1) = 1/2 x RAK
= 1/2 (86,6875 – 72,9342)
= 1/2 x 13,7533
= 6,87665
o Simpangan Baku (Deviasi Standart)
Data Tunggal
Cara 1 S2 = ∑ (x i−x )2
n−1
= 778,259−1
= 97,28125
S = 9,863126
Cara 2 S2 = n∑ xi
2−(∑ x i)2
n(n−1) =
9 x56317−(707)2
9 x 8
=506853−499849
72
=97,27778
S = √∑ (X i−X )2
n−1 = √ 778,25
9−1
= √97,28125
= 9,86312
Data Kelompok
Nilai Ujian
fi xi x i−x (x i−x)2 fi (x i−x)2 xi2 fi . xi fi . xi
2 ci ci2 fi .
ci
fi . ci2
61-65 2 63 -16.46 270.9316 541.8632 3969 126 7938 -5 25 -10 10066-70 5 68 -11.46 131.3316 656.658 4624 340 23120 -4 16 -20 400
No x i x i−x |x i−x| |x i−x|2 x i2
1 64 -14.5 14.5 210.25 40962 68 -10.5 10.5 110.25 46243 71 -7.5 7.5 56.25 50414 75 -3.5 3.5 12.25 56255 79 0.5 0.5 0.25 62416 82 3.5 3.5 12.25 67247 86 7.5 7.5 56.25 73968 89 10.5 10.5 110.25 79219 93 14.5 14.5 210.25 8649
Jumlah
707 0.5 72.5 778.25 56317
71-75 19 73 -6.46 41.7316 792.9004 5329 1387
101251
-3 9 -57 3249
76-80 7 78 -1.46 2.1316 14.9212 6084 546 42588 -2 4 -14 19681-85 11 83 3.54 12.5316 137.8476 6889 913 75779 -1 1 -11 12186-90 20 88 8.54 72.9316 1458.632 7744 176
015488
00 0 0 0
91-95 1 93 13.54 183.3316 183.3316 8649 93 8649 1 1 1 1Total 65 546 -10.22 714.9212 3786.154 4328
8516
541420
5-14 56 -
1114067
Cara 1: S2 = ∑ f i(x i−x )2
n−1 =
3786,15465−1
S2 = 59,15865
S = 7,691466
Cara 2: S2 = n∑ f i x i
2−(∑ f i x i)2
n(n−1) = 65 x 414205−51652
65 x64
S2 = 26923325−26677225
4160 =
2461004160
S2 = 59,1586 S = 7,691466
Cara 3: S2 = p2( n∑ f ic i2−(f ic i)
2
n(n−1) ) = 52( 65 x 4067−12321
65 x 64 ) S2 = 25x60,5850 = 1514,6274
o Simpangan Baku Gabungan
Data 1 Data 2
No Nilai Siswa
x i−x |x i−x|2 Nilai Siswa
x i−x |x i−x|2
1 68 -13.8 190.44 64 -12.8 163.842 89 7.2 51.84 75 -1.8 3.243 93 11.2 125.44 89 12.2 148.844 82 0.2 0.04 86 9.2 84.645 89 7.2 51.84 68 -8.8 77.446 82 0.2 0.04 68 -8.8 77.447 82 0.2 0.04 86 9.2 84.648 89 7.2 51.84 71 -5.8 33.64
9 89 7.2 51.84 71 -5.8 33.6410 79 -2.8 7.84 75 -1.8 3.2411 79 -2.8 7.84 86 9.2 84.6412 75 -6.8 46.24 75 -1.8 3.2413 86 4.2 17.64 68 -8.8 77.4414 75 -6.8 46.24 71 -5.8 33.6415 86 4.2 17.64 79 2.2 4.8416 89 7.2 51.84 79 2.2 4.8417 71 -10.8 116.64 82 5.2 27.0418 86 4.2 17.64 71 -5.8 33.6419 75 -6.8 46.24 75 -1.8 3.2420 89 7.2 51.84 82 5.2 27.0421 89 7.2 51.84 75 -1.8 3.2422 86 4.2 17.64 71 -5.8 33.6423 68 -13.8 190.44 71 -5.8 33.6424 82 0.2 0.04 82 5.2 27.0425 89 7.2 51.84 79 2.2 4.8426 89 7.2 51.84 86 9.2 84.6427 89 7.2 51.84 75 -1.8 3.2428 82 0.2 0.04 82 5.2 27.0429 79 -2.8 7.84 82 5.2 27.0430 71 -10.8 116.64 79 2.2 4.8431 75 -6.8 46.2432 75 -6.8 46.2433 89 7.2 51.8434 64 -17.8 316.8435 82 0.2 0.04
Total 2862 -1 1952.2 2303 -1 1259.4
S2 = (n1−1 ) si
2+(n2−1 ) s22
n1+n2−k
S2 = (35−1 ) (7,58 )2+(30−1)(6,59)2
35+30−2
S2 = 34 x57,4564+29 x43,4281
63
S2 = 1953,5176+1259,4149
63
S2 = 50,97778 S = 7,139872
o Kemiringan
Koefisien pearson tipe 1 = Rata−rata – Modus
s =
79,465−87,1077,691
=−0,994
Koefisien pearson tipe 1 = 3 xRata−rata – Modus
s = 3 x
79,465−82,6257,694
= 1,232
o Kurtosis
P10=data ke−10(65+1)
100 = data ke 6,6
= data ke 68 + 0,6(data ke 7 - data ke 6) = 68 + 0,6(68-68) = 68
P90=datake−90(65+1)
100
= data ke 59,4= data ke 59 + 0,4(data ke 60 - data ke 59)= 89 + 0,4(89-89)= 89
Jadi,
K = 12(K3−K 1)
P90−P10
= 12(86−75)
89−68 =
12(11)
21 = 0,262
K = normal
D. KESIMPULAN
1. Dalam perhitungan rentang antar kuartil (RAK) dan simpangan kuartil
(SK) hanya bisa dilakukan secara manual tidak bisa menggunakan
SPSS.
2. Dalam perhitungan standar deviasi dan variasi yang dilakukan manual
dan Spss menunjukkan hasil yang tidak jauh berbeda.
3. Perhitungan skewness dan kurtosis secara manual dan Spss
menunjukkan hasil yang berbeda.
4. Sedangkan untuk data kelompok pada hasil perhitungan manual dan Spss menunjukkan hasil yang berbeda. Hal tersebut dikarenakan rumus yang digunakan untuk perhitungan pada data kelompok berbeda dengan rumus perhitungan pada data tunggal.
Lampiran Data Statistika
Statistics
nilai_siswa
N Valid 65
Missing 0
Std. Error of Mean .93235
Std. Deviation 7.51681
Variance 56.502
Skewness -.206
Std. Error of Skewness .297
Kurtosis -1.028
Std. Error of Kurtosis .586
Range 29.00
nilai_siswa
Frequency Percent Valid PercentCumulative
Percent
Valid 64.00 2 3.1 3.1 3.1
68.00 5 7.7 7.7 10.8
71.00 8 12.3 12.3 23.1
75.00 11 16.9 16.9 40.0
79.00 7 10.8 10.8 50.8
82.00 11 16.9 16.9 67.7
86.00 8 12.3 12.3 80.0
89.00 12 18.5 18.5 98.5
93.00 1 1.5 1.5 100.0
Total 65 100.0 100.0