Version: 1.3.0
Software-Manual
Vol. B: Theorie und Materialmodelle
Stand: 06.12.2015
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Einführung
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Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Einführung
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Inhalt 1 Einführung ......................................................................................... 6
1.1 Einheiten ........................................................................................ 6
1.2 Gültigkeit von ermittelten Materialparametern .................................... 7
2 Bemerkungen zu Optimierungsalgorithmen ............................................ 9
2.1 Das inverse Problem ........................................................................ 9
2.2 Fehlerquadratsumme ....................................................................... 9
2.3 Korrelationsmatrix ......................................................................... 11
2.4 Startparameter und Parametergrenzen ............................................ 11
2.4.1 Allgemeine Anmerkungen ...................................................... 11
2.4.2 Lösung und Konvergenz der Materialparameteroptimierung ........ 12
2.4.3 Festhalten von Materialparametern ......................................... 13
3 Anmerkungen zur Kontinuumsmechanik ............................................... 14
3.1 Vorabbemerkungen ....................................................................... 14
3.2 Bemerkungen zu Symbolen und Operatoren ..................................... 14
3.2.1 Symbole und mathematische Operatoren ................................. 14
3.2.2 Spezielle Tensoren 2. Stufe .................................................... 15
3.3 Kinematik finiter Deformationen ...................................................... 16
3.3.1 Eigenwerte und Eigenvektoren von Verzerrungstensoren ........... 17
3.4 Kinematik kleiner Deformationen .................................................... 18
3.5 Mechanische Spannungen .............................................................. 19
3.5.1 Vorabbemerkungen zu Spannungskomponenten ....................... 19
3.5.2 Spannungen bei finiten Deformationen .................................... 19
3.5.3 Spannungen bei kleinen Deformationen ................................... 21
4 Korrespondierende Mess- und Simulationsdaten .................................... 22
4.1 Korrespondierende Mess- und Simulationsdaten für 'SMALL strain'-
Materialmodelle .................................................................................... 22
4.2 Korrespondierende Mess- und Simulationsdaten für 'LARGE strain'-
Materialmodelle .................................................................................... 23
4.2.1 Wahre (Cauchy) Spannungen und logarithmische Dehnungen
(MEAS=true) .................................................................................... 23
4.2.2 Nominelle Spannungen und Dehnungen (MEAS=nom) ............... 25
5 Versuchstypen für die Materialparameterermittlung ............................... 26
5.1 Allgemeine Anmerkungen ............................................................... 26
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Einführung
4
5.1.1 Homogene Verzerrungs- bzw. Spannungszustände .................... 26
5.1.2 Versuchsbezeichnungen ......................................................... 26
5.1.3 Messdaten bei Versuchsbeginn ............................................... 27
5.1.4 Anzahl an Last- oder Zeitschritten ........................................... 27
5.1.5 Auswahl der Versuchstypen in Abhängigkeit vom Materialmodell. 28
5.2 Versuchstyp ‚Uniaxial‘: Uniaxialer Zug- und/oder Druckversuch .......... 29
5.3 Versuchstyp ‚Biaxial‘: Biaxialversuch................................................ 32
5.4 Versuchstyp ‚Shear‘ bzw. ‚Simple Shear‘: Einfacher Schub ................. 35
5.4.1 Versuchstyp ‚Shear‘ bei 'SMALL strain'-Materialmodellen ............ 36
5.4.2 Versuchstyp ‚Simple Shear‘ bei 'LARGE strain'-Materialmodellen . 37
6 Materialmodelle ................................................................................ 39
6.1 Lineare Elastizität (Small Strain) ..................................................... 40
6.1.1 1D/3D SMALL strain ELASTICITY............................................. 41
6.1.2 SMALL strain orthotropic ELASTICITY ...................................... 42
6.1.3 SMALL strain transversely isotropic ELASTICITY, rotat. symm.: X 45
6.1.4 SMALL strain transversely isotropic ELASTICITY, rotat. symm.: Y 47
6.1.5 SMALL strain transversely isotropic ELASTICITY, rotat. symm.: Z 49
6.2 Hyperelastizät ............................................................................... 51
6.2.1 Allgemeine Anmerkungen ...................................................... 52
6.2.2 LARGE strain NEO-HOOKEan HYPERelasticity ............................ 54
6.2.3 LARGE strain MOONEY-Rivlin HYPERelasticity ........................... 57
6.2.4 LARGE strain OGDEN HYPERelasticity ...................................... 61
6.3 Von Mises (Visko-) Plastizität .......................................................... 65
6.3.1 1D/3D SMALL strain Von Mises plasticity (rate independent,
nonlinear isotropic hardening) ............................................................. 66
6.3.2 1D/3D SMALL strain von MISES VISCOPLASTICITY (Cowper-
Symonds, nonl. isotr. hardening) ........................................................ 71
6.3.3 LARGE strain von MISES PLASTICITY (nonlinear isotropic
hardening), MEAS=true ..................................................................... 77
6.3.4 LARGE strain von MISES VISCOPLASTICITY (Cowper-Symonds,
nonl. isotr. hardening), MEAS=true ..................................................... 82
6.4 Ramberg-Osgood (Deformation Plasticity) ........................................ 89
6.4.1 1D SMALL strain deformation plasticity (rate independent
RAMBERG-OSGOOD) ......................................................................... 89
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Einführung
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6.4.2 3D SMALL strain deformation plasticity (rate independent
RAMBERG-OSGOOD) ......................................................................... 89
6.5 Hill- (Visko-) Plastizität .................................................................. 93
6.5.1 Namenskonvention ............................................................... 93
6.5.2 Small strain Hill (Visco-)plasticity ............................................ 96
6.5.3 Large strain Hill (Visco-)plasticity ...........................................107
6.6 Viskoelastizität .............................................................................108
6.6.1 SMALL strain VISCOELASTICITY ............................................109
6.6.2 LARGE strain OGDEN VISCOELASTICITY .................................116
7 Literaturverzeichnis ..........................................................................128
8 Trademarks .....................................................................................129
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Einführung
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1 Einführung
Das Ziel der Parameteridentifikation für ein Materialmodell ist, die Materialpara-
meter so zu optimieren, dass das Materialmodell Simulationsdaten liefert, welche
minimal von den experimentellen Daten abweichen.
In FEMCard Basic wird die Parameteridentifikation als (mathematisches) Optimie-
rungsproblem betrachtet und die Unterschiede zwischen den gemessenen und si-
mulierten Daten werden mittels eines Least-Squares-Algorithmus' minimiert. In
der Optimierungsroutine werden hierbei durch Variation der Materialparameter
die Dehnungsfelder variiert und die Abweichungen zwischen gemessenen und si-
mulierten Dehnungsfeldern berechnet.
FEMCard Basic führt die Parameteridentifikation für homogene Spannungszu-
stände linearer und nichtlinearer Materialmodelle durch. Hierbei können mehrere
verschiedene Versuche gleichzeitig in die Parameteridentifikation eingehen, wie
z.B. uniaxialer Zug/Druck, biaxialer Zug/Druck oder einfache Scherung. Die Las-
ten bei den jeweiligen Versuchen können mit beliebiger Lastgeschichte variieren.
Bei den Zug- und Druckversuchen werden die Längs- und Querdehnung berück-
sichtigt. Die Software kann mit zunehmender Anzahl an einfließenden Versuchen
die Streuungen zwischen verschiedenen Versuchen besser berücksichtigen, wo-
bei die Parameter diesbezüglich nichtlinear gemittelt werden (keine arithmetische
Mittelung der Parameter für Einzelversuche).
1.1 Einheiten
So wie auch viele andere Simulationsprogramme wie Finite-Elemente-Softwares
hat FEMCard Basic kein eingebettetes Einheitensystem. Es liegt in der Verantwor-
tung des Benutzers, in sich konsistente Einheiten für die eingegebenen Mess-
werte zu verwenden.
Die Einheiten der Materialparameter ergeben sich aus den Einheiten der Mess-
werte. Für die in FEMCard Basic verwendeten Messwerttypen sind die grundle-
genden Einheiten im SI-System
Masse in Kilogramm [kg]
Länge in Meter [m]
Zeit in Sekunden [s]
Typische hieraus abgeleitete Größen im SI-System sind
Kraft in Newton [N=kg m/s2]
Spannung in Pascal [Pa=N/m2]
Arbeit in Joule [J=N m]
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Einführung
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Bemerkung: Tabelle 1 zeigt die Umrechnung zu einem weiteren, in sich konsis-
tenten Einheitensystem, welches oft innerhalb von FEM-Anwendungen verwendet
wird:
Tabelle 1: Beispiele für konsistente Einheitensysteme
System MKS mmNS
Länge m mm
Zeit s s
Masse kg Tonne=1000kg
Kraft N N
Fläche m2 mm2
Volumen m3 mm3
Geschwindigkeit m/s mm/sec
Spannung Pa MPa
Elastizitätsmodul Pa MPa
Arbeit J mJ
1.2 Gültigkeit von ermittelten Materialparametern
FEMCard Basic ist als Software ein Hilfsmittel, um simulierte Daten an gemes-
sene Daten anzupassen. Die Ergebnisse dieser Abgleiche sind (unter anderem)
Materialparameter. Hierbei ist folgendes zu beachten:
I. Der Benutzer entscheidet, wann die Optimierungsroutine angehalten wird,
bzw. wann das Programm diese automatisch anhält. Die Gültigkeit der er-
mittelten Materialparameter beurteilt der Benutzer eigenständig.
II. Die Materialparameter können überhaupt nur für den mit Messdaten be-
legten Bereich der korrespondierenden Simulation gültig sein.
III. Es liegt in der Verantwortung des Benutzers, geeignete Messdaten für die
Materialparameterermittlungen zu verwenden.
IV. Die Optimierung der Materialparameter ist mathematisch betrachtet in der
Regel ein schlecht gestelltes Problem, was bedeutet, dass mindestens eine
der drei Bedingungen nicht erfüllt ist:
a. Es existiert eine Lösung
b. Die Lösung ist eindeutig
c. Die Lösung ist stabil
V. Sollen die in FEMCard Basic ermittelten Materialparameter für Berechnun-
gen mit der Finite-Elemente-Methode (FEM) verwendet werden, ist vom
Benutzer vorab zu prüfen, ob die in FEMCard Basic berechneten Simulati-
onsergebnisse mit den korrespondierenden, in der zu verwendenden Fi-
nite-Elemente-Software berechneten Simulationsergebnissen übereinstim-
men. Aufgrund der evtl. unterschiedlichen Implementierung der Material-
modelle in die jeweilige Finite-Elemente-Software bzw. anderer Formulie-
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Einführung
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rungen im Bereich der Numerik kann keine Garantie für die Übereinstim-
mung der Simulationsergebnisse gegeben werden. Sämtliche Angaben in
FEMCard Basic zu Materialparametern im Zusammenhang mit der Weiter-
verwendung in der jeweils genannten Finite-Elemente-Software sind ohne
Gewähr und in jedem Fall vom Benutzer selbst zu prüfen.
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Bemerkungen zu Optimierungsalgorithmen
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2 Bemerkungen zu Optimierungsalgorithmen
2.1 Das inverse Problem
Die konstitutiven Gleichungen für ein Materialmodell liefern den funktionalen Zu-
sammenhang zwischen den Spannungen und Verzerrungen. Die Lösung dieses
Randwertproblems (RWP) wird als direktes Problem bezeichnet. Das Ziel der Pa-
rameteridentifikation und dementsprechend der Lösung des inversen Problems
für ein Materialmodell ist, die Materialparameter so zu optimieren, dass das Ma-
terialmodell Simulationsdaten liefert, welche minimal von den experimentellen
Daten abweichen.
Die Simulationsdaten, die in FEMCard Basic verglichen werden, sind Dehnungs-
felder. Mittels Variation der Materialparameter werden die Dehnungsfelder vari-
iert, wobei bei der Simulation als Randbedingungen die in Versuchen ermittelten
Spannungen und weiterhin Einspannungen entsprechend dem jeweiligen Ver-
suchstyp verwendet werden.
2.2 Fehlerquadratsumme
Die in FEMCard Basic verwendete Vorgehensweise bei der Identifikation von Ma-
terialparametern ist die Minimierung einer Fehlerquadratsumme, in der die ge-
messenen und entsprechend simulierten Dehnungen verglichen werden. Um die
Parameter anhand der Versuche A, B, …, W gleichzeitig zu identifizieren, wird als
Zielfunktion ( )f κ folgende Fehlerquadratsumme verwendet
QA B
22 2 TT T
a a a b b b q q q
a=1 b=1 q=1
1( ) ( ) ( ) ... ( )
2
exp exp exp
A B Q
f
κ ε κ ε ε κ ε ε κ εW W W
(2.1)
Hierbei sind AT , BT , …, QT die betrachteten Anzahlen an Zeit- bzw. Lastschritten
für die Versuche. Weiterhin sind aW , bW und qW die Wichtungsmatrizen für die
im jeweiligen Versuch gemessenen und simulierten Dehnungen. Diese Wichtun-
gen setzen sich jeweils wiederum aus einzelnen Wichtungen folgendermaßen zu-
sammen:
Für das Beispiel für qW des 17. Versuchs bei Lastschritt q ergibt sich
SD
17T TR
q 17SD
17
1 017 q
0 2
wW w w
w . (2.2)
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Bemerkungen zu Optimierungsalgorithmen
10
Hierbei ist Tw der Wichtungsvektor für die Wichtungen zwischen den Versuchen,
SDw der zum Versuch zugehörige Wichtungsvektor für die Wichtungen zwischen
den Dehnungen (falls mehrere gemessen/simuliert werden) und TRw der Wich-
tungsvektor mit einer Wichtung für jeden Lastschritt dieses Versuchs. Für die Si-
mulation der Dehnungsfelder ( )ijε κ , ( )klε κ und ( )vwε κ ist die Simulation span-
nungsgesteuert basierend auf den experimentell bestimmten Spannungen.
Aus der oben angegebenen Gleichung (2.1) für die Fehlerquadratsumme wird er-
sichtlich, dass die Wichtungen einerseits die Ergebnisse des zu ermittelnden Pa-
rametersatzes beeinflussen, da stärker gewichtete Lastschrittbereiche, Deh-
nungsrichtungen und Versuche in der Regel besser mit der Simulation überein-
stimmen werden. Andererseits wird aber auch die Höhe der Fehlerquadratsumme
hiervon beeinflusst. Somit sind die Werte für die Fehlerquadratsummen von Pa-
rameteridentifikationen mit unterschiedlichen Wichtungen nicht direkt sondern
nur unter Berücksichtigung der verwendeten Wichtungen vergleichbar.
________________________________________________________________
Bemerkung: Die genannten Wichtungen können in FEMCard Basic entweder au-
tomatisch berechnet oder vom Benutzer gewählt werden. Hierbei ist folgendes zu
beachten:
Die Wichtungen TRw für jeden Last- oder Zeitschritt des Versuchs lassen sich pro
Versuch innerhalb von sechs Lastschrittbereichen definieren. Die Bezeichnung in
FEMCard Basic lautet „Weights TR“. Nach Einlesen von Versuchsdaten werden
diese Wichtungen direkt von FEMCard Basic vorgeschlagen und können danach
vom Benutzer geändert werden.
Die Wichtungen SDw für die Wichtungen zwischen den Dehnungen haben in
FEMCard Basic die Bezeichnung „Weights SD“. Hat der Versuch zwei Dehnungs-
richtungen werden nach Einlesen von Versuchsdaten diese Wichtungen direkt
von FEMCard Basic vorgeschlagen und können danach vom Benutzer geändert
werden.
Die Wichtungen Tw für die Wichtungen zwischen den Versuchen haben in
FEMCard Basic die Bezeichnung „Weights T“. Wird mehr als ein Versuch eingele-
sen kann der Benutzer diese von FEMCard Basic vorschlagen lassen oder selbst
eingeben.
________________________________________________________________
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Bemerkungen zu Optimierungsalgorithmen
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2.3 Korrelationsmatrix
Während der Parameteridentifikation wird bei jedem Iterationsschritt die Korrela-
tionsmatrix K erstellt. Diese gibt die Abhängigkeiten der Parameter zueinander
an. Für die Einträge gilt 1 1abK . Je kleiner der Wert abK , desto geringer ist
die Korrelation zwischen den Parametern a und
b . Geht der Wert von abK ge-
gen 1, nimmt die Abhängigkeit zwischen den Parametern zu.
Werte von abK nahe bei 1 können ein Hinweis darauf sein, dass eine unzulängli-
che Menge an experimentellen Daten instabile oder uneindeutige Parameter-
schätzungen hervorrufen. Wenn die experimentellen Daten unvollständig sind,
können diese nicht die gesamte Bandbreite an vorgesehenen Modellfunktionen
abdecken (siehe Mahnken und Stein (1), Mahnken (2)).
________________________________________________________________
Bemerkung: Um diese Instabilität, die, wie oben genannt, aus Überparametrisie-
rung entstehen kann, zu umgehen, kann getestet werden, ob ein Parameter auf
einem sinnvollen Wert festgehalten werden kann. Weiterhin könnte ein anderes,
weniger Modellfunktionen abbildendes Materialmodell getestet werden.
________________________________________________________________
Sind die Parameterwerte weit entfernt von den optimalen Parametern, kann die-
ses ebenfalls zu Werten von abK nahe bei 1 führen. Als Beispiel wird der Materi-
alparameter für die Fließgrenze bei Plastizität angeführt: Liegt der Startparame-
ter für die Fließgrenze über dem Maximum der vorliegenden experimentell ge-
messenen Spannungen kann dieser Parameter nicht aktiviert werden.
2.4 Startparameter und Parametergrenzen
2.4.1 Allgemeine Anmerkungen
Die Minimierung der in Gleichung (2.1) dargestellten Fehlerquadratsumme erfolgt
über ein gradientenbasiertes deterministisches Optimierungsverfahren, welches
in der Regel lokale Minima der Fehlerquadratsumme ( )f κ findet, welche nicht mit
dem globalen Minimum übereinstimmen müssen.
Das oben genannte Optimierungsverfahren basiert auf dem Levenberg-Mar-
quardt-Verfahren, dessen Dämpfung mit dem Levenberg-Marquard-Faktor
(Dämpfungsfaktor) in FEMCard Basic gesteuert wird (siehe unten). Die Konver-
genzgeschwindigkeit ist ein Maß für die Abnahme der Fehlerquadratsumme wäh-
rend der Materialparameteroptimierung.
Die Materialparameter κ dürfen während der Iteration bestimmte obere und un-
tere Grenzen nicht über- bzw. unterschreiten. Diese werden einerseits durch den
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Bemerkungen zu Optimierungsalgorithmen
12
Benutzer bei der Eingabe der Startwerte für die Materialparameter festgelegt,
sind aber auch von verschiedenen Kriterien abhängig (z.B. zur Einhaltung der
Materialstabilität), welche FEMCard Basic während der Optimierung überprüft.
Hierzu werden von FEMCard Basic bei der Eingabe der Startparameter jeweils In-
formationsmeldungen ausgegeben.
________________________________________________________________
Bemerkung:
Da die Grenzen für die Materialparameter den Optimierungsalgorithmus nichtli-
near beeinflussen, haben sie hierüber einen Einfluss auf die Konvergenzge-
schwindigkeit. Wenn dies möglich ist, sollte deshalb die Wahl von Grenzen (und
Startparameter) in einer Größenordnung gemacht werden, in der der Parameter
wahrscheinlich liegen wird.
________________________________________________________________
2.4.2 Lösung und Konvergenz der Materialparameteroptimierung
Wie in Abschnitt 1.2 beschrieben stellt die Optimierung der Materialparameter
mathematisch betrachtet in der Regel ein schlecht gestelltes Problem dar. Dies
bedeutet, dass je nach vorliegendem Fall (Kombination von Messwerten und
Messrauschen und ausgewähltem Materialmodell) folgende Punkte vom Benutzer
geprüft werden sollten:
I. Existiert eine Lösung?
II. Ist die Lösung eindeutig?
III. Ist die Lösung stabil?
Zur Überprüfung dieser Punkte, und ganz allgemein zur Steigerung der Konver-
genzgeschwindigkeit des Optimierungsalgorithmus‘ sind u.a. folgende Verfah-
rensweisen hilfreich:
Testen mehrerer Startwerte und Vergleichen der Höhe der Fehlerquadrat-
summe für die unterschiedlichen Ergebnisse (zu: Ist die Lösung eindeu-
tig?)
Wenn möglich Wahl von Startparameter und Grenzen in einer Größenord-
nung, in der der Parameter wahrscheinlich liegen wird. (Bsp.: Identifika-
tion des E-Moduls für Stahl mit Grenzen von 60000 MPa bis 300000
MPa). (zu: Existiert eine Lösung?, Konvergenzgeschwindigkeit)
Verringerung des Levenberg-Marquard-Dämpfungsfaktors bei geringer
Konvergenzgeschwindigkeit mit gleichzeitig geringen Änderungen der
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Bemerkungen zu Optimierungsalgorithmen
13
Materialparameter zwischen den Optimierungsschritten. (zu: Konver-
genzgeschwindigkeit)
Erhöhung des Levenberg-Marquard-Dämpfungsfaktors bei starken
Schwankungen der Materialparameter zwischen den Optimierungsschrit-
ten. (zu: Existiert eine Lösung?)
Verringerung des Levenberg-Marquard-Dämpfungsfaktors bei Erreichen
eines (lokalen) Minimums (zu: Ist die Lösung stabil?)
2.4.3 Festhalten von Materialparametern
Werden Materialparameter während der Parameteridentifikation festgehalten
(siehe auch Unterabschnitt 5.1.5), muss je nach Materialgesetz folgendes beach-
tet werden:
In bestimmten Fällen können die festgehaltenen Materialparameter die für
das gewählte Materialgesetz vorliegende Materialparameter-Stabilitätsun-
tersuchung beeinflussen und somit den Raum der zulässigen Parameter-
Lösungen verringern.
Je nach Versuchstyp hat das Festhalten von bestimmten Materialparame-
tern bei bestimmten geometrisch linearen Materialgesetzen keinen Ein-
fluss auf die betrachteten simulierten Werte, während bei der geometrisch
nichtlinearen Variante dieses Materialmodells dieser Einfluss besteht (Bei-
spiel: bei geometrisch linearer von Mises Plastizität hat eine festgehaltene
Querkontraktionszahl im Zugversuch keinen Einfluss auf die axiale Deh-
nung in Lastrichtung).
Werden Parameter festgehalten (‚fixed‘), sind diese somit je nach Materialmodell
und zugehöriger Stabilitätsuntersuchung auf einen möglichst exakt das Material-
verhalten wiederspiegelnden Wert zu legen.
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Anmerkungen zur Kontinuumsmechanik
14
3 Anmerkungen zur Kontinuumsmechanik
3.1 Vorabbemerkungen
Die geometrisch lineare Theorie (‚kleine Deformationen‘) kann allgemein dann
angewendet werden, wenn die Deformationen klein im Vergleich zu den Dimensi-
onen des mechanisch belasteten Körpers sind. Dies bedeutet somit, dass die
Gleichgewichtsbedingungen für die undeformierte Geometrie des Körpers formu-
liert werden können. Bei Annahme kleiner Verzerrungen können in FEMCard Ba-
sic die 'SMALL strain'-Materialmodelle eingesetzt werden, für welche die geomet-
risch lineare Theorie gilt. Es soll hier noch bemerkt werden, dass unter der An-
nahme kleiner Verzerrungen die Unterschiede zwischen den verschiedenen Span-
nungs- und Dehnungsmaßen verschwinden.
Es bleibt dem Benutzer überlassen, zu entscheiden, ob die Verwendung der
'SMALL strain'-Materialmodelle für die durchzuführende Materialparameterermitt-
lung zulässig ist. Im Allgemeinen können jedoch Dehnungsbereiche, in welchen
die Unterschiede zwischen den jeweils für die geometrisch lineare und nichtline-
are Theorie berechneten Dehnungen und Spannungen vernachlässigbar sind, ge-
funden werden. Für das Beispiel eines uniaxialen Zugversuches mit homogenen
Verzerrungszustand können in vielen Fällen die 'SMALL strain'-Materialmodelle
bis zu einer axialen Dehnung von 5% verwendet werden.
Wenn allgemein Verschiebungen, Rotationen und/oder Verzerrungen eine ge-
wisse Größe überschreiten, muss die geometrische Nichtlinearität (‚finite Defor-
mationen‘) berücksichtigt werden. Dieses bedeutet, dass zwischen ursprüngli-
chen und deformierten Längen (und somit Querschnitten und Volumina) unter-
schieden werden muss und zusätzlich sich Richtungen (beispielweise der Lastauf-
bringung) während der Deformation ändern können. In FEMCard Basic können
für die Materialparameterermittlung bei großen Dehnungen die 'LARGE strain'-
Materialmodelle eingesetzt werden, welche die geometrisch nichtlineare Theorie
berücksichtigen.
In diesem Kapitel werden einige Bereiche der Kontinuumsmechanik angespro-
chen, welche die Grundlage für die in FEMCard Basic verwendeten Simulations-
und Messgrößen (wie Dehnungen und Spannungen) sind.
3.2 Bemerkungen zu Symbolen und Operatoren
3.2.1 Symbole und mathematische Operatoren
det Determinante von
dev Deviator von
ln Natürlicher Logarithmus von
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Anmerkungen zur Kontinuumsmechanik
15
sym Symmetrischer Anteil von
tr Spur von
X Materieller Gradient von
T
Transponierte von
Α B
a b dyadisches Produkt von Tensoren 2. und 1. Stufe
:Α B Skalarprodukt zweier Tensoren
Α‖ ‖ Euklidische Norm eines Tensors
3.2.2 Spezielle Tensoren 2. Stufe
3.2.2.1 Spur
tr :A A I (3.1)
3.2.2.2 Additive sphärisch-deviatorische Zerlegung eines Tensors 2. Stufe
Im 3 3 gilt
sph dev sph dev1 1; tr ; tr
3 3 A A A A A I A A A I (3.2)
3.2.2.3 Volumetrischer Tensor
Im 3 3 gilt
1
3vol det A A I (3.3)
3.2.2.4 Isochorer Tensor
Im 3 3 gilt
1
3iso det
A A A (3.4)
3.2.2.5 Multiplikative volumetrisch-isochore Zerlegung eines Tensors 2. Stufe
vol iso A A A (3.5)
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Anmerkungen zur Kontinuumsmechanik
16
3.3 Kinematik finiter Deformationen
Betrachtet wird eine Bewegung ,tx X eines Körpers in drei Dimensionen, so
dass ein materieller Punkt am Ort X in der materiellen Konfiguration 0 (Refe-
renzkonfiguration) die Position x in der räumlichen Konfiguration t (Momen-
tankonfiguration) zur Zeit t einnimmt. Der aktuelle Ort x des materiellen Punk-
tes ergibt sich aus dem Ort X und der Verschiebung u mit
x X u . (3.6)
Der Deformationsgradient der Bewegung ist definiert durch XF .
Die kinematische Grundlage einiger später betrachteten Materialmodelle (z.B.
Hyperelastizität) ist die multiplikative Zerlegung des Deformationsgradientens in
einen volumetrischen und einen isochoren Anteil
1/3 , detJ J F F F . (3.7)
Der Tensor F ist isochor ( 1/3det det 1J F F ), mit der Jacobideterminante J wird
die Volumenänderung während der Deformation beschrieben.
In der geometrisch nichtlinearen Kontinuumsmechanik sehr häufig verwendete
Verzerrungsmaße sind der Green-Lagrangesche Verzerrungstensor
TT T1 1
2 2 X X X XE u u u uF F Ι , (3.8)
der rechte Cauchy-Green-Tensor
T C F F (3.9)
sowie der linke Cauchy-Green-Tensor
T b F F . (3.10)
________________________________________________________________
Bemerkung: In der Regel werden im Folgenden für die Tensoren, welche auf die
Referenzkonfiguration bezogen sind, große Buchstaben verwendet. Für Tensoren,
die in der Momentankonfiguration liegen, werden i.d.R. kleine Buchstaben ver-
wendet.
________________________________________________________________
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Anmerkungen zur Kontinuumsmechanik
17
3.3.1 Eigenwerte und Eigenvektoren von Verzerrungstensoren
Die polare Zerlegung des Deformationsgradientens F in einen eigentlich ortho-
gonalen Rotationstensor R und die symmetrischen Strecktensoren U und v lie-
fert
F R U v R . (3.11)
Aufgrund der Orthogonalität von R erhält man für den rechten Cauchy-Green
Tensor
T 2 C F F U . (3.12)
Analog gilt für den linken Cauchy-Green Tensor
2 T b v F F . (3.13)
Der orthogonale und normierte Satz von Eigenvektoren aN̂ und seine zugehöri-
gen Eigenwerte a (a=1,2,3; keine Summation) werden eingeführt mit
a a aˆ ˆ U N N (3.14)
mit a 1N . Alle Eigenwerte a sind reell und positiv.
Das Eigenwertproblem für C lautet somit
2
a a aˆ ˆ C N N . (3.15)
Das Eigenwertproblem für b ergibt sich analog zu
2
a a aˆ ˆ
b R N R N . (3.16)
Es folgt, dass die Eigenrichtungen in der Referenzkonfiguration aN̂ auf die räum-
lichen Eigenrichtungen an̂ abgebildet werden via
a aˆˆ n R N (3.17)
mit aˆ 1n .
Die eingeführten symmetrischen Verzerrungstensoren können in ihren zugehöri-
gen Spektralzerlegungen dargestellt werden mit
3
2
a a a
a 1
ˆ ˆ
C N N , (3.18)
3
2
a a a
a 1
ˆ ˆ
b n n . (3.19)
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Anmerkungen zur Kontinuumsmechanik
18
Für die Strecktensoren gilt entsprechend
3
a a a
a 1
ˆ ˆ
U N N , (3.20)
3
a a a
a 1
ˆ ˆ
v n n . (3.21)
Die Eigenwerte a der Strecktensoren entsprechen den (Haupt-) Streckungen.
3.3.1.1 Logarithmische Verzerrungen
Der logarithmische Verzerrungstensor ist definiert als
3 3
2
a a a a a a
a 1
log
a 1
1 1ˆ ˆ ˆ ˆln ln ln ln
2 2
v n nε b n n . (3.22)
3.3.1.2 Nominelle Verzerrungen
Die nominellen Verzerrungen (oder auch Biotscher Verzerrungstensor) sind in der
räumlichen Konfiguration definiert als
3
a a a
nom
a 1
ˆ ˆ1
v Iε n n . (3.23)
Bemerkung: Die Eigenwerte von nomε betragen a 1 . Diese sind die Differenz
der Streckung a zum Zeitpunkt t und der Streckung “1“ zum Zeitpunkt 0 0t .
3.4 Kinematik kleiner Deformationen
Wird der Green-Lagrangesche Verzerrungstensor E additiv in einen linearen und
einen nichtlinearen Anteil der Verschiebungen u aufgeteilt mit
T T
lin nlin
1 1
2 2 X X X Xu u u uE E E (3.24)
gilt somit
T
lin
1
2
X Xu uE (3.25)
und
T
nlin
1
2
X XE u u . (3.26)
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Anmerkungen zur Kontinuumsmechanik
19
In der geometrisch linearen Theorie ('SMALL strain') werden kleine Verzerrungen
angenommen. Für 1X u wird der nichtlineare Anteil nlinE vernachlässigt und
der lineare Verzerrungstensor linE mit ε bezeichnet. Es gilt somit
T1
2 X Xε u u . (3.27)
3.5 Mechanische Spannungen
3.5.1 Vorabbemerkungen zu Spannungskomponenten
In FEMCard Basic wird für die Bezeichungen der Richtungen der Spannungskom-
ponenten die (ebenfalls in vielen FEM-Anwendungen gebräuchliche) Vorgehens-
weise verwendet (siehe Abbildung 1):
Erster Index: Richtung der Normalen
Zweiter Index: Richtung der Spannungskomponente.
Abbildung 1: Richtungen der Spannungskomponenten
3.5.2 Spannungen bei finiten Deformationen
Für die Transformation eines differentiellen (infinitesimalen) Flächenelementes
dA mit dem zugehörigen Flächennormalenvektor N von der Referenzkonfigura-
tion in die Momentankonfiguration (siehe Abbildung 2) gilt die Formel von NAN-
SON
-Tda J dAn F N (3.28)
yy
yz
yx
zy
zz
zx
xy
xz
xx
y
x
z
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Anmerkungen zur Kontinuumsmechanik
20
mit der in Gleichung (3.7) eingeführten Jacobideterminante.
Die Transformation eines differentiellen Volumenelementes dV von der Referenz-
in die Momentankonfiguration wird beschrieben durch
dv= J dV . (3.29)
Abbildung 2: Transformation eines differentiellen Flächen- und Volumenelementes, Spannungsvekto-ren in Referenz- und Momentankonfiguration.
Es wird das Vektorelement dAN in der Referenzkonfiguration betrachtet. Nach
der Deformation belegen die Materialpartikel dieses Flächenelementes das Vekto-
relement dan in der Momentankonfiguration. Weiterhin wird eine differentielle
Kraft df betrachtet, welche auf das Vektorelement dAN in der Referenzkonfigu-
ration und das Vektorelement dan in der Momentankonfiguration wirkt. Weiter-
hin gelte
d da dA q Qf . (3.30)
3.5.2.1 CAUCHYsche (wahre) Spannungen
Der Vektor q aus Gleichung (3.30) wird als Cauchy Spannungsvektor bezeichnet.
Der Cauchy Spannungstensor trueσ wird berechnet mit
true q σ n . (3.31)
Der Tensor trueσ ist ein Maß für die auf ein deformiertes Element in der Momen-
tankonfiguration wirkende Kraft und wird somit auch als wahrer Spannungsten-
sor bezeichnet.
Q
N
n q
da
dv
, Zeitt t0,Zeit 00 t
dV
dA
,F
Referenzkonfiguration Momentankonfiguration
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Anmerkungen zur Kontinuumsmechanik
21
3.5.2.2 ERSTE PIOLA-KIRCHHOFFsche (nominelle) Spannungen
Der Vektor Q aus Gleichung (3.30) wird als erster Piola-Kirchhoff Spannungsvek-
tor bezeichnet.
Der 1. Piola-Kirchhoffsche Spannungstensor P wird berechnet mit
Q P N . (3.32)
Der Tensor P ist ein Maß für die auf ein undeformiertes Element in der Referenz-
konfiguration wirkende Kraft. Für den nominellen Spannungstensor T gilt TT P .
Der 1. Piola-Kirchhoffsche Spannungstensor bzw. der nominellen Spannungsten-
sor lassen sich aus dem Cauchy Spannungstensor berechnen mit
true -T
-1 true
J
J
P σ F
T F σ . (3.33)
3.5.3 Spannungen bei kleinen Deformationen
Wenn nur kleine Unterschiede zwischen den materiellen und räumlichen Koordi-
naten eines Materialpunktes im Kontinuum vorliegen, kann (s.a. Abschnitte 3.1
und 3.4) die geometrisch lineare Theorie verwendet werden.
Bei den 'SMALL strain'-Materialmodellen in FEMCard Basic sind die simulierten
(technischen) Spannungen σ bezogen auf die linearisierten infinitesimalen Ver-
zerrungen aus Gleichung (3.27).
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Korrespondierende Mess- und Simulationsdaten
22
4 Korrespondierende Mess- und Simulationsdaten
________________________________________________________________
Vorabbemerkung: In FEMCard Basic werden für die Ein- und Ausgaben für die
Dehnungen NICHT Prozentangaben verwendet.
________________________________________________________________
4.1 Korrespondierende Mess- und Simulationsdaten für
'SMALL strain'-Materialmodelle
In FEMCard Basic werden für die 'SMALL strain'-Materialmodelle durchweg Inge-
nieurdehnungen verwendet. Diese sind die technischen Dehnungen in Richtung
der Koordinatenachsen xx , yy und zz sowie die technischen Scherdehnungen
xy xy yx xy2 (4.1)
xz xz zx xz2 (4.2)
yz yz zy yz2 (4.3)
(siehe auch Gleichung (3.27)). Unter der Annahme kleiner Dehnungen ver-
schwinden die Unterschiede zwischen den verschiedenen Spannungs- und Deh-
nungsmaßen. Somit können in der FEMCard Basic Versuchseingabe für die Ver-
suchstypen 'SMALL strain' entweder
- nominelle Spannungen und technische Dehnungen (Ingenieurdehnun-
gen)
oder auch
- True (Cauchy) Spannungen und logarithmische Dehnungen
angegeben werden (siehe auch Tabelle 2). Werden im Zusammenhang mit einem
'SMALL strain'-Materialmodell diese Daten für eine Identifikation verwendet, so
werden diese Daten direkt mit den simulierten Daten verglichen, welche unter
der Voraussetzung kleiner Verzerrungen (geometrisch lineare Theorie (siehe Ab-
schnitt 3.4)) berechnet wurden. Es bleibt dem Benutzer überlassen, geeignete
Messdaten in geeigneten Dehnungsbereichen einzufügen. Als Empfehlung wird
jedoch gegeben, Dehnungsbereiche von unter 0.05 (entsprechend 5%) zu ver-
wenden.
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Korrespondierende Mess- und Simulationsdaten
23
Tabelle 2: Auszug der ASCII-Bezeichnungen und Symbole für die Ein- und Ausgabe von Spannungen und Dehnungen für die 'SMALL strain'-Materialmodelle in FEMCard Basic
ASCII-Bezeichnung Symbol(e)
sig_xx
normal stress in x direction
xx
sig_xy
shear stress in the x-y plane
xy
eps_xx
normal strain in x direction
xx
gam_xy
engineering shear strain in the x-y plane
xy
4.2 Korrespondierende Mess- und Simulationsdaten für 'LARGE strain'-Materialmodelle
In FEMCard Basic werden für die 'LARGE strain'-Materialmodelle entweder loga-
rithmische oder nominelle Dehnungen (siehe auch Abschnitte 3.3.1.1 und
3.3.1.2) verwendet.
Werden die für die Versuchstypen ‘SMALL strain’ eingegebenen Messwerte inner-
halb eines Materialmodelles für 'LARGE strain' verwendet, so werden diese Daten
direkt mit den simulierten Daten verglichen, welche unter Anwendung der geo-
metrisch nichtlinearen Theorie berechnet wurden. Hat das Materialmodell den
Vermerk ‚MEAS=true‘, sind dieses wahre (Cauchy) Spannungen und logarithmi-
sche Dehnungen. Hat das Materialmodell den Vermerk ‚MEAS=nom‘, sind dieses
nominelle Spannungen und Dehnungen.
4.2.1 Wahre (Cauchy) Spannungen und logarithmische Dehnungen
(MEAS=true)
Für die ‘large strain‘ Materialmodelle mit Vermerk ‚MEAS=true‘ werden als eige-
gebene Messdaten und ausgegebene Simulationsdaten wahre (Cauchy) Span-
nungen (siehe Gleichung (3.31)) und logarithmische Dehnungen verwendet.
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Korrespondierende Mess- und Simulationsdaten
24
Die logarithmischen Dehnungen le in FEMCard Basic berechnen sich hierbei zu
(siehe auch Gleichung (3.22))
x
o
xx
l g
xle (4.4)
y
o
yy
l g
yle (4.5)
z
o
zz
l g
zle (4.6)
________________________________________________________________
Bemerkungen:
B1: Es gilt, dass bei kleinen Dehnungen die Unterschiede zwischen den ver-
schiedenen Spannungs- und Dehnungsmaßen verschwinden und somit für
kleine Dehnungen die in FEMCard Basic verwendeten logarithmischen Deh-
nungen le näherungsweise mit den Ingenieurdehnungen übereinstimmen.
B2: In Abschnitt 5.4.2 wird auf den einfachen Schubversuch bei großen Deh-
nungen gesondert eingegangen. Für eine bessere Benutzerfreundlichkeit
wird bei dieser Versuchsart auch für 'LARGE strain'-Materialmodelle immer
die Ingenieurdehnung und Spannung für die Messdateneingabe verwendet
und in FEMCard Basic unter Berücksichtigung der geometrisch nichtlinea-
ren Theorie verarbeitet.
________________________________________________________________
Tabelle 3 zeigt einen Auszug der ASCII-Bezeichnungen und Symbole für die Ein-
und Ausgabe von Cauchy-Spannungen und logarithmischen Dehnungen für die
'LARGE strain' Materialmodelle in FEMCard Basic.
Tabelle 3: Auszug der ASCII-Bezeichnungen und Symbole für die Ein- und Ausgabe von Cauchy-Spannungen und logarithmischen Dehnungen für die ‘large strain‘ Materialmodelle in FEMCard Basic
ASCII-Bezeichnung Symbol(e)
sig_xx_true
Cauchy (true) normal stress in x direction
true
xx
le_xx
logarithmic normal strain in x direction
xxle
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Korrespondierende Mess- und Simulationsdaten
25
4.2.2 Nominelle Spannungen und Dehnungen (MEAS=nom)
Für die 'LARGE strain'-Materialmodelle mit Vermerk ‚MEAS=nom‘ werden als ei-
gegebene Messdaten und ausgegebene Simulationsdaten nominelle Spannungen
(siehe Gleichung (3.32)) und nominelle Dehnungen verwendet.
Die nominellen Dehnungen NE in FEMCard Basic berechnen sich hierbei zu (siehe
auch Gleichung (3.23))
nom
xx xxNE (4.7)
y
o
yy
n m
yNE (4.8)
Tabelle 4 zeigt einen Auszug der ASCII-Bezeichnungen und Symbole für die Ein-
und Ausgabe von nominellen Spannungen und nominellen Dehnungen für die
'LARGE strain'-Materialmodelle in FEMCard Basic.
Tabelle 4: Auszug der ASCII-Bezeichnungen und Symbole für die Ein- und Ausgabe von nominellen Spannungen und nominellen Dehnungen für die 'LARGE strain'-Materialmodelle in FEMCard Basic
ASCII-Bezeichnung Symbol(e)
T_xx
nominal normal stress in x direction
xxT
NE_xx
nominal normal strain in x direction
xxNE
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Versuchstypen für die Materialparameterermittlung
26
5 Versuchstypen für die Materialparameterer-
mittlung
5.1 Allgemeine Anmerkungen
5.1.1 Homogene Verzerrungs- bzw. Spannungszustände
In FEMCard Basic werden die Simulationen von uniaxialen Zug- bzw. Druckversu-
chen, Biaxialversuchen und Schubversuchen jeweils für homogene Spannungs-
bzw. Verzerrungszustände durchgeführt. FEMCard Basic vergleicht – wie in Ab-
schnitt 2.2 beschrieben - die simulierten Daten mit den gemessenen Daten in-
nerhalb einer Fehlerquadratsumme. Es ist somit notwendig, Versuchsdaten be-
reitzustellen, welche (möglichst) ebenfalls die Bedingungen von homogenen Ver-
zerrungszuständen erfüllen.
In wie weit diese Voraussetzung gegeben ist, liegt unter anderem an dem unter-
suchten Material, dem Versuchsaufbau, der Probekörpergeometrie und dem be-
trachteten Bereich für die Dehnungsmessung.
Sollten in Zugversuchen Einschnürungen bzw. in Druckversuchen Knickung oder
Ausbauchen ab einem gewissen Lastniveau auftreten, ist je nach Ausprägung ein
geeignetes Verfahren (messtechnisch oder mathematisch) anzuwenden, damit
die Messdaten der oben genannten Voraussetzung von homogenen Verzerrungs-
zuständen gerecht werden. Mathematische Verfahren zur Berücksichtigung von
inhomogenen Verformungszuständen bei der Materialparameterermittlung sind
beispielsweise in Mahnken und Stein (1), Mahnken (2) oder Bosseler und Kleuter
(3) beschrieben. Es liegt in der Verantwortung des Benutzers, geeignete Messda-
ten, welche die o.g. Bedingungen erfüllen, für die jeweiligen Materialparameter-
ermittlungen zu verwenden.
Bemerkung: Massenträgheitseffekte werden in FEMCard Basic nicht berücksich-
tigt.
5.1.2 Versuchsbezeichnungen
Vorab sollen hier noch einige Begriffe, welche in FEMCard Basic zur Kurzbeschrei-
bung der Versuchstypen verwendet werden, angesprochen werden.
‚Isotropic‘ gilt für isotrope Materialien (‘ISOTR‘), für welche die mechanischen
Eigenschaften in alle Richtungen identisch sind.
‚Anisotropic‘ gilt allgemein für Materialien, auf die ‚Isotropic‘ nicht zutrifft, z.B.
transversale Orthotropie (‘TRANSV_ISOTR‘) oder Orthotropie
(‘ORTHO‘).
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Versuchstypen für die Materialparameterermittlung
27
‚Static‘ bedeutet, dass die zur Belastung zugehörige Zeit nicht in FEMCard
Basic eigegeben und im später gewählten Materialmodell nicht be-
rücksichtigt wird.
‚Visco‘ bedeutet, dass die zur Belastung zugehörige Zeit in FEMCard Basic
eigegeben wird und dass im später gewählten Materialmodell das
zeitabhängige Materialverhalten berücksichtigt wird.
________________________________________________________________
Bemerkung:
In der Auswahl der Materialmodelle wird der Ausdruck ‚incompressible‘ für in-
kompressible Materialien verwendet, bei denen keine Volumenänderung während
der Deformation auftritt.
________________________________________________________________
5.1.3 Messdaten bei Versuchsbeginn
Bei quasistatischen Versuchen ist die erste Zeile mit Messwerten wahlweise die
Spannung 0 oder ungleich 0. Ist sie ungleich 0, so startet die Simulation in der
Identifikation trotzdem bei der Spannung 0 (spannungsfrei zu Versuchsbeginn).
Bei zeitabhängigen Versuchen darf der Zeitpunkt für die erste Zeile größer als 0
sein. Die Simulation in der Identifikation startet dann bei der Spannung 0 zum
Zeitpunkt t=0 (spannungsfrei zu Versuchsbeginn). Ist der Zeitpunkt für die erste
Zeile gleich 0, so müssen ebenfalls die Spannungen zu diesem Zeitpunkt 0 sein
(spannungsfrei zu Versuchsbeginn).
5.1.4 Anzahl an Last- oder Zeitschritten
Die Berechnungsdauer in FEMCard Basic nimmt mit zunehmender Anzahl an
Last- oder Zeitschritten zu. Je nach Nichtlinearität der Messdaten und vorliegen-
der Anzahl an Last- oder Zeitschritten sollte deshalb gegebenenfalls vor dem Ein-
lesen in FEMCard Basic eine Reduktion Last- oder Zeitschritte durchgeführt wer-
den.
Es ist jedoch zu beachten, dass zu wenige Lastschritte zum Iterationsabbruch bei
der Parameteridentifikation führen können. Eine allgemeingültige Mindestanzahl
an Last- oder Zeitschritten kann jedoch nicht genannt werden. Bei nichtlinearen
Materialmodellen ist aber in vielen Fällen eine Anzahl von 100 eingelesenen Last-
schritten zu gering und führt zum Abbruch der Iteration.
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Versuchstypen für die Materialparameterermittlung
28
5.1.5 Auswahl der Versuchstypen in Abhängigkeit vom Materialmodell
FEMCard Basic führt eine automatische Überprüfung durch, ob ein Versuchstyp
für das gewählte Materialmodell zulässig ist.
Abhängig von den eingelesenen Versuchen trifft FEMCard Basic eine Auswahl von
Modellparametern, die während der Materialparameterermittlung (Iteration)
identifiziert werden (‘active‘). Die anderen Parameter werden während der Itera-
tion auf dem vom Benutzer gewählten Wert (Startparameter) festgehalten (‘fi-
xed‘). Diese Auswahl von freien und festgehaltenen Parametern kann vom Be-
nutzer geändert werden.
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Versuchstypen für die Materialparameterermittlung
29
5.2 Versuchstyp ‚Uniaxial‘: Uniaxialer Zug- und/oder Druck-
versuch
Die übliche Vorgehensweise bei der Auswertung von uniaxialen Zug- und Druck-
versuchen ist die Messung der Dehnungen auf einem Bereich des Probekörpers,
in welchem (annähernd) ein homogener Verzerrungszustand vorliegt.
Ein uniaxialer Deformationszustand ist in Abbildung 3 beispielhaft dargestellt. Für
den homogenen Verzerrungszustand unter uniaxialem Zug (oder Druck) gilt,
dass die Eigenrichtungen der Referenzkonfiguration und der Momentankonfigura-
tion übereinstimmen, es gilt somit (siehe auch Gleichungen (3.20) und (3.21))
a aˆ ˆN n . (5.1)
Der lineare Verzerrungstensor ε (siehe Gleichung (3.27)) und die nominellen
Verzerrungen (siehe Gleichung (3.23)) stimmen für die uniaxiale Belastung über-
ein, es gilt somit
nomε ε (5.2)
mit
xx
ij yy
zz
0 0
0 0
0 0
(5.3)
Die logarithmischen Verzerrungen berechnen sich zu (siehe auch Gleichung
(3.22))
3
a 1
log nom
xx xxln 1
(5.4)
3
a 1
log nom
yy yyln 1
(5.5)
3
a 1
log nom
zzln 1zz
(5.6)
Anmerkungen:
Für den Fall einer uniaxialen Belastung in x-Richtung und den Fall eine isotropen
Materials gilt nom nom
yy zz bzw. log log
yy zz .
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Versuchstypen für die Materialparameterermittlung
30
Für den Fall einer uniaxialen Belastung in x-Richtung und der Fall eines isotropen
und inkompressiblen Materials gelten
nom nom
yy zznom
xx
11
1
(5.7)
sowie
log log log
yy zz xx
1
2 . (5.8)
5.2.1.1 Beispiel: Spannungen am rechteckigen Körper bei uniaxialer Belastung in
x-Richtung
Für den in Abbildung 3 dargestellten Körper im uniaxialen Zug- oder Druckver-
such in x-Richtung mit der aufgebrachten Kraft xf sollen die wahren (Cauchy-)
Spannungen berechnet werden.
Abbildung 3: Uniaxialer Zug
Der Querschnitt des unbelasteten Körpers (in der Referenzkonfiguration) mit der
Flächennormalen in x-Richtung sei 0A . Die technische Spannung xx (siehe Ab-
schnitt 3.5.3) und die nominelle Spannung nom
xx (siehe auch Gleichung (3.33))
ergeben
nom
xx xx
0x
f
A . (5.9)
In die anderen Richtungen ist der Körper spannungsfrei, es gilt somit
x
yz
xx
xx
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Versuchstypen für die Materialparameterermittlung
31
nom
xx
nom
ij
0 0
0 0 0
0 0 0
. (5.10)
Für die wahren (Cauchy-) Spannungen (siehe auch Gleichung (3.31)) gilt
x
nom nom 0 nom nom
yy zz
true xxxx
yy zz
f
(1+ )(1+ ) A (1+ )(1+ )
nom
(5.11)
bzw. bei isotropem Materialverhalten
x
nom
t
2
ru
0 nom 2
yy y
e xx
y
xx
f
(1+ ) A (1+ )
nom
(5.12)
Ist das Materialverhalten inkompressibel gilt allgemein unter uniaxialer Belastung
in x-Richtung
true
xx x
nom
x xx(1+ )nom . (5.13)
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Versuchstypen für die Materialparameterermittlung
32
5.3 Versuchstyp ‚Biaxial‘: Biaxialversuch
Vorabbemerkung: In FEMCard Basic können Biaxialversuche mit unterschiedli-
chen Lasten in beide belasteten Richtungen ausgewertet werden. Es kann bei-
spielweise auch eine Richtung unter Zug und die andere Richtung unter Druck
belastet werden. Es besteht somit keine Beschränkung auf Äquibiaxialversuche.
Die übliche Vorgehensweise bei der Auswertung von Biaxialversuchen ist die
Messung der Dehnungen auf einem Bereich des Probekörpers, in welchem (annä-
hernd) ein homogener Verzerrungszustand vorliegt.
Ein biaxialer Deformationszustand ist in Abbildung 4 beispielhaft dargestellt. Für
den homogenen Verzerrungszustand unter biaxialer Belastung gilt, dass die Ei-
genrichtungen der Referenzkonfiguration und der Momentankonfiguration über-
einstimmen, es gilt somit (siehe auch Gleichungen (3.20) und (3.21))
a aˆ ˆN n . (5.14)
Der lineare Verzerrungstensor ε (siehe Gleichung (3.27)) und die nominellen
Verzerrungen (siehe Gleichung (3.23)) stimmen für die biaxiale Belastung über-
ein, es gilt somit
nomε ε (5.15)
mit
xx
ij yy
zz
0 0
0 0
0 0
(5.16)
Die logarithmischen Verzerrungen berechnen sich zu (siehe auch Gleichung
(3.22))
3
a 1
log nom
xx xxln 1
(5.17)
3
a 1
log nom
yy yyln 1
(5.18)
3
a 1
log nom
zzln 1zz
(5.19)
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Versuchstypen für die Materialparameterermittlung
33
5.3.1.1 Beispiel: Spannungen am rechteckigen Körper im Biaxialversuch in x-
und y-Richtung
Für den in Abbildung 3 dargestellten rechteckigen Körper im biaxialen Zugver-
such in x- und y-Richtung mit den aufgebrachten Kräften xf und yf sollen die
wahren (Cauchy-) Spannungen berechnet werden.
Abbildung 4: Biaxiale Belastung
Der Querschnitte des unbelasteten Körpers (in der Referenzkonfiguration) mit
der Flächennormalen in x- und y-Richtung seien 0
xA und 0
yA . Die technischen
Spannungen xx und yy (siehe Abschnitt 3.5.3) und die nominellen Spannungen
nom
xx und nom
yy (siehe auch Gleichung (3.33)) ergeben
nom
xx xx
0
x
x
f
A (5.20)
sowie
nom
yy y
y
0
y
y
f
A (5.21)
x
yz
xx
xx
yy
yy
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Versuchstypen für die Materialparameterermittlung
34
In die anderen Richtungen ist der Körper spannungsfrei, es gilt somit
nom
xx
nom nom
ij yy
0 0
0 0
0 0 0
. (5.22)
Für die wahren (Cauchy-) Spannungen (siehe auch Gleichung (3.31)) gilt
x
nom nom
t
0 nom nom
yy zz x y
rue xxx
y zz
x
f
(1+ )(1+ ) A (1+ )(1+ )
nom
(5.23)
sowie
y
nom nom
yytrue
yy 0 nom nom
xx zz y xx zz
f
(1+ )(1+ ) A (1+ )(1+ )
nom
. (5.24)
Ist das Materialverhalten inkompressibel gelten allgemein unter biaxialer Belas-
tung in x- und y-Richtung
true
xx x
nom
x xx(1+ )nom (5.25)
sowie
true
yy y
nom
y yy(1+ )nom . (5.26)
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Versuchstypen für die Materialparameterermittlung
35
5.4 Versuchstyp ‚Shear‘ bzw. ‚Simple Shear‘: Einfacher Schub
In FEMCard Basic werden bei den Versuchstypen
‘SMALL strain | SHEAR‘ und ‘LARGE strain | SIMPLE SHEAR‘
die simulierten Daten mit den gemessenen Daten für den Versuch des einfachen
Schubs verglichen. Hierbei wird – wie für alle Versuchtypen in FEMCard Basic –
ein homogener Verzerrungszustand simuliert. Es ist somit notwendig, Versuchs-
daten für den einfachen Schub bereitzustellen, welche (möglichst) ebenfalls die
Bedingungen von homogenen Verzerrungszuständen erfüllen.
Ein Deformationszustand des einfachen Schubs mit homogenem Verzerrungszu-
stand ist in Abbildung 5 beispielhaft dargestellt. Die gegenüberliegenden Flächen
bleiben während der Deformation eben und parallel zueinander. In vielen Fällen
lässt sich die Voraussetzung des homogenen einfachen Schubs in experimentel-
len Versuchen nur für kleine Verformungen realisieren.
Abbildung 5: Einfache Scherung
Für das in Abbildung 5 gezeigte Beispiel berechnet sich die Schubverzerrung
(bzw. technische Scherdehnung) xy aus der Auslenkung Δx bzw. dem Winkel
zu
xy
y
Δxtan
L (5.27)
Der Deformationsgradient lautet somit
xy1 0
0 1 0
0 0 1
F
(5.28)
y
x
x
xL
yL
yyxy
xx
f
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Versuchstypen für die Materialparameterermittlung
36
Es ist zu bemerken, dass die Verformung beim einfachen Schub bei konstantem
Volumen verläuft (isochor) und somit det 1J F gilt.
Der Green-Lagrangesche Verzerrungstensor (siehe auch Gleichung (3.8)) berech-
net sich für das o.g. Beispiel zu
xy
T 2
xy xy
0 01 1
20
0 02
0
E F F Ι
. (5.29)
5.4.1 Versuchstyp ‚Shear‘ bei 'SMALL strain'-Materialmodellen
Für kleine Verzerrungen gilt xy 1 und folglich 2
xy xy . Der lineare Verzer-
rungstensor ε (siehe Gleichungen (3.25) und (3.27)) ergibt somit für das in Ab-
bildung 5 dargestellte Beispiel
xy
lin x
xy
yy x
0 0 0 0
0 0 01
20
0 0 0 0 0 0
Eε
. (5.30)
Wie in Abschnitt 4.1 beschrieben werden in FEMCard Basic für die 'SMALL strain'-
Materialmodelle durchweg Ingenieurdehnungen verwendet. Für die einzulesen-
den experimentellen und für die simulierten Dehnungen werden somit die die
technischen Scherdehnungen verwendet (engineering shear strain) für die für
das oben genannte Beispiel gilt
xy xy2 . (5.31)
Der Querschnitt des in Abbildung 5 dargestellten Körpers mit der Flächennorma-
len in y-Richtung sei 0
yA . Die technische Spannung xy (siehe Abschnitt 3.5.3)
ergibt
0xy
f
A . (5.32)
Unter der Voraussetzung kleiner Verzerrungen (geometrisch lineare Theorie) ist
der Körper in die anderen Richtungen spannungsfrei, es gilt somit
xy
ij xy
0 0
0 0
0 0 0
. (5.33)
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Versuchstypen für die Materialparameterermittlung
37
5.4.2 Versuchstyp ‚Simple Shear‘ bei 'LARGE strain'-Materialmodellen
Die 'LARGE strain'-Materialmodelle in FEMCard Basic, für welche der Versuchstyp
‚Simple Shear‘ verfügbar ist, sind die HILL (Visco-) Plastizitätsmodelle; für die
Versuchstypen ‚Uniaxial‘ und ‚Biaxial‘ sind für diese Materialmodelle als Deh-
nungsmesswerte die logarithmischen Dehnungen (siehe Abschnitt 4.2.1 und Glei-
chungen (4.4)-(4.6)) und die wahren Spannungen einzugeben. Für den Ver-
suchstyp ‚Simple Shear‘ wird für eine bessere Benutzerfreundlichkeit auch für
diese 'LARGE strain'-Materialmodelle immer die Ingenieurdehnung und -span-
nung für die Messdateneingabe verwendet und in FEMCard Basic unter Berück-
sichtigung der geometrisch nichtlinearen Theorie verarbeitet.
Es werden hier somit dieselben Messwerttypen wie für den Versuchstyp ‚Shear‘
bei 'SMALL strain'-Materialmodellen verwendet. Der Vollständigkeit halber wer-
den diese im Folgenden noch einmal aufgeführt:
Für die einzulesenden experimentellen und für die simulierten Dehnungen wer-
den die die technischen Scherdehnungen xy verwendet (engineering shear
strain) entsprechend Gleichung (5.27) verwendet.
Der Querschnitt des in Abbildung 5 dargestellten Körpers mit der Flächennorma-
len in y-Richtung sei 0
yA . Die technische Spannung xy (engineering stress)
ergibt
0xy
f
A . (5.34)
________________________________________________________________
Anmerkungen:
Wie oben beschrieben wird für den Versuchstyp ‚Simple Shear‘ bei 'LARGE
strain'-Materialmodellen die geometrisch nichtlinearen Theorie berücksichtigt.
Somit wird u.a. berücksichtigt,
dass für den homogenen Verzerrungszustand unter einfachen Schub bei
großen Dehnungen gilt, dass die Eigenrichtungen der Referenzkonfigura-
tion und der Momentankonfiguration nicht übereinstimmen und somit
a aˆ ˆN n gilt (siehe auch Gleichungen (3.20) und (3.21))
dass der Körper unter einfachem Schub bei großen Dehnungen in den Nor-
malspannungen nicht spannungsfrei ist und sich i.d.R. diese Normalspan-
nungen in der Größe unterscheiden (Poynting-Effekt).
________________________________________________________________
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Versuchstypen für die Materialparameterermittlung
38
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Materialmodelle
39
6 Materialmodelle
6.1 Lineare Elastizität (Small Strain) ..................................................... 40
6.2 Hyperelastizät ............................................................................... 51
6.3 Von Mises (Visko-) Plastizität .......................................................... 65
6.4 Ramberg-Osgood (Deformation Plasticity) ........................................ 89
6.5 Hill- (Visko-) Plastizität .................................................................. 93
6.6 Viskoelastizität .............................................................................108
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Materialmodelle
40
6.1 Lineare Elastizität (Small Strain)
6.1.1 1D/3D SMALL strain ELASTICITY
6.1.2 SMALL strain orthotropic ELASTICITY
6.1.3 SMALL strain transversely isotropic ELASTICITY, rotat. symm.: X
6.1.4 SMALL strain transversely isotropic ELASTICITY, rotat. symm.: Y
6.1.5 SMALL strain transversely isotropic ELASTICITY, rotat. symm.: Z
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Materialmodelle
41
6.1.1 1D/3D SMALL strain ELASTICITY
ELASTICITY → ISOTROPIC → SMALL STRAIN
6.1.1.1 Isotropes lineares Elastizitätsgesetz
Die Spannungs-Dehnungs-Beziehung
1 ε D σ (6.1)
mit dem Elastizitätstensor D lautet in Voigtscher Notation
xx xx
yy yy
zz
xy xy
xz xz
yz yz
1 E E E 0 0 0
E 1 E E 0 0 0
E E 1 E 0 0 0
0 0 0 2 1 E 0 0
0 0 0 0 2 1 E 0
0 0 0 0 0 2 1 E
zz
(6.2)
6.1.1.2 Materialparametersatz
Die Materialparameter und Bezeichnungen in der FEMCard Basic Benutzeroberflä-
che lauten (siehe Tabelle 5):
Tabelle 5: Materialparameter für isotrope lineare Elastizität
ASCII-Bezeichnung Weitere optionale Bez.
Symbole
E Young's modulus
E
PR Poisson's ratio
Die Kriterien E>0 und 0 0.5 werden in FEMCard Basic bei der Startparame-
tereingabe und während der Parameteridentifikation überprüft und ggf. korri-
giert.
________________________________________________________________
Bemerkung: Bei der 1D Formulierung des Materialmodelles entfällt die Poisson-
zahl als Materialparameter.
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Materialmodelle
42
6.1.2 SMALL strain orthotropic ELASTICITY
ELASTICITY → ISOTROPIC → SMALL STRAIN
6.1.2.1 Orthotropes lineares Elastizitätsgesetz
Orthotrope Materialien besitzen eine Materialsymmetrie bzgl. drei senkrecht auf-
einander stehenden Ebenen und 9 unabhängige elastische Konstanten. Diese
sind
die drei Elastizitätsmoduln in jede der drei Materialeigenrichtungen
drei Querkontraktionszahlen, die die Kopplung zwischen den axialen und
transversalen Dehnungen beschreiben und
drei Schubmoduln, welche das Verhältnis zwischen den drei Modi von
Schubspannungen und –dehnungen beschreiben.
Die Spannungs-Dehnungs-Beziehung
1 ε D σ (6.3)
mit dem Elastizitätstensor D lautet in Voigtscher Notation
x yx y zx z
xy x y zy z
xz x yz y z
xy
xx xx
yy yy
zz
xy xy
xz xz
yz
xz
y yz z
1 E E E 0 0 0
E 1 E E 0 0 0
E E 1 E 0 0 0
0 0 0 1 G 0 0
0 0 0 0 1 G 0
0 0 0 0 0 1 G
zz
(6.4)
6.1.2.2 Materialparametersatz
Die Materialparameter und Bezeichnungen in der FEMCard Basic Benutzeroberflä-
che lauten (siehe Tabelle 6):
Tabelle 6: Materialparameter für orthotrope lineare Elastizität
ASCII-Bezeichnung Weitere optionale Bez.
Symbole
E_x Young's modulus along axis X
xE
E_y Young's modulus along axis Y
yE
E_z Young's modulus along axis Z
zE
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Materialmodelle
43
nu_xy Poisson's ratio nu_xy
xy
nu_xz Poisson's ratio nu_xz
xz
nu_yz Poisson's ratio nu_yz
yz
G_xy shear modulus G_xy
xyG
G_xz shear modulus G_xz
xzG
G_yz shear modulus G_yz
yzG
Die Kriterien für die Materialstabilität lauten
x y z xy xz yzE ,E ,E ,G ,G ,G 0 (6.5)
xy x yE E (6.6)
xz x zE E (6.7)
yz y zE E (6.8)
y2 2 2 z z
xy yz xz xy yz xz
x y x
z
x
E E E E1 2
E E E E (6.9)
Die Kriterien der Gleichungen (6.5)-(6.9) werden in FEMCard Basic bei der Start-
parametereingabe und während der Parameteridentifikation überprüft und ggf.
korrigiert.
________________________________________________________________
Bemerkungen:
B1: Für
y2 2 2 z z
xy yz xz xy yz xzz
x y x x
E E E E2 0
E E E E (6.10)
ist das Materialverhalten inkompressibel.
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Materialmodelle
44
B2: Aus den in Tabelle 6 aufgeführten (und von FEMCard Basic verwendeten) 9
unabhängigen elastischen Konstanten lassen sich die (von verschiedenen
Finite-Elemente-Softwares verwendeten) weiteren elastischen Konstanten
berechnen:
a) Aufgrund der Symmetrie von D (siehe Gleichung (6.3)) gilt:
y z z
yx xy zx xz zy yz
x x y
E E E, ,
E E E (6.11)
b) Weiterhin gilt:
yx xy zx xz zy yzG G , G G , G G (6.12)
________________________________________________________________
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Materialmodelle
45
6.1.3 SMALL strain transversely isotropic ELASTICITY, rotat. symm.: X
ELASTICITY → TRANSVERSELY ISOTROPIC → SMALL STRAIN → ROTATIONAL SYMMETRY: X
Die Transversale Isotropie ist ein Sonderfall der Orthotropie (siehe Abschnitt
6.1.2). Es gelten die in Gleichung (6.4) dargestellte Spannungs-Dehnungs-Bezie-
hung sowie die in Gleichungen (6.5)-(6.9) aufgezeigten Kriterien für die Material-
stabilität. Zusätzlich gilt für die transversale Isotropie mit der Vorzugsrichtung X
z yE E (6.13)
xz xy (6.14)
y
yz
yz
EG
2 1
(6.15)
xz xyG G (6.16)
6.1.3.1 Materialparametersatz
Die Materialparameter und Bezeichnungen in der FEMCard Basic Benutzeroberflä-
che lauten (siehe Tabelle 7):
Tabelle 7: Materialparameter für transversale Isotropie mit Vorzugsrichtung X
ASCII-Bezeichnung Weitere optionale Bez.
Symbole
E_x Young's modulus along axis X
xE
E_y Young's modulus along axis Y
yE
nu_xy Poisson's ratio nu_xy
xy
nu_yz Poisson's ratio nu_yz
yz
G_xy shear modulus G_xy
xyG
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Materialmodelle
46
________________________________________________________________
Bemerkungen:
B1: Die Kriterien der Gleichungen (6.5)-(6.9) werden in FEMCard Basic bei der
Startparametereingabe und während der Parameteridentifikation überprüft
und ggf. korrigiert.
B2: Aus den in Tabelle 7 aufgeführten (und von FEMCard Basic verwendeten) 5
unabhängigen elastischen Konstanten lassen sich die (von verschiedenen
Finite-Elemente-Softwares verwendeten) weiteren elastischen Konstanten
berechnen:
a) Aufgrund der Symmetrie von D (siehe Gleichung (6.3)) gilt:
y yz z
yx xy zx xz xy yx zy yz yz
x x x y
E EE E, ,
E E E E (6.17)
b) Weiterhin gilt:
y
yx xy zx xz xy zy yz
yz
EG G , G G G , G G
2 1
(6.18)
________________________________________________________________
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Materialmodelle
47
6.1.4 SMALL strain transversely isotropic ELASTICITY, rotat. symm.: Y
ELASTICITY → TRANSVERSELY ISOTROPIC → SMALL STRAIN → ROTATIONAL SYMMETRY: Y
Die Transversale Isotropie ist ein Sonderfall der Orthotropie (siehe Abschnitt
6.1.2). Es gelten die in Gleichung (6.4) dargestellte Spannungs-Dehnungs-Bezie-
hung sowie die in Gleichungen (6.5)-(6.9) aufgezeigten Kriterien für die Material-
stabilität. Zusätzlich gilt für die transversale Isotropie mit der Vorzugsrichtung Y
z xE E (6.19)
xxy yz
E
E y
(6.20)
zxz
xz
EG
2 1
(6.21)
xy yzG G (6.22)
6.1.4.1 Materialparametersatz
Die Materialparameter und Bezeichnungen in der FEMCard Basic Benutzeroberflä-
che lauten (siehe Tabelle 8):
Tabelle 8: Materialparameter für transversale Isotropie mit Vorzugsrichtung Y
ASCII-Bezeichnung Weitere optionale Bez.
Symbole
E_y Young's modulus along axis Y
yE
E_x Young's modulus along axis X
xE
nu_yz Poisson's ratio nu_yz
yz
nu_xz Poisson's ratio nu_xz
xz
G_yz shear modulus G_yz
yzG
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Materialmodelle
48
________________________________________________________________
Bemerkungen:
B1: Die Kriterien der Gleichungen (6.5)-(6.9) werden in FEMCard Basic bei der
Startparametereingabe und während der Parameteridentifikation überprüft
und ggf. korrigiert.
B2: Aus den in Tabelle 8 aufgeführten (und von FEMCard Basic verwendeten) 5
unabhängigen elastischen Konstanten lassen sich die (von verschiedenen
Finite-Elemente-Softwares verwendeten) weiteren elastischen Konstanten
berechnen:
a) Aufgrund der Symmetrie von D (siehe Gleichung (6.3)) gilt:
y yx z z x
yx xy yz yz zx xz xz zy yz yz
x x x y y
E EE E E E, ,
E E E E E Ey
(6.23)
b) Weiterhin gilt:
zyx xy yz zx xz zy yz
xz
EG G G , G G , G G
2 1
(6.24)
________________________________________________________________
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Materialmodelle
49
6.1.5 SMALL strain transversely isotropic ELASTICITY, rotat. symm.: Z
ELASTICITY → TRANSVERSELY ISOTROPIC → SMALL STRAIN → ROTATIONAL SYMMETRY: Z
Die Transversale Isotropie ist ein Sonderfall der Orthotropie (siehe Abschnitt
6.1.2). Es gelten die in Gleichung (6.4) dargestellte Spannungs-Dehnungs-Bezie-
hung sowie die in Gleichungen (6.5)-(6.9) aufgezeigten Kriterien für die Material-
stabilität. Zusätzlich gilt für die transversale Isotropie mit der Vorzugsrichtung Z
y xE E (6.25)
yz xz (6.26)
xxy
xy
EG
2 1
(6.27)
yz xzG G (6.28)
6.1.5.1 Materialparametersatz
Die Materialparameter und Bezeichnungen in der FEMCard Basic Benutzeroberflä-
che lauten (siehe Tabelle 9):
Tabelle 9: Materialparameter für transversale Isotropie mit Vorzugsrichtung Z
ASCII-Bezeichnung Weitere optionale Bez.
Symbole
E_z Young's modulus along axis Z
zE
E_x Young's modulus along axis X
xE
nu_xz Poisson's ratio nu_xz
xz
nu_xy Poisson's ratio nu_xy
xy
G_xz shear modulus G_xz
xzG
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Materialmodelle
50
________________________________________________________________
Bemerkungen:
B1: Die Kriterien der Gleichungen (6.5)-(6.9) werden in FEMCard Basic bei der
Startparametereingabe und während der Parameteridentifikation überprüft
und ggf. korrigiert.
B2: Aus den in Tabelle 9 aufgeführten (und von FEMCard Basic verwendeten) 5
unabhängigen elastischen Konstanten lassen sich die (von verschiedenen
Finite-Elemente-Softwares verwendeten) weiteren elastischen Konstanten
berechnen:
a) Aufgrund der Symmetrie von D (siehe Gleichung (6.3)) gilt:
y z z z
yx xy xy zx xz zy yz xz zx
x x y x
E E E E, ,
E E E E (6.29)
b) Weiterhin gilt:
xyx xy zx xz zy yz xz
xy
EG G , G G , G G G
2 1
(6.30)
________________________________________________________________
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Materialmodelle
51
6.2 Hyperelastizät
6.2.1 Allgemeine Anmerkungen
6.2.2 LARGE strain NEO-HOOKEan HYPERelasticity
6.2.3 LARGE strain MOONEY-Rivlin HYPERelasticity
6.2.4 LARGE strain OGDEN HYPERelasticity
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Materialmodelle
52
6.2.1 Allgemeine Anmerkungen
6.2.1.1 Isotrope Hyperelastizität: Formulierung mittels Invarianten
In Abschnitt 3.3 wurden der rechte Cauchy-Green-Tensor C und der linke
Cauchy-Green-Tensor b in ihren zugehörigen Spektralzerlegungen dargestellt
mit
3
2
a a a
a 1
ˆ ˆ
C N N (6.31)
und
3
2
a a a
a 1
ˆ ˆ
b n n . (6.32)
Für Isotropie kann die freie Energie Funktion via der Invarianten ihrer Argumente
ausgedrückt werden. Somit gilt
1 2 3 1 2 3, , , ,I I I I I I C C C C b b b . (6.33)
Da C und b dieselben Eigenwerte haben, gilt für die Definition ihrer Invarianten
2 2 2
1 1 2 3tr trI C b , (6.34)
2 22 2 2 2 2 2 2 2
2 1 2 2 3 3 1
1 1tr tr tr tr
2 2I
C C b b , (6.35)
2 2 2 2
3 1 2 3det detI J C b . (6.36)
Mittels eines additiven Splits von in Anteile, welche die isochoren und volu-
metrischen Verzerrungsmaße getrennt enthalten, erhält man
dev vol
1 2,I I J . (6.37)
Hierbei werden die deviatorischen Verzerrungsinvarianten 1I und 2I berechnet
mittels
2/3
1 1I J I (6.38)
4/3
2 2I J I . (6.39)
Für die deviatorischen Streckungen a ergibt sich analog
1/3
a aJ (6.40)
und mit 1 2 3 1 gilt somit
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Materialmodelle
53
2 2 2
1 1 2 3I , (6.41)
2 2 2
2 1 2 3ˆ ˆ ˆI . (6.42)
6.2.1.2 Bemerkung zu kompressiblen hyperelastischen Materialmodellen
Für die im folgenden betrachteten hyperelastischen Materialmodelle können je-
weils der initiale Schubmodul (initial shear modulus) 0 und initiale Kompressi-
onsmodul (initial compression modulus) 0k bestimmt werden.
Die sich hieraus ergebende Poissonzahl hy lautet
hy 0 0
0 0
3k 2
6k 2
(6.43)
Die Bedingung hy0 0.5 wird in FEMCard Basic bei der Startparametereingabe
und während der Parameteridentifikation überprüft und ggf. korrigiert.
6.2.1.3 Drucker Stabilität
FEMCard Basic führt keine vollständige Untersuchung der identifizierten Material-
parametersätze auf Materialstabilität (Drucker Stabilität) für hyperelastische Ma-
terialmodelle aus. Es liegt in der Verantwortung des Benutzers, die hyperelasti-
schen Materialmodelle und zugehörigen Werte der Materialparameter auf Materi-
alstabilität zu prüfen. Warn- und Informationsmeldungen bei der Startparameter-
eingabe für hyperelastische Materialmodelle geben hierzu zusätzliche Hinweise.
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Materialmodelle
54
6.2.2 LARGE strain NEO-HOOKEan HYPERelasticity
ELASTICITY → ISOTROPIC → LARGE STRAIN (HYPERELASTICITY) → 3D, MEAS=TRUE
→ COMPRESSIBLE → NEO-HOOKE
ELASTICITY → ISOTROPIC → LARGE STRAIN (HYPERELASTICITY) → 3D, MEAS=TRUE
→ INCOMPRESSIBLE → NEO-HOOKE
ELASTICITY → ISOTROPIC → LARGE STRAIN (HYPERELASTICITY) → 3D, MEAS=NOM.
→ COMPRESSIBLE → NEO-HOOKE
ELASTICITY → ISOTROPIC → LARGE STRAIN (HYPERELASTICITY) → 3D, MEAS=NOM.
→ INCOMPRESSIBLE → NEO-HOOKE
6.2.2.1 Verzerrungsenergiefunktion
Die Verzerrungsenergiefunktion für das kompressible Neo-Hooke Materialmodell
lautet
2NH,cpr.
10 1
1
1C 3 -1
DI J (6.44)
Mit den Materialparametern 10C und
1D .
Der initiale Schubmodul und initiale Kompressionsmodul (siehe Abschnitt
6.2.1.2) betragen für NH,cpr.
0 102C , (6.45)
0 1k 2 D . (6.46)
Die Verzerrungsenergiefunktion für das inkompressible Neo-Hooke Materialmo-
dell lautet
NH, incpr.
10 1C 3I (6.47)
mit dem Materialparameter 10C .
6.2.2.2 Materialparametersatz in FEMCard Basic
Die Materialparameter und Bezeichnungen in der FEMCard Basic Benutzeroberflä-
che lauten (siehe Tabelle 10):
Tabelle 10: Materialparameter für das Neo-Hooke Materialmodell
ASCII-Bezeichnung. Symbole C10 C10
D1 D1
Bei der inkompressiblen Formulierung des Materialmodelles entfällt D1 als Mate-
rialparameter.
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Materialmodelle
55
6.2.2.3 Materialparametersatz in Finite-Elemente-Software
Das Materialmodell wird in den folgenden Finite-Elemente-Softwares folgender-
maßen bezeichnet:
Abaqus® (Version 6.14) Software:
Input File Usage: *HYPERELASTIC, NEO HOOKE
Tabelle 11: Materialparameterbezeichnungen in Abaqus® CAE Software
Symbol FEMCard Basic
Bezeichnung in Abaqus® CAE Software
C10 = C10
D1 = D1
Bei der inkompressiblen Formulierung des Materialmodelles gilt D1=0 in der
Abaqus® Software.
________________________________________________________________
ANSYS® (Release 12.0) Software:
ANSYS® Preprocessor Software:
→ Hyperelastic → Neo-Hookean
Tabelle 12: Materialparameterbezeichnungen in ANSYS® Preprocessor Software
Umrechnung und Symbol FEMCard Basic
Bezeichnung in ANSYS® Preprocessor
Software 2 C10 = mu
D1 = d
Bei der inkompressiblen Formulierung des Materialmodelles gilt d=0 in der
ANSYS® Software.
________________________________________________________________
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Materialmodelle
56
Marc® Mentat® (2014.2.0) Software:
Bei der kompressiblen Formulierung gilt:
Material Properties:
→ Type: Mooney → Model: Five-Term (Parameter C10, C01, C11, C20, C30)
→ Volumetric Behavior → Series Expansion (Parameter D1, D2, D3, D4, D5)
Tabelle 13: Materialparameterbezeichnungen in Marc® Mentat® (2014.2.0) Software
Umrechnung und Symbol FEMCard Basic
Bezeichnung in Marc® Mentat®
Software C10 = C10
1 D1 = D1
Weiterhin gilt C01=C11=C20=C30=0 sowie D2=D3=D4=D5=0 in der
Marc® Mentat® Software.
Bei der inkompressiblen Formulierung gilt:
Material Properties:
→ Type: Mooney → Model: Five-Term (Parameter C10, C01, C11, C20, C30)
→ Volumetric Behavior → Bulk Modulus → Automatic
Tabelle 14: Materialparameterbezeichnungen in Marc® Mentat® (2014.2.0) Software
Umrechnung und Symbol FEMCard Basic
Bezeichnung in Marc® Mentat®
Software C10 = C10
Weiterhin gilt C01=C11=C20=C30=0 in der Marc® Mentat® Software.
Bem.: Mit der Einstellung ‘→ Volumetric Behavior → Bulk Modulus → Automatic‘
in der Marc® Mentat® (2014.2.0) Software wird ein Bulk Modulus K=10000*C10
verwendet. Das Materialverhalten ist hierfür inkompressibel.
________________________________________________________________
Bemerkung: Die in diesem Unterabschnitt gemachten Angaben zu Materialpara-
meterbezeichnungen und –umrechnungen für Finite-Elemente-Softwares sind
ohne Gewähr.
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Materialmodelle
57
6.2.3 LARGE strain MOONEY-Rivlin HYPERelasticity
ELASTICITY → ISOTROPIC → LARGE STRAIN (HYPERELASTICITY) → 3D, MEAS=TRUE
→ COMPRESSIBLE → MOONEY-RIVLIN
ELASTICITY → ISOTROPIC → LARGE STRAIN (HYPERELASTICITY) → 3D, MEAS=TRUE
→ INCOMPRESSIBLE → MOONEY-RIVLIN
ELASTICITY → ISOTROPIC → LARGE STRAIN (HYPERELASTICITY) → 3D, MEAS=NOM.
→ COMPRESSIBLE → MOONEY-RIVLIN
ELASTICITY → ISOTROPIC → LARGE STRAIN (HYPERELASTICITY) → 3D, MEAS=NOM.
→ INCOMPRESSIBLE → MOONEY-RIVLIN
6.2.3.1 Verzerrungsenergiefunktion
Die Verzerrungsenergiefunktion für das kompressible Mooney-Rivlin Materialmo-
dell lautet
2MR,cpr.
10 1 01 2
1
1C 3 C 3 -1
DI I J . (6.48)
Mit den Materialparametern 10C ,
01C und 1D .
Der initiale Schubmodul und initiale Kompressionsmodul (siehe Abschnitt
6.2.1.2) betragen für MR,cpr.
0 10 012 c c , (6.49)
0 1k 2 D . (6.50)
Die Verzerrungsenergiefunktion für das inkompressible Mooney-Rivlin Material-
modell lautet
MR,incpr.
10 1 01 2C 3 C 3I I (6.51)
mit den Materialparametern 10C und 01C .
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Materialmodelle
58
6.2.3.2 Materialparametersatz in FEMCard Basic
Die Materialparameter und Bezeichnungen in der FEMCard Basic Benutzeroberflä-
che lauten (siehe Tabelle 15):
Tabelle 15: Materialparameter für das Mooney-Rivlin Materialmodell
ASCII-Bezeichnung. Symbole C10 C10
C01 C01
D1 D1
Bei der inkompressiblen Formulierung des Materialmodelles entfällt D1 als Mate-
rialparameter.
6.2.3.3 Materialparametersatz in Finite-Elemente-Software
Das Materialmodell wird in den folgenden Finite-Elemente-Softwares folgender-
maßen bezeichnet:
Abaqus® (Version 6.14) Software:
Input File Usage: *HYPERELASTIC, MOONEY-RIVLIN
Tabelle 16: Materialparameterbezeichnungen in Abaqus® CAE Software
Symbol FEMCard Basic
Bezeichnung in Abaqus® CAE Software
C10 = C10
C01 = C01
D1 = D1
Bei der inkompressiblen Formulierung des Materialmodelles gilt D1=0 in der
Abaqus® Software.
________________________________________________________________
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Materialmodelle
59
ANSYS® (Release 12.0) Software:
ANSYS® Preprocessor Software:
→ Hyperelastic → Mooney-Rivlin → 2 parameters
Tabelle 17: Materialparameterbezeichnungen in ANSYS® Preprocessor Software
Umrechnung und Symbol FEMCard Basic
Bezeichnung in ANSYS® Preprocessor
Software C10 = C10
C01 = C01
D1 = d
Bei der inkompressiblen Formulierung des Materialmodelles gilt d=0 in der
ANSYS® Software.
________________________________________________________________
Marc® Mentat® (2014.2.0) Software:
Bei der kompressiblen Formulierung gilt (s.a. Tabelle 18):
Material Properties:
→ Type: Mooney → Model: Five-Term (Parameter C10, C01, C11, C20, C30)
→ Volumetric Behavior → Series Expansion (Parameter D1, D2, D3, D4, D5)
Tabelle 18: Materialparameterbezeichnungen in Marc® Mentat® (2014.2.0) Software
Umrechnung und Symbol FEMCard Basic
Bezeichnung in Marc® Mentat®
Software C10 = C10
C01 = C01
1 D1 = D1
Weiterhin gilt C11=C20=C30=0 sowie D2=D3=D4=D5=0 in der
Marc® Mentat® Software.
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Materialmodelle
60
Bei der inkompressiblen Formulierung gilt (s.a. Tabelle 19):
Material Properties:
→ Type: Mooney → Model: Five-Term (Parameter C10, C01, C11, C20, C30)
→ Volumetric Behavior → Bulk Modulus → Automatic
Tabelle 19: Materialparameterbezeichnungen in Marc® Mentat® (2014.2.0) Software
Umrechnung und Symbol FEMCard Basic
Bezeichnung in Marc® Mentat®
Software C10 = C10
C01 = C01
Weiterhin gilt C11=C20=C30=0 in der Marc® Mentat® Software.
Bem.: Mit der Einstellung ‘→ Volumetric Behavior → Bulk Modulus → Automatic‘
in der Marc® Mentat® (2014.2.0) Software wird ein Bulk Modulus
K=10000*(C10+C01) verwendet. Das Materialverhalten ist hierfür inkompressi-
bel.
________________________________________________________________
Bemerkung: Die in diesem Unterabschnitt gemachten Angaben zu Materialpara-
meterbezeichnungen und –umrechnungen für Finite-Elemente-Softwares sind
ohne Gewähr.
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Materialmodelle
61
6.2.4 LARGE strain OGDEN HYPERelasticity
ELASTICITY → ISOTROPIC → LARGE STRAIN (HYPERELASTICITY) → 3D, MEAS=TRUE
→ COMPRESSIBLE → OGDEN, N=1,2,3
ELASTICITY → ISOTROPIC → LARGE STRAIN (HYPERELASTICITY) → 3D, MEAS=TRUE
→ INCOMPRESSIBLE → OGDEN, N=1,2,3
ELASTICITY → ISOTROPIC → LARGE STRAIN (HYPERELASTICITY) → 3D, MEAS=NOM.
→ COMPRESSIBLE → OGDEN, N=1,2,3
ELASTICITY → ISOTROPIC → LARGE STRAIN (HYPERELASTICITY) → 3D, MEAS=NOM.
→ INCOMPRESSIBLE → OGDEN, N=1,2,3
________________________________________________________________
Bemerkung: Die Konstante N bezeichnet die Anzahl an Ogden-Termen und wird
über die Auswahl des Materialmodells definiert. Es gilt 1 N 3 .
6.2.4.1 Verzerrungsenergiefunktion
Die Verzerrungsenergiefunktion für das kompressible Ogden Materialmodell lau-
tet für eine Anzahl N an Ogden-Termen
i i i
N N2iOG,cpr. i
1 2 32i 1 i 1i i
2 13 -1
DJ
. (6.52)
Mit den Materialparametern i , i und iD .
Der initiale Schubmodul und initiale Kompressionsmodul (siehe Abschnitt
6.2.1.2) betragen für OG,cpr.
N
0 i
i 1
, (6.53)
0 1k 2 D . (6.54)
Die Verzerrungsenergiefunktion für das inkompressible Ogden Materialmodell
lautet für eine Anzahl N an Ogden-Termen
i i i
NOG,incpr. i
1 2 32i 1 i
23
. (6.55)
Mit den Materialparametern i und i .
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Materialmodelle
62
6.2.4.2 Materialparametersatz in FEMCard Basic
Die Materialparameter und Bezeichnungen in der FEMCard Basic Benutzeroberflä-
che lauten für die Parameter i ,
i und iD mit i= 1,...,N (siehe Tabelle 20):
Tabelle 20: Materialparameter für das Ogden Materialmodell
ASCII-Bezeichnung. Symbole mu1 ,…, mu3
1 ,…,3
alpha1 ,…, alpha3 1 ,…,
3
D1 ,…, D3 D1 ,…, D3
Bei der inkompressiblen Formulierung des Materialmodelles entfallen D1 ,…, D3
als Materialparameter.
6.2.4.3 Materialparametersatz in Finite-Elemente-Software
Das Materialmodell wird in den folgenden Finite-Elemente-Softwares folgender-
maßen bezeichnet:
Abaqus® (Version 6.14) Software:
Input File Usage:
*HYPERELASTIC, OGDEN, N=1
*HYPERELASTIC, OGDEN, N=2
*HYPERELASTIC, OGDEN, N=3
Tabelle 21: Materialparameterbezeichnungen in Abaqus® CAE Software
Symbol FEMCard Basic
Bezeichnung in Abaqus® CAE Software
1 ,…, 3 = mu1 ,…, mu3
1 ,…, 3 = alpha1 ,…, alpha3
D1 ,…, D3 = D1 ,…, D3
Bei der inkompressiblen Formulierung des Materialmodelles gilt D1=D2=D3=0 in
der Abaqus® Software.
________________________________________________________________
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Materialmodelle
63
ANSYS® (Release 12.0) software:
ANSYS® Preprocessor Software:
→ Hyperelastic → Ogden → 1 term (2 terms/3 terms)
Tabelle 22: Materialparameterbezeichnungen in ANSYS® Preprocessor Software
Umrechnung und Symbol FEMCard Basic
Bezeichnung in ANSYS® Preprocessor
Software
1
1
2
=
mu1
2
2
2
=
mu2
3
3
2
=
mu3
1 ,…,3 = a_1 ,…, a_3
D1 ,…, D3 = d1 ,…, d3
Bei der inkompressiblen Formulierung des Materialmodelles gilt d1=d2=d3=0 in
der ANSYS® Software.
________________________________________________________________
Marc® Mentat® (2014.2.0) Software:
Material Properties:
→ Type: Ogden → Method: Entered Values
→ # Terms: ‘Anzahl N an Ogden-Termen in FEMCard Basic‘
Tabelle 23: Materialparameterbezeichnungen in Marc® Mentat® (2014.2.0) Software
Umrechnung und Symbol FEMCard Basic
Bezeichnung in Marc® Mentat® Software
1
1
2
=
Modulus(1)
2
2
2
=
Modulus(2)
3
3
2
=
Modulus(3)
1 ,…, 3 = Exponent(1) ,…, Exponent(3)
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Materialmodelle
64
Bei der kompressiblen Formulierung gilt zusätzlich zu Tabelle 23:
Material Properties:
→ Volumetric Behavior → Series Expansion (Parameter D1, D2, D3, D4, D5)
Tabelle 24: Materialparameterbezeichnungen in Marc® Mentat® (2014.2.0) Software
Umrechnung und Symbol FEMCard Basic
Bezeichnung in Marc® Mentat® Software
1 D1 = D1
1 D2 = D2
1 D3 = D3
Es gilt in der Marc® Mentat® Software:
Für # Terms=1 sind D2=D3=D4=D5=0.
Für # Terms=2 sind D3=D4=D5=0.
Für # Terms=3 sind D4=D5=0.
Bei der inkompressiblen Formulierung gilt zusätzlich zu Tabelle 23:
Material Properties:
→ Volumetric Behavior → Bulk Modulus → Automatic
Bem.: Mit der o.g. Einstellung in der Marc® Mentat® (2014.2.0) Software wird ein
Bulk Modulus K verwendet, für den das Materialverhalten inkompressibel ist.
________________________________________________________________
Bemerkung: Die in diesem Unterabschnitt gemachten Angaben zu Materialpara-
meterbezeichnungen und –umrechnungen für Finite-Elemente-Softwares sind
ohne Gewähr.
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Materialmodelle
65
6.3 Von Mises (Visko-) Plastizität
6.3.1 1D/3D SMALL strain Von Mises plasticity (rate independent,
nonlinear isotropic hardening)
6.3.2 1D/3D SMALL strain von MISES VISCOPLASTICITY (Cowper-
Symonds, nonl. isotr. hardening)
6.3.3 LARGE strain von MISES PLASTICITY (nonlinear isotropic
hardening), MEAS=true
6.3.4 LARGE strain von MISES VISCOPLASTICITY (Cowper-Symonds,
nonl. isotr. hardening), MEAS=true
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Materialmodelle
66
6.3.1 1D/3D SMALL strain Von Mises plasticity (rate independent, non-linear isotropic hardening)
PLASTICITY → ISOTROPIC → VON MISES → RATE INDEPENDENT → SMALL STRAIN
6.3.1.1 Geometrisch lineare Theorie
Unter Berücksichtigung der geometrisch linearen Theorie ('SMALL strain') berech-
net sich das totale Verzerrungsfeld zu
T1
2 X Xε u u (6.56)
Mit dem Verschiebungsfeld u . Weiterhin wird eine additive Zerlegung in einen
elastischen eε und plastischen Anteil p
ε angenommen mit e p ε ε ε . Weiterhin
wird die additive Zerlegung des Verzerrungstensors in einen deviatorischen und
einen sphärischen (bzw. volumetrischen) Anteil betrachtet mit
sph dev sph dev1 1; tr ; tr
3 3 ε ε ε ε ε ε εI ε I . (6.57)
6.3.1.2 Konstitutive Gleichungen
K1) Kinematik:
e p ε ε ε (6.58)
K2) Interne Variablen: p, ε
K3) Freie Energie:
e e( , ) ( ) ( ) ε ε (6.59)
K4) Spannung:
sph dev p3K 2 [ ] σ ε ε ε (6.60)
K5) Fließbedingung:
dev3 / 2 ( ) 0h σ ‖ ‖ (6.61)
K6) Isotrope Verfestigung:
0 0( ) y H [ - y ] [1 ey xp( )]h (6.62)
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Materialmodelle
67
K7) Assoziierte Fließregel:
dev
dev
p 3;
2
σε Ν Ν
σ σ
‖ ‖ (6.63)
K8) Belastungs- / Entlastungsbedingungen:
0 ; 0 ; 0 (6.64)
K9) Materialparameter:
T
0[K, , y , , ]y , H κ (6.65)
________________________________________________________________
Bemerkungen:
B1: Innerhalb der Identifikationsroutine werden der Elastizitätsmodul E und
die Poissonzahl anstelle des Kompressionsmoduls K und des Schubmo-
duls verwendet. Hierbei gelten die Beziehungen
E 9K [3K ] (6.66)
und
[3K 2 ] [6K 2 ] . (6.67)
Bei der 1D Formulierung des Materialmodelles entfällt die Poissonzahl
als Materialparameter.
B2: Die äquivalente plastische Dehnung entspricht der internen Variablen ,
für die gilt
p= 2 / 3 ε ‖ ‖ . (6.68)
B3: Der in FEMCard Basic verwendete Algorithmus zur numerischen Integration
der o.g. Gleichungen basiert auf der Radial-Return Methode (siehe bei-
spielsweise Simo (4)).
B4: Das korrespondierende geometrisch nichtlineare Materialmodell für Von Mi-
ses Plastizität ist in Abschnitt 6.3.3 dargestellt.
________________________________________________________________
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Materialmodelle
68
6.3.1.3 Materialparametersatz in FEMCard Basic
Die Materialparameter und Bezeichnungen in der FEMCard Basic Benutzeroberflä-
che lauten (siehe Tabelle 25):
Tabelle 25: Materialparameter für Von Mises Plastizität mit Materialparametern für isotrope Verfesti-gungsfunktion
ASCII-Bezeichnung Weitere optionale Bez.
Symbole
E Young's modulus
E
PR Poisson's ratio
Y_0 initial yield limit
0y
Y_inf saturated yield limit
y
Omega exponential hardening modulus
H linear hardening modulus
H
Nach erfolgter Materialparameterermittlung wird zusätzlich zu den o.g. Material-
parametern eine Tabelle mit den äquivalenten plastischen Dehnungen und den
zugehörigen Fließspannungen ausgegeben (in pdf- und ASCII-Format, siehe auch
Tabelle 26).
Tabelle 26: Isotrope Verfestigung für Von Mises Plastizität als Tabellenwerte
'equivalent plastic strain [-]' 'yield stress'
0 Y_0
… …
… …
0.1 …
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Materialmodelle
69
________________________________________________________________
Bemerkungen:
B5: Die mit der Verfestigungsfunktion (6.62) erstellte Tabelle 26 hat einen
Wertebereich [0 , 0.1] für die äquivalenten plastischen Dehnungen. Der
obere Wert von 0.1 ≙ 10% äquivalenten plastischen Dehnungen wurde
aus technischen Gründen gewählt. Der zulässige Bereich der geometrisch
linearen Theorie ist hierbei deutlich überschritten.
B6: Die Tabellenwerte können nur für den mit Messdaten belegten Bereich der
plastischen Verformung gültig sein. Es liegt in der Verantwortung des Be-
nutzers, die Werte der Materialparameter auf Gültigkeit zu prüfen.
B7: Die Kriterien 0y ,yE, >, 0,H sowie 0 0.5 und 0y > y werden in FEMCard
Basic bei der Startparametereingabe und während der Parameteridentifika-
tion überprüft und ggf. korrigiert.
________________________________________________________________
6.3.1.4 Materialparametersatz in Finite-Elemente-Software
Zusammen mit den Materialparametern E (Young’s modulus) und PR (Poisson’s
ratio) lässt sich Tabelle 26 in einer Vielzahl von Finite-Elemente-Softwares zur Si-
mulation von Von Mises Plastizität mit isotroper Verfestigung verwenden.
Neben der Eingabe der plastischen Verfestigungskurve über die o.g. Ta-
bellenwerte lässt sich in bestimmten Finite-Elemente-Softwares die plastische
Verfestigungskurve ebenfalls über die Verfestigungsfunktion (6.62) angeben.
Verwendung der Verfestigungsfunktion (6.62) in der
Marc® Mentat® (2014.2.0) Software:
Material Properties:
→ Type: Elastic-Plastic Isotropic → Young's modulus E, Poisson's ratio PR
→ Plasticity Properties
→ Yield Criterion: Von Mises → Method: Table
→ Hardening Rule: Isotropic → Strain Rate Method: Piecew. Lin.
→ Yield Stress: 1 → Table: „MATERIAL-1“
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Materialmodelle
70
Tables → „MATERIAL-1“
→ Independent Variable V1 → Type: eq_plastic_strain
→ Formula: Y_0 + H *v1 + (Y_inf - Y_0)*(1-exp(-Omega*v1))
Hierbei bezeichnen die Symbole E, PR, Y_0, H, Y_inf, Omega die von
FEMCard Basic ermittelten Werte entsprechend Tabelle 25.
________________________________________________________________
Bemerkung: Die in diesem Unterabschnitt gemachten Angaben zu Materialpara-
meterbezeichnungen und –umrechnungen für Finite-Elemente-Softwares sind
ohne Gewähr.
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Materialmodelle
71
6.3.2 1D/3D SMALL strain von MISES VISCOPLASTICITY (Cowper-Sy-monds, nonl. isotr. hardening)
PLASTICITY → ISOTROPIC → VON MISES → RATE DEPENDENT → COWPER-SYMONDS OVER-
STRESS POWER LAW → SMALL STRAIN
Dieses Materialmodell ist eine Erweiterung der geometrisch linearen ratenunab-
hängigen Von Mises Plastizität aus Abschnitt 6.3.1, bei der das plastische Verhal-
ten dehnratenabhängig ist. Die Berechnung der viskoplastischen deviatorischen
Verzerrungsgeschwindigkeiten erfolgt nach dem Cowper-Symonds Überspan-
nungsmodell
powndev
pow 3 / 2
(D 1
)h
σ
‖ ‖ (6.69)
welches identisch mit dem Perzyna Überspannungsmodell ist (für die Variablen-
und Materialparameterbezeichnungen siehe die folgenden Unterabschnitte
6.3.2.2 und 6.3.2.3).
6.3.2.1 Geometrisch lineare Theorie
Unter Berücksichtigung der geometrisch linearen Theorie ('SMALL strain') berech-
net sich das totale Verzerrungsfeld zu
T1
2 X Xε u u (6.70)
Mit dem Verschiebungsfeld u . Weiterhin wird eine additive Zerlegung in einen
elastischen eε und plastischen Anteil p
ε angenommen mit e p ε ε ε . Weiterhin
wird die additive Zerlegung des Verzerrungstensors in einen deviatorischen und
einen sphärischen (bzw. volumetrischen) Anteil betrachtet mit
sph dev sph dev1 1; tr ; tr
3 3 ε ε ε ε ε ε εI ε I . (6.71)
6.3.2.2 Konstitutive Gleichungen
K1) Kinematik:
e p ε ε ε (6.72)
K2) Interne Variablen: p, ε
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Materialmodelle
72
K3) Freie Energie:
e e( , ) ( ) ( ) ε ε (6.73)
K4) Spannung:
sph dev p3K 2 [ ] σ ε ε ε (6.74)
K5) Statische Fließfunktion:
dev3 / 2 ( )h σ ‖ ‖ (6.75)
K6) Isotrope Verfestigung:
0 0( ) y H [ - y ] [1 ey xp( )]h (6.76)
K7) Assoziierte Fließregel bzw. viskoplastische Evolutionsgleichung:
dev
dev
p 3;
2
σε Ν Ν
σ σ
‖ ‖ (6.77)
powndev
powD 1 we3 / 2
, ( )nn
0 we
0( )
)n , ( 0n
hh
h
σσ
σ
‖ ‖
(6.78)
K8) Materialparameter:
pow pow T
0[K, , y , , ,y D nH, , ] κ (6.79)
________________________________________________________________
Bemerkungen:
B1: Innerhalb der Identifikationsroutine werden der Elastizitätsmodul E und
die Poissonzahl anstelle des Kompressionsmoduls K und des Schubmo-
duls verwendet. Hierbei gelten die Beziehungen
E 9K [3K ] (6.80)
und
[3K 2 ] [6K 2 ] . (6.81)
Bei der 1D Formulierung des Materialmodelles entfällt die Poissonzahl
als Materialparameter.
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Materialmodelle
73
B2: Die äquivalente plastische Dehnung entspricht der internen Variablen ,
für die gilt
p= 2 / 3 ε ‖ ‖ . (6.82)
B3: Der in FEMCard Basic verwendete Algorithmus zur numerischen Integration
der o.g. Gleichungen basiert auf der Radial-Return Methode (siehe bei-
spielsweise Simo und Hughes (5)).
B4: Das korrespondierende geometrisch nichtlineare Materialmodell für dehn-
ratenabhängige Von Mises Plastizität ist in Abschnitt 6.3.4 dargestellt.
________________________________________________________________
6.3.2.3 Materialparametersatz in FEMCard Basic
Die Materialparameter und Bezeichnungen in der FEMCard Basic Benutzeroberflä-
che lauten (siehe Tabelle 27):
Tabelle 27: Materialparameter für ratenabhängige Von Mises Plastizität mit Materialparametern für isotrope Verfestigungsfunktion
ASCII-Bezeichnung Weitere optionale Bez.
Symbole
E Young's modulus
E
PR Poisson's ratio
Y_0 initial yield limit
0y
Y_inf saturated yield limit
y
Omega exponential hardening modulus
H linear hardening modulus
H
D_pow power law multiplier
powD
n_pow power law exponent
pown
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Materialmodelle
74
Nach erfolgter Materialparameterermittlung wird zusätzlich zu den o.g. Material-
parametern eine Tabelle mit den äquivalenten plastischen Dehnungen und den
zugehörigen Fließspannungen ausgegeben (in pdf- und ASCII-Format, siehe auch
Tabelle 28).
Tabelle 28: Isotrope Verfestigung für Von Mises Plastizität als Tabellenwerte
'equivalent plastic strain [-]' 'yield stress'
0 Y_0
… …
… …
0.1 …
________________________________________________________________
Bemerkungen:
B5: Die mit der Verfestigungsfunktion (6.76) erstellte Tabelle 28 hat einen
Wertebereich [0 , 0.1] für die äquivalenten plastischen Dehnungen. Der
obere Wert von 0.1 ≙ 10% äquivalenten plastischen Dehnungen wurde
aus technischen Gründen gewählt. Der zulässige Bereich der geometrisch
linearen Theorie ist hierbei deutlich überschritten.
B6: Die Tabellenwerte können nur für den mit Messdaten belegten Bereich der
plastischen Verformung gültig sein. Es liegt in der Verantwortung des Be-
nutzers, die Werte der Materialparameter auf Gültigkeit zu prüfen.
B7: Die Kriterien 0y ,yE, >, 0,H sowie pow powD n, 0 sowie 0 0.5 und 0y > y
werden in FEMCard Basic bei der Startparametereingabe und während der
Parameteridentifikation überprüft und ggf. korrigiert.
________________________________________________________________
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Materialmodelle
75
6.3.2.4 Materialparametersatz in Finite-Elemente-Software
Zusammen mit den Materialparametern E (Young’s modulus) und PR (Poisson’s
ratio) lässt sich Tabelle 28 in einer Vielzahl von Finite-Elemente-Softwares zur Si-
mulation von Von Mises Plastizität mit isotroper Verfestigung verwenden. Das
Überspannungsmodell, welches die Dehnratenabhängigkeit beschreibt, wird in
der folgenden Finite-Elemente-Software folgendermaßen bezeichnet:
Abaqus® (Version 6.14) Software:
Input File Usage: *RATE DEPENDENT, TYPE=POWER LAW
Tabelle 29: Materialparameterbezeichnungen in Abaqus® CAE Software
Symbol FEMCard Basic
Bezeichnung in Abaqus® CAE Software
powD = Multiplier
pown = Exponent
________________________________________________________________
ANSYS® (Release 12.0) Software:
ANSYS® Preprocessor Software:
Visco-Plasticity Options: Perzyna Model
Tabelle 30: Materialparameterbezeichnungen in ANSYS® Preprocessor Software
Umrechnung und Symbol FEMCard Basic
Bezeichnung in ANSYS® Preprocessor
Software powD = Gamma
pow1 n = m
________________________________________________________________
Neben der Eingabe der plastischen Verfestigungskurve über die o.g. Ta-
bellenwerte lässt sich in bestimmten Finite-Elemente-Softwares die plastische
Verfestigungskurve ebenfalls über die Verfestigungsfunktion (6.76) angeben.
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Materialmodelle
76
Im Folgenden wird die Verwendung der von FEMCard Basic ermittelten Parameter
in der Marc® Mentat® (2014.2.0) Software beschrieben.
Marc® Mentat® (2014.2.0) Software:
Material Properties:
→ Type: Elastic-Plastic Isotropic → Young's modulus E, Poisson's ratio PR
→ Plasticity Properties
→ Yield Criterion: Von Mises → Method: Table
→ Hardening Rule: Isotropic
→ Strain Rate Method: Cowper-Symonds (s.a. Tabelle 31)
→ Yield Stress: 1 → Table: „MATERIAL-1“
Tabelle 31: Materialparameterbezeichnungen in Marc® Mentat® (2014.2.0) Software
Umrechnung und Symbol FEMCard Basic
Bezeichnung in Marc® Mentat®
Software powD = Coefficient C
pown = Inverse Exponent P
Bei Verwendung der Verfestigungsfunktion (6.76) in der
Marc® Mentat® (2014.2.0) Software gilt:
Tables → „MATERIAL-1“
→ Independent Variable V1 → Type: eq_plastic_strain
→ Formula: Y_0 + H *v1 + (Y_inf - Y_0)*(1-exp(-Omega*v1))
Hierbei bezeichnen die Symbole E, PR, Y_0, H, Y_inf, Omega die von
FEMCard Basic ermittelten Werte entsprechend Tabelle 27.
________________________________________________________________
Bemerkung: Die in diesem Unterabschnitt gemachten Angaben zu Materialpara-
meterbezeichnungen und –umrechnungen für Finite-Elemente-Softwares sind
ohne Gewähr.
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Materialmodelle
77
6.3.3 LARGE strain von MISES PLASTICITY (nonlinear isotropic harden-ing), MEAS=true
PLASTICITY → ISOTROPIC → VON MISES → RATE INDEPENDENT → LARGE STRAIN
6.3.3.1 Kinematik
Die grundlegende kinematische Beziehung bei diesem Materialmodell für finite
Plastizität ist die multiplikative Zerlegung des Deformationsgradientens in einen
elastischen und einen plastischen Anteil mit (siehe Simo (4))
e p F F F . (6.83)
Sich hieraus ergebende Verzerrungsmaße sind beispielsweise der elastische linke
Cauchy-Green-Tensor
T
e e e b F F (6.84)
sowie der inverse plastische rechte Cauchy-Green-Tensor
-1 -1 -T -1 -T
p p p e C F F F b F . (6.85)
Bei der Von Mises Plastizitätstheorie ist die plastische Deformation isochor, hie-
raus folgt p pdet 1J F und somit gilt eJ J .
Die Lie-Ableitung des elastischen linken Cauchy-Green-Tensors lautet
-1 -T T -1 T
v e e pL ( ) t t b F F b F F F C F . (6.86)
Bemerkung: Für die in Gleichung (6.86) dargestellte Lie-Ableitung wird die Pull-
back-Operation von eb zu der Referenzkonfiguration berechnet, welches -1
pC
ergibt, worauf die materielle Zeitableitung angewendet wird und das Ergebnis
mittels Push-forward in die Momentankonfiguration abgebildet wird.
Der isochore elastischen linken Cauchy-Green-Tensor ist (siehe auch Gleichung
(3.7))
2/3
e e , detJ J b b F . (6.87)
6.3.3.2 Zusammenfassung der konstitutiven Gleichungen
K1) Kinematik:
e p F F F (6.88)
K2) Interne Variablen: e,b
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Materialmodelle
78
K3) Freie Energie:
e e( , ) ( ) ( ) b b (6.89)
K4) Spannung:
a) Kirchhoff-Spannungen
dev 1e3
: ln lnK J τ τ τ I b (6.90)
b) (Wahre) Cauchy-Spannungen
true 1
Jσ τ (6.91)
K5) Fließbedingung:
dev3 / 2 ( ) 0h τ ‖ ‖ (6.92)
K6) Isotrope Verfestigung:
0 0( ) y H [ - y ] [1 py ex ( )]Jh (6.93)
K7) Assoziierte Fließregel:
dev
-1
v e e dev
1 3;)
2L (
2
τ
b bτ τ
Ν Ν
‖ ‖ (6.94)
K8) Belastungs- / Entlastungsbedingungen:
0 ; 0 ; 0 (6.95)
K9) Materialparameter:
T
0[K, , y , , ]y , H κ (6.96)
________________________________________________________________
Bemerkungen:
B1: Innerhalb der Identifikationsroutine werden der Elastizitätsmodul E und
die Poissonzahl anstelle des Kompressionsmoduls K und des Schubmo-
duls verwendet. Hierbei gelten die Beziehungen
E 9K [3K ] (6.97)
und
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Materialmodelle
79
[3K 2 ] [6K 2 ] . (6.98)
B2: Die interne Variable entspricht der äquivalenten logarithmischen plasti-
schen Dehnung.
B3: Der in FEMCard Basic verwendete Algorithmus zur numerischen Integration
der o.g. Gleichungen basiert auf der Radial-Return Methode (siehe bei-
spielsweise Simo (4)).
B4: Das korrespondierende geometrisch lineare Materialmodell für Von Mises
Plastizität ist in Abschnitt 6.3.1 dargestellt.
6.3.3.3 Materialparametersatz in FEMCard Basic
Die Materialparameter und Bezeichnungen in der FEMCard Basic Benutzeroberflä-
che lauten (siehe Tabelle 32):
Tabelle 32: Materialparameter für Von Mises Plastizität mit Materialparametern für isotrope Verfesti-gungsfunktion
ASCII-Bezeichnung Weitere optionale Bez.
Symbole
E Young's modulus
E
PR Poisson's ratio
Y_0 initial yield limit
0y
Y_inf saturated yield limit
y
Omega exponential hardening modulus
H linear hardening modulus
H
Nach erfolgter Materialparameterermittlung wird zusätzlich zu den o.g. Material-
parametern eine Tabelle mit den äquivalenten logarithmischen plastischen Deh-
nungen und den zugehörigen wahren Fließspannungen ausgegeben (in pdf- und
ASCII-Format, siehe auch Tabelle 33).
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Materialmodelle
80
Tabelle 33: Isotrope Verfestigung für ‘Large Strain‘ Von Mises Plastizität als Tabellenwerte
'equivalent logarithmic plastic strain [-]'
'true yield stress'
0 Y_0
… …
… …
2 …
________________________________________________________________
Bemerkungen:
B5: Die mit der Verfestigungsfunktion (6.93) erstellte Tabelle 33 hat einen
Wertebereich [0 , 2] für die äquivalenten logarithmischen plastischen Deh-
nungen. Der obere Wert von 2 für die äquivalenten logarithmischen plasti-
schen Dehnungen wurde aus technischen Gründen gewählt.
B6: Die Tabellenwerte können nur für den mit Messdaten belegten Bereich der
plastischen Verformung gültig sein. Es liegt in der Verantwortung des Be-
nutzers, die Werte der Materialparameter auf Gültigkeit zu prüfen.
B7: Die Kriterien 0y ,yE, >, 0,H sowie 0 0.5 und 0y > y werden in FEMCard
Basic bei der Startparametereingabe und während der Parameteridentifika-
tion überprüft und ggf. korrigiert.
________________________________________________________________
6.3.3.4 Materialparametersatz in Finite-Elemente-Software
Zusammen mit den Materialparametern E (Young’s modulus) und PR (Poisson’s
ratio) lässt sich Tabelle 33 in einer Vielzahl von Finite-Elemente-Softwares zur Si-
mulation von Von Mises Plastizität mit isotroper Verfestigung verwenden.
Neben der Eingabe der plastischen Verfestigungskurve über die o.g. Ta-
bellenwerte lässt sich in bestimmten Finite-Elemente-Softwares die plastische
Verfestigungskurve ebenfalls über die Verfestigungsfunktion (6.62) angeben.
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Materialmodelle
81
Verwendung der Verfestigungsfunktion (6.62) in der
Marc® Mentat® (2014.2.0) Software:
Material Properties:
→ Type: Elastic-Plastic Isotropic → Young's modulus E, Poisson's ratio PR
→ Plasticity Properties
→ Yield Criterion: Von Mises → Method: Table
→ Hardening Rule: Isotropic → Strain Rate Method: Piecew. Lin.
→ Yield Stress: 1 → Table: „MATERIAL-1“
Tables → „MATERIAL-1“
→ Independent Variable V1 → Type: eq_plastic_strain
→ Formula: Y_0 + H *v1 + (Y_inf - Y_0)*(1-exp(-Omega*v1))
Hierbei bezeichnen die Symbole E, PR, Y_0, H, Y_inf, Omega die von
FEMCard Basic ermittelten Werte entsprechend Tabelle 32.
________________________________________________________________
Bemerkung: Die in diesem Unterabschnitt gemachten Angaben zu Materialpara-
meterbezeichnungen und –umrechnungen für Finite-Elemente-Softwares sind
ohne Gewähr.
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Materialmodelle
82
6.3.4 LARGE strain von MISES VISCOPLASTICITY (Cowper-Symonds, nonl. isotr. hardening), MEAS=true
PLASTICITY → ISOTROPIC → VON MISES → RATE DEPENDENT → COWPER-SYMONDS OVER-
STRESS POWER LAW → LARGE STRAIN
Dieses Materialmodell ist eine Erweiterung der geometrisch nichtlinearen raten-
unabhängigen Von Mises Plastizität aus Abschnitt 6.3.3, bei der das plastische
Verhalten dehnratenabhängig ist. Die Berechnung der viskoplastischen deviatori-
schen Verzerrungsgeschwindigkeiten erfolgt nach dem Cowper-Symonds Über-
spannungsmodell
powndev
pow 3 / 2
(D 1
)h
σ
‖ ‖ (6.99)
welches identisch mit dem Perzyna Überspannungsmodell ist (für die Variablen-
und Materialparameterbezeichnungen siehe die folgenden Unterabschnitte
6.3.4.1 und 6.3.4.2).
6.3.4.1 Kinematik
Die grundlegende kinematische Beziehung bei diesem Materialmodell für finite
Plastizität ist die multiplikative Zerlegung des Deformationsgradientens in einen
elastischen und einen plastischen Anteil mit (siehe Simo (4))
e p F F F . (6.100)
Sich hieraus ergebende Verzerrungsmaße sind beispielsweise der elastische linke
Cauchy-Green-Tensor
T
e e e b F F (6.101)
sowie der inverse plastische rechte Cauchy-Green-Tensor
-1 -1 -T -1 -T
p p p e C F F F b F . (6.102)
Bei der Von Mises Plastizitätstheorie ist die plastische Deformation isochor, hie-
raus folgt p pdet 1J F und somit gilt eJ J .
Die Lie-Ableitung des elastischen linken Cauchy-Green-Tensors lautet
-1 -T T -1 T
v e e pL ( ) t t b F F b F F F C F . (6.103)
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Materialmodelle
83
Bemerkung: Für die in Gleichung (6.103) dargestellte Lie-Ableitung wird die Pull-
back-Operation von eb zu der Referenzkonfiguration berechnet, welches -1
pC
ergibt, worauf die materielle Zeitableitung angewendet wird und das Ergebnis
mittels Push-forward in die Momentankonfiguration abgebildet wird.
Der isochore elastischen linken Cauchy-Green-Tensor ist (siehe auch Gleichung
(3.7))
2/3
e e , detJ J b b F . (6.104)
6.3.4.2 Zusammenfassung der konstitutiven Gleichungen
K1) Kinematik:
e p F F F (6.105)
K2) Interne Variablen: e,b
K3) Freie Energie:
e e( , ) ( ) ( ) b b (6.106)
K4) Spannung:
a) Kirchhoff-Spannungen
dev 1e3
: ln lnK J τ τ τ I b (6.107)
b) (Wahre) Cauchy-Spannungen
true 1
Jσ τ (6.108)
K5) Statische Fließfunktion:
dev3 / 2 ( )h τ ‖ ‖ (6.109)
K6) Isotrope Verfestigung:
0 0( ) y H [ - y ] [1 py ex ( )]Jh (6.110)
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Materialmodelle
84
K7) Assoziierte Fließregel bzw. viskoplastische Evolutionsgleichung:
dev
-1
v e e dev
1 3;)
2L (
2
τ
b bτ τ
Ν Ν
‖ ‖ (6.111)
powndev
powD 1 we3 / 2
, ( )nn
0 we
0( )
)n , ( 0n
hh
h
ττ
τ
‖ ‖
(6.112)
K8) Materialparameter:
pow pow T
0[K, , y , , ,y D nH, , ] κ (6.113)
________________________________________________________________
Bemerkungen:
B1: Innerhalb der Identifikationsroutine werden der Elastizitätsmodul E und
die Poissonzahl anstelle des Kompressionsmoduls K und des Schubmo-
duls verwendet. Hierbei gelten die Beziehungen
E 9K [3K ] (6.114)
und
[3K 2 ] [6K 2 ] . (6.115)
B2: Die interne Variable entspricht der äquivalenten logarithmischen plasti-
schen Dehnung.
B3: Der in FEMCard Basic verwendete Algorithmus zur numerischen Integration
der o.g. Gleichungen basiert auf der Radial-Return Methode (siehe bei-
spielsweise Simo und Hughes (5)).
B4: Das korrespondierende geometrisch lineare Materialmodell für Von Mises
Plastizität ist in Abschnitt 6.3.2 dargestellt.
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Materialmodelle
85
6.3.4.3 Materialparametersatz in FEMCard Basic
Die Materialparameter und Bezeichnungen in der FEMCard Basic Benutzeroberflä-
che lauten (siehe Tabelle 34):
Tabelle 34: Materialparameter für ratenabhängige Von Mises Plastizität mit Materialparametern für isotrope Verfestigungsfunktion
ASCII-Bezeichnung Weitere optionale Bez.
Symbole
E Young's modulus
E
PR Poisson's ratio
Y_0 initial yield limit
0y
Y_inf saturated yield limit
y
Omega exponential hardening modulus
H linear hardening modulus
H
D_pow power law multiplier
powD
n_pow power law exponent
pown
Nach erfolgter Materialparameterermittlung wird zusätzlich zu den o.g. Material-
parametern eine Tabelle mit den äquivalenten logarithmischen plastischen Deh-
nungen und den zugehörigen wahren Fließspannungen ausgegeben (in pdf- und
ASCII-Format, siehe auch Tabelle 35).
Tabelle 35: Isotrope Verfestigung für ‘Large Strain‘ Von Mises Plastizität als Tabellenwerte
'equivalent logarithmic plastic strain [-]'
'true yield stress'
0 Y_0
… …
… …
2 …
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Materialmodelle
86
________________________________________________________________
Bemerkungen:
B1: Die mit der Verfestigungsfunktion (6.110) erstellte Tabelle 35 hat einen
Wertebereich [0 , 2] für die äquivalenten logarithmischen plastischen Deh-
nungen. Der obere Wert von 2 für die äquivalenten logarithmischen plasti-
schen Dehnungen wurde aus technischen Gründen gewählt.
B2: Die Tabellenwerte können nur für den mit Messdaten belegten Bereich der
plastischen Verformung gültig sein. Es liegt in der Verantwortung des Be-
nutzers, die Werte der Materialparameter auf Gültigkeit zu prüfen.
B3: Die Kriterien 0y ,yE, >, 0,H sowie pow powD n, 0 sowie 0 0.5 und 0y > y
werden in FEMCard Basic bei der Startparametereingabe und während der
Parameteridentifikation überprüft und ggf. korrigiert.
________________________________________________________________
6.3.4.4 Materialparametersatz in Finite-Elemente-Software
Zusammen mit den Materialparametern E (Young’s modulus) und PR (Poisson’s
ratio) lässt sich Tabelle 35 in einer Vielzahl von Finite-Elemente-Softwares zur Si-
mulation von Von Mises Plastizität mit isotroper Verfestigung verwenden. Das
Überspannungsmodell, welches die Dehnratenabhängigkeit beschreibt, wird in
der folgenden Finite-Elemente-Software folgendermaßen bezeichnet:
Abaqus® (Version 6.14) Software:
Input File Usage: *RATE DEPENDENT, TYPE=POWER LAW
Tabelle 36: Materialparameterbezeichnungen in Abaqus® CAE Software
Symbol FEMCard Basic
Bezeichnung in Abaqus® CAE Software
powD = Multiplier
pown = Exponent
________________________________________________________________
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Materialmodelle
87
ANSYS® (Release 12.0) Software:
ANSYS® Preprocessor Software:
Visco-Plasticity Options: Perzyna Model
Tabelle 37: Materialparameterbezeichnungen in ANSYS® Preprocessor Software
Umrechnung und Symbol FEMCard Basic
Bezeichnung in ANSYS® Preprocessor
Software powD = Gamma
pow1 n = m
________________________________________________________________
Neben der Eingabe der plastischen Verfestigungskurve über die o.g. Ta-
bellenwerte lässt sich in bestimmten Finite-Elemente-Softwares die plastische
Verfestigungskurve ebenfalls über die Verfestigungsfunktion (6.110) angeben.
Im Folgenden wird die Verwendung der von FEMCard Basic ermittelten Parameter
in der Marc® Mentat® (2014.2.0) Software beschrieben.
Marc® Mentat® (2014.2.0) Software:
Material Properties:
→ Type: Elastic-Plastic Isotropic → Young's modulus E, Poisson's ratio PR
→ Plasticity Properties
→ Yield Criterion: Von Mises → Method: Table
→ Hardening Rule: Isotropic
→ Strain Rate Method: Cowper-Symonds (s.a. Tabelle 38)
→ Yield Stress: 1 → Table: „MATERIAL-1“
Tabelle 38: Materialparameterbezeichnungen in Marc® Mentat® (2014.2.0) Software
Umrechnung und Symbol FEMCard Basic
Bezeichnung in Marc® Mentat®
Software powD = Coefficient C
pown = Inverse Exponent P
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Materialmodelle
88
Bei Verwendung der Verfestigungsfunktion (6.110) in der
Marc® Mentat® (2014.2.0) Software gilt:
Tables → „MATERIAL-1“
→ Independent Variable V1 → Type: eq_plastic_strain
→ Formula: Y_0 + H *v1 + (Y_inf - Y_0)*(1-exp(-Omega*v1))
Hierbei bezeichnen die Symbole E, PR, Y_0, H, Y_inf, Omega die von
FEMCard Basic ermittelten Werte entsprechend Tabelle 34.
________________________________________________________________
Bemerkung: Die in diesem Unterabschnitt gemachten Angaben zu Materialpara-
meterbezeichnungen und –umrechnungen für Finite-Elemente-Softwares sind
ohne Gewähr.
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Materialmodelle
89
6.4 Ramberg-Osgood (Deformation Plasticity)
Das Ramberg-Osgood Materialmodell wird auch als “deformation plasticity” Mate-
rialmodell bezeichnet. Es soll hier jedoch darauf hingewiesen werden, dass dieses
Materialmodell nichtlinear elastisches Verhalten beschreibt und somit keine Fließ-
bedingung vorliegt. Die nichtlinearen Verzerrungsanteile treten bei beliebig klei-
nen Spannungen auf und sind gegeben durch inkompressibles assoziiertes “plas-
tisches” Fließen senkrecht zu der von Mises Fließfläche.
6.4.1 1D SMALL strain deformation plasticity (rate independent RAM-
BERG-OSGOOD)
DEFORMATION PLASTICITY → SMALL STRAIN → 1D
Die 1D Formulierung des nichtlinear elastischen Ramberg-Osgood Materials lau-
tet
ron 1
xxxxxx
roxx
0σ
α
E E
(6.116)
mit dem Materialparametersatz
0 ro
T
ro[E, ,α ,n ]σκ (6.117)
6.4.2 3D SMALL strain deformation plasticity (rate independent RAM-BERG-OSGOOD)
DEFORMATION PLASTICITY → SMALL STRAIN → 3D
6.4.2.1 Geometrisch lineare Theorie
Unter Berücksichtigung der geometrisch linearen Theorie ('SMALL strain') berech-
net sich das totale Verzerrungsfeld zu
T1
2 X Xε u u (6.118)
mit dem Verschiebungsfeld u . Weiterhin wird die additive Zerlegung des Verzer-
rungstensors in einen deviatorischen und einen sphärischen (bzw. volumetri-
schen) Anteil betrachtet mit
sph dev sph dev1 1; tr ; tr
3 3 ε ε ε ε ε ε εI ε I . (6.119)
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Materialmodelle
90
6.4.2.2 Dreidimensionale Verallgemeinerung des Ramberg-Osgood-Gesetzes
Die dreidimensionale Verallgemeinerung der Gleichung (6.116) erfolgt über ein
lineares St. Venant-Kirchhoff Material für den linearen Anteil
lin
sph 1 2 1:
E 3
ε σ I I (6.120)
l
dev din
ev1
E
ε σ (6.121)
und die dreidimensionale Verallgemeinerung des nichtlinearen “plastischen“ An-
teils
ron 1
dev
dev dev
0
nlinro
σ
3 2α3
2 E
σ
ε σ‖ ‖
(6.122)
Das “plastische“ Fließen ist inkompressibel und somit gilt nl
sphin
ε 0 . Für die Deh-
nungen folgt
sph devlin lin
denlin
v ε ε ε ε (6.123)
mit
ron 1
dev
dev devro
0
3 2α1 2 1 1 3:
E 3 E 2 E σ
σε σ I I σ σ
‖ ‖ . (6.124)
Der Materialparametersatz lautet somit
0 ro
T
ro[E, , ,α , ]σ n κ . (6.125)
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Materialmodelle
91
6.4.2.3 Materialparametersatz in FEMCard Basic
Die Materialparameter und Bezeichnungen in der FEMCard Basic Benutzeroberflä-
che lauten (siehe Tabelle 39):
Tabelle 39: Materialparameter für Ramberg-Osgood (Deformation Plasticity)
ASCII-Bezeichnung Weitere optionale Bez.
Symbole
E Young's modulus
E
PR Poisson's ratio
sig_0 yield stress
0σ
alpha_ro yield offset
roα
n_ro hardening exponent
ron
________________________________________________________________
Bemerkung:
Die Kriterien 0 roE, ασ , >0 sowie 0 0.5 und ron >1 werden in FEMCard Basic bei
der Startparametereingabe und während der Parameteridentifikation überprüft
und ggf. korrigiert.
________________________________________________________________
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Materialmodelle
92
6.4.2.1 Materialparametersatz in Finite-Elemente-Software
Die Materialparameter für das Ramberg-Osgood Materialmodell lassen sich in ei-
ner Vielzahl von Anwendungen verwenden. Diese Materialmodell wird in der
Abaqus® (Version 6.14) Software als Deformation Plasticity bezeichnet:
Abaqus® (Version 6.14) Software:
Input File Usage: *DEFORMATION PLASTICITY
Tabelle 40: Materialparameterbezeichnungen in Abaqus® CAE Software
Symbol FEMCard Basic Bezeichnung in Abaqus® CAE Software
E = Young's modulus
= Poisson's ratio
0σ = Yield Stress
roα = Yield Offset
ron = Exponent
________________________________________________________________
Bemerkung: Die in diesem Unterabschnitt gemachten Angaben zu Materialpara-
meterbezeichnungen und –umrechnungen für Finite-Elemente-Softwares sind
ohne Gewähr.
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Materialmodelle
93
6.5 Hill- (Visko-) Plastizität
6.5.1 Namenskonvention
Die Beschreibung der in FEMCard Basic enthaltenen Materialmodelle für Hill-
(Visko-) Plastizität in Unterkapitel 6.5 ist jeweils abschnittsweise abhängig von in
der Baumansicht enthaltenen Bezeichnungen.
Die in FEMCard Basic implementierten Materialmodelle für Hill-(Visko-) Plastizität
sind (jeweils analoge Bezeichnungen bei Materialmodellen mit “rotational symmetry:
Y” bzw. “rotational symmetry: Z”):
PLASTICITY →
TRANSVERSELY ISOTROPIC → HILL (RIJ) →
RATE INDEPENDENT →
SMALL STRAIN →
ROTATIONAL SYMMETRY: X →
WITH TRANSVERSELY ISOTROPIC ELASTICITY →
SMALL strain transv. isotr. HILL (Rij) PLASTICITY (nonl.
isotr. hardg.), rotat. symm: X, (w. transv. isotr.
Elasticity)
WITH ISOTROPIC ELASTICITY →
SMALL strain transv. isotr. HILL (Rij) PLASTICITY (nonl.
isotr. hardg.), rotat. symm: X, (w. isotr. Elasticity)
LARGE STRAIN →
ROTATIONAL SYMMETRY: X → UNIAX/BIAX: MEAS=TRUE, SHEAR:
MEAS=ENGR. →
WITH TRANSVERSELY ISOTROPIC ELASTICITY →
LARGE strain transv. isotr. HILL (Rij) PLASTICITY (nonl.
isotr. hardg.), rotat. symm: X, (w. transv. isotr.
Elasticity); Uniax/Biax: MEAS=true, Shear: Meas=engr.
WITH ISOTROPIC ELASTICITY →
LARGE strain transv. isotr. HILL (Rij) PLASTICITY (nonl.
isotr. hardg.), rotat. symm: X, (w. isotr. Elasticity);
Uniax/Biax: MEAS=true, Shear: Meas=engr.
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Materialmodelle
94
RATE DEPENDENT → COWPER-SYMONDS OVERSTRESS POWER LAW →
SMALL STRAIN →
ROTATIONAL SYMMETRY: X →
WITH TRANSVERSELY ISOTROPIC ELASTICITY →
SMALL strain transv. isotr. HILL (Rij) VISCOPLASTI.
(Cowper-Symonds, nonl. isotr. hardg.), rotat. symm: X,
(w. transv. isotr. Elasticity)
WITH ISOTROPIC ELASTICITY →
SMALL strain transv. isotr. HILL (Rij) VISCOPLASTI.
(Cowper-Symonds, nonl. isotr. hardg.), rotat. symm: X,
(w. isotr. Elasticity)
LARGE STRAIN →
ROTATIONAL SYMMETRY: X → UNIAX/BIAX: MEAS=TRUE, SHEAR:
MEAS=ENGR. →
WITH TRANSVERSELY ISOTROPIC ELASTICITY →
LARGE strain transv. isotr. HILL (Rij) VISCOPLASTI.
(Cowper-Symonds, nonl. isotr. hardg.), rotat. symm: X,
(w. transv. isotr. Elasticity); Uniax/Biax: MEAS=true,
Shear: Meas=engr.
WITH ISOTROPIC ELASTICITY →
LARGE strain transv. isotr. HILL (Rij) VISCOPLASTI.
(Cowper-Symonds, nonl. isotr. hardg.), rotat. symm: X,
(w. isotr. Elasticity); Uniax/Biax: MEAS=true, Shear:
Meas=engr.
ORTHOTROPIC → HILL (RIJ) →
RATE INDEPENDENT →
SMALL STRAIN →
WITH ORTHOTROPIC ELASTICITY →
SMALL strain orthotropic HILL (Rij) PLASTICITY (nonl. isotr.
hardg.), (w. orthotropic Elasticity)
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Materialmodelle
95
WITH ISOTROPIC ELASTICITY →
SMALL strain orthotropic HILL (Rij) PLASTICITY (nonl. isotr.
hardg.), (w. isotr. Elasticity)
LARGE STRAIN → UNIAX/BIAX: MEAS=TRUE, SHEAR: MEAS=ENGR. →
WITH ORTHOTROPIC ELASTICITY →
LARGE strain orthotropic HILL (Rij) PLASTICITY (nonl. isotr.
hardg.), (w. orthotropic Elasticity); Uniax/Biax: MEAS=true,
Shear: Meas=engr.
WITH ISOTROPIC ELASTICITY →
LARGE strain orthotropic HILL (Rij) PLASTICITY (nonl. isotr.
hardg.), (w. isotr. Elasticity); Uniax/Biax: MEAS=true, Shear:
Meas=engr.
RATE DEPENDENT → COWPER-SYMONDS OVERSTRESS POWER LAW →
SMALL STRAIN →
WITH ORTHOTROPIC ELASTICITY →
SMALL strain orthotropic HILL (Rij) VISCOPLASTI. (Cowper-
Symonds, nonl. isotr. hardg.), (w. orthotropic Elasticity)
WITH ISOTROPIC ELASTICITY →
SMALL strain orthotropic HILL (Rij) VISCOPLASTI. (Cowper-
Symonds, nonl. isotr. hardg.), (w. isotr. Elasticity)
LARGE STRAIN → UNIAX/BIAX: MEAS=TRUE, SHEAR: MEAS=ENGR. →
WITH ORTHOTROPIC ELASTICITY →
LARGE strain orthotropic HILL (Rij) VISCOPLASTI. (Cowper-
Symonds, nonl. isotr. hardg.), (w. orthotropic Elasticity);
Uniax/Biax: MEAS=true, Shear: Meas=engr.
WITH ISOTROPIC ELASTICITY →
LARGE strain orthotropic HILL (Rij) VISCOPLASTI. (Cowper-
Symonds, nonl. isotr. hardg.), (w. isotr. Elasticity);
Uniax/Biax: MEAS=true, Shear: Meas=engr.
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Materialmodelle
96
6.5.2 Small strain Hill (Visco-)plasticity
… → HILL (RIJ) → … → SMALL STRAIN → …
6.5.2.1 Geometrisch lineare Theorie
Unter Berücksichtigung der geometrisch linearen Theorie ('SMALL strain') berech-
net sich das totale Verzerrungsfeld zu
T1
2 X Xε u u (6.126)
Mit dem Verschiebungsfeld u . Weiterhin wird eine additive Zerlegung in einen
elastischen eε und plastischen Anteil p
ε angenommen mit e p ε ε ε .
6.5.2.2 Quadratische Hill-Fließfunktion
Die quadratische Hill-Fließfunktion (1948, siehe Hill (6)) ist eine orthotrope Er-
weiterung der von Mises Fließfunktion. Orthotrope Materialien besitzen eine Ma-
terialsymmetrie bzgl. drei senkrecht aufeinander stehenden Ebenen. Für den Fall,
dass die Achsen des xyz-Koordinatensystems mit den drei Achsen der Material-
Orthotropie übereinstimmen lautet die Hill-Fließfunktion
2 2 2
2 2 22 2 2yy zz zz xx xx yy yz zx xyF G H L M N h . (6.127)
Die Materialparameter , , , , ,F G H L M N aus der o.g. Darstellung der Hill-Fließfunk-
tion lassen sich in dimensionslose Materialparameter xx yy zz xy yz xz, , , ,R R R ,R R R über-
führen mit
2 2 2 2 2 2
yy zz xx yy zz x
2
x
1 1 1 1 1 1 1
2 2ˆ ˆ ˆ R R RF
h
(6.128)
2 2 2 2 2 2
zz xx yy zz xx y
2
y
1 1 1 1 1 1 1
2 2ˆ ˆ ˆ R R RG
h
(6.129)
2 2 2 2 2 2
xx yy zz xx yy z
2
z
1 1 1 1 1 1 1
2 2ˆ ˆ ˆ R R RH
h
(6.130)
2 2
yz
2
yz2ˆ R
3
2
hL
(6.131)
2 2
xz
2
xz2ˆ R
3
2
hM
(6.132)
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Materialmodelle
97
2 2
xy
2
xy2ˆ R
3
2
hN
(6.133)
Hierbei ist h die Referenzfließspannung, welche für dieses Materialmodell in Glei-
chung (6.145) über die Funktion für die isotrope Verfestigung definiert werden
wird. Weiterhin entsprechen xx yy zzˆ ˆ ˆ, , den jeweiligen uniaxialen Fließspannun-
gen in die Richtungen x, y und z, während xy xz yzˆ ˆ ˆ, , den jeweiligen Fließspan-
nungen bei reinem Schub entlang den entsprechenden Ebenen orthogonal zu den
Hauptrichtungen der Orthotropie entsprechen. Die dimensionslosen Materialpara-
meter sind somit folgendermaßen definiert
yy xy yzxx zz xz
xx yy zz xy yz xz, , , ,ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ
R R R R ,R Rh h h h h h
. (6.134)
Wird für die Tensoren die Voigtsche Notation verwendet, so dass beispielsweise
für die Spannungen xx yy xy xz y
T
zzz σ gilt, kann weiterhin die Mat-
rix Q definiert werden mit (siehe De Borst und Feenstra (7))
- - 0 0 0
- - 0 0 0
- - 0 0 0
0 0 0 2 0 0
0 0 0 0 2 0
0 0 0 0 0 2
2
3
G H H G
H F H F
G F F G
N
L
M
Q (6.135)
und eine zu Gleichung (6.127) äquivalente Darstellung für die Hill-Fließfunktion
kann dargestellt werden mit
T3
2h σ Qσ . (6.136)
Bemerkung: Für Werte xx yy zz xy yz xzR R R R R R 1 entspricht die Hill-Fließ-
funktion der von Mises Fließfunktion. Die Hill-Fließfunktion ist – wie die von Mises
Fließfunktion – nicht abhängig vom hydrostatischen Druck.
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Materialmodelle
98
6.5.2.3 Konvexität der Hill-Fließfläche
Im Gegensatz zur von Mises Fließfunktion ist die Hill-Fließfunktion für bestimmte
Kombinationen von Parametern xx yy zz,R R ,R (bzw. , ,F G H ) in Verbindung mit be-
stimmten Spannungszuständen nicht definiert, bzw. die zugehörige Fließfläche ist
nicht konvex. Für konvexe Fließflächen muss die Matrix Q positiv semi-definit
sein. Gilt xx yy zz xy yz xzR R R R R R, , , , , >0 , muss somit gelten
2 2 2 0F G H F F G G F H G H H . (6.137)
FEMCard Basic führt keine Untersuchung der identifizierten Materialparameter-
sätze xx yy zz,R R ,R auf Einhaltung der in Gleichung (6.137) genannten Bedingung
aus. Es liegt in der Verantwortung des Benutzers, zu überprüfen, ob die ermittel-
ten Parameter für die in den Berechnungen jeweils vorliegenden Spannungszu-
stände zulässig sind.
6.5.2.4 Zusammenfassung der konstitutiven Gleichungen
K1) Kinematik:
e p ε ε ε (6.138)
K2) Interne Variablen: p, ε
K3) Freie Energie:
e e( , ) ( ) ( ) ε ε (6.139)
K4) Spannung:
e σ D ε (6.140)
Elastizitätsgesetz, zugehöriger Teil-Materialparametersatz und Krite-
rien/Abfragen für die zugehörige Materialstabilität:
a. … → ORTHOTROPIC → … → WITH ORTHOTROPIC ELASTICITY →
Siehe “SMALL strain orthotropic ELASTICITY” (s. Abschnitt 6.1.2)
b. … → TRANSVERSELY ISOTROPIC → … → ROTATIONAL SYMMETRY: X → WITH
TRANSVERSELY ISOTROPIC ELASTICITY →
Siehe “SMALL strain transversely isotropic ELASTICITY, rotat.
symm.: X” (s. Abschnitt 6.1.3)
c. … → TRANSVERSELY ISOTROPIC → … → ROTATIONAL SYMMETRY: Y → WITH
TRANSVERSELY ISOTROPIC ELASTICITY →
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Materialmodelle
99
Siehe “SMALL strain transversely isotropic ELASTICITY, rotat.
symm.: Y” (s. Abschnitt 6.1.4)
d. … → TRANSVERSELY ISOTROPIC → … → ROTATIONAL SYMMETRY: Z → WITH
TRANSVERSELY ISOTROPIC ELASTICITY →
Siehe “SMALL strain transversely isotropic ELASTICITY, rotat.
symm.: Z” (s. Abschnitt 6.1.5)
e. … → WITH ISOTROPIC ELASTICITY →
Siehe “3D SMALL strain ELASTICITY” (s. Abschnitt 6.1.1)
K5) Statische Fließfunktion:
T (3
2)h Qσ σ (6.141)
Die Kriterien xx yy zz xy yz xzR R R R R R, , , , , >0 für den Teilparametersatz, welcher
zur Definition der Matrix Q benötigt wird, werden in FEMCard Basic bei der
Startparametereingabe und während der Parameteridentifikation überprüft
und ggf. korrigiert. Es findet für die statische Fließfunktion in FEMCard Ba-
sic keine weitere Stabilitätsuntersuchung statt (siehe hierzu auch Unterab-
schnitt 6.5.2.3).
Für die transversal isotropen Hill-Materialmodelle gelten folgende Abhän-
gigkeiten:
a. … → TRANSVERSELY ISOTROPIC → … → ROTATIONAL SYMMETRY: X
zz yy xz xy yz 2
yy
3R =R ; R =R ; R =
4 R 1 (6.142)
b. … → TRANSVERSELY ISOTROPIC → … → ROTATIONAL SYMMETRY: Y
zz xx yz xy xz 2
xx
3R =R ; R =R ; R =
4 R 1 (6.143)
c. … → TRANSVERSELY ISOTROPIC → … → ROTATIONAL SYMMETRY: Z
yy xx yz xz xy 2
xx
3R =R ; R =R ; R =
4 R 1 (6.144)
K6) Isotrope Verfestigung:
0 0( ) y H [ - y ] [1 ey xp( )]h (6.145)
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Materialmodelle
100
Die Kriterien 0y ,y , >0,H sowie 0y > y für den zur isotropen Verfesti-
gungsfunktion zugehörigen Teilparametersatz werden in FEMCard Basic bei
der Startparametereingabe und während der Parameteridentifikation über-
prüft und ggf. korrigiert.
K7) Assoziierte Fließregel:
T
p 3;
2
σε Ν Ν
σ σ
Q
Qσ
(6.146)
Evolutionsgleichung für interne Variable :
a. ... RATE INDEPENDENT → …
0 ; 0
b. ... RATE DEPENDENT → COWPER-SYMONDS OVERSTRESS POWER LAW →
…
pown
pow
T
1D wenn
0
31 , ( ) 0
( ) 2
, ( ) 0wenn
hh
h
σσ
σ
Q
σ Qσ
(6.147)
Die Berechnung der viskoplastischen deviatorischen Verzer-
rungsgeschwindigkeiten erfolgt nach dem Cowper-Symonds
Überspannungsmodell welches identisch mit dem Perzyna
Überspannungsmodell ist. Die Kriterien pow powD n, 0 für den
zur Überspannungsfunktion zugehörigen Teilparametersatz
werden in FEMCard Basic bei der Startparametereingabe und
während der Parameteridentifikation überprüft und ggf. korri-
giert.
Bemerkungen:
B1: Die äquivalente plastische Dehnung entspricht der internen Variablen
, für die gilt
p= 2 / 3 ε ‖ ‖ . (6.148)
B2: Der in FEMCard Basic verwendete Algorithmus zur numerischen In-
tegration der o.g. Gleichungen basiert auf der Radial-Return Me-
thode. Für den Return-Mapping Algorithmus für die statische Fließ-
funktion (Gleichung (6.141)) siehe De Borst und Feenstra (7). Für
die Radial-Return Methode bei Viskoplastizität allgemein siehe bei-
spielsweise Simo (4)).
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Materialmodelle
101
K8) Materialparameter:
Für das Beispiel von … → ORTHOTROPIC → …→... RATE DEPENDENT → COWPER-
SYMONDS OVERSTRESS POWER LAW → …→ WITH ORTHOTROPIC ELASTICITY lautet der
Materialparametersatz:
T
x y z xy xz yz
pow pow
xx yy zz xxy x y xz yz 0zyz R R[E ,E ,E , , , ,G ,G ,G , , , , , , ,R R R R y Dy , , ,H, , ]n κ
(6.149)
6.5.2.5 Materialmodelle und Materialparametersätze
Für das Beispiel von … → ORTHOTROPIC → …→... RATE DEPENDENT → COWPER-SYMONDS
OVERSTRESS POWER LAW → …→ WITH ORTHOTROPIC ELASTICITY lauten die Materialpara-
meter und Bezeichnungen in der FEMCard Basic Benutzeroberfläche (siehe Ta-
belle 41):
Tabelle 41: Materialparameter für Orthotrope Hill Viskoplastizität mit Materialparametern für isotrope Verfestigungsfunktion
ASCII-Bezeichnung Weitere optionale Bez.
Symbole
E_x Young's modulus along axis X
xE
E_y Young's modulus along axis Y
yE
E_z Young's modulus along axis Z
zE
nu_xy Poisson's ratio nu_xy
xy
nu_xz Poisson's ratio nu_xz
xz
nu_yz Poisson's ratio nu_yz
yz
G_xy shear modulus G_xy
xyG
G_xz shear modulus G_xz
xzG
G_yz shear modulus G_yz
yzG
R_xx xxR
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Materialmodelle
102
R_yy yyR
R_zz zzR
R_xy xyR
R_xz xzR
R_yz yzR
Y_0 initial yield limit
0y
Y_inf saturated yield limit
y
Omega exponential hardening modulus
H linear hardening modulus
H
D_pow power law multiplier
powD
n_pow power law exponent
pown
Nach erfolgter Materialparameterermittlung wird zusätzlich zu den o.g. Material-
parametern eine Tabelle mit den äquivalenten plastischen Dehnungen und den
zugehörigen Fließspannungen ausgegeben (in pdf- und ASCII-Format, siehe auch
Tabelle 42).
Tabelle 42: Isotrope Verfestigung für Hill Plastizität als Tabellenwerte
'equivalent plastic strain [-]' 'yield stress'
0 Y_0
… …
… …
0.1 …
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Materialmodelle
103
________________________________________________________________
Bemerkungen:
B1: Die mit der Verfestigungsfunktion (6.145) erstellte Tabelle 42 hat einen
Wertebereich [0 , 0.1] für die äquivalenten plastischen Dehnungen. Der
obere Wert von 0.1 ≙ 10% äquivalenten plastischen Dehnungen wurde
aus technischen Gründen gewählt. Der zulässige Bereich der geometrisch
linearen Theorie ist hierbei deutlich überschritten.
B2: Die Tabellenwerte können nur für den mit Messdaten belegten Bereich der
plastischen Verformung gültig sein. Es liegt in der Verantwortung des Be-
nutzers, die Werte der Materialparameter auf Gültigkeit zu prüfen.
6.5.2.6 Materialparametersatz in Finite-Elemente-Software
Zusammen mit den Elastizitätskonstanten E, bzw. x y z xy xz yz xy xz yzE ,E ,E , , , ,G ,G ,G
und Tabelle 42 lassen sich die Konstanten xx yy zz xy xz yz, , , ,R R R ,R R R in einer Vielzahl
von Finite-Elemente-Softwares zur Simulation von Hill-Plastizität mit isotroper
Verfestigung verwenden. Bei Verwendung der transversal isotropen Materialmo-
delle der Hill-Plastizität sind hierbei die Abhängigkeiten der Elastizitätskonstanten
untereinander (siehe Abschnitte 6.1.3-6.1.5) und der Konstanten ijR untereinan-
der (siehe Gleichungen (6.142)-(6.144)) zu beachten.
Es gilt in den folgenden Finite-Elemente-Softwares:
Abaqus® (Version 6.14) Software:
Input File Usage: *PLASTIC
*POTENTIAL
Tabelle 43: Materialparameterbezeichnungen in Abaqus® CAE Software
Symbol FEMCard Basic Bezeichnung in Abaqus® CAE Software
xxR = R11
yyR = R22
zzR = R33
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Materialmodelle
104
xyR = R12
xzR = R13
yzR = R23
Das Überspannungsmodell, welches die Dehnratenabhängigkeit beschreibt, wird
in der Abaqus® (Version 6.14) Software folgendermaßen bezeichnet:
Input File Usage: *RATE DEPENDENT, TYPE=POWER LAW
Tabelle 44: Materialparameterbezeichnungen in Abaqus® CAE Software
Symbol FEMCard Basic Bezeichnung in Abaqus® CAE Software
powD = Multiplier
pown = Exponent
________________________________________________________________
ANSYS® (Release 12.0) Software:
ANSYS® Preprocessor Software:
→ Structural → Nonlinear → Inelastic → Rate Independent/Rate Depend-
ent → Isotropic Hardening Plasticity → Hill Plasticity → Multilinear
Tabelle 45: Materialparameterbezeichnungen in ANSYS® Preprocessor Software
Umrechnung und Symbol FEMCard Basic
Bezeichnung in ANSYS® Preprocessor
Software
xxR = rxx
yyR = ryy
zzR = rzz
xyR = rxy
yzR = ryz
xzR = rxz
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Materialmodelle
105
Das Überspannungsmodell, welches die Dehnratenabhängigkeit beschreibt, wird
in der ANSYS® (Release 12.0) Software folgendermaßen bezeichnet:
ANSYS® Preprocessor Software:
Visco-Plasticity Options: Perzyna Model
Tabelle 46: Materialparameterbezeichnungen in ANSYS® Preprocessor Software
Umrechnung und Symbol FEMCard Basic
Bezeichnung in ANSYS® Preprocessor
Software powD = Gamma
pow1 n = m
________________________________________________________________
Neben der Eingabe der plastischen Verfestigungskurve über die o.g. Ta-
bellenwerte (siehe Tabelle 42) lässt sich in bestimmten Finite-Elemente-Soft-
wares die plastische Verfestigungskurve ebenfalls über die Verfestigungsfunktion
(6.145) angeben. Im Folgenden wird die Verwendung der von FEMCard Basic er-
mittelten Parameter in der Marc® Mentat® (2014.2.0) Software beschrieben.
Marc® Mentat® (2014.2.0) Software:
Material Properties:
→ Type: Elastic-Plastic Orthotropic
Bem: Allgemein gilt zzx xz
x
E
E (siehe auch Abschnitte 6.1.2 - 6.1.5 für
die Beziehungen zwischen den Elastizitätskonstanten)
→ Plasticity Properties
→ Yield Criterion: Hill → Method: Table
→ Hardening Rule: Isotropic
→ Strain Rate Method: Cowper-Symonds (s. Tabelle 48)
→ Yield Stress: 1 → Table: „MATERIAL-1“ (s.u.)
→ Direct Stress bzw. Shear Stress Yield Ratios (s. Tabelle 47)
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Materialmodelle
106
Tabelle 47: Materialparameterbezeichnungen in Marc® Mentat® (2014.2.0) Software
Umrechnung und Symbol FEMCard Basic
Bezeichnung in Marc® Mentat®
Software
xxR = Yrdir1
yyR = Yrdir2
zzR = Yrdir3
xyR = Yrshr1
yzR = Yrshr2
xzR = Yrshr3
Tabelle 48: Materialparameterbezeichnungen in Marc® Mentat® (2014.2.0) Software
Umrechnung und Symbol FEMCard Basic
Bezeichnung in Marc® Mentat®
Software powD = Coefficient C
pown = Inverse Exponent P
Bei Verwendung der Verfestigungsfunktion (6.145) in der
Marc® Mentat® (2014.2.0) Software gilt:
Tables → „MATERIAL-1“
→ Independent Variable V1 → Type: eq_plastic_strain
→ Formula: Y_0 + H *v1 + (Y_inf - Y_0)*(1-exp(-Omega*v1))
Hierbei bezeichnen die Symbole Y_0, H, Y_inf, Omega die von FEMCard Basic er-
mittelten Werte entsprechend Tabelle 41.
________________________________________________________________
Bemerkung: Die in diesem Unterabschnitt gemachten Angaben zu Materialpara-
meterbezeichnungen und –umrechnungen für Finite-Elemente-Softwares sind
ohne Gewähr.
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Materialmodelle
107
6.5.3 Large strain Hill (Visco-)plasticity
… → HILL (RIJ) → … → LARGE STRAIN → …
6.5.3.1 Bemerkungen zur numerischen Umsetzung
Die geometrisch nichtlineare Implementierung der Hill (Visko-) Plastizität in
FEMCard Basic verwendet eine multiplikative Zerlegung des Deformationsgradi-
enten in einen elastischen und einen plastischen Anteil, lineare Hyperelastizität
und eine exponentielle Abbildung zur numerischen Integration der plastischen
Dehnungen wie sie in Caminero et al. (8) vorgeschlagen wurde.
Hierbei sind sowohl der Aufbau der quadratischen Hill-Fließfunktion und alle Pa-
rameterbezeichnungen und Überprüfungen in FEMCard Basic analog zu dem kor-
respondierenden Modell für kleine Verzerrungen in Abschnitt 6.5.2. Dies gilt so-
mit für:
die Elastizitätskonstanten E, bzw. x y z xy xz yz xy xz yzE ,E ,E , , , ,G ,G ,G ,
die dimensionslosen Parameter xx yy zz xy xz yz, , , ,R R R ,R R R ,
die Parameter der isotropen Verfestigungsfunktion 0y ,y , ,H sowie der
zugehörigen Tabelle mit den äquivalenten logarithmischen plastischen
Dehnungen und den zugehörigen wahren Fließspannungen,
die Parameter pow pow,D n des Cowper-Symonds Überspannungsmodells
(Perzyna Überspannungsmodell).
Entsprechend dem Vermerk ‚Uniax/Biax: MEAS=true, Shear: Meas=engr.‘ wer-
den als eigegebene Messdaten und ausgegebene Simulationsdaten folgende Da-
ten verwendet:
Für die Versuchstypen ‚Uniaxial‘ und ‚Biaxial‘ sind als Dehnungsmesswerte
die logarithmischen Dehnungen (siehe Abschnitt 4.2.1 und Gleichungen
(4.4)-(4.6)) und die wahren (Cauchy) Spannungen (siehe Gleichung
(3.31)) einzugeben.
Für den Versuchstyp ‚Simple Shear‘ (siehe auch Abschnitt 5.4) wird für
eine bessere Benutzerfreundlichkeit auch für die 'Hill LARGE strain'-Materi-
almodelle immer die Ingenieurdehnung und -spannung für die Messdaten-
eingabe verwendet und in FEMCard Basic unter Berücksichtigung der geo-
metrisch nichtlinearen Theorie verarbeitet. Es werden hier somit dieselben
Messwerttypen wie für den Versuchstyp ‚Shear‘ bei 'SMALL strain'-Materi-
almodellen verwendet.
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Materialmodelle
108
6.6 Viskoelastizität
6.6.1 SMALL strain VISCOELASTICITY
6.6.2 LARGE strain OGDEN VISCOELASTICITY
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Materialmodelle
109
6.6.1 SMALL strain VISCOELASTICITY
VISCOELASTICITY → SMALL STRAIN → 1-5 RELAXATION MODULE(S)
________________________________________________________________
Bemerkung: Die Konstante GN bezeichnet die Anzahl an Relaxations-Termen
(‘Relaxation-Modules‘) und wird über die Auswahl des Materialmodells definiert.
Es gilt G1 N 5 .
6.6.1.1 Motivation: Generalisiertes Maxwell-Modell in 1D
Als Ausgangspunkt wird zuerst das generalisierte Maxwell-Modell in 1D betrach-
tet, bei dem zu einer Feder mit der Steifigkeit E eine Anzahl von N Maxwell-Ele-
menten parallel geschaltet ist. Die Maxwell-Elemente wiederum bestehen jeweils
aus einer Feder mit Steifigkeit Ei und einem Dämpfer mit der Dämpfungs-
konstanten i , welche in Reihe geschaltet sind. Für die Relaxationszeiten jedes
Maxwell-Elementes gilt i i iE .
6.6.1.2 Geometrisch lineare Theorie
Unter Berücksichtigung der geometrisch linearen Theorie ('SMALL strain') berech-
net sich das totale Verzerrungsfeld zu
T1
2 X Xε u u (6.150)
Mit dem Verschiebungsfeld u . Weiterhin wird die additive Zerlegung des Verzer-
rungstensors in einen deviatorischen und einen sphärischen (bzw. volumetri-
schen) Anteil betrachtet mit
sph dev sph dev1 1; tr ; tr
3 3 ε ε ε ε ε ε εI ε I . (6.151)
6.6.1.3 Konstitutive Gleichungen
Bei dem in FEMCard Basic implementierten Modell für lineare Viskoelastizität un-
ter Berücksichtigung der geometrisch linearen Theorie ist der viskose Anteil der
Deformation nur von den deviatorischen Verzerrungen und Spannungen abhän-
gig. Somit wird die Volumendilatation als rein elastisch angenommen. Die dreidi-
mensionale Verallgemeinerung des oben genannten generalisierten Maxwell-Mo-
dells liefert in der integralen Darstellungsform das Faltungsintegral (siehe bei-
spielsweise Simo und Hughes (5))
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Materialmodelle
110
dev
sph
0
2 G d 3K
t
t t s ss
εσ ε , (6.152)
wobei s die Integrationsvariable mit der Dimension der Zeit t ist. Für 0t gilt
hierbei, dass ε σ 0 . Die Gewichtung ist die Schub-Relaxationsfunktion, welche
die viskoelastische Charakteristik des Materials bestimmt. Diese ist gegeben
durch die Prony-Reihe
GN
i i
i=1
G G G expt t , (6.153)
mit den elastischen Schubmoduln G i und Relaxationszeiten i für jede Prony-
Komponente. Der elastische Gleichgewichts-Schubmodul G bestimmt den
Grenzwert, gegen den die deviatorischen Spannungen bei aufgebrachten kon-
stanten deviatorischen Dehnungen mit der Zeit gehen.
Das unmittelbare elastische Anfangsverhalten wird durch den spontanen elasti-
schen Schubmodul 0G bestimmt, für den gilt
GN
0 i
i=1
G G G (6.154)
Der Schubmodul 0G bestimmt somit die deviatorischen Dehnungen, welche sich
unmittelbar nach der Aufbringung von deviatorischen Spannungen einstellen.
Mittels der Beteiligungsfaktoren (bzw. relativen Moduln) ig und g mit
GN
ii i
i=10
Gg , g 1 g , 0 g 1
G (6.155)
kann die Schub-Relaxationsfunktion auf den spontanen elastischen Schubmodul
bezogen werden und man erhält
GN
0 i i
1
G G g g expi
t t
(6.156)
bzw.
GN
0 i i
i=1
G G 1 g 1 expt t
. (6.157)
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Materialmodelle
111
________________________________________________________________
Bemerkungen:
B1: Innerhalb der Identifikationsroutine werden der Elastizitätsmodul E und
die Poissonzahl anstelle des Kompressionsmoduls K und des Schubmo-
duls verwendet. Hierbei gelten die Beziehungen
0 0E 9K [G 3K ]G (6.158)
und
0 0[3K 2 ] [6K 2G G ] . (6.159)
B2: Für den in FEMCard Basic verwendeten Algorithmus zur numerischen In-
tegration der o.g. Gleichungen siehe beispielsweise Simo und Hughes (5).
________________________________________________________________
6.6.1.4 Materialparametersatz in FEMCard Basic
Die Materialparameter und Bezeichnungen in der FEMCard Basic Benutzeroberflä-
che lauten (siehe Tabelle 49):
Tabelle 49: Materialparameter für das viskoelastische Materialmodell bei kleinen Verzerrungen
ASCII-Bezeichnung Weitere optionale Bez.
Symbole
E Young's modulus
E
PR Poisson's ratio
g_1 shear relaxation modulus
1g
tau_1 relaxation time
1
… …
g_5 shear relaxation modulus
5g
tau_5 relaxation time
5
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Materialmodelle
112
________________________________________________________________
Bemerkung:
B3: Die Kriterien iE, >0 sowie 0 0.5 sowie
ig 0 und GN
ii=1g 1 werden in
FEMCard Basic bei der Startparametereingabe und während der Paramete-
ridentifikation überprüft und ggf. korrigiert.
________________________________________________________________
6.6.1.5 Materialparametersatz in Finite-Elemente-Software
Für das Materialmodell müssen in einigen Finite-Elemente-Softwares die Paare ig
und i in der Reihenfolge aufsteigender Relaxationszeiten angegeben werden.
Das Materialmodell wird in den folgenden Finite-Elemente-Softwares folgender-
maßen bezeichnet:
Abaqus® (Version 6.14) Software:
Abaqus® CAE Software:
Elastic
→ Type: Isotropic
→ Moduli time scale (for viscoelasticity): Instantaneous
Viscoelastic
→ Domain: Time
→ Time: Prony
Input File Usage:
*Elastic, moduli=INSTANTANEOUS
*Viscoelastic, time=PRONY
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Materialmodelle
113
Tabelle 50: Materialparameterbezeichnungen in Abaqus® CAE Software
Symbol FEMCard Basic
Bezeichnung in Abaqus® CAE Software
E = Young's modulus
= Poisson's ratio
1g ,…,5g = g_i_Prony
(Zeilen 1 bis 5)
- 0 = k_i_Prony (Zeilen 1 bis 5)
1 ,…,5 = tau_i_Prony
(Zeilen 1 bis 5)
Für die Umrechnung der Parameter des Materialmodelles gilt k_i_Prony=0 in der
Abaqus® Software.
________________________________________________________________
ANSYS® (Release 12.0) software:
ANSYS® Preprocessor Software:
→ Structural → Linear → Elastic → Isotropic
→ Structural → Nonlinear → Viscoelastic → Prony → Shear Response
Tabelle 51: Materialparameterbezeichnungen in ANSYS® Preprocessor Software
Umrechnung und Symbol FEMCard Basic
Bezeichnung in
ANSYS® Preprocessor Software
E = EX
= PRXY
1g ,…, 5g = a1, …, a5
1 ,…, 5 = t1, …, t5
________________________________________________________________
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Materialmodelle
114
Marc® Mentat® (2014.2.0) Software:
Vorabbemerkungen:
Entsprechend Gleichung (6.155)(a) gilt i 0 iG G g . Weiterhin gilt für den sponta-
nen elastischen Schubmodul 0G
0
EG
2 1
(6.160)
und somit erhält man für die elastischen Schubmoduln
i i
EG g
2 1
. (6.161)
Eingabe in der Marc® Mentat® (2014.2.0) Software:
Material Properties:
→ Type: Elastic-Plastic Isotropic
→ Young's modulus , Poisson's ratio (siehe Tabelle 52)
→ Viscoelasticity → Model: Prony Series
→ Deviatoric Behavior
→ # Terms: ‘Anzahl an Relaxations-Termen GN in FEMCard Basic‘
→ Parameter siehe Tabelle 52
→ Volumetric Behavior
→ # Terms: 0
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Materialmodelle
115
Tabelle 52: Materialparameterbezeichnungen in Marc® Mentat® (2014.2.0) Software
Umrechnung und Symbol FEMCard Basic
Bezeichnung in Marc® Mentat® Software
E = Young's modulus
= Poisson's ratio
1
Eg
2 1
=
Shear_Constant(1)
1 = Time(1)
… …
5
Eg
2 1
=
Shear_Constant(5)
5 = Time(5)
Bemerkung: Die in diesem Unterabschnitt gemachten Angaben zu Materialpara-
meterbezeichnungen und –umrechnungen für Finite-Elemente-Softwares sind
ohne Gewähr.
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Materialmodelle
116
6.6.2 LARGE strain OGDEN VISCOELASTICITY
Wie auch bei dem viskoelastischen Materialmodell bei kleinen Verzerrungen
(siehe Abschnitt 6.6.1) dient für das in FEMCard Basic implementierte Material-
modell für Visko-Hyperelastizität bei großen Verzerrungen das generalisierte
Maxwell-Material als zugrundeliegende Materialstruktur. Es wird hierbei das Ma-
terialmodell für geometrisch nichtlineare Viskoelastizität, wie es in Simo und
Hughes (5) aufgeführt ist, eingesetzt, wobei für den hyperelastischen Anteil der
freien Energie Funktion eine Ogden-Verzerrungsenergiefunktion verwendet wird
und hier zudem die Ratenabhängigkeit der volumetrischen Anteile der Deforma-
tion berücksichtigt werden kann. Aufgrund der linearen Ratengleichungen, die in
diesem Modell verwendet werden, wird hier ein lineares viskoelastisches Modell
beschrieben.
Die in FEMCard Basic implementierten Materialmodelle für finite Viskoelastizität
sind:
VISCOELASTICITY → LARGE STRAIN →
3D, MEAS=TRUE →
COMPRESSIBLE → OGDEN, N=1,…,3 →
1,..,5 RELAXATION MODULE(S)
INCOMPRESSIBLE → OGDEN, N=1,…,3 →
1,..,5 RELAXATION MODULE(S)
3D, MEAS=NOM. →
COMPRESSIBLE → OGDEN, N=1,…,3 →
1,..,5 RELAXATION MODULE(S)
INCOMPRESSIBLE → OGDEN, N=1,…,3 →
1,..,5 RELAXATION MODULE(S)
________________________________________________________________
Bemerkungen:
B1: Entsprechend dem Vermerk ‚MEAS=true‘ werden als eigegebene Messda-
ten und ausgegebene Simulationsdaten wahre (Cauchy) Spannungen
(siehe Gleichung (3.31)) und logarithmische Dehnungen verwendet (siehe
auch Abschnitt 4.2.1).
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Materialmodelle
117
B2: Entsprechend dem Vermerk ‚MEAS=nom‘ werden als eigegebene Messda-
ten und ausgegebene Simulationsdaten nominelle Spannungen (siehe Glei-
chung (3.32)) und nominelle Dehnungen verwendet (siehe auch Abschnitt
4.2.2).
B3: Die Konstante N bezeichnet die Anzahl an Ogden-Termen und wird über
die Auswahl des Materialmodells definiert. Es gilt 1 N 3 .
________________________________________________________________
6.6.2.1 Kinematik
Die kinematische Grundlage des Materialmodells ist die multiplikative Zerlegung
des Deformationsgradientens in einen volumetrischen und einen isochoren Anteil
(siehe auch Abschnitt 3.3)
1/3 , detJ J F F F . (6.162)
Der Tensor F ist isochor ( 1/3det det 1J F F ), mit der Jacobideterminante J wird
die Volumenänderung während der Deformation beschrieben.
Wie ebenfalls in Abschnitt 3.3 beschrieben kann der rechte Cauchy-Green-Tensor
T C F F (6.163)
mittels der zugehörigen Spektralzerlegung dargestellt werden mit
3
2
a a a
a 1
ˆ ˆ
C N N . (6.164)
Entsprechend Gleichung (6.40) ergibt sich für die deviatorischen Streckungen a
1/3
a aJ (6.165)
wobei 1 2 3 1 gilt.
Der isochore elastische rechte Cauchy-Green Tensor lautet
T 2/3J C F F C . (6.166)
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Materialmodelle
118
6.6.2.2 Konstitutive Gleichungen
Für eine Verzerrungsenergiefunktion der Form
dev vol J C C , (6.167)
welche additiv in Anteile, welche die isochoren und volumetrischen Verzerrungs-
maße getrennt enthalten, zerlegt ist, ergeben die zweiten Piola-Kirchhoff Span-
nungen S
dev vol
dev hyd
2 2 2J
CCS
C C C
S S
. (6.168)
Für die deviatorischen devS und hydrostatischen hyd
S zweiten Piola-Kirchhoff
Spannungen erhält man
dev
dev 2/3 DEV 2J
CS
C
, (6.169)
wobei für den Deviator eines Tensors zweiter Stufe in der Referenzkonfiguration
gilt
11DEV : :
3
C C , (6.170)
sowie
vol
hyd 1J
JJ
S C
. (6.171)
Die Cauchy-Spannungen berechnen sich allgemein zu
true 1 TJ σ F S F . (6.172)
Es wird ein rheologisches Modell, welches aus RN Maxwell-Elementen parallel zu
einer Zusatzfeder besteht, betrachtet. Die dreidimensionale Verallgemeinerung
dieses generalisierten Maxwell-Modells liefert in der integralen Darstellungsform
das Faltungsintegral für die zweiten Piola-Kirchhoff-Spannungen (siehe auch
Simo und Hughes (5))
dev hydt t t S S S , (6.173)
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Materialmodelle
119
mit dem deviatorischen Anteil
dev
dev 2/3
0
g DEV 2d
dd
t
Js
t t t s ss
CS
C
, (6.174)
sowie dem volumetrischen Anteil
hyd 1t tJ tp t S C , (6.175)
mit
v l
0
od
dkd
t Jp
Jt t s s
s
, (6.176)
wobei s die Integrationsvariable mit der Dimension der Zeit t ist. Für 0t gilt
hierbei, dass S 0 und C I . Die Gewichtung der der beiden Faltungsintegrale in
Gleichungen (6.174) und (6.176) ist die jeweilige dimensionslose Relaxations-
funktion, welche die viskoelastische Charakteristik des Materials bestimmt. Die
Relaxationsfunktionen sind gegeben durch die Prony-Reihen
RN
r r
r=1
g g g expt t , (6.177)
sowie
RN
r r
r=1
k k k expt t , (6.178)
mit den jeweiligen Beteiligungsfaktoren (bzw. relativen Moduln) rg bzw.
rk und
Relaxationszeiten r für jede Prony-Komponente. Für das unmittelbare elastische
Anfangsverhalten gilt g k 1t t . Es gilt weiterhin für die Beteiligungsfaktoren
(bzw. die relativen Moduln)
RN
r
r=1
g 1 g , 0 g 1 , (6.179)
sowie
RN
r
r=1
k 1 k , 0 k 1 . (6.180)
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Materialmodelle
120
6.6.2.3 Verzerrungsenergiefunktion
Für die konstitutive Routine für finite Viskoelastizität wird eine Ogden-Verzer-
rungsenergiefunktionen für isotrope Hyperelastizität in Eigenrichtungen verwen-
det. Die Verzerrungsenergiefunktion für das kompressible Ogden Materialmodell
lautet für eine Anzahl N an Ogden-Termen
i i i
N N2ii
1 2 32i 1 i 1i i
2 13 -1
DJ
, (6.181)
mit den Materialparametern i ,
i und iD .
Die in Gleichung (6.181) sowie im folgenden Unterabschnitt 6.6.2.4 aufgeführten
Materialparameter i beschreiben als spontane elastische Schubmoduln das un-
mittelbare deviatorische elastische Anfangsverhalten, während mittels der Para-
meter iD das unmittelbare volumetrische elastische Anfangsverhalten ausge-
drückt wird.
6.6.2.4 Materialparametersatz in FEMCard Basic
Die Materialparameter und Bezeichnungen in der FEMCard Basic Benutzeroberflä-
che lauten für die Parameter i ,
i und iD mit i= 1,...,N sowie für die Parameter
rg , rk und rτ̂ mit Rr= 1,...,N (siehe Tabelle 53):
Tabelle 53: Materialparameter für das viskoelastische Materialmodell bei großen Verzerrungen
ASCII-Bezeichnung. Weitere optionale Bez.
Symbole
mu1 ,…, mu3 1 ,…,
3
alpha1 ,…, alpha3 1 ,…,
3
D1 ,…, D3 D1 ,…, D3
g_1 ,…, g_5 shear relaxation moduli
1g ,…, 5g
k_1 ,…, k_5 bulk relaxation moduli
1k ,…, 5k
tau_1 ,…, tau_5 relaxation times
1 ,…, 5
Bei der inkompressiblen Formulierung des Materialmodelles entfallen D1 ,…, D3
und 1k ,…, 5k als Materialparameter.
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Materialmodelle
121
Der initiale Schubmodul (initial shear modulus) und initiale Kompressionsmodul
(initial compression modulus) (siehe auch Abschnitt 6.2.1.2) betragen somit bei
der kompressiblen Formulierung des Materialmodelles
N
0 i
i 1
, (6.182)
0 1k 2 D . (6.183)
Die sich hieraus ergebende Poissonzahl hy lautet
hy 0 0
0 0
3k 2
6k 2
. (6.184)
________________________________________________________________
Bemerkungen:
B1: Die Bedingung hy0 0.5 wird in FEMCard Basic bei der Startparameter-
eingabe und während der Parameteridentifikation überprüft und ggf. korri-
giert.
B2: Die Kriterien i rD , >0 sowie r rg ,k 0 sowie RN
rr=1g 1 und
RN
rr=1k 1 werden
in FEMCard Basic bei der Startparametereingabe und während der Parame-
teridentifikation überprüft und ggf. korrigiert.
B3: FEMCard Basic führt keine vollständige Untersuchung der identifizierten
Materialparametersätze auf Materialstabilität (Drucker Stabilität) für das
diesem Materialmodell finiter Viskoelastizität zugrundeliegende hyperelasti-
sche Materialmodell aus. Es liegt in der Verantwortung des Benutzers, das
zugrundeliegende hyperelastische Materialmodell mit zugehörigen Werten
der Materialparameter auf Materialstabilität zu prüfen. Warn- und Informa-
tionsmeldungen bei der Startparametereingabe geben hierzu zusätzliche
Hinweise.
________________________________________________________________
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Materialmodelle
122
6.6.2.5 Materialparametersatz in Finite-Elemente-Software
Für das Materialmodell müssen in einigen Finite-Elemente-Softwares die Paare rg
und r bzw.
rk und r in der Reihenfolge aufsteigender Relaxationszeiten ange-
geben werden. Das Materialmodell wird in den folgenden Finite-Elemente-Soft-
wares folgendermaßen bezeichnet:
Abaqus® (Version 6.14) Software:
Abaqus® CAE Software:
Hyperelastic
→ Type: Isotropic
→ Strain energy potential: Ogden
→ Input source: Coefficients
→ Moduli time scale (for viscoelasticity): Instantaneous
→ Strain energy potential order: 1,…,3
Viscoelastic
→ Domain: Time
→ Time: Prony
Input File Usage (Hyperelasticity):
*HYPERELASTIC, OGDEN, N=1
*HYPERELASTIC, OGDEN, N=2
*HYPERELASTIC, OGDEN, N=3
*Viscoelastic, time=PRONY
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Materialmodelle
123
Tabelle 54: Materialparameterbezeichnungen in Abaqus® CAE Software
Symbol FEMCard Basic
Bezeichnung in Abaqus® CAE Software
1 ,…,3 = mu1 ,…, mu3
1 ,…,3 = alpha1 ,…, alpha3
D1 ,…, D3 = D1 ,…, D3
1g ,…,5g = g_i_Prony
(Zeilen 1 bis 5)
1k ,…, 5k = k_i_Prony (Zeilen 1 bis 5)
1 ,…,5 = tau_i_Prony
(Zeilen 1 bis 5)
Bei der inkompressiblen Formulierung des Materialmodelles gilt D1=D2=D3=0
sowie k_i_Prony=0 in der Abaqus® Software.
________________________________________________________________
ANSYS® (Release 12.0) software:
Hyperelastizität
ANSYS® Preprocessor Software:
→ Hyperelastic → Ogden → 1 term (2 terms/3 terms)
Tabelle 55: Materialparameterbezeichnungen in ANSYS® Preprocessor Software
Umrechnung und Symbol FEMCard Basic
Bezeichnung in ANSYS® Preprocessor
Software
1
1
2
=
mu1
2
2
2
=
mu2
3
3
2
=
mu3
1 ,…, 3 = a_1 ,…, a_3
D1 ,…, D3 = d1 ,…, d3
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Materialmodelle
124
Bei der inkompressiblen Formulierung des Materialmodelles gilt d1=d2=d3=0 in
der ANSYS® Software.
Viskoelastizität: Shear Response
ANSYS® Preprocessor Software:
→ Structural → Nonlinear → Viscoelastic → Prony → Shear Response
Tabelle 56: Materialparameterbezeichnungen in ANSYS® Preprocessor Software
Umrechnung und Symbol FEMCard Basic
Bezeichnung in ANSYS® Preprocessor
Software
1g ,…,5g = a1, …, a5
1 ,…,5 = t1, …, t5
Viskoelastizität: Volumetric Response
Bei der inkompressiblen Formulierung des Materialmodelles entfallen diese Para-
meter in der ANSYS® Software.
ANSYS® Preprocessor Software:
→ Structural → Nonlinear → Viscoelastic → Prony → Volumetric Response
Tabelle 57: Materialparameterbezeichnungen in ANSYS® Preprocessor Software
Umrechnung und Symbol FEMCard Basic
Bezeichnung in ANSYS® Preprocessor
Software
1k ,…,5k = a1, …, a5
1 ,…, 5 = t1, …, t5
________________________________________________________________
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Materialmodelle
125
Marc® Mentat® (2014.2.0) Software:
Material Properties:
→ Type: Ogden → Method: Entered Values
→ # Terms: ‘Anzahl N an Ogden-Termen in FEMCard Basic‘
Tabelle 58: Materialparameterbezeichnungen in Marc® Mentat® (2014.2.0) Software
Umrechnung und Symbol FEMCard Basic
Bezeichnung in Marc® Mentat® Software
1
1
2
=
Modulus(1)
2
2
2
=
Modulus(2)
3
3
2
=
Modulus(3)
1 ,…,3 = Exponent(1) ,…, Exponent(3)
Bei der kompressiblen Formulierung gilt zusätzlich zu Tabelle 58:
Material Properties:
→ Volumetric Behavior → Series Expansion (Parameter D1, D2, D3, D4, D5)
Tabelle 59: Materialparameterbezeichnungen in Marc® Mentat® (2014.2.0) Software
Umrechnung und Symbol FEMCard Basic
Bezeichnung in Marc® Mentat® Software
1 D1 = D1
1 D2 = D2
1 D3 = D3
Es gilt in der Marc® Mentat® Software:
Für # Terms=1 sind D2=D3=D4=D5=0.
Für # Terms=2 sind D3=D4=D5=0.
Für # Terms=3 sind D4=D5=0.
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Materialmodelle
126
Bei der inkompressiblen Formulierung gilt zusätzlich zu Tabelle 58:
Material Properties:
→ Volumetric Behavior → Bulk Modulus → Automatic
Bem.: Mit der o.g. Einstellung in der Marc® Mentat® (2014.2.0) Software wird ein
Bulk Modulus K verwendet, für den das Materialverhalten inkompressibel ist.
Viskoelastizität (Deviatoric Behavior):
Material Properties:
→ Viscoelasticity (Ogden) → Model: Prony Series
→ Deviatoric Behavior
→ # Terms: ‘Anzahl an „Relaxation modules“ in FEMCard Basic‘
→ Parameter siehe Tabelle 60
Tabelle 60: Materialparameterbezeichnungen in Marc® Mentat® (2014.2.0) Software
Umrechnung und Symbol FEMCard Basic
Bezeichnung in ANSYS® Preprocessor
Software
1g = Deviatoric Mult.(1)
1 = Time(1)
… …
5g = Deviatoric Mult.(5)
5 = Time(5)
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Materialmodelle
127
Viskoelastizität (Dilatational Behavior):
Bei der inkompressiblen Formulierung des Materialmodelles entfallen diese Para-
meter in der Marc® Mentat® Software bzw. es gilt # Terms=0.
Material Properties:
→ Viscoelasticity (Ogden) → Model: Prony Series
→ Dilatational Behavior
→ # Terms: ‘Anzahl an „Relaxation modules“ in FEMCard Basic‘
→ Parameter siehe Tabelle 61
Tabelle 61: Materialparameterbezeichnungen in Marc® Mentat® (2014.2.0) Software
Umrechnung und Symbol FEMCard Basic
Bezeichnung in ANSYS® Preprocessor
Software
1k = Dilatational Mult.(1)
1 = Time(1)
… …
5k = Dilatational Mult.(5)
5 = Time(5)
________________________________________________________________
Bemerkung: Die in diesem Unterabschnitt gemachten Angaben zu Materialpara-
meterbezeichnungen und –umrechnungen für Finite-Elemente-Softwares sind
ohne Gewähr.
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Literaturverzeichnis
128
7 Literaturverzeichnis
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10.- 11.12.2013 in Baden Baden. [Online] www.parsolve.de.
4. Simo, J.C. Numerical Analysis and Simulation of Plasticity. s.l. : HANDBOOK
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1997.
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reference to the Hill criterion. Int. J. Numer. Meth. Engng. 1990, 29:315-336.
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and stress measures. Computers & Structures. 2011, 89:11-12.
Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Trademarks
129
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