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Rappels de mécanique Plan des séances n°1 et 2
1 - Notions d ’action mécanique et de force
2 - Notion de moment
3 - Principe fondamental de la statique
4 - Principe d ’action réciproque
5 - Les différents types de liaisons et d ’appuis
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1 - NOTIONS D’ACTION MECANIQUE ET DE FORCE 1.1 Définition d ’une action mécanique (1/3)
On désigne par action mécanique toute action capable de :
- déformer un corps (fléchissement d’une poutre),
- mettre en mouvement un objet,
- modifier le mouvement d ’un objet (accélération, freinage, arrêt).
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1 - NOTIONS D ’ACTION MECANIQUE ET DE FORCE 1.1 Définition d ’une action mécanique (2/3)
Il existe deux types d ’actions mécaniques (AM) :
Les AM de contact qui peuvent être déclinées en 3 catégories
- les AM réparties sur une ligne,
- les AM réparties sur une surface.
- les AM ponctuelles ou concentrées,
marbre
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Toc!
Bang !
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1 - NOTIONS D ’ACTION MECANIQUE ET DE FORCE 1.1 Définition d ’une action mécanique (3/3)
Les AM à distance qui peuvent être déclinées en 3 catégories
- les AM électriques,
- les AM de GRAVITATION.
- les AM magnétiques,
Boum !
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- sa direction ou support (),
()
1 - NOTIONS D ’ACTION MECANIQUE ET DE FORCE 1.2 Notion de force 1.2.1 - Définition d ’une force
C ’est une AM particulière que l ’on pourra représenter par un vecteur. Ce vecteur sera caractérisé par :
- son point d ’application (A)
x
A
- son sens
- son intensité (norme)
F mesure algébrique
F
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1 - NOTIONS D ’ACTION MECANIQUE ET DE FORCE 1.2 Notion de force 1.2.2 - Unité (1/3)
Unité de mesure d ’une force : Newton (symbole N)
Autres multiples utilisés (daN, kN, MN)
Exemple (calcul d ’une force de pesanteur):
Force exercée sur le crochet de la grue par la benne à béton ?
Données complémentaires :
- Masse volumique du béton 2500 kg/m3
- Volume de la benne 1,5 m3
- Masse de la benne 500 kg
P = 41,7 kN
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- direction
- point d ’application
- sens
- intensité
1 - NOTIONS D ’ACTION MECANIQUE ET DE FORCE 1.2 Notion de force 1.2.2 - Unité (2/3)
Correction :
X G
centre de gravité de la benne (G)
verticale
descendant
P = m . g
P
9,81 m/s²
m = (2500 . 1,5 + 500 ) = 4250 kg
P = 41 692,5 N # 41,7 kN
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De façon courante nous simplifierons les calculs en considérant que : g # 10 m/s²
1 - NOTIONS D ’ACTION MECANIQUE ET DE FORCE 1.2 Notion de force 1.2.2 - Unité (3/3)
ATTENTION !
1 kg sera assimilé à 1 daN
Principales conséquences :
Surcharge d ’exploitation Q = 250 kg/m² 2,5 kN/m²
G
P
X
P = m . g = 42,5 kN
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1 - NOTIONS D ’ACTION MECANIQUE ET DE FORCE 1.2 Notion de force 1.2.3 - Décomposition d ’une force
Dans un plan, en choisissant un repère orthonormé (oxy), il est possible de décomposer une force en deux vecteurs orthogonaux.
O X
Y
A
F
FX
FX
Avec :
Norme de Fx = F . Cos ()
FY
FY Norme de FY = F . Sin ()
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1 - NOTIONS D ’ACTION MECANIQUE ET DE FORCE 1.2 Notion de force 1.2.4 - Notion de résultante (1/6)
Dans un premier temps, nous étudierons uniquement le cas particulier où toutes les directions des forces sont concourantes en même point sur le solide (S) .
!
AX
(S)
F1
F2F3
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1 - NOTIONS D ’ACTION MECANIQUE ET DE FORCE 1.2 Notion de force 1.2.4 - Notion de résultante (2/6)
La résultante R représente l ’équivalent de l ’action simultanée de plusieurs autres efforts, elle caractérise un effort global.
Exemple : cargo en remorque
1 - La méthode graphique
2 - La méthode algébrique
La résultante d ’un système de forces F1,F2,…,Fn, concourantes en un seul point est égale à la somme vectorielle des n forces considérées.
Elle peut être obtenue en utilisant deux méthodes :
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1 - NOTIONS D ’ACTION MECANIQUE ET DE FORCE 1.2 Notion de force 1.2.4 - Notion de résultante (3/6)
1 - La méthode graphique :
(1)
XA
F1
(2)
F2
O X
Y
F1
F2F3
AX 1
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Étape n°1 : définir une échelle graphique
(1 cm équivaut à x Newton)
Étape n°2 : tracé du dynamique
F3
(3)
R
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1 - NOTIONS D ’ACTION MECANIQUE ET DE FORCE 1.2 Notion de force 1.2.4 - Notion de résultante (4/6)
2 - La méthode algébrique :
F1
AX
O X
Y
F2F3
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Pour connaître la résultante R, il faut :
RX
1 - Déterminer sa composante Rx
Rx = Fi . Cos(i) i = 1
n
RY
2 - Déterminer sa composante Ry
Ry = Fi . Sin(i) i = 1
n
R 3 - Additionner Rx et Ry
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1 - NOTIONS D ’ACTION MECANIQUE ET DE FORCE 1.2 Notion de force 1.2.4 - Notion de résultante (5/6)
Exemple n°1 : Remorquage d ’un cargo
X
AR1
R2
Cargo
T1
T2
T1 = 30 000 daN
T2 = 40 000 daN
15 °
45 °
500
m
5000 m
PortQuestions :
1 - Calculer l ’intensité de la force résultante qui entraîne le cargo
2 - En conservant ces conditions de remorquage, le cargo risque t ’il d ’arriver à bon port ?
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1 - NOTIONS D ’ACTION MECANIQUE ET DE FORCE 1.2 Notion de force 1.2.4 - Notion de résultante (6/6)
Exemple n°2 : Équilibre d ’un nœud d ’assemblage
A
30 °
60 °
F1
F2
F3
F1, F2 et F3 sont uniquement des efforts de traction ou compression
Hypothèses :
La structure est au repos
R = F1 + F2 + F3 = 0
= 300 daN
?
?
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2 - NOTION DE MOMENT 2.1 Définition (1/4)
Les effets d ’une force sur un solide dépendent de la position de la force par rapport au corps
G X1er casF
Mouvement rectiligne de translation
G X2ème cas
F d
Translation+
Rotation
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2 - NOTION DE MOMENT 2.1 Définition (2/4)
Le moment d ’une force F par rapport à un point O est par définition égal à :
MoF = OF F
P
O X FX
F
OF
d
y
x
z
MoF
MoF = OF . F . Sin()
= F . d
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2 - NOTION DE MOMENT 2.1 Définition (3/4)
Ce qu ’il faut retenir :
A chaque vecteur-moment il sera associé :
- un signe (+) ou (-) fonction du repère retenu
- une intensité MoF = d . F
(notée ultérieurement MoF = d . F)
Unité :MoF = d . F
[m] [N][N.m][kN.m],[MN.m]
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2 - NOTION DE MOMENT 2.1 Définition (4/4)
Cas particulier :
Vecteur-moment nul
?Bras de levier (d) = 0
ou
intensité F =0
G X
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2 - NOTION DE MOMENT 2.2 Moment résultant d ’un système de forces (1/2) (1/4)
Le moment résultant par rapport à un point O, d ’un système de vecteurs-forces, correspond à la somme géométrique des vecteurs-moments de chacun des vecteurs forces par rapport à ce point.
Exemple :
O X
P
F 1
F2
Étape N°1:
Définir un sens de rotation positif (exemple : M>0 dans le sens trigonométrique)
Étape N°2:
Calculer la norme du vecteur-moment de chaque force par rapport à O en lui affectant un signe
Étape n°3:
Sommer tous ces vecteurs
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2 - NOTION DE MOMENT 2.2 Moment résultant d ’un système de forces (2/2) (1/4)
Exemple : Courroie de transmission
Poulie
Arbre
10°
15°
Rayon R d ’enroulement = 100 mm
T = 120 daN
t = 40 daN
Brin tendu
Question:
Calculer le couple disponible sur l ’arbre de transmission
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2 - NOTION DE MOMENT 2.3 Moment d ’un couple (1/2)
Définition d ’un couple de forces :
2 forces égales en intensité mais de sens opposées ayant des supports parallèles.
P
()
( ’)F ’
F d
Le moment engendré par ce couple de forces est constant. Et ceci quelque soit le point du plan considéré, il est égal à :
Mc = F . d ou (F ’. d)
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2 - NOTION DE MOMENT 2.3 Moment d ’un couple (2/2)
Exemple : Actions exercées sur une clé en croix
F = 150 N
F ’ = 150 N
Les forces F et F ’ schématisent les actions exercées par l ’opérateur sur la clé.
Question :
Calculer le moment résultant des deux forces aux points suivants :
AA
BB
Largeur totale de la croix = 400 mm
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O X
(S)
3 - PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA STATIQUE 3.1 Définition du PFS
Un solide (S) soumis à plusieurs forces est en équilibre si et seulement si :
F1 F2
F3Fn
1 - La résultante :
R = F1 + F2 + … + Fn = O
2 - Le moment résultant :
M/o = M/OF1 + M/OF2 + … + M/OFn = O
La deuxième équation est valable quelque soit le point considéré!
ET
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3 - PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA STATIQUE 3.2 PFS dans l ’espace
O
x
z
y
Xi = On
i=1 à n
Yi = On
i=1 à n
Zi = On
i=1 à n
Xi, Yi, Zi (avec i = 1 à n) sont les projections des forces Fi sur les axes Ox, Oy, Oz.
Rz = O
Ry = O
Rx = O
M/Oz = O
M/Oy = O
M/Ox = O M/OXi = On
i=1 à n
M/OYi = On
i=1 à n
M/OZi = On
i=1 à n
R = O
M/O = O
Dans le cadre de l ’étude d ’une structure tridimensionnelle, il
sera possible d ’écrire 6 équations d ’équilibre
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3 - PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA STATIQUE 3.3 PFS dans le plan
M/OZ = O M/OZi = On
i=1 à n
Ry = O
Rx = O Xi = On
i=1 à n
Yi = On
i=1 à n
M/O = O
R = O
Dans le cadre de l ’étude d ’une structure plane, l ’application
du PFS permet d ’écrire 3 équations d ’équilibre
y
O
xz
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3 - PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA STATIQUE 3.4 Exemple
Étude de l ’équilibre d ’une poutre :
L = 6 m
L/2 L/2
45°
F = 5 kN
YBYA
XA
Déterminer les forces XA, YA et YB
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3 - PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA STATIQUE 3.5 Méthode de résolution
1 - Définition du repère et du sens positif pour les moments
X
Y
O
M > 0
3 - Projection des forces sur l ’axe vertical
Yi = On
i=1 à n
2 - Projection des forces sur l ’axe horizontal
Xi = On
i=1 à n
4 - Équation d ’équilibre en moment
M/OZi = On
i=1 à n
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4 - PRINCIPE D ’ACTION RÉCIPROQUE (1/3)
Soit deux solides (S1) et (S2) jointifs en A soumis respectivement à un système de forces (F) et (F) :
A(S2) F
F (S1)
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4 - PRINCIPE D ’ACTION RÉCIPROQUE (2/3)
Le seul point de contact entre ces deux solides étant le point A, nous pouvons en conclure, s ’il y a équilibre du système [(S1) + (S2)], que :
A(S2) F
F (S1)A
F 2/1
F 2/1
L ’effort F2/1 exercé par le solide (S2) sur le solide (S1) est égal en intensité mais de sens inverse à celui F1/2 exercé par (S1) sur (S2).
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4 - PRINCIPE D ’ACTION RÉCIPROQUE (3/3)
Remarques :
- F1/2 et F2/1 sont des efforts internes (ou intérieurs) au système [(S1) + (S2)], elles s ’annulent,
- F et F sont des efforts externes,
- F1/2 et F2/1 sont également des efforts extérieurs pour chacun des solides pris séparément.
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5 - LES DIFFÉRENTS TYPES DE LIAISONS ET D ’APPUIS5.1 Généralités (1/2)
A
B
Dans le plan, le solide (A,B) possède trois degrés de liberté de mouvement :
B’A’
u
v
- deux degrés en translation u et v
B’’
- un degré en rotation
Dans l ’espace il existe six degrés de liberté de mouvement pour un solide quelconque (trois translations et trois rotations)
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5 - LES DIFFÉRENTS TYPES DE LIAISONS ET D ’APPUIS5.1 Généralités (2/2)
A chaque blocage d’un degré de liberté
Génération d ’une force de liaison (inconnue )
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5 - LES DIFFÉRENTS TYPES DE LIAISONS ET D ’APPUIS5.2 L ’appui simple (appui à rouleau)
La liaison appui simple bloque 1 degré de liberté
y
xo
Modélisation :
Introduction d ’une inconnue
Intensité de la réaction verticale YY
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5 - LES DIFFÉRENTS TYPES DE LIAISONS ET D ’APPUIS5.3 L ’articulation
La liaison rotule bloque 2 degrés de liberté
y
xo
Introduction de deux inconnues
Intensité de la réaction verticale Y
Intensité de la réaction horizontale XY
X
Modélisation :ou
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5 - LES DIFFÉRENTS TYPES DE LIAISONS ET D ’APPUIS5.4 L ’encastrement
La liaison encastrement bloque 3 degrés de liberté
y
xo
Introduction de trois inconnues
Intensité de la réaction verticale Y
Intensité de la réaction horizontale X
Intensité du moment empêchant la rotation M
Y
X
M
Modélisation :ou
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6 - EXEMPLES
A B
L = 6,00 m
4,00 m
F = 3 kN
Calculer les réactions aux appuis A et B
6.1 Équilibre d ’une poutre soumise à un chargement ponctuel
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6 - EXEMPLES
6.2 Équilibre d ’une console soumise à un chargement ponctuel
Calculer les réactions au niveau de l ’appui
A
L = 2,00 m
F = 2 kN
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6 - EXEMPLES
6.3 Équilibre d ’une poutre soumise à un chargement réparti
Calculer les réactions aux appuis A et B
A B
L = 6,00 m
P = 5 kN/m
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6 - EXEMPLES
6.4 Équilibre d ’un portique métallique
Calculer les réactions au niveau des appuis A et B
F1
F2 F4F3
F1 = 200 kN
F2 = 150 kN
F3 = 200 kN
F4 = 250 kNA B
L = 18,80 m
H1
= 7
,40
m
H2
= 8
,60
m
41
6 - EXEMPLES
6.6
Calculer les réactions au niveau des appuis