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Rappels Bezier

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Page 1: Rappels Bezier

Centre Technique d’Infographie

RAPPELS BEZIER

Centre Technique d’Infographie27 rue Raoul SERVANT69007 LYON

Pierre BEZIER

Né en 1910, Pierre Bézier, au début des années soixante, était directeur des méthodes mécaniques à la régie RENAULT. Il s'intéresse dès cette époque à la modélisation des surfaces. Sa préoccupation était d'offrir au dessinateur un moyen simple et puissant pour créer des formes et pour faciliter la programmation des machines à commande numérique.

Afin d'utiliser concrètement les courbes et surfaces de Bézier, un logiciel fut créé : UNISURF. Il est à la base de beaucoup de logiciels créés par la suite, dont CATIA. Les concepts de CAO et de CFAO venaient de prendre forme. 

Courbe de BEZIER

COURBE DE BEZIER :

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La courbe passe exactement par les points à condition que le degré de la courbe soit suffisant pour respecter toutes les contraintes (points de passage, tangences ou valeurs du rayon de courbure). Voir ci dessous.

Généralement ces courbes nécessitent un degré élevé pour respecter toutes les conditions et elles peuvent présenter des variations en courbure qui génèrent des oscillations sur la courbe.

CREATION D’UNE COURBE DE BEZIER PAR INTERPOLATION D’UN LIEU DE POINTS :

Il existe une relation directe entre le nombre de contraintes imposées à une courbe et le degré minimum que cette courbe devra avoir pour respecter ces contraintes.

NOMBRE DE CONTRAINTES - 1 = DEGREet DEGRE = CLASSE - 1

Les contraintes peuvent être : - des points imposés en passage.- des tangentes en certains points à respecter.- des rayons de courbure à respecter.

Si on ne peut respecter les contraintes imposées avec le degré spécifié, il faudra créer plusieurs courbes sur le lieu de points (découpe).

Une des priorités devra être de limiter le degré des courbes et des surfaces générées. Dans la pratique, on se limitera généralement à une CLASSE MAXI de 6 soit un degré maximum de 5,

même si le DEGRE MAXIMUM est égal à 15 dans CATIA V4 et l’ORDRE MAXIMUM est de 16 dans CATIA V5.

RELATION CONTRAINTES IMPOSEES / DEGRE :

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Dans ce cas, la courbe de BEZIER obtenue est une courbe lissée qui ne passe pas forcément par les points du lieu de points. Il existe donc des écarts entre les points donnés et la courbe générée ( il faudra donc veiller à ce que l’écart maxi reste dans des valeurs acceptables).

Ces courbes permettent de conserver un degré plus faible mais, pour ne pas trop s’éloigner du lieu de points initial, il faut souvent décomposer en plusieurs courbes (attention, à ce moment là, aux continuités en tangence).

CREATION D’UNE COURBE DE BEZIER PAR APPROXIMATION D’UN LIEU DE POINTS :

- CONNEXITE :Ces 2 points sont considérés comme confondus par le système même s’il existe une distance d entre les 2 points : tolérance de connexité.

- TANGENCE :L’angle idéal formé par les 2 normales aux 2 courbes doit être de 180° mais on accepte souvent une tolérance de plus ou moins 5°.

- COURBURE :Continuité du rayon de courbure

CONTINUITE ENTRE PLUSIEURS COURBES :

C1

C2

P

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DEFINITION D’UN CARREAU DE BEZIER :

C’est une surface bi paramétrique (paramètres U et V) polynomiale (les évolutions suivant les directions U et V sont données par des équations polynomiales en U et en V, dont les coefficients sont fonction des points des descripteurs des courbes de bord).

De plus, il est orienté (direction de la normale).

SURFACES DE BEZIER :