Rappels RDM

5/24/2018 Rappels RDM

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RDM : RAPPELS ET CONVENTIONS

SOLLICITATIONS = EFFORTS INTERNES MIS EN EVIDENCE PAR UNE COUPURE

dS

dSdf

M

G

G D

G

Dest en quilibre sous laction :

- des efforts extrieurs directement appliqus D:

-des efforts de contact de G sur Ddont le torseur rsultant, calcul en G, cdg

de la section, est appel torseur de cohsion :

DextF

df

xz

y

GcohT

dS

dS


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SOLLICITATIONS = EFFORTS INTERNES MIS EN EVIDENCE PAR UNE COUPURE

D

DextF

dS

dSdf

M

G

G

Gxz

y

Equilibre :

GcohT+ =

[ ]0Donc :Gcoh

T = -Dext

F

ou :Gcoh

T = +[ ]GextF


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COMPOSANTES DU TORSEUR DE COHESION

D

dS

dSdf

M

G

G

Gxz

y

GcohT

Gzz

yy

x

MT

MT

MN

=

Les composantes sont exprimes dans un repre local :

- laxe x est tangent la fibre moyenne et perpendiculaire la section de coupure,

- les axes y et z sont dans le plan de la section de coupure


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CONVENTIONS DE SIGNE DANS UN PROBLEME PLAN

Caractrisation par les efforts de gauche

On fait le bilan des actions extrieures appliques gauche de la coupure et on calcule leurtorseur par rapport au cdg de la section de coupure avec les conventions de signe suivantes :

x

y

z

G

N > 0

Ty > 0

Mz> 0

= xFN

=

yy FT

= Gextz FMM /)( ,G

Caractrisation par les efforts de droite

On fait le bilan des actions extrieures appliques droite de la coupure et on calcule leurtorseur par rapport au cdg de la section de coupure avec les conventions de signe inverses :

=

xFN

= yy FT

= Gextz FMM /)( ,Dx

y

z

GN > 0

Ty > 0

Mz> 0

D ,Dext

F

G , [ ]GextF


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CONTRAINTES NORMALES DANS UN PROBLEME PLAN

x

y

z

GN > 0Mz> 0

D ,Dext

FG

x

y

z

G

D ,Dext

FG

dS

Equations dquivalence :

NdSyS

=

)( z

S

MydSy =

).(

ByAzy +=),( car le problme est plan et la section reste planeaprs dforme (Navier-Bernouilli)


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S

Ny =)(

EFFET DE LEFFORT NORMAL

G

y

N(x) N(x)

x

dl

dx

)(

)()(

xES

xN

dx

dlx ==

S(x)


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yxI

xMy

z

z =)(

)()(

EFFET DU MOMENT FLECHISSANT

)(

)()(

xEI

xM

dx

xd

z

z=

d

G

y

M(x) M(x)

x

dx

Iz(x),S(x)

d

G

y

M(x) M(x)

x

dx

Iz(x),S(x)


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CONTRAINTES NORMALES EN 3 D

CONVENTIONS DE SIGNE

x

y

z

My

Mz

Lorsquon caractrise les sollicitations par les efforts de gauche :

Mz > 0 lorsque Mz tourne vers les z ngatifs.

On choisit la mme convention pour My :

My > 0 lorsque My tourne vers les y ngatifs


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CONTRAINTES NORMALES EN 3 D

CONVENTIONS DE SIGNE

Lorsque My > 0, les fibres du ct des z ngatifs sont comprimes et les fibres

du ct des z positifs sont tendues, do :

z

xyMy > 0My > 0

zxI

xMy

y

y=

)(

)()(

GENERALISATION

zxI

xMy

xI

xM

xS

xNy

y

y

z

z

)(

)(

)(

)(

)(

)()( +=


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CONTRAINTES TANGENTES DANS UN PROBLEME PLAN

EFFET DE LEFFORT TRANCHANT

G

y

T(x)T(x)

x

dv

dx

S(x)

)(

)(

)( yb

ym

I

T

y z=

z

y

m(y)

y

m(y)= moment statique parrapport Gz de la partie de lasection situe au dessus delordonne y

G

1GS

T

dx

dv== )1(2 +

= E

G

SS 1


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DISTRIBUTION DES CONTRAINTES AUTOUR DUN POINT

DONNEES :

et

BUT :

Dterminer les contraintes n et t dans un plan P inclin dun angle

x

y

n

t

V

H

P

Lquilibre du prisme lmentaire aboutit :

2cos2sin2

2sin2cos22

+

=

+

+

+

=

xy

yxyx

t

n

La fonction n() atteint un extrmum pour t=0 car tn

2=

t=0 pour

yx

tg

=

22

Il existe 2 directions

1 et

1+/2 pour lesquelles n est mini et maxi. Cescontraintes sont applees contraintes principales, notes 1 et 2


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DISTRIBUTION DES CONTRAINTES AUTOUR DUN POINT

CERCLE DE MOHR :Les contraintes sont lies par la relation :

2

2

2

2

22

+

=+

+

yxyxtn

Cest lquation dun cercle :

+ 0;

2

yx - de centre

- de rayon 22

2

+

=

yxR

V

H

x

y=/2

=0

-12

t

n

1= x 1= x

Valeurs des contraintes principales

Pour dterminer les contraintes (n,t) dansun plan orient dun angle par rapport lafacette V, il faut tourner dun angle -2parrapport au point V dans le cercle de Mohr

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