Praktikum iz OSNOVA FIZIKE I.

2006./2007.

Popis vjebi:

1. Pomi na mjerka Mikrometarski vijak Sferometar Vaga

2. Prou avanje helikoidalne zavojnice Odre ivanje gusto e krutog tijela pomo u dinamometra

3. Fizikalno njihalo Matemati ko njihalo

4. Stati ko odre ivanje modula torzije Dinami ko odre ivanje modula torzije

5. Gusto a teku ine pomo u piknometra Mohr Westphalova vaga

6. Odre ivanje napetosti povrine teku ine metodom otkidanja Odre ivanje napetosti povrine teku ine pomo u dizanja teku ine u kapilari Hoplerov viskozimetar

7. Mjerenje otpora pomo u Wheatstoneovog mosta Mjerenje otpora elektri ne arulje u ovisnosti o jakosti struje

8. Odre ivanje specifi nog naboja elektrona Magnetsko polje oko ravnog vodi a

9. Ispitivanje pomo u katodnog osciloskopa 10. Galvanometar

Mjerenje temperature pomo u termoparova Literatura: Skripta za Praktikum iz Osnova fizike I. Dodatna literatura - Mladen Pai : Fizi ka mjerenja I, II i III

Dr.sc. B. Vukovi

ZAPIS BROJEVA Ispis brojeva je obi no jednostavan postupak, no u fizici nailazimo na brojeve koji su toliko mali ili pak toliko veliki da to esto postaje nezgodno. Primjerice, masa elektrona (u kilogramima) je 0.911 s jo 30 nula izme u decimalne to ke i 9. Udaljenost (u metrima) do zvijezde najblie naem Sun evu sustavu je 32 popra eno s 15 nula. Poto

102 predstavlja 1 s dvije nule, prethodni broj se moe pisati kao 32 1015

. Primjenom istih

pravila za eksponent masa elektrona moe se napisati kao 9.1110-31

. Ova pravila zna e da kad god pomaknemo decimalnu to ku za jedno mjesto ulijevo, eksponentu od 10 dodaje se -1, a kad je pomaknemo udesno, dodaje mu se +1. (Primijetimo, prelaskom od -31 na -32 broj se smanjuje za faktor 10.) Mnogi kalkulatori automatski daju rezultat u ovom obliku. Obi no se decimalna to ka postavlja nakon prve znamenke razli ite od 0 (znanstveni zapis), pa je

masa 9.1110-31

udaljenost 3.21016

Ve ina kompjutora i kalkulatora ispisat e ove brojeve kao

masa 9.11 E-31 udaljenost 3.2 E16

Ponekad susre emo i malo e. Broj ispred E naziva se mantisa, a broj iza E potencija. SIGURNE ZNAMENKE Teorija sigurnih znamenki bavi se pouzdano u znamenki brojeva koje biljeimo. Ako smo mjerenjem ustanovili da je visina neke osobe 175 cm, to zna i da smo sigurni za 1 i 7 te da 5 bolje odgovara nego 4 ili 6; dakle, sve tri su sigurne znamenke. Sigurna znamenka predstavlja broj iji iznos je potvr en pouzdanim mjerenjem. Broj sigurnih znamenki zabiljeen mjerenjem ovisi djelomice o mjernom ure aju, a djelomice o tome to mjerimo. Ako objekt kojeg mjerimo nema dobro definirane krajeve, tada mjerenje moe samo po sebi biti nepouzdanije od najmanjeg podjeljka mjernog instrumenta. Primjer za ovo je mjerenje duljine podlaktice. Sli an problem susre emo npr. kad pomi nom mjerkom odre ujemo dimenzije predmeta iji se rubovi pod pritiskom lako deformiraju, ili kad zadnja znamenka na nekom digitalnom mjernom instrumentu stalno oscilira. Sve su to slu ajevi kad treba paljivo ocijeniti pouzdanost mjerenja, te u skladu s time odrediti kako emo biljeiti o itanje. Ako mjerimo s pouzdano u do na centimetar, ne smijemo zabiljeiti mjerni rezultat kao 35.1 cm jer bi to zna ilo da je mjerenje pouzdano do na desetinku centimetra. Zato moramo rezultat zabiljeiti kao 35 cm. Svako mjerenje koje obavljamo mora imati prikladan broj sigurnih znamenki. Nema smisla biljeiti mnogo znamenki koje nisu sigurne.

Pravila za standardni zapis brojeva 1. Sve znamenke nekog broja, razli ite od 0, su sigurne. Npr. 35.1 cm ima tri sigurne

znamenke. 2. Nule koje lee izme u dvije znamenke razli ite od 0 su sigurne. Npr. nula u 1023

je sigurna. 3. Nule koje slijede nakon posljednje znamenke razli ite od 0 (npr. u broju 123 000)

naj e e predstavljaju samo red veli ine, osim ako je druk ije nazna eno, npr. povlakom iznad nula. U tom slu aju i nazna ene nule su sigurne.

4. Ako broj sadri decimalnu to ku: Nule koje lee izme u decimalne to ke i prve znamenke razli ite od 0

predstavljaju samo red veli ine. Takav broj ima onoliko sigurnih znamenki koliko ih se nalazi od prve znamenke razli ite od 0 pa dalje udesno. Npr. 0.00123 ima tri sigurne znamenke, 0.0010230 ih ima pet, 1.00023 ih ima est.

Nule koje slijede znamenke razli ite od 0 sigurne su u svakom broju s decimalnom to kom. Npr. 1230.00 ima est sigurnih znamenki.

Pravila za znanstveni zapis brojeva U znanstvenom zapisu, sve znamenke u broju su sigurne. Ovaj zapis uvodi brojeve napisane kao umnoak decimalnog broja (s jednom znamenkom razli itom od 0 lijevo od decimalne to ke) i neke potencije broja 10. Npr.:

1.23 105=123 000 (3 sigurne znamenke)

1.2300 105=123 000 (5 sigurnih znamenki)

1.23 10-3

=0.00123 (3 sigurne znamenke)

1.2300 10-3

=0.0012300 (5 sigurnih znamenki)

Pravila za odre ivanje broja sigurnih znamenki u kona nom rezultatu:

1. Kad zbrajamo ili oduzimamo brojeve, rezultat smije imati najvie onoliko sigurnih decimalnih odnosno dekadskih jedinica koliko ih je u pribrojniku koji ih ima najmanje. Npr.:

7.23 + 51 = 58 (a ne 58.23)

3.45 105+1.23 10

4=3.57 10

5 (a ne 3.573 10

5 ili 35.73 10

4).

Razlog za ovo je jasniji primijetimo li da je 1.23 104=0.123 10

5, dakle on zaista ima

jednu sigurnu dekadu (u ovom zapisu decimalu) vie nego drugi pribrojnik.

2. Kod mnoenja ili dijeljenja, rezultat treba imati isti broj dekadskih ili decimalnih jedinica kao onaj od uklju enih brojeva koji ih ima manje. Npr.:

6.3 2504=1.6 104 (a ne 15775.2 ili 1.57752 10

4)

Valja uo iti da u rezultatu decimale ne smiju biti samo odrezane, ve broj mora biti pravilno zaokruen na sljede i na in:

ako se prva odrezana znamenka nalazi u intervalu 0-4, znamenka ispred nje zaokruivanjem ostaje ista

ako se prva odrezana znamenka nalazi u intervalu 5-9, znamenka ispred nje zaokruivanjem se pove ava za 1

Napomena: Ukoliko se ra un, putem kojega iz mjerenih vrijednosti dobijamo kona ni rezultat, sastoji iz vie koraka (to je naj e e slu aj), pri emu nastaje vie me urezultata, tada u me urezultatima valja uvijek zadrati sve decimale koje nam daje ra unski instrument, a rezanje decimala i zaokruivanje obaviti tek kod kona nog rezultata, i to na osnovi broja sigurnih znamenaka u ulaznim veli inama. Na taj se na in izbjegava pove anje nepouzdanosti kona nog rezultata uslijed viestrukog zaokruivanja tijekom ra unskog postupka.

U kona nom rezultatu, dobijenom ra unskom obradom izmjerenih vrijednosti, uobi ajeno se navode sve sigurne znamenke i jo jedna koja je nesigurna. (Navo enje svake sljede e nesigurne znamenke nema nikakvog smisla ako je ve znamenka ispred nje nesigurna.) Taj rezultat najbolje je pisati u znanstvenom obliku, pri emu srednja vrijednost i pripadna pogreka obvezno trebaju imati isti broj znamenki nakon decimalnog zareza. Iznimka je ako je zadnja znamenka pogreke koju elimo ostaviti jednaka 1, a sljede a bi trebala nestati zaokruivanjem. Tada ostavljamo i tu sljede u znamenku, jer bi se zaokruivanjm napravila relativno velika razlika. Srednju vrijednost i pogreku stavljamo u oble zagrade, a iza njih potenciju (red veli ine) i mjernu jedinicu. Primjeri:

V=(3.20.2) 10-3

m3

I=(2.580.14) 10-2

A

POGREKE PRI MJERENJU

Zadatak nekog fizikalnog mjerenja jest utvrditi broj anu vrijednost neke fizikalne veli ine. Zbog nesavrenosti mjernih instrumenata i naih osjetila nijedno mjerenje nije apsolutno to no. Mjerimo li neku veli inu nekoliko puta istim instrumentom i na isti na in, dobiveni rezultati ipak e se razlikovati zbog neizbjenih pogreaka pri mjerenju (uzroci mogu biti razli iti). Ipak, zamiljamo da postoji neka prava vrijednost X odre ene fizikalne veli ine. Tada rezultat pojedniog mjerenja x, odstupa od prave vrijednost X, a odstupanje

XxX -=D naziva se pravom pogrekom tog mjerenja. To no mjerenje je mjerenje ija se vrijednost najvie pribliava pravoj vrijednosti. S obzirom na to da se prava vriejdnost ne moe odrediti, nastojimo smanjiti uzroke pogreaka i ponavljati mjerenja te ih statisti ki obraditi. Cilj je uzastopnih mjerenja i ra una pogreaka to preciznije i pouzdanije odrediti pravu vrijednost fizikalne veli ine, tj. dati granice pogreke unutar kojih se najvjerojatnije nalazi prava vrijednost. Svako iskazivanje rezultata mjerenja koje uz rezultat ne daje i podatak o njegovoj pouzdanosti, bezvrijedno je. Postoje tri vrste pogreaka:

1. Sistemske 2. Grube 3. Slu ajne

1. Sistemske

Nastaju zbog toga to je pribor neispravan, to smo izabrali pogrenu metodu mjerenja ili je pogreno provodimo, i sl. One su ponovljive i prilikom ponavljanja mjerenja javljaju se u istom smjeru i iznosu. Ove vrste pogreaka mogu se smanjiti i ukloniti provjerom i poboljanjem aparature. Ako smo svjesni mogu nosti nastanka sistemske pogreke u nekom mjerenju, esto je mogu e osmisliti eksperiment tako da se takve pogreke ponite. Dijelimo ih u 4 vrste prema uzroku.

1. Instrument: Loe badaren instrument, npr. termometar koji pokazuje 102C u kipu oj, a 2C u zale enoj vodi pri normiranom atmosferskom tlaku. Takav instrument pokazivat e izmjerene vrijednosti koje su konzistentno previsoke.

2. Opaa : Npr. o itavanje skale metra pod nekim kutem.

3. Okolina: Npr. pad napona u gradskoj mrei uslijed kojeg e izmjerene struje biti stalno preniske.

4. Teorija: Uslijed pojednostavljenja modela ili aproksimacija u jednadbama koje ga opisuju. Npr. ako prema teoriji temperatura okoline ne utje e na o itanja, a u stvarnosti utje e, taj e faktor predstavljati izvor pogreke.

2. Grube

Nastaju ljudskim propustima u toku mjerenja, naglim poreme ajem u okolini ili u mjernom ure aju. Rezultat je i grubog, subjektivno uvjetovanog propusta u mjernom postupku. Opaa moe zabiljeiti krivu vrijednost, krivo o itati sa skale, zaboraviti znamenku prilikom o itavanja sa skale ili u initi drugi sli an propust. Rezultati s ovakvim pogrekama trebali bi vidljivo odskakati od ostalih, ako je u injeno vie

mjerenja ili ako jedna osoba provjerava rad druge. Oni se ne bi smjeli uklju iti u analizu podataka.

3. Slu ajne

U vezi su s neizbjenom nesavrenosti opaa a i pribora, mogu se smanjivati, ali se ne daju potpuno izbje i. To su pogreke koje donosi samo mjerenje. Boljom izolacijom od okoline i savrenijim ure ajem mogu se smanjivati do granica tehnolokih mogu nosti. Slu ajne pogreke imaju vano svojstvo proizvoljno su distribuirane oko prave vrijednosti. Kod ve eg broja mjerenja pretpostavljamo da e polovina mjerenih podataka biti manja od prave vrijednosti, a polovina ve a. Po zakonima vjerojatnosti najvjerojatnija prava vrijednost izmjerene veli ine bila bi tada aritmeti ka sredina svih izmjerenih podataka. (Sistemske pogreke ne podlijeu zakonima vjerojatnosti) Mogu u uzroci su:

1. Opaa : Npr. greka u prosudbi opaa a kad o itava vrijednosti na najmanjem podjeljku skale

2. Okolina: Npr. nepredvidive fluktuacije mrenog napona, temperature ili mehani kih vibracija ure aja

Za razliku od sistematskih, slu ajne pogreke mogu biti obra ene statisti kom analizom, te na taj na in obi no moemo odrediti koliki je utjecaj ovih pogreki na fizikalnu veli inu ili zakon. Spomenuli smo ve pojmove to nost, preciznost i pouzdanost. Definirajmo ih kako bismo uo ili razlike me u njima:

1. To nost mjerenja je odstupanje rezultata mjerenja od prave vrijednosti mjerene fizikalne veli ine. Budu i da pravu vrijednost ne poznajemo, ne moemo odrediti ni to nost pojedinog mjerenja, ali statisti kim metodama moemo odrediti interval u kojem se prava vrijednost najvjerojatnije nalazi.

2. Preciznost instrumenata naj e e je odre ena podjelom mjerne skale na instrumentu.

3. Preciznost mjerenja govori nam o prosje noj distribuciji rezultata mjerenja. Preciznost mjerenja moe se odrediti samo njegovim ponavljanjem. Ako ponavljanjem mjerenja dobijemo uvijek isti rezultat, onda za preciznost mjerenja uzimamo preciznost instrumenta.

4. Pouzdanost mjerenja moemo poboljati viestrukim ponavljanjem. Statisti ki je mogu e pokazati kako e vjerojatnost da se to na vrijednost mjerene veli ine nalazi u blizini aritmeti ke sredine rezultata, biti to ve a to je broj mjerenja ve i (pod uvjetom da imamo samo slu ajne pogreke). Tako moemo uzastopnim ponavljanjem mjerenja dobiti rezultat koji je pouzdaniji od preciznosti mjerenja.

Osnovne veli ine ra una pogreaka Pretpostavimo da smo pri naim mjerenjima uklonili sve sistemske i grube pogreke i upoznali na in kako da, vode i ra una o slu ajnim pogrekama odredimo najvjerojatniju vrijednost mjerene veli ine. Ti se postupci zovu ra un pogreaka, a podlijeu ra unu vjerojatnosti (i imaju punu vrijednost kod velikog broja mjerenja). Mi emo naj e e

vriti 5 mjerenja i tada se interval distribucije mjerenih vrijednosti najjednostavnije odre uje apsolutnom maksimalnom pogrekom. Izvedemo li niz mjerenja neke veli ine, dobit emo za tu veli inu razli ite vrijednosti. Obiljeimo n pojedina nih mjerenja s nxxx ,.......,, 21 . Iz tog niza mjerenja ra una se aritmeti ka sredina (srednja vrijednost):

=

=+++

=n

ii

n xnn

xxxx

1

21 1...

Odstupanja pojedinog mjerenja od aritmeti ke sredine nazivamo apsolutnim pogrekama. One iznose

nn xxx

xxx

xxx

D=-

D=-

D=-

22

11

Apsolutna vrijednost najve eg odstupanja od srednje vrijednosti naziva se maksimalna apsolutna pogreka xmax ili xm . Pa rezultat piemo

mjerenjabrojmxxx )( D=

Kada bismo htjeli procijeniti koliko je neki rezulat mjerenja to an, onda nam maksimalna apsolutna pogreka nije za to mjera. Mjerimo li duljinu stola dobijemo rezultat

cmx 10)2,05,158( = , a pri mjerenju neke olovke rezultat cmx 10)2,02,15( = , ne moemo re i da je to nost oba rezultata jednaka, iako je pogreka jednaka. Ista pogreka djeluje na rezultat pogreke ja e jer je ona kra a od stola. Zato moramo uzeti u obzir i relativne pogreke. Maksimalna relativna pogreka je omjer izme u maksimalne apsolutne pogreke i srednje vrijednosti svih mjerenja (moe se izaziti i postotkom):

%100

D=

D=

xx

xx

r mmm

Srednja kvadratna pogreka (standardna devijacija) pojedinog mjerenja (nepreciznost mjerenja) jest mjera odstupanja pojedinih vrijednosti od srednje vrijednosti:

( )

11

2

-

-=

=

n

xxn

ii

s

Standardna devijacija poprima ustaljenu vrijednost za ve i broj mjerenja, te iskazuje prosje no rasipanje rezultata mjerenja, to je posljedica nepreciznosti mjerenja. Ako izvedemo ve i broj mjerenja, moemo o ekivati da e mjerena fizikalna veli ina biti pouzdanije odre ena. Mjera za nepouzdanost je srednja kvadratna pogreka aritmeti ke

sredine Mn, koje za faktor n

1 manja od standardne devijacije:

( )

( )11

2

-

-=

=

nn

xxM

n

ii

n

Vjerojatnost da se prava vrijednost mjerene veli ine nalazi u intervalu

nn MxXMx +- iznosi 68,3% (unutar jedne standardne devijacije), a vjerojatnost da se prava vrijednost mjerene veli ine nalazi u intervalu

nn MxXMx 33 +- iznosi 99,9% (unutar tri standardne devijacije). Nepouzdanost Mn u sebi sadri informacije o nepreciznosti mjerenja i broju mjerenja stoga indeksom n treba nazna iti na koji se broj mjerenja navedena vrijednost odnosi. Relativna nepouzdanost definirana je omjerom nepouzdanosti i srednje vrijednosti:

%100=x

MR nM

Ovisna mjerenja U pravilu je traena veli ina F u nekom eksperimentu funkcija vie neposredno izmjerenih veli ina xi: ( )),....,,....,( 1 ni xxxfF = , od kojih je svaka optere ena nekom pogrekom Mi ili xi. Najvjerojatnija vriejdnost fizikalne veli ine F je srednja vrijednost:

).,....,,...,( 1 ni xxxfF = Za odre ivanje pogreke veli ine F moramo uzeti u obzir pogreke svih mjerenih veli ina xi. U najgorem slu aju da sve pogreke djeluju u istom smjeru maksimalna apsolutna pogreka bit e dana relacijom:

=

D

=Dn

ii

i

xxf

F1

Uzmemo li u obzir da postoji vjerojatnost djelomi na ponitenja pogreaka, Gaussova teorija za srednju kvadratnu pogreku (varijanca) veli ine F daje nam:

=

=n

ii

iF Mx

fM

1

2

Rezultat tada piemo u obliku: ( )FMFF =

Ili ( )FFF D=

Grafi ko prikazivanje rezultata mjerenja Grafi ko prikazivanje vrlo je vaan na in prikazivanja rezultata mjerenja. Kako je cilj mnogih pokusa pronalaenje ovisnosti me u mjerenim veli inama, iz grafa se to zorno moe vidjeti. No moe nam posluiti i kao provjera uspjenosti mjerenja ako nam je odnos izme u veli ina poznat. Pretpostavimo da smo u naem pokusu mijenjali neku fizikalnu veli inu x i time uzrokovali promjenu druge, o njoj zavisne, fizikalne veli ine y, te time dobili niz parova to aka (xi, yi). Te parove to aka zatim u pogodnom mjerilu ucrtavamo u koordinatni sustav, ali pri tome treba slijediti slijede e upute:

1. Nacrtati graf na milimetarskom papiru dovoljne veli ine, kako to ke ne bi bile suvie sabijene jedna uz drugu. Naime, iz sabijenog grafa moda ne e biti sasvim uo ljiv karakter ovisnosti izmjerenih veli ina.

2. Uz graf se treba nalaziti vrlo kratki opis (nekoliko rije i), u kojem e biti nazna eno o kojim se veli inama radi, te eventualno podaci o ostalim parametrima i uvjetima vezanim za ucrtanu seriju mjerenja.

3. Nezavisna varijabla (veli ina koju vritelj pokusa moe neposredno podeavati po svojoj volji i koju preciznije mjerimo) ucrtava se du x osi, a zavisna (ona koja se tijekom pokusa mijenja uslijed promjena nezavisne varijable) ucrtava se du y osi.

4. Uz krajeve svake osi ozna iti veli inu koja joj je pridruena, te jedinice u kojima je os badarena u uglatim zagradama (na primjer t[s] je vrijeme u sekundama). Ako smo os badarili u jedinicama koje su decimalni dijelovi ili dekadski viekratnici doti ne veli ine, to tako er treba nazna iti (na primjer B[10-5T] ). Veli ine moraju obavezno biti nazna ene u jedinicama me unarodnog sustava (SI), pri emu je dovoljno koristiti prefikse (na primjer cm, hPa, ...).

5. Svaku os izbadariti tako da nakon ucrtavanja to aka ne ostane previe praznog prostora ni u jednom smjeru. Svaku os treba po eti od 0 ukoliko je to mogu e, to jest ukoliko najmanja vrijednost na nekoj osi nije puno ve a od raspona izme u najmanje i najve e vrijednosti.

6. Ucrtati pravac (ili glatku krivulju) koja najbolje odgovara eksperimentalnim to kama, nazna ivi parametre ovisnosti dobivene ra unom. Kada crtamo graf ne e sve to ke leati na krivulji, i zbog toga krivulju povla imo nizom to aka tako da podjednaki broj to aka bude ispod i iznad krivulje. ak i kada graf treba biti pravac, sve to ke ne e leati na njemu, zbog neizbjenih pogreaka u eksperimentalnom mjerenju.

7. Dijelovi skale na obje osi ne moraju biti jednaki, ali dijelovi skale na jednoj osi moraju. Skala mora biti takva da na jedini noj mjeri mjerene veli ine odgovara viekratnik broja 1, 2, ... milimetara na grafu.

8. Mjerene podatke unosimo tako da to kom ozna imo poloaj u koordinatnom sustavu, te oko svake nacrtamo krui . Kada krivulja prolazi kroz to ke dobivene mjerenjem, oznake tih to aka moraju biti jasno vidljive jer se po njima eksperimentalna krivulja razlikuje od teorijske.

9. Eksperimentalne podatke upisujemo u tablicu. Prednost grafi kog prikazivanja o ituje se i u tome to se interpolacijom ili ekstrapolacijom mogu dobiti vrijednosti veli ine y i za one vrijednosti x koje nisu izmjerene. No, dok interpolacija (to ka izme u dviju mjerenih to aka) u pravilu daje ispravne vrijednosti, kod ekstrapolacije (protezanje grafa izvan podru ja mjerenih to aka) treba biti oprezan, jer uvijek postoji mogu nost da promatrana fizikalna pojava po inje odstupati od uo enoga ponaanja. Analiza linearnog grafa: Ako je iz grafa o ito da postoji linearna ovisnost y = ax + b, zanimaju nas tada parametri a i b. Za odre ivanje tih parametara mogu e je primijeniti grafi ki postupak ili metodu najmanjih kvadrata. Grafi ki postupak Prozirnim ravnalom povu emo odoka pravac koji najbolje prolazi kroz mjerene to ke. Odredimo nagib tog pravca a i odsje ak na ordinati b. Zatim povu emo ispod i iznad jo

dva pravca koji su u razumnu slaganju s mjerenim to kama. Na taj na in procijenimo pogreku parametara a i b. Takav je postupak podloan subjektivnoj procjeni, pa je uvijek poeljno primijeniti strou matemati ku metodu. Napomenimo da kod nagiba pravca treba razlikovati geometrijski od fizikalnog. Geometrijski nagib jednak je tangensu kuta izme u tog pravca i osi x, i to je broj. Fizikalni nagib je omjer y i x, to jest omjer prirasta veli ina nanesenih na osima, pri emu se koristimo skalom i jedinicama kako su odabrane na osima. Veli ina koju odre ujemo iz nagiba pravca ima jedinicu koja je jednaka omjeru jedinica veli ina na osima. Metoda najmanjih kvadrata: Metoda najmanjih kvadrata je metoda pomo u koje moemo zadanu funkciju aproksimirati drugom funkcijom odre enog tipa globalno, tako da u odre enom smislu njihova me usobna udaljenost bude to manja, bez obzira na to to se funkcije moda ne e poklapati niti u jednoj to ki.

Pretpostavimo da u mjerenom postupku dobijemo parove izmjerenih veli ina (xi, yi) tako da samo mijenjamo i biljeimo xi ime neizravno mijenjamo i vrijednosti yi. Ako izme u veli ina postoji linearna ovisnost y = ax + b, tada bi n parova vrijednosti (xi, yi), koje se ucrtavaju u koordinatni sustav, priblino trebale leati na pravcu iju smo jednadbu naveli.

Pretpostavimo da izme u promatranih veli ina postoji linearna ovisnost i da su sva odstupanja od pravca slu ajne prirode. Nepoznate parametre pravca, a i b, moemo izra unati zahtijevaju i da suma

( ) ( )[ ]=

+-=n

iii baxybaS

1

2,

ima minimum. To se doga a ako su njezine parcijalne derivacije po oba parametra jednake 0 (nuan uvjet):

( )0

,=

abaS

, ( )

0,

=

b

baS

Uz te uvjete dobivamo sustav dvije jednadbe s dvije nepoznanice:

( )[ ]

( )[ ]

0

0

______________________

02

02

11

11

2

1

1

1

=--

=--

=+--

=+--

==

===

=

=

nbxay

xbxaxy

baxy

xbaxy

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

iii

n

iii

i

n

iii

koje kada rjeavamo daje izraze za najvjerojatnije vrijednosti koeficijenata a i b:

xayn

xay

xxn

yxxyxb

xx

yxyx

xxn

yxyxna

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

iii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

iii

-=-

=

-

--=

-

-=

-

-=

==

==

====

==

===

112

11

2

1111

2

2_2

2

11

2

111

Napomena: Prije ra unanja pravca treba u grafu provjeriti ima li smisla linearna regresija i da li su podaci podjednako raspreni. Rezultate sumiranja ne smije se zaokruiti jer pogreke zaokruivanja bitno utje u na razliku velikih sli nih brojeva. NEPOUZDANOST PARAMETARA a I b: Moe se pokazati da se nepouzdanosti parametara a i b daju prikazati slijede im relacijama:

-==

-

-

-=

-

-

-

-=

=

==

==

2_221

2

22

2

2_2

2_2

22

11

2

2

11

2

12

1

xxMn

xMM

axx

yyn

a

xxn

yyn

nM

a

n

ii

ab

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

a

Ova metoda je iroko primjenjiva, pa i na ovisnosti koje nisu linearne, na primjer ako su eksponencijalne, logaritamske i sli no. Tada se dobivaju sustavi nelinearnih jednadbi koje je tee rjeavati nego linearne sustave. Na neke od njih moemo primijeniti metodu izravno, dok neke druge logaritmiranjem (ili nekom drugom operacijom nad funkcijama) svesti na linearne pa traiti pravac regresije aproksimiranih varijabli. No parametri koje tada dobijemo nisu najbolje mogu i u smislu metode najmanjih kvadrata.

Nelinearni zakoni: Nakon to se mjerene to ke unesu u graf, lako se uo ava linearna ovisnost ako ona postoji. No, ako opazimo da veli ina y nema linearnu ovisnost o x, moramo pokuati odrediti u kojoj je nelinearnoj ovisnosti rije . Ako na osnovu poznavanja sli nih fizikalnih zakona o ekujemo neku odre enu nelinearnu ovisnost, onda uvo enjem pomo nih varijabli pokuamo mjerenu fizikalnu veli inu prikazati u linearnom grafu. U slu aju kada ne elimo na sumce isprobavati razne supstitucijske varijable, moemo iskoristiti pravilo logaritmiranja: Logaritamsko logaritamski grafovi Ako je funkcionalna ovisnost oblika y = axb, logaritmiranjem dobivamo linearnu ovisnost izme u log x i log y: log y = log a + b log x. Prikazivanje u log log grafu posebno je korisno kada nepoznati eksponent b nije cijeli broj, pa ga supstitucijom nije lako pogoditi. U log log grafu, b jednostavno odre ujemo kao koeficijent nagiba praca koriste i se prije opisanim metodama. Logaritamsko - linearni grafovi Uz navedene nelinearne zakone u kojima fizikalnu veli inu potenciramo nekim brojem, u fizici se javljaju i bitno druga iji nelinearni zakoni. Ako u log log grafu ne dobijemo pravac, moemo provjeriti tako er estu nelinearnu ovisnost, u kojoj se veli ina x javlja kao eksponent. Ako je funkcionalna ovisnost oblika y = aebx, logaritmiranjem dobivamo linearni odnos varijabli x i log y: log y = log a + xb log e. Ako sada na apscisi nanosimo varijablu x, a na ordinati varijablu log y, nagib pravca dat e nam vrijednost za b log a, a odsje ak na ordinati daje log a.

SLIKA 1: Prikaz zapisa mjerenih veli ina, grafa i zapisa kona nog rezultata

Primjeri za vjebu: 1. Duljina l izmjerena je 10 puta. Izra unajte aritmeti ku sredinu, standardnu

devijaciju, nepouzdanost, relativnu i maksimalnu pogreku. Prikaite rezultat.

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 l i (mm) 17.5 18.2 17.5 18.6 18.6 18.7 17.4 18.2 17.3 17.8

2. Navedite par primjera pokusa kod kojih nakon izmjerenih veli ina kod ra una pogreaka, osim osnovnih, ra unamo i varijancu, te navedite razlog zbog ega ju ra unamo.

3. Dobiveni su podaci o zavisnosti neke veli ine y o nekoj drugoj veli ini x.

Pretpostavimo da postoji veza bax

y+

=1

. Metodom najmanjih kvadrata na ite a

i b, te njihove pogreke, koji najbolje opisuju sljede e rezultate:

x 0 1 2 3 4 5 6 y 1.02 0.24 0.14 0.10 0.08 0.06 0.05

4. Titranje kristalne reetke na niskim temperaturama doprinosti toplonskom

kapacitetu kristala kao ( ) gATTC = . Izmjereno je:

T (K) 20 30 40 50 60 70 C

(J/mol K) 1.94 6.55 15.53 30.04 54.43 83.27

Metodom najmanjih kvadrata na ite .

5. Polarizacija nekog sustava opisana je izrazom ( ) tt

ePtP-

= 0 , gdje je t karakteristi no vrijeme relaksacije. Metodom najmanjih kvadrata na ite t , ako je izmjereno slijede e:

t (s) 60 300 600 900 1200 1500

P / P0 0.98 0.92 0.85 0.78 0.72 0.66

Pisanje laboratorijskih izvje a Svaki izvjetaj mora sadravati:

naslovnu stranicu: 1. Fakultet, ime i prezime studenta, studijska grupa i mati ni broj, te datum

izvo enja vjebe 2. Redni broj i naslov vjebe ostatak izvjetaja: 3. Zadaci (prepisati sa papra kojeg se dobije uz svaku vjebu) i cilj (u dvije tri

vlastite re enice) vjebe 4. Skica mjernog ure aja ili njegova slika sa nazna enim djelovima 5. Saeti opis postupka rada (koje su veli ine mjerene i kako) 6. Zapis rezultata mjerenja iz kojeg je vidljivo to je mjereno i u kojm jedinicama

(preporu uje se zapis u tablicu) 7. Neodre enost, to jest pogreka rezultata mjerenja 8. Izra unate veli ine u pravilnom obliku zapisa, s jasno nazna enim ra unskim

postupkom (formule i ra un pogreaka) 9. Grafi ki prikaz rezultata (izra en ru no na milimetarskom papiru ili kompjuterski

ispis) 10. Osobni komentar vjebe, zaklju ak (kvaliteta rezultata, eventualni nedostaci

aparature, prijedlozi za poboljanje)

1. VJEBA

Pomi na mjerka Mikrometarski vijak

Sferometar Vaga

POMI NA MJERKA: Za mjerenje dimenzija malih pravilnih krutih tijela sluimo se pomi nom mjerkom. Ona se sastoji od tapa pravokutnog presjeka podijeljenog na milimetre. Na njega je nasa en kliza koji ima mehanizam za ko enje, da bi se izbjeglo nekontrolirano klizanje i pogreno mjerenje. Pri pomicanju kliza a treba pritisnuti nazubljenu polugu na donjoj strani kliza a, ime se otputa ko nica. Pomi nom mjerkom moe se mjeriti:

a) vanjske dimenzije nekog tijela (stavljanjem tijela izme u velikih krakova na donjoj strani mjerke)

b) unutarnje dimenzije neke cijevi ili otvorene kutije (uvla enjem gornjih krakova mjerke u upljinu tijela)

c) dubina neke posude (guranjem ipke na desnoj strani mjerke do dna posude)

SLIKA 1: Pomi na mjerka

Na kliza u se nalazi posebna skala NONIUS. Kada je kliza pomaknut do kraja lijevo, na objema skalama se poklapaju oznake za nulu (0). Za grubo mjerenje dovoljno je sa tapa o itati iznos koji odgovara novom poloaju oznake 0 na kliza u. Tako o itavamo iznos duljine u milimetrima i moemo procijeniti desetinke milimetra. Za to nije mjerenje duljine moramo poznavati princip noniusa.

SLIKA 2: Nonius Ideja je vrlo dosjetljiva. Umjesto da se svaki milimetar razmaka finijom podjelom razdjeli na mnotvo zareza, na injena je pomi na skala sa N zareza (u naem slu aju N = 10) s to no odre enim svojstvom. Kada se kliza pomakne do kraja ulijevo tako da se poklope oznake 0 na objema skalama, vidimo da oznaka 10 na noniusu upada 1 mm lijevo od oznake 40 mm na tapu; to jest oznaka 1 na noniusu se nalazi 0.1 mm lijevo od oznake 4 mm na tapu, oznaka 2 na noniusu 0.2 mm lijevo od oznake 8 mm na tapu, ... Zamislimo da mjerimo duljinu nekog listi a koja iznosi 0.1 mm. O ito je da e se oznaka 1 na noniusu poklopiti s oznakom 4 mm na tapu, dok se ostale oznake ne poklapaju. Iz

toga zaklju ujemo da se mjerenje debljine 10n

mm, gdje je n = 1, 2, ..., 9, mora poklopiti

n ta oznaka na noniusu s nekom oznakom na skali tapa. Dakle, za mjerenje duljine bitno je o itati cijeli broj milimetara pomo u noniusove

oznake 0 i dodati 10n

mm ako se n ta oznaka noniusa poklapa s nekom oznakom na

tapu. No i noniusova skala posjeduje me uoznake. Ako se me uoznaka noniusa to no poklopi s nekom oznakom na tapu, dodajemo jo 0.05 mm. Dakle, nonius nam omogu uje mjerenje duljine do to nosti o itanja od 0.05 mm (vidi oznaku na kliza u.) MIKROMETARSKI VIJAK Kao i pomi na mjerka, mikrometarski vijak sastoji se od pomi nog i nepomi nog dijela. Umjesto da klizi, pomi ni dio se mi e pomo u vijka. Mjerenje duljine se tada zasniva na proporcionalnom odnosu izme u translacijskog pomaka vijka i kuta zakretanja vijka. Okre u i vijak u matici, njegov se pomak o itava na nepomi noj skali prate i pomak ruba bubnja. Hod vijka (translacijski pomak za puni okret) iznosi to no 0.5 mm, to je ujedno podjela na nepomi noj skali. Budu i da je skala na bubnju podjeljena na 50 djeli a, mogu e je mjeriti duljinu do to nosti o itanja od 0.01 mm (pet puta to nije od mogu nosti pomi ne mjerke). Tijelo kojemu se mjere dimenzije stavi se izme u vijka i nakovnja, te se vijak pribli ava tijelu sve dok ga ne dodirne (lagani dodir, da se tijelo ne deformira). Po eljno je da pritisak uvijek bude jednak, a da bi se to postiglo vijak se okre e isklju ivo samo nazubljenom kapom na desnom kraju bubnja. Njezina je svrha da ograni i silu pritiskanja na tijelo ija se dimenzija mjeri (daljnjim okretanjem dolazi do proklizavanja kape).

SLIKA 3: Mikrometarski vijak

SFEROMETAR Sferometar je tako er ure aj za mjerenje debljina, a zasniva se na principu mikrometarskog vijka. Upotrebljava se tako er i za odre ivanje polumjera zakrivljenosti sfernih ploha.

SLIKA 4: Sferometar

Sastoji se od trono ca, kojemu se u sredini nalazi eli ni mikrometarski vijak u arafljen u maticu. Na donjoj strani vijka nalazi se iljak, a na gornjoj bubanj koji je podjeljen na 500 jednakih djelova. Polo aj bubnja se ita pomo u vetrikalnog ravnala. Da se izbjegnu pogre ke, najbolje da se skala ravnala ne upotrebljava, nego samo da slu i za itanje bubnja. Nakon to namjestimo sferometar za mjerenje odre ene debljine, o itamo djeli b1 bubnja nasuprot ravnala. Izvadimo predmet van, te zakre emo vijak . Prilikom zakretanja broji se koliko je oznaka bubnja b1 pro la pored ravnala prije nego je iljak vijka dodirnuo podlogu. Taj broj N jednak je broju itavih okretaja vijka. Zatim itamo zarez b2 koji je nasuprot ravnalu. Postoje 2 slu aja:

1. b2 > b1 : 500

12 bbb-

= (1)

2. b2 < b1 : 500

1 12bb

b-

+= . (2)

Tada tra ena visina (debljina) iznosi

( ) pbNh += , gdje je p hod vijka. Kako odrediti hod vijka? Okre imo 10 puta bubanj prate i oznaku 0 na njemu, te na skali

ravnala itamo prije enu udaljenost a. Da bi dobili hod vijka podjelimo 10a

. Pomo u

prethodne metode mo emo izra unati i udaljenost zareza na bubnju: 500050010

aa=

.

Odre ivanje polumjera zakrivljenosti: Sferometar postavimo na le u, iljak dovodimo u doticaj sa povr inom, te o itamo njegov polo aj. Skinemo sferometar sa le e, stavljamo na ravnu podlogu, i okretanjem vijka dovodimo u poziciju da dodirne povr inu broje i potpune okrete N. Kad iljak dodirne povr inu, ponovno o ivmo polo aj bubnja, te pomo u formule (1) ili (2) dobivamo visinu sferne kalote v. Pomo u pomi ne mjerke odredimo udaljenost izme u nogica trono ca (srednja vrijednost tri mjerenja). Tada je polumjer zakrivljenosti le e dan formulom

vvd

R6

3 22 += .

Raspravite to nost mjerenja upotrijebiv i pribli nu formulu, koju dobijemo ako znamo da je dv

ispraviti zakretanjem vijka koji ine noice vage. Pretpostavimo da smo postigli idealan poloaj vage u ravnotei. Pri vaganju nepoznate mase trebamo na i utege kojima je zbroj masa priblino jednak nepoznatoj masi, barem do te mjere da otklon igle bude unutar skale. Op enito imamo neku malu razliku masa mD na jednom od krakova vage. Tada kaemo da je novo teite sustava koji se njie malo pomaknut u odnosu prema prvotnome. To zna i da imamo blagi nagib grede i otklon igle za neki kut j od vertikale. Za analizu rada vage ras lanit emo djelovanje raznih sila i njihovih momenata oko osi rotacije.

SLIKA 5: Sistem poluge kod vage

Masa pretega mD uzrokuje silu gmf D= , te imamo moment sile jcos lf . On se treba uravnoteiti nekim drugim momentom sile kojeg trebamo na i. Teite same grede i igle nalazi se na udaljenosti l od osi rotacije. Pri otklonu za kut j , to se teite pomakne u stranu za iznos jl sin i nastaje moment sile jl singiF , gdje je giF teina grede i igle. Tada je u ravnotei

.cossingigi

gi mml

Ffl

tgflFD

===ll

jjjl

Uo imo da zdjelice vage nisu kruto pri vr ene na gredu, nego su objeene, pa uvijek vise vertikalno. Stoga se njihovo ukupno teite uvijek nalazi na vertikali ispod osi rotacije i ne pridonosi momentu sile oko te osi (ako zanemarimo sada preteg mD kojeg posebno gledamo). Umjesto kuta j , na skali o itavamo otklon vrha kazaljke a. Ako je duljina igle L, dobivamo

.mm

Lltgla

gi

D

==

lj

Budu i da skala vage nije ozna ena u milimetrima, ve u nekim drugim jedinicama s, za ravnoteni poloaj vage tada dobivamo

mCmsm

Lltgln

gi

D=D

==

lj ,

gdje je sa

n = broj djeli a skale za koji se kazaljka otklonila, a konstantu C nazivamo

osjetljivost vage. To je pomak vrha igle u djeli ima skale za jedini nu masu. Na osjetljivost vage utje u: masa poluge (m), udaljenost teita poluge od osi njihala (a), masa predmeta objeenog na krajevima poluge, dakle suma masa zdjelica, utega i predmeta (M), udaljenost pravca koji spaja oba objesita zdjelica od osi poluge (d),

duina poluge (2l), duina igle (D), duina jednog djeli a skale (s). Iz ovoga tada slijedi

da je osjetljivost sD

Mdmal

C +

= (a i d brojimo od osi rotacije poluge i to pozitivno u

smjeru prema dolje, a negativno u smjeru prema gore). Iz formule vidimo: 1. d=0 osjetljivost ne ovisi o teretu (poeljno za dobre vage) 2. d>0 osjetljivost pada s teretom 3. d

rezultata mjerenja). Potom se na lijevu zdjelicu stavlja teret, a na desnu zdjelicu utezi kako bi se poluga dovela u ravnoteu. Po inje se utegom koji je neto tei od tereta, te kada se vaga otko i, poluga pretegne na desno. Vaga se zako i, uteg se skine i zamjeni manjim: ako je prelagan ostavi se na zdjelici i doda mu se slijede i. Tako se postupa sve dok se ne upotrijebi uteg od 10 mg, jer je to najmanji uteg kojeg upotrebljavamo. Pomo u jaha a se tada doda potreban broj cijelih miligrama. Zbroj stavljenih masa neka je M, a tome jo treba dodati ili oduzeti masu koja je manja od 1 mg, a odre uje se iz razlika poloaja ravnotee prazne vage n0 i ravnotee n koju dobivamo s masom M. Tada vrijedi

Cnn 0-=e , pa je traena masa tada e+= MX .

SLIKA 6: Analiti ka vaga

VANA PRAVILA

1. Prozor i vage mora uvijek biti sputen, osim dok se stavlja teret ili uteg na zdjelicu. Prozor i treba otvoriti polagano i oprezno.

2. Nikad nita stavljati na vagu ili skidati s nje dok nije zako ena. Polugu vage uvijek treba osloboditi polagano i oprezno.

3. Utezi se ne smiju hvatati prstima, ve za to odre enom pincetom. 4. Jaha uvijek treba pomicati za to odre enom napravom dok je vaga zako ena. 5. Prije vaganja, libelom provjeriti ispravnost poloaja vage. 6. Nikad opteretiti vagu iznad doputene teine. 7. Predmeti i utezi moraju imati istu temperaturu kao vaga. Radi toga ih je potrebno

ostaviti pokraj vage barem 1 sat prije vaganja. Vagu treba uvati dalje od izvora topline ili izravne sun eve svjetlosti.

8. Dobro je da atmosfera u vagi bude suha. Radi toga se u ormari vage obi no stavlja posudica s tvari koja upija vlagu.

9. Zdjelice se ne smiju njihati za vrijeme vaganja. Ako se njiu, treba ih umiriti laganim dodirom kista.

10. Da se izbjegnu grube, ali este pogreke pri vaganju, treba prebrojiti utege u zdjelici, a prije nego ih se vrati u kutiju treba provjeriti zbroj, prebrojavi prazna mjesta u kutiji.

ZADACI: Pomi na mjerka:

1. Odrediti promjere danih ica? 2. Odrediti volumene danih kugli? 3. Odrediti volumen upljeg cilindra? 4. Pogreke.

Mikrometarski vijak: 1. Odrediti promjere danih ica 2. Odrediti promjer svoje kose 3. Usporediti relativne pogreke ovih mjerenja s mjerenjima izvrenim pomo u

pomi ne mjerke Sferometar:

1. Odrediti polumjere zakrivljenosti le a 2. Pogreke.

Vaga: 1. Pomo u analiti ke vage i mikrometarskog vijka odrediti gusto u danih krutih

tijela 2. Pogreke.

2.VJEBA

PROU AVANJE HELIKOIDNE ZAVOJNICE I ODRE IVANJE GUSTO E TIJELA

ELASTI NA OPRUGA Djelovanjem vanjske sile na vrsto tijelo promijeni se me usoban poloaj molekula u tijelu, zbog ega se tijelo deformira: mijenja svoj oblik i dimenzije. Kao reakcija na deformaciju izme u molekula se javlja sila koja se protivi deformaciji i dri ravnoteu vanjskoj sili. Tijelo je elasti no ako deformacija nestaje po prestanku djelovanja sile; ako je deformacija trajna tijelo je neelasti no. Svako tijelo ima granicu elasti nosti: deformacija postaje trajna kada sila prije e grani ni iznos karakteristi an za to tijelo. U podru ju elasti nosti tijela vrijedi Hookeov zakon, prema kojem je deformacija tijela razmjerna vanjskoj sili koja ju je izazvala.

SLIKA 1: Produljenje kod zavojnice

Harmoni ko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje proporcionalna udaljenosti tijela od ravnotenog poloaja. Tu udaljenost nazivamo pomak, izduenje ili elongacija. Djelovanje harmoni ke sile na tijelo ili materijalnu to ku moemo ostvariti pomo u elasti nog pera (ili eli ne helikoidalne zavojnice spiralne opruge) na ijem je kraju objeeno neko tijelo mase m koje titra bez trenja na vertikalnom pravcu. Ako djeluje neka vanjska sila i izvu e tijelo iz ravnotenog poloaja (x=0) javlja se elasti na

harmoni ka sila pera fifi

-= xkF , koja djeluje protivno izduenju (x). Prestane li djelovati vanjska sila za x=A, harmoni ka sila vra a tijelo prema ravnotenom poloaju. Vanjska sila nakon to je izvela rad, predala je tijelu potencijalnu energiju koja onda prelazi u kineti ku energiju koja je najve a kada tijelo prolazi kroz ravnotean poloaj, te se smanjuje, a pove ava potencijalna energija do poloaja x = - A. Kod ovog gibanja najve u elongaciju A nazivamo amplituda. Zbroj kineti ke (K) i potencijalne (U) energije je ukupna mehani ka energija koja je konstantna:

.21

21

21 222 constkAkxmvE ==+=

Navedena energijska jednadba moe se promatrati i kao diferencijalna jednadba ako je

dtdx

v = , to se onda rjeava integriranjem koje vodi na sinusnu funkciju zavisnosti

elongacije o vremenu. Potrait emo periodi ku funkciju x=x(t) kao rjeenje diferencijalne jednadbe koja je zadana kao elasti na sila iz Hookeovog zakona:

kxdt

xdm -=

2

2

( 1 )

02..

=+ xx w ( 2 )

gdje je mk

=2w

Rjeenje jednadbe (2), koja je homogena diferencijalna jednadba drugog reda s konstantnim koeficijentom traimo uobi ajenim postupkom. Prvo rjeavamo karakteristi nu jednadbu (algebarska jednadba s varijablom r i potencijama koje odgovaraju redu derivacije u zadanoj diferencijalnoj jednadbi)

ww irr ==+ 022 Op e rjeenje diferencijalne jednadbe (2) s konstantama C1 i C2 je oblika

tititrtr eCeCeCeCx a ww -+=+= 2121 2

Kako je tite ti www sincos = dobivamo tBtAtCCitCCx wwww sincossin)(cos)( 2121 +=-++= .

Konstante A = C1+C2 i B = i (C1 C 2) moemo prikazati i kao katete u pravokutnom trokutu s hipotenuzom C i pripadnim kutom izme u strane B i C:

A = C sin B = C cos

to nam daje )sin(sincoscossin jwwjwj +=+= tCtCtCx , gdje su C i proizvoljne konstante. Objeeno elasti no pero ili harmoni ki oscilator titra s periodom T, frekvencijom i kutnom frekvencijom (kutnom brzinom) , koji su povezani s parametrima oscilatora:

km

TTm

kp

ppnw 2

22 =fi=== ( * )

PROU AVANJE HELIKOIDALNOG PERA Pero je polumjera r, ukupne duine l i omotano je oko cilindra polumjera rR -=r , gdje je R vanjski polumjer zavojnice. Duina zavojnice je h (mala u odnosu na l). Pod utjecajem sile f, koja vu e zavojnicu u smjeru paralelnom s njenom osi zavojnica se produlji za h, a ica je podvrgnuta torziji. Ako h nije prevelika imamo f = k h, gdje je k konstanta elasti nosti opruge. To jest, apsolutna vrijednost sile koja nastoji da zavojnicu vrati u poloaj ravnotee proporcionalna je s h elasti na ili harmoni ka sila. Odre ivanje konstante zavojnice stati kom metodom Na zavojnicu vjeamo utege masa m1, m2, .... te se mjere produljenja h1, h2, ... Tada je konstanta elasti nosti

.......2

2

1

1 =D

=D

=hgm

hgm

k

gdje je g akceleracija sile tee. Odre ivanje konstante zavojnice ra unom Konstanta zavojnice ovisi o dimenzijama zavojnice i o vrsti materijala od kojeg je zavojnica izra ena. Kada bi ica bila pravocrtna njezim moment torzije, tj. zakretni moment C za jedini ni kut zakretaja bio bi

lr

C4

2m

p=

gdje je koeficijent vrsto e ili modul torzije materijala od kojeg je na injena zavojnica. Konstanta opruge k je tada:

2

4

2 2 lRr

RC

k mp

== (*)

Odre ivanje konstante zavojnice dinami kom metodom Na elasti no spiralno pero objesite uteg mase m. Odredite poloaj ravnotee tako objeenog utega. Tada uteg postavite u titranje tako da ga rukom izvu ete prema dolje i mirno pustite (masu m odabrati tako da uteg sporo titra kako biste mogli pratiti prijelaze utega pored skale). Mjerite topericom vrijeme potrebno za N=10 titraja, tj. 2N prolaza pored oznake na skali. Dijeljenjem toga broja N s t dobivamo vrijeme 1 titraja T. To ponovite za 5 razli itih masa i prikaite grafi ki ovisnost mT - , te ovisnost mT - . Zaklju ite kakva je ovisnost T i m iz grafova. Da biste odredili konstantu k dobivene podatke uvrstite u formulu (*). Provjera da li period titraja ovisi o elongaciji izvedite ovako: izvucite uteg na peru za 10 cm i pustite ga da titra. Izmjerite vrijeme titraja T. To ponovite za jo 4 razli ite elongacije.

SLIKA 2:Helikoidalno preo ODRE IVANJE GUSTO E TIJELA POMO U DINAMOMETRA Znamo da produljenje h zavojnice moe sluiti za mjerenje sile f iz hkf D= , ako h nije prevelik. Ako na zavojnicu objesimo nepoznatu masu M na nju djeluje sila Mg (pretpostavimo da sila pripada intervalu u kojem postoji proporcionalnost izme u h i sile)

1hkMg D= Ako tijelo objesimo na zavojnicu i uronimo u vodu, po Arhimedovom zakonu, ono gubi od svoje teine onoliko kolika je teina istisnute vode. Stoga e na zavojnicu djelovati manja sila pa je produljenje h2 zavojnice sada manje.

2hkgM

Mg VODETIJELA

D=- rr

tijela i vode gusto e na temperaturi t

SLIKA 3: Uteg na zavojnici

Iz prethodne jednadbe moemo izra unati gusto u tijela:

VODETIJELA hhh

rr12

1

D-DD

= .

SLIKA 4: Zavojnica kao dinamometar

ZADACI:

1. Prou avanje helikoidne zavojnice Odrediti konstantu elasti nosti zavojnice stati kom metodom. U initi vie

mjerenja s razli itim masama. Nacrtati krivulju Dh=F(f). Iz uspona izra unati konstantu elasti nosti k.

(metoda najmanjih kvadrata) Odrediti konstantu elasti nosti dinami kom metodom. Izmjeriti R, r i izra unati priblino duinu ice, znaju i da je duina l1 jednog

zavoja: ( ) 221 2 pl += pd , gdje je p - hod zavojnice? Izra unati red veli ine konstante k za prije mjerenu zavojnicu, pretpostavivi

da je iz elika, m=61010 N/m2 ? Usporediti dobiveni rezultat za konstantu elasti nosti dinami kom i stati kom

metodom.

2. Odre ivanje gusto e krutog tijela pomo u dinamometra

Odrediti gusto u niza tijela pomo u dinamometra? Uzeti da je gusto a vode jednaka r v=1 g/cm

3. Pogreke.

3.VJEBA

MATEMATI KO I FIZIKALNO NJIHALO

NJIHALA Njihalo: titranje je periodi no gibanje koje se ponavlja u odre enom vremenskom intervalu. Vrijeme trajanja jednog titraja je titrajno vrijeme (period) T. Broj titraja u jedinici vremena je frekvencija titranja f = 1 / T (Hz = s 1). Iako uzrok titranja moe biti razli it, za sva titranja zajedni ko je to to je gibanje izmjeni no u dva suprotna smjera u odnosu na ravnoteni poloaj, pri emu potencijalna energija prelazi u kineti ku i obrnuto (to se ponavlja na jednak na in ako nema gubitka energije). U nekim slu ajevima titranje nastaje djelovanjem sile tee (sila gravitacije); izvede li se tijelo koje visi iz ravnotenog poloaja sila tea ga vra a u ravnotean poloaj to tijelo nazivamo njihalom, a titranje tog tijela nazivamo njihanjem.

MATEMATI KO NJIHALO Matemati ko njihalo sastoji se od to kaste mase m na donjem kraju niti zanemarive mase i duljine l. Nit je objeena na gornjem kraju. U realnom eksperimentu masa nije koncentrirana u jednoj to ki nego je raspodjeljena po kugli, ali uz uvjet da je polumjer kuglice mnogo manji od duljine niti, moemo problem svesti na razmatranje matemati kog njihala. Otkloni li se kuglica iz ravnotenog poloaja zapo inje titranje zbog djelovanja sile tee. Period tog titranja moe se odrediti na 3 na ina, mi emo ga odrediti pomo u zakona o uvanja energije. Ukupna energija titranja zbroj je kineti ke i potencijalne energije:

EUK = Ek + Ep = konst. ( 1 )

Ek = mv21 2 = 22 )(

21

dtd

mlj

( 2 )

Ep = mgh = mgl(1 cos ) ( 3 ) h = l(1 cos ) kut otklona

SLIKA 1: Matemati ko njihalo Ukupnu energiju sustava nalazimo iz uvjeta da je u poloaju maksimalnog otklona = , obodna brzina jednaka 0, pa je

EUK = Ep max = mgl (1 cos ) ( 4 )

(2) (4) u (1) d = dt

lg

)cos(cos2

aj - ( 5 )

Uz po etne uvjete da u t = 0 njihalo miruje u poloaju = - , odredit emo poluperiod titranja

- -

==2/

0 )cos(cos22

t

lg

ddt

T a

a aj

j ( 6 )

gld

gl

T pja

ja

a

2222

=-

= -

( 7 )

No, ako elimo odrediti period titranja za velike amplitude integral (6) treba rijeiti egzaktno. Takva integracija daje izraz:

)(4 kKgl

T = ( 8 )

gdje je )2

sin(a

=k , a K(k) potpuni elipti ni integral 1.vrste definiran s

yyp

p

dkkK -

--=2

0

2

122 )sin1(

2)( ( 9 )

Razvoj tog integrala u red je ....)4

1(2

)(2

++=k

kKp

pa je period titranja za velike kuteve

otklona dan razvojem

....)2

sin41

1(2 2 ++=a

pgl

T ( 10 )

FIZIKALNO NJIHALO U mehanici se dokazuje vaan pou ak: kad se tijelo okre e oko neke osi produkt

njegovog momenta inercije I s kutnom akceleracijom 2

2

dtd a

jednak je sveukupnom

zakretnom momentu , s obzirom na tu os, vanjskih sila koje zakre u tijelo:

G=2

2

dtd

Ia

( 1 )

Taj se pou ak primjenjuje i na tijelo koje sinusoidalno titra oko poloaja ravnotee, s kutnom elongacijom i amplitudom m

Tt

m

paa

2sin= ( 2 )

gdje je t vrijeme, T period titranja (vrijeme koje pro e izme u dva uzastopna prijelaza tijela u istom smjeru kroz isti poloaj). Izra unavi kutnu akceleraciju iz (2) i uvrstivi je u (1) znaju i da je sila koja nastoji vratiti tijelo u poloaj ravnotee suprotnog predznaka od elongacije, uzevi C kao sveukupni zakretni moment za jedini ni kut zakretanja, dobivamo za period titranja T:

SLIKA 2: Kruto tijelo

kutjedzaosnaobziromsmomentsveukupniinercijemoment

CI

T.

22 pp ==

To vrijedi za bilo koje sile koje uzrokuju titraje tijela. Moment inercije materijalne to ke mase m na udaljenosti r od osi rotacije O je r2m. Moment inercije krutog tijela je suma svih momenata inercije materijalnih to aka, na koje se tijelo moe rastaviti: mr 2 Kruto tijelo koje moe titrati oko vrste horizontalne osi koja ne prolazi njegovim teitem naziva se fizikalno njihalo. Izvede li se to tijelo iz ravnotenog poloaja i pusti, ono titra zbog djelovanja sile tee. Kada su amplitude titranja m male (nekoliko stupnjeva) tada tijelo ini sinusoidalne ili harmoni ke titraje, kojima je elongacija dana formulom (2), a period titranja T jednadbom (3).

Sveukupni moment vanjskih sila (u tom slu aju moment teine Mg tijela s obzirom na os titranja), je kut otklona iz poloaja ravnotee

asinMga-=G gdje je M sveukupna masa tijela, dok je a udaljenost osi vrtnje od teita tijela. Za male kuteve sin , pa dobivamo

aa CMga -=-=G To je moment sila koji nastoji da tijelo od poloaja odre enog kutem vrati u poloaj ravnotee. Za kut = 1 rad, zakretni moment je C = mga. Tada je period

MgaI

T p2= (*)

SLIKA 3: Fizikalno njihalo REVERZIBILNO NJIHALO

Uz zamjenu MaI

l =0 izraz (*) se poklapa s izrazom (2) kod matemati kog njihala. Tada

l0 nazivamo reducirana duljina njihala. Pomo u te duljine moe se definirati nova os vrtnje koja je od prve osi udaljena za l0. Tada je udaljenost centra mase od nove osi jednaka:

amamI

amaI

ala2

0

-=-=-= ,

a period titranja oko nove osi:

aMgI

T

= p2

gdje je I moment tromosti oko nove osi Po Steinerovom pou ku moment tromosti I i I su jednaki zbroju momenta tromosti oko centra mase Icm i umnoku mase i kvadrata udaljenosti osi vrtnje od centra mase

2MaII CM += 2aMII CM +=

Kombiniranjem svih jednadbi dobije se da je T = T. Tijelo, dakle, njie s istim periodom s kojim bi titralo matemati ko njihalo, ija je duina jednaka razmaku dvije promatrane osi. Te se dvije osi nazivaju recipro ne osi. ODRE IVANJE RECIPRO NIH OSI FIZIKALNOG NJIHALA Raspolaemo metalnim plosnatim tapom pravokutnog presjeka, na kojem su izbuene rupice s jednakim razmacima (po 3 cm). tap moemo objesiti na bilo koju od rupica na horizontalno pri vr en eli ni no. Na tap moemo pri vrstiti masu M. Odredite periode titranja T tapa pomo u zaporne ure, otklonjenog za male amplitude i objeenog na svaku od rupica (za 20 titraja mjeriti vrijeme, pa iz toga izra unati period 1 titraja).

SLIKA 5: Fizikalno njihalo koje se koristi za vjebu

ZADACI:

1. Fizikalno njihalo - Odre ivanje recipro nih osi fizi kog njihala Nacrtati krivulju; koja daje vrijeme titraja T, kao funkciju udaljenosti d osi titraja

od to ke O. Pomo u te krivulje na i poloaje recipro nih osi, koje odgovaraju osima O1, O2,

O3 odredivi odnosne reducirane duine.

2. Matemati ko njihalo

Izmjerite period titranja za male kutove za desetak raznih duljina niti. Nacrtajte

dijagram ln T ln l. Pretpostavite da je ( )g

p

=

gl

lT 2 i odredite eksponent

metodom najmanjih kvadrata. Da li je on u skladu sa poznatom relacijom? Prikaite rezultate u T2 l dijagramu. Metodom najmanjih kvadrata odredite

konstantu gravitacije g. Odredite periode titranja sa kuglama razli itih masa i odredite da li on ovisi o

masi?

4.VJEBA

TORZIJA

Torzija Torzija (uvrtanje, uvijanje) je deformacija vrstog tijela koja nastaje djelovanjem zakretnog momenta vanjskog para tangecijalnih sila: tijelo se tordira (uvr e, uvija) oko svoje uzdune osi. Zamislite ipku duljine L i polumjera R koje je podvrgnuto torziji. Na slici (1) prikazan je njezin dio cijev duljine L polumjera r i debljine dr. Torzija ipke dovodi i do tordiranja cijevi to je na slici (1) prikazano deformacijom djeli a cijevi paralelopipeda visine L i povrine osnovice drdldS = . Kod torzije dolazi do me usobno usporednih pomaka pojedinih paralelopipeda, i takva se vrsta deformacije naziva smicanjem to je prikazano na slici (1).

SLIKA 1: Torzija i smicanje Smicanje je u slu aju malih deformacija linearno i opisuje se Hookeovim zakonom

ame = ( 1 )

gdje je tangencijalno naprezanje po jedinici povrine

dSdF

, modul smicanja koji

ovisi o materijalu, i kut smicanja. Kut smicanja paralelopipeda sa slike gore za male deformacije, jednak je omjeru duljine luka r i duljine cijevi L, te polumjera djeli a krunice kojeg donja osnovica paralelopipeda opie torzijom:

Lrf

a = ( 2 )

Uvrtavanjem prethodnog izraza u jednadbu (1) dobije se

dldrrL

dSdF ==mf

ma ( 3 )

dF je element sile koji tordira (uvija) cijev. Zakretni moment para sila koji uvija paralelopiped dan je s:

drdlrL

rdFdM P2mf== ( 4 )

Zakretni moment para sila koji uvija cijev polumjera r jednak je integralu prethodnog momenta po elementu duljine dl po cijelom opsegu cijevi 2r :

drrL

dldrrL

dMr

C3

2

0

2 2 ==p pmfmf

( 5 )

Ukupan moment sile na ipku jednak je integralu momenata sila svih cijevi dMC

fmppmf

LR

drrL

MR 4

0

3

22

== ( 6 )

Ako uzmemo da je C konstanta torzije definirana s:

LRM

C4

2mp

f== ( 7 )

Modul torzije moe se odre ivati dvjema metodoma: stati kom i dinami kom. Stati ka metoda podrazumijeva uspostavu stalnog momenta sile na ipku i mjerenje kuta torzije izazvanog tim momentom. Dinami ka metoda se temelji na torzionom njihalu. Ono se sastoji od ipke u vr ene na jednom kraju i optere ene tijelom nekoga momenta tromosti I na drugom kraju. Sukanjem (tordiranjem) ipke te njenim otputanjem, sustav ipka tijelo po ne titrati. Parametar koji opisuje titranje sustava jest kut torzije ice . Moment sile M jednak je derivaciji zakretnog impulsa L po vremenu:

2

2

dtd

Idtd

IdtdL

Mfw

=== ( 8 )

Iz jednadbe (7) i (8) dobivamo jednadbu gibanja torzionog njihala:

02

2

=+ ff

Cdtd

I ( 9 )

Rjeenje ove diferencijalne jednadbe drugog reda je oscilatorno s periodom

CI

T p2= ( 10 )

Stati ko odre ivanje modula torzije Gornji dio ice u vr en je u kripac, dok je na donji kraj ice objeeno mjedeno tijelo. Na njemu se nalazi duga ka kazaljka i cilindar oko kojeg su omotane, u istom smjeru, dvije niti pri vr ene malim vijcima na cilindar. Svaka nit ide preko svoje koloture. Svaka nit na krajevima ima petlju na koje se moe objesiti lagana aluminijska zdjelica. U produenju osi ice smjeteno je sredite skale

pomo u koje se ita kut , za koji se kazaljka zakrenula iz prvobitnog poloaja ravnotee. Dok su zdjelice objeene na nitima namjestimo kazaljku na nulu. Stavimo jednako teke utege mase m na zdjelice tako da do e do sprega sila koji zakre e icu. Odredimo kuteve koji odgovaraju tim masama (silama).

gmdFdCM === j ( 11) gdje je d polumjer cilindra.

SLIKA 3: Kut torzije Dinami ko odre ivanje modula torzije Na donji kraj ice kojoj je gornji kraj u vr en, pri vr en je u svome teitu mjedeni horizontalni tap na kojem se mogu pomicati dvije jednake cilindri ne mase. Mase se stave na jednaku udaljenost od ice, da tap bude horizontalan. Njihalo se stavi u gibanje tako da nema neeljenih titraja zbog sile tee. Poznajemo li periode titraja T1 i T2 za dva razli ita poloaja cilindri nih masa na tapu, poznavaju i masu m tih cilindara te udaljenost r njihovih teita od osi rotacije, moemo izra unati konstantu torzije C. Neka moment inercije kod prvog poloaja r1 cilindra bude l1 , a kod drugog poloaja r2 neka bude l2. Tada imamo

CI

T 11 2p=

CI

T 22 2p= ( 12 )

Dakle, moemo izra unati C:

22

12

2

12 4pTT

IIC

-

-= ( 13 )

Po Steinerovom pou ku, moment inercije nekog tijela s obzirom na neku os, jednak je momentu inercije s obzirom na paralelnu os koja prolazi teitem tijela uve an za produkt mase tijela i kvadrata udaljenosti teita tog tijela od osi rotacije. Neka I0 bude moment inercije sustava (tapa i ice), a i1 moment inercije jednog cilindra s obzirom na os ice. Tada imamo

I1 = I0 + 2 i1 (14) gdje je i1= k

2m + mr12.

Uvrstivi ovu relaciju u ( 14) dobivamo za dva cilindra: 2

12

01 22 mrmkII ++=

22

202 22 mrmkII ++=

)(2 212

212 rrmII -=- Tada je C:

22

12

2

21

22 4

)(2p

TT

rrmC

-

-= (15)

Da bi dobili modul torzije potrebno je jo izmjeriti promjer i duljinu ice i uvrstiti u relaciju (7).

SLIKA 4: Dinami ko odre ivanje modula torzije

Zadaci:

1. Stati ko odre ivanje modula torzije Prikazati grafi ki ovisnost momenta torzije o kutu torzije za danu icu. Pomo u dobivene krivulje na i konstantu torzije (c) iste ice (metoda

najmanjih kvadrata). Odrediti duinu ice, izmjeriti njezin promjer i na i njezin modul torzije (m). Pogreke.

2. Dinami ko odre ivanje modula torzije Na i dinami kom metodom modul torzije eli ne ice? Pogreke.

5.VJEBA

Gusto a teku ine pomo u piknometra Mohr Westphalova vaga

Piknometar Piknometar je svaka posuda koja slui za mjerenje gusto e teku ina. Na piknometar, prikazan na slici 1, sastoji se od male bo ice uskoga grla u koje se stavlja stakleni ep. ep u sebi ima cjev icu kroz koju se iz posude izlije viak teku ine tako da je volumen teku ine u piknometru jednak volumenu piknometra, 50 ml.

Slika 1. Piknometar za odre ivanje gusto e teku ina. Odre ivanje gusto e dane teku ine vri se na sljede i na in:

1. Izvae se masa praznog piknometra (zajedno sa staklenim epom), mpik. 2. Piknometar se napuni danom teku inom i izvae se masa piknometra s teku inom,

mpik+tek.

3. Izra una se gusto a teku ine pomo u relacije: pik tek piktek

tektek pik

m mmV V

r +-

= = .

Piknometar mora biti ist i suh prije vaganja, da bismo izbjegli sistematsku pogreku i dobili to to niji iznos njegove mase. Oprati se moe destiliranom vodom, a posuiti raznim priborom u laboratoriju: plamenikom, elektri nim kuhalom, fenom ili stavljanjem na radijator. Suenje na zraku predugo bi trajalo. Treba biti oprezan pri koritenju plamenika i elektri nog kuhala i ne stavljati piknometar direktno u plamen, odnosno na kuhalo. Naglo zagrijavanje piknometra, ili njegovo hla enje ulijevanjem teku ine sobne temperature u vru i piknometar, moe uzrokovati pucanje stakla! Ukoliko smo ulili previe teku ine, viak e iza i kroz cjev icu na epu. ep i piknometar potrebno je tada obrisati papirnatim ubrusom i posuiti. Odre ivanje gusto e teku ina Mohr-Westphalovom vagom Mohr-Westphalova vaga je hidrostatska vaga koja slui za odre ivanje gusto e teku ina. Pri odre ivanu gusto e teku ina koristi se metoda relativnog odre ivanja, tj. odre uje se gusto a dane teku ine u odnosu na teku inu poznate gusto e (voda).

Slika 1. Mohr-Westphalova vaga.

Dijelovi vage izvade se iz kutije i sastave prema slici 1. Na desni krak vage, o kukicu K, objesi se ronilac na tankoj ici. Potom se cijeli ronilac uroni u au s destiliranom vodom. Pri tome treba paziti da ne dodiruje dno ae. Zbog uzgona e ronilac nastojati isplivati na povrinu. Zato se na kukicu K doda uteg (jaha u obliku potkove, mase M=10 g) koji e uravnoteiti uzgon. Kada je ronilac potpuno uronjen u vodu, pomo u vijka V vaga se uravnotei tako da iljci 1 i 2 budu na istoj visini. Na skali S o ita se i zabiljei poloaj kazaljke to je ravnoteni poloaj. Potom ronilac izvadimo iz posude s destiliranom vodom i obriemo ga da bude potpuno suh. U posudu sada ulijemo teku inu nepoznate gusto e i ponovo uronimo ronilac. Ukoliko je gusto a teku ine manja od gusto e vode, i uzgon e biti manji te e biti potrebno pomaknuti jaha blie osi vage, tj. s oznake 10 na neki manji broj n1. Ukoliko vaga nije u ravnotenom poloaju, uzimamo novi jaha mase m2=M/10 i stavljamo na krak vage (n2) tako da postignemo ravnoteu. Potom uzmemo i tre i uteg mase m3=M/100 te i njega stavimo na krak vage na mjesto koje daje ravnoteu vage (n3). O itamo poloaje utega na vagi (n1, n2, n3) i odredimo gusto u dane teku ine po relaciji:

2

31 2

10 100 1000tek H Onn n

r r = + +

Dakle, gusto a teku ine odre ena je relativno spram gusto e vode iji iznos o itamo iz

tablice (2 3

1H Og

cmr = ). Poloaji utega daju decimalna mjesta gusto e zadane teku ine.

Na primjer, ukoliko su n1, n2, n3 redom jednaki 8, 7, 5, tada je gusto a teku ine jednaka:

2

0.875tek H Or r= Pogreku izra unamo tako da uteg najmanje mase pomi emo lijevo i desno od ravnotenog poloaja do udaljenosti za koju je vaga jo uvijek u ravnotei. Taj pomak za n3 podioka na vagi daje nam pogreku mjerenja, a ujedno i osjetljivost vage.

Ako je gusto a dane teku ine ve a od gusto e vode, tada je i uzgon ve i pa nam trebaju dva jaha a mase M: jedan ostaje na kukici K, a drugi stavljamo na poloaj n1. Traena gusto a je tada:

2

31 2110 100 1000tek H O

nn nr r = + + +

ZADACI:

1. Gusto a teku ine pomo u piknometra Odredite gusto e danih teku ina kod sobne temperature. Pogreke.

Kolika mora biti to nost mjerenja da ima smisla voditi ra una o gubitku teine uslijed uzgona u zraku? 2. Mohr Westphalova vaga

Odredi gusto u danih teku ina Mohr-Westphalovom vagom. Procijeni pogreke.

Usporedi dobivene rezultate za gusto u s iznosima dobivenim pomo u piknometra i komentiraj. Jesu li gusto e jednake ili ne? Koji rezultat smatra to nijim?

6.VJEBA

NAPETOST POVRINE VISKOZNOST

Napetost povrine Me u molekulama teku ine djeluju privla ne sile koje dre teku inu na okupu. One su sli ne prirode kao i privla ne sile koje dre zajedno atome vrstog tijela, ali su puno manjeg iznosa (moemo hodati kroz vodu, ali ne i kroz zid). Te me umolekularne sile nazivaju se silama kohezije jer djeluju me u istovrsnim molekulama.

SLIKA 1. Kohezijske sile izme u molekula teku ine u dubini i na povrini teku ine. Vidljiva je razlika izme u simetri ne situacije kod prvih molekula (sile djeluju u svim smjerovima jednako i rezultanta je nula) i kod molekula uz povrinu na koje djeluje sila prema unutranjosti teku ine.

Promotrimo teku inu ulivenu u posudu (slika 1.). Na molekulu unutar teku ine djeluju privla ne me umolekularne sile od susjednih molekula. Poto te sile djeluju sa svih strana, one se me usobno uravnoteuju te je rezultantna sila na molekulu jednaka nuli. Me utim, molekula koja se nalazi na povrini teku ine osje a privla ne sile susjednih molekula koje se nalaze na povrini teku ine i ispod nje, dok je iznad povrine teku ine zrak. Ovdje nemamo simetriju kao kod molekule unutar teku ine, te stoga sile nisu uravnoteene (molekule teku ine i zraka me usobno slabo djeluju). Javlja se rezultantna sila koja povrinsku molekulu privla i prema unutranjosti teku ine. Stoga teku ina nastoji poprimiti oblik koji e imati najmanju povrinu (kap vode u besteinskom stanju ima sferni oblik). Vidimo da se povrina teku ine razlikuje po svojim svojstvima od unutranjosti teku ine i molekule na povrini me usobno su ja e povezane. Dakle, elimo li pove ati povrinu teku ine sa S na S+dS, moramo uloiti rad dW. Povrinska napetost s je rad koji je potrebno izvriti da se povrina teku ine pove a za jedinicu povrine:

dWdS

s = .

Dimenzija povrinske napetosti je [s ]=[J/m2]=[N/m]. Uronimo li tap duljine a u teku inu i pokuamo ga izvu i van, djeluju i silom F okomito na povrinu teku ine, mi ujedno i pove avamo povrinu teku ine jer se ravna povrina

deformira. Zbog toga se javlja povrinska napetost koja nastoji smanjiti deformiranu povrinu. Ovdje je napetost povrine posljedica i adhezijskih sila (sile koje djeluju izme u raznovrsnih molekula) kojima se privla e molekule teku ine i estice tapa. Podignemo li tap za Dy, izvrili smo rad FDy, a povrinu pove ali za 2aDy, jer teku ina kvasi tap sa dvije strane. Napravimo li omjer rada i povrine, dobijemo za napetost

2 2

dW F y FdS a y a

sD

= = =D

.

Vidimo da povrinsku napetost moemo opisati i kao silu F koja djeluje okomito na rub teku ine duljine l (l=2a), tangencijalno povrini teku ine:

Fl

s = .

Dakle, ovdje smo istu veli inu, napetost povrine, definirali na dva razli ita na ina. Kapilarnost Kapnemo li neku teku inu na horizontalnu podlogu, ona poprima sasvim odre eni oblik. Ako na podlozi nastane kaplja, oblik kaplje opisan je takozvanim okrajnim kutom, q, koji se mjeri od horizontalne podloge pokrivene teku inom do tangente na povrinu teku ine (slika 2.).

a) b)

SLIKA 2. Okrajni kut kaplje na vrstoj podlozi: a) teku ina mo i podlogu pod iljastim okrajnim kutom b) teku ina savreno ne mo i podlogu

Ako je okrajni kut nula, kaemo da teku ina savreno mo i podlogu. Kada je q

a) b)

SLIKA 3. Oblik teku ine uz vertikalnu stjenku:

a) konkavan menisk teku ine (iljati okrajni kut) b) konveksan menisk teku ine (tupi okrajni kut)

Okrajni kut javlja se i kod uskih cjev ica, promjera manjeg od milimetra, koje nazivamo kapilarama. Uronimo li kapilaru vertikalno u teku inu, zakon spojenih posuda vie ne vrijedi. Teku ina se u kapilari die ili sputa ovisno o povrinskoj napetosti ploha u dodiru (tj. o odnosu kohezijskih i adhezijskih sila). Ako su adhezijske sile ve e, nastaje iljasti okrajni kut i nivo teku ine u kapilari se podie (slika 4.). To je kapilarna elevacija (npr. voda staklo). Ukoliko su kohezijske sile ve e, okrajni kut je tupi kut, i nivo teku ine u kapilari se sputa. To je kapilarna depresija (npr. iva staklo).

Mjerni ure aji i metode mjerenja Postoji vie metoda odre ivanja povrinske napetosti. U ovoj vjebi koristit emo dvije metode: metodu otkidanja prstena i metodu kapilarne elevacije. Metoda otkidanja prstena (Du Nouyeva metoda) U ovoj metodi mjerimo silu F potrebnu da se horizontalni prsten srednjeg polumjera r, napravljen od tanke ice, otkine od povrine teku ine. Ako teku ina dobro mo i prsten, moe se uzeti da napetost povrine djeluje na prsten vertikalno prema dolje. Sloj teku ine to ga prsten die ima dvije povrine p1 i p2 pa na opsegu 2rp djeluje povrinska napetost 2 2r Fp s = , odnosno

4Fr

sp

= .

Za mjerenje sile F koristimo torzijsku vagu. Na jedan krak torzijske vage objeen je prsten i posudica na koju se stavljaju utezi radi badarenja, a vaga se uravnotei pomo u vijka koji se nalazi na drugom kraku vage. Prvo je potrebno izbadariti vagu, tj. na i vezu izme u sile o otklona na skali. To postiemo stavljaju i u posudicu utege odre ene mase i mjere i otklon kraka vage na skali. Dobivene podatke za masu, odnosno silu (F=mg) i otklon unosimo u tablicu, crtamo graf sila-otklon i metodom najmanjih kvadrata (MNK) ra unamo pravac koji najbolje opisuje dobivene to ke na grafu. Zatim uklonimo sve utege iz posudice i uronimo prsten u teku inu. Sputamo posudu s teku inom i promatramo otklon vage na skali. U trenutku otkidanja prstena zabiljeimo maksimalni

otklon vage na skali. Mjerenje treba ponoviti nekoliko puta, odrediti srednju vrijednost otklona i pogreke. Nakon toga, nanesemo otklon na graf sila-otklon i povu emo okomicu iz dobivene to ke na x-os do pravca dobivenog MNK. Zatim od sjecita s pravcem povla imo okomicu na y-os i odre ujemo silu otkidanja prstena direktnim o itavanjem s y-osi. Ne zaboravite pogreke! Nakon toga ra unamo napetost povrine prema gornjoj relaciji. Prsten treba biti ist i vodoravan tijekom mjerenja da bi rezultati bili to to niji. Nemojte ga dirati prstima jer masno a s prstiju moe promijeniti povrinsku napetost dane teku ine i znatno utjecati na to nost mjerenja. Metoda kapilarne elevacije

SLIKA 4. Kapilarna elevacija: nivo teku ine u kapilari se podie, a okrajni kut je iljasti.

Uronimo li istu, cilindri nu kapilarnu cijev, unutarnjeg polumjera r u teku inu, nivo teku ine u kapilari povisit e se od nivoa izvan kapilare (slika 4.). Neka je okrajni kut teku ine i kapilare q. Duljina dodirne linije teku ine i kapilare je opseg same kapilare, l=2r . Na taj obod teku ine djeluje sila povrinske napetosti

2 .F l rs s p= = Vertikalna komponenta te sile, cosF q , dri ravnoteu teini stupca teku ine u kapilari 2cosF r ghq pr= . Izjeda avanjem dobivamo:

1

2cosr ghs r

q= .

Ako teku ina savreno mo i stjenku kapilare, onda je cos = 1. Uzmemo li i korekciju za menisk, dobivamo:

1

2cos 3r

r g hs rq

= +

.

Mjerenje: Kapilaru treba dobro o istiti i nakvasiti unutarnje stjenke teku inom iju napetost odre ujemo. Mjerenje se vri tako da kapilaru uronimo okomito u posudu s danom teku inom. O itamo visinu stupca teku ine u kapilari, paze i pritom na paralaksu i da u kapilari ne bude mjehuri a zraka. Mjerenje ponoviti vie puta radi bolje to nosti rezultata. Viskoznost Kada se dva sloja teku ine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugome, javljaju se sile koje nastoje sprije iti ovo relativno gibanje. Te sile, sli ne trenju (jer djeluju suprotno od smjera gibanja teku ine i usporavaju njeno gibanje), zovu se sile viskoznosti. Viskoznost je, dakle, otpor teku ine prema te enju. Uzrok tih sila jesu me umolekularne sile kojima se molekule teku ine me usobno privla e i time opiru smicanju susjednih slojeva. Viskoznost se javlja i kod plinova, ali ovdje njen uzrok nisu me umolekularne sile, nego difuzija molekula me u slojevima. Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjedna ava brzine susjednih slojeva, to je ekvivalentno sili trenja me u slojevima, tj. javlja se viskoznost. Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od utjecaja me umolekularnih sila u teku inama tako da plinovi pokazuju znatno manju viskoznost od teku ina. Viskoznost kod teku ina opada s temperaturom, a kod plinova raste.

fluid [mPa s] voda 1 iva 1,6 krv (37C) 4 etil alkohol 16 strojno ulje 113 660 glicerin 830 kisik 0,020 zrak 0,018

Tablica 1. Koeficijent viskoznosti za neke fluide pri temperaturi 20C.

SLIKA 1. Uz pojavu viskoznosti.

Promatramo teku inu izme u dviju plo a od kojih je donja nepomi na, a na gornju plo u djeluje vanjska sila F (slika 1). Zbog unutarnjeg trenja izme u plo e i dodirnog sloja fluida, vanjska sila F uravnoteena je silom viskoznosti te se plo a giba konstantnom brzinom vo. Gornja pokretna plo a povla i za sobom dodirni sloj teku ine, a taj sloj povla i susjedni donji sloj i tako redom. Najvii sloj teku ine ima najve u brzinu, a nii slojevi sve manje brzine. Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti proporcionalna povrini plo e S i gradijentu brzine / ,dv dz te da ovisi o vrsti fluida, to je uklju eno u koeficijentu viskoznosti :

dv

F Sdz

h= (0.1)

Lake pokretljiva teku ina ima manji i manju viskoznost F. Recipro na vrijednost koeficijenta viskoznosti, 1/ zove se koeficijent fluidnosti. Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti je Pascal sekunda (Pa s). Hopplerov viskozimetar Ure aj se sastoji od staklene cilindri ne posude, u koju se stavlja teku ina nepoznatog koeficijenta viskoznosti ( ), i staklene kuglice. Mjeri se vrijeme padanja kuglice (t) u teku ini dok se sputa za visinu H (udaljenost izme u dva prstena ozna ena na stjenci posude). Kuglica pada u fluidu pod djelovanjem sile tee, uzgona i Stokesove sile trenja. U po etku se kuglica giba ubrzano, dok ne dostigne odre enu stalnu brzinu vo. Tada su spomenute sile uravnoteene te vrijedi: g u StokesF F F= + (0.2)

06k tVg Vg rvr r ph= + (0.3) gdje je k gusto a, V volumen i r polumjer kuglice, t gusto a teku ine i g ubrzanje sile

tee. Ako uvrstimo 343

V r p= i 0 / ,v H t= dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti:

( )22

9 k tr g

tH

h r r= - (0.4)

Zamijenimo li lan ispred zagrade sa 22

9r g

kH

= , gornji izraz postaje jednostavniji:

( )k tkh r r= - t (0.5) Konstanta k je konstanta viskozimetra, k i t su zadane veli ine pa je za izra un koeficijenta viskoznosti dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice (t).

ZADACI:

1. Napetost povrine Odredi napetost povrine dane teku ine metodom otkidanja Odredi napetost povrine dane teku ine mjere i njeno uzdizanje u kapilari Pogreke.

2. Viskoznost Odredite koeficijent viskoznosti glicerina.

glicerin = 1,26 g cm-3

kuglice = 2,51 g cm-3

k = 0,2310-4 m2 s-2

Pogreke.

7.VJEBA

Mjerenje otpora pomo u Wheatstoneovog mosta Mjerenje otpora elektri ne arulje u ovisnosti o jakosti struje

Wheastoneov most

SLIKA 1: Shema spoja Wheastoneovog mosta

Wheastoneov most je ure aj koji slui za vrlo to no mjerenje nepoznatog otpora, ili za mjerenje malih promjena otpora. Pogodan je zbog toga to nam za mjerenja nisu potrebni pretjerano precizni izvori napona/struja i precizni mjerni instrumenti, ve je dovoljno imati nekoliko preciznih otpornika. Otpor R = R1+ R2 predstavlja otpor jedne otporne ice duljine l = l1 + l2 homogenog popre nog presjeka. Pomicanjem kliznog kontakta (to ka D) mogu e je kontinuirano mijenjati omjer l1/l2, a time i njegov omjer R1/R2. pri razmatranju Wheatstoneovog mosta sluimo se Kirchoffovim zakonima. Prvi Kirchoffov zakon kae da je zbroj struja koje ulaze u neki vor strujnog kruga jednak nuli:

0=i

iI .

Pri tome struje koje izlaze iz vora smatramo negativnima. Drugi Kirchoffov zakon opisuje zatvorenu strujnu petlju. U svakoj zatvorenoj strujnoj petlji zbroj svih padova napona na otporima u toj petlji jednak je zbroju svih elektromotornih sila u njoj:

( ) 0=-i

iii RI e .

Ozna imo struje u Wheastoneovom mostu istim indeksima koje imaju otpori kroz koje te struje prolaze. Odaberimo smjerove protjecanja struja kao na slici. Za slu aj gornje slike vrijedi :

)4(0

)3(0

)2(0

)1(0

2233

11

21

3

=+-

=--

=--

=-+

GG

GGxx

G

Gx

IRIRIRBCDpetlja

IRIRIRABDpetlja

IIID vor

IIIB vor

Kliznim kontaktom uravnoteujemo Wheastoneov most tako da galvanometrom ne te e struja tj. IG = 0. Stoga u ravnotenom stanju prema jednadbama (1) i (2) vrijedi: IG = 0 Ix = I3 I1 = I2 (5) Stoga jednadba (3) postaje :

3

21

11 I

IR

II

RRx

x == , (6)

a jednadba (4) postaje :

3

2

2

3

II

RR

= (7)

Uvrtavanjem (7) u (6) dobivamo:

1

13

2

13

2

13

2

31 ll

lR

ll

RRR

RRR

RRx -==== (8)

Ovdje smo uzeli u obzir da je omjer otpora R1 i R2 jednak omjeru duljina otporne ice s lijeve i desne strane kliznog kontakta (l1 i l2), jer otpor neke ice ovisi o njenoj duljini l, popre nom presjeku S i vrsti materijala, prema relaciji :

Sl

R r= . (9)

Ako je S = pr2, (9) postaje :

2r

lR

pr= , (10)

no popre ni presjek te ice konstantan. Konstanta proporcionalnosti naziva se specifi ni otpor. To je dakle, jedini ni otpor vodi a, jedini ne duine i presjeka. Ukupni otpor serijski spojenih otpora dan je izrazom

=

=n

iiu RR

1

(11)

Ukupni otpor paralelno spojenih otpora dan je izrazom :

=

=n

i iu RR 1

11 (12)

Na raspolaganju je izvor istosmjernog napona U = 4.5V, otporna ica duljine l = 1m s kliznim kontaktom, mjerni instrument, te niz otpornika poznatih i nepoznatih otpora. Nepoznate otpore mjerimo pomo u razli itih poznatih otpora na taj na in da na mjesto R3 stavljamo poznate otpornike i pomi u i klizni kontakt mijenjamo omjer l1/l2, pri emu nam galvanoskop slui kao sprava za pokazivanje struje. jer je njegov unutarnji otpor vrlo mali. No zbog toga, za njegovu zatitu moramo koristiti prekida P spojen na galvanoskop. Galvanoskop se uklju i samo trenutno pomo u prekida a, da bi se vidjelo da li je struja prejaka ili ne (da galvanoskop ne bi pregorio). Ako je struja kroz galvanoskop u granicama mjernog podru ja, klizni kontakt povla imo dok ne dobijemo 0. Tada je struja kroz njega jednaka 0, i to je uvjet kada su grane Wheatstoneovog mosta u ravnotei. O itavanjem duljina l1 i l2 iz relacije (8) dobivamo vrijednost nepoznatog otpora.

SLIKA 2: Aparatura

Mjerenje otpora elektri ne arulje u ovisnosti od jakosti struje Ohmov zakon

IU

R = (1)

kao to znamo, vrijedi samo kada je R neovisan o struji I koja prolazi vodi em. Me utim, dok vodi em te e struja, on se zagrijava, i zbog toga mijenja otpor. Tada vie ne postoji

konstantnost omjera IU

. Ova se ovisnost otpora o struji osobito vidi kad je otpor dobro

termi ki izoliran, kao to je to slu aj kod elektri nih arulja. Kod arulja s volframovom niti otpor raste s temperaturom, dakle i jako u struje, kod niti iz ugljena pada s temperaturom (kaemo da ugljen ima negativni temperaturni koeficijent otpora). Posebnu primjenu imaju cijevi punjene vodikom, u kojima se nalazi nit od eljeza. Temperaturni koeficijent eljeza postaje vrlo velik u blizini temperature od 800 C. Ako je struja u niti dovoljno jaka da postigne tu temperaturu, svaka promjena napona kompenzira se promjenom otpora uz skoro konstantnu struju. Takve cijevi posjeduju podru je u kojem, zahvaljuju i termi kom koeficijentu otpora, je struja skoro neovisna od napona, i slue za dobivanje stalne struje unato donekle promjenjivom naponu. Cijev je punjena vodik iz tog razloga da se u ici brzo razvije visoka temperatura.

SLIKA 3: Shema spoja

Za mjerenje otpora niti arulje slui shema prikazana na slici. Pove avaju i napon od 0 do 80 V (to pratimo na voltmetru) u koracima po 10 V, o itavamo struju na ampermetru, i iz Ohmovog zakona (1) ra unamo otpor.

SLIKA 4: Aparatura

Zadaci: 1. Mjerenje otpora pomo u Wheatstoneovog mosta

Odrediti otpor tri dana otpornika Pogreke

2. Mjerenje otpora elektri ne arulje u ovisnosti o jaskosti struje Na i kako se mijenja otpor danih arulja sa jako u struje (volframova nit,

ugljena nit i eljezna nit u vodiku). Nacrtati krivulje R=f(I) Nacrtati krivulje I=f(U). To su karakteristike arulja. Pogreke

8.VJEBA

ODRE IVANJE SPECIFI NOG NABOJA ELEKTRONA MAGNESTKO POLJE OKO RAVNOG VODI A

Odre ivanje specifi nog naboja elektrona me

Zasebno odre ivanje naboja e i mase m elektrona je teko, no postoji nekoliko direktnih i

indirektnih metoda za mjerenje kvocijenta me

,a jedna od njih je metoda nazvana

nazvanog specifi ni naboj elektrona.

Slika 1: Aparatura

Ovdje emo opisati metodu koja se temelji na odre ivanju polumjera staze elektrona u magnetskom polju H

, okomitom na brzinu elektrona v

.

Ako je elektron, mase m0 i naboja e, ubrzan razlikom potencijala U tada ima kineti ku energiju

202

1vmUe = . (1)

U magnetskom polju jakosti HB

0m= Lorentzova sila koja djeluje na elektron (brzine v

) je BveF

= Ako je magnetsko polje uniformno, kao to je u Helmholtzovom spoju, elektron prati spiralni trag du silnica magnetske sile koji postaje krunica radijusa r ako je v

okomita na B

. Kako se elektron giba po

krunici tada je centrifugalna sila rvm 20 jednaka Lorentzovoj sili i

dobivamo:

Brme

v0

=

gdje je B amplituda jakosti magnetskog polja. Iz prve jednadbe tada slijedi

20 )(

2rB

Ume

= (2)

Za odre ivanje magnetskog polja B, upotrijebili smo Maxwellovu jednadbu za vremenski neovisno elektri no polje. Dobivamo magnetsko polje jakosti Bz du z-osi oko krune struje I za simetri an raspored dvije zavojnice na me usobnoj udaljenosti a:

+++

-+=2

32

22

32

220 22

azR

azRIRBz m

gdje je 60 1,257 10VsAm

m -= , R radijus zavojnice.

Za Helmholtzov spoj dvije zavojnice (a=R) gdje je n broj zavoja u zavojnici dobivamo:

RI

nB

= 023

54

m (3)

Slika 2: Shema spoja Helmholtzovih zavojnica

Za upotrijebljene zavojnice: R=0,2m, n=154.

Slika 3: Shema spoja staklenog balona

Postavka aparature prikazana je na slici 1. Elektri ni spoj je prikazan shemama na slici 2 i slici 3. Dvije zavojnice su okrenute jedna nasuprot drugoj u Helmholtzovom spoju. Budu i da je struja jednaka u obje zavojnice, serijski spoj je poeljniji od paralelnoga. U pokusima ne smijete prekora iti maksimalnu dozvoljenu struju od 5 A.

Kada je polaritet magnetskog polja dobro postavljen, u zatamnjenoj komori je vidljiv zakrenut elektronski snop. Promjenom magnetskog polja (izborom odgovaraju e vrijednosti jakosti struje) i brzine elektrona (promjenom napona) polumjer krune putanje je podeen u skladu s ranije definiranim polumjerom unutar staklenog balona (2, 3, 4 ili 5 cm). Izmjerite po 3 para vrijednosti jakosti struje i napona za svaki navedeni polumjer. Jakost magnetskog polja izra unajte iz relacije 3, a traeni specifi ni naboj elektrona za svako mjerenje odredite iz relacije 2. Magnetsko polje oko ravnog vodi a Magnetsko polje je prostor oko magneta u kojem se osje a magnetsko djelovanje tog magneta. Smjer djelovanja magnetskog polja u nekoj to ki pokazuje nam magnetska igla postavljena u tu to ku. Ako tu iglu pomi emo stalno u smjeru koji ona trenutno pokazuje opisat emo krivulju koju zovemo magnetska silnica. Magnetska silnica je, dakle, krivulja koja nam pokazuje smjer djelovanja magnetskog polja. One izvan magneta teku od sjevernog pola prema junom, i zatvaraju se u samom magnetu, a pokazuju nam ja inu tog polja (gdje su gu e, polje je ja e) te da li je polje homogeno ili ne. Homogeno magnetsko polje je polje ije su silnice me usobno jednako udaljene i paralelne. Prema tome, njegova je gusto a svugdje jednaka, te je jednako i magnetsko djelovanje polja u svim to kama. Magnetsko polje u kojem silnice nisu paralelne, a njihova me usobna udaljenost nije u svim to kama jednaka, zove se nehomogeno magnetsko polje. Magnetsko polje u svakoj to ki je potpuno opisano vektorskom veli inom, magnetskom indukcijom B

(gusto om magnetskog polja) u toj to ki. Magnetsko polje u cijelom

prostoru opisano je pak skupom vektora B

u svim to kama tog prostora. Kako izgledaju magnetske silnice oko ravnog vodi a? Svaka magnetska silnica ima oblik krunice koja obavija icu tako da lei u ravnini okomitoj na icu, a sredite joj je na osi ice. S udaljavanjem ice gusto a magnetskih silnica se smanjuje, to jest magnetsko polje slabi. Smjer magnetskog polja moe se izraziti pomo u pravila desne ruke: Obuhvatimo icu desnom rukom tako da isprueni palac pokazuje smjer struje. Tada prsti savijeni oko ice pokazuju smjer magnetskih silnica oko ice. Da bismo na crteu lake prikazali odnos izme u smjera struje i smjera nastalog magnetskog polja, sluimo se simbolima za ozna avanje smjera struje u vodi u koji je okomit na ravninu crtanja: - presjek vodi a okomitog na ravninu kojim te e struja od nas,

- presjek vodi a okomitog na ravninu kojim te e struja prema nama.

Slika 4: Izgled magnetskog polja u to ki Q dijela vodi a dl

Iznos magnetske indukcije na udaljenosti r od ravnog vodi a kojim te e struja jakosti I moe se odrediti iz Biot Savartovog zakona:

rldrI

Bd

= 3041

mp

( )210 coscos4jj

pm

-=rI

B

dok se za beskona no dugi ravni vodi ( 021 =j=j ) dobiva poznati izraz

rI

B

=p

m2

, (1)

gdje je koeficijent proporcionalnosti, to jest permeabilnost koja ovisi o sredstvu u kojem djeluje magnetsko polje. to je ve a permeabilnost nekog sredstva, to je ja e magnetsko polje koje djeluje u tom sredstvu. No ako magnetsko polje djeluje u vakuumu,

odgovaraju a vrijednost permeabilnosti ozna ava se sa 0 i iznosi A

Tm70 104

-= pm .

Permeabilnost nekog sredstva tada se izraava u obliku rmmm = 0 , gdje je r relativna permeabilnost sredstva. Dakle, permeabilnost moemo tuma iti kao mjeru za uspostavu magnetskog polja, a relativnu permeabilnost kao pove anje vanjskog magnetskog polja u materijalu u odnosu na magnetsko polje u vakuumu. Pritom je smjer B

okomit na r

i j

( j gusto a struje).

Zbog malih odstupanja od nul-vrijednosti, zbog svojstava instrumenata te efekta drugog vodi a, treba izvoditi mjerenja na malim udaljenostima (do 3 cm) i s velikim jakostima