BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
ĐỖ VĂN HIẾN
PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN ĐẲNG HÌNH HỌC
CHO PHÂN TÍCH GIỚI HẠN VÀ THÍCH NGHI
CỦA KẾT CẤU
(ISOGEOMETRIC FINITE ELEMENT METHOD FOR
LIMIT AND SHAKEDOWN ANALYSIS OF STRUCTURES)
TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ
NGÀNH: CƠ KỸ THUẬT
MÃ SỐ: 62520101
Tp. Hồ Chí Minh, tháng 04/2020
2
CÔNG TRÌNH ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
Người hướng dẫn khoa học 1: GS. TS Nguyễn Xuân Hùng
Người hướng dẫn khoa học 2: PGS. TS Văn Hữu Thịnh
Luận án tiến sĩ được bảo vệ trước
HỘI ĐỒNG CHẤM BẢO VỆ LUẬN ÁN TIẾN SĨ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT,
Ngày .... tháng .... năm .....
3
CONTENTS
Chương 01: TỔNG QUAN ........................................................................................ 4
1.1. Giới thiệu tổng quan ................................................................................. 4
1.2. Động lực nghiên cứu ................................................................................. 7
1.3. Mục tiêu nghiên cứu ................................................................................. 7
1.4. Những đóng góp của luận án .................................................................... 8
1.5. Danh sách công trình ................................................................................ 8
Chương 02: CƠ SỞ LÝ THUYẾT ........................................................................... 10
2.1. Lý thuyết phân tích thích nghi ................................................................ 10
2.2. Phân tích đẳng hình học .......................................................................... 11
2.3. Phương pháp đối ngẫu kết hợp với phương pháp đẳng hình học ............ 14
Chương 03: VÍ DỤ SỐ ............................................................................................. 18
3.1 Phân tích giới hạn và thích nghi cho kết cấu 2 chiều .............................. 18
3.1.1. Bài toán tấm chịu kéo có lỗ tròn ở giữa ................................................ 18
3.1.2. Grooved rectangular plate subjected to varying tension ....................... 21
3.2 Phân tích giới hạn và thích nghi cho kết cấu 3 chiều .............................. 23
3.2.1. Tấm vuông 3 chiều chịu kéo với hai loại lỗ ở giữa .............................. 23
3.2.2. Ống vách mỏng chịu áp lực bên trong và lực dọc trục ......................... 25
3.3 Limit and shakedown analysis of pressure vessel components ............... 28
3.3.1. Reinforced Axisymmetric Nozzle ........................................................ 28
3.4 Phân tích giới hạn của kết cấu nứt .......................................................... 30
Chương 04: KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN ............................................ 33
4.1 Kết luận ................................................................................................... 33
4.2 Hướng phát triển ..................................................................................... 33
Tài liệu tham khảo .................................................................................................... 35
4
Chương 01: TỔNG QUAN
1.1. Giới thiệu tổng quan
Phân tích phá hủy dẻo đóng một vai trò quan trọng trong đánh giá an
toàn và thiết kế kết cấu, đặc biệt là trong các nhà máy điện hạt nhân, ngành
công nghiệp hóa chất, ngành tạo hình kim loại và kỹ thuật xây dựng. Phân tích
phá hủy dẻo của cấu trúc là chủ đề nghiên cứu phát triển không ngừng trong
suốt nhiều thập kỷ qua vì phần lớn thiết kế kết cấu dựa trên phân tích trong
miền đàn hồi, tuy nhiên phân tích trong miền đàn hồi không cung cấp cho
chúng ta đầy đủ thông tin về các loại tải trọng mà kết cấu bị phá hủy. Phân
tích phá hủy dẻo dựa trên tính toán tải trọng thực phá hủy kết cấu. Nó rất hữu
ích cho việc đánh giá và thiết kế an toàn đáng tin cậy và kinh tế của các kết
cấu. Các phương pháp tính toán phá hủy dẻo: giải tích, thực nghiệm và phương
pháp số.
Dựa trên mô hình vật liệu cứng dẻo lý tưởng, lý thuyết giới hạn và thích
nghi đã được phát triển từ đầu thế kỷ XX. Sơ lược về những đóng góp ban đầu
cho sự phát triển của lý thuyết phân tích giới hạn trên bao gồm các công trình
của Kazincky vào năm 1914 và Kist vào năm 1917. Phát biểu hoàn chỉnh đầu
tiên của các định lý cận dưới và trên được giới thiệu bởi Drucker cộng sự vào
năm 1952. Đóng góp quan trọng của Prager và Martin có thể được tìm thấy
trong các công trình của họ vào năm 1972 và 1975. Việc áp dụng lý thuyết
phân tích giới hạn trong cơ học tính toán đã được nghiên cứu rộng rãi kể từ
đó, trong số các công trình liên quan đến vấn đề này là ứng dụng kỹ thuật phân
tích giới hạn kết cấu của Hodge (1959, 1961, 1963), Massonnet và Save
(1976), Chakrabarty (1998) , Chen và Han (1988), Lubliner (1990).
Ngay cả khi có các lời giải giải tích để giải quyết các bài toán về phân
tích giới hạn, chúng bị hạn chế trong việc giải quyết các trường hợp đơn giản.
5
Các phương pháp số đã minh chứng khả năng tuyệt vời, trong việc giải các ví
dụ đơn giản trong hai chiều, đến các ứng dụng rất phức tạp trong ba chiều.
Dựa trên lập trình toán học và kỹ thuật phần tử hữu hạn, phân tích giới hạn có
thể được sử dụng hai cách tiếp cận số khác nhau. Cách tiếp cận đầu tiên dựa
trên phương pháp giải lặp từng bước hay còn gọi là phương pháp gia tải từng
bước trong việc ước tính hệ số tải tới hạn của các kết cấu. Phương pháp gia tải
từng bước giúp chúng ta hiểu rõ quá trình hình thành cơ cấu nhưng nhược
điểm của phương pháp này là tốn nhiều thời gian và chi phí tính toán. Cách
tiếp cận này có thể được tìm thấy bằng cách sử dụng phương pháp lặp Newton-
Raphson (các tác phẩm của Argysris năm 1967; Marcal & King năm 1967;
Zienkiewicz và cộng sự vào năm 1969) hoặc sử dụng lập trình toán học (các
tác phẩm của Maier năm 1968; Cohn & Maier trong 1979). Cách tiếp cận thứ
hai, dựa trên các định lý giới hạn của lý thuyết dẻo, xác định trực tiếp hệ số
tải giới hạn mà không cần các bước trung gian. Phương pháp này được xem
là công cụ mạnh mẽ để giải quyết các vấn đề của hình học phức tạp nhờ sự
phát triển nhanh chóng của công nghệ máy tính trong những thập kỷ qua. Sự
phát triển của phương pháp trực tiếp đã được đóng góp bởi Brion và Hodge
(1967), Hodge và Belytschko (1968), Neal (1968), Maier (1970), Nguyen
Dang Hung et al. (1976, 1978), Casciaro và Cascini (1982),...
Áp dụng phân tích giới hạn trong tính toán hệ số an toàn của các kết cấu
đòi hỏi tải trọng bên ngoài tỷ lệ thuận. Tuy nhiên, trong thực tế, tải thường
phụ thuộc vào thời gian và có thể thay đổi độc lập. Do đó, kết cấu có thể phá
hủy dưới mức tải thấp hơn đáng kể so với dự đoán bằng phân tích giới hạn.
Nó cũng có thể xảy ra rằng kết cấu trở lại trạng thái đàn hồi của nó sau một
khoảng thời gian nhất định bị biến đổi và tải lặp lại cao hơn giới hạn đàn hồi.
Có tính đến những khía cạnh đó là mục tiêu của lý thuyết thích nghi.
6
Định lý thích nghi (shakedown) đầu tiên được Bleich đưa ra vào năm 1932,
định lý tĩnh học được Melan mở rộng vào năm 1936, định lý động học đã được
Koiter đưa ra vào năm 1960. Kể từ đó, đã có nhiều nghiên cứu về thích nghi
cho vật liệu đàn déo lý tưởng. Trong số đó, các giải pháp phần tử hữu hạn
được giới thiệu bởi Maier (1969), Belytschko (1972), Polizzotto (1979), và
sau đó phân tích thích nghi đã được mở rộng theo nhiều hướng. Dựa trên các
định lý tĩnh học sử dụng cận dưới và động học sử dụng cận trên, các phương
pháp số khác nhau đã được xây dựng để phân tích các cấu trúc phức tạp mà
các lời giải giải tích không giải quyết được. Với sự trợ giúp của phương pháp
phần tử hữu hạn, bài toán tìm hệ số giới hạn và thích nghi có thể được rời rạc
và biến thành một bài toán về lập trình toán học. Dựa trên kỹ thuật tuyến tính
hóa miền dẻo phi tuyến, lập trình tuyến tính được đề xuất bởi Maier (1969),
sau đó được Corradi (1974) cải tiến, Belystchko (1972) đã áp dụng lập trình
phi tuyến cho định lý ràng buộc thấp hơn. Morelle và Nguyen Dang Hung
(1983) đã nghiên cứu tính hai mặt trong phân tích thích nghi và cho thấy rằng
có hai loại khác nhau về tính đối ngẫu trong lập trình thích nghi và vai trò của
chúng rất quan trọng. Cả hệ số tải giới hạn dưới và giới hạn trên, tương ứng
với các định lý tĩnh và động học tương ứng, được xây dựng bởi Morelle
(1984).
Mặc dù rất nhiều phương pháp số đã được phát triển trong nhiều năm,
nhưng một phương pháp số tốt hơn vẫn cần thiết trong thực hành kỹ thuật.
Trong những năm gần đây, phân tích đảng hình học (IGA) được giới thiệu bởi
Hughes et al. [35]. Phương pháp này cho phép tích hợp các biểu diễn thiết kế
hình học (CAGD) của máy tính trực tiếp vào công thức hữu hạn của phần tử.
Công thức phần tử hữu hạn đảng hình học sử dụng hàm NURBS thay vì nội
suy Lagrange trong FEM. NURBS có thể cung cấp tính liên tục cao hơn của
đạo hàm hàm dạng so với các hàm nội suy Lagrange. Ngoài ra, bậc của hàm
7
NURBS có thể dễ dàng tăng lên mà không thay đổi hình học hoặc tham số hóa
của nó.
1.2. Động lực nghiên cứu
Nghiên cứu hiện tại trong lĩnh vực phân tích giới hạn và thích nghi đang
tập trung vào phát triển các công cụ số đủ hiệu quả và mạnh mẽ để cho các kỹ
sư sử dụng và làm việc trong thực tế. Dựa trên các thuật toán toán học và các
phương pháp số, có nhiều cách tiếp cận để giải các bài toán giới hạn và thích
nghi như: các phương pháp sai phân hữu hạn [5-7], phương pháp phần tử hữu
hạn [8-31], các phần tử hữu hạn trơn [32,33] và phương pháp không có lưới [
34].
Động lực nghiên cứu của luận án là phát triển phương pháp phần tử hữu
hạn đẳng hình học dựa trên thuật toán đối ngẫu hiệu quả để phân tích giới hạn
và thích nghi của các kết cấu làm từ vật liệu đàn dẻo dẻo lý tưởng với tiêu
chuẩn von Mise.
1.3. Mục tiêu nghiên cứu
Mục đích của nghiên cứu này là góp phần phát triển các thuật toán mạnh
mẽ và hiệu quả cho các phân tích giới hạn và thích nghi của kết cấu. Nghiên
cứu sẽ tập trung vào hai vấn đề chính trong lĩnh vực này.
- Mục đích đầu tiên của nghiên cứu là phát triển cái gọi là "Phương pháp
phần tử hữu hạn đẳng hình học" cho bài toán phân tích giới hạn và thích nghi,
Phương pháp đẳng hình học được phát triển trong những năm gần đây để thay
đổi mô hình trong phân tích phần tử hữu hạn, để phân tích giới hạn và thích
nghi của kết cấu. IGA đã được áp dụng thành công rất nhiều vấn đề cơ học
trong tài liệu [53-70], v.v. IGA cho phép cả CAD và FEA sử dụng các hàm
NURBS cơ bản giống nhau.
- Mục đích thứ hai của nghiên cứu là giải quyết vấn đề tối ưu hóa phi
tuyến với các ràng buộc. Có nhiều cách tiếp cận để giải quyết hiệu quả vấn đề
8
tối ưu hóa cho các vấn đề phân tích giới hạn và thích nghi như kỹ thuật giảm
cơ bản [21], phương pháp điểm nội [24, 67], phương pháp khớp tuyến tính
(LMM) [68, 69, 70], chương trình tối ưu hình nón bậc hai (SOCP) [49, 52,
54].
1.4. Những đóng góp của luận án
Theo sự hiểu biết của tác giả, các đóng góp của luận án bao gồm:
Phát triển và xây dựng cho phân tích giới hạn và thích nghi trên nền
tảng phương pháp phần tử hữu hạn đẳng hình học dựa trên trích xuất Bézier
và Lagrange của hàm NURBS.
Phát triển cách tiếp cận số mới trong việc xác định hệ số tải giới hạn và
thích nghi cho bài toán kết cấu 2D, 3D và các chi tiết của bồn áp lực trong
ngành kỹ thuật đường ống và bồn bể áp lực.
Cải thiện hiệu quả quá trình phân tích giới hạn và thích nghi được đề
xuất bằng cách tích hợp một số lợi thế của IGA về tính linh hoạt trong làm
mịn (tăng bậc của hàm dạng hoặc tăng số phần tử), hình học chính xác hoặc
kết nối hàm Spline với các hàm cơ sở đa thức Lagrange C0 hoặc cơ sở Berstein
thông qua trích xuất NURBS cho các kết quả tốt hơn so với các giải pháp khác
hiện có.
Nghiên cứu và phát triển phương pháp phần tử hữu trên nền tảng phân
tích đẳng hình học dựa trên các hàm Bézier và Lagrange, có thể tích hợp phân
tích đẳng hình học trong code phần tử hữu hạn kết hợp với giải thuật đối ngẫu
trong tính toán xác định hệ số tải giới hạn và thích nghi.
1.5. Danh sách công trình
Một số tài liệu được báo cáo trong nghiên cứu này đã được công bố trên
các tạp chí quốc tế và được trình bày trong các hội nghị. Những bài báo là:
9
1. Hien V. Do, H. Nguyen-Xuan, Limit and shakedown isogeometric analysis
of structures based on Bezier extraction, European Journal of Mechanics-
A/Solids, 63, 149-164, 2017.
2. Hien V. Do, H. Nguyen-Xuan, Computation of limit and shakedown loads
for pressure vessel components using isogeometric analysis based on
Lagrange extraction, International Journal of Pressure Vessels and Piping,
169, 57-70, 2019.
3. H. Nguyen-Xuan, Hien V. Do, Khanh N. Chau, An adaptive strategy based
on conforming quadtree meshes for kinematic limit analysis, Computer
Methods in Applied Mechanics and Engineering, 341, 485-516, 2018.
4. Hien V. Do,T Lahmer, X Zhuang, N Alajlan, H Nguyen-Xuan, T Rabczuk,
An isogeometric analysis to identify the full flexoelectric complex material
properties based on electrical impedance curve, Computers and Structures,
214, 1-14, 2019.
5. Hien V. Do, H. Nguyen-Xuan, Isogeometric analysis of plane curved beam,
The National Conference on Engineering Mechanics, at the Da Nang
University, Da Nang.
6. Hien V. Do, H. Nguyen-Xuan, Application of Isogeometric analysis to free
vibration of Truss structures, The 12th National Conference on Solid
Mechanics at the Duy Tan University.
10
Chương 02: CƠ SỞ LÝ THUYẾT
2.1. Lý thuyết phân tích thích nghi
Trong phân tích giới hạn tải tác dụng đơn giản và tuyến tính. Trong thực tế tải tác dụng lên vật thể thường thay đổi trong một miền xác định. Những tải này thay đổi bất kỳ hoặc lặp lại. Trong trường hợp này tải có thể nhỏ hơn giới hạn dẻo có thể gây kết cấu hư hỏng hay bị phá hủy sau một số chu kỳ chịu tải. Trong phân tích thích nghi, tải tác dụng có thể thay đổi không phụ thuộc. Do vậy, cần thiết định nghĩa miền tải bao gồm tất cả các tải tác dụng lên vật thể được ghi nhận. 2.2.1. Miền tải
Phân tích thích nghi khảo sát
kết cấu với n tải trọng biến thiên
theo thời gian P(t) độc lập nhau.
Những giá trị tải này là một
miền đa giác lồi L có 2nm
đỉnh tải như ví dụ ở hình 2.1
cho trường hợp có hai biến tải.
Miền tải có thể đại diện theo
dạng tuyến tính như sau: Hình 2.1
0
1
( ) ( )n
k kk
P t t P
(1)
Trong đó
( ) , k k kt k 1 n (2)
2.2.2. Thích nghi cận dưới (Melan)
Dựa vào định lý tĩnh học, có thể tìm thấy một trường ứng suất tổng quát
dư khả dĩ tĩnh để có được một miền tải lớn nhất �� mà thỏa phương trình hiện
tượng thích nghi không xảy ra, được hệ số tải theo cận dưới ��. Bài toán phân
tích thích nghi có thể được xem như là một bài toán tối ưu cực đại trong
chương trình phi tuyến:
11
max
( ) 0 in
. : ( ) 0 on
( , ) ( ) 0
j ij
j ij
Eij ij
V
s t n A
f t t
x
x
x x
(3)
2.2.3. Thích nghi cận trên (Koiter)
Sau khi chuẩn hóa công ngoại, cận trên của tải trọng thích nghi có thể thu
được khi giải bài toán tối ưu sau đây:
min
( , )
1. : in
2
0 on
Tp p
ij
o VT
E pij ij
o V
Tp p
ij ij
o
jp iij
j i
i
dt D dV
dt t dV
dt
uus t V
x x
u A
x
(4)
2.2. Phân tích đẳng hình học
2.3.1. Knot vector – Véc tơ nút
Vectơ nút (Knot) được viết dưới dạng 121 ,...,,...,, pni . Độ dài
của véctơ nút: 1 pn , m=n+p+1: số nút véctơ (hay chiều dài của véctơ
nút); n=(m-p-1): số điểm điều khiển và p là bậc đường cong. Vectơ nút có thể
tuần hoàn (uniform), hoặc không tuần hoàn (non-uniform). Vectơ nút gọi là
“mở” (open) khi giá trị đầu và giá trị cuối lặp nhau (p+1) lần. Vectơ nút “mở”
làm dạng hàm cơ sở trong việc phát triển phương pháp đẳng hình học.
2.3.2. Basis functions – Hàm cơ sở
Khi một véctơ nút được chọn, các hàm cơ sở được định nghĩa dựa trên giải
thuật Cox-de Boor. Với p = 0:
12
1
1,0
1 ( )
0 i iif
Notherwise
(5)
Với 1,2,3,...p , hàm cơ sở được xác định
1
, , 1 1, 1
1 1
( ) ( ) ( ).i pii p i p i p
i p i p i
N N N
(6)
(a) (b)
Hình. 1 Đường cong Bspline bậc 2 và hàm cơ sở: a) Đường cong B-Spline
ứng với p = 2; b) Hàm dạng B-Spline ứng với p = 2.
Đường cong B-Splines ( )C được xây dựng bằng cách kết hợp tuyến tính
giữa hàm cơ sở và điểm điều khiển
,1
( ) ( )n
i p ii
N
C P (7)
Trong đó iP là tọa độ điểm điều khiển. Hình. 1 minh họa một ví dụ đường
cong Bspline bậc 2 và hàm dạng của nó. Hàm cơ sở NURBS được xây dựng
từ hàm Bspline, có thêm một thành phần gọi là trọng số i của các điểm điều
khiển. định nghĩa như sau.
,
,
,1
( )( )
( )
i p i
i p n
i p ii
NR
N
(8)
Cách xây dựng đường cong NURBS cũng tương tự như cách xây dựng đường
cong B-Spline. Tuy nhiên, hàm cơ sở NURBS được sử dụng
,1
( ) ( )n
i p ii
R
C P (9)
13
2.3.3. Refinements – Làm mịn lưới
Để dự đoán chính xác ứng xử vật lý và làm tăng độ chính xác của lời giải,
lưới có thể phải được mịn. Các phương pháp làm mịn lưới khác nhau là chèn
nút (h-refinement), tăng bậc (p-refinement), và kết hợp cả hai.
(a)
0,0,0,0.5,1,1,1
(b) 0,0,0,0.25,0.5,0.75,1,1,1
Hình. 2 Ví dụ h refinement: a) Véc tơ nút ban đầu b) Véc tơ nút mới.
Phương pháp chèn điểm nút hay còn gọi là h-refinement: Chúng ta tiến
hành thêm nút véc tơ vào tập véc tơ nút, số điểm điều khiển, hàm dạng và số
phần tử lần lượt thay đổi. Hình 2 là một ví dụ cho trường hợp h-refinement.
Cách thứ 2 trong việc làm mịn lưới IGA bằng cách tăng bậc của đường cong
NURBS. Cách này còn gọi là p-refinement. Hình 3 là 1 ví dụ cho trường hợp
p-refinement.
a)
(b)
Hình. 3 Phương pháp làm mịn p-refinement:
a) Véc tơ nút ban đầu 0,0, 0,0.5, 0.5,1,1,1
b) Véc tơ nút mới 0,0,0,0,0,0.5,0.5,0.5,1,1,1,1,1
Phương pháp cuối cùng là k-refinement thực hiện cả việc chèn nút và tăng
bậc hàm NURBS. Hình 4 minh họa ví dụ cho trường hợp k-refinement .
14
(a)
(b)
Hình. 4: Phương pháp làm mịn k-refinement:
a) original knot vector 0,0,0,0.5,0.5,1,1,1
b) new knot vector 0,0,0,0,0.25,0.5,0.5,0.75,1,1,1,1
2.3. Phương pháp đối ngẫu kết hợp với phương pháp đẳng hình học
Bài toán phân tích thích nghi cận trên dựa trên lý thuyết động học để
xác định hệ số tải nhỏ nhất �� như một bài toán tối ưu cực tiểu sau:
1
1
min ( ) (a)
, in (b)
0, on (c)subjected to:
, (d)
ˆ,
s
s
mp
ikV
i
m
k iki
k
v ik
T Eik k i
Vi
D dV
V
P dV
u
ε
ε ε
u
D ε 0
ε σ x
1
1, (e)sm
(10)
Trong đó ( )pikD ε công tiêu tán dẻo, V thể tích của miền khảo sát, u là
điều kiện biên chuyển vị. Ràng buộc thứ 3 trong công thức (8), là ràng buộc
về điều kiện không nén thỏa trong miền ( )kV và tại tất cả các đỉnh tải. Dạng
của ma trận vD :
1 1 0
1 1 0
0 0 0v
D cho bài toán 2D, và (11)
15
1 1 1 0 0 0
1 1 1 0 0 0
1 1 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
v
D cho bài toán 3D
Bằng cách dùng hàm NURBS, tốc độ của trường chuyển vị eu của mỗi
phần tử e được xấp xỉ như sau: m n
e e eA A
A
R
u q (12)
Trong đó n×m là số hàm cơ sở, eAR là hàm NURBS thứ A và
eAq là véc tơ tốc
độ biến dạng của điểm điều khiển liên quan đến điểm điều khiển thứ A của
phần tử e.
Tốc độ biến dạng có thể viết lại ở dạng
1
m ne
A AA
B q (13)
Trong đó ma trận biến dạng AB được xác định như sau:
,
,
, ,
0
0
A x
A yA
A y A x
R
R
R R
B cho bài toán 2D, và
,
,
,
, ,
, ,
, ,
0 0
0 0
0 0
0
0
0
A x
A y
A z
AA y A x
A z A y
A z A x
R
R
R
R R
R R
R R
B
cho bài toán 3D.
(14)
Tích phân phương trình (8) trên toàn bộ điểm Gauss, NG, với trọng số kw
được xem xét trong phần tử e. Trong đó, k là điểm Gauss thứ k. Kết quả có
được
16
k k k kkw J B q B q (15)
Trong đó k
J là định thức của ma trận Jacobi, kw là trọng số and vector
velocity control points of the element e .
Áp dụng phương pháp đẳng hình học and và sử dụng tiêu chuẩn von
Mises, Công thức. (8)(10) có thể biểu diễn như sau:
20
1 1
1
1 1
2min (a)
3
0, 1, (b)
subjected to : , 1, , 1, (c)
1, (d)
s
s
s
m NGT
y ik iki k
m
ik ki
sv ik
m NGT Eik ik
i k
k NG
k NG i m
ε Dε
ε B q
D ε 0
ε
(16)
Trong đó là trường ứng suất, NG tổng số điểm Gauss trong 20 là một số
dương nhỏ để cho hàm mục tiêu khác nhau ở mọi nơi , D là ma trận vuông
chéo có dạng như sau:
11 1
2diag
D cho bài toán 2D, và
1 1 11 1 1
2 2 2diag
D cho bài toán 3D (17)
Để đơn giản, một số ký hiệu được đặt thành ký hiệu mới như:
1/2 1/2 1/2ˆ, , Eik i ik ik ik k k k e D t D B D B (18)
Trong đó ˆ, ,ik ik ke t B lần lượt là vectơ tốc độ biến dạng mới, ứng suất giả định
mới và biến dạng mới tại điểm Gauss thứ k và đỉnh tải i. Thay công thức (16)
vào công thức (14), chúng ta sẽ được dạng đơn giản cho bài toán cận trên
(primal problem) như sau
17
2
1 1
1
1 1
2min (a)
3
ˆ , 1, (b)
subjected to : , 1, , 1, (c)
1 0. (d)
s
s
s
m NGT
y ik iki k
m
ik ki
v ik s
m NGTik ik
i k
k NG
k NG i m
e e
e B q 0
D e 0
e t
(19)
Trong đó 0k cũng là số dương nhỏ.
Hàm Lagrange tương ứng với bài toán cận trên công thức (17)có thể viết:
2
1 1 1 1 1 1
2 ˆ 13
s s s sm m m mNG NGT T T T
y ik ik ik v ik k ik k ik ikk i i i k i
L
e e γ D e β e B q e t (20)
Trong đó , ,ik k γ β là các hệ số Lagrange (Lagrange multipliers). Theo tài
liệu [26], dạng đối ngẫu của ài toán ở công thức (17) có thể được dẫn xuất dựa
trên hàm Langarang ở công thức (18) như sau:
1
max (a)
2, (b)
3subjected to :
ˆ . (c)
ik k ik y
NGTk k
k
γ β t
B β 0
(21)
Trong đó biểu diễn cho Euclidean norm,…, 1/ 2( )Tv v v
Dạng công thức (19) cũng chính là bài toán phân tích theo cận dưới dựa
vào lý thuyết Melan.
Chú ý rằng các ràng buộc (b), (c), (d) trong công thức (17) liên quan đến
biến động học trong khi ràng buộc (b), (c) trong công thức đối ngẫu (19) liên
quan đến biến tĩnh học. Giải bài toán theo công thức (17) với biến động học
dẫn đến lời giải cận trên, trong khi giải bài toán theo công thức (19) với biến
tĩnh học dẫn đến lời giải cận dưới. Trong trường hợp 1sm bài toán phân tích
thích nghi thành bài toán phân tích giới hạn.
18
Chương 03: VÍ DỤ SỐ
Trong các chương trước, tác giả đã trình bày cơ sở lý thuyết của
phương pháp đẳng hình học. Tác giả cũng xây dựng công thức cho phương
pháp đối ngẫu kết hợp với phương pháp đẳng hình học để xác định hệ số tải
tới hạn. Trong chương này tác giả ứng dụng phương pháp đẳng hình học xây
dựng chương trình phân tích giới hạn và thích nghi cho một số bài toán.
(1) Phân tích giới hạn và thích nghi cho kết cấu 2 chiều.
(2) Phân tích giới hạn và thích nghi cho kết cấu 3 chiều.
(3) Phân tích giới hạn và thích nghi cho kết cấu chi tiết của bồn áp lực.
(4) Phân tích giới hạn kết cấu bị nứt.
3.1 Phân tích giới hạn và thích nghi cho kết cấu 2 chiều
3.1.1. Bài toán tấm chịu kéo có lỗ tròn ở giữa
Cho tấm phẳng có lỗ ở giữa chịu kéo hai lực P1 và P2 như hình. Mô
hình bài toán có các thông số như sau: mô đun đàn hồi vật liệu
52.1 10E MPa , hệ số Poison 0.3 , 200y MPa . Tỉ số bán kính và chiều
dài của cạnh có mối quan hệ R/L = 0.2. Do bài toán đối xứng nên ¼ mô hình
tính toán như hình 5.
(a) Toàn mô hình
(b) Mô hình ¼ của bài toán
Hình 5: Mô hình bài toán tấm phẳng có lỗ chịu kéo ở giữa
19
Lưới thô và điểm điều khiển được minh họa như hình 6a. Kết quả tính toán số
được thực hiện trên mô hình ¼ của bài toán. Các lưới IGA sử dụng: lưới bậc
2 với 64 phần tử NURBS 2D bậc 2 (578 bậc tự do - BTD); 36 phần tử NURBS
2D bậc 3 (722 bậc tự do - BTD) và 16 phần tử NURBS 2D bậc 4 (578 bậc tự
do - BTD) như hình 6b, c, và d.
(a)
(b)
(c)
(d)
Fig. 6. a) Lưới bậc 2 và điểm điều khiển; b) Phần tử NURBS bậc 2; b) Phần
tử NURBS bậc 3; d) Phần tử NURBS bậc 4
Fig. 7. Độ hội tụ của IGA so với các
phương pháp khác (Trường hợp tải P2
= 0)
Fig. 8. Limit analysis of the square
plate with a central circular hole (with
P2 = 0) using the IGA compared with
exact solution and different numerical
methods
20
Bảng 1: So sánh hệ số tải tới hạn của các phương pháp khác nhau cho bài toán phân tích giới hạn của tấm vuông có lỗ ở giữa chịu kéo.
Gaydon and McCrum [4] trình bày giải pháp chính xác của hệ số tải giới
hạn cho trường hợp ứng suất phẳng áp dụng tiêu chuẩn von Mise. Trong
trường hợp 2 10, 0, yP P
và / 0.2R L , công thức giải tích của tải trọng
giới hạn là
lim 1 / 0.8y yp R L (22)
Hình 8 cho thấy các lời giải sử dụng phương pháp FEM-Q4 và IGA đã đạt
được với sự tăng của số bậc tự do. Hình 8 cũng thấy rằng các hệ số tải giới
21
hạn hội tụ nhanh chóng đến lời giải giải tích và lời giải của phương pháp hiện
tại rất phù hợp với các phương pháp hiện có khác như FEM, mô hình hỗn hợp
[29]. Tốc độ hội tụ cũng được trình bày trong hình 7. Từ kết quả hội tụ ở hình
7, phương pháp IGA cho kết quả hội tụ tốt trong xác định hệ số tải tới hạn.
Kết quả xác nhận rằng chúng tôi có thể áp dụng các phương pháp IGA cho
các vấn đề phân tích giới hạn.
Hình. 9. Miền tải giới hạn của tấm vuông có lỗ tròn ở
giữa sử dụng IGA so với các phương pháp số khác.
Hình 9 cho thấy các miền tải giới hạn, sử dụng IGA và một số phương
pháp khác. Phương pháp IGA cho kết quả rất tốt so với các phương pháp khác
trên quan điểm số bậc tự do thấp hơn trong[10,17] và bài toán cận trên trong
công trình [19]. Ngoài ra, phương pháp IGA cũng cho kết quả khá chính xác
cho bài toán này. Chúng ta có thể thấy một trong những ưu điểm của phương
pháp này là dễ tăng bậc của hàm dạng. Bảng 1 trình bày so sánh kết quả của
tải giới hạn được giải bằng IGA so với lời giải của các phương pháp khác.
3.1.2. Grooved rectangular plate subjected to varying tension
Bài toán này xem xét tấm phẳng có hai lỗ ở biên chịu kéo pN và mô
men pM như hình 10. Do bài toán đối xứng nên mô hình bài toán ½ được chọn
với chiều cao h = L và bán kính R = 0.25L = 250 mm như hình 11 trong phân
tích. Bài toán phân tích giới hạn cho trường hợp tải trọng được nghiên cứu
bởi nhiều tác giả như Prager và Hodge 9, Casciaro và Cascini [41], và Yan
[49]. Trường hợp tải 0,0 MN pp , được nghiên cứu bởi Vu et al và Tran et
al. Bài toán được rời rạc hóa thành 40 phần tử NURBS bậc 2 với 705 điểm
22
điều khiển được thể hiện ở hình 4.6 b. Thông số được sử dụng trong bài toán
được cho mmR 250 4L R , 52.1 10E MPa , 0.3 , 116.2y MPa .
Hình 10. Mô hình tấm và tải trọng
chịu kéo và mô men trong mặt
phẳng
Hình 11. Mô hình đối xứng của bài
toán
Bảng 4.2 trình bày hệ số tải giới hạn cho trường hợp tải , 0N y Mp p của
phương pháp IGA so với các phương pháp khác. Chúng ta dễ dàng nhận thấy
IGA có lời giải khá tốt so với một số lời giải trước đó cho cả hai trường hợp
biến dạng phẳng và ứng suất phẳng dựa trên tiêu chuẩn von Mises. Bảng 2
cũng cho thấy sự thỏa thuận của lời giải IGA và các lời giải của các phương
pháp hiện cả hai trường hợp biến dạng phẳng và ứng suất phẳng. Theo tiêu
chuẩn von Mise, IGA có thể tạo ra các lời giải thuộc khoảng giá trị đáng tin
cậy của lời giải giải tích của Yan [18].
a) Phân tích giới hạn b) Phân tích thích nghi
Hình 12. Sự hội tụ của hệ số tải giới hạn:
a) Phân tích giới hạn; b) phân tích thích nghi
23
Các phân tích giới hạn và thích nghi cũng được nghiên cứu cho trường hợp
có cả lực kéo và mô men uốn trong mặt phẳng. Hình. 12 cho thấy sự so sánh
về sự hội tụ của hệ số tải giới hạn và giới hạn của IGA và các hệ số giới hạn
được thực hiện bởi phương pháp ES-FEM[47]. Trong trường hợp phân tích
giới hạn, các hệ số tải IGA với lưới bậc hai, bậc ba và bậc bốn lần lượt là
0,2977, 0,2967 và 0,2968 khá gần với 0,30498 mà Tran thu được ở tài liệu[39]
và 0,2966 thu được bởi ES-FEM trong công trình[47] . Trong trường hợp phân
tích thích nghi, các hệ số tải IGA với lưới bậc hai, bậc ba và bậc bốn lần lượt
là 0,23641, 0,23533 và 0,23539 trong công trình của Vu [30] và 0.23624 trong
công trình của Tran[39]. Kết quả cũng chỉ ra rằng IGA có kết quả chính xác
hơn so với các lời giải cận trên trong các công trình[30,39].
3.2 Phân tích giới hạn và thích nghi cho kết cấu 3 chiều
3.2.1. Tấm vuông 3 chiều chịu kéo với hai loại lỗ ở giữa
Bài toán 3D đầu tiên mà chúng tôi đánh giá hiệu suất của IGA thông qua phân
tích giới hạn là tấm vuông mỏng với hai loại lỗ khác nhau chịu lực căng như
trong hình 13.
Bảng 2: : Hệ số tải giới hạn của phương pháp IGA so với các phương
pháp khác cho trường hợp tải , 0N y Mp p .
24
Hình chiếu
2D
Hình
chiếu 3D
(a) Lỗ tròn ở giữa (b) Lỗ hình vuông ở giữa
Hình 13. Hình dạng 3D của các tấm vuông mỏng với hai loại lỗ khác
nhau chịu kéo hai chiều
Dữ liệu đã cho được chọn như trong ví dụ đầu tiên. Bài toán này được nghiên
cứu bởi nhiều nhà nghiên cứu như Chen et al.[18], Nguyen et al.[102]. Hình
dạng của tấm holed 3D được hiển thị trong Hình 13. Do tính đối xứng của kết
cấu và tải trọng, chỉ có các góc phần tư của hai tấm được mô hình hóa và sự
rời rạc bằng lưới NURBS được minh họa trong Hình 14.
Hình 14. Lưới NURBS 3D bậc 2 của tấm mỏng với 2 loại lỗ khác nhau ở
giữa: (a)-Lỗ tròn và (b)-Lỗ hình vuông
Bảng 3 cho thấy các hệ số tải giới hạn của IGA so với các hệ số phân tích
giới hạn bởi các phương pháp khác nhau. Hình 15 minh họa đồng thời hội tụ
cả giới hạn trên và dưới của các hệ số tải giới hạn. Cũng từ Hình 15 và Bảng
3, có thể thấy rằng kết quả của IGA thấp hơn so với các bài toán cận trên và
cao hơn so với các phương pháp cận dưới. Điều này cho thấy rằng IGA có
thể tạo ra kết quả gần với giá trị chính xác hơn một số phương pháp khác
trong tài liệu.
25
Bảng 3: Hệ số tải giới hạn của IGA so với các phương pháp khác đối với các
tấm vuông mỏng với hai loại lỗ khác nhau.
(a) Lỗ tròn (b) Lỗ vuông
Hình 15. Sự hội tụ của các hệ số tải giới hạn sử dụng giải pháp IGA so với
các phương pháp khác cho các tấm vuông mỏng với hai loại lỗ khác nhau: a)
Hình tròn; b) Hình vuông.
3.2.2. Ống vách mỏng chịu áp lực bên trong và lực dọc trục
Bài toán thứ hai là một ống có thành mỏng có bán kính R và độ dày t
được xem xét trong Hình 16. Ống phải chịu lực dọc trục F cùng với áp suất
bên trong p. Cocks và Leckie [42] đã nghiên cứu lời giải giải tích cho bài toán
này, sử dụng tiêu chuẩn Tresca và Yan [41] bằng cách sử dụng tiêu chuẩn Von
Mises.
26
Hình 16. Một ống có thành mỏng chịu áp lực bên trong và lực dọc trục
Chúng ta có thể tính hệ số tải giới hạn bằng cách sử dụng điều kiện
[41] nếu áp suất bên trong và lực dọc trục tăng đơn điệu và tỷ lệ như sau: 2 2
2 21
l l l l
p F p F
p F p F (23)
Trong đó 0l
tp
R
, 0F với 1 cho một đường ống dài mà không có ảnh
hưởng của ràng buộc cuối.
Trong trường hợp áp suất bên trong không đổi, và lực dọc trục thay
đổi trong phạm vi [ ]-F,F , chúng ta có thể tính hệ số tải giới hạn thích nghi
bằng cách sử dụng điều kiện sau: 2 2
2 21
l l l l
p F p F
p F p F (24)
27
Chú ý rằng công thức. (23) và (24) sử dụng tiêu chuẩn Von Mises
(Yan [41]). Nhưng, nếu chúng ta sử dụng tiêu chuẩn Tresca, hệ số tải giới hạn
thích nghi bằng cách sử dụng điều kiện sau (Cocks and Leckie [42]):
1l l
p F
p F (25)
Do tính đối xứng của chúng, chỉ có góc phần tư của toàn bộ đường
ống bị rời rạc bởi các phần tử NURBS 3D với lưới bậc hai, bậc ba và bậc 4.
Dữ liệu đã cho cho bài toán này: R= 500 mm, t = 10 mm, L = 100 mm,
0 116.2 MPa.
a)
b)
Fig. 13. The limit and shakedown analyses load factor
of thin-walled pipe problem.
Kết quả tính toán cho phân tích giới hạn và thích nghi được trình bày trong
hình 17. Trong trường hợp phân tích giới hạn, giá trị cận trên của hệ số tải giới
hạn là 0.9978 trong khi đó, giá trị của tải cận dưới là 0.99899 so sánh
với lời giải giải tích 1.0 trong phương trình (21). Trong trường hợp phân
tích thích nghi, giá trị cận trên của hệ số tải giới hạn là 0.58026 trong khi
đó, giá trị của tải cận dưới là 0.580258 so sánh với lời giải giải tích
0.57735 trong trong phương trình (22). Trong cả 2 trường hợp, sai số nhỏ
1% và giá trị cận trên và cận giới hội tụ nhanh chóng tới lời giải tích.
28
Hình. 14. Thông số hình học tại tiết diện đối xứng trục của bài toán
Reinforced Nozzle
3.3 Limit and shakedown analysis of pressure vessel components
3.3.1. Reinforced Axisymmetric Nozzle
Bài toán này là một ví dụ thiết kế tốt của các chi tiết bồn áp lực với các chuyển
đổi hình học trơn. Bài toán này được nghiên cứu bởi Seshadri và các cộng sự
sử dụng phương pháp tiếp tuyến m . Mahmood và các cộng sự cũng thực
hiện nghiên cứ phương pháp tiếp tuyến m cải tiến cho bài toán này. Mô hình
3D của bài toán được minh họa ở hình 19. Thông số hình học, điều kiện biên
và tải tác dụngđược minh họa ở hình 18. Mô hình bài toán được rời rạc hóa
thành các miền như hình 20. Mô đun đàn hồi được dùng trong bài toán này là
262 GPa và chịu áp suất bên trong p = 24.1 MPa. Bài toán được giải ở dạng
đối xứng trục. Hình 20 trình bày một ví dụ lưới NURBS cho dùng trong phân
tích bài toán.
29
Hình. 15. Mô hình 3D và thông số
hình học tại tiết diện đối xứng trục
của bài toán Reinforced axisym-
metric Nozzle
Hình. 16. Một ví dụ cho lưới NURBS
của bài toán
Bảng 4: Hệ số tải giới hạn cho bài toán Reinforced axisymmetric Nozzle:
So sánh với kết quả hệ số tải giới hạn với các phương pháp khác.
Các lưới IGA trong phân tích gồm các bậc từ p =2 đến 4, sử dụng 1792 phần
tử với 4620 bậc tự do cho p =2, sử dụng 1344 phần tử với 4100 bậc tự do cho
p =3 và sử dụng 768 phần tử với 3376 bậc tự do cho p = 4. Kết quả phân tích
giới hạn và thích nghi cho bài toán được trình bày trong bảng 4. Đồ thị trong
hình 21 trình bày sự hội tụ của hệ số tải tới hạn cho phân tích giới hạn và hình
22 là minh họa cho kết quả hội tụ của phân tích thích nghi.
30
Hình. 17. Sự hội tụ của kết quả phân
tích giới hạn.
Hình. 18. Sự hội tụ của kết quả phân
tích thích nghi.
3.4 Phân tích giới hạn của kết cấu nứt
Bồn áp lực được thiết kế để chứa khí hoặc chất lỏng gồm các nhiều chi tiết
như bồn thành mỏng, bồn thành dày, miệng bồn, đầu bồn,... Hai loại khuyết
tật, vết nứt dọc trục và chu vi, thường được tìm thấy trong bồn chịu áp lực và
đường ống. Các phân tích giới hạn của các chi tiết bồn chịu áp lực đã được
nghiên cứu thành công bởi nhiều nhà nghiên cứu như Zhang và cộng sự, Abou
và cộng sự, Ngo và cộng sự, Staat et al., Simha et al., Mohmood et al. Hệ số
tải trọng giới hạn của các kết cấu có vết nứt cũng là thông số quan trọng trong
đánh giá an toàn của hư hỏng kết cấu. Trong phần này, bài toán ống trụ có nứt
chịu áp suất bên trong được phân tích. Mô hình và thông số hình học của bài
toán được trình bày trong hình 23. Do bài toán đối xứng, mô hình ½ được
chọn trong phân tích số như hình 24.
31
Hình. 19. Mô hình và thông số
hình học
Hình. 20. Mô hình đối xứng được
chọn trong phân tích
Ba trường hợp được xem xét trong phân tích với chiều dài vết nứt a bao
gồm a = 0.25t, a = 0.5t và a = 0.75t. Lời giải giải tích cho bài toán này được
nghiên cứu bởi Chell, Miller và Yan. Lởi giải số cho bài toán này cũng được
nghiên cứu bởi Yan và các cộng sự, sử dụng phần tử Q8.
Bảng 5: Hệ số tải giới hạn cho bài toán ống tròn có nứt chịu áp suất trong,
so sánh kết quả với các phương pháp khác.
Kết quả trình bày trong bảng 5. Hệ số tải giới hạn được so sánh với lời giải
giải tích và lời giải số như hình 25. Có thể dễ dàng nhận thấy từ bảng 5 và
hình 25, kết quả của phương pháp nghiên cứu hiệntại có kết quả tương đối tốt
so với các lời giải hiện có.
32
(a) Hệ số tải giới hạn của phương
pháp hiện tại so với các lời giải giải
tích.
(b) Hệ số tải giới hạn của phương
pháp hiện tại so với các lời giải giải
số
Hình. 21. Hệ số tải giới hạn cho bài toán ống tròn có nứt chịu áp suất trong
33
Chương 04: KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN
4.1 Kết luận
Mục đích của nghiên cứu này là (i) để phát triển phương pháp phần
tử hữu hạn đẳng hình học, phương pháp được phát triển trong những năm gần
đây đóng góp một quy trình mới trong lĩnh vực tính toán phân tích giới hạn và
phân tích thích nghi, và (ii) để tăng hiệu quả giải quyết các vấn đề kích thước
lớn một cách hiệu quả, đã đạt được thành công thông qua việc phát triển một
số tiếp cận mới được trình bày trong luận án này. Những đóng góp chính trong
luận án này có thể được phác thảo như sau:
• Xây dựng công thức theo đường lối tiếp cận thích nghi động học giản
yếu để giải quyết bài toán 2D, 3D và đối xứng trục cho các kết cấu làm từ vật
liệu đàn dẻo lý tưởng dựa trên tiêu chuẩn von Mises.
• Cải thiện hiệu quả quy trình phân tích giới hạn và thích nghi được đề
xuất bằng cách tích hợp một số lợi thế của phương pháp đẳng hình học về xấp
xỉ hàm bậc cao, hình học chính xác và kết nối cơ sở spline trơn với cơ sở đa
thức Lagrange C0 hoặc cơ sở Berstein thông qua trích xuất NURBS của Bézier
dẫn đến các giải pháp chính xác hơn so với các giải pháp khác có sẵn.
• Phát triển phương pháp phần tử hữu hạn đẳng hình học dựa trên trích
xuất Bézier và Lagrange của NURBS cho bài toán phân tích giới hạn và thích
nghi của kết cấu.
• Hệ số tải giới hạn cận trên và cận giới được xác định đồng thời.
4.2 Hướng phát triển
Mặc dù nghiên cứu hiện tại quan tâm đến hiệu quả của phương pháp
hiện tại đối với việc tính toán các kết cấu 2D, 3D và đối xứng trục. Phương
34
pháp được trình bày có thể được phát triển theo nhiều cách. Các vấn đề sau
đây có thể được khuyến nghị cho nghiên cứu trong tương lai.
Hiệu ứng tính toán với làm mịn cục bộ cho kết cấu chịu tải phức tạp.
Tăng cường hiệu quả tính toán với các phương pháp làm mịn lưới mới
nhất của lưới NURBS như T-Splines.
Các bài toán phân tích giới hạn và thích nghi có hình học đơn giản và
chịu lực cơ bản đã được nghiên cứu trong luận án này. Các ảnh hưởng khác
như tái bên, hình học phức tạp, chịu ảnh hưởng của nhiệt,... sẽ được xem xét
nghiên cứu trong tương lai.
35
Tài liệu tham khảo
1. Koiter WT, General theorems for elastic plastic solids. In: Progress in Solid
Mechanics (edited by Sneddon I. N. and Hill R.), pp. 165-221, Nord-Holland,
Amsterdam, 1960.
2. Melan E, Theorie statisch unbestimmter Systeme aus ideal plastischem
Baustoff. Sitzber. Akad. Wiss. Wien IIa 145 (1936) 195-218.
3. Prager W, Hodge PGJr, Theory of perfectly plastic solids. Wiley, New
York, 1951.
4. Gaydon FA, McCrum AW. A theoretical investigation of the yield point
loading of a square plate with a central circular hole. Journal of Mechanics
and Physics Solids 1951; 2 156-169.
5. Krabbenhoft K, Lyamin AV, Hjiaj M, Sloan SW, A new discontinuous
upper bound limit analysis formulation. International Journal for Numerical
Methods in Engineering 2005; 63: 1069–1088.
6. Smith CC, Gilbert M, Application of Discontinuity Layout Optimization
to Plane Plasticity Problems. Proceedings of the Royal Society A:
Mathematical, Physical and Engineering Sciences 2007; 463: 2461–2484.
7. Gilbert M, Smith CC, Pritchard TJ, Masonry arch analysis using
discontinuity layout optimization, Proceedings of the Institution of Civil
Engineers - Engineering and Computational Mechanics 2010; 163 (3): 155-
166.
8. Casciaro R, Cascini L. A mixed formulation and mixed finite elements for
limit analysis. International Journal for Numerical Methods in Engineering
1982; 18: 211-243.
9. Belytschko T, Hodge PG. Plane stress limit analysis by finite element.
Journal of Engineering Mechanics Division 1970; 96: 931–944.
10. Belytschko T. Plane stress shakedown analysis by finite elements.
International Journal of Mechanic Sciences 1972; 14: 619–625.
11. Corradi L, Zavelani A. A linear programming approach to shakedown
analysis of structures. Computer Methods in Applied Mechanics and
Engineering 1974; 3: 37–53.
36
12. Nguyen DH, Palgen L. Shakedown analysis by displacement method and
equilibrium finite elements. Proceedings of SMIRT-5, Berlin; Paper L3/3,
1979.
13. Genna F. A nonlinear inequality, finite element approach to the direct
computation of shakedown load safety factors. International Journal of
Mechanics and Sciences 1988; 30: 769–789.
14. Zhang P, Lu MW, Hwang KC. A mathematical programming algorithm
for limit analysis. Acta Mechanics Sinica 1991; 7: 267–274.
15. Stein E, Zhang G. Shakedown with nonlinear strain-hardening including
structural computation using finite element method. International Journal of
Plasticity 1992; 8: 1–31.
16. Zhang G, Einspielen und dessen numerische Behandlung von
Flachentragwerken aus ideal plastischem bzw. Kinematisch
verfestingendemMaterial, Berich-nr. F92/i. Institut für Mechanik, University
Hannover, 1995.
17. Gross-Weege J. On the numerical assessment of the safety factor of elasto-
plastic structures under variable loading. International Journal of Mechanics
and Sciences 1997; 39: 417–433.
18. Yan AM, Contribution to the direct limit state analysis of plastified and
cracked structures. Dissertation, Université de Liège, Belgium, 1997.
19. Chen HF, Liu YH, Cen ZZ, Xu BY. On the solution of limit load and
reference stress of 3-D structures under multi-loading systems. Engineering
Structures 1999; 21: 530–537.
20. Carvelli V, Cen ZZ, Liu Y, Maier G. Shakedown analysis of defective
pressure vessels by a kinematic approaches. Archive of Applied Mechanics
1999; 69:751–764.
21. Huh H, Yang WH. A general algorithm for limit solutions of plane stress
problems. Journal of Solids and Structures 1991; 28: 727–738.
22. Zouain N, Herskovits J, Borges LA, Feijoo RA. An iterative algorithm
for limit analysis with nonlinear yield functions. Journal of Solids and
Structures 1993; 30: 1397–1417.
23. Heitzer M, Staat M. FEM-computation of load carrying capacity of highly
loaded passive components by direct methods. Nuclear Engineering and
Design 1999; 193(3): 349-358.
37
24. Andersen KD, Christiansen E, Conn AR, Overton ML. An efficient
primal-dual interior-point method for minimizing a sum of Euclidean norms,
SIAM Journal of Science Computation 2000; 22; 243-262.
25. Andersen ED, Roos C, Terlaky T. On implementing a primal-dual
interior-point method for conic quadratic programming. Math Program 2003;
95: 249–277.
26. D.K. Vu, Dual Limit and Shakedown analysis of structures. Dissertation,
Université de Liège, Belgium, 2001.
27. Vu DK, Yan AM, Nguyen DH, A primal-dual algorithm for shakedown
analysis of structure, Computer Methods in Applied Mechanics and
Engineering 2004; 193: 4663-4674.
28. Zhang T, Raad L. An eigen-mode method in kinematic shakedown
analysis. International Journal of Plasticity 2002; 18: 71–90.
29. Zouain Z, Borges L, Silveira JL. An algorithm for shakedown analysis
with nonlinear yield functions. Computer Methods in Applied Mechanics and
Engineering 2002; 191: 2463–2481.
30. Garcea G, Armentano G, Petrolo S, Casciaro R. Finite element shakedown
analysis of two-dimensional structures. International Journal for Numerical
Methods in Engineering 2005; 63: 1174–1202.
31. Canh V. Le, Nguyen-Xuan H, Nguyen-Dang H. Upper and lower bounds
limit analysis of plates using FEM and second-order cone programming.
Computers and Structures 2010; 88:65-73.
32. C.V. Le, H. Nguyen-Xuan, H. Askes, T. Rabczuk, T. Nguyen-Thoi.
Computation of limit load using edge-based smoothed finite element
method and second-order cone programming. International Journal of
Computational Methods 2013; 10: 21–42.
33. Le CV, Nguyen-Xuan H, Askes H, Bordas S, Rabczuk T, Nguyen-Vinh
H. A cell-based smoothed finite element method for kinematic limit analysis.
International Journal for Numerical Methods in Engineering 2010; 88(12):
1651 – 1674
34. Le CV, Gilbert M, Askes H. Limit analysis of plates using the EFG method
and second-order cone programming. International Journal for Numerical
Methods in Engineering 2009; 78: 1532–1552.
38
35. T.J.R. Hughes, J.A. Cottrell, Y. Bazilevs. Isogeometric analysis: CAD,
finite elements, NURBS, exact geometry and mesh refinement. Computer
Methods in Applied Mechanics and Engineering 2005; 194: 4135 – 4195.
36. J. Cottrell, T.J.R. Hughes, A. Reali. Studies of refinement and continuity
in isogemetric analysis. Computer Methods in Applied Mechanics and
Engineering 2007; 196: 4160 – 4183.
37. J.A. Cottrell, A. Reali, Y. Bazilevs, T.J.R. Hughes. Isogeometric analysis
of structural vibrations. Computer Methods in Applied Mechanics and
Engineering 2005; 195: 5257 – 5296.
38. T. Elguedj, Y. Bazilevs, V. Calo, T. Hughes. B-bar and F-bar projection
methods for nearly incompressible linear and non-linear elasticity and
plasticity using higher-order NURBS elements. Computer Methods in Applied
Mechanics and Engineering 2008; 197: 2732 – 2762.
39. J. Kiendl, K.U. Bletzinger, J. Linhard, R. Wuchner. Isogeometric shell
analysis with Kirchhoff–Love elements. Computer Methods in Applied
Mechanics and Engineering 2009; 198: 3902 – 3914.
40. H. Nguyen-Xuan, Loc V. Tran, Chien H. Thai, Canh V. Le. Plastic
collapse analysis of cracked structures using extended isogeometric elements
and second-order cone programming. Theoretical and Applied Fracture
Mechanics 2014; 72: 13 – 27.
41. Yan A. M. Contribution to the direct limit state analysis of plastified and
cracked structures. Dissertation, Université de Liège, Belgium, 1997.
42. Cocks A. C. F. and Leckie F. A, Deformation bounds for cyclically loaded
shell structures operating under creep condition. Journal of Applied
Mechanics, Transactions of the ASME 1988; 55: 509-516.
43. H. Nguyen-Xuan, T. Rabczuk, T. Nguyen-Thoi, T. N. Tran, N. Nguyen-
Thanh. Computation of limit and shakedown loads using a node-based
smoothed finite element method. Int J Num Methods Eng 2012;90:287 – 310.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
ĐỖ VĂN HIẾN
PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN ĐẲNG HÌNH HỌC
CHO PHÂN TÍCH GIỚI HẠN VÀ THÍCH NGHI
CỦA KẾT CẤU
(ISOGEOMETRIC FINITE ELEMENT METHOD FOR
LIMIT AND SHAKEDOWN ANALYSIS OF STRUCTURES)
TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ
NGÀNH: CƠ KỸ THUẬT
MÃ SỐ: 62520101
Tp. Hồ Chí Minh, tháng 04/2020
2
CÔNG TRÌNH ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
Người hướng dẫn khoa học 1: GS. TS Nguyễn Xuân Hùng
Người hướng dẫn khoa học 2: PGS. TS Văn Hữu Thịnh
Luận án tiến sĩ được bảo vệ trước
HỘI ĐỒNG CHẤM BẢO VỆ LUẬN ÁN TIẾN SĨ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT,
Ngày .... tháng .... năm .....
3
CONTENTS
Chapter 01: INTRODUCTION ............................................................ 5
1.1. General introduction ................................................................. 5
1.2. Research motivation.................................................................. 8
1.3. Aim of the research ................................................................... 8
1.4. Original contributions ............................................................... 9
1.5. List of publications ................................................................. 10
Chapter 02: FUNDAMENTALS ....................................................... 12
2.1. Theory of shakedown analysis ................................................ 12
2.2. Isogeometric analysis .............................................................. 12
2.3. An Isogeometric analysis formulation for primal and dual
problems ......................................................................................... 15
Chapter 03: RESUTLS ....................................................................... 20
3.1 Limit and shakedown analysis of two dimensional structures 20
3.1.1. Square plate with a central circular hole .......................... 20
3.1.2. Grooved rectangular plate subjected to varying tension .. 24
3.2 Limit and shakedown analysis of three dimensional structures
25
3.2.1....... Thin square slabs with two different cutout subjected to
tension ......................................................................................... 25
3.2.2...... Thin-walled pipe subjected to internal pressure and axial
force 27
3.3 Limit and shakedown analysis of pressure vessel components
30
3.3.1. Reinforced Axisymmetric Nozzle ................................ 30
3.4 Limit analysis of crack structures ........................................... 32
4
Chapter 04: CONCLUSIONS AND FURTHER STUDIES .............. 35
4.1 Conclusion ........................................................................... 35
4.2 Further studies ...................................................................... 36
REFERENCES ................................................................................... 37
5
Chapter 01: INTRODUCTION
1.1. General introduction
Plastic analysis plays a significant role in safety assessment and
structure design, especially in nuclear power plants, chemical industry, metal
forming and civil engineering. Plastic collapse takes place when the structure
is converted into a mechanism by development of suitable number and
disposition of plastic hinges. The most important outcomes of a plastic
structural analysis is a plastic collapse factor. It is useful for the reliable and
economical safety assessment and design of ductile structures.
Based on the elastic-perfectly plastic model of material, the theory of
limit and shakedown have been developed since the early twentieth century.
Review of early contributions to the development of limit analysis theory
should include the works of Kazincky in 1914 and Kist in 1917. The first
complete formulation of the lower and upper theorems was introduced by
Drucker et al. in 1952. Contributions of Prager and Martin can be found in
their works in 1972 and 1975 respectly. The application of limit analysis
theory in computational mechanics have been widely reported since then,
among publications concerning the problem are the application of limit
analysis structural engineering by Hodge (1959, 1961, 1963), Massonnet and
Save (1976), Chakrabarty (1998), Chen and Han (1988), Lubliner (1990).
Even that there exist anlytical tools to deal with the problems of limit
analysis, they are limited in solving simple cases. Numerical methods from
simple examples in two dimensions to very complicated applications in three
dimensions, have shown their greated competence. Based on mathematical
programming and finite element technique, the limit analysis can be using two
different numerical approaches. The first approach is based on “step-by-step”
method or incremental method in estimating the load factor of structures. This
6
approach can be found either using the iterative Newton-Raphson method (the
works of Argysris in 1967; Marcal & King in 1967; Zienkiewicz et al. in 1969)
or using mathematical programming (the works of Maier in 1968; Cohn &
Maier in 1979). The second approach, based on the fundamental limit
theorems of plasticity, determines directly the limit load factor without
intermediate steps. This method appears to be more and more powerful tool
of solving problems of arbitary geometry thanks to the rapid evolution of
computer technology in past decades. The development of the direct method
has been contributed by Brion and Hodge (1967), Hodge and Belytschko
(1968), Neal (1968), Maier (1970), Nguyen Dang Hung et al. (1976, 1978),
Casciaro and Cascini (1982),…
Facing up to numerical difficulties in using existing optimization
packages for the purpose of limit analysis, researchers were carried out to find
an efficient algorithm. Theories of both linear and nonlinear programming
have been applied. Linear programming has been widely used in limit analysis
because this approach allows the solution of large scale problems, see for
example Grierson (1977), Christiansen (1981, 1996), Anderson and
Christiansen (1995), Franco and Ponter (1997). Among of these researchers,
Overton (1984) showed that the problem of limit analysis could be solved
efficiently by means of a Newton-type scheme. Some new algorithms,
following the Overton’s research direction, have been built aiming at using
directly Von Mises or other nonlinear yield function such as the works of
Gaudrat (1991), Zouain et al (1993), Liu et al. (1995), Zhang and Lu (1993),
Borges et al. (1996), Capsoni and Corradi (1997), Ivaldo et al. (1997),
Christiansen et al. (1998), Hoon et al. (1999), Anderson (1996), Anderson et
al. (1995, 1996, 1998 , 2000).
7
Application of limit analysis in computing the safety factor of structures
requires that external loads are proportional. In practice, howerver, the loads
are generally time-dependent and may vary independently. Therefore the
structure may fail under a load level considerably lower than that predicted by
limit analysis. It may also happen that the structure comes back to its elastic
behaviour after a certain time period being subjected to variable and repeated
loads higher than elastic limit. Taking into account those aspects is the aim of
shakedown theory.
The first shakedown theorem was formulated by Bleich in 1932, the
static theorem was extended by Melan in 1936, the kinematic shakedown
theorem was stated by Koiter in 1960. Since then there have been many studies
on shakedown for elastic perfectly plastic material. Among them, finite
element solutions are introduced by Maier (1969), Belytschko (1972),
Polizzotto (1979), and then shakedown analysis has been extended in many
directions. Based on the lower bound and upper bound theorems, different
numerical methods were built to analyze complicated structures which
analytical tools fail to deal with. Because of cumbersome to use the
incremental method in solving the problem of shakedown analysis, direct
method are thus necessary. With the help of finite element method, the
problem of finding the shakedown limit factor can be discretized and
transformed into a problem of mathemathical programming. Based on
picewise linearization of yield domain technique, the linear programming was
proposed by Maier (1969), then improved by Corradi (1974), Belystchko
(1972) applied nonlinear programming to discretized lower bound theorem.
Morelle and Nguyen Dang Hung (1983) studied the dualities in shakedown
analysis an showed that there are two different kinds od duality in shakedown
programming and their roles are of important. Both lower bound and upper
8
bound of the shakedown limit load multiplier, corresponding to static and
kinematic theorems respectively, were formulated by Morelle (1984).
Although a lot of numerical methods has been developed over many
years, a better numerical method is still needed in engineering practice. In
recent years, the isogeometric analysis (IGA) is introduced by Hughes et al.
[35]. This method allows us integrate the computer aided geometric design
(CAGD) representations directly into the element finite formulation. The
isogeometric finite element formulation uses Non-uniform rational basis
spline (NURBS) instead of the Lagrange interpolation in the FEM. The
NURBS can provide higher continuity of derivatives in comparison with
Lagrange interpolation functions. In addition, the order of the NURBS
function can be easily elevated without changing the geometry or its
parameterization.
1.2. Research motivation
Current research in the field of limit and shakedown analysis is
focussing on the development of numerical tools which are sufficiently
efficient and robust to be of use to engineers working in practice. Based on
mathematical algorithms and numerical tools, there are many approaches to
solve limit and shakedown problems such as: different numerical methods [5-
7], finite elements [8-31], smoothed finite elements [32,33] and meshfree
methods [34]. However, the duality of the kinematic upper bound and static
lower bound was not practically applied in numerical simulations.
The research motivation of the thesis is to develop an Isogeometric
Finite element method based on efficient dual algrorithm for limit and
shakedown analysis of structures made of elastic perfectly plastic material
with von Mises yield criterion.
1.3. Aim of the research
9
The aim of this research is to contribute to the development of robust
and efficient algorithms for the limit and shakedown analyses of structures.
The work will focus on the two problems researched in this area.
- The first aim of the research is to develop so-called "Isogeometric
Finite Element Method", which have been developed in recent years to change
paradigm in Finite Element Analysis, for limit and shakedown analyses of
structures. IGA has been applied successfully a lot of mechanics problems in
the literature [53-70] and so on. The IGA allows both CAD and FEA to use
the same basis NURBS-based functions.
- The second aim of the research is to solve the nonlinear optimization
problem with constraints. There are many approaches to efficiently solve
optimization problem for limit and shakedown analysis problems such as basic
reduction technique [21], interior-point method [24, 67], linear matching
method (LMM) [68, 69, 70], second ordercone programming (SOCP) [49, 52,
54].
1.4. Original contributions
According to the author’s knowledge, the original contributions of the thesis are:
Development of a kinematic limit and shakedown analysis formulation
based on isogeometric analysis by Bézier extraction or Lagrange of extraction
NURBS.
Development of a novel numerical approach for evaluating limit and
shakedown load factors of 2D, 3D structures and pressure vessel components
for application in piping engineering.
Improvement of the efficiency of the proposed limit analysis and
shakedown procedures by integration of some advantages of the IGA in terms
10
of flexibility in refinement, exact geometry and connection the smooth spline
basis to the C0 Lagrange polynomials basis or Berstein basis through Bézier
extraction of NURBS that lead the more accurate solutions in comparison with
other available.
Investigation of the isogeometric analysis based on Bézier extraction
and Lagrange extraction which can integrate IGA into the existing FEM codes
in combination with primal-dual algorithm in computation of limit and
shakedown load factors.
1.5. List of publications
Some of the materials reported in this research have been published in
international journals and presented in conferences. These papers are:
1. Hien V. Do, H. Nguyen-Xuan, Limit and shakedown isogeometric analysis
of structures based on Bezier extraction, European Journal of Mechanics-
A/Solids, 63, 149-164, 2017.
2. Hien V. Do, H. Nguyen-Xuan, Computation of limit and shakedown loads
for pressure vessel components using isogeometric analysis based on
Lagrange extraction, International Journal of Pressure Vessels and Piping,
169, 57-70, 2019.
3. H. Nguyen-Xuan, Hien V. Do, Khanh N. Chau, An adaptive strategy based
on conforming quadtree meshes for kinematic limit analysis, Computer
Methods in Applied Mechanics and Engineering, 341, 485-516, 2018.
4. Hien V. Do,T Lahmer, X Zhuang, N Alajlan, H Nguyen-Xuan, T Rabczuk,
An isogeometric analysis to identify the full flexoelectric complex material
properties based on electrical impedance curve, Computers and Structures,
214, 1-14, 2019.
11
5. Hien V. Do, H. Nguyen-Xuan, Isogeometric analysis of plane curved beam,
The National Conference on Engineering Mechanics, at the Da Nang
University, Da Nang.
6. Hien V. Do, H. Nguyen-Xuan, Application of Isogeometric analysis to free
vibration of Truss structures, The 12th National Conference on Solid
Mechanics at the Duy Tan University.
12
Chapter 02: FUNDAMENTALS
2.1. Theory of shakedown analysis
2.2.1. Static shakedown theorem (Melan)
Based on the static theorem, we can find a permanent statically admissible residual generalized stress field in order to obtain a maximum load
domain L . The obtained shakedown load multiplier is generally a lower
bound. From the above static theorem, the shakedown problem can be seen as a mathematical maximization problem in nonlinear programming
max
( ) 0 in
. : ( ) 0 on
( , ) ( ) 0
j ij
j ij
Eij ij
V
s t n A
f t t
x
x
x x
(1)
2.2.2. Kinematic shakedown theorem (Koiter)
Based on the kinematic theorem, an upper bound of the shakedown limit
load multiplier
can be computed. The shakedown problem can be seen
as a mathematical minimization problem in nonlinear programming:
min
( , )
1. : in
2
0 on
Tp p
ij
o VT
E pij ij
o V
Tp p
ij ij
o
jp iij
j i
i
dt D dV
dt t dV
dt
uus t V
x x
u A
x
(2)
2.2. Isogeometric analysis
2.3.1. Knot vector
A knot vector in one dimension is a collection of non-decreasing set of
coordinates or knots in the parameter space. The knot span is the interval
13
between two knots. Knots divide a patch into elements. The knot vector can
be represented as 1 2 1, ,..., n p , where i R , i is the knot index, i =
1, 2,...,n + p + 1, p is the polynomial order and n is the number of the basis
function used to construct the B-Spline curve. A knot vector is said to be open
if its first and last knots are repeated 1p times. It should be noted that open
knot vectors are employed throughout this study.
2.3.2. Basis functions
The basis functions can be calculated using Cox-De Boor recursion
formula with knot vector in hand. The basis functions can be defined
recursively starting with p = 0 as:
1
1,0
1 ( )
0 i iif
Notherwise
(3)
For 1,2,3,...p , they are defined by
1
, , 1 1, 1
1 1
( ) ( ) ( ).i pii p i p i p
i p i p i
N N N
(4)
(a) (b)
Fig. 1 An illustration of quadratic B-splines curves: a) Quadratic B-spline
curve; b) Basis functions.
The product of basis functions and the control point coordinate vector will
give an approximation for the curve, thus obtained using B-splines. The
piecewise polynomial B-spline curve ( )C is given by
,1
( ) ( )n
i p ii
N
C P (5)
14
where iP refers to the control point coordinates. Fig. 1 shows an example of
the quadratic B-spline basis functions for the open and non-uniform knot
vectors. NURBS basis is defined by associating the B-spline basis functions
with a positive term called weight, i such that
,
,
,1
( )( )
( )
i p i
i p n
i p ii
NR
N
(6)
The NURBS curve components are the linear combination of the NURBS
basis functions weighted by the components of control points
,1
( ) ( )n
i p ii
R
C P (7)
2.3.3. Refinements
In order to accurately predict the physical behaviour and thereby increase
the accuracy of the solution, the mesh might have to be refined. The different
methods of refinement are knot insertion, degree elevation, and degree and
continuity elevation.
(a)
0,0,0,0.5,1,1,1
(b) 0,0,0,0.25,0.5,0.75,1,1,1
Fig. 2 Example of Isogeometric h refinement: a) original knot vector b)
new knot vector.
The knot insertion method is called h−refinement. The new knot vector is
generated by adding more knots to the existing knot vector in this method. The
B-spline curve generated from the new knot vector has more number of
control points and hence more number of elements. Fig. 2 shows an example
h refinement.
The second way for refining the basis and enriching the knot vector is to
increase the order of the basis function, which is called p−refinement. The
15
basis has p – mi continuous derivatives across element boundaries, where mi
is the multiplicity of a knot. Unlike knot insertion, order elevation affects the
curve globally. Fig. 3 shows an example p refinement.
a)
(b)
Fig. 3 Example of Isogeometric p refinement:
a) original knot vector 0,0,0,0.5,0.5,1,1,1
b) new knot vector 0, 0,0, 0, 0, 0.5,0.5,0.5,1,1,1,1,1
The final method is k refinement which both mesh refinement and degree
elevation are carried out. Fig. 4 illustrates an example of k refinement.
(a)
(b)
Fig. 4: Example of Isogeometric k refinement:
a) original knot vector 0,0,0,0.5,0.5,1,1,1
b) new knot vector 0, 0, 0,0,0.25,0.5,0.5,0.75,1,1,1,1
2.3. An Isogeometric analysis formulation for primal and dual
problems
The upper bound of shakedown analysis is based on the kinematical
theorem to define the minimum load multiplier
as a mathematical
minimization problem [26]:
16
1
1
min ( ) (a)
, in (b)
0, on (c)subjected to:
, (d)
ˆ,
s
s
mp
ikV
i
m
k iki
k
v ik
T Eik k i
Vi
D dV
V
P dV
u
ε
ε ε
u
D ε 0
ε σ x
1
1, (e)sm
(8)
where ( )pikD ε is the plastic dissipation function, V is the volume of the
mentioned structure, u is called the displacement boundary. By the third
constraint, Eq. (8)d, the incompressibility condition need satisfying on all
domains ( )kV and at all load vertices i . The form of vD :
1 1 0
1 1 0
0 0 0v
D for plane strain problems, and
1 1 1 0 0 0
1 1 1 0 0 0
1 1 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
v
D for three-dimensional problems
(9)
By using the NURBS, the velocity of the displacement field eu of each
element e is approximated as follows m n
e e eA A
A
R
u q (10)
where n×m is the number of basis functions, eAR is the -thA NURBS basis
function and eAq is the vector velocity of control point degrees of freedom
associated with the -thA control point A of the element e .
The strain rate can be rewritten as
17
1
m ne
A AA
B q (11)
in which the strain matrix AB is given by
,
,
, ,
0
0
A x
A yA
A y A x
R
R
R R
B for two-dimensional problems,
,
,
,
, ,
, ,
, ,
0 0
0 0
0 0
0
0
0
A x
A y
A z
AA y A x
A z A y
A z A x
R
R
R
R R
R R
R R
B
for three-dimensional problems.
(12)
The integration of Eq. (8) has to calculate over all Gaussian points NG
with their weighting factors kw in the considered element e , where k denotes
the -thk Gaussian point. This integral leads for -thk Gaussian point to
k k k kkw J B q B q (13)
where k
J denotes the determinant of the Jacobian matrix, kw is the
weighting factor and vector velocity control points of the element e .
By applying the IGA shown in Section 2.2 and von Mises yield criterion,
Eq. (8) can be discretized in the simple form as follows
20
1 1
1
1 1
2min (a)
3
0, 1, (b)
subjected to : , 1, , 1, (c)
1, (d)
s
s
s
m NGT
y ik iki k
m
ik ki
sv ik
m NGT Eik ik
i k
k NG
k NG i m
ε Dε
ε B q
D ε 0
ε
(14)
18
where y is the yield stress of material, NG is the total number of Gauss point
of the entire domain and 20 denotes a small positive number which ensures
the difference of the objective function everywhere [24, 25]; the diagonal
square matrix D in this form:
11 1
2diag
D for two-dimensional problems, and
1 1 11 1 1
2 2 2diag
D for three-dimensional problems (15)
Some new notations are written in simpler forms:
1/2 1/2 1/2ˆ, , Eik i ik ik ik k k k e D t D B D B (16)
where ˆ, ,ik ik ke t B denote the new strain rate vector, new fictitious elastic
stress vector, respectively and new strain matrix at Gauss point k and load
vertex i. When we substitute Eq. (16) into Eq. (14), a simplified version can
be gained for the upper bound of shakedown analysis (primal problem)
2
1 1
1
1 1
2min (a)
3
ˆ , 1, (b)
subjected to : , 1, , 1, (c)
1 0. (d)
s
s
s
m NGT
y ik iki k
m
ik ki
v ik s
m NGTik ik
i k
k NG
k NG i m
e e
e B q 0
D e 0
e t
(17)
where 0k is also a small positive number.
The Lagrange function in combination with the primal problem (17) has
this form:
2
1 1 1 1 1 1
2 ˆ 13
s s s sm m m mNG NGT T T T
y ik ik ik v ik k ik k ik ikk i i i k i
L
e e γ D e β e B q e t (18)
in which , ,ik k γ β are Lagrange multipliers which keep the role as
generalized stresses. As in Ref. [26], we derived the dual problem of the
19
primal problem Eq. (17), based on the Lagrange function Eq. (18), and it has
the following form:
1
max (a)
2, (b)
3subjected to :
ˆ . (c)
ik k ik y
NGTk k
k
γ β t
B β 0
(19)
where describes the Euclidean norm, i.e, 1/ 2( )Tv v v .
Also, the form Eq. (19) is exactly the discretized form of the lower bound
shakedown problem with the formulation based on Melan’s static theorem,
while the Lagrange function Eq. (18) is an essential intermediate form leading
to the dual problem Eq. (19).
The primal problem Eq. (17) has the constraints (b), (c), (d) subjected to
kinematic variables; therefore, solving the primal problem Eq. (17) with these
variables allows us to get an upper bound solution. And, in the dual problem
Eq. (19) the constraints (b), (c) are related to static variables; therefore, solving
the dual problem Eq. (19) with static ones allows us to gain a lower bound
solution. The limit and shakedown analyses based on the FEM [12] use
frequently these upper and lower bounds.
Note that the problems Eqs. (17) and (19) of shakedown analysis becomes
that of limit analysis as 1sm .
20
Chapter 03: RESUTLS
In this chaper, we validate our theory and algorithms through a series
of examples. Example problems considered in this chaper are divied into four
sections:
(1) Limit and shakedown analysis of two dimentional structures.
(2) Limit and shakedown analysis of three dimentional structures.
(3) Limit and shakedown analysis of pressure vessel components.
(4) Limit analysis of crack structures.
3.1 Limit and shakedown analysis of two dimensional structures
3.1.1. Square plate with a central circular hole
We consider the first example of a square plate with a central circular
hole, which has been found very frequently in literature. Due to the symmetry
of geometry and applied loads, one fourth of the plate is described in Fig. 5b.
The given data is used as follows: 52.1 10E MPa , 0.3 , 200y MPa .
(a) Full model
(b) One fourth of the model Fig. 5 Square plate with a central circular hole
The diameter of the hole and side length of the plate has the ratio between
them as follows: 0.2 ( / 0.2R L ). The coarse mesh and control net are
illustrated in Fig. 6a. Numerical computations are carried out by one fourth of
21
IGA model using quadratic mesh with 64 NURBS 2D elements (578 degrees
of freedom), cubic mesh with 36 NURBS 2D elements (722 degrees of
freedom) and quartic mesh with 16 NURBS 2D elements (578 degrees of
freedom) as shown in Fig. 6b, Fig. 6c and Fig. 6d, respectively.
(a)
(b)
(c)
(d)
Fig. 6. a) Quadratic mesh and control net; b) Quadratic mesh NURBS
element; b) Cubic mesh NURBS element; d) Quartic mesh NURBS
element.
Fig. 7. The convergence of the IGA
compared with those of different
methods for limit analysis (with P2 =
0) of the square plate with a central
circular hole
Fig. 8. Limit analysis of the square
plate with a central circular hole (with
P2 = 0) using the IGA compared with
exact solution and different numerical
methods
22
Table 1: Comparison of different numerical methods for limit analysis of the square plate with a circular hole.
Fig. 9. The limit load domain of the square plate with a central circular hole
using the IGA compared with those of other numerical methods
23
Gaydon and McCrum [4] presented the exact solution of the limit load
multiplier for plane stress case applying von Mises yield criterion in their
work. In case of 2 10, 0, yP P and / 0.2R L , the exact collapse
limit load is as
lim 1 / 0.8y yp R L (20)
Fig 7 shows numerical solutions gained for FEM-Q4 and IGA versus to
the increasing variation of degrees of freedom. From Fig 7 and Fig 8, we see
that the limit load factors converge rapidly to the analytical solution and the
present solution agrees very well with those of the other existing methods such
as FEM, mixed model [29]. The convergence rate is also shown in Fig 7. We
observed that IGA method yield the best convergent behaviour of the plastic
limit load factor. The results confirm that we can apply the IGA methods for
plastic limit analysis problems. Fig. 9 shows the limit load domains, which
use the IGA and some other methods. IGA solutions are seen to agree very
well with those of lower bound method in [10,17] and the upper bound method
in [19]. In addition, the IGA also gives very accurate results for this problem.
We can see one of the advantages of this approach that it easily increases the
order of basic functions the same as p-refinement in p-version FEM. Table 1
also shows the comparison of the limit load factor of the IGA with those of
other methods.
Fig. 10. Full geometry of grooved
rectangular plate
Fig. 11. Symmetric geometry of
grooved rectangular plate
24
3.1.2. Grooved rectangular plate subjected to varying tension
This example is well-known benchmark under plane stress and plane
strain states subjected to tension pN as shown in Fig. 10. Taking advantage of
symmetry of geometry and applied load, only a half of the
problem with length L, height h = L and radius R = 0.25L = 250 mm of two
semi-circular notches as shown in Fig. 11. This benchmark
was introduced by Prager and Hodge in 1951 under Tresca yield criterion.
However, von Mises yield condition is used in our research. This problem is
also studied by some authors for von Mises yield criterion such as Casciaro et
al. , Yan, Nguyen et al., Tran et al. and more recently Do et al. The given data
is followed: mmR 250 4L R , 52.1 10E MPa , 0.3 , 116.2y MPa .
Table 2 presents the limit load factor for constant pure tension case,
, 0N y Mp p of the IGA compared with those of other methods. Table 2
also shows the agreement of IGA solutions and other existing solutions for
both plane stress and plane strain assumptions. According to the von Mises
Table 2: Limit load factor for the grooved rectangular plate subjected to
constant pure tension , 0N y Mp p .
25
yield criterion, the IGA can produce the solutions belonging to the reliable
interval of analytical solution by Yan [18].
a) limit analysis b) shakedown analysis
Fig. 12. Load factors of the grooved rectangular plate:
a) limit analysis; b) shakedown analysis
Limit and shakedown analyses are also studied for the case of having both in-
plane tension and bending. Fig. 12 shows the comparison of the convergence
of limit and shakedown load factors of the IGA and those of ES-FEM [47]. In
the case of limit analysis, the IGA load factors with the quadratic, cubic and
quartic mesh are, respectively, 0.2977, 0.2967 and 0.2968 which is quite close
to 0.30498 obtained by Tran [39] and 0.2966 obtained by ES-FEM [47]. In the
case of shakedown analysis, the IGA load factors with the quadratic, cubic
and quartic mesh are, respectively, 0.23641, 0.23533 and 0.23539 which is
also quite close to 0.23494 obtained by Vu [30] and 0.23624 obtained by Tran
[39]. It is clear that IGA results have an accuracy slightly higher than those of
upper bounds by Refs [30,39].
3.2 Limit and shakedown analysis of three dimensional structures
3.2.1. Thin square slabs with two different cutout subjected to tension
The first 3D problem that we assess the performance of the IGA via the limit
analysis is the thin square slab with two different cutouts subjected to tension
as shown in Fig. 13.
26
2D view
geometry
3D view
geometry
(a) Circular cutout (b) Square cutout
Fig. 13. The 3D geometry of thin square slabs with two different cutouts
subjected to biaxial loading.
The given data is selected as in the first example. This problem is studied by
many researchers such as Chen et al.[18], Nguyen et al.[102]. The geometry
of 3D holed plate is shown in Fig. 13
Due to the symmetry of the structure and the loading, only the quadrants of
two slabs are modeled and their discretizations using NURBS elements are
illustrated in Fig. 14.
Fig. 14. The 3D quadrant NURBS meshes of thin square slabs with two
different cutouts: (a)-Circular cutout and (b)-Square cutout
Table 3 shows the limit load factors of the IGA in comparison with those
of several different limit analysis approaches. Fig. 15 illustrates
simultaneously convergence both the upper and lower bounds of the limit
load factors. Also from Fig. 15 and Table 3, it can be seen that the solutions
of the IGA are lower than those of the upper bound models and higher than
those of the lower bound approaches. This implies that the IGA can produce
27
the results closer to the exact value than several other methods in the
literature.
Table 3: The limit load factor of the IGA in comparison with those of other
methods for thin square slabs with two different cutouts.
(a) circular cutout (b) square cutout
Fig. 15. Convergence of limit load factors using the IGA solution in
comparison with those of other methods for thin square slabs with two
different cutouts: a) circular; b) square.
3.2.2. Thin-walled pipe subjected to internal pressure and axial force
The second problem is a thin-walled pipe with radius R and thickness
t considered in Fig. 16. The pipe is subjected to axial force F together with
internal pressure p. Cocks and Leckie [42] studied the problem analytically,
using the Tresca yield criterion and Yan [41] using the Von Mises yield
criterion.
28
Fig. 16. A thin-walled pipe subjected to internal pressure and axial force
We can calculate the plastic collapse limit by using the condition [41]
if internal pressure and axial force increase monotonically and proportionally
as follows: 2 2
2 21
l l l l
p F p F
p F p F (21)
where 0l
tp
R
,
0F with 1 for a long pipe without the end
constraining effect.
In case that internal pressure remains constant, and axial force varies
within the range [ ]-F,F , we can compute the shakedown limit by using the
following condition: 2 2
2 21
l l l l
p F p F
p F p F (22)
29
Note that we could have Eq. (21) and (22) by using the Von Mises
yield criterion (Yan [41]). But, if we use the Tresca yield criterion, the
shakedown range is limited by the condition (Cocks and Leckie [42]):
1l l
p F
p F (23)
Due to their symmetry, only the quadrant of the whole pipe is
discretized by 3D NURBS elements with quadratic, cubic and quartic mesh.
The given data for this problem: R= 500 mm, t = 10 mm, L = 100 mm,
0 116.2 MPa.
a)
b)
Fig. 17. The limit and shakedown analyses load factor
of thin-walled pipe problem.
The computational results for limit and shakedown analyses are present in Fig.
17. In the limit analysis case, the upper bound of the limit load factor is
0.9978 while the lower bound is 0.99899 compared with analytical
factor 1.0 obtained by Eq. (21). In the shakedown analysis case, the upper
bound of the shakedown gives 0.58026 , the lower bound gives
0.580258 compared with analytical load factor 0.57735 by using
the formula from Eq. (22). In both case, the numerical errors are less than 1%.
The upper bound and lower bound values converge rapidly to solution.
30
Fig. 18. The reinforced nozzle model and geometry: Geometry of the
axisymmetric model.
3.3 Limit and shakedown analysis of pressure vessel components
3.3.1. Reinforced Axisymmetric Nozzle
Reinforced axisymmetric nozzle is an example of a well-designed pressure
component with smooth geometric transitions. This problem is studied for
limit analysis by Seshadri et al. using mα-tangent method and Mahmood et al.
using the mα-tangent multiplier in conjunction with elastic modulus
adjustment procedure.
The 3D model is illustrated in Fig. 19. A reinforced axisymmetric cylindrical
nozzle on a hemispherical head as shown in Fig. 20. which is subjected to an
internal pressure of p = 24.1 MPa is analyzed here.
31
Fig. 19. The reinforced nozzle
model and geometry: Three quarter
of full 3D model
Fig. 20. The NURBS mesh of the
reinforced axisymmetric nozzle
Table 4: Collapse multiplier for the reinforced axisymmetric nozzle:
Comparison of limit load multipliers for different approaches
The detail of dimensions can be shown in Fig. 18. The IGA mesh is discretized
by multi-patch of NURBS with polynomial order p = 2 to 4 using 1792
NURBS elements with 4620 DOF, 1344 NURBS elements with 4100 DOF
and 768 NURBS elements with 3376 DOF, respectively. The NURBS mesh
and control net for order p = 2 are illustrated in Fig. 20.
32
The results for both limit and shakedown analysis are summarized in Table 4.
The convergence of the limit load factors is shown in Fig. 21 and shakedown
load factors is demonstrated in Fig. 22.
Fig. 21. Convergence of limit load
factors for the reinforced nozzle.
Fig. 22. Convergence of shakedown
load factors for the reinforced nozzle.
3.4 Limit analysis of crack structures
Pressure vessel which is designed to hold liquids or gases contains various
parts such as thin walled vessels, thick walled cylinders, nozzle, head, nozzle
head, skirt support and so on. Two types of defects, axial and circumferential
cracks, are commonly found in pressure vessel and piping. The limit analyses
of the pressure vessel components were successfully studied by many
researchers such as Zhang et al, Abou et al., Ngo et al., Staat et al., Simha et
al., Mohmood et al. The limit load of structures with cracks is also important
parameters on one hand for fracture safety evaluation of structural failure. In
this section, we present a cracked cylinder subjected to internal pressure. The
geometrical and dimensional model are displayed in Fig. 23. Due to
33
symmetry, only a half of the model is considered in our numerical analysis as
shown in Fig. 24.
Fig. 23. Full geometrical and
dimensional model
Fig. 24. The half model of the cylinder
with longitudinal crack subjected to
internal pressure
Three cases are considered with different crack length a included: a =
0.25t, a = 0.5t and a = 0.75t, respectively. The analytical solutions of this
problem are investigated by Chell, Miller and Yan et al. The numerical
solutions of this problem are also studied by Yan et al. using Q8 elements,
Kim et al.
Table 5: Collapse multiplier for the cracked cylinder subjected to internal
pressure: Comparison of limit load multipliers for different approaches
The results are listed in Table 5. The limit load factors are compared with
analytically approximate and numerical solution as shown in Fig. 25. It is
34
obviously observed from Table and Figures that the present results are good
agreement with other available solutions.
(a) Present collapse multiplier
compared with the analytical
solutions.
(b) Present collapse multiplier
compared with the numerical
solutions
Fig. 25. Limit load factors of the cylinder with a longitudinal crack under
internal pressure
35
Chapter 04: CONCLUSIONS AND FURTHER STUDIES
4.1 Conclusion
The aims of this research, which are (i) to develop the isogeometric
finite element method, which have been developed in recent years to
contribute a new procedure in the field of computation of limit and shakedown
analysis, and (ii) to increase the efficiency of solving large size problems
efficiently, have successfully achieved through the development of a number
of procedures presented in this thesis. The main contributions in this thesis
can be outlined as follows:
Investigation of the isogeometric analysis based on Bézier extraction
and Lagrange extraction which can integrate IGA into the existing FEM codes
in combination with primal-dual algorithm in computation of limit and
shakedown load factors.
A novel numerical approach for evaluating limit and shakedown load
factors of pressure vessel components.
By using the primal-dual algorithm, the problem size is reduced to the
size of the linear elastic analysis. Thus, it can be more readily applied in
practical engineering. Moreover, the actual Newton directions updated at each
iteration automatically ensures the kinematical conditions of the
displacements.
Numerical results demonstrate high accuracy of present method with
moderate number of degrees of freedom.
The present approach showed some advantages of the IGA in terms of
flexibility in refinement, exact geometry and connection the smooth spline
basis to the C0 Lagrange polynomials basis that lead the more accurate
solutions in comparison with other available ones.
36
The method is not susceptible to the volumetric locking since the
kinematical conditions are automatically ensured by using Newton directions
updated every iteration.
The present approach allows us determinate simultaneously both upper
and lower bounds of the actual load value. It means that this approach can
provide an accurate and effective tool to estimate the limit load in terms of
solution accuracy and computational cost.
The results obtained in this study show a good agreement with the
reference solutions and compared very well with other available ones.
4.2 Further studies
Although the current study was concerned on the performance of the
present method for the computation of 2D, 3D and axisymmetric structures.
The method presented can be extended in many ways. The following tasks
may be recommended for future research.
Computational effect with adaptive local refinement for structures
subjected to complex loads.
Enhance computational effect with adaptive local refinement based on
T-splines.
Basic standard limit and shakedown analysis is investigated in this
research. Other special efiects such as hardening, geometric, temperature, etc.
will be taken into account in future.
37
REFERENCES
1. Koiter WT, General theorems for elastic plastic solids. In: Progress in Solid
Mechanics (edited by Sneddon I. N. and Hill R.), pp. 165-221, Nord-Holland,
Amsterdam, 1960.
2. Melan E, Theorie statisch unbestimmter Systeme aus ideal plastischem
Baustoff. Sitzber. Akad. Wiss. Wien IIa 145 (1936) 195-218.
3. Prager W, Hodge PGJr, Theory of perfectly plastic solids. Wiley, New
York, 1951.
4. Gaydon FA, McCrum AW. A theoretical investigation of the yield point
loading of a square plate with a central circular hole. Journal of Mechanics
and Physics Solids 1951; 2 156-169.
5. Krabbenhoft K, Lyamin AV, Hjiaj M, Sloan SW, A new discontinuous
upper bound limit analysis formulation. International Journal for Numerical
Methods in Engineering 2005; 63: 1069–1088.
6. Smith CC, Gilbert M, Application of Discontinuity Layout Optimization
to Plane Plasticity Problems. Proceedings of the Royal Society A:
Mathematical, Physical and Engineering Sciences 2007; 463: 2461–2484.
7. Gilbert M, Smith CC, Pritchard TJ, Masonry arch analysis using
discontinuity layout optimization, Proceedings of the Institution of Civil
Engineers - Engineering and Computational Mechanics 2010; 163 (3): 155-
166.
8. Casciaro R, Cascini L. A mixed formulation and mixed finite elements for
limit analysis. International Journal for Numerical Methods in Engineering
1982; 18: 211-243.
9. Belytschko T, Hodge PG. Plane stress limit analysis by finite element.
Journal of Engineering Mechanics Division 1970; 96: 931–944.
10. Belytschko T. Plane stress shakedown analysis by finite elements.
International Journal of Mechanic Sciences 1972; 14: 619–625.
11. Corradi L, Zavelani A. A linear programming approach to shakedown
analysis of structures. Computer Methods in Applied Mechanics and
Engineering 1974; 3: 37–53.
38
12. Nguyen DH, Palgen L. Shakedown analysis by displacement method and
equilibrium finite elements. Proceedings of SMIRT-5, Berlin; Paper L3/3,
1979.
13. Genna F. A nonlinear inequality, finite element approach to the direct
computation of shakedown load safety factors. International Journal of
Mechanics and Sciences 1988; 30: 769–789.
14. Zhang P, Lu MW, Hwang KC. A mathematical programming algorithm
for limit analysis. Acta Mechanics Sinica 1991; 7: 267–274.
15. Stein E, Zhang G. Shakedown with nonlinear strain-hardening including
structural computation using finite element method. International Journal of
Plasticity 1992; 8: 1–31.
16. Zhang G, Einspielen und dessen numerische Behandlung von
Flachentragwerken aus ideal plastischem bzw. Kinematisch
verfestingendemMaterial, Berich-nr. F92/i. Institut für Mechanik, University
Hannover, 1995.
17. Gross-Weege J. On the numerical assessment of the safety factor of elasto-
plastic structures under variable loading. International Journal of Mechanics
and Sciences 1997; 39: 417–433.
18. Yan AM, Contribution to the direct limit state analysis of plastified and
cracked structures. Dissertation, Université de Liège, Belgium, 1997.
19. Chen HF, Liu YH, Cen ZZ, Xu BY. On the solution of limit load and
reference stress of 3-D structures under multi-loading systems. Engineering
Structures 1999; 21: 530–537.
20. Carvelli V, Cen ZZ, Liu Y, Maier G. Shakedown analysis of defective
pressure vessels by a kinematic approaches. Archive of Applied Mechanics
1999; 69:751–764.
21. Huh H, Yang WH. A general algorithm for limit solutions of plane stress
problems. Journal of Solids and Structures 1991; 28: 727–738.
22. Zouain N, Herskovits J, Borges LA, Feijoo RA. An iterative algorithm
for limit analysis with nonlinear yield functions. Journal of Solids and
Structures 1993; 30: 1397–1417.
23. Heitzer M, Staat M. FEM-computation of load carrying capacity of highly
loaded passive components by direct methods. Nuclear Engineering and
Design 1999; 193(3): 349-358.
39
24. Andersen KD, Christiansen E, Conn AR, Overton ML. An efficient
primal-dual interior-point method for minimizing a sum of Euclidean norms,
SIAM Journal of Science Computation 2000; 22; 243-262.
25. Andersen ED, Roos C, Terlaky T. On implementing a primal-dual
interior-point method for conic quadratic programming. Math Program 2003;
95: 249–277.
26. D.K. Vu, Dual Limit and Shakedown analysis of structures. Dissertation,
Université de Liège, Belgium, 2001.
27. Vu DK, Yan AM, Nguyen DH, A primal-dual algorithm for shakedown
analysis of structure, Computer Methods in Applied Mechanics and
Engineering 2004; 193: 4663-4674.
28. Zhang T, Raad L. An eigen-mode method in kinematic shakedown
analysis. International Journal of Plasticity 2002; 18: 71–90.
29. Zouain Z, Borges L, Silveira JL. An algorithm for shakedown analysis
with nonlinear yield functions. Computer Methods in Applied Mechanics and
Engineering 2002; 191: 2463–2481.
30. Garcea G, Armentano G, Petrolo S, Casciaro R. Finite element shakedown
analysis of two-dimensional structures. International Journal for Numerical
Methods in Engineering 2005; 63: 1174–1202.
31. Canh V. Le, Nguyen-Xuan H, Nguyen-Dang H. Upper and lower bounds
limit analysis of plates using FEM and second-order cone programming.
Computers and Structures 2010; 88:65-73.
32. C.V. Le, H. Nguyen-Xuan, H. Askes, T. Rabczuk, T. Nguyen-Thoi.
Computation of limit load using edge-based smoothed finite element
method and second-order cone programming. International Journal of
Computational Methods 2013; 10: 21–42.
33. Le CV, Nguyen-Xuan H, Askes H, Bordas S, Rabczuk T, Nguyen-Vinh
H. A cell-based smoothed finite element method for kinematic limit analysis.
International Journal for Numerical Methods in Engineering 2010; 88(12):
1651 – 1674
34. Le CV, Gilbert M, Askes H. Limit analysis of plates using the EFG method
and second-order cone programming. International Journal for Numerical
Methods in Engineering 2009; 78: 1532–1552.
40
35. T.J.R. Hughes, J.A. Cottrell, Y. Bazilevs. Isogeometric analysis: CAD,
finite elements, NURBS, exact geometry and mesh refinement. Computer
Methods in Applied Mechanics and Engineering 2005; 194: 4135 – 4195.
36. J. Cottrell, T.J.R. Hughes, A. Reali. Studies of refinement and continuity
in isogemetric analysis. Computer Methods in Applied Mechanics and
Engineering 2007; 196: 4160 – 4183.
37. J.A. Cottrell, A. Reali, Y. Bazilevs, T.J.R. Hughes. Isogeometric analysis
of structural vibrations. Computer Methods in Applied Mechanics and
Engineering 2005; 195: 5257 – 5296.
38. T. Elguedj, Y. Bazilevs, V. Calo, T. Hughes. B-bar and F-bar projection
methods for nearly incompressible linear and non-linear elasticity and
plasticity using higher-order NURBS elements. Computer Methods in Applied
Mechanics and Engineering 2008; 197: 2732 – 2762.
39. J. Kiendl, K.U. Bletzinger, J. Linhard, R. Wuchner. Isogeometric shell
analysis with Kirchhoff–Love elements. Computer Methods in Applied
Mechanics and Engineering 2009; 198: 3902 – 3914.
40. H. Nguyen-Xuan, Loc V. Tran, Chien H. Thai, Canh V. Le. Plastic
collapse analysis of cracked structures using extended isogeometric elements
and second-order cone programming. Theoretical and Applied Fracture
Mechanics 2014; 72: 13 – 27.
41. Yan A. M. Contribution to the direct limit state analysis of plastified and
cracked structures. Dissertation, Université de Liège, Belgium, 1997.
42. Cocks A. C. F. and Leckie F. A, Deformation bounds for cyclically loaded
shell structures operating under creep condition. Journal of Applied
Mechanics, Transactions of the ASME 1988; 55: 509-516.
43. H. Nguyen-Xuan, T. Rabczuk, T. Nguyen-Thoi, T. N. Tran, N. Nguyen-
Thanh. Computation of limit and shakedown loads using a node-based
smoothed finite element method. Int J Num Methods Eng 2012;90:287 – 310.