ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐẶNG VĂN HIẾU

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP KẾT HỢPGIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ

Chuyên ngành: Toán ứng dụngMã số: 62460112

DỰ THẢO TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2016

Công trình được hoàn thành tại: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại

học Quốc gia Hà Nội

Người hướng dẫn khoa học:

GS. TSKH. Phạm Kỳ Anh

Phản biện 1: ............................................

Phản biện 2: ............................................

Phản biện 3: ............................................

Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng cấp Đại học Quốc gia chấm luận

án tiến sĩ họp tại.............................................. vào hồi giờ ngày tháng

năm

Có thể tìm thấy luận án tại:

- Thư viện Quốc gia Việt Nam

- Trung tâm thông tin - Thư viện, Đại học Quốc gia Hà Nội

MỞ ĐẦU

Nhiều bài toán trong khoa học và kĩ thuật như bài toán khôi phục ảnh, bài toán xử lý tín hiệu, bài toán

tối ưu, bài toán cân bằng v.v. dẫn tới giải bài toán chấp nhận lồi sau đây.

Bài toán 0.1 (CFP - Convex Feasibility Problem). Cho Ci, i = 1, . . . , N là các tập con lồi đóng khác rỗng của

không gian Hilbert H hoặc Banach X. Bài toán CFP được phát biểu như sau:

Tìm điểm x∗ sao cho x∗ ∈ C :=N⋂

i=1

Ci. (1)

Dạng đơn giản nhất của bài toán CFP là tìm điểm chung của các tập lồi cho trước (dạng hiển). Khi

đó, kĩ thuật phổ biến giải bài toán CFP là sử dụng phép chiếu lên các tập lồi. Một số phương pháp điển

hình như phương pháp chiếu lặp tuần tự (xoay vòng), phương pháp chiếu lặp đồng thời (song song)

hoặc phương pháp lặp khối. Tuy nhiên trong thực tế hầu hết các tập Ci được cho dưới dạng ẩn, tức

chúng là nghiệm của các bài toán nào đó. Một ví dụ điển hình trong xử lý ảnh, chúng ta cần khôi phục

hình ảnh ban đầu x từ các quan sát fi (chẳng hạn, hình chiếu hoặc các đại lượng vật lý khác liên quan

tới ảnh x). Điều này có thể đưa về giải một hệ phương trình toán tử có dạng Fi(x) = fi, i = 1, . . . , N, khi

đó Ci được cho dưới dạng ẩn là nghiệm của phương trình Fi(x) = fi.

Trong luận án này, chúng tôi nghiên cứu bài toán chấp nhận lồi dạng tổng quát (GCFP - Generalized

Convex Feasibility Problem). Bài toán GCFP được phát biểu như sau:

Bài toán 0.2 (GCFP - Generalized Convex Feasibility Problem). Cho N bài toán P1,P2, . . . ,PN trong không

gian Hilbert H hoặc Banach X và các tập Ci trong Bài toán CFP (1) cho dưới dạng ẩn là tập nghiệm của N bài

toán tương ứng Pi, i = 1, . . . , N. Bài toán GCFP cho N bài toán này là:

Tìm điểm x∗ là nghiệm chung của các bài toán P1,P2, . . . ,PN . (2)

Sau đây là một số dạng cơ bản của bài toán GCFP được nghiên cứu trong luận án này.

1. Giải hệ phương trình toán tử (SOE):

Ai(x) := Fi(x)− fi = 0, x ∈ X, i = 1, 2 . . . , N, (3)

trong đó Fi : X → Y là toán tử, fi ∈ Y và X, Y là các không gian Hilbert hoặc Banach. Khi đó, Pi là bài

toán giải phương trình toán tử Ai(x) := Fi(x)− fi = 0 và Ci là tập nghiệm tương ứng của nó.

2. Tìm điểm bất động chung của một họ toán tử (CFPP): Cho C là một tập con lồi đóng và khác rỗng

trong không gian Hilbert H hoặc Banach X và Si : C → C, i = 1, . . . , N là một họ hữu hạn các ánh xạ.

Bài toán CFPP cho họ ánh xạ Si, i = 1, . . . , N là tìm x∗ ∈ C sao cho:

x∗ ∈ F :=N⋂

i=1

F(Si). (4)

Bài toán CFPP là trường hợp riêng của bài toán GCFP với Pi là bài toán tìm điểm bất động của ánh xạ

Si và Ci = F(Si) là tập điểm bất động của Si.

3. Nghiệm chung của các bất đẳng thức biến phân (CSVIP): Cho Ai : C → X, i = 1, . . . , N là các toán

tử. Bài toán CSVIP cho họ các toán tử Ai, i = 1, . . . , N trên C là tìm x∗ ∈ C sao cho:

〈Ai(x∗), x − x∗〉 ≥ 0, ∀x ∈ C, i = 1, . . . , N. (5)

1

Bài toán CSVIP là một dạng bài toán GCFP với Ci = VI(Ai, C) là tập nghiệm của bất đẳng thức biến

phân cho toán tử Ai trên tập C.

4. Nghiệm chung của các bài toán cân bằng (CSEP): Cho fi : C × C → ℜ, i = 1, . . . , N là các song hàm.

Bài toán CSEP cho họ các song hàm fi, i = 1, . . . , N trên C là tìm x∗ ∈ C sao cho:

fi(x∗, y) ≥ 0, ∀y ∈ C, i = 1, . . . , N. (6)

Bài toán CSEP cũng là một dạng của bài toán GCFP với Ci = EP( fi, C) là tập nghiệm của bài toán cân

bằng cho song hàm fi trên tập C.

Ngoài các bài toán tìm nghiệm chung nêu trên, trong thực tế còn có nhiều bài toán dạng GCFP khác

như: Bài toán tìm nghiệm chung hỗn hợp (tức là tìm nghiệm chung của nhiều họ bài toán với nhau) hoặc

các bài toán tổng quát hơn, gọi là các bài toán tách, bao gồm bài toán chấp nhận tách, bài toán biến phân

tách và bài toán cân bằng tách.

Trong hai thập niên gần đây, các bài toán dạng GCFP (3)− (6) được quan tâm và nghiên cứu rộng

rãi bởi nhiều nhà toán học. Phần lớn các thuật toán giải chúng là tuần tự (xoay vòng). Ý tưởng chung là

sử dụng một thuật toán đã biết để xấp xỉ nghiệm tại mỗi bước cho một bài toán con và việc này được

lặp một cách luân phiên xoay vòng qua các bài toán thành phần của hệ ban đầu. Đối với hệ phương

trình toán tử SOE (3), nếu không đặt điều kiện gì thêm lên toán tử Fi thì bài toán giải hệ phương trình

Ai(x) := Fi(x)− fi = 0, i = 1, . . . , N là đặt không chỉnh theo nghĩa nó không có lời giải duy nhất với

mọi vế phải fi ∈ X (X∗) hoặc lời giải không phụ thuộc liên tục vào dữ liệu ban đầu (Fi, fi). Do tính không

ổn định của bài toán đặt không chỉnh nên ta cần chiến lược hiệu chỉnh bài toán. Ý tưởng của phương

pháp hiệu chỉnh là thay bài toán ban đầu bằng một họ các bài toán đặt chỉnh mà nghiệm của chúng hội

tụ về nghiệm của bài toán ban đầu khi tham số hiệu chỉnh dần tới 0. Hai phương pháp hiệu chỉnh phổ

biến được sử dụng cho các bài toán đặt không chỉnh là: Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov và Phương pháp

hiệu chỉnh Lavrentiev. Ngoài phương pháp hiệu chỉnh, các phương pháp chỉnh lặp cũng được sử dụng để

giải các bài toán đặt không chỉnh. Ý tưởng của các phương pháp chỉnh lặp là kết hợp các phép lặp đã

biết với kĩ thuật hiệu chỉnh. Một số phương pháp chỉnh lặp điển hình được kể đến như phương pháp

chỉnh lặp bậc không và bậc một, phương pháp chiếu-lặp hiệu chỉnh (iterative-projection regularization

method), phương pháp hàm phạt (penalty method), phương pháp giảm dư (residual method), phương

pháp tựa nghiệm (quasi-solution method).

Hệ phương trình SOE (3) có thể được thiết lập một cách tương đương với bài toán CFPP (4) cho họ

hữu hạn các ánh xạ Ti, i = 1, . . . , N với Ti = x − Ai(x). Hai phương pháp lặp phổ biến cho bài toán FPP

(Fixed Point Problem) được sử dụng trong luận án này là phương pháp lặp Mann và phương pháp lặp

Halpern. Dựa trên hai phương pháp cơ bản này, chúng ta có thể thiết kế các thuật toán khác nhau cho

bài toán CFPP (4), chẳng hạn, để giải bài toán CFPP (4) cho một họ các ánh xạ không giãn tương đối

Ti : C → C, i = 1, . . . , N trong không gian Banach, năm 2011, Liu sử dụng thuật toán lặp Halpern và đề

xuất phương pháp lai ghép tuần tự như sau: Chọn x0 ∈ C và

yn = J−1(αn Jx0 + (1 − αn)JTn(mod)Nxn),

Cn = v ∈ C : φ(v, yn) ≤ αnφ(v, x0) + (1 − αn)φ(v, xn) ,

Qn = v ∈ C : 〈Jx0 − Jxn, xn − v〉 ≥ 0 ,

xn+1 = ΠCn∩Qn x0, n ≥ 0,

(7)

2

trong đó J : X → X∗ là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc và ΠC là phép chiếu tổng quát lên tập C trong không

gian Banach X.

Bài toán bất đẳng thức biến phân (VIP - Variational Inequality Problem) là một trường hợp đặc biệt

của bài toán cân bằng (EP - Equilibrium Problem). Phương pháp chiếu đơn giản nhất cho bài toán VIP

là phương pháp chiếu đạo hàm (GM - Gradient Method), ở đó chỉ cần tìm một phép chiếu lên tập ràng

buộc. Tuy nhiên, sự hội tụ (hội tụ yếu) của phương pháp này đòi hỏi toán tử là đơn điệu mạnh (hoặc đơn

điệu mạnh ngược). Để vượt qua khó khăn đó, năm 1976, Korpelevich đã đề xuất phương pháp chiếu

đạo hàm tăng cường (EGM - Extragradient Method) khi nghiên cứu bài toán điểm yên ngựa. Phương

pháp EGM được thiết kế như sau:

yn = PC(xn − λn A(xn)),

xn+1 = PC(xn − λn A(yn)),(8)

trong đó A : H → H là một toán tử và PC là phép chiếu metric lên C. Sự hội tụ của phương pháp EGM

chỉ đòi hỏi tính liên tục Lipschitz và tính đơn điệu (hoặc giả đơn điệu) của toán tử A.

Phương pháp điểm gần kề (PPM) cho bài toán EP bao gồm việc giải một bài toán cân bằng hiệu

chỉnh (REP - Regularization Equilibrium Problem) trên mỗi bước lặp, nghĩa là, biết xn, xấp xỉ tiếp theo

xn+1 = Tf

r (xn), trong đó r > 0 là tham số và Tf

r là giải thức của song hàm f xác định bởi

Tf

r (x) =

u ∈ H : f (u, y) +

1

r〈y − u, u − x〉 ≥ 0, ∀y ∈ C

, x ∈ H. (9)

Nếu f đơn điệu thì giải thức Tf

r là đơn điệu mạnh, không giãn và đơn trị. Nếu f là song hàm thuộc lớp

đơn điệu tổng quát hơn, chẳng hạn, giả đơn điệu thì Tf

r , nói chung, là không đơn trị, không đơn điệu

mạnh. Do đó, phương pháp PPM không thể áp dụng trong trường hợp này. Năm 2008, Quoc và các cộng

sự đã mở rộng phương pháp EGM cho các bài toán EP. Phương pháp EGM cho bài toán EP bao gồm

việc giải hai bài toán tối ưu sau đây

yn = arg minλn f (xn, y) + 12 ||xn − y||2 : y ∈ C,

xn+1 = arg minλn f (yn, y) + 12 ||xn − y||2 : y ∈ C.

(10)

Ưu điểm của của phương pháp EGM là có thể sử dụng cho lớp các song hàm giả đơn điệu và hai bài

toán tối ưu trên mỗi bước lặp có thể được giải dễ dàng hơn phương pháp PPM trong nhiều trường hợp.

Trong những năm gần đây, cả hai phương pháp PPM và EGM được nghiên cứu sâu rộng bởi các nhà

toán học trong và ngoài nước cả về lý thuyết và thuật toán

Cùng với các bài toán tìm nghiệm chung, bài toán tìm nghiệm chung hỗn hợp cũng được quan tâm

và nghiên cứu. Trong nhiều lĩnh vực của toán học ứng dụng như bài toán tối ưu đa mục tiêu, bài toán

cân bằng Nash-Cournot trong kinh tế, hoặc bài toán tối ưu mà miền ràng buộc được biểu diễn dưới

dạng giao của một họ hữu hạn các tập điểm bất động dẫn tới bài toán tìm nghiệm chung của hai hay

nhiều hơn các bài toán EP, VIP hoặc FPP trong cùng một không gian hoặc hai không gian khác nhau

(qua một ánh xạ tuyến tính). Dựa trên các phương pháp đã biết cho từng bài toán thành phần, các tác

giả đã thiết kế chúng theo một trật tự nhất định và thu được thuật toán cho bài toán tìm nghiệm chung

hỗn hợp. Chẳng hạn, để tìm nghiệm chung của bài toán CSEP cho các song hàm fi, i = 1, . . . , M, bài

toán CSVIP cho các toán tử Aj, j = 1, . . . , N và bài toán CFPP cho các ánh xạ không giãn Sk, k = 1, 2, . . .

trong không gian Hilbert H, năm 2010, Saeidi đã sử dụng phương pháp điểm gần kề (PPM), phép chiếu

3

gradient, ánh xạ Wn và đề xuất phương pháp lai ghép xoay vòng sau đây:

un = TfM

rM,n. . . T

f1r1,n

xn, x1 ∈ H,

vn = PC(I − λN,nAN) . . . PC(I − λ1,nA1)un,

yn = (1 − αn)xn + αnWnvn,

Cn = v ∈ H : ‖v − yn‖ ≤ ‖v − xn‖ ,

Qn = v ∈ H : 〈x0 − xn, xn − v〉 ≥ 0 ,

xn+1 = PCn∩Qn x0, n ≥ 1,

(11)

trong đó Wn là ánh xạ không giãn được xây dựng một cách tuần tự qua các ánh xạ Si, i = 1, 2, . . ., PC

là phép chiếu metric lên tập C và Tf

r là giải thức của song hàm f (ánh xạ Combettes). Phương pháp lai

ghép (11) được chứng minh là hội tụ tới hình chiếu của điểm xuất phát x0 lên tập nghiệm của bài toán

ban đầu.

Luận án này nghiên cứu và đề xuất một số phương pháp kết hợp giải các bài toán dạng GCFP trong

không gian Hilbert và Banach. Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận án được chia

thành bốn chương. Kết quả chính tập chung trong các Chương 2, 3 và 4.

Bố cục của luận án

Mở đầu

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị.

Chương 2. Một số phương pháp giải hệ phương trình toán tử.

Chương 3. Nghiệm chung của bài toán EP, bài toán VIP và bài toán FPP.

Chương 4. Bài toán cân bằng tách.

Kết luận

Danh mục công trình khoa học của tác giả liên quan tới luận án.

Tài liệu tham khảo.

4

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

1.1 Hình học không gian Banach

Cho X là không gian Banach và X∗ là không gian đối ngẫu của X.

Định nghĩa 1.1. Không gian Banach X được gọi là

1) lồi chặt nếu mặt cầu đơn vị S(0, 1) = x ∈ X : ||x|| = 1 lồi chặt, tức là với mọi x, y ∈ S(0, 1), x 6= y

thì ||x + y|| < 2;

2) lồi đều nếu với mọi ǫ > 0, tồn tại δ = δ(ǫ) > 0 sao cho với mọi x, y ∈ X với ‖x‖ ≤ 1, ‖y‖ ≤

1, ‖x − y‖ = ǫ thì ‖x + y‖ ≤ 2(1 − δ).

3) trơn nếu giới hạn limt→0

‖x+ty‖−‖x‖t tồn tại với mọi x, y ∈ S(0, 1).

Mô-đun lồi của X được xác định bởi δX(ǫ) = inf

1 − ‖x−y‖2 : ‖x‖ = ‖y‖ = 1, ‖x − y‖ = ǫ

. Mô-đun

trơn của X xác định bởi ρX(τ) = sup

‖x+y‖+‖x−y‖2 − 1 : ‖x‖ = 1, ‖y‖ = τ

.

Định nghĩa 1.2. Không gian Banach X được gọi là trơn đều nếu limτ→0 hX(τ) := limτ→0ρX(τ)

τ = 0.

Cho C là tập con lồi đóng khác rỗng của không gian Hilbert thực H. Ánh xạ PC : H → C xác định

bởi PCx = arg min ‖y − x‖ : y ∈ C được gọi là phép chiếu (metric) từ H lên C. Ánh xạ J : X → 2X∗

xác định bởi

J(x) =

f ∈ X∗ : 〈 f , x〉 = ‖x‖2 = ‖ f‖2

được gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc. Giả sử C là tập con lồi đóng khác rỗng của không gian Banach

phản xạ, lồi chặt và trơn X. Phiếm hàm Lyapunov φ : X × X → R+ được xác định bởi φ(x, y) =

‖x‖2 − 2 〈x, Jy〉 + ‖y‖2 , ∀x, y ∈ X. Phép chiếu tổng quát ΠC : X → C được xác định bởi ΠC(x) =

arg miny∈C φ(x, y). Trong không gian Hilbert thì φ(x, y) = ||x − y||2 và ΠC = PC.

1.2 Phương trình toán tử trong không gian Banach

1.3 Phương trình toán tử accretive

Trong phần đầu tiên của Chương 2, chúng ta xem xét lớp toán tử sau đây.

5

Định nghĩa 1.3. Toán tử liên tục A : X → X được gọi là accretive ϕ-đều ngược ( hay đơn giản là

accretive đều ngược), nếu tồn tại một hàm ϕ : R+ × R

+∗ → R

+∗ liên tục, tăng chặt theo biến thứ hai và

ϕ(s, t) = 0 khi và chỉ khi t = 0 với mỗi s > 0 cố định, sao cho, với mọi R > 0 và x, y ∈ X, ‖x‖ , ‖y‖ ≤ R,

ta có

〈A(x)− A(y), J(x − y)〉 ≥ ϕ (R, ‖A(x)− A(y))‖) . (1.1)

Xét hệ phương trình toán tử

Ai(x) := Fi(x)− fi = 0, x ∈ X, i = 1, . . . , N, (1.2)

trong đó, fi ∈ X và Fi : D(Fi) ⊂ X → X (và do đó Ai) là các toán tử accretive đều ngược với hàm số ϕi

tương ứng. Tuy nhiên, không giảm tổng quát, chúng ta giả thiết các toán tử Fi là accretive đều ngược với

cùng một hàm số ϕ. Chúng ta đặt hai nhóm điều kiện sau đây lên không gian X, ánh xạ đối ngẫu chuẩn

tắc J, và các toán tử Ai (i = 1, 2 . . . , N).

Điều kiện (AJX)

A1. Ai, i = 1, 2, . . . , N, là các toán tử accretive ϕ-đều ngược với D(Ai) = X;

A2. Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J liên tục và liên tục yếu theo dãy;

A3. X là không gian Banach trơn, phản xạ và có tính chất xấp xỉ.

Điều kiện (AX)

B1. Ai, i = 1, 2, . . . , N, là các toán tử m-accretive và ϕ-đều ngược với D(Ai) = X;

B2. X là không gian Banach trơn đều và lồi đều.

1.4 Bài toán tìm điểm bất động

Nhiều bài toán trong các lĩnh vực của toán học như tối ưu, bất đẳng thức biến phân và phương trình vi

phân có thể đưa về dạng

x = T(x), (1.3)

trong đó T là toán tử phi tuyến xác định trong không gian metric. Tập nghiệm của phương trình này

được gọi là tập điểm bất động của T và kí hiệu bởi F(T).

Định nghĩa 1.4. Cho C là tập lồi đóng và khác rỗng trong không gian Hilbert thực H. Ánh xạ T : C → C

được gọi là ánh xạ không giãn nếu ||T(x)− T(y)|| ≤ ||x − y|| với mọi x, y ∈ C.

Cho C là tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian Banach X phản xạ, lồi chặt và trơn , T : C → C

là một ánh xạ với F(T) là tập các điểm bất động của nó. Điểm p ∈ C được gọi là điểm bất động tiệm cận

của T nếu tồn tại một dãy xn ⊂ C sao cho xn p và ‖xn − Txn‖ → 0 khi n → +∞. Tập các điểm bất

động tiệm cận của T kí hiệu bởi F(T). Trong chương 2, chúng ta nghiên cứu lớp ánh xạ sau đây.

Định nghĩa 1.5. Ánh xạ T : C → C được gọi là

1) không giãn tương đối nếu F(T) 6= Ø, F(T) = F(T) và

φ(p, Tx) ≤ φ(p, x), ∀p ∈ F(T), ∀x ∈ C;

6

2) tựa φ - không giãn nếu F(T) 6= Ø và

φ(p, Tx) ≤ φ(p, x), ∀p ∈ F(T), ∀x ∈ C;

3) tựa φ-không giãn tiệm cận nếu F(T) 6= Ø và tồn tại dãy kn ⊂ [1,+∞) với kn → 1 khi n → +∞

sao cho

φ(p, Tnx) ≤ knφ(p, x), ∀n ≥ 1, ∀p ∈ F(T), ∀x ∈ C;

4) liên tục Lipschitz đều nếu tồn tại hằng số L > 0 sao cho

‖Tnx − Tny‖ ≤ L ‖x − y‖ , ∀n ≥ 1, ∀x, y ∈ C.

1.5 Bất đẳng thức biến phân và bài toán cân bằng

Cho C là một tập con lồi đóng và khác rỗng trong không gian Banach X và A : C → X∗ là toán tử phi

tuyến. Bài toán bất đẳng thức biến phân (VIP) đối với toán tử A trên C là tìm x∗ ∈ C sao cho

〈A(x∗), x − x∗〉 ≥ 0, ∀x ∈ C. (1.4)

Tập nghiệm của bài toán VIP (1.4) được kí hiệu bởi VI(A, C). Chú ý rằng p∗ ∈ VI(A, C) khi và chỉ khi

p∗ = PC(p∗ − λAp∗), λ > 0. (1.5)

Giả sử f là một song hàm từ C × C vào tập hợp các số thực R. Bài toán cân bằng (EP) cho f trên C là tìm

phần tử x∗ ∈ C sao cho

f (x∗, y) ≥ 0, ∀y ∈ C. (1.6)

Tập nghiệm của bài toán cân bằng EP (1.6) được kí hiệu bởi EP( f , C) hoặc đơn giản hơn EP( f ). Để giải

bài toán (1.6) trong không gian Banach X, chúng ta giả thiết song hàm f thỏa mãn các điều kiện sau

đây:

(A1) f (x, x) = 0 với mọi x ∈ C;

(A2) f đơn điệu, tức là f (x, y) + f (y, x) ≤ 0 với mọi x, y ∈ C;

(A3) Với mọi x, y, z ∈ C,

limt→0+

sup f (tz + (1 − t)x, y) ≤ f (x, y);

(A4) Với mọi x ∈ C, f (x, .) là hàm lồi và nửa liên tục dưới.

Bổ đề 1.1. Cho C là tập con lồi đóng và khác rỗng trong không gian Banach phản xạ, lồi chặt và trơn, song hàm

f từ C × C tới ℜ thỏa mãn các điều kiện (A1)-(A4) và cho trước r > 0, x ∈ X. Khi đó tồn tại z ∈ C sao cho

f (z, y) +1

r〈y − z, Jz − Jx〉 ≥ 0, ∀y ∈ C.

Bổ đề 1.2. Cho C là tập con lồi đóng và khác rỗng trong không gian Banach phản xạ, lồi chặt và trơn, song hàm

f từ C × C tới ℜ thỏa mãn các điều kiện (A1)-(A4). Với mọi r > 0, x ∈ X, ta xác định giải thức của f (ánh xạ

Combettes) bởi

Trx = z ∈ C : f (z, y) +1

r〈y − z, Jz − Jx〉 ≥ 0, ∀y ∈ C.

7

Khi đó

(B1) Tr đơn trị;

(B2) Tr là không giãn vững (firmly nonexpansive), tức là với mọi x, y ∈ X,

〈Trx − Try, JTrx − JTry〉 ≤ 〈Trx − Try, Jx − Jy〉;

(B3) F(Tr) = F(Tr) = EP( f );

(B4) EP( f ) lồi đóng và Tr là ánh xạ không giãn tương đối.

Trong chương 3, khi X là không gian Hilbert thực H, xét bài toán EP giả đơn điệu. Khi đó, chúng ta

giả thiết song hàm f thỏa mãn các điều kiện sau đây:

(A1). f (x, x) = 0 với mọi x ∈ C và f giả đơn điệu, tức là với mọi x, y ∈ C,

f (x, y) ≥ 0 ⇒ f (y, x) ≤ 0;

(A2). f liên tục kiểu Lipschitz, tức là tồn tại hai hằng số dương c1, c2 sao cho

f (x, y) + f (y, z) ≥ f (x, z)− c1||x − y||2 − c2||y − z||2, ∀x, y, z ∈ C;

(A3). f (., y) nửa liên tục trên yếu theo dãy trên C với mỗi y ∈ C, tức là,

lim supn→∞

f (xn, y) ≤ f (x, y)

với mỗi dãy xn ⊂ C và xn x;

(A4). f (x, .) lồi và khả dưới vi phân trên C với mỗi x ∈ C cố định.

1.6 Mối liên hệ giữa các bài toán EP, VIP, FPP và giải phươngtrình toán tử

1.7 Một số bất đẳng thức sử dụng trong luận án

Trong mục này, chúng tôi trình bày một số bất đẳng thức sơ cấp được sử dụng để chứng minh sự hội tụ

của các phương pháp đề xuất trong các Chương 2 và 3.

Bổ đề 1.3. Giả sử λn và pn là các dãy số không âm và bn là dãy số dương thỏa mãn bất đẳng thức

λn+1 ≤ (1 − pn) λn + bn, ∀n ≥ 0,

trong đó pn ∈ (0; 1) , bnpn

→ 0 (n → +∞) và ∑∞i=1 pn = +∞. Khi đó λn → 0 (n → +∞).

Bổ đề 1.4. Cho các dãy số thực không âm αn, βn, γn và hai số thực a, b sao cho

αn ≤ βn + bγn − aγn+1, ∀n ≥ 0.

Nếu ∑∞n=0 βn < +∞ và a > b ≥ 0 thì limn→∞ αn = 0.

8

Chương 2

Một số phương pháp giải hệ phương trình toán tử

Trong chương này, chúng ta nghiên cứu và đề xuất các phương pháp tuần tự và song song giải hệ

phương trình toán tử trong không gian Banach thực X.

Ai(x) = 0, x ∈ X, i = 1, 2, . . . , N, (2.1)

trong đó Ai : X → X là các toán tử đã cho.

2.1 Hệ phương trình với các toán tử accretive đều ngược

Trong phần này, chúng ta xét hệ (2.1) với các toán tử accretive ϕ - đều ngược Ai. Chúng ta xem xét

phương pháp chỉnh lặp song song ẩn (Implicit Parallel Iterative Regularization Method - IPIRM) được

xác định như sau:

• Giải đồng thời N phương trình hiệu chỉnh

Ai(xin) + (

αn

N+ γn)xi

n = γnxn, i = 1, 2, . . . , N, (2.2)

trong đó αn và γn tương ứng là các tham số hiệu chỉnh và tham số song song.

• Xác định xấp xỉ tiếp theo là trung bình cộng của các nghiệm hiệu chỉnh thành phần xin

xn+1 =1

N

N

∑i=1

xin, n = 0, 1, . . . , x0 ∈ X. (2.3)

Định lý 2.1. Giả sử điều kiện AJX hoặc AX thỏa mãn. Cho αn và γn là hai dãy số thực dương sao cho

(i) αn → 0, γn → +∞ khi n → +∞.

(ii) γn|αn+1−αn|

α2n

→ 0 khi n → +∞, ∑∞n=1

αnγn

= +∞.

(iii) hX(τn)ϕ−1R (R1αn)

αn→ 0 khi n → +∞, trong đó R ≥ 2||x∗||, R1 := 3R2

2 và τn = γ−1n .

Hơn nữa, hàm ϕ(s,t)t bức theo biến t khi cố định s > 0, tức là ϕ(s,t)

t → +∞ khi t → +∞. Khi đó, dãy xn sinh

bởi (2.2) và (2.3) hội tụ mạnh tới x∗.

Bây giờ, chúng ta xét trường hợp dữ liệu có nhiễu. Giả sử rằng Ai(x) := Fi(x)− fi, trong đó các toán

tử Fi(x), i = 1, . . . , N, là accretive đều ngược. Thay vì bộ dữ liệu chính xác (Fi, fi), chúng ta chỉ biết bộ

9

dữ liệu có nhiễu (Fn,i, fn,i), trong đó các toán tử Fn,i : D(Fn,i) = X → X là accretive với mọi n ≥ 1 và

i = 1, . . . , N. Hơn nữa, giả sử rằng

‖Fn,i(x)− Fi(x)‖ ≤ hng(‖x‖), (2.4)

‖ fn,i − fi‖ ≤ δn, i = 1, . . . , N, (2.5)

trong đó, g(t) là hàm không âm, không giảm và liên tục, hn > 0, δn > 0 với mọi n > 0. Xuất phát từ

z0 ∈ X bất kì, dãy zn sinh bởi phương pháp IPIRM sau đây:

An,i(zin) + (

αn

N+ γn)z

in = γnzn, i = 1, 2, . . . , N, (2.6)

zn+1 =1

N

N

∑i=1

zin, n = 0, 1, . . . , (2.7)

trong đó An,i(x) := Fn,i(x)− fn,i, i = 1, 2, . . . , N. Ta có kết quả sau đây.

Định lý 2.2. Giả sử các điều kiện của Định lý 2.1 và (2.4), (2.5) được thỏa mãn. Nếu hn+δnαn

→ 0 khi n → +∞,

thì dãy zn sinh bởi (2.6) , (2.7) hội tụ mạnh tới x∗ khi n → +∞.

Tiếp theo chúng ta nghiên cứu phương pháp chỉnh lặp song song hiện (Explicit Parallel Iterative

Regularization Method - EPIRM) giải hệ phương trình (2.1). Phương pháp được mô tả như sau: Chọn

z0 ∈ X và

• Tìm đồng thời các xấp xỉ trung gian zni, i = 1, 2, . . . , N,

zni = zn −1

γn

Ai (zn) +

αn

Nzn

= zn − τn

Ai (zn) +

αn

Nzn

. (2.8)

• Xác định xấp xỉ tiếp theo zn+1 là trung bình cộng của các xấp xỉ trung gian zni

zn+1 =1

N

N

∑i=1

zni, n = 1, 2, . . . . (2.9)

Định lý 2.3. Giả sử điều kiện AX thỏa mãn và hàm ϕ(s,t)t bức theo biến t với s > 0 cố định. Hơn nữa, các dãy số

αn → 0, τn := 1/γn → 0 khi n → +∞ sao cho

∞

∑i=1

αnτn = +∞,τn

αn→ 0,

|αn − αn+1|

τnα2n

→ 0,ρX (τn)

τnαn→ 0. (2.10)

Khi đó, dãy zn xác định bởi (2.8) và (2.9) hội tụ mạnh tới x∗ khi n → ∞.

2.2 Điểm bất động chung của một họ các ánh xạ

Trong phần này, chúng ta nghiên cứu các phương pháp lai ghép song song và tuần tự tìm điểm bất động

chung của một họ hữu hạn các ánh xạ tựa φ-không giãn tiệm cận trong không gian Banach trơn đều và

lồi đều E, tức là tìm phần tử x ∈ C sao cho

Ai(x) = x − Ti(x) = 0, i = 1, 2, . . . , N, (2.11)

trong đó C là tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Banach E và Ti : C → C là ánh xạ tựa φ - không

giãn (tiệm cận).

10

2.2.1 Các phương pháp lai ghép song songGiả sử rằng các toán tử Ti, i = 1, 2, . . . , N là tựa φ-không giãn tiệm cận với các dãy

ki

n

⊂ [1,+∞), ki

n →

1, tức là F(Ti) 6= Ø và

φ(p, Tni x) ≤ ki

nφ(p, x), ∀n ≥ 1, ∀p ∈ F(Ti), ∀x ∈ C.

Khi đó, đặt kn := maxkin : i = 1, . . . , N, ta có kn ⊂ [1,+∞), kn → 1, và

φ(p, Tni x) ≤ knφ(p, x), ∀i = 1, . . . , N, ∀n ≥ 1, ∀p ∈ F, ∀x ∈ C.

Ta giả thiết tập F =⋂N

i=1 F(Ti) khác rỗng và trong trường hợp Ti là tựa φ-không giãn tiệm cận, chúng ta

giả thiết thêm F là bị chặn, tức là tồn tại một số dương ω sao cho F ⊂ Ω := u ∈ C : ||u|| ≤ ω.

Định lý 2.4. Cho E là không gian Banach trơn đều, lồi đều và C là tập con lồi đóng khác rỗng của E. Giả sử

TiNi=1 : C → C là một họ hữu hạn các ánh xạ tựa φ-không giãn tiệm cận với dãy kn ⊂ [1,+∞), kn → 1.

Hơn nữa, giả sử với mỗi i ≥ 1, ánh xạ Ti là Li - liên tục Lipschitz đều và tập F =⋂N

i=1 F(Ti) khác rỗng và bị

chặn trong C. Dãy xn xác định bởi

x0 ∈ C0 := C,

yin = J−1

(αn Jxn + (1 − αn)JTn

i xn

), i = 1, 2, . . . , N,

in = arg max1≤i≤N

∥∥yin − xn

∥∥ , yn := yinn ,

Cn+1 := v ∈ Cn : φ(v, yn) ≤ φ(v, xn) + ǫn ,

xn+1 = ΠCn+1x0, n ≥ 0,

trong đó ǫn := (kn − 1)(ω + ||xn||)2 và αn là dãy trong đoạn [0, 1] sao cho limn→∞

αn = 0. Khi đó, dãy xn

hội tụ mạnh tới x† := ΠFx0.

Trong Định lý tiếp theo, chúng ta thiết lập kết quả tương tự cho một họ các ánh xạ tựa φ - không giãn

TiNi=1. Đối với lớp ánh xạ này, chúng ta không cần các giả thiết về tính liên tục Lipschitz đều và tính bị

chặn của tập F = ∩Ni=1F(Ti).

Định lý 2.5. Cho E là không gian Banach thực trơn đều, lồi đều và C là tập con lồi đóng khác rỗng của E. Giả sử

TiNi=1 : C → C là một họ hữu hạn các ánh xạ tựa φ - không giãn và đóng. Giả sử rằng tập F = ∩N

i=1F(Ti) 6= Ø.

Dãy xn xác định bởi

x0 ∈ C0 := C,

yin = J−1 (αn Jxn + (1 − αn)JTixn) , i = 1, 2, . . . , N,

in = arg max1≤i≤N

∥∥yin − xn

∥∥ , yn := yinn ,

Cn+1 := v ∈ Cn : φ(v, yn) ≤ φ(v, xn) ,

xn+1 = ΠCn+1x0, n ≥ 0,

trong đó αn ⊂ [0, 1] sao cho limn→∞

αn = 0. Khi đó, dãy xn hội tụ mạnh tới x† := ΠFx0.

2.2.2 Các phương pháp lai ghép tuần tựTrong phần này, chúng ta nghiên cứu các phương pháp lai ghép tuần tự tìm điểm bất động chung của

một họ các ánh xạ tựa φ - không giãn tiệm cận.

11

Định lý 2.6. Cho C là tập con lồi đóng khác rỗng của không gian Banach thực, trơn đều, lồi đều và TiNi=1 :

C → C là một họ hữu hạn các ánh xạ tựa φ - không giãn tiệm cận với dãy kn ⊂ [1,+∞), kn → 1. Giả sử

TiNi=1 liên tục Lipschitz đều với hằng số L > 0 và tập F =

⋂Ni=1 F(Ti) khác rỗng và bị chặn, tức là, tồn tại số

ω > 0 sao cho F ⊂ Ω := u ∈ C : ||u|| ≤ ω. Dãy xn xác định bởi

x1 ∈ C1 = Q1 := C,

yn = J−1(

αn Jx1 + (1 − αn)JTpn

jnxn

),

Cn = v ∈ C : φ(v, yn) ≤ αnφ(v, x1) + (1 − αn)φ(v, xn) + ǫn ,

Qn = v ∈ Qn−1 : 〈Jx1 − Jxn; xn − v〉 ≥ 0 ,

xn+1 = ΠCn⋂

Qn x1, n ≥ 1,

trong đó n = (pn − 1)N + jn, jn ∈ 1, 2, . . . , N, pn ∈ 1, 2, . . ., ǫn = (kpn − 1)(ω + ||xn||)2 và αn là dãy

nằm trong đoạn [0, 1] sao cho limn→∞

αn = 0. Khi đó, dãy xn hội tụ mạnh tới x† := ΠFx1.

Đối với họ hữu hạn các ánh xạ đóng và tựa φ - không giãn, ta không cần giả thiết về tính bị chặn của

tập F =⋂N

i=1 F(Ti). Ta có kết quả sau.

Định lý 2.7. Cho C là tập con lồi đóng khác rỗng của không gian Banach thực trơn đều, lồi đều và TiNi=1 :

C → C là một họ hữu hạn các ánh xạ tựa φ - không giãn và đóng. Giả sử TiNi=1 là các ánh xạ liên tục Lipschitz

và F =⋂N

i=1 F(Ti) 6= Ø. Dãy xn xác định bởi

x1 ∈ C1 = Q1 := C,

yn = J−1(αn Jx1 + (1 − αn)JTjn xn

),

Cn = v ∈ C : φ(v, yn) ≤ αnφ(v, x1) + (1 − αn)φ(v, xn) ,

Qn = v ∈ Qn−1 : 〈Jx1 − Jxn; xn − v〉 ≥ 0 ,

xn+1 = ΠCn⋂

Qn x1, n ≥ 1,

trong đó n = (pn − 1)N + jn, jn ∈ 1, 2, . . . , N và αn nằm trong đoạn [0, 1] sao cho limn→∞

αn = 0. Khi đó,

dãy xn hội tụ mạnh tới x† := ΠFx1.

2.3 Thử nghiệm số

Kết luận chương

Trong chương này, chúng tôi đã trình bày phương pháp chỉnh lặp song song ẩn và phương pháp chỉnh

lặp song song hiển giải hệ phương trình toán tử accretive trong không gian Banach. Ngoài ra, chúng tôi

cũng trình bày các phương pháp lai ghép tuần tự và song song tìm điểm bất động chung của một họ

hữu hạn các ánh xạ tựa φ - không giãn (tiệm cận).

12

Chương 3

Nghiệm chung của bài toán cân bằng, bài toán bất đẳng thứcbiến phân và bài toán điểm bất động

Trong chương này, chúng tôi trình bày các phương pháp lai ghép tìm nghiệm (nghiệm chung) của bài

toán EP, bài toán VIP và bài toán FPP. Hai phương pháp phổ biến giải bài toán cân bằng và bất đẳng

thức biến phân là phương pháp PPM và phương pháp chiếu.

3.1 Phương pháp điểm gần kề

3.1.1 Phương pháp lai ghép trong không gian BanachCho E là không gian Banach trơn đều và 2 - lồi đều và C là một tập con lồi đóng khác rỗng của E,

fk : C × C → ℜ, k = 1, . . . , K là các song hàm cân bằng, Ai : C → E∗, i = 1, . . . , M là các toán tử và

Sj : C → C, j = 1, . . . , N là các ánh xạ tựa φ - không giãn (tiệm cận). Bài toán được phát biểu như sau:

Tìm một điểm x∗ ∈ F, trong đó

F =(∩M

i=1VI(Ai, C))⋂ (

∩Nj=1F(Sj)

)⋂ (∩K

k=1EP( fk))

.

Chúng tôi giả thiết tập F khác rỗng và mỗi toán tử Ai thỏa mãn các điều kiện sau.

(V1) Ai là α - đơn điệu mạnh ngược.

(V2) VI(Ai, C) 6= ∅.

(V3) ||Aiy|| ≤ ||Aiy − Aiu|| với mọi y ∈ C và u ∈ VI(Ai, C).

Phương pháp A.

x0 ∈ C chọn bất kỳ,

yin = ΠC

(J−1(Jxn − λn Aixn)

), i = 1, 2, . . . M,

in = arg max||yi

n − xn|| : i = 1, . . . , M

, yn = yinn ,

zjn = J−1

(αn Jxn + (1 − αn)JSn

j yn

), j = 1, . . . , N,

jn = arg max||z

jn − xn|| : j = 1, . . . , N

, zn = z

jnn ,

ukn = Tk

rnzn, k = 1, . . . , K,

kn = arg max||uk

n − xn|| : k = 1, 2, . . . K

, un = uknn ,

Cn+1 = z ∈ Cn : φ(z, un) ≤ φ(z, zn) ≤ φ(z, xn) + ǫn ,

xn+1 = ΠCn+1x0, n ≥ 0.

(3.1)

13

Các dãy tham số điều khiển λn , αn , rn thỏa mãn các điều kiện

0 ≤ αn ≤ 1, lim supn→∞

αn < 1, λn ∈ [a, b], rn ≥ d, (3.2)

với a, b ∈ (0, αc2/2), d > 0 và 1/c là hằng số 2 - lồi đều của không gian E. Dãy ǫn được xác định trong

hai trường hợp. Nếu các ánh xạ Si là tựa φ - không giãn tiệm cận, chúng ta giả thiết tập F bị chặn, tức

là tồn tại số dương ω sao cho F ⊂ Ω := u ∈ C : ||u|| ≤ ω và đặt ǫn := (kn − 1)(ω + ||xn||)2. Nếu Si

là tựa φ - không giãn, khi đó kn = 1 và ta đặt ǫn = 0.

Định lý 3.1. Giả sử các toán tử AiMi=1 thỏa mãn các điều kiện (V1)-(V3); các song hàm fk

Kk=1 thỏa mãn

các điều kiện (A1)-(A4) và

Sj

N

j=1là các ánh xạ L-liên tục Lipschitz đều và tựa φ-không giãn tiệm cận với dãy

kn ⊂ [1,+∞), kn → 1. Hơn nữa, tập nghiệm F khác rỗng và bị chặn, nghĩa là, tồn tại số thực dương ω sao cho

F ⊂ Ω := u ∈ C : ||u|| ≤ ω. Khi đó, nếu các tham số điều khiển αn , λn , rn thỏa mãn điều kiện (3.2)

thì dãy xn xác định bởi (3.1) hội tụ mạnh tới ΠFx0.

Tiếp theo, chúng tôi trình bày một phương pháp lai ghép song song khác. Ý tưởng của phương pháp

này tương tự phương pháp A. Tuy nhiên, tập Cn+1 đơn giản hơn.

Phương pháp B.

x0 ∈ C chọn bất kì,

yin = ΠC

(J−1(Jxn − λn Aixn)

), i = 1, . . . , M,

in = arg max||yi

n − xn|| : i = 1, . . . , M

, yn = yinn ,

zn = J−1(

αn,0 Jxn + ∑Nj=1 αn,j JSn

j yn

),

ukn = Tk

rnzn, k = 1, . . . , K,

kn = arg max||uk

n − xn|| : k = 1, . . . , K

, un = uinn ,

Cn+1 = z ∈ Cn : φ(z, un) ≤ φ(z, xn) + ǫn ,

xn+1 = ΠCn+1x0, n ≥ 0,

(3.3)

trong đó các dãy tham số điều khiển λn ,

αn,j

, rn thỏa mãn các điều kiện

0 ≤ αn,j ≤ 1,N

∑j=0

αn,j = 1, limn→∞

inf αn,0αn,j > 0, λn ∈ [a, b], rn ≥ d. (3.4)

Định lý 3.2. Kết luận của Định lý 3.1 vẫn đúng cho Phương pháp B.

Tiếp theo, chúng tôi trình bày hai phương pháp lai ghép song song cho các bài toán VIP, các bài toán

EP và các bài toán FPP cho các ánh xạ tựa φ - không giãn. Điều đặc biệt là ta không cần giả thiết về tính

bị chặn của tập F và tính liên tục Lipschitz đều của Si.

Định lý 3.3. Giả sử AiMi=1 , fk

Kk=1 , αn , rn và λn thỏa mãn các điều kiện của Định lý 3.1 và

Sj

N

j=1

là họ hữu hạn các ánh xạ đóng và tựa φ - không giãn. Hơn nữa, giả sử tập F khác rỗng. Khi đó, dãy xn xác định

14

bởi: x0 ∈ C và

yin = ΠC

(J−1(Jxn − λn Aixn)

), i = 1, 2, . . . M,

in = arg max||yi

n − xn|| : i = 1, 2, . . . M.

, yn = yinn ,

zjn = J−1

(αn Jxn + (1 − αn)JSjyn

), j = 1, 2, . . . N,

jn = arg max||z

jn − xn|| : j = 1, 2, . . . N

, zn = z

jnn ,

ukn = Tk

rnzn, k = 1, 2, . . . K,

kn = arg max||uk

n − xn|| : k = 1, 2, . . . K

, un = uknn ,

Cn+1 = z ∈ Cn : φ(z, un) ≤ φ(z, zn) ≤ φ(z, xn) ,

xn+1 = ΠCn+1x0, n ≥ 0,

(3.5)

hội tụ mạnh tới ΠFx0.

Định lý 3.4. Giả sử các điều kiện của Định lý 3.3 thỏa mãn. Khi đó, dãy xn xác định bởi: x0 ∈ C và

yin = ΠC

(J−1(Jxn − λn Aixn)

), i = 1, 2, . . . M,

in = arg max||yi

n − xn|| : i = 1, 2, . . . M.

, yn = yinn ,

zn = J−1(

αn,0 Jxn + ∑Nj=1 αn,j JSjyn

),

ukn = Tk

rnzn, k = 1, 2, . . . K,

kn = arg max||uk

n − xn|| : k = 1, 2, . . . K

, un = uknn ,

Cn+1 = z ∈ Cn : φ(z, un) ≤ φ(z, xn) ,

xn+1 = ΠCn+1x0, n ≥ 0,

(3.6)

hội tụ mạnh tới ΠFx0.

3.1.2 Phương pháp lai ghép trong không gian HilbertCác kết quả đã trình bày trong Mục 3.1.1 có thể được sử dụng để tìm nghiệm chung cho các bài toán EP,

VIP và FPP trong không gian Hilbert. Tuy nhiên, sự hội tụ của các phương pháp này yêu cầu các toán tử

Ai thỏa mãn điều kiện (V3) : ||Ai(y)|| ≤ ||Ai(y)− Ai(u)|| với mọi y ∈ C và u ∈ VI(Ai, C). Giả thiết này

rất khó kiểm tra trong thực tế vì tập nghiệm VI(Ai, C) chưa biết. Để khắc phục điều này, chúng tôi đề

xuất một phương pháp lặp trong không gian Hilbert H mà không cần giả thiết (V3). Thuật toán được

thiết kế như sau: Chọn x0 ∈ H, C0 = Q0 = H và

zln = T

f lrn xn, l = 1, . . . , K,

ln := arg max∥∥∥zl

n − xn

∥∥∥ : l = 1, . . . , K

, zn := zlnn ,

ukn = PC(zn − λAk zn), k = 1, . . . , M,

kn := arg max∥∥∥uk

n − xn

∥∥∥ : k = 1, . . . , M

, un := uknn ,

yin = αnun + (1 − αn)Siun, i = 1, . . . , N,

in := arg max∥∥yi

n − xn

∥∥ : i = 1, . . . , N

, yn := yinn ,

Cn = v ∈ H : ‖v − yn‖ ≤ ‖v − zn‖ ≤ ‖v − xn‖ ,

Qn = v ∈ H : 〈x0 − xn, xn − v〉 ≥ 0 ,

xn+1 = PCn∩Qn x0, n ≥ 1,

(3.7)

trong đó λ và các dãy tham số điều khiển rn , αn thỏa mãn các điều kiện nêu trong Định lý dưới đây.

15

Định lý 3.5. Giả sử AkMk=1 : C → H là họ hữu hạn các toán tử α - đơn điệu mạnh ngược, Si

Ni=1 : C → C là

họ hữu hạn các ánh xạ không giãn và flKl=1 là họ hữu hạn các song hàm từ C × C vào tập số thực R thỏa mãn

các điều kiện (A1)− (A4). Hơn nữa, tập nghiệm F khác rỗng, λ ∈ (0; 2α) và dãy các tham số điều khiển αn

và rn thỏa mãn các điều kiện:

(i) αn ⊂ (0, 1), lim supn→∞ αn < 1;

(ii) rn ⊂ [d, ∞) với d > 0 nào đó.

Khi đó, dãy xn sinh bởi thuật toán (3.7) hội tụ mạnh tới PFx0.

3.2 Các phương pháp chiếu

Trong mục này chúng tôi trình bày hai phương pháp chiếu tìm nghiệm (nghiệm chung) của bài toán EP

và FPP. Hai phương pháp được đề cập trong mục này là: Phương pháp chiếu đạo hàm tăng cường (EGM

- Extragradient Method) và phương pháp chiếu kiểu đạo hàm (GLM - Gradient-like Method).

3.2.1 Phương pháp chiếu EGMGiải sử C là một tập con lồi đóng khác rỗng của không gian Hilbert thực H; fi

Ni=1 : C × C → ℜ là một

họ các song hàm thỏa mãn điều kiện (A1)− (A4) và

Sj

M

j=1: C → C là một họ các ánh xạ không giãn.

Trong mục này, chúng tôi trình bày thuật toán lai ghép song song tìm nghiệm chung của các bài toán

EP và các bài toán FPP. Giả thiết tập nghiệm F =(∩N

i=1EP( fi))⋂ (

∩Mj=1F(Sj)

)khác rỗng và các song

hàm fi, i = 1, . . . , N thỏa mãn điều kiện liên tục kiểu Lipschitz (Lipschitz-type continuous) với cùng

cặp hằng số c1 và c2.

Thuật toán 3.1. (Phương pháp lai ghép EGM song song)

Khởi tạo. Chọn x0 ∈ C, 0 < ρ < min(

12c1

, 12c2

), n := 0 và dãy αk ⊂ (0, 1) thỏa mãn điều kiện

lim supk→∞ αk < 1.

Bước 1. Giải N bài toán lồi mạnh

yin = argminρ fi(xn, y) +

1

2||xn − y||2 : y ∈ C, i = 1, . . . , N.

Bước 2. Giải N bài toán lồi mạnh

zin = argminρ fi(y

in, y) +

1

2||xn − y||2 : y ∈ C, i = 1, . . . , N.

Bước 3. Tìm trong các zin, i = 1, . . . , N, xấp xỉ xa xn nhất, tức là

in = argmax||zin − xn|| : i = 1, . . . , N, zn := zin

n .

Bước 4. Tính các xấp xỉ trung gian ujn

ujn = αnxn + (1 − αn)Sjzn, j = 1, . . . , M.

Bước 5. Tìm trong các ujn, j = 1, . . . , M, xấp xỉ xa xn nhất, tức là

jn = argmax||ujn − xn|| : j = 1, . . . , M, un := u

jnn .

16

Bước 6. Xây dựng hai tập con lồi đóng của C

Cn = v ∈ C : ||un − v|| ≤ ||xn − v||,

Qn = v ∈ C : 〈x0 − xn, v − xn〉 ≤ 0.

Bước 7. Tìm phép chiếu

xn+1 = PCn∩Qn(x0).

Bước 8. Nếu xn+1 = xn thì dừng. Ngược lại, đặt n := n + 1 và quay lại Bước 1.

Định lý 3.6. Cho C là tập con lồi đóng khác rỗng của không gian Hilbert thực H. Giả sử fiNi=1 là họ hữu hạn

các song hàm thỏa mãn các điều kiện (A1)− (A4) và

Sj

M

j=1là họ hữu hạn các ánh xạ không giãn trên C. Hơn

nữa, giả sử rằng tập nghiệm F khác rỗng. Khi đó, dãy (vô hạn) xn sinh bởi Thuật toán 3.1 hội tụ mạnh tới

x† = PFx0.

3.2.2 Phương pháp chiếu GLMTrong mục này, chúng tôi đề xuất một phương pháp chiếu kiểu đạo hàm (GLM - Gradient-like Method)

tìm nghiệm của một bài toán EP. Trong phương pháp đề xuất, chỉ một bài toán tối ưu cần giải và sự hội

tự của nó không yêu cầu thêm bất kì một giả thiết nào.

Thuật toán 3.2. (Phương pháp chiếu GLM)

Khởi tạo. Các tham số λ và k thỏa mãn các điều kiện sau đây.

0 < λ <1

2(c1 + c2), k >

1

1 − 2λ(c1 + c2).

Chọn x0, x1 ∈ H, y0 ∈ C, C0 = Q0 = H và tính

y1 = argminy∈C

λ f (y0, y) +1

2||x0 − y||2.

Bước 1. Giải bài toán tối ưu

yn+1 = argminy∈C

λ f (yn, y) +1

2||xn − y||2.

Nếu yn+1 = yn = xn thì dừng. Ngược lại,

Bước 2. Tính xn+1 = PCn∩Qn(x0), trong đó

Cn =

z ∈ H : ||yn+1 − z||2 ≤ ||xn − z||2 + ǫn

,

Qn = z ∈ H : 〈x0 − xn, z − xn〉 ≤ 0 ,

và ǫn = k||xn − xn−1||2 + 2λc2||yn − yn−1||

2 − (1 − 1k − 2λc1)||yn+1 − yn||2. Đặt n := n + 1 và quay lại

Bước 1.

Định lý 3.7. Cho C là tập con lồi đóng và khác rỗng của không gian Hilbert thực H. Giả sử f là một song hàm

thỏa mãn các điều kiện (A1)− (A4). Hơn nữa, tập nghiệm EP( f , C) khác rỗng. Khi đó, các dãy xn, yn sinh

bởi Thuật toán 3.2 hội tụ mạnh tới PEP( f ,C)(x0).

17

3.3 Phương pháp tìm kiếm theo tia Armijo

Trong mục này, chúng tôi trình bày phương pháp tìm kiếm theo tia Armijo tìm nghiệm chung của các

bài toán EP cho các song hàm fi : C × C → ℜ, i ∈ I = 1, . . . , N, ở đó không yêu cầu tính liên tục

kiểu Lipschitz của các song hàm fi, i ∈ I. Chúng tôi giả thiết mỗi song hàm fi thỏa mãn các điều kiện

(A1), (A4) và (A3a) sau đây.

(A3a). fi liên tục yếu theo dãy trên ∆ × ∆, trong đó ∆ là một tập mở chứa C, tức là fi(xn, yn) → f (x, y)

với xn , yn ⊂ ∆ và xn x và yn y khi n → ∞.

Giả sử L : C × C → ℜ là một song hàm thỏa mãn các điều kiện sau:

B1. Tồn tại hằng số β > 0 sao cho L(x, y) ≥ β2 ||x − y||2 và L(x, x) = 0 với mọi x, y ∈ C;

B2. L liên tục yếu, L(x, .) khả vi, lồi mạnh với mỗi x ∈ C và L′x(y, y) = 0 với mọi y ∈ C.

Thuật toán 3.3. (Phương pháp tìm kiếm theo tia Armijo)

Khởi tạo. Chọn x0 ∈ C, ρ > 0, η ∈ (0, 1), α ∈ (0, 1).

Bước 1. Với mỗi i ∈ I. Tìm

yin = argmin fi(xn, y) +

1

ρL(xn, y) : y ∈ C.

Đặt In =

i ∈ I : din := xn − yi

n 6= 0

. Nếu In = ∅ thì dừng.

Bước 2. (Tìm kiếm theo tia)

Bước 2.1. Với mỗi i /∈ In, đặt zin = ti

n = xn, gin = 0, σi

n = 0.

Bước 2.2. Với mỗi i ∈ In, tìm số nguyên dương nhỏ nhất min sao cho

tin = xn − ηmi

n din,

fi(tin, xn)− fi(t

in, yi

n)−α

ρL(xn, yi

n) ≥ 0.

Bước 2.3. Tính zin = PC(xn − σi

ngin), i ∈ In, trong đó gi

n ∈ ∂2 fi(tin, xn)

và σin = f i(ti

n,xn)

||gin||2

.

Bước 3. Tính xn+1 = PHn∩Wn(x0), trong đó Hn = ∩i∈I Hin và

Hin =

z ∈ C : ||zi

n − z|| ≤ ||xn − z||

,

Wn = z ∈ C : 〈x0 − xn, z − xn〉 ≤ 0 .

Đăt n := n + 1 và quay lại Bước 1.

Định lý 3.8. Giả sử fi : C × C → ℜ, i ∈ I là các song hàm thỏa mãn các điều kiện (A1), (A3a) và (A4);

L : C × C → ℜ là song hàm thỏa mãn các điều kiện B1 và B2. Hơn nữa, tập nghiệm F = ∩i∈IEP( fi) khác rỗng.

Khi đó, dãy xn sinh bởi Thuật toán 3.3 hội tụ mạnh tới PF(x0).

18

3.4 Thử nghiệm số

Kết luận chương

Trong chương này, chúng tôi đã trình bày một số phương pháp lai ghép song song tìm nghiệm chung

của bài toán EP với bài toán VIP và bài toán FPP. Một cải thiện đáng chú ý của phương pháp chiếu EGM

là phương pháp chiếu GLM tìm nghiệm của bài toán EP, ở đó chỉ một bài toán tối ưu cần giải trên mỗi

bước lặp mà không cần bất kỳ một "bước mở rộng nào liên quan tới tập ràng buộc".

19

Chương 4

Bài toán cân bằng tách

Trong chương này, chúng tôi trình bày một khái quát hóa của bài toán tìm nghiệm chung của các bài

toán cân bằng là bài toán cân bằng tách (SEP - Split equilibrium problem). Bài toán được phát biểu như

sau:

Cho C và Q tương ứng là các tập lồi đóng và khác rỗng trong không gian Hilbert thực H1 và H2. Giả sử

fi : C × C → ℜ, i = 1, . . . , N; Fj : Q × Q → ℜ, j = 1, . . . , M là các song hàm và A : H1 → H2 là một toán tử

tuyến tính bị chặn. Tìm điểm x∗ ∈ Ω, trong đó Ω =

x∗ ∈ ∩Ni=1EP( fi, C) : Ax∗ ∈ ∩M

j=1EP(Fj, Q)

.

4.1 Các thuật toán hội tụ

Trong mục này, chúng tôi kết hợp phương pháp chiếu EGM với phương pháp PPM và đề xuất thuật

toán hội tụ yếu sau đây giải bài toán SEP.

Thuật toán 4.1. (Phương pháp EGM - PPM song song)

Khởi tạo. Chọn x0 ∈ C. Các tham số λ, µ, rn thỏa mãn các điều kiện sau đây.

0 < λ < min

1

2c1,

1

2c2

, rn ≥ d > 0, 0 < µ <

2

||A||2.

Bước 1. Giải 2N bài toán tối ưu

yin = arg min

λ fi(xn, y) + 1

2 ||y − xn||2 : y ∈ C

, i = 1, . . . , N,

zin = arg min

λ fi(y

in, y) + 1

2 ||y − xn||2 : y ∈ C

, i = 1, . . . , N.

Bước 2. Tìm xấp xỉ zn = arg max||zi

n − xn|| : i = 1, . . . , N

.

Bước 3. Giải M bài toán cân bằng hiệu chỉnh wjn = T

Fjrn (Azn), j = 1, . . . , M.

Bước 4. Tìm xấp xỉ wn = arg max||w

jn − Azn|| : j = 1, . . . , M

.

Bước 5. Tính xn+1 = PC (zn + µA∗(wn − Azn)). Đặt n = n + 1 và quay lại Bước 1.

Định lý 4.1 (Định lý hội tụ yếu). Cho C, Q tương ứng là các tập con lồi đóng khác rỗng của hai không gian

Hilbert thực H1 và H2. Giả sử fiNi=1 : C × C → ℜ là các song hàm thỏa mãn các điều kiện (A1) − (A4)

và

Fj

M

j=1: Q × Q → ℜ là các song hàm thỏa mãn các điều kiện (A1) − (A4). Giả sử A : H1 → H2 là

một toán tử tuyến tính bị chặn với toán tử liên hợp A∗. Hơn nữa, giả thiết tập nghiệm Ω khác rỗng. Khi đó,

các dãy xn,

yin

,

zin

, i = 1, . . . , N sinh bởi Thuật toán 4.1 hội tụ yếu tới p ∈ ∩N

i=1EP( fi, C) và các dãyw

jn

, j = 1, . . . , M hội tụ yếu tới Ap ∈ ∩M

j=1EP(Fj, Q).

20

Để thu được thuật toán hội tụ mạnh, chúng tôi kết hợp Thuật toán 4.1 với phương pháp chiếu co

(shrinking projection method) và thu được thuật toán hội tụ mạnh sau đây.

Thuật toán 4.2. (Phương pháp EGM - PPM lai ghép song song)

Khởi tạo. Chọn x0 ∈ C, C0 = C, các tham số điều khiển λ, rn, µ thỏa mãn các điều kiện sau đây.

0 < λ < min

1

2c1,

1

2c2

, rn ≥ d > 0, 0 < µ <

2

||A||2.

Bước 1. Giải 2N bài toán tối ưu

yin = arg min

λ fi(xn, y) + 1

2 ||y − xn||2 : y ∈ C

, i = 1, . . . , N,

zin = arg min

λ fi(y

in, y) + 1

2 ||y − xn||2 : y ∈ C

, i = 1, . . . , N.

Bước 2. Tìm zn = arg max||zi

n − xn|| : i = 1, . . . , N

.

Bước 3. Giải M bài toán cân bằng hiệu chỉnh wjn = T

Fjrn (Azn), j = 1, . . . , M.

Bước 4. Tìm wn = arg max||w

jn − Azn|| : j = 1, . . . , M

.

Bước 5. Tính tn = PC (zn + µA∗(wn − Azn)).

Bước 6. Xây dựng Cn+1 = v ∈ Cn : ||tn − v|| ≤ ||zn − v|| ≤ ||xn − v||. Tính xn+1 = PCn+1(x0). Đặt

n = n + 1 và quay lại Bước 1.

Để thiệt lập sự hội tụ của Thuật toán 4.2, giả thiết (A3) được thay thế bởi giả thiết yếu hơn (A3a)

dưới đây.

(A3a) f (., y) nửa liên tục trên theo dãy trên C với mỗi y ∈ C cố định, tức là, lim supn→∞

f (xn, y) ≤ f (x, y)

với mỗi dãy xn ⊂ C hội tụ tới x khi n → ∞. Ta có kết quả sau đây.

Định lý 4.2 (Định lý hội tụ mạnh). Giả sử

Fj

M

j=1, A, Ω thỏa mãn các điều kiện của Định lý 4.1 và các

song hàm fiNi=1 : C × C → ℜ thỏa mãn các điều kiện (A1), (A2), (A3a), (A4). Khi đó, các dãy xn,

yi

n

,

zi

n

, i = 1, . . . , N sinh bởi Thuật toán 4.2 hội tụ mạnh tới x† = PΩ(x0) và

w

jn

, j = 1, . . . , M hội tụ mạnh

tới Ax† ∈ ∩Mj=1EP(Fj, Q).

4.2 Ứng dụng cho bài toán biến phân tách

Trong phần này, chúng ta xét bài toán biến phân tách (SVIP) sau đây:

Tìm x∗ ∈ C sao cho 〈Ai(x∗), y − x∗〉 ≥ 0, ∀y ∈ C, ∀i = 1, . . . , N

và u∗ = Ax∗ ∈ Q thỏa mãn⟨

Bj(u∗), u − u∗

⟩≥ 0, ∀u ∈ Q, ∀j = 1, . . . , M,

(4.1)

trong đó C ⊂ H1, Q ⊂ H2 là các tập lồi đóng khác rỗng; Ai : C → H1, Bj : Q → H2 là các toán tử và

A : H1 → H2 là một toán tử tuyến tính bị chặn. Tập nghiệm của bài toán SVIP (4.1) được kí hiệu bởi

Ω =

x∗ ∈ ∩Ni=1VI(Ai, C) : Ax∗ ∈ ∩M

j=1VI(Bj, Q)

.

Để giải bài toán (4.1), chúng ta giả thiết các toán tử Ai, Bj thỏa mãn điều kiện sau đây.

Điều kiện AB

• Ai giả đơn điệu trên C.

• Ai liên tục Lipschitz với hằng số L > 0.

21

• Bj đơn điệu trên Q.

Hơn nữa, để thu được kết quả hội tụ yếu (Định lý 4.3), mỗi toán tử Ai thỏa mãn thêm điều kiện sau đây.

Ai(xn) → Ai(x), i = 1, . . . , N (4.2)

với mỗi dãy xn ⊂ C hội tụ yếu tới x.

Định lý 4.3. Giả sử các toán tử Ai, Bj thỏa mãn điều kiện AB và (4.2), A : H1 → H2 là toán tử tuyến tính bị

chặn với toán tử liên hợp A∗. Hơn nữa, tập nghiệm Ω of (4.1) khác rỗng. Giả sử xn là dãy sinh bởi: x0 ∈ C và

yin = PC(xn − λAi(xn)),

zin = PC(xn − λAi(y

in)),

⟨w

jn + rnBj(w

jn)− zn, z − w

jn

⟩≥ 0, ∀z ∈ Q,

xn+1 = PC (zn + µA∗(wn − Azn)) ,

trong đó zn và wn được xác định như trong Thuật toán 4.1. Khi đó, nếu λ ∈(

0, 1L

), rn ≥ d > 0, và µ ∈(

0, 2||A||2

)thì xn hội tụ yếu tới một nghiệm nào đó trong Ω.

Định lý 4.4. Giả sử Ai, Bj là các toán tử thỏa mãn điều kiện AB và A : H1 → H2 là một toán tử tuyến bính bị

chặn với toán tử liên hợp A∗. Hơn nữa, tập nghiệm Ω của (4.1) khác rỗng. Giả sử xn sinh bởi: x0 ∈ C, C0 = C

và

yin = PC(xn − λAi(xn)),

zin = PC(xn − λAi(y

in)),

⟨w

jn + rnBj(w

jn)− zn, z − w

jn

⟩≥ 0, ∀z ∈ Q,

tn = PC (zn + µA∗(wn − Azn)) ,

Cn+1 = v ∈ Cn : ||tn − v|| ≤ ||zn − v|| ≤ ||xn − v|| ,

xn+1 = PCn+1(x0).

trong đó zn, wn, λ, rn và µ được xác định như trong Định lý 4.3. Khi đó, dãy xn hội tụ mạnh tới PΩ(x0).

4.3 Thử nghiệm số

Kết luận chương

Trong chương này, chúng tôi đã đề xuất hai thuật toán song song giải các bài toán SEP trong hai không

gian Hilbert thực. Các thuật toán kết hợp hai phương pháp PPM và EGM với phương pháp chiếu co.

Hai định lý hội tụ yếu và mạnh được thiết lập dưới các giả thiết được sử dụng phổ biến cho các song

hàm.

22

Kết luận chung

Luận án đề xuất một số phương pháp tuần tự và song song giải các bài toán dạng GCFP bao gồm bài

toán giải hệ phương trình toán tử accretive, bài toán CFPP, bài toán CSVIP, bài toán CSEP, bài toán tìm

nghiệm chung hỗn hợp và bài toán SEP.

Các kết quả chính thu được của luận án bao gồm:

1. Phương pháp chỉnh lặp song song ẩn (IPIRM) và phương pháp chỉnh lặp song song hiện (EPIRM)

cho hệ phương trình toán tử accretive trong không gian Banach.

2. Phương pháp lai ghép tuần tự và song song tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh

xạ tựa φ - không giãn (tiệm cận) trong không gian Banach trơn đều và lồi đều.

3. Phương pháp lai ghép PPM song song, phương pháp chiếu EGM song song, phương pháp tìm

kiếm theo tia Armijo tìm nghiệm chung của các bài toán EP và/hoặc bài toán VIP và bài toán FPP

trong không gian Hilbert hoặc Banach.

4. Phương pháp chiếu GLM tìm nghiệm của một bài toán EP trong không gian Hilbert.

5. Phương pháp PPM - EGM song song giải bài toán cân bằng tách trong không gian Hilbert.

Một số vấn đề có thể tiếp tục nghiên cứu:

1. Các kết quả của luận án mở rộng để giải hệ phương trình với toán tử accretive kết hợp với xấp xỉ

hữu hạn chiều trong không gian Banach.

2. Nghiên cứu phương trình Hammerstein loại một (vế trái là hợp của các toán tử đơn điệu) hoặc

phương trình với toán tử là hiệu của các toán tử đơn điệu.

3. Nghiên cứu các kỹ thuật phân rã song song, chia miền để xây dựng các phương pháp song song

mới.

4. Đề xuất các phương pháp dạng chiếu gradient với số lần thực hiện phép chiếu và tính giá trị của

toán tử là ít nhất trên mỗi bước lặp để giải bài toán VIP và GEP (Generalized Equilibrium Problem).

23

DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN

QUAN ĐẾN LUẬN ÁN

1. Anh P.K., Buong Ng., Hieu D.V. (2014), "Parallel methods for regularizing systems of equations

involving accretive operators", Appl. Anal. 93(10), pp. 2136-2157.

2. Anh P.K., Hieu D.V. (2015), "Parallel and sequential hybrid methods for a finite family of asymp-

totically quasi φ - nonexpansive mappings", J. Appl. Math. Comput. 48, pp. 241-263.

3. Anh P.K., Hieu D.V. (2015), "Parallel hybrid methods for variational inequalities, equilibrium prob-

lems and common fixed point problems", Vietnam J. Math., DOI: 10.1007/s10013-015-0129-z.

4. Hieu D.V. (2015), "A parallel hybrid method for equilibrium problems, variational inequalities and

nonexpansive mappings in Hilbert space", J. Korean Math. Soc. 52(2), pp. 373-388.

5. Hieu D.V., Muu L.D., Anh P.K (2016), "Parallel hybrid extragradient methods for pseudomonotone

equilibrium problems and nonexpansive mappings", Numer. Algorithms, DOI: 10.1007/s11075-015-

0092-5.

6. Hieu D.V. (2015), "The common solutions to pseudomonotone equilibrium problems", Bull. Iranian

Math. Soc. (Accepted for publication).

7. Hieu D.V. (2016), "Parallel hybrid methods for generalized equilibrium problems and asymptoti-

cally strictly pseudocontractive mappings", J. Appl. Math. Comput., DOI :10.1007/s12190-015-0980-

9.

8. Hieu D.V. (2016), "Parallel extragradient-proximal methods for split equilibrium problems", Math.

Model. Anal., DOI:10.3846/13926292.2016.1183527.

9. Hieu D.V. (2016), "An extension of hybrid method without extrapolation step to equilibrium prob-

lems", J. Ind. Manag. Optim. (Revised).

10. Hieu D.V. (2016), "Some projection methods for common solutions to equilibrium problems", RAIRO

- Operations Research (Revised).

24