PERSAMAAN NON LINIER
KOMPUTASI NUMERIK TERAPAN (KNT) - TK-091356
Persamaan Non Linier
Penyelesaian persamaan non linier, f(x)=0 :
Analitis (sering kali sulit dilakukan/tidak ada)
Pendekatan numerik (successive approximation atau successive approximation –linearization) iteratif
Penentuan akar-akar persamaan non linier.
Akar sebuah persamaan f(x) =0 adalah nilai-nilai x yang menyebabkan nilai f(x) sama dengan nol.
Akar persamaan f(x) adalah titik potong antara kurva f(x) dan sumbu x.
Persamaan Non Linier
Metode Tabel
Metode Bagi-Paruh (Bisection)
Metode Regula Falsi
Metode Iterasi Sederhana
Metode Newton-Raphson
Metode Secant.
Persamaan Non Linier
y=f(x)
y
x
Persamaan Non Linier
Penyelesaian persamaan linier mx + c = 0 dimana m dan c adalah konstanta, dapat dihitung dengan :
mx + c = 0 Penyelesaian persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0
dapat dihitung dengan menggunakan rumus ABC.
m
cx
a
acbbx
2
42
12
Penyelesaian Persamaan Non Linier
Metode Tertutup
Mencari akar pada range [a,b] tertentu
Dalam range[a,b] dipastikan terdapat satu akar
Hasil selalu konvergen disebut juga metode konvergen
Metode Terbuka
Diperlukan tebakan awal
xn dipakai untuk menghitung xn+1
Hasil dapat konvergen atau divergen
Metode Tertutup
Metode Tabel
Metode Biseksi
Metode Regula Falsi
Metode Terbuka
Metode Iterasi Sederhana
Metode Newton-Raphson
Metode Secant.
Theorema
Suatu range x=[a,b] mempunyai akar bila f(a) dan f(b) berlawanan tanda atau memenuhi f(a)*f(b)<0
Karena f(a).f(b)<0 maka pada range x=[a,b] terdapat akar.
Karena f(a).f(b)>0 maka pada range x=[a,b] tidak dapat dikatakan terdapat akar.
Metode Table
Metode Table atau pembagian area.
Dimana untuk x di antara a dan b dibagi sebanyak N bagian dan pada masing-masing bagian dihitung nilai f(x) sehingga diperoleh tabel :
X f(x)
x0=a f(a)
x1 f(x1)
x2 f(x2)
x3 f(x3)
…… ……
xn=b f(b)
Metode Table
Contoh
Selesaikan persamaan : x+ex = 0 dengan range x = [-1,0]
Untuk mendapatkan penyelesaian dari persamaan di atas range x = [-1,0] dibagi menjadi 10 bagian sehingga diperoleh :
X f(x)
-1,0 -0,63212
-0,9 -0,49343
-0,8 -0,35067
-0,7 -0,20341
-0,6 -0,05119
-0,5 0,10653
-0,4 0,27032
-0,3 0,44082
-0,2 0,61873
-0,1 0,80484
0,0 1,00000
Metode Table
Contoh : X f(x)
-1,0 -0,63212
-0,9 -0,49343
-0,8 -0,35067
-0,7 -0,20341
-0,6 -0,05119
-0,5 0,10653
-0,4 0,27032
-0,3 0,44082
-0,2 0,61873
-0,1 0,80484
0,0 1,00000
Selesaikan persamaan : x+ex = 0 dengan range x = [-1,0]
Untuk mendapatkan penyelesaian dari persamaan di atas range x = [-1,0] dibagi menjadi 10 bagian sehingga diperoleh :
Metode Table
Dari table diperoleh penyelesaian berada di antara -0,6 dan -0,5 dengan nilai f(x) masing-masing -0,0512 dan 0,1065, sehingga dapat diambil keputusan penyelesaiannya di x=-0,6.
Bila pada range x = [-0,6,-0,5] dibagi 10 maka diperoleh f(x) terdekat dengan nol pada x = -0,57 dengan f(x) = 0,00447
Kelemahan Metode Table
Metode table ini secara umum sulit mendapatkan penyelesaian dengan error yang kecil, karena itu metode ini tidak digunakan dalam penyelesaian persamaan non linier
Metode ini digunakan sebagai taksiran awal mengetahui area penyelesaian yang benar sebelum menggunakan metode yang lebih baik dalam menentukan penyelesaian.
Metode Biseksi
Ide awal metode ini adalah metode table, dimana area dibagi menjadi N bagian.
Hanya saja metode biseksi ini membagi range menjadi 2 bagian, dari dua bagian ini dipilih bagian mana yang mengandung dan bagian yang tidak mengandung akar dibuang.Hal ini dilakukan berulang-ulang (iteratif) hingga diperoleh akar persamaan.
Metode Biseksi
Jika terdapat suatu f(x) yang kontinyu [a,b] dan f(a)*f(b)<0, maka menurut teorema nilai antara paling tidak f(x) mempunyai satu akar [a,b]
Suatu deret hasil iterasi {xn|n0} dikatakan menuju titik dengan derajat p 1, jika :
Jika p=1, deretnya disebut menuju titik secara linier
dalam kasus ini diperlukan nilai c<1, c disebut laju linier dari xn menuju
Tingkat kelajuan metode biseksi :
|-xn+1|cn|-xn|p n0, untuk nilai c>0
|-cn|(1/2)n(b-a)
Metode Biseksi
Metode Biseksi
Untuk menggunakan metode biseksi, terlebih dahulu ditentukan batas bawah (a) dan batas atas (b).Kemudian dihitung nilai tengah :
Dari nilai x ini perlu dilakukan pengecekan keberadaan akar.
Secara matematik, suatu range terdapat akar persamaan bila f(a) dan f(b) berlawanan tanda atau dituliskan :
f(a) * f(b) < 0
Setelah diketahui dibagian mana terdapat akar, maka batas
bawah dan batas atas di perbaharui sesuai dengan range dari bagian yang mempunyai akar.
2
bax
Algoritma Biseksi
1. Pilih harga x1 dan x2 sedemikian sehingga f(x1) dan f(x2) berlawanan tanda.
2. Tentukan harga x3 dengan rumus : x3 = (x1 + x2)/2
3. Bila ½| x1 - x2 | Toleransi, harga x3 adalah harga x yang dicari. Bila tidak, lanjutkan ke tahap 4.
4. Bila f(x3 ) berlawanan tanda dengan f(x1 ), tetapkan x2 = x3
5. Bila f(x3 ) berlawanan tanda dengan f(x2 ), tetapkan x1 = x3
6. Kembali ke tahap 2.
Algoritma Start
Read x1, x2, Tol
f1 = f (x1), f2 = f (x2)
f1. f2 > 0
N
x3 = 1/2 ( x1 + x2 )
E = 1/2 .abs( x1 – x2 )
E<Tol
f3 = f ( x3 )
f1. f3 < 0
x1 = x3, f1 = f3
x2 = x3, f2 = f3
Print x3
End
N
N
Y
Y
Y
Contoh
Tentukan akar persamaan f(x)=x3+x2-3x-3=0 dengan metode Biseksi pada interfal [1,2]
Contoh Soal
Selesaikan persamaan xe-x+1 = 0, dengan menggunakan range x=[-1,0], maka diperoleh tabel biseksi sebagai berikut :
Contoh Soal
Dimana x = (a+b)/2 Pada iterasi ke 10 diperoleh x = -0.56738 dan f(x) = -0.00066 Untuk menghentikan iterasi, dapat dilakukan dengan
menggunakan toleransi error atau iterasi maksimum.
Catatan : Dengan menggunakan metode biseksi dengan tolerasi error
0.001 dibutuhkan 10 iterasi, semakin teliti (kecil toleransi errornya) maka semakin besar jumlah iterasi yang dibutuhkan.
Metode Regula Falsi
Metode Biseksi relatif mudah dengan analisa kesalahan sederhana, tetapi tidak efisien
Untuk mempercepat tercapainya konvergensi, dapat menggunakan metode “interpolasi linear”
Metode pencarian akar persamaan dengan memanfaatkan kemiringan dan selisih tinggi dari dua titik batas range.
Dua titik a dan b pada fungsi f(x) digunakan untuk mengestimasi posisi c dari akar interpolasi linier.
Metode ini dikenal dengan metode False Position (Regula Falsi)
Metode Regula Falsi
a c
b f(a)
f(b)
f(x)
ac
af
ab
afbfslope
)()()( 0
)()()(
afbf
abafac
)()()(
afbf
abafac
Metode Regula Falsi
xb
bf
ab
afbf
0)()()(
)()(
))((
afbf
abbfbx
)()(
)()(
afbf
abfbafx
Algoritma
1. Pilih harga x1 dan x2 sedemikian sehingga f(x1) dan f(x2) berlawanan tanda.
2. Tentukan harga x3 dengan rumus :
3. Bila |f(x3)| Toleransi, harga x3 adalah harga x yang dicari. Bila tidak, lanjutkan ke tahap 4.
4. Bila f(x3) berlawanan tanda dengan f(x1), tetapkan x2 = x3
Bila f(x3) berlawanan tanda dengan f(x2), tetapkan x1 = x2
Kembali ke tahap 2.
)()()(
)(12
12
223 xx
xfxf
xfxx
Metode Regula Falsi
)()(
)(
12
2
12
32
xfxf
xf
xx
xx
)(
)()(
)(12
12
223 xx
xfxf
xfxx
Pada gambar :
Metode Regula Falsi
)()(
)(
12
2
12
32
xfxf
xf
xx
xx
)(
)()(
)(12
12
223 xx
xfxf
xfxx
Contoh :
Metode Regula Falsi lebih cepat daripada metode Biseksi
Contoh Soal
Selesaikan persamaan xe-x+1=0 pada range x= [0,-1]
Contoh Soal
Selesaikan persamaan xe-x+1=0 pada range x= [0,-1]
Metode Regula Falsi
Metode Regula Falsi lebih cepat konvergen dibanding metode Biseksi
Akar didekati hanya dari satu sisi, sehingga untuk fungsi yang mempunyai kelengkungan curam lebih lambat konvergennya
f(x)
x1 x3 x2 x
Metode Regula Falsi
Modifikasi dilakukan dengan posisi f(x) stagnan dibagi 2
f(x)
x1 x3 x2 x
f(x2)/2
Algoritma
1. Pilih harga x1 dan x2 f(x1).f(x2)<0
2. Nyatakan f1 = f(x1) dan f2 = f(x2).
3. Tentukan harga x3 dengan rumus :
4. Bila |f(x3)| Toleransi, harga x3 adalah akar fungsi f(x)=0, bila tidak, lanjutkan ke tahap 5.
5. Bila f(x1)f(x3 ) <0 x2 = x3 dan f2=f3 dan f1=1/2f1 (f stagnan/2)
Bila tidak x1 = x3 dan f1=f3 dan f2=1/2f2
Kembali ke tahap 3.
)()()(
)(12
12
223 xx
xfxf
xfxx
Metode Iterasi Sederhana
Metode iterasi sederhana adalah metode yang memisahkan x dengan sebagian x yang lain sehingga diperoleh : x = g(x).
Contoh :
x – ex = 0 ubah x = ex atau g(x) = ex
g(x) inilah yang menjadi dasar iterasi pada metode iterasi sederhana ini
PENYELESAIAN PERSAMAAN NONLINEAR
METODA PENDEKATAN BERTURUTAN
Bentuk f(x) =0 diubah kebentuk x = g(x)
Ada banyak cara untuk merubah bentuk f(x)=0 menjadi x = g(x)
Misal: f(x) = x2 - 2 x - 3 = 0
dapat ditulis dalam bentuk ,
32 xx
2
3
xx
2
32
xx
PENYELESAIAN PERSAMAAN NONLINEAR
Algoritma:
1.Pilih satu harga x, yaitu x0
2.Hitung harga baru x1: x1 = g(x0)
3.Bila abs((x1-x0)/x0) < tol, x1 = harga x yang dicari. Bila abs((x1-x0)/x0) > tol, lanjut ke 4
4.x0=x1, kembali ke 2
PENYELESAIAN PERSAMAAN NONLINEAR
Y
X
Y=x
.x0 .x1 .x2
Y
X
Y=x
.x0 .x1 .x2 .x3
Y
X
Y=x
.x0 .x1 .x2
Y
X
Y=x
.x0 .x1 .x2
Syarat Konvergensi :
konvergen
Divergen
1)(' xg
Metode Iterasi Sederhana
Contoh :
Carilah akar pers f(x) = x2-2x-3
x2-2x-3 = 0
X2 = 2x + 3
Tebakan awal = 4
E = 0.00001
Hasil = 3
32 xx
321 nn xx
Contoh :
x2-2x-3 = 0
x(x-2) = 3
x = 3 /(x-2)
Tebakan awal = 4
E = 0.00001
Hasil = -1
Contoh :
x2-2x-3 = 0
X = (x2-3)/2
Tebakan awal = 4
E = 0.00001
Hasil divergen
Syarat Konvergensi
Pada range I = [s-h, s+h] dengan s titik tetap Jika 0<g’(x)<1 untuk setiap x I iterasi konvergen
monoton.
Jika -1<g’(x)<0 untuk setiap x I iterasi konvergen berosilasi.
Jika g’(x)>1 untuk setiap x I, maka iterasi divergen monoton.
Jika g’(x)<-1 untuk setiap x I, maka iterasi divergen berosilasi.
Contoh :
Tebakan awal 4
g’(4) = 0.1508 < 1
Konvergen Monoton
322
1)('
32)(
321
r
r
rr
xxg
xxg
xx
Tebakan awal 4
g’(4) = |-0.75| < 1
Konvergen Berisolasi
2
1
)2(
3)('
)2(
3)(
)2(
3
xxg
xxg
xx
r
r
Contoh
Tebakan awal 4
G’(4) = 4 > 1
Divergen Monoton
xxg
xxg
)('
2
)3()(
2
Latihan Soal
Apa yang terjadi dengan pemilihan x0 pada pencarian akar persamaan :
x3 + 6x – 3 = 0
dengan x
Cari akar persamaan dengan :
x0 = 0.5, x0 = 1.5, x0 = 2.2, x0 = 2.7
6
33
1
rr
xx
Contoh :
Metode Newton Raphson
Metode pendekatan yang menggunakan satu titik awal dan mendekatinya dengan memperhatikan slope atau gradien pada titik tersebut.Titik pendekatan ke n+1 dituliskan dengan :
n
nnn
xF
xFxx
11
Metode Newton Raphson
PENYELESAIAN PERSAMAAN NONLINEAR
METODA NEWTON RAPHSON
x
f(x)
1
2
3
4
-
4
-
3
-
2
-
1
xn+1 xn+2 xn
(xn,fn) n
nnn
xf
xfxx
'1
PENYELESAIAN PERSAMAAN NONLINEAR
1. Pilih satu harga x, yaitu x0
2. Hitung harga baru x1: x1 = x0 - f(x0) / f ’(x0)
3. Bila abs((x1-x0)/x0) < tol, x1 = harga x yang dicari Bila abs((x1-x0)/x0) > tol, lanjut ke 4
4. x0=x1, kembali ke 2
Algoritma:
1'
"2
xf
xfxfSyarat Konvergensi :
Algoritma Metode Newton Raphson
1. Definisikan fungsi f(x) dan f’(x) 2. Tentukan toleransi error (e) dan iterasi maksimum (n) 3. Tentukan nilai pendekatan awal x0 4. Hitung f(x0) dan f’(x0) 5. Untuk iterasi I = 1 s/d n atau |f(xi)|> e Hitung f(xi) dan f1(xi)
6. Akar persamaan adalah nilai xi yang terakhir diperoleh.
i
iii
xf
xfxx
11
Flow chart Metode Newton-Raphson
start
x0 , Tol
f(x0), f’(x0)
x0=x1
Cetak x1
end
0
01
x
xx
Tol
)(
)('
0
001
xf
xfxx
Y
T
Contoh Soal
Selesaikan persamaan x - e-x = 0 dengan titik pendekatan awal x0 =0
f(x) = x - e-x f’(x)=1+e-x
f(x0) = 0 - e-0 = -1
f’(x0) = 1 + e-0 = 2
5,02
10
0
1
001
xf
xfxx
Contoh Soal
f(x1) = -0,106631 dan f1(x1) = 1,60653
x2 =
f(x2) = -0,00130451 dan f1(x2) = 1,56762
x3 =
f(x3) = -1,96.10-7. Suatu bilangan yang sangat kecil.
Sehingga akar persamaan x = 0,567143.
566311,0
60653,1
106531,05,0
11
11
xf
xfx
567143,0
56762,1
00130451,0566311,0
21
22
xf
xfx
Contoh
x - e-x = 0 x0 =0, e = 0.00001
Contoh :
x + e-x cos x -2 = 0 x0=1
f(x) = x + e-x cos x - 2
f’(x) = 1 – e-x cos x – e-x sin x
Permasalahan pada pemakaian metode newton raphson
Metode ini tidak dapat digunakan ketika titik pendekatannya berada pada titik ekstrim atau titik puncak, karena pada titik ini nilai F1(x) = 0 sehingga nilai penyebut dari sama dengan nol, secara grafis dapat dilihat sebagai berikut:
Bila titik pendekatan berada pada titik puncak, maka titik selanjutnya akan berada di tak berhingga.
xF
xF1
PENYELESAIAN PERSAMAAN NONLINEAR
Tentukan salah satu akar real dari persamaan sin x -(x/2)2 =0 dengan metoda Newton Raphson. Toleransi = 10-5
Contoh 2.5
Penyelesaian:
22/sin)( xxxf
2/cos)(' xxxf
)('/)(1 nnnn xfxfxx
Hasil perhitungan ditunjukkan pada Tabel 2.4
Ite xn f(xn) f'(xn) hn xn+1 (xn+1 - xn)/xn
1 1.5 0.43499 -1.4293 -0.3043 1.80435 0.20289947
2 1.80435 0.15893 -2.0358 -0.0781 1.88242 0.04326702
3 1.88242 0.06596 -2.189 -0.0301 1.91255 0.01600796
4 1.91255 0.0277 -2.2477 -0.0123 1.92488 0.00644463
5 1.92488 0.01168 -2.2716 -0.0051 1.93002 0.00267059
6 1.93002 0.00493 -2.2816 -0.0022 1.93218 0.00111923
7 1.93218 0.00208 -2.2857 -0.0009 1.93309 0.00047124
. .
. .
12 1.93373 2.8E-05 -2.2888 -1E-05 1.93374 6.3244E-06
Tabel 2-4: Metoda Newton Raphson untuk f(x) = sin x -(x/2)2 =0
PENYELESAIAN PERSAMAAN NONLINEAR
Akar yang dicari : 1,93374
Permasalahan pada pemakaian metode newton raphson
Metode ini menjadi sulit atau lama mendapatkan penyelesaian ketika titik pendekatannya berada di antara dua titik stasioner.
Bila titik pendekatan berada pada dua tiitik puncak akan dapat mengakibatkan hilangnya penyelesaian (divergensi). Hal ini disebabkan titik selanjutnya berada pada salah satu titik puncak atau arah pendekatannya berbeda.
Hasil Tidak Konvergen
Penyelesaian Permasalahan pada pemakaian metode newton raphson
1. Bila titik pendekatan berada pada titik puncak maka titik pendekatan tersebut harus di geser sedikit, xi = xi dimana adalah konstanta yang ditentukan dengan demikian dan metode newton raphson tetap dapat berjalan.
2. Untuk menghindari titik-titik pendekatan yang berada jauh, sebaiknya pemakaian metode newton raphson ini didahului oleh metode tabel, sehingga dapat di jamin konvergensi dari metode newton raphson.
0' ixf
Metode Secant
Metode Newton Raphson memerlukan perhitungan
turunan fungsi f’(x).
Tidak semua fungsi mudah dicari turunannya terutama
fungsi yang bentuknya rumit.
Turunan fungsi dapat dihilangkan dengan cara
menggantinya dengan bentuk lain yang ekivalen
Modifikasi metode Newton Raphson dinamakan metode
Secant.
1rx 1rx
rx
rx
Metode Newton-Raphson
1
1)()()('
rr
rr
xx
xfxf
x
yxf
)('
)(1
r
rrr
xf
xfxx
)()(
))((
1
11
rr
rrrrr
xfxf
xxxfxx
Algoritma Metode Secant :
Definisikan fungsi f(x)
Definisikan torelansi error (e) dan iterasi maksimum (n)
Masukkan dua nilai pendekatan awal yang di antaranya terdapat akar yaitu x0 dan x1, sebaiknya gunakan metode tabel atau grafis untuk menjamin titik pendakatannya adalah titik pendekatan yang konvergensinya pada akar persamaan yang diharapkan.
Hitung f(x0) dan f(x1) sebagai y0 dan y1
Untuk iterasi I = 1 s/d n atau |f(xi)|
hitung yi+1 = f(xi+1)
Akar persamaan adalah nilai x yang terakhir.
1
11
ii
iiiii
yy
xxyxx
Contoh Soal
Penyelesaian
x2 –(x + 1) e-x = 0 ?
METODA BAIRSTOW
PENYELESAIAN PERSAMAAN NONLINEAR
Metoda ini digunakan untuk mencari semua akar-akar persamaan
polinomial dengan menentukan faktor-faktor kwadratisnya. Berikut ini
akan diterangkan cara menentukan suatu faktor kwadratis dari suatu
polinomial.
METODA BAIRSTOW
Pn (x) = a1 xn + a2 x
n-1 + ......... + an x + an+1
Pn (x) = a1 xn + a2 x
n-1 + ......... + an x + an+1
= (x2 - rx - s)(b1 xn-2 + b2 x
n-3 + ... + bn-1) + { bn (x-r) + bn+1 }
Suatu polinomial drajat n
Polinomial dibagi faktor kwadratis: x2 - rx - s
Polinomial hasil bagi Sisa (residual)
PENYELESAIAN PERSAMAAN NONLINEAR
METODA BAIRSTOW
a1 = b1 ……………. b1 = a1
a2 = b2 – rb1 ……………. b2 = a2 + rb1
a3 = b3 – rb2 – sb1 ……………. b3 = a3 + rb2 + sb1
‘ ‘
‘ ‘
an = bn – rbn-1 – sbn-2 ……………. bn = an + rbn-1 + sbn-2
an+1 = bn+1 – rbn – sbn-1 ……………. bn+1 = an+1 + rbn + sbn-1
Denagan perkalian dan indentiti:
Diinginkan bahwa bn = 0 dan bn+1 = 0.
bn = bn (r,s); bn+1 = bn+1 (r,s) Terlihat:
Andaikan harga r=r* dan s=s*, merupakan harga r dan s yang
menyebabkan bn = 0 dan bn+1 = 0, maka :
bn (r*, s* ) = 0 dan bn+1 (r*,s* ) = 0.
PENYELESAIAN PERSAMAAN NONLINEAR
METODA BAIRSTOW
Bila bn (r*, s* ) dan bn+1 (r*,s* ) , diekspansikan menurut deret Taylor
disekitar (r,s) sampai pada suku-suku linier saja , maka :
sss
brr
r
bsrbsrb nn
nn
**** ,,
sss
brr
r
bsrbsrb nn
nn
*1*1
1
**
1 ,,
ss
br
r
bb nn
n
0
ss
br
r
bb nn
n
11
10
Atau:
r = r* - r dan s = s* - s .
PENYELESAIAN PERSAMAAN NONLINEAR
METODA BAIRSTOW
01
r
b 01
s
b
112 cbr
b
02
s
b
r
brb
r
b
22
311
3 cbs
b
= b2 + rc1 = c2
1
n
n cr
b2
n
n cs
b
n
n cr
b
11
1
n
n cs
b
b1 =a1
c1 = b1
b2 = a2 – rb1
c2 = b2 – r c1
b3 = a3 – rb2 – sb1
c3 = b3 – r c2 –sc1
bn = an – rbn-1 – sbn-2
cn = bn – r cn-1 – s cn-2
bn+1 = an+1 – rbn – sbn-1
cn+1 = bn+1 – r cn – s cn-1
PENENTUAN s
b
s
b
r
b
r
b nnnn
11 ,,,
PENYELESAIAN PERSAMAAN NONLINEAR
nnn bscrc 21
METODA BAIRSTOW
11 nnn bscrc
Penentuan r* dan s* dari harga r dan s
r = r* - r dan s = s* - s .
2
2
1
211
.
..
nnn
nnnn
ccc
cbcbr
2
2
1
11
.
..
nnn
nnnn
ccc
cbcbs
PENYELESAIAN PERSAMAAN NONLINEAR METODA BAIRSTOW
1. Pilih harga pendekatan awal r dan s, dan pilih harga toleransi.
2. Tentukan b(i) dan c(i) sebagai berikut :
b1 = a1 c1 = b1
b2 = a2 + rb1 c2 = b2 – rc1
bi = ai + rbi-1 + sbi-2 ci = bi – rci-1 – sci-2
( i = 3,4, ….., n+1)
3. Tentukan :
DENOM = (cn-1 )2 - cn . cn-2
4. Bila D E N O M = 0, maka set R = R + 1, S = S + 1 ,dan kembali ke tahap 2 .
Bila DENOM # 0 lanjutkan ke tahap 5.
5. Tentukan DELR dan DELS yaitu :
DELR = [ -bn . cn-1 + bn-1 . cn-2 ] / D E N O M .
DELS = [-bn+1 . cn-1 + bn . cn ] / D E N O M .
6. Tentukan R baru dan S baru yaitu :
Rbaru = Rlama + DELR
Sbaru = Slama + DELS
7. Bila abs(DELR) + abs(DELS) < tol , Rbaru dan Sbaru adalah harga r dan s yang dicari
Bila abs(DELR) + abs(DELS) > tol, r = Rbaru, s = Sbaru, kembali ke 2
Algoritma penentuan faktor kuadratis
PENYELESAIAN PERSAMAAN NONLINEAR
METODA BAIRSTOW
Contoh 2-5:
Cari semua akar-akar persamaan berikut dengan
metoda Bairstow.
x3 - 6 x2 + 11 x - 6 = 0, Toleransi = 0.05,
Penyelesaian :
Sebagai pendekatan awal, dipilih : r = 0 s = 0,
PENYELESAIAN PERSAMAAN NONLINEAR
METODA BAIRSTOW
Iterasi 1:
1 - 6 11 -6
r = 0 0 0 0
S =0 0 0
-------------------------------------------------------
1 - 6 11 - 6
r = 0 0 0 0
s = 0 0 0
--------------------------------------------------------
1 - 6 11 -6
bn
bn+1
cn cn-1 cn-2
4,2
.
..
2
2
1
211
nnn
nnnn
ccc
cbcbr
4,3
.
..
2
2
1
11
nnn
nnnn
ccc
cbcbs r* = r +r = 2,4
s* = s +s =3,4 tolSR 8,5
PENYELESAIAN PERSAMAAN NONLINEAR
METODA BAIRSTOW
Iterasi 2:
1 - 6 11 -6
r = 2,4 2,4 -8,64 13,824
S =3,4 3,4 -12,24
-------------------------------------------------------
1 -3, 6 5,76 - 4,416
r = 2,4 2,4 -2,88 15,072
s =3,4 3,4 - 4,08
--------------------------------------------------------
1 -1,2 6,28 6,576
bn
bn+1
cn cn-1 cn-2
5157,0
.
..
2
2
1
211
nnn
nnnn
ccc
cbcbr
3788,6
.
..
2
2
1
11
nnn
nnnn
ccc
cbcbs r* = r +r = 1,8843
s* = s +s =-2,9788 tolSR 8945,6
PENYELESAIAN PERSAMAAN NONLINEAR METODA BAIRSTOW
Iterasi r s Δr Δs r* s* |Δr|+|Δs|
1 0 0 2,4 3,4 2,4 3,4 5,8
2 2,4 3,4 -0,5157 -6,3788 1,8843 -2,9788 6,8945
3 1,8843 -2,9788 0,6182 1,1135 2,5025 -1,8653 1,7317
4 2,5025 -1,8653 0,3749 -0,0092 2,8774 -1,8745 0,3841
5 2,8774 -1,8745 0,1169 -0,1119 2,995 -1,987 0,2288
6 2,995 -1,987 0,00576 -0,0136 3 -2 0,0194
Jadi faktor kuadratis: x2 -3 x + 2
Iterasi 2:
1 - 6 11 -6
r = 3 3 - 9 0
S =-2 - 2 6
-------------------------------------------------------
1 -3 0 0
Polinomial hasil bagi: x - 3
Berarti: x3 – 6 x2 + 11 x - 6 = ( x2 – 3 x + 2 ) ( x – 3) = ( x – 1) (x – 2) (x – 3)
Akar-akar: x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3
PENYELESAIAN PERSAMAAN NONLINEAR
METODA BAIRSTOW
PENYELESAIAN PERSAMAAN NONLINEAR
METODA BAIRSTOW
N
Start
i=1,N+1
A(i)
NN = N
k = 1
R =0, S=0
i=3,N+1
B(1)=A(1)
B(2)=A(2)+R*B(1)
C(1)=B(1)
C(2)=B(2)+R*C(1)
B(i)=A(i)+R*B(i-1)+S*B(i-2)
C(i)=B(i)+R*C(i-1)+S*C(i-2)
DENOM=C(N-1)^2-C(N)*C(N-2)
DELR=(-B(N)*C(N-1)+B(N+1)*C(N-2))/DENOM
DELS=(-B(N+1)*C(N-1)+B(N)*C(N))/DENOM
R=R+DELR, S=S+DELS
ER=abs(DELR)+abs(DELS)
ER<TOL
No
Yes
A B
A
AA=1, BB=-R, CC = -S
RUMUS ABC
N = N-2
N=1
N=2
X(NN)= -B(2)/B(1)
AA=B(1), BB=B(2), CC=B(3),k = NN-1
CETAK END
RUMUS ABC CETAK END
i=1,N+1
A(i)=B(i) k = k + 2 B
PENYELESAIAN PERSAMAAN NONLINEAR METODA BAIRSTOW
PENYELESAIAN PERSAMAAN NONLINEAR METODA BAIRSTOW
RUMUS ABC
DISK =BB^2 – 4 * AA * CC
DISK<0 X(k)= -BB/(2*AA) +((√|DISK|)/(2*AA)) i
X(k+1)= -BB/(2*AA) -((√|DISK|)/(2*AA)) i
END
DISK=0 X(k)= -BB/(2*AA)
X(k+1)= - BB/(2*AA)
X(k)= -BB/(2*AA) +((√DISK)/(2*AA))
X(k+1)= -BB/(2*AA) -((√DISK)/(2*AA))
END
END
Y
Y
N
N
Recommended