BAB 2

PROGRAM LINIER DAN TAK LINIER

2.1 Program Linier

Program linier (Linear programming) adalah suatu masalah matematika

yang mempunyai fungsi objektif dan kendala berbentuk linier untuk meminimal-

kan atau memaksimalkan suatu permasalahan dalam bidang optimisasi.

Masalah program linier dapat dinyatakan dalam model berikut:

Maks Z = cT y (2.1)

Kendala A(x) 6 0 (2.2)

x > 0 (2.3)

Dimana x adalah variabel, c dan b adalah koefisien vektor dan A adalah ma-

triks. Ekpresi untuk memaksimalkan atau meminimalkan disebut fungsi tujuan

z = cT x, dan Ax 6 b disebut fungsi kendala. Pemecaham program linier

dapat dilakukan dengan metode grafik, akan tetapi untuk fungsi objektif atau

kendala mempunyai tiga variabel atau lebih metode grafik sulit atau tidak dapat

dilakukan. Suatu prosedur umum untuk menyelesaikan permasalahan program

linier disebut metode simpleks.

10

11

2.2 Metode Pemecahan

2.2.1 Metode Grafik

Pemecahan program linier dengan metode grafik dilakukan apabila hanya

mempunyai dua variabel keputusan, artinya, hanya mempunyai dua dimensi. Se-

hingga prosedur metode grafik dapat digunakan untuk menentukan nilai variabel

keputusan. Solusi optimum selalu berada pada titik pojok daerah layak

2.2.2 Metode Simpleks

Suatu prosedur umum untuk menyelesaikan permasalahan program linier

yang mempunyai tiga variabel atau lebih disebut metode simpleks. Metode ini

dikembangkan oleh George Dantzig pada tahun 1947. Metode simpleks adalah

suatu penyelesaian secara aljabar, tetapi konsep yang mendasarinya adalah geo-

metris. Metode ini dirancang untuk menyelesaikan permasalahan program linier,

baik dua variabel atau lebih yang penyelesaiannya dilakukan melalui perhitungan

berulang (iterasi) dengan langkah yang sama hingga solusi optimum dicapai.

Penyelesaian program linier dengan metode simpleks didasari dengan ide

metode grafik, dimana solusi optimum selalu berada pada titik pojok daerah

layak. Langkah-langkah metode simpleks dilakukan sebagai berikut:

1. Inisialisasi dimulai dengan memilih solusi awal dari sebuah titik pojok layak

2. Uji optimalitas dengan bergerak dari suatu titik pojok layak ke titik pojok

12

layak yang berdekatan. Pergerakan akan meningkatkan atau penurunan

nilai variabel non-basis, sehingga akan meningkatkan fungsi tujuan untuk

masalah maksimalisasi atau menurunkan nilai fungsi tujuan untuk masalah

minimalisasi.

3. Iterasi dilakukan berulang-ulang sampai diperoleh solusi yang lebih baik dan

iterasi berhenti apabila solusi optimum diperoleh.

Untuk mempermudah perhitungan simpleks, bentuk baku model program lini-

er dapat diubah ke dalam bentuk tabel, dan disebut tabel simpleks. Langkah-

langkah perhitungan dalam algoritma simpleks adalah sebagai berikut.

1. Inisialisasi dengan menetapkan n-m variabel non-basis awal sama dengan

nol, dimana n jumlah variabel dan m banyak kendala

2. Uji optimalitas, solusi layak basis sudah optimal jika dan hanya jika setiap

koefisien dalam baris nol adalah tidak negatif. Bila tidak, dilakukan iterasi

untuk mendapatkan solusi layak basis berikutnya

3. Iterasi pertama dilakukan dengan menetukan variabel basis yang masuk de-

ngan memilih variabel (secara otomatis variabel non-basis) yang memiliki

koefisien paling negatif dalam suatu kolom tertentu, dimana kolom itu dise-

but kolom sumbu (pivot).

4. Kemudian iterasi kedua dilakukan uji rasio minimum, yaitu:

13

a. Mengambil masing-masing koefisien dalam kolom sumbu yang berinilai

positif,

b. Menetapkan baris yang memiliki rasio terkecil dari hasil pembagian ko-

lom ruas kanan dengan koefisien kolom sumbu,

c. Variabel basis pada baris rasio terkecil adalah variabel yang keluar, dan

digantikan dengan variabel basis yang masuk dalam kolom variabel ba-

sis tabel simpleks berikutnya.

2.2.3 Metode Reduced Gradient

Metode reduced gradient digunakan untuk mengeluarkan beberapa variabel

keputusan dari kendala linier dengan mengurangi ruang matriks dari kendala

(Murtagh dan Saunders, 1982).

Masalah LP dinyatakan sebagai berikut.

Min f(x) (2.4)

Kendala A(x) = b (2.5)

x ∈ Rn

Partisi variabel keputusan x ke dalam variabel terikat atau basic (xB) dan variabel

bebas atau superbasic (xS) sehingga dapat dinyatakan menjadi:

x =

xB

xS

(2.6)

14

Akibatnya, matriks A dipartisi ke dalam matriks B dan S, sehingga persamaan

kendala (2.6) dinyatakan menjadi:

Ax = [B S]

xB

xS

= b (2.7)

Dimana matriks B adalah matriks kuadratik, dan sisanya adalah matriks S. Mem-

pertimbangkan ∆x, yaitu suatu pergerakan variabel x, sehingga Pers.(2.6) dapat

dinyatakan menjadi:

∆x =

∆xB

∆xS

=

xB − xkB

xS − xkS

(2.8)

Persamaan (2.7) dan (2.8) dapat memenuhi persamaan (2.6). Oleh karena itu

BxB + SxS = b dan BxkB + Sxk

S = b dapat dinyatakan menjadi;

B∆xB + S∆xS = 0 (2.9)

atau

∆xB = −BS∆xS (2.10)

Sehingga ∆x dapat dinyatakan menjadi:

∆x =

−B−1xB

I

∆xS (2.11)

atau

∆x = Z∆xS (2.12)

15

Dimana Z =

−B−1xB

I

disebut sebagai transformasi matriks

Dari derivatif kedua ekspansi deret Taylor dari f(x) pada iterasi ke - k, xk , maka

dapat dinyatakan menjadi:

f(x) = f(xk) +∇f(xk)T ∆x + 1/2(∆xT )∇xf(xk)∆x (2.13)

Hasil subsitusi Pers.(2.12) ke dalam Pers.(2.13) menjadi:

f(xS) = f(xk) +∇f(xk)T Z∆xS + 1/2 (∆xS)TZ

T ∇xf(xk)Z∆xS (2.14)

Dinyatakan reduced gradien gTR = ∇f(xk)T z dan reduced Hessi HR = zT∇xf(xk)z,

sehingga Pers.(2.13) (2.14) dapat dinyatakan menjadi:

f(xs) = f(xk) + gTR∆xS + 1/2(∆xS)T HR∆xS (2.15)

Kondisi penting untuk syarat minimum dipenuhi bilaδf

δ∆xS

= 0, yaitu;

gTR + HR∆xS = 0 (2.16)

Oleh karena itu, HR∆xS = gTR adalah sistem linier dari persamaan dalam (n−m)

variabel.

2.3 Program Tak Linier

Program tak linier (Non linear programming (NLP)) adalah suatu program

dalam masalah optimisasi yang mempunyai fungsi objektif tidak linier dan bebe-

rapa atau semua fungsi kendala tidak linier, akan tetapi tidak diketahui konveks

atau tidak konveks. Pembahasan tentang program tak linier dapat dilihat dalam

16

Luenberger (1984), Sugden (1992), Hiller dan Lieberman (2005), Boyd dan Van-

denberghe (2009).

Model program tak linier (NLP) dapat dinyatakan seperti berikut ini.

Min f(x) (2.17)

Kendala g(x) 6 0 (2.18)

h(x) = 0 (2.19)

x > 0

Dimana f(x) adalah fungsi tak linier, h(x) dan g(x) keduanya fungsi tak linier

atau salah satu tidak linier dengan n variabel keputusan.

Pemecahan masalah program tak linier adalah untuk menentukan nilai variabel

X = (x1, x2, ..., xn) dari kendala yang memperoleh solusi optimum (minimum atau

maksimum) untuk fungsi objektif. Terdapat beberapa bentuk masalah dalam pro-

gram tak linier, bentuknya tergantung pada ciri-ciri fungsi objektif dan kendala.

Sehingga pemecahan yang digunakan akan berbeda sesuai dengan ketidaklinieran

fungsi objektif dan kendala yang muncul dalam berbagai bentuk, seperti fungsi

konveks atau tidak konveks. Akibatnya daerah layak dapat menjadi menjadi daer-

ah layak konveks atau tak konveks.

2.3.1 Fungsi Tak Linier

2.3.1.1 Himpunan Konveks dan Tak Konveks

Definisi 2.1: Himpunan C disebut himpunan konveks atau konkaf, apabila semua

titik pada segmen garis melalui sembarang dua titik dalam himpunan C juga ele-

17

men himpunan C.

Definisi 2.2: Misalkan xi, xj ∈ R titik-titik yang dapat dibuat dalam bentuk

λxi + (1− λ)xj untuk 0 6 λ 6 1 disebut kombinasi garis dari xi dan xj.

Definisi 2.3: Suatu himpunan C ⊂ R disebut himpunan konveks apabila untuk

setiap sebarang dua elemen xi, xj ∈ C termuat dalam λxi + (1 − λ) xj untuk

0 6 λ 6 1

Definisi 2.4. Suatu himpunan NC ⊂ R disebut himpunan tak konveks apabi-

la untuk setiap sebarang dua elemen xi, xj ∈ NC terdapat titik xk sedemikian

sehingga xk pada λxi + (1− λ)xj untuk 0 6 λ 6 1 tetapi xk /∈ NC .

2.3.1.2 Fungsi Konveks dan Konkaf

Fungsi konveks adalah suatu fungsi yang memenuhi untuk setiap dua titik

xi dan xj, dapat ditarik garis yang menghubungkan f(xi) dan f(xj) pada fungsi

tersebut (Luenberger, 1984).

Definisi 2.5: Suatu fungsi f(x) disebut fungsi konveks apabila untuk sebarang dua

titik xi dan xj pada Rn dipenuhi f(λxi +(1−λ)xj 6 λf(xi)+(1−λ)f(xj), untuk

18

0 6 λ 6 1. Suatu fungsi f(x) dikatakan fungsi konveks kuat (strictly) apabila

untuk sebarang dua titik, xi dan xj pada Rn dipenuhi f(λxi + (1 − λ)xj >

λf(xi) + (1− λ)f(xj), untuk 0 6 λ 6 1

Definisi 2.6: Suatu fungsi f(x) dikatakan fungsi konkaf apabila untuk sebarang

dua titik xi dan xj pada Rn dipenuhi f(λxi + (1− λ)xj > λf(xi) + (1− λ)f(xj),

untuk 0 6 λ 6 1. Suatu fungsi f(x) disebut fungsi konkaf kuat (strictly) apabila

untuk sebarang dua titik xi dan xj pada Rn dipenuhi f(λxi + (1 − λ)xj <

λf(xi) + (1− λ)f(xj), untuk 0 6 λ 6 1

2.2.1.3 Fungsi tak Konveks

Definisi 2.7: Suatu fungsi f(x) dikatakan tak konveks, apabila fungsi tak linier

yang tidak dapat dinyatakan fungsi konveks atau konkaf.

Definisi 2.8: Suatu fungsi f(x) disebut tak konveks apabila untuk sebarang dua

titik xi dan xj pada Rn terdapat suatu titik xk ∈ λf(xi) + (1 − λ)f(xj) untuk

0 6 λ 6 1 tidak memenuhi f(λxi + (1 − λ)xj > λf(xi) + (1 − λ)f(xj), untuk

0 6 λ 6 1.

19

2.2.1.4 Daerah Layak Konveks

Definisi 2.9: Daerah layak F adalah konveks apabila untuk setiap dua titik pada

daerah layak F, semua kombinasi konveks titik-titik dalam F juga dalam daerah

layak F.

Dalam permasalahan optimisasi, daerah layak konveks dalam fungsi objektif F,

dinyatakan dalam F = {x : x ∈ Rn, h(x) = 0, g(x) 6 0, x > 0} dapat digambarkan

sebagai berikut.

Daerah layak F(x) adalah konveks, karena untuk sebarang titik x1, x2 ∈ F , se-

tiap kombinasi konveks dari titik-titik x1, dan x2 dalam daerah layak F, yaitu

x = λx1 + (1− λ)x2 ∈ F untuk semua nilai λ, dimana 0 6 λ 6 1.

2.2.1.5 Daerah Layak Tak Konveks

Definisi 2.10. Daerah layak dikatakan tidak konveks apabila beberapa titik

dalam garis yang menghubungkan dua titik tidak berada dalam daerah layak.

Definisi 2.11. Daerah layak F dikatakan tidak konveks apabila kombinasi kon-

veks dari sebarang dua titik dalam F tidak dalam daerah layak F.

20

Dalam permasalahan optimisasi, daerah layak tak konveks dari daerah layak F =

x : x ∈ Rn, h(x) = 0, gi(x) 6 0, i = 1, ..., n , dapat digambarkan sebagai berikut.

Daerah layak F(x adalah tidak konveks, karena untu sebarangk dua titik titik

x1, x2 ∈ F (x) terdapat titik xk /∈ F (x) sedemikian sehingga xk = λ x1 +(1−λ) x2

/∈ F (x) untuk semua nilai λ untuk 0 6 λ 6 1.

2.3.2 Metode Pemecahan

Membahas masalah program tak linier tidak terlepas dari pemecahan ma-

salah fungsi tak linier. Terdapat beberapa pendekatan yang digunakan untuk

pemecahan fungsi tak linier dalam rangka mencari titik ekstrim. Perbedaan pen-

dekatan tergantung kepada bentuk fungsi dan tujuan yang akan dicapai. Pen-

dekatan atau metode yang biasa digunakan dalam pemecahan fungsi tak lini-

er, seperti deret Taylor, fungsi Lagrange, dan Kondisi Kuhn-Tucher, pendekatan

tersebut dapat dilihat dalam Rao (2009), Mital (1976), Bronson (1996), Chachuat

(2007). Pemecahan itu diuraikan secara ringkas berikut ini

21

2.3.2.1 Deret Taylor

Deret Taylor digunakan untuk mengembangkan konsep dasar dari fungsi

objektif, yaitu dengan gradient fungsi dan matriks Hessian untuk memperoleh

karakteristik solusi optimal dari pengujian konveksitas suatu fungsi dan titik eks-

trim.

Andaikan fungsi f(x) adalah fungsi yang dapat dideferensialkan secara kontinu

dan mempunyai nilai riel dari X dalam Rn. Dapat diambil x + δx sebagai per-

sekitaran dari x dalam Rn sedemikian sehingga ∆X = {δx1, δx2, ..., δxn} dan

X + ∆x = {x1 + δx1, x2 + δx2, ..., xn + δxn}, dimana derivatif dari f(x) adalah

∇f =[

∂f∂x1

, ∂f∂x2

, ..., ∂f∂xn

], sehingga deret Taylor untuk f(x) dalam variabel n dapat

dinyatakan dengan f{x1 +δx1, x2 +δx2, ..., xn +δxn} = f(x1, x2, ..., xn)+f(δx1∂f∂x1

+ δx2∂f∂x2

+ ... + δxn∂f∂xn

) + 12f(δx1

∂f∂x1

+ δx2∂f∂x2

+ ... + δxn∂f∂xn

)2 + ... + 1nf(δx1

∂f∂x1

+δx2∂f∂x2

+...+δxn∂f∂xn

)n+ 1n+1

f(δx1∂f∂x1

+δx2∂f∂x2

+...+δxn∂f∂xn

)n+1

Matriks Hessian dari fungsi f(x) sebagai matriks n x n, yaitu:

H(x) =

∂2f

∂2x1

,∂2f

∂x1∂x2

, ...,∂2f

∂x1∂xn

∂2f

∂x2∂x1

,∂2f

∂2x2

, ...,∂2f

∂x2∂xn

............, ............, ..........

∂2f

∂xn∂x1

,∂2f

∂xn∂x2

, ...,∂2f

∂2xn

(2.20)

Sehingga deret Taylor dapat dinyatakan menjadi:

22

F (x + ∆x) = f(x) + (∆x)1∇f(x) +1

2(∆x)1H(x)∆x + E(x, ∆x) ‖ ∆x ‖2 (2.21)

Dimana E(x, ∆x) → 0, dan ‖ ∆x ‖→ 0

2.3.2.2 Titik Ekstrim

Titik ekstrim adalah suatu titik maksimum atau minimum dari seluruh ni-

lai variabel suatu fungsi. Titik yang membuat f(x) minimum mengakibatkan

(−f(x)) menjadi maksimum atau sebaliknya. Hal itu berarti, suatu masalah

maksimum dapat diubah menjadi masalah minimum, dan sebaliknya.

Definisi 3.11. Titik x∗ ∈ D disebut minimum lokal dari fungsi f(x) pada D

apabila terdapat persekitaran ε > 0 dari x∗ sedemikian sehingga untuk semua x

dalam persekitaran x∗ memenuhi f(x) > f(x∗). Titik x∗ ∈ D disebut maksimum

lokal dari fungsi f(x) pada D apabila terdapat persekitaran ε > 0 dari x∗ sedemi-

kian sehingga untuk semua x di persekitaran x∗ memenuhi f(x) 6 f(x∗).

Definisi 3.12. Titik x∗ ∈ D disebut minimum global dari fungsi f(x)pada D

apabila untuk semua x ∈ D memenuhi f(x) > f(x∗). Titik x∗ ∈ D disebut

maksimum global dari fungsi f(x) pada D apabila untuk semua x ∈ D memenuhi

f(x) 6 f(x∗).

Beberapa syarat penting untuk mengidentifikasi titik stationer dengan menggu-

nakan fungsi gradient dan matriks Hessi, yaitu:

1. Kondisi cukup untuk minimum lokal pada titik x∗

a. Fungsi gradien∇f(x∗) = 0

23

b. Matriks Hessi H(x∗) adalah definit positif

2. Kondisi cukup untuk maksimum lokal pada titik x∗

a. Fungsi gradien∇f(x∗) = 0

b. Matriks Hessi H(x∗) adalah definit negatif

3. Kondisi cukup untuk titik sadle (pelana) pada titik x∗

a. Fungsi gradien∇ff(x∗) = 0

b. Matriks Hessi H(x∗) adalah indefinit

2.3.2.3 Fungsi Lagrange

Suatu metode klasik menyangkut pemecahan permasalahan pada program

linier atau non-linier adalah dengan metode pengali Lagrange. Metode ini digu-

nakan untuk mencari solusi dari suatu permasalahan titik ekstrim dari beberapa

variabel dan fungsi yang memenuhi semua persamaan kendala. Prosedur metode

ini dimulai dengan merumuskan fungsi Lagrange seperti berikut.

Maks/min f(x) (2.22)

Kendala: gi(x(i, ., xn)) = bi, i = 1, ,m; m < n (2.23)

xi > 0

dimana f(x) dan g(x) adalah fungsi yang dapat dideferensialkan dan mempunyai

nilai riel untuk setiap variabel x.

24

Fungsi F(x) dinyatakan dengan ekspresi:

F (x, λ) = λ0f(x) + λ1[b1 − g1(x)] + ... + λm[bm − gm(x)] (2.24)

disebut fungsi lagrange, dan bilangan λi disebut pengali lagrange, dengan memenu

hi persyaratan pengali, apabila x∗ = x∗1, ..., x∗n adalah solusi dari masalah pada

suatu titik ekstim dari Pers.(2.22) - (2.23), maka terdapat bilangan yang paling

kecil tidak nol dari pengali lagrange λ∗ = λ∗0, ..., λ∗m sedemikian sehingga titik-titik

x∗, λ∗ adalah titik stationer dari fungsi lagrange yang memenuhi variabel xj dan

λi, i 6= 0 disebut sebagai variabel bebas. Kondisi penting untuk titik stationer

dari fungsi lagrange adalah suatu kepastian sistem pada persamaan m + n

Teorema 2. 1. Misalkan x ∈ L ⊆ Rn, f(x) dan g(x) adalah fungsi yang dapat di-

deferensialkan dan mempunyai nilai real untuk setiap x dalam L. Jika

f(x) mempunyai relatif ekstrim di x terhadap kendala gk(x) = 0,

k = 1, ...,m, maka terdapat λk, k = 1, ...,m sedemikian sehingga x∗

adalah titik stationer.

Bukti:

Tanpa mengurangi keumuman dari kendala gk(x) = 0, diasumsikan Jacobian

sebagai berikut:

∂(g1, g2, ..., gm)

∂(x1, x2, ..., xm)6= 0 (2.25)

25

Karena x∗ adalah relatif ekstrim dari f(x), maka (∆x)(∇f(x∗)) = 0, atau pada

x∗ berlaku:

∂x1∂f

∂x1

+ ∂x2∂f

∂x2

+ ... + ∂xn∂f

∂xn

= 0 (2.26)

Karena kendala gk(x) = 0, k = 1, ...,m, ∂xj, j = 1, ...,m tidak bebas linier,

maka dengan pendeferensialan diperoleh:

∂gk

∂x1

∂x1 +∂gk

∂x2

∂x2 + ... +∂gk

∂xn

∂xn = 0, k = 1, ...,m (2.27)

Dengan mengalikan Pers. (2. 27) dengan λ1, λ2, ..., λm, dan menambahkannya ke

Pers. (2. 26), diperoleh:

n∑i=1

(∂f

∂xi

+ λ1∂g1

∂xi

+ λ2∂g2

∂xi

+ ... + λm∂gm

∂xi

)∂xi = 0 (2.28)

Dengan mempertimbangkan persamaan:

(∂f

∂xi

+ λ1∂g1

∂xi

+ λ2∂g2

∂xi

+ ... + λm∂gm

∂xi

) = 0, i = 1, ...,m (2.29)

atau

∂g1

∂x1

,∂g2

∂x1

, ...,∂gm

∂x1

∂g1

∂x2

,∂g2

∂x2

, ...,∂gm

∂x2

......., ......., .......

∂g1

∂xn

,∂g2

∂xn

, ...,∂gm

∂xn

λ1

λ2

.

.

λm

=

∂f

∂x1

∂f

∂x2

....

∂f

∂xm

(2.30)

Karena Pers.(2.24) merupakan matriks non singular, maka terdapat nilai unik

dari λ1, λ2, ..., λm yang memenuhi Pers.(2.29).

26

Dengan mengurangi variabel xi, i = 1, ..., n dalam Pers.(2.28) maka diperoleh:

n∑i=m+1

(∂f

∂xi

+ λ1∂g1

∂xi

+ λ2∂g2

∂xi

+ ... + λm∂gm

∂xi

)∂xi = 0

Karena terdapat variabel xi, i = m + 1, ..., n adalah variabel bebas linier me-

ngakibatkan:

∂f

∂xi

+ λ1∂g1

∂xi

+ λ2∂g2

∂xi

+ ... + λm∂gm

∂xi

∂xi = 0, i = m + 1, ..., n (2.31)

Berdasarkan penyederhanaan Pers.(2.29) dan (2.31) diperoleh:

∂L(x, λ)

∂xi

= 0, i = 1, ..., n pada x∗ (2.32)

Dengan demikian x∗ adalah titik stationer dari f(x). �

2.3.2.4 Kondisi Kuhn-Tucher

Solusi optimal dari permasalahan program tak linier dianalisis oleh Karush

(1939) dan Kuhn-Tucher (1951). Kondisi optimal Karush-Kuhn-Tucher (KKT)

adalah valid untuk pemecahan masalah program tak linier dengan fungsi objektif

dan kendala tak linier yang mempunyai kendala bentuk pertidaksamaan atau

persamaan. Jadi, syarat perlu untuk memperoleh solusi optimal dari program

tak linier adalah adanya kondisi Karush-Kuhn-Tucher dari model berikut.

Min f(x) (2.33)

Kendala g(x) 6 0 (2.34)

x > 0

Berdasarkan fungsi Lagrange diperoleh L(x, λ) = f (x) + λgi(x), i = 1, ..., n, di-

mana λ > 0 adalah pengali Lagrange. Sehingga untuk memperoleh titik stationer

27

harus memenuhi; ∂L(x,λ)∂xi

= 0, i = 1, ..., n sehingga kondisi Karush-Kuhn-Tucher

(KTT) adalah;

∂L(x, λ)

∂xi

=∂f

∂xi

+m∑

k=1

(λk∂gk

∂gi

) = 0, i = 1, ..., n (2.35)

dan

gk(x) 6 0

λkgk(x) = 0

λk > 0

, k = 1, ...,m (2.36)

atau

∂f

∂xi

+m∑

k=1

(λk∂gk

∂gi

) > 0

xj

[∂f

∂xi

+m∑

k=1

(λk∂gk

∂gi

)

]= 0

xj > 0

(2.37)

dan

gi(x) 6 0

λigi(x) = 0

λi > 0

, k = i, ...,m (2.38)

Dimana kondisi Pers.(2.34)-(2.35) merupakan syarat perlu pada (x∗, λ∗) untuk

titik pelana (saddle) dari f(x, λ) dengan variabel x tidak dibatasi dan λ > 0.

Dengan kondisi yang sama Pers. (2.36)-(2.37) untuk x > 0, λ > 0. Apabila f(x)

dan gi(x) adalah fungsi konveks dengan titik sadle (x∗, λ∗), λ∗ > 0 dari L(x, λ)

28

dengan demikian x∗ adalah titik minimum dari f(x) dengan kendala gi(x). Kare-

na f(x) adalah fungsi konveks maka f(x) hanya mempunyai satu titik optimum

yang menjadi titik minimumnya. Jadi kondisi ini merupakan solusi perkiraan

kondisi Kuhn-Tucher yang memberikan titik minimum dari f(x). Sehingga masa-

lah program tak linier mempunyai solusi optimum hanya jika terdapat m bilangan

λ1, ..., λm sedemikian sehingga semua kondisi berikut dipenuhi.

(1)∂f

∂xj

=m∑

k=1

λk∂gi

∂xj

6 0,∀i = 1, ..., n di xj = x∗j

(2) x∗j(∂f∂xj

−m∑

k=1

λk∂gi

∂xj) = 0,∀i = 1, ..., n di xj = x∗j

(4) λi(gi(x∗j)− bi) = 0,∀i = 1, ...,m

(5) x∗i > 0,∀i = 1, ..., n

(6) λi > 0,∀i = 1, ...,m, dimana λi disebut pengali Lagrange’

2.3.1 Program Konveks

Program konveks suatu klas khusus dari program tak linier yang memiliki

fungsi tujuan linier atau tidak linier dan kendala tidak linier, dimana semua solusi

layak berada dalam daerah layak. Program konveks berarti fungsi adalah kon-

veks, sehingga daerah pencarian adalah konveks. Fungsi dapat dideferensialkan

dari banyak variabel bila matriks Hessian (suatu matriks untuk semua derivative

keduanya) adalah definit positif pada semua (entire) domainnya, dan masalah

program konveks mengacu pada masalah optimisasi yang hanya mempunyai satu

minimum lokal, dan dapat menemukan minimum global.

29

Model program konveks dinyatakan sebagai berikut;

Min f(x) (2.39)

Kendala gi(x) 6 0, i = 1, ..., 0 (2.40)

x > 0

Dimana fungsif, gi, ..., gm : Rn → R adalah fungsi konveks

Definisi 3.13. Misal C adalah himpunan konveks yang tidak kosong di dalam

Rn. Jika f : C → R adalah konveks pada C, maka min f(x)x∈C

disebut program

konveks.

Dalam program konveks diasumsikan minimum lokal menjadi minimum global.

Nilai f(x∗) adalah minimum pada titik x∗ yang memenuhi f(x) > f(x∗) untuk

‖ x−x∗ ‖< δ, dan minimum global dalam daerah layak F nilai pada f(x∗) adalah

minimum yang memenuhi memenuhi f(x) > f(x∗),∀x ∈ F, dan menentukan nilai

x = x∗ menjadi solusi minimum dilakukan dengan derivarif pertama dari f(x),

yaitu ∂f(x)∂xj

= 0, pada x = x∗, untuk j = 1, 2, ..., n.

Teorema 2.2. Misal x∗ adalah minimum lokal pada program konveks, maka x∗

adalah juga minimum global.

Bukti: Misalkan variabel x∗ adalah minimum lokal, berarti ∃ε > 0 sedemikian

sehingga f(x) > f(x∗),∀x ∈ Cε(x∗). Dengan kontradiksi, andaikan x∗ bukan

minimum global, maka ∃x ∈ C sedemikian sehingga f(x) < f(x∗). Misalkan

λ ∈ [0, 1] adalah pilihan sedemikian sehingga dengan konveksitas pada C, dan

f(x) dalam C, berarti f(x) = λx + (1− λ) x∗ ∈ Cε(x∗).

30

Selanjutnya, dengan konveksitas dari f pada C, berarti; f(x) 6 λ f(x) + (1 −

λ)f(x∗) < λf(x∗) + (1− λ)f(x∗) 6 f(x∗) atau f(x) 6 f(x∗).

Hal ini bertentangan dengan pengandaian, bahwa x∗ adalah minimum lokal. Jadi

haruslah x∗ adalah minimum global. �

Dalam masalah program konveks, dengan penambahan asumsi bahwa f dan g

adalah fungsi konveks. Biasanya, bila masalah tidak diasumsikan pada masalah

konveks, maka masalah mempunyai solusi optimum lokal . Hasil yang diperoleh

berdasarkan penggunaan metode eksak dapat menemukan solusi global, disebut

metode optimisasi global.

2.3.2 Program Tak Konveks

Program tak konveks adalah suatu program yang mempunyai fungsi objek-

tif tak linier dan beberapa atau semua kendala tak linier. Masalah program tak

konveks mungkin mempunyai banyak titik optimum lokal, hal itu akan memer-

lukan banyak waktu untuk mengidentifikasi apakah masalah mempunyai solusi

atau tidak, apabila solusi yang akan dicari adalah minimum global. Oleh karena

itu, masalah pemecahan masalah program tak konveks pada umumnya lebih sulit,

bahkan fungsi adalah sangat smooth (halus). Dalam program tak konveks, dia-

sumsikan bahwa minimum lokal tidak menjadi minimum global, atau maksimum

lokal tidak menjadi maksimum global. Masalah tersebut digambarkan seperti

dalam gambar 2.5 berikut.

31

2.4 Metode Pemecahan

Beberapa penggunaan algoritma yang efektif dalam pemecahan masalah NLP

dapat dilihat dalam Bertsimas (1999), Boyd dan Vabdenberghe (2004), Flet-

cher (2000), Nocedal dan Wright (2006), pemecahan itu diuraikan secara ringkas

berikut ini.

2.4.1 Line Search

Pencarian garis (line search) digunakan untuk masalah optimisasi tak ber-

kendala dengan fungsi objektif non-linier. Pada tiap iterasi suatu penaksiran dari

fungsi non-linier dipertimbangkan dan (i) suatu petunjuk pencarian ditentukan,

(ii) penjang langkah pencarian selama arah pengambilan diperhitungkan. Pen-

dekatan berbeda untuk menentukan arah dan panjang langkah seperti Steepest des−

cent, Newton, Quasi−Newton, Conjugate Direction methods.

32

2.4.2 Trust Region

Daerah kepercayaan (Trust region) adalah suatu metode yang digunakan se-

bagai suatu alternatif untuk pencarian garis. Pada tiap-tiap iterasi, pencarian dari

titik terbaik menggunakan perkiraan yang dibatasi ke dalam suatu trust region,

dan ditetapkan dengan suatu panjang langkah maksimum. Pendekatan ini di-

dorong oleh fakta bahwa perkiraan dari fungsi non-linier pada titik yang diberikan

tidak dapat menjadi titik terbaik. Oleh karena itu trust region dapat menun-

jukkan bagian seharusnya yang dapat memberikan perkiraan yang baik. Kemu-

dian arah dan panjang langkah pencarian memberikan perbaikan terbaik untuk

nilai fugsi objektif sampai daerah kepercayaan diambil.

2.4.3 Penalty and Augmented Lagrangian

Metode Penalty mendefinisikan ulang fungsi objektif dari NLP untuk mem-

peroleh kelayakan dan nilai optimalitas dari suatu penambahan syarat-syarat so-

lusi yang menetapkan ketidaklayakan solusi. Ketika suatu fungsi penalty memini-

malkan solusi dari NLP awal. Hal itu disebut eksak, dengan kata lain minimal-

isasi fungsi penalty mengarahkan kepada solusi optimal dari masalah asli. Suatu

contoh dari metode penalty eksak adalah metode Augmented Lagrangian yang

membuat dengan jelas penggunaan dari penduga pengali Lagrange.

33

2.4.4 Active Set

Himpunan aktif (active set) adalah himpunan variabel aktif dalam suatu

persamaan kendala. Metode himpunan aktif adalah suatu metode iteratif untuk

pemecahan masalah NLP dengan pertidaksamaan kendala. Berdasarkan penger-

tian kendala dalam himpunan aktif, suatu pergerakan mengidentifikasi titik baru

untuk iterasi selanjutnya. Algoritma simpleks oleh Dantzig (1956) adalah suatu

metode kendala aktif untuk pemecahan masalah program linier. Suatu hasil yang

efektif dan luas digunakan dalam kasus khusus dengan metode himpunan aktif

untuk masalah NLP adalah program kuadratik (Quadratic programming), yaitu

suatu rangkaian pemecahan masalah untuk menaksir masalah NLP terakhir. Su-

atu contoh seperti penyelesaian menggunakan metode Newtons dengan kondisi

KKT dari masalah NLP .

Metode himpunan aktif adalah suatu metode yang mengestimasi himpunan vari-

abel aktif dari solusi optimal. Masalah NLP dibagi dalam dua bagian himpunan

kendala, yaitu pertidaksamaan yang menjadikannya sebagai kendala aktif, dan

kendala tidak aktif. Pertidaksamaan kendala dalam himpunan tidak aktif diang-

gap sebagai pertidaksamaan kuat pada solusi optimum dan mengabaikan yang

sangat utama. Sisa masalah dipecahkan dengan suatu metode untuk memecah-

kan persamaan kendala dari masalah optimisasi.

Pemecahan masalah NLP terdiri dari dua tahap iterasi yang memberikan suatu es-

timasi himpunan aktif dari solusi. Tahap pertama adalah tahap kelayakan, dima-

34

na fungsi objektif diabaikan ketika titik layak ditemukan pada kendala Ax=b dan

Dx > f . Tahap kedua adalah tahap optimalitas, dimana fungsi objektif dimini-

malkan ketika kelayakan diperbaiki. Kedua tahap dari algoritma terkait dengan

perubahan minimalisasi fungsi dari suatu fungsi yang menggambarkan tingkat

dari ketidaklayakan kepada fungsi objektif. Metode ini mempunyai prosedur un-

tuk meninjau ulang himpunan aktif, salah satu cara adalah dengan penghapusan

pertidaksamaan kendala dari kendala asli, atau menambahkan pertidaksamaan

kendala dari himpunan tak aktif ke dalamnya. Pembahasan metode himpunan

aktif (Active set) dapat dilihat dalam Panier (1987), Murty dan Yu (1997), Oberlin

dan Wright (2006). Kontribusi metode active set tersebut mendasari pemecahan

masalah NLP dengan kendala aktif.