1/23/2020
1
Gjeostatistikë
Th.Korini, 2020
Fakulteti i Gjeologjisë dhe i Minierave
Ku
rsi
I M
as
ter
Gje
oin
form
ati
kë
Leksioni 6
Vlerësimi global
Kemi parë llogaritjen e variancës së vlerësimit si dhe të llogarisim precizionine vlerësimit të z(V) nëpërmjet z(v) për një numër rastesh tipike:
- Vlerësimi i një segmenti nëpërmjet pikës së mesit;- Vlerësimi i zone drejtkëndore (panel) nëpërmjet pikës së mesit etj.
Ne vlerësojmë z(V) nëpërmjet:
gabimi që bëjmë është:
i cili karakterizohet nga:
dhe:
*( )z V z v
( ) ( )e z v z V
( ) ( ) 0E Z v Z V
2( ) ( ) EVar Z v Z V
1/23/2020
2
Galeri me rrjet të rregullt
Le të jetë një galeri me gjatësi L e ndarë në n segmente të barabartë me gjatësi li të barabartë me l.
1
n
ii
l n l L
ix
il
Çdo segment li vlerësohet nëpërmjet mesit të tij xi, për vlera të njohura të z(xi). Duhet vlerësuar Z(L) nëpërmjet z*(L) dhe të përcaktohet precizioni i këtij vlerësimi.
1
1 1
1 1 1 1... ...
n i
n n
ii iL l l l
z L z x dx z x dx z x dx z x dx z lL L L n
il z l 1
1 n
ii
z L z ln
Pra:
Për vlerësimin e z(L) ne marrim: * *
1
1 n
ii
z L z ln
*i iz l z xku
*
1
1 n
ii
z L z xn
*
1
1 n
ii
z L z xn
Gabimi është: *
1
1 n
i ii
e z L z L z x z ln
është një realizim i variablit të rastit
pritja matematike e të cilit është:
1
1 n
i ii
Z x Z ln
1 1
1 10
n n
i i i ii i
E Z x Z l E Z x E Z ln n
m mPra vlerësimi është pa shmangie.
2 21 1
1 1 2,
n n
i i i i i i j ji i i j
Var Z x Z l Var Z x Z l Cov Z x Z l Z x Z ln n n
Parimi i pavarësisë së gabimeve elementare bën që të shkruajmë se , 0i i j jCov Z x Z l Z x Z l
Pra, gabimi në segmentin i është i pavaruar nga gabimi në segmentin j (pavarësisht i dhe j)
2 2
2
1 1,E i i i Ex L Var Z x Z l x l
n n
2 ,E i ix l
2 ,E x l është varianca e vlerësimit të një segmenti me gjatësi l nëpërmjet qendrës së tij x
1/23/2020
3
Galeri me rrjet të çrregullt
ix
il
Llogaritja e variancës së vlerësimit: 2
2 2 2 2
21 1
1, ,
n ni
E i E i i i E i ii i
lx L x l l x l
L L
*
1
1 n
i ii
z L l z xL
Rasti i përgjithshëm
*i iz v z v
dhe *
1
ni
ii
Vz V z v
V
2
2 2
1
, ,n
iE i E i i
i
Vv V v V
V
si dhe
Shembull
Le të jenë dy rastet në vijim të vlerësimit të një galerie:
1)
2)
Zgjedhim një variogramë sferike me kapje 50m dhe prag 5(%)2.
22 21 1
, ,40 0.21 5 %3 3
E i Ex L x 22 , 0.35 %E ix L 1)
22
2 2
1 1, 2 0.16 0.32 5 %
4 2E ix L
22 , 0.50 %E ix L 2)
1/23/2020
4
Përafrimi i gabimit të vlerësimit global
Vija, nivele, shtresa
Le të jetë një vendburim me tri përmasor i zbuluar nëpërmjet tre niveleve. Çdo nivel është zbuluar nëpërmjet një apo disa vijave, ndërsa për çdo vijë kemi zbulimin nëpërmjet shpimeve xi (vlerave pikësore të parametrit).
Procedura e ndjekur konsiston në sa vijon:
-Vlerësimi i përmbajtjes së vijave nëpërmjet përmbajtjes së pikave nëpërmjet
variancës: , kemi të bëjmë me gabimin e rreshtit;
-Vlerësimi i paneleve (që përafrojnë sa më mirë që të jetë e mundur nivelet)
nëpërmjet vijave: , kemi të bëjmë me gabimin e nivelit;
-Vlerësimi i volumeve (shtresave) (që përafrojnë sa më mirë që të jetë e
mundur vendburimin) nëpërmjet paneleve që kalojnë nga mesi i çdo volumi:
, kemi të bëjmë me gabimin e shtresës.
2 ,E ij jx L
2 ,E j jL S
2 ,E j jS V
Përafrimi i gabimit të vlerësimit global kërkon që të pranohet që gabimet e vijave, niveleve dhe shtresave janë të pavarur nga njeri-tjetri.
2 2 2 2global vijë nivel shtresëE E E E
Optimizimi i punimeve të zbulimit
Formula e mësipërme na lejon të llogarisim vlerësimin global si dhe të optimizojmë numrin e punimeve të zbulimit duke bërë të mundur që të arrihet një gabim global që fiksohet paraprakisht.
1/23/2020
5
Shpërndarja e punimeve të zbulimit
Rasti i shpërndarjes preferenciale:
Shpimet janë vendosur në zonat me mineralizim më të madh.
Në këtë rast gjeostatistika është e papërdorshme.
Rrjet i rregullt:
2 21 1 2 0, ,E E s s s
n n
L
l
Rrjet i rastit i shtresëzuar:
Shpimet janë vendosur në mënyrë të rastit brenda çdo kuadrati të rrjetit
2 1,E s s
n
Rrjet i krejtësisht i rastit:
2 1,E S S
n
2 2 2
i rastit ik re shjtës tresisht i r ëzuar rrjet i rregulla tstit
E E E
1/23/2020
6
Varianca e dispersionit
v
V
Sa ndryshon përmbajtja në bllokun e vogël v në
raport me bllokun e madh V ?
Kërkohet të parashikohet madhësia e variacionit të përmbajtjes së blloqeve për një zonë të fundme që i korrespodon vendburimit ose një pjese të tij. Le të marrim
në studim bllokun Vj të ndarë në blloqe të vegjël vi . Do të
kemi:
Vj
vi
1
1 n
j ii
Z V Z vn
Kërkojmë të përcaktojmë variacionin e vi në Vj mesatarisht
për gjithë blloqet V. Kjo quhet varianca e dispersionit të vnë V dhe shënohet : 2 /D v V
Le të jetë varianca vi në Vj :
2
2/
1
1i j
n
v V i ji
s Z v Z Vn
Përcaktojmë variancën e dispersionit si pritjen matematike të kësaj variance eksperimentale kur marrim në konsideratë gjithë blloqet e mundshem Vj :
22
2 2/
1 1
1 1/
i j
n n
v V i j i ji i
D v V E s E Z v Z V E Z v m Z V mn n
2 2 2 2 2 2
1
2, 2 ,
n
V v j i V v j j v Vi
Cov Z V Z v Cov Z V Z Vn
Pra: 2 2 2/ v VD v V
Në këtë mënyrë varianca e dispersionit nuk është gjë tjetër veçse variabiliteti i përmbajtjeve të matura në dy volume të ndryshme dhe mund të shkruhet:
2 / , , , ,D v V C v v C V V V V v v
1/23/2020
7
Për modelet rritëse të variogramave do të kemi:
2
2
2 2
Në qoftë se
Në qof
0 / ,
/ 0
të se
Në qoftë se / v
v D v V V V
v V D v V
V D v V
Në një minierë, “v” mund ti korrespodonte prodhimit ditor dhe “V” prodhimit javor
ose mujor. Rendimenti i pasurimit mund të lidhej me madhësisë e fluktuacioneve ditore përgjatë muajit, pra të 2 /D v V
v1v2
v3
vn
Në se kemi një seri volumesh të futur brenda njeri
tjetrit të tillë që v1<v2<v3<…<vn-1<vn atëherë:
2 2 2 21 1 2 2 3 1/ / / ... /n n nD v v D v v D v v D v v
Shembull 1
Variogramë sferike me ax=30m, ay=15m, az=12m dhe C=20 (%)2
Të llogaritet varianca e dispersionit të përmbajtjes së një kamioni gjatë 1 jave.
2 2 2/ , , , ,v VD v V V V v v C F V V F v v
1/23/2020
8
Raportet:
10 20 10 5 2
: , 0.833,0.666 0.6412 30 15 6 3
V F F
5 5 4 1 1
: , 0.167,0.333 0.27830 15 12 6 3
v F F
22 / 20 0.64 0.278 7.24 %D v V
Shembull 2Një vendburim masiv bakri shfrytëzohet me metodën e shfrytëzimit block-caving sipas blloqeve me përmasa 60x60x80m. Përmbajtja mesatare e bakrit është 1.6%.Një prodhim ditor prej 65000 ton mineral merret nga ngarkimi i kamionëve në 8 blloqe të ndryshëm duke përcaktuar një njësi shfrytëzimi ditore për çdo bllok prej 8125 ton, që i korrespodon (për një peshë vëllimore prej rreth 3ton/m3) një zone të bllokut me përmasa 60x60x0.75m. Pranojmë një variogramë sferike me C0=0.05(%)2, C1=0.10 (%)2 dhe kapje a=100m.Të llogaritet dispersioni relativ i përmbajtjeve ditore.
22 / 0.11 0.095 0.015 %iD v V
2 / , ,i i iD v V V V v v
80 60 60
: 0.8,0.6 0.6100 100 100
iV F
0.75 60 60
: 0.0075,0.6 0.45100 100 100
v F
0, ,i i i iV V C C F V V
0, ,v v C C F v v
2
, 0.05 0.1 0.6 0.11 %i iV V
2
, 0.05 0.1 0.45 0.095 %v v
1/23/2020
9
1V
8V
iV
1 2 3 4 5 6 7 8
1
8z P z V z V z V z V z V z V z V z V
21/
8iVar z P D v V me kusht që blloqet të jenë më larg njeri-tjetrit se sa
kapja e variogramës.
21
0.015 0.0019 %8
Var z P 0.0019 0.044%P
2 2 0.044% 0.09%P
1.6 0.09 1.6 0.09z P Pra: 1.51 1.69z P
Kërkojmë të vlerësojmë variablin e rastin Z(x0) në një pikë x0 ku nuk është kryer matje, duke u nisur nga vlerat e matura në një numër pikash.
Kërkohet që vlerësimi të jetë: Pa shmangie; Të minimizojë variancën e vlerësimit
Metoda e përdorur ka marrë emrin Kriging
KRIGINGU
1/23/2020
10
Zgjidhja e problemit të krigingut
1 2, , ..., , ...,i nv v v v
*Kz V
*
1
( )n
K i ii
z V z v
ku i quhen koeficientët e krigingut
Kushtet: 1) Kushti i shmangies zero * ( ) 0KE z V z V
* * *
1
( ) ( ) ( ) 0n
K K K i ii
E z V z V E z V E z V E z V m E z v m
1
n
ii
m m
1
1n
ii
Pra:
2) Minimizimi i variancës * ( ) minKVar z V z V
* * *( ) ( ) 2 ( ),K K KVar z V z V Var z V Cov z V z V Var z V
, 2 , ,i j i j i ii j i
C v v C v V C V V
1,..., ,..., , 2 , ,i n i j i j i ii j i
f C v v C v V C V V
1,..., ,..., min
1i n
i
f
Problemi i minimizimit me kushte
Lagranzh ka treguar se , min
, 0
f x y
g x y
Është ekuivalent me:
, , min
, 0
f x y g x y
g x y
shumëzuesi i lagranzhit
Në rastin tonë: 1,..., ,..., 2 1 min
1
i n i
i
f
1/23/2020
11
2 0
1
i
i
fi
2 , 2 , 2 0
1
j i j ij
i
C v v C v Vi
, , 0
1
j i j ij
i
C v v C v Vi
Kemi (n+1) të panjohura:dhe (n+1) ekuacione
1,..., ,..., ,i n
, , deri 1
1
nëj i j ij
i
C v v C v V i n
Varianca e krigingut do të jetë: 2 , ,K i ii
C V V C v V
1 1 1 1 1 1
1 1
1 1
1
, ... , ... , ,
... ... ...
, ... , ... , ,
... ... ...
, ... , ... , ,
... ... 1
j j n n
i j i j n i n i
n j n j n n n n
j n
C v v C v v C v v C v V
C v v C v v C v v C v V
C v v C v v C v v C v V
Përftohet sistemi:
1 1 1 111
1
1
, ... , ... , 1 ,
... ... ... ... ... ... ......
, ... , ... , 1 ,
... ...... ... ... ... ... ...
,, ... , ... , 1
11 ... 1 ... 1 0
j n
i i j i n j i
n nn n j n n
C v v C v v C v v C v V
C v v C v v C v v C v V
C v VC v v C v v C v v
Ose në trajtë matricore:
K M ose duke e zgjidhur përftojmë: 1
K M
1/23/2020
12
Duke patur parasysh se:Sistemi i krigingut mund të shkruhet nëpërmjet variogramës:
0C h C h
1 1 1 111
1
1
, ... , ... , 1 ,
... ... ... ... ... ... ......
, ... , ... , 1 ,
... ...... ... ... ... ... ...
,, ... , ... , 1
11 ... 1 ... 1 0
j n
i i j i n j i
n nn n j n n
v v v v v v v V
v v v v v v v V
v Vv v v v v v
Ndërsa varianca e krigingut do të jetë:
11
2
,
......
,,
... ...
,
1
j iK
n n
v V
v VV V
v V
Krigingu ka cilësinë të jetë një interpolues ekzakt, d.m.th. se, në
qoftë se V është një nga vi, atëherë : *( ) iz V z v