1/23/2020

1

Gjeostatistikë

Th.Korini, 2020

Fakulteti i Gjeologjisë dhe i Minierave

Ku

rsi

I M

as

ter

Gje

oin

form

ati

kë

Leksioni 6

Vlerësimi global

Kemi parë llogaritjen e variancës së vlerësimit si dhe të llogarisim precizionine vlerësimit të z(V) nëpërmjet z(v) për një numër rastesh tipike:

- Vlerësimi i një segmenti nëpërmjet pikës së mesit;- Vlerësimi i zone drejtkëndore (panel) nëpërmjet pikës së mesit etj.

Ne vlerësojmë z(V) nëpërmjet:

gabimi që bëjmë është:

i cili karakterizohet nga:

dhe:

*( )z V z v

( ) ( )e z v z V

( ) ( ) 0E Z v Z V

2( ) ( ) EVar Z v Z V

1/23/2020

2

Galeri me rrjet të rregullt

Le të jetë një galeri me gjatësi L e ndarë në n segmente të barabartë me gjatësi li të barabartë me l.

1

n

ii

l n l L

ix

il

Çdo segment li vlerësohet nëpërmjet mesit të tij xi, për vlera të njohura të z(xi). Duhet vlerësuar Z(L) nëpërmjet z*(L) dhe të përcaktohet precizioni i këtij vlerësimi.

1

1 1

1 1 1 1... ...

n i

n n

ii iL l l l

z L z x dx z x dx z x dx z x dx z lL L L n

il z l 1

1 n

ii

z L z ln

Pra:

Për vlerësimin e z(L) ne marrim: * *

1

1 n

ii

z L z ln

*i iz l z xku

*

1

1 n

ii

z L z xn

*

1

1 n

ii

z L z xn

Gabimi është: *

1

1 n

i ii

e z L z L z x z ln

është një realizim i variablit të rastit

pritja matematike e të cilit është:

1

1 n

i ii

Z x Z ln

1 1

1 10

n n

i i i ii i

E Z x Z l E Z x E Z ln n

m mPra vlerësimi është pa shmangie.

2 21 1

1 1 2,

n n

i i i i i i j ji i i j

Var Z x Z l Var Z x Z l Cov Z x Z l Z x Z ln n n

Parimi i pavarësisë së gabimeve elementare bën që të shkruajmë se , 0i i j jCov Z x Z l Z x Z l

Pra, gabimi në segmentin i është i pavaruar nga gabimi në segmentin j (pavarësisht i dhe j)

2 2

2

1 1,E i i i Ex L Var Z x Z l x l

n n

2 ,E i ix l

2 ,E x l është varianca e vlerësimit të një segmenti me gjatësi l nëpërmjet qendrës së tij x

1/23/2020

3

Galeri me rrjet të çrregullt

ix

il

Llogaritja e variancës së vlerësimit: 2

2 2 2 2

21 1

1, ,

n ni

E i E i i i E i ii i

lx L x l l x l

L L

*

1

1 n

i ii

z L l z xL

Rasti i përgjithshëm

*i iz v z v

dhe *

1

ni

ii

Vz V z v

V

2

2 2

1

, ,n

iE i E i i

i

Vv V v V

V

si dhe

Shembull

Le të jenë dy rastet në vijim të vlerësimit të një galerie:

1)

2)

Zgjedhim një variogramë sferike me kapje 50m dhe prag 5(%)2.

22 21 1

, ,40 0.21 5 %3 3

E i Ex L x 22 , 0.35 %E ix L 1)

22

2 2

1 1, 2 0.16 0.32 5 %

4 2E ix L

22 , 0.50 %E ix L 2)

1/23/2020

4

Përafrimi i gabimit të vlerësimit global

Vija, nivele, shtresa

Le të jetë një vendburim me tri përmasor i zbuluar nëpërmjet tre niveleve. Çdo nivel është zbuluar nëpërmjet një apo disa vijave, ndërsa për çdo vijë kemi zbulimin nëpërmjet shpimeve xi (vlerave pikësore të parametrit).

Procedura e ndjekur konsiston në sa vijon:

-Vlerësimi i përmbajtjes së vijave nëpërmjet përmbajtjes së pikave nëpërmjet

variancës: , kemi të bëjmë me gabimin e rreshtit;

-Vlerësimi i paneleve (që përafrojnë sa më mirë që të jetë e mundur nivelet)

nëpërmjet vijave: , kemi të bëjmë me gabimin e nivelit;

-Vlerësimi i volumeve (shtresave) (që përafrojnë sa më mirë që të jetë e

mundur vendburimin) nëpërmjet paneleve që kalojnë nga mesi i çdo volumi:

, kemi të bëjmë me gabimin e shtresës.

2 ,E ij jx L

2 ,E j jL S

2 ,E j jS V

Përafrimi i gabimit të vlerësimit global kërkon që të pranohet që gabimet e vijave, niveleve dhe shtresave janë të pavarur nga njeri-tjetri.

2 2 2 2global vijë nivel shtresëE E E E

Optimizimi i punimeve të zbulimit

Formula e mësipërme na lejon të llogarisim vlerësimin global si dhe të optimizojmë numrin e punimeve të zbulimit duke bërë të mundur që të arrihet një gabim global që fiksohet paraprakisht.

1/23/2020

5

Shpërndarja e punimeve të zbulimit

Rasti i shpërndarjes preferenciale:

Shpimet janë vendosur në zonat me mineralizim më të madh.

Në këtë rast gjeostatistika është e papërdorshme.

Rrjet i rregullt:

2 21 1 2 0, ,E E s s s

n n

L

l

Rrjet i rastit i shtresëzuar:

Shpimet janë vendosur në mënyrë të rastit brenda çdo kuadrati të rrjetit

2 1,E s s

n

Rrjet i krejtësisht i rastit:

2 1,E S S

n

2 2 2

i rastit ik re shjtës tresisht i r ëzuar rrjet i rregulla tstit

E E E

1/23/2020

6

Varianca e dispersionit

v

V

Sa ndryshon përmbajtja në bllokun e vogël v në

raport me bllokun e madh V ?

Kërkohet të parashikohet madhësia e variacionit të përmbajtjes së blloqeve për një zonë të fundme që i korrespodon vendburimit ose një pjese të tij. Le të marrim

në studim bllokun Vj të ndarë në blloqe të vegjël vi . Do të

kemi:

Vj

vi

1

1 n

j ii

Z V Z vn

Kërkojmë të përcaktojmë variacionin e vi në Vj mesatarisht

për gjithë blloqet V. Kjo quhet varianca e dispersionit të vnë V dhe shënohet : 2 /D v V

Le të jetë varianca vi në Vj :

2

2/

1

1i j

n

v V i ji

s Z v Z Vn

Përcaktojmë variancën e dispersionit si pritjen matematike të kësaj variance eksperimentale kur marrim në konsideratë gjithë blloqet e mundshem Vj :

22

2 2/

1 1

1 1/

i j

n n

v V i j i ji i

D v V E s E Z v Z V E Z v m Z V mn n

2 2 2 2 2 2

1

2, 2 ,

n

V v j i V v j j v Vi

Cov Z V Z v Cov Z V Z Vn

Pra: 2 2 2/ v VD v V

Në këtë mënyrë varianca e dispersionit nuk është gjë tjetër veçse variabiliteti i përmbajtjeve të matura në dy volume të ndryshme dhe mund të shkruhet:

2 / , , , ,D v V C v v C V V V V v v

1/23/2020

7

Për modelet rritëse të variogramave do të kemi:

2

2

2 2

Në qoftë se

Në qof

0 / ,

/ 0

të se

Në qoftë se / v

v D v V V V

v V D v V

V D v V

Në një minierë, “v” mund ti korrespodonte prodhimit ditor dhe “V” prodhimit javor

ose mujor. Rendimenti i pasurimit mund të lidhej me madhësisë e fluktuacioneve ditore përgjatë muajit, pra të 2 /D v V

v1v2

v3

vn

Në se kemi një seri volumesh të futur brenda njeri

tjetrit të tillë që v1<v2<v3<…<vn-1<vn atëherë:

2 2 2 21 1 2 2 3 1/ / / ... /n n nD v v D v v D v v D v v

Shembull 1

Variogramë sferike me ax=30m, ay=15m, az=12m dhe C=20 (%)2

Të llogaritet varianca e dispersionit të përmbajtjes së një kamioni gjatë 1 jave.

2 2 2/ , , , ,v VD v V V V v v C F V V F v v

1/23/2020

8

Raportet:

10 20 10 5 2

: , 0.833,0.666 0.6412 30 15 6 3

V F F

5 5 4 1 1

: , 0.167,0.333 0.27830 15 12 6 3

v F F

22 / 20 0.64 0.278 7.24 %D v V

Shembull 2Një vendburim masiv bakri shfrytëzohet me metodën e shfrytëzimit block-caving sipas blloqeve me përmasa 60x60x80m. Përmbajtja mesatare e bakrit është 1.6%.Një prodhim ditor prej 65000 ton mineral merret nga ngarkimi i kamionëve në 8 blloqe të ndryshëm duke përcaktuar një njësi shfrytëzimi ditore për çdo bllok prej 8125 ton, që i korrespodon (për një peshë vëllimore prej rreth 3ton/m3) një zone të bllokut me përmasa 60x60x0.75m. Pranojmë një variogramë sferike me C0=0.05(%)2, C1=0.10 (%)2 dhe kapje a=100m.Të llogaritet dispersioni relativ i përmbajtjeve ditore.

22 / 0.11 0.095 0.015 %iD v V

2 / , ,i i iD v V V V v v

80 60 60

: 0.8,0.6 0.6100 100 100

iV F

0.75 60 60

: 0.0075,0.6 0.45100 100 100

v F

0, ,i i i iV V C C F V V

0, ,v v C C F v v

2

, 0.05 0.1 0.6 0.11 %i iV V

2

, 0.05 0.1 0.45 0.095 %v v

1/23/2020

9

1V

8V

iV

1 2 3 4 5 6 7 8

1

8z P z V z V z V z V z V z V z V z V

21/

8iVar z P D v V me kusht që blloqet të jenë më larg njeri-tjetrit se sa

kapja e variogramës.

21

0.015 0.0019 %8

Var z P 0.0019 0.044%P

2 2 0.044% 0.09%P

1.6 0.09 1.6 0.09z P Pra: 1.51 1.69z P

Kërkojmë të vlerësojmë variablin e rastin Z(x0) në një pikë x0 ku nuk është kryer matje, duke u nisur nga vlerat e matura në një numër pikash.

Kërkohet që vlerësimi të jetë: Pa shmangie; Të minimizojë variancën e vlerësimit

Metoda e përdorur ka marrë emrin Kriging

KRIGINGU

1/23/2020

10

Zgjidhja e problemit të krigingut

1 2, , ..., , ...,i nv v v v

*Kz V

*

1

( )n

K i ii

z V z v

ku i quhen koeficientët e krigingut

Kushtet: 1) Kushti i shmangies zero * ( ) 0KE z V z V

* * *

1

( ) ( ) ( ) 0n

K K K i ii

E z V z V E z V E z V E z V m E z v m

1

n

ii

m m

1

1n

ii

Pra:

2) Minimizimi i variancës * ( ) minKVar z V z V

* * *( ) ( ) 2 ( ),K K KVar z V z V Var z V Cov z V z V Var z V

, 2 , ,i j i j i ii j i

C v v C v V C V V

1,..., ,..., , 2 , ,i n i j i j i ii j i

f C v v C v V C V V

1,..., ,..., min

1i n

i

f

Problemi i minimizimit me kushte

Lagranzh ka treguar se , min

, 0

f x y

g x y

Është ekuivalent me:

, , min

, 0

f x y g x y

g x y

shumëzuesi i lagranzhit

Në rastin tonë: 1,..., ,..., 2 1 min

1

i n i

i

f

1/23/2020

11

2 0

1

i

i

fi

2 , 2 , 2 0

1

j i j ij

i

C v v C v Vi

, , 0

1

j i j ij

i

C v v C v Vi

Kemi (n+1) të panjohura:dhe (n+1) ekuacione

1,..., ,..., ,i n

, , deri 1

1

nëj i j ij

i

C v v C v V i n

Varianca e krigingut do të jetë: 2 , ,K i ii

C V V C v V

1 1 1 1 1 1

1 1

1 1

1

, ... , ... , ,

... ... ...

, ... , ... , ,

... ... ...

, ... , ... , ,

... ... 1

j j n n

i j i j n i n i

n j n j n n n n

j n

C v v C v v C v v C v V

C v v C v v C v v C v V

C v v C v v C v v C v V

Përftohet sistemi:

1 1 1 111

1

1

, ... , ... , 1 ,

... ... ... ... ... ... ......

, ... , ... , 1 ,

... ...... ... ... ... ... ...

,, ... , ... , 1

11 ... 1 ... 1 0

j n

i i j i n j i

n nn n j n n

C v v C v v C v v C v V

C v v C v v C v v C v V

C v VC v v C v v C v v

Ose në trajtë matricore:

K M ose duke e zgjidhur përftojmë: 1

K M

1/23/2020

12

Duke patur parasysh se:Sistemi i krigingut mund të shkruhet nëpërmjet variogramës:

0C h C h

1 1 1 111

1

1

, ... , ... , 1 ,

... ... ... ... ... ... ......

, ... , ... , 1 ,

... ...... ... ... ... ... ...

,, ... , ... , 1

11 ... 1 ... 1 0

j n

i i j i n j i

n nn n j n n

v v v v v v v V

v v v v v v v V

v Vv v v v v v

Ndërsa varianca e krigingut do të jetë:

11

2

,

......

,,

... ...

,

1

j iK

n n

v V

v VV V

v V

Krigingu ka cilësinë të jetë një interpolues ekzakt, d.m.th. se, në

qoftë se V është një nga vi, atëherë : *( ) iz V z v