Kristalna struktura
Kruta (čvrsta) tijela:
⇒ Kristalna tijela
⊲ metali (bakar, željezo, . . . )
⊲ šečer (kristalni), kuhinjska sol
⊲ dijamanti i drago kamenje
⊲ razni kristali i minerali
⊲ kristalno staklo, pahulje snijega, led
⇒ Amorfna tijela
⊲ obično staklo
⊲ plastike i ostali polimeri
⊲ smole (jantar), guma
⊲ amorfne tvari organskog porijekla
pirit sumpor celestit
ametist topaz kalcit
još puno primjera:
http://mineral.galleries.com (Amethyst galerija)
http://webmineral.com (Mineral Help)
http://www.mineraltown.com/index.php
Što kristale čini kristalima ?
Odgovor: mikroskopska pravilna struktura!
(periodična rešetka)
Kako ustanoviti da nešto ima pravilnu mikroskopsku strukturu?
⊲ Rendgenska difrakcija
više o tome na: http://www.matter.org.uk/diffraction/
⊲ Elektronska difrakcija
⊲ Elektronski mikroskop
⊲ STM mikroskop
Površina platine Površina grafita
Pravilna struktura kristala
⊲ Kristali su građeni od manjih strukturnih jedinica koje su pravilno raspo-
ređene u trodimenzionalnu mrežu ili kristalnu rešetku.
⊲ Ove manje strukturne jedinica su ili atomi ili grupe atoma ili cijele
molekule (grupe molekula)
Idealni kristal zamišljamo kao prostornu tvorevinu dobivenu beskonač-
nim ponavljanjem jednakih strukturnih jedinica.
U prirodi nema idealnih kristala: Periodičnost rešetke (mreže) narušena je
raznim defektima. I sama površina konačnog kristala smatra se vrstom
defekta !
⊲ Postoji proizvoljnost u odabiru strukturne jednice koja se ponavlja.
• • • • • • • •
• • • • • • • •
• • • • • • • •
• • • • • • • •
⊲ Najmanja strukturne jedinice koja se periodično ponavlja zove se ele-
mentarna ćelija
Elementarna ćelija se bira tako da ondje gdje jedna završava druga ele-
mentarna ćelija se nastavlja. Nema praznog prostora između elementarnih
ćelija.
Kristalna rešetka
Položaji elementarnih ćelija zadani su nizom radijus vektora, a koji su
općenito mogu prikazati kao linearna kombinacija tri osnovna, linearno
nezavisna vektora, ~a1, ~a2 i ~a3:
~R =3∑
i=1
ni ~ai, gdje je ni = 0,±1,±2,±3, . . .
Vektori ~ai zovu se jednostavni translacijski vektori.
⊲ Beskonačni skup točaka (položaja elementarnih ćelija) zadanih vektorima~R čine tz. čvorišta rešetke (Bravaisova rešetka).
⊲ Svako čvorište zadano je s tri cijela broja.
⊲ Susjedna čvorišta međusobno su povezana s jednostavnim translacijskim
vektorima.
⊲ Jednostavni translacijski vektori čine bridove elementarne ćelije
⊲ Linearna nezavisnost jednostavnih translacijskih vektora znači: ~a1 ·
(~a2 × ~a3) 6= 0, što je, u stvari, volumen elementarne ćelije.
⊲ Smjerovi zadani jednostavnim translacijskim vektorima zovu se kris-
talografske osi.
Jednostavni primjer za 2D rešetku
~a1
~a2
(0,0)
(2,2)
(-1,3)
Elementarnaćelija
♥
♠
♥
♠
♥
♠
♥
♠
♥
♠
♥
♠
♥
♠
♥
♠
♥
♠
⊲ Požaji pojedinih atoma u elementarnoj ćeliji zadani su s jednim ili više
relativnih radijus vektora:
♣
♣
♣
♣
♣
♣
♣
♣
♣
♣
♣
♣
♣
♣
♣
♣
⊲ Elementarnu ćeliju koja sadrži samo jedan atom, obično izabran tako da se
nalazi u jednom od vrhova elementarne ćelije, zovemo jednostavnom
elementarnom ćelijom.
⊲ Složenije elementarne ćelije mogu sadržavati više atoma, i pri tome se
dodatni atomi mogu nalaziti u volumnom centru elementarne ćelije ili
pak u središtima njenih ploha i bridova.
♣
♣
♣
♣
♣
♣
♣
♣
♣
♦ ♦
♦ ♦
♣
♣
♣
♣
♣
♣
♣
♣
♣
♦
♦
♦
♦
♦
♦
♦ ♦
♦ ♦
♦ ♦
⊲ Elementarna ćelija se može definirati tako da se u njenom središtu nalazi
čvorište.
Spojnice centralnog čvorišta sa susjednim čvorištima se prepolavljaju s
okomitim ravninama, a dobiveni poliedar čini elementarnu ćeliju koju zovemo
Wiegner-Seitzova ćelija
⊲ Broj prvih susjedih čvorišta (na istoj udaljenosti) oko nekog čvorišta
zove se koordinacijski broj.
⊲ U kristalu svi smjerovi nisu ekvivalentni - kristal nije izotropan, nego
je anizotropan. Mnoga fizikalna svojstva: električna vodljivost,
magnetska svojstva, mehanička svojstva, optička svojstva, termička
svojstva ovise o smeru.
Simetrija kristala
Simetrija: Operacije koja preslikava kristalnu rešetku u samu sebe.
⊲ Translacijska simetrija - vektor translacije ~R.
⊲ Rotacijska simetrija - kutevi rotacije 60◦, 90◦, 120◦, 180◦, 360◦.
Općenito kut rotacije ϕ =360◦
p, gdje je p = 1,2,3,4,6.
(os p-tog reda)
⊲ Inverzija na pravcu (pravac inverzije)
⊲ Inverzija na točki (točka prostorne inverzije)
⊲ Refleksija na ravnini (ravnina refleksije)
Operacije simetrije koje postoje za 3D rešetku:
Kvazikristali
Zašto kristali nemaju rotacijsku os 5-tog reda ?
Kombinacija više osnovnih operacija simetrije je također su operacija
simetrije. Nije moguće imati translacijski inverijantan kristal s osi
rotacije 5-tog reda!
Međutim 1982. nađeni su matrijali koji imaju rotacijsku simetriju petog
reda:
a) Al-Cu-Fe legura dodekaedarb) Al-Ni-Co legura desetorostruka piramidac) Al3CuLi3 (triacontrahedral ?)
Međutim, ovi meterijali nemaju translacijsku invarijantnost - pa se nazi-
vaju kvazikristali.
Primjer kvazikristala u dvije dimenzije: Penroseovo popločenje.
U jednoj dimenziji: Fibonaccijev lanac.
Penroseovo rešetka je projekcija 5D pravilne rešetke na 2D ravninu!!
Elementarna ćelija
Elementarna ćelija zadana je s 6 veličina: dužinama triju bridova te kutevima
između njih:
⊲ a, b i c (ili a1, a2 i a3)
⊲ α = ∠ (~b,~c), β = ∠ (~c,~a), γ = ∠ (~a,~b).
~a
~b~c
γ
β
α
Razlikujemo 7 raznih slučajeva ili kristalografskih sustava:
Kubni a = b = c, α = β = γ = 90◦, (kocka)
Tetragonski a = b 6= c, α = β = γ = 90◦
Ortorompski a 6= b 6= c, α = β = γ = 90◦
Trigonski a = b = c, α = β = γ 6= 90◦, (deformirana kocka)
Heksagonski a = b 6= c, α = β = 90◦, γ = 120◦
Monoklinski a 6= b 6= c, α = β = 90◦, γ 6= 90◦
Triklinski a 6= b 6= c, α 6= β 6= γ
Prema broju dodatnih čvorišta kristalografski sustavi se mogu dodatno
granati u podsustave ili tz. Bavaisove rešetke. Sve ukupno ima 14
Bavaisovih rešetki.
Bavaisove rešetke
kubni sustavi
tetragonski sustavi
Bavaisove rešetke
• •
••
• •
••
•
•
• •
••
• •
••
• •
•
•
•
•
ortorompski sustavi
α 6= 90◦
trigonski sustav
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
γ = 120◦
heksagonski sustav
• •
••
• •
••
α
β
γ
triklinski sustav
Bavaisove rešetke
γ 6= 90◦ γ 6= 90◦
monoklinski sustavi
Koju vrst kristalne rešetke će imati neka tvar?
Vrst rešetke je određena minimalnom vrijednošću Gibbsove energije:
G = U + pV - TS, za zadani T & p
Pri tome je moguće da se kristalna struktura mijenja ako se mijenja
temperatura ili tlak. Može doći do faznih prelaza - polimorfizam.
Ako tvar mijenja kristalnu strukuru s temperaturom, krstalne strukture
označavaju se s grčkim slovima α, β, γ . . . , redom od kristalnih
struktura na nižim temperaturama prema onim na višim.
Amorfna tijela
⊲ Za razliku od kristalnih tijela amorfna tijela nemaju pravilnost rešetke
preko velikih (makroskopskih) udaljenosti.
⊲ Lokalno nepravilnosti se akumuliraju te sasvim uništavaju pravilnost
na velikim udaljenostima.
⊲ I u kristalima postoje nepravilnosti - defekti rešetke.
Ali one nemaju akumulativni učinak.
⊲ U amorfinim tijelima, kažemo, postoji uređenost kratkog dosega
dok u kristalnim tijelima je uređenost dugog dosega.
⊲ Imaju strukturu sličnu tekučini.
⊲ Ne postoje istaknuti smjerovi - već su izotropni.
Napomena: izuzetak tekući kristali !
⊲ Amorfna struktura nije stabilna (stanje najniže Gibbsove energije),
nego je metastabilna (lokalni minimum). Postoji energijska barijera
koja razdvaja amorfno stanje i kristalno stanje.
⊲ Amorfno tijelo nakon nekog vremena može kristalizirati, a period
kristalizacije varira od nekoliko mjeseci pa do milijuna godina.