Kristalna struktura

Kruta (čvrsta) tijela:

⇒ Kristalna tijela

⊲ metali (bakar, željezo, . . . )

⊲ šečer (kristalni), kuhinjska sol

⊲ dijamanti i drago kamenje

⊲ razni kristali i minerali

⊲ kristalno staklo, pahulje snijega, led

⇒ Amorfna tijela

⊲ obično staklo

⊲ plastike i ostali polimeri

⊲ smole (jantar), guma

⊲ amorfne tvari organskog porijekla

pirit sumpor celestit

ametist topaz kalcit

još puno primjera:

http://mineral.galleries.com (Amethyst galerija)

http://webmineral.com (Mineral Help)

http://www.mineraltown.com/index.php

Što kristale čini kristalima ?

Odgovor: mikroskopska pravilna struktura!

(periodična rešetka)

Kako ustanoviti da nešto ima pravilnu mikroskopsku strukturu?

⊲ Rendgenska difrakcija

više o tome na: http://www.matter.org.uk/diffraction/

⊲ Elektronska difrakcija

⊲ Elektronski mikroskop

⊲ STM mikroskop

Površina platine Površina grafita

Pravilna struktura kristala

⊲ Kristali su građeni od manjih strukturnih jedinica koje su pravilno raspo-

ređene u trodimenzionalnu mrežu ili kristalnu rešetku.

⊲ Ove manje strukturne jedinica su ili atomi ili grupe atoma ili cijele

molekule (grupe molekula)

Idealni kristal zamišljamo kao prostornu tvorevinu dobivenu beskonač-

nim ponavljanjem jednakih strukturnih jedinica.

U prirodi nema idealnih kristala: Periodičnost rešetke (mreže) narušena je

raznim defektima. I sama površina konačnog kristala smatra se vrstom

defekta !

⊲ Postoji proizvoljnost u odabiru strukturne jednice koja se ponavlja.

• • • • • • • •

• • • • • • • •

• • • • • • • •

• • • • • • • •

⊲ Najmanja strukturne jedinice koja se periodično ponavlja zove se ele-

mentarna ćelija

Elementarna ćelija se bira tako da ondje gdje jedna završava druga ele-

mentarna ćelija se nastavlja. Nema praznog prostora između elementarnih

ćelija.

Kristalna rešetka

Položaji elementarnih ćelija zadani su nizom radijus vektora, a koji su

općenito mogu prikazati kao linearna kombinacija tri osnovna, linearno

nezavisna vektora, ~a1, ~a2 i ~a3:

~R =3∑

i=1

ni ~ai, gdje je ni = 0,±1,±2,±3, . . .

Vektori ~ai zovu se jednostavni translacijski vektori.

⊲ Beskonačni skup točaka (položaja elementarnih ćelija) zadanih vektorima~R čine tz. čvorišta rešetke (Bravaisova rešetka).

⊲ Svako čvorište zadano je s tri cijela broja.

⊲ Susjedna čvorišta međusobno su povezana s jednostavnim translacijskim

vektorima.

⊲ Jednostavni translacijski vektori čine bridove elementarne ćelije

⊲ Linearna nezavisnost jednostavnih translacijskih vektora znači: ~a1 ·

(~a2 × ~a3) 6= 0, što je, u stvari, volumen elementarne ćelije.

⊲ Smjerovi zadani jednostavnim translacijskim vektorima zovu se kris-

talografske osi.

Jednostavni primjer za 2D rešetku

~a1

~a2

(0,0)

(2,2)

(-1,3)

Elementarnaćelija

♥

♠

♥

♠

♥

♠

♥

♠

♥

♠

♥

♠

♥

♠

♥

♠

♥

♠

⊲ Požaji pojedinih atoma u elementarnoj ćeliji zadani su s jednim ili više

relativnih radijus vektora:

♣

♣

♣

♣

♣

♣

♣

♣

♣

♣

♣

♣

♣

♣

♣

♣

⊲ Elementarnu ćeliju koja sadrži samo jedan atom, obično izabran tako da se

nalazi u jednom od vrhova elementarne ćelije, zovemo jednostavnom

elementarnom ćelijom.

⊲ Složenije elementarne ćelije mogu sadržavati više atoma, i pri tome se

dodatni atomi mogu nalaziti u volumnom centru elementarne ćelije ili

pak u središtima njenih ploha i bridova.

♣

♣

♣

♣

♣

♣

♣

♣

♣

♦ ♦

♦ ♦

♣

♣

♣

♣

♣

♣

♣

♣

♣

♦

♦

♦

♦

♦

♦

♦ ♦

♦ ♦

♦ ♦

⊲ Elementarna ćelija se može definirati tako da se u njenom središtu nalazi

čvorište.

Spojnice centralnog čvorišta sa susjednim čvorištima se prepolavljaju s

okomitim ravninama, a dobiveni poliedar čini elementarnu ćeliju koju zovemo

Wiegner-Seitzova ćelija

⊲ Broj prvih susjedih čvorišta (na istoj udaljenosti) oko nekog čvorišta

zove se koordinacijski broj.

⊲ U kristalu svi smjerovi nisu ekvivalentni - kristal nije izotropan, nego

je anizotropan. Mnoga fizikalna svojstva: električna vodljivost,

magnetska svojstva, mehanička svojstva, optička svojstva, termička

svojstva ovise o smeru.

Simetrija kristala

Simetrija: Operacije koja preslikava kristalnu rešetku u samu sebe.

⊲ Translacijska simetrija - vektor translacije ~R.

⊲ Rotacijska simetrija - kutevi rotacije 60◦, 90◦, 120◦, 180◦, 360◦.

Općenito kut rotacije ϕ =360◦

p, gdje je p = 1,2,3,4,6.

(os p-tog reda)

⊲ Inverzija na pravcu (pravac inverzije)

⊲ Inverzija na točki (točka prostorne inverzije)

⊲ Refleksija na ravnini (ravnina refleksije)

Operacije simetrije koje postoje za 3D rešetku:

Kvazikristali

Zašto kristali nemaju rotacijsku os 5-tog reda ?

Kombinacija više osnovnih operacija simetrije je također su operacija

simetrije. Nije moguće imati translacijski inverijantan kristal s osi

rotacije 5-tog reda!

Međutim 1982. nađeni su matrijali koji imaju rotacijsku simetriju petog

reda:

a) Al-Cu-Fe legura dodekaedarb) Al-Ni-Co legura desetorostruka piramidac) Al3CuLi3 (triacontrahedral ?)

Međutim, ovi meterijali nemaju translacijsku invarijantnost - pa se nazi-

vaju kvazikristali.

Primjer kvazikristala u dvije dimenzije: Penroseovo popločenje.

U jednoj dimenziji: Fibonaccijev lanac.

Penroseovo rešetka je projekcija 5D pravilne rešetke na 2D ravninu!!

Elementarna ćelija

Elementarna ćelija zadana je s 6 veličina: dužinama triju bridova te kutevima

između njih:

⊲ a, b i c (ili a1, a2 i a3)

⊲ α = ∠ (~b,~c), β = ∠ (~c,~a), γ = ∠ (~a,~b).

~a

~b~c

γ

β

α

Razlikujemo 7 raznih slučajeva ili kristalografskih sustava:

Kubni a = b = c, α = β = γ = 90◦, (kocka)

Tetragonski a = b 6= c, α = β = γ = 90◦

Ortorompski a 6= b 6= c, α = β = γ = 90◦

Trigonski a = b = c, α = β = γ 6= 90◦, (deformirana kocka)

Heksagonski a = b 6= c, α = β = 90◦, γ = 120◦

Monoklinski a 6= b 6= c, α = β = 90◦, γ 6= 90◦

Triklinski a 6= b 6= c, α 6= β 6= γ

Prema broju dodatnih čvorišta kristalografski sustavi se mogu dodatno

granati u podsustave ili tz. Bavaisove rešetke. Sve ukupno ima 14

Bavaisovih rešetki.

Bavaisove rešetke

kubni sustavi

tetragonski sustavi

Bavaisove rešetke

• •

••

• •

••

•

•

• •

••

• •

••

• •

•

•

•

•

ortorompski sustavi

α 6= 90◦

trigonski sustav

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

γ = 120◦

heksagonski sustav

• •

••

• •

••

α

β

γ

triklinski sustav

Bavaisove rešetke

γ 6= 90◦ γ 6= 90◦

monoklinski sustavi

Koju vrst kristalne rešetke će imati neka tvar?

Vrst rešetke je određena minimalnom vrijednošću Gibbsove energije:

G = U + pV - TS, za zadani T & p

Pri tome je moguće da se kristalna struktura mijenja ako se mijenja

temperatura ili tlak. Može doći do faznih prelaza - polimorfizam.

Ako tvar mijenja kristalnu strukuru s temperaturom, krstalne strukture

označavaju se s grčkim slovima α, β, γ . . . , redom od kristalnih

struktura na nižim temperaturama prema onim na višim.

Amorfna tijela

⊲ Za razliku od kristalnih tijela amorfna tijela nemaju pravilnost rešetke

preko velikih (makroskopskih) udaljenosti.

⊲ Lokalno nepravilnosti se akumuliraju te sasvim uništavaju pravilnost

na velikim udaljenostima.

⊲ I u kristalima postoje nepravilnosti - defekti rešetke.

Ali one nemaju akumulativni učinak.

⊲ U amorfinim tijelima, kažemo, postoji uređenost kratkog dosega

dok u kristalnim tijelima je uređenost dugog dosega.

⊲ Imaju strukturu sličnu tekučini.

⊲ Ne postoje istaknuti smjerovi - već su izotropni.

Napomena: izuzetak tekući kristali !

⊲ Amorfna struktura nije stabilna (stanje najniže Gibbsove energije),

nego je metastabilna (lokalni minimum). Postoji energijska barijera

koja razdvaja amorfno stanje i kristalno stanje.

⊲ Amorfno tijelo nakon nekog vremena može kristalizirati, a period

kristalizacije varira od nekoliko mjeseci pa do milijuna godina.