Download pdf - Funkcionalne zavisnosti - poincare.matf.bg.ac.rspoincare.matf.bg.ac.rs/~nenad/rbp/8.Funkcionalne_zavisnosti.pdf · Funkcionalna zavisnost u relaciji R je tvrdjenje oblika "Ako su

Funkcionalne zavisnosti

Nenad MitićMatematički fakultet

[email protected]

Definicija FZDefinicija

Primeri

Ključevi relacije i FZ

Napomene

Pravila i zatvorenjeDekompozicija

Trivijalne i netrivijalne FZ

Zatvorenje skupa FZ

Armstrongove aksiome

Zatvorenje skupa atributa

Odredjivanje zatvorenjaskupa atributa

Pokrivač skupa FZ

Nereducibilni skup FZ


Nereducibilni skup FZ -Algoritam

Primer

Projekcija FZ

7.2

Definicija

Neka je R relacija i neka su X i Y proizvoljnipodskupovi atributa iz R. Tada Yfunkcionalno zavisi od X, u oznaci X−→Yako i samo ako je svakoj važećoj vrednostitorke X u R pridružena tačno jednavrednost Y iz R.

Koristi se jos i termin X funkcionalnoodreduje Y

Funkcionalna zavisnost: ∃f : f (X ) = Y


Primeri


Napomene



Zatvorenje skupa FZ




Pokrivač skupa FZ




Primer

Projekcija FZ

7.3

Definicija

Intuitivno:

Funkcionalna zavisnost u relaciji R jetvrdjenje oblika "Ako su dve torke od Ridentične na svim atributima A1, A2, ...,Antada moraju da imaju iste vrednosti i uostalim atributima B1, B2, ...,Bm"

Dve torke su identične ako su im identičnevrednost respektivnih komponenata.

Oznaka: A1, A2, ...,An−→B1, B2, ...,Bm


Primeri


Napomene



Zatvorenje skupa FZ




Pokrivač skupa FZ




Primer

Projekcija FZ

7.4

Primeri - funkcionalne zavisnosti u bazistud2020

Relacija DOSIJE• {Indeks}−→{Ime}• {Indeks}−→{Prezime}• {Indeks}−→{God_rodjenja}• {Indeks}−→{Mesto_rodjenja}


Primeri


Napomene



Zatvorenje skupa FZ




Pokrivač skupa FZ




Primer

Projekcija FZ

7.5

Primeri - funkcionalne zavisnosti u bazistud2020

Relacija PREDMET• {Id_predmeta}−→{Sifra}• {Id_predmeta}−→{Naziv}• {Id_predmeta}−→{Bodovi}

Relacija ISPIT• {Indeks, Id_predmeta, Godina_roka,

Oznaka_roka}−→{Ocena}• {Indeks, Id_predmeta, Godina_roka,

Oznaka_roka}−→{Datum_ispita}


Primeri


Napomene



Zatvorenje skupa FZ




Pokrivač skupa FZ




Primer

Projekcija FZ

7.6

Primer - FZ u relaciji ISPITNI_ROK

GODINA_ROKA OZNAKA_ROKA NAZIV----------- -------------------- ---------------

2011 jan Januar 20112011 feb Februar 20112011 apr April 20112011 jun Jun 20112011 sep Septembar 20112011 okt Oktobar 2011

{Godina_roka, Oznaka_roka} −→{Naziv}


Primeri


Napomene



Zatvorenje skupa FZ




Pokrivač skupa FZ




Primer

Projekcija FZ

7.7

Ključevi relacije i funkcionalne zavisnosti

Redefinicija ključeva:Podskup atributa X ⊆ R relacije R jekandidat za ključ relacije R ako važi:• ∀Y : Y = R�X =⇒ X −→ Y

• @Z ,W : (Z ∈ X ) ∧ (W = R�Z ) ∧ (Z −→W )

Nadključ (superključ) relacije R je skup atributa kojiuključuje kao podskup bar jedan kandidat za ključrelacije R.


Primeri


Napomene



Zatvorenje skupa FZ




Pokrivač skupa FZ




Primer

Projekcija FZ

7.8

Napomene

• Svaka FZ predstavlja ograničenjeintegriteta• Posledica: svaki atribut relacije

funkcionalno zavisi od nekog kandidataza ključ• FZ na zavisi od trenutne vrednosti

relvar-a i zbog toga nisu FZ{Oznaka_roka}−→ {Naziv} i{Naziv}−→{Oznaka_roka}


Primeri


Napomene



Zatvorenje skupa FZ




Pokrivač skupa FZ




Primer

Projekcija FZ

7.9

Napomene (nastavak)

• Dva skupa funkcionalnih zavisnosti S iT nad relacijom R su ekvivalentni akoskup instanci relacije R koji zadovoljavaS je jednak skupu instanci relacije Rkoji zadovoljava T.• U opštem slučaju, skup S FZ se izvodi

iz skupa T FZ ako svaka instancarelacije koja zadovoljava sve FZ iz Ttakodje zadovoljava sve FZ iz S.• Posledica: dva skupa FZ S i T su

ekvivalentna akko se svaka FZ u Sizvodi iz FZ u T i svaka FZ u T izvodi izFZ u S.


Primeri


Napomene



Zatvorenje skupa FZ




Pokrivač skupa FZ




Primer

Projekcija FZ

7.10

Dekompozicija FZ

Dekompozicija: FZ

A1, A2, ...,An−→B1, B2, ...,Bm

je ekvivalentna sa skupom FZA1, A2, ...,An−→B1A1, A2, ...,An−→B2...A1, A2, ...,An−→Bm


Primeri


Napomene



Zatvorenje skupa FZ




Pokrivač skupa FZ




Primer

Projekcija FZ

7.11

Kompozicija FZ

Kompozicija: skup FZA1, A2, ...,An−→B1A1, A2, ...,An−→B2...A1, A2, ...,An−→Bm

je ekvivalentna sa FZ

A1, A2, ...,An−→B1, B2, ...,Bm


Primeri


Napomene



Zatvorenje skupa FZ




Pokrivač skupa FZ




Primer

Projekcija FZ

7.12


• Trivijalna zavisnost je FZ koja ne možea da ne bude zadovoljena za bilo kojiskup vrednosti u relaciji.• Y ⊆ X =⇒FZ X −→ Y je trivijalna• FZ koja nije trivijalna je netrivijalna


Primeri


Napomene



Zatvorenje skupa FZ




Pokrivač skupa FZ




Primer

Projekcija FZ

7.13


Neke trivijalne zavisnosti:• {Indeks}−→{Indeks}• {Godina_roka, Oznaka_roka} −→{Godina_roka,

Oznaka_roka}

• {Godina_roka, Oznaka_roka} −→{Godina_roka}• {Godina_roka, Oznaka_roka} −→{Oznaka_roka}• {Id_predmeta}−→{Id_predmeta}• ...


Primeri


Napomene



Zatvorenje skupa FZ




Pokrivač skupa FZ




Primer

Projekcija FZ

7.14

Zatvorenje skupa FZ

Definicija: Neka je S skup FZ nad relacijomR. Skup svih FZ koje mogu da se izvedu izskupa S FZ se naziva zatvorenje od S ioznačava sa S+.

Posledica: dva skupa funkcionalnihzavisnosti S i T nad relacijom R suekvivalentni ako važi S+ = T+.


Primeri


Napomene



Zatvorenje skupa FZ




Pokrivač skupa FZ




Primer

Projekcija FZ

7.15

Odredjivanje zatvorenja skupa FZ

Zatvorenje S+ skupa FZ S može da seodredi primenom pravila - Armstrongovimaksiomama kojima se nove FZ izvode izpostojećih.

Neka su A, B, i C proizvoljni podskupoviatributa relacije R. Tada važe pravila:Refleksivnost: B ⊆ A =⇒ A −→ BProširenje: A −→ B =⇒ AC −→ BCTranzitivnost: A −→ B ∧ B −→ C =⇒ A −→ C


Primeri


Napomene



Zatvorenje skupa FZ




Pokrivač skupa FZ




Primer

Projekcija FZ

7.16

Dodatna pravila

Iz prethodna tri mogu da se izvedu dodatnapravila:Samo-odredjenje:

A −→ ADekompozicija:

A −→ BC =⇒ A −→ B ∧ A −→ CUnija:

A −→ B ∧ A −→ C =⇒ A −→ BCKompozicija:

A −→ B ∧ C −→ D =⇒ AC −→ BDOpšta teorema unifikacije:

A −→ B ∧ C −→ D =⇒ A ∪ (C − B) −→ BD


Primeri


Napomene



Zatvorenje skupa FZ




Pokrivač skupa FZ




Primer

Projekcija FZ

7.17

Primer algoritma za računanje F+

Algoritam za računanje zatvorenja skupaFZ F:

Inicijalno F+=F;repeat

za svaku FZ f ∈ F+primeniti refleksivnost i proširenje na fdodati dobijene FZ u F+

za svaki par FZ (f1, f2) ∈ F+ako f1 i f2 mogu da se kombinuju pomoću tranzitivnosti

tada dodati dobijenu FZ u F+

until više ne bude promena u F+


Primeri


Napomene



Zatvorenje skupa FZ




Pokrivač skupa FZ




Primer

Projekcija FZ

7.18

Odredjivanje zatvorenja skupa FZ - primer

Neka su A,B,C,D i F atributi relacije R, i neka je Sskup FZ dat sa

A −→ BCB −→ ECD −→ EF

Ispitati da li je FZ AD −→ F u S+

Primer: Dokaz da je AD −→ F u S+

1 A −→ BC (dato)

2 A −→ C(dekompozicija)

3 AD −→ CD (proširenje)

4 CD −→ EF (dato)

5 AD −→ EF(tranzitivnost)

6 AD −→ F(dekompozicija)


Primeri


Napomene



Zatvorenje skupa FZ




Pokrivač skupa FZ




Primer

Projekcija FZ

7.19


• Često treba izračunati da li data FZ pripadazatvorenju skupa FZ

• U praksi se odredjivanje zatvorenja FZrelativno retko radi (algoritam je neefikasan!)

• Da bi odredili da li je K nadključ treba odreditiskup atributa relacije R koji funkcionalno zavisiod K

• Ako je skup atributa K nadkljuc tada Kfunkcionalno odreduje sve atribute u R

• K je nadkljuc akko je K+ od K (u odnosu nadati skup FZ) jednako skupu svih atributarelacije R


Primeri


Napomene



Zatvorenje skupa FZ




Pokrivač skupa FZ




Primer

Projekcija FZ

7.20


Definicija: Neka je A = {A1,A2, ...,An} skupatributa relacije R i S skup FZ nad R.

Zatvorenje skupa atributa A u odnosu naskup S FZ je skup atributa B takvih dasvaka relacija koja zadovoljava sve FZ uskupu S zadovoljava i FZA1,A2, ...,An −→ B.


Primeri


Napomene



Zatvorenje skupa FZ




Pokrivač skupa FZ




Primer

Projekcija FZ

7.21


• Zatvorenje skupa atributa A seoznačava sa A+

• Uvek važi da su svi pojedinačni atributiiz A u A+


Primeri


Napomene



Zatvorenje skupa FZ




Pokrivač skupa FZ




Primer

Projekcija FZ

7.22

Odredjivanje zatvorenja skupa atributa

Neka je A = {A1,A2, ...,An} skup atributa i S skupFZ. Algoritam za odredjivanje zatvorenja A+ je

1 Izvršiti dekompoziciju svih FZ tako da imajusamo jedan atribut na desnoj strani

2 Neka je X skup atributa koji predstavljazatvorenje. Inicijalno X = {A1,A2, ...,An}

3 Tražiti FZ oblika B1,B2, ...,Bm −→ C takve da∀i : Bi ⊂ X ∧ C * X . Dodati C u X . Ponavljatipretragu sve dok ima promena skupa X .

4 Ukoliko ne postoji atribut koji bi mogao da sedoda skupu X tada je X = {A1,A2, ...,An}+


Primeri


Napomene



Zatvorenje skupa FZ




Pokrivač skupa FZ




Primer

Projekcija FZ

7.23

Odredjivanje zatvorenja skupa atributa -primer

Neka relacija sadrži atribute A,B,C,D,E i F . Nekavaše sledeće FZ:AB −→ CBC −→ ADD −→ ECF −→ B

Šta je zatvorenje skupa atributa {A,B}?


Primeri


Napomene



Zatvorenje skupa FZ




Pokrivač skupa FZ




Primer

Projekcija FZ

7.24

Pokrivač skupa FZ

• Ako su S1 i S2 dva skupa FZ i ako jesvaka FZ iz S1 uključena u S2, tj. ako jeS+1 podskup od S

+2 tada je S2 pokrivač

za S1.• Ako je S1 pokrivač od S2 i S2 pokrivač

od S1 tada su S1 i S2 ekvivalentni• Ako RSUBP obezbedi FZ u S2 tada će

automatski biti obezbedjene i FZ u S1


Primeri


Napomene



Zatvorenje skupa FZ




Pokrivač skupa FZ




Primer

Projekcija FZ

7.25


Definicija: FZ X −→ Y u skupu Sfunkcionalnih zavisnosti jelevo-nereducibilna ako iz X ne može da seukloni ni jedan atribut bez promenezatvorenja S+

Zašto nereducibilni skup FZ:Nadkljuc K je kandidat za ključ relacije Rakko je njen nereducibilni nadključ


Primeri


Napomene



Zatvorenje skupa FZ




Pokrivač skupa FZ




Primer

Projekcija FZ

7.26


Definicija: Skup FZ je nereducibilan ako• Desna strana svake FZ u S sadrži

tačno jedan atribut• Leva strana svake FZ je levo

nereducibilna• Ni jedna FZ ne može da se ukloni iz S

bez promene S+

Skup FZ koji zadovoljava prethodna pravilase naziva i minimalan ili kanonički


Primeri


Napomene



Zatvorenje skupa FZ




Pokrivač skupa FZ




Primer

Projekcija FZ

7.27

Nereducibilni skup FZ - Algoritam

Algoritam za nalaženje nereducibilnogskupa S FZ:• Koristeći pravilo dekompozicije

prepisati sve FZ u S tako da desnastrana sadrži tačno jedan atribut• Eliminisati sve redundantne FZ iz

skupa funkcionalnih zavisnostidobijenih prethodnim postupkom


Primeri


Napomene



Zatvorenje skupa FZ




Pokrivač skupa FZ




Primer

Projekcija FZ

7.28

Nereducibilni skup FZ - primer

Neka relvar R ima atribute A,B,C,D i skupFZ:• A −→ BC• B −→ C• A −→ B• AB −→ C• AC −→ D

Naći nereducibilni skup FZ ekvivalentandatom skupu


Primeri


Napomene



Zatvorenje skupa FZ




Pokrivač skupa FZ




Primer

Projekcija FZ

7.29


Prvi korak: prepisati skup FZ tako da je nadesnoj strani samo jedan atribut• A −→ B• A −→ C• B −→ C• A −→ B• AB −→ C• AC −→ D

Kako se FZ A −→ B javlja dva puta, jednopojavljivanje se eliminiše


Primeri


Napomene



Zatvorenje skupa FZ




Pokrivač skupa FZ




Primer

Projekcija FZ

7.30


Drugi korak: atribut C se eliminiše sa levestrane FZ AC −→ D jer važi• A −→ C (dobijeno u prvom koraku)• A −→ AC (proširenje)• Kako važi i AC −→ D =⇒ A −→ D

(tranzitivnost)Na osnovu prethodnog, dobija se da je Cna levoj strani AC −→ D redundantno


Primeri


Napomene



Zatvorenje skupa FZ




Pokrivač skupa FZ




Primer

Projekcija FZ

7.31


Treći korak: FZ AB −→ C se eliminiše jervaži• A −→ C (dobijeno u prvom koraku)• AB −→ CB (proširenje)• AB −→ C (dekompozicija)

Na osnovu prethodnog, dobija se da jeAB −→ C redundantno


Primeri


Napomene



Zatvorenje skupa FZ




Pokrivač skupa FZ




Primer

Projekcija FZ

7.32


Četvrti korak: FZ A −→ C se eliminiše jervaži• FZ A −→ C (dobijeno u prvom koraku)• A −→ B (dato)• B −→ C (dato)• A −→ C (tranzitivnost)

Na osnovu prethodnog, dobija se da jeA −→ C redundantnoDobijeni nereducibilni skup FZ je

A −→ B B −→ C A −→ D


Primeri


Napomene



Zatvorenje skupa FZ




Pokrivač skupa FZ




Primer

Projekcija FZ

7.33

Projekcija FZ

Neka se relacija R sa skupom S FZprojektuje na relaciju R1 = π{R}. Koje FZsu važeće u R1?

Odredjuje se se projekcija FZ S koja sadržisve FZ takve da• Mogu da se izvedu iz S• Uključuju jedino atribute iz R1


Primeri


Napomene



Zatvorenje skupa FZ




Pokrivač skupa FZ




Primer

Projekcija FZ

7.34

Projekcija FZ - algoritam

• Neka je T skup FZ u R1. Inicijalno je T = ∅

• ∀X ⊆ R1 odrediti X+ u odnosu na FZ u S.Atributi koji su u R ali ne i u R1 mogu da sekoriste u izračunavanju X+. Dodati u T svenetrivijalne FZ X −→ A takve daA ⊂ X+ ∧ A ⊂ R1


Primeri


Napomene



Zatvorenje skupa FZ




Pokrivač skupa FZ




Primer

Projekcija FZ

7.35

Projekcija FZ - algoritam

• Odredjuje se minimalni skup T na sledećinačin:

• Ako postoji F ⊂ T koja može da seizvede iz drugih FZ u T , ukloniti FZ F

• Neka je Y −→ B FZ iz T sa najmanjedva atributa u Y i neka je Z dobijeno iz Yuklanjanjem jednog od atributa. AkoZ −→ B može da se izvede iz FZ u T(uključujući Y −→ B), tada se Y −→ Bzamenjuje sa Z −→ B

• Ponoviti prethodne korake sve dok imapromena u T


Primeri


Napomene



Zatvorenje skupa FZ




Pokrivač skupa FZ




Primer

Projekcija FZ

7.36

Projekcija FZ - primer

Neka R{A,B,C,D} sadrži FZ• A −→ B

• B −→ C

• C −→ D

Neka je R1{A,C,D} = π{R}. Odrediti skupFZ relacije R1.

Definicija FZDefinicijaPrimeriKljucevi relacije i FZNapomene

Pravila i zatvorenjeDekompozicijaTrivijalne i netrivijalne FZZatvorenje skupa FZArmstrongove aksiomeZatvorenje skupa atributaOdredjivanje zatvorenja skupa atributaPokrivac skupa FZNereducibilni skup FZNereducibilni skup FZNereducibilni skup FZ - AlgoritamProjekcija FZ