Upload
others
View
8
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Funkcionalne zavisnosti
Nenad MitićMatematički fakultet
Definicija FZDefinicija
Primeri
Ključevi relacije i FZ
Napomene
Pravila i zatvorenjeDekompozicija
Trivijalne i netrivijalne FZ
Zatvorenje skupa FZ
Armstrongove aksiome
Zatvorenje skupa atributa
Odredjivanje zatvorenjaskupa atributa
Pokrivač skupa FZ
Nereducibilni skup FZ
Nereducibilni skup FZ
Nereducibilni skup FZ -Algoritam
Primer
Projekcija FZ
7.2
Definicija
Neka je R relacija i neka su X i Y proizvoljnipodskupovi atributa iz R. Tada Yfunkcionalno zavisi od X, u oznaci X−→Yako i samo ako je svakoj važećoj vrednostitorke X u R pridružena tačno jednavrednost Y iz R.
Koristi se jos i termin X funkcionalnoodreduje Y
Funkcionalna zavisnost: ∃f : f (X ) = Y
Definicija FZDefinicija
Primeri
Ključevi relacije i FZ
Napomene
Pravila i zatvorenjeDekompozicija
Trivijalne i netrivijalne FZ
Zatvorenje skupa FZ
Armstrongove aksiome
Zatvorenje skupa atributa
Odredjivanje zatvorenjaskupa atributa
Pokrivač skupa FZ
Nereducibilni skup FZ
Nereducibilni skup FZ
Nereducibilni skup FZ -Algoritam
Primer
Projekcija FZ
7.3
Definicija
Intuitivno:
Funkcionalna zavisnost u relaciji R jetvrdjenje oblika "Ako su dve torke od Ridentične na svim atributima A1, A2, ...,Antada moraju da imaju iste vrednosti i uostalim atributima B1, B2, ...,Bm"
Dve torke su identične ako su im identičnevrednost respektivnih komponenata.
Oznaka: A1, A2, ...,An−→B1, B2, ...,Bm
Definicija FZDefinicija
Primeri
Ključevi relacije i FZ
Napomene
Pravila i zatvorenjeDekompozicija
Trivijalne i netrivijalne FZ
Zatvorenje skupa FZ
Armstrongove aksiome
Zatvorenje skupa atributa
Odredjivanje zatvorenjaskupa atributa
Pokrivač skupa FZ
Nereducibilni skup FZ
Nereducibilni skup FZ
Nereducibilni skup FZ -Algoritam
Primer
Projekcija FZ
7.4
Primeri - funkcionalne zavisnosti u bazistud2020
Relacija DOSIJE• {Indeks}−→{Ime}• {Indeks}−→{Prezime}• {Indeks}−→{God_rodjenja}• {Indeks}−→{Mesto_rodjenja}
Definicija FZDefinicija
Primeri
Ključevi relacije i FZ
Napomene
Pravila i zatvorenjeDekompozicija
Trivijalne i netrivijalne FZ
Zatvorenje skupa FZ
Armstrongove aksiome
Zatvorenje skupa atributa
Odredjivanje zatvorenjaskupa atributa
Pokrivač skupa FZ
Nereducibilni skup FZ
Nereducibilni skup FZ
Nereducibilni skup FZ -Algoritam
Primer
Projekcija FZ
7.5
Primeri - funkcionalne zavisnosti u bazistud2020
Relacija PREDMET• {Id_predmeta}−→{Sifra}• {Id_predmeta}−→{Naziv}• {Id_predmeta}−→{Bodovi}
Relacija ISPIT• {Indeks, Id_predmeta, Godina_roka,
Oznaka_roka}−→{Ocena}• {Indeks, Id_predmeta, Godina_roka,
Oznaka_roka}−→{Datum_ispita}
Definicija FZDefinicija
Primeri
Ključevi relacije i FZ
Napomene
Pravila i zatvorenjeDekompozicija
Trivijalne i netrivijalne FZ
Zatvorenje skupa FZ
Armstrongove aksiome
Zatvorenje skupa atributa
Odredjivanje zatvorenjaskupa atributa
Pokrivač skupa FZ
Nereducibilni skup FZ
Nereducibilni skup FZ
Nereducibilni skup FZ -Algoritam
Primer
Projekcija FZ
7.6
Primer - FZ u relaciji ISPITNI_ROK
GODINA_ROKA OZNAKA_ROKA NAZIV----------- -------------------- ---------------
2011 jan Januar 20112011 feb Februar 20112011 apr April 20112011 jun Jun 20112011 sep Septembar 20112011 okt Oktobar 2011
{Godina_roka, Oznaka_roka} −→{Naziv}
Definicija FZDefinicija
Primeri
Ključevi relacije i FZ
Napomene
Pravila i zatvorenjeDekompozicija
Trivijalne i netrivijalne FZ
Zatvorenje skupa FZ
Armstrongove aksiome
Zatvorenje skupa atributa
Odredjivanje zatvorenjaskupa atributa
Pokrivač skupa FZ
Nereducibilni skup FZ
Nereducibilni skup FZ
Nereducibilni skup FZ -Algoritam
Primer
Projekcija FZ
7.7
Ključevi relacije i funkcionalne zavisnosti
Redefinicija ključeva:Podskup atributa X ⊆ R relacije R jekandidat za ključ relacije R ako važi:• ∀Y : Y = R�X =⇒ X −→ Y
• @Z ,W : (Z ∈ X ) ∧ (W = R�Z ) ∧ (Z −→W )
Nadključ (superključ) relacije R je skup atributa kojiuključuje kao podskup bar jedan kandidat za ključrelacije R.
Definicija FZDefinicija
Primeri
Ključevi relacije i FZ
Napomene
Pravila i zatvorenjeDekompozicija
Trivijalne i netrivijalne FZ
Zatvorenje skupa FZ
Armstrongove aksiome
Zatvorenje skupa atributa
Odredjivanje zatvorenjaskupa atributa
Pokrivač skupa FZ
Nereducibilni skup FZ
Nereducibilni skup FZ
Nereducibilni skup FZ -Algoritam
Primer
Projekcija FZ
7.8
Napomene
• Svaka FZ predstavlja ograničenjeintegriteta• Posledica: svaki atribut relacije
funkcionalno zavisi od nekog kandidataza ključ• FZ na zavisi od trenutne vrednosti
relvar-a i zbog toga nisu FZ{Oznaka_roka}−→ {Naziv} i{Naziv}−→{Oznaka_roka}
Definicija FZDefinicija
Primeri
Ključevi relacije i FZ
Napomene
Pravila i zatvorenjeDekompozicija
Trivijalne i netrivijalne FZ
Zatvorenje skupa FZ
Armstrongove aksiome
Zatvorenje skupa atributa
Odredjivanje zatvorenjaskupa atributa
Pokrivač skupa FZ
Nereducibilni skup FZ
Nereducibilni skup FZ
Nereducibilni skup FZ -Algoritam
Primer
Projekcija FZ
7.9
Napomene (nastavak)
• Dva skupa funkcionalnih zavisnosti S iT nad relacijom R su ekvivalentni akoskup instanci relacije R koji zadovoljavaS je jednak skupu instanci relacije Rkoji zadovoljava T.• U opštem slučaju, skup S FZ se izvodi
iz skupa T FZ ako svaka instancarelacije koja zadovoljava sve FZ iz Ttakodje zadovoljava sve FZ iz S.• Posledica: dva skupa FZ S i T su
ekvivalentna akko se svaka FZ u Sizvodi iz FZ u T i svaka FZ u T izvodi izFZ u S.
Definicija FZDefinicija
Primeri
Ključevi relacije i FZ
Napomene
Pravila i zatvorenjeDekompozicija
Trivijalne i netrivijalne FZ
Zatvorenje skupa FZ
Armstrongove aksiome
Zatvorenje skupa atributa
Odredjivanje zatvorenjaskupa atributa
Pokrivač skupa FZ
Nereducibilni skup FZ
Nereducibilni skup FZ
Nereducibilni skup FZ -Algoritam
Primer
Projekcija FZ
7.10
Dekompozicija FZ
Dekompozicija: FZ
A1, A2, ...,An−→B1, B2, ...,Bm
je ekvivalentna sa skupom FZA1, A2, ...,An−→B1A1, A2, ...,An−→B2...A1, A2, ...,An−→Bm
Definicija FZDefinicija
Primeri
Ključevi relacije i FZ
Napomene
Pravila i zatvorenjeDekompozicija
Trivijalne i netrivijalne FZ
Zatvorenje skupa FZ
Armstrongove aksiome
Zatvorenje skupa atributa
Odredjivanje zatvorenjaskupa atributa
Pokrivač skupa FZ
Nereducibilni skup FZ
Nereducibilni skup FZ
Nereducibilni skup FZ -Algoritam
Primer
Projekcija FZ
7.11
Kompozicija FZ
Kompozicija: skup FZA1, A2, ...,An−→B1A1, A2, ...,An−→B2...A1, A2, ...,An−→Bm
je ekvivalentna sa FZ
A1, A2, ...,An−→B1, B2, ...,Bm
Definicija FZDefinicija
Primeri
Ključevi relacije i FZ
Napomene
Pravila i zatvorenjeDekompozicija
Trivijalne i netrivijalne FZ
Zatvorenje skupa FZ
Armstrongove aksiome
Zatvorenje skupa atributa
Odredjivanje zatvorenjaskupa atributa
Pokrivač skupa FZ
Nereducibilni skup FZ
Nereducibilni skup FZ
Nereducibilni skup FZ -Algoritam
Primer
Projekcija FZ
7.12
Trivijalne i netrivijalne FZ
• Trivijalna zavisnost je FZ koja ne možea da ne bude zadovoljena za bilo kojiskup vrednosti u relaciji.• Y ⊆ X =⇒FZ X −→ Y je trivijalna• FZ koja nije trivijalna je netrivijalna
Definicija FZDefinicija
Primeri
Ključevi relacije i FZ
Napomene
Pravila i zatvorenjeDekompozicija
Trivijalne i netrivijalne FZ
Zatvorenje skupa FZ
Armstrongove aksiome
Zatvorenje skupa atributa
Odredjivanje zatvorenjaskupa atributa
Pokrivač skupa FZ
Nereducibilni skup FZ
Nereducibilni skup FZ
Nereducibilni skup FZ -Algoritam
Primer
Projekcija FZ
7.13
Trivijalne i netrivijalne FZ
Neke trivijalne zavisnosti:• {Indeks}−→{Indeks}• {Godina_roka, Oznaka_roka} −→{Godina_roka,
Oznaka_roka}
• {Godina_roka, Oznaka_roka} −→{Godina_roka}• {Godina_roka, Oznaka_roka} −→{Oznaka_roka}• {Id_predmeta}−→{Id_predmeta}• ...
Definicija FZDefinicija
Primeri
Ključevi relacije i FZ
Napomene
Pravila i zatvorenjeDekompozicija
Trivijalne i netrivijalne FZ
Zatvorenje skupa FZ
Armstrongove aksiome
Zatvorenje skupa atributa
Odredjivanje zatvorenjaskupa atributa
Pokrivač skupa FZ
Nereducibilni skup FZ
Nereducibilni skup FZ
Nereducibilni skup FZ -Algoritam
Primer
Projekcija FZ
7.14
Zatvorenje skupa FZ
Definicija: Neka je S skup FZ nad relacijomR. Skup svih FZ koje mogu da se izvedu izskupa S FZ se naziva zatvorenje od S ioznačava sa S+.
Posledica: dva skupa funkcionalnihzavisnosti S i T nad relacijom R suekvivalentni ako važi S+ = T+.
Definicija FZDefinicija
Primeri
Ključevi relacije i FZ
Napomene
Pravila i zatvorenjeDekompozicija
Trivijalne i netrivijalne FZ
Zatvorenje skupa FZ
Armstrongove aksiome
Zatvorenje skupa atributa
Odredjivanje zatvorenjaskupa atributa
Pokrivač skupa FZ
Nereducibilni skup FZ
Nereducibilni skup FZ
Nereducibilni skup FZ -Algoritam
Primer
Projekcija FZ
7.15
Odredjivanje zatvorenja skupa FZ
Zatvorenje S+ skupa FZ S može da seodredi primenom pravila - Armstrongovimaksiomama kojima se nove FZ izvode izpostojećih.
Neka su A, B, i C proizvoljni podskupoviatributa relacije R. Tada važe pravila:Refleksivnost: B ⊆ A =⇒ A −→ BProširenje: A −→ B =⇒ AC −→ BCTranzitivnost: A −→ B ∧ B −→ C =⇒ A −→ C
Definicija FZDefinicija
Primeri
Ključevi relacije i FZ
Napomene
Pravila i zatvorenjeDekompozicija
Trivijalne i netrivijalne FZ
Zatvorenje skupa FZ
Armstrongove aksiome
Zatvorenje skupa atributa
Odredjivanje zatvorenjaskupa atributa
Pokrivač skupa FZ
Nereducibilni skup FZ
Nereducibilni skup FZ
Nereducibilni skup FZ -Algoritam
Primer
Projekcija FZ
7.16
Dodatna pravila
Iz prethodna tri mogu da se izvedu dodatnapravila:Samo-odredjenje:
A −→ ADekompozicija:
A −→ BC =⇒ A −→ B ∧ A −→ CUnija:
A −→ B ∧ A −→ C =⇒ A −→ BCKompozicija:
A −→ B ∧ C −→ D =⇒ AC −→ BDOpšta teorema unifikacije:
A −→ B ∧ C −→ D =⇒ A ∪ (C − B) −→ BD
Definicija FZDefinicija
Primeri
Ključevi relacije i FZ
Napomene
Pravila i zatvorenjeDekompozicija
Trivijalne i netrivijalne FZ
Zatvorenje skupa FZ
Armstrongove aksiome
Zatvorenje skupa atributa
Odredjivanje zatvorenjaskupa atributa
Pokrivač skupa FZ
Nereducibilni skup FZ
Nereducibilni skup FZ
Nereducibilni skup FZ -Algoritam
Primer
Projekcija FZ
7.17
Primer algoritma za računanje F+
Algoritam za računanje zatvorenja skupaFZ F:
Inicijalno F+=F;repeat
za svaku FZ f ∈ F+primeniti refleksivnost i proširenje na fdodati dobijene FZ u F+
za svaki par FZ (f1, f2) ∈ F+ako f1 i f2 mogu da se kombinuju pomoću tranzitivnosti
tada dodati dobijenu FZ u F+
until više ne bude promena u F+
Definicija FZDefinicija
Primeri
Ključevi relacije i FZ
Napomene
Pravila i zatvorenjeDekompozicija
Trivijalne i netrivijalne FZ
Zatvorenje skupa FZ
Armstrongove aksiome
Zatvorenje skupa atributa
Odredjivanje zatvorenjaskupa atributa
Pokrivač skupa FZ
Nereducibilni skup FZ
Nereducibilni skup FZ
Nereducibilni skup FZ -Algoritam
Primer
Projekcija FZ
7.18
Odredjivanje zatvorenja skupa FZ - primer
Neka su A,B,C,D i F atributi relacije R, i neka je Sskup FZ dat sa
A −→ BCB −→ ECD −→ EF
Ispitati da li je FZ AD −→ F u S+
Primer: Dokaz da je AD −→ F u S+
1 A −→ BC (dato)
2 A −→ C(dekompozicija)
3 AD −→ CD (proširenje)
4 CD −→ EF (dato)
5 AD −→ EF(tranzitivnost)
6 AD −→ F(dekompozicija)
Definicija FZDefinicija
Primeri
Ključevi relacije i FZ
Napomene
Pravila i zatvorenjeDekompozicija
Trivijalne i netrivijalne FZ
Zatvorenje skupa FZ
Armstrongove aksiome
Zatvorenje skupa atributa
Odredjivanje zatvorenjaskupa atributa
Pokrivač skupa FZ
Nereducibilni skup FZ
Nereducibilni skup FZ
Nereducibilni skup FZ -Algoritam
Primer
Projekcija FZ
7.19
Zatvorenje skupa atributa
• Često treba izračunati da li data FZ pripadazatvorenju skupa FZ
• U praksi se odredjivanje zatvorenja FZrelativno retko radi (algoritam je neefikasan!)
• Da bi odredili da li je K nadključ treba odreditiskup atributa relacije R koji funkcionalno zavisiod K
• Ako je skup atributa K nadkljuc tada Kfunkcionalno odreduje sve atribute u R
• K je nadkljuc akko je K+ od K (u odnosu nadati skup FZ) jednako skupu svih atributarelacije R
Definicija FZDefinicija
Primeri
Ključevi relacije i FZ
Napomene
Pravila i zatvorenjeDekompozicija
Trivijalne i netrivijalne FZ
Zatvorenje skupa FZ
Armstrongove aksiome
Zatvorenje skupa atributa
Odredjivanje zatvorenjaskupa atributa
Pokrivač skupa FZ
Nereducibilni skup FZ
Nereducibilni skup FZ
Nereducibilni skup FZ -Algoritam
Primer
Projekcija FZ
7.20
Zatvorenje skupa atributa
Definicija: Neka je A = {A1,A2, ...,An} skupatributa relacije R i S skup FZ nad R.
Zatvorenje skupa atributa A u odnosu naskup S FZ je skup atributa B takvih dasvaka relacija koja zadovoljava sve FZ uskupu S zadovoljava i FZA1,A2, ...,An −→ B.
Definicija FZDefinicija
Primeri
Ključevi relacije i FZ
Napomene
Pravila i zatvorenjeDekompozicija
Trivijalne i netrivijalne FZ
Zatvorenje skupa FZ
Armstrongove aksiome
Zatvorenje skupa atributa
Odredjivanje zatvorenjaskupa atributa
Pokrivač skupa FZ
Nereducibilni skup FZ
Nereducibilni skup FZ
Nereducibilni skup FZ -Algoritam
Primer
Projekcija FZ
7.21
Zatvorenje skupa atributa
• Zatvorenje skupa atributa A seoznačava sa A+
• Uvek važi da su svi pojedinačni atributiiz A u A+
Definicija FZDefinicija
Primeri
Ključevi relacije i FZ
Napomene
Pravila i zatvorenjeDekompozicija
Trivijalne i netrivijalne FZ
Zatvorenje skupa FZ
Armstrongove aksiome
Zatvorenje skupa atributa
Odredjivanje zatvorenjaskupa atributa
Pokrivač skupa FZ
Nereducibilni skup FZ
Nereducibilni skup FZ
Nereducibilni skup FZ -Algoritam
Primer
Projekcija FZ
7.22
Odredjivanje zatvorenja skupa atributa
Neka je A = {A1,A2, ...,An} skup atributa i S skupFZ. Algoritam za odredjivanje zatvorenja A+ je
1 Izvršiti dekompoziciju svih FZ tako da imajusamo jedan atribut na desnoj strani
2 Neka je X skup atributa koji predstavljazatvorenje. Inicijalno X = {A1,A2, ...,An}
3 Tražiti FZ oblika B1,B2, ...,Bm −→ C takve da∀i : Bi ⊂ X ∧ C * X . Dodati C u X . Ponavljatipretragu sve dok ima promena skupa X .
4 Ukoliko ne postoji atribut koji bi mogao da sedoda skupu X tada je X = {A1,A2, ...,An}+
Definicija FZDefinicija
Primeri
Ključevi relacije i FZ
Napomene
Pravila i zatvorenjeDekompozicija
Trivijalne i netrivijalne FZ
Zatvorenje skupa FZ
Armstrongove aksiome
Zatvorenje skupa atributa
Odredjivanje zatvorenjaskupa atributa
Pokrivač skupa FZ
Nereducibilni skup FZ
Nereducibilni skup FZ
Nereducibilni skup FZ -Algoritam
Primer
Projekcija FZ
7.23
Odredjivanje zatvorenja skupa atributa -primer
Neka relacija sadrži atribute A,B,C,D,E i F . Nekavaše sledeće FZ:AB −→ CBC −→ ADD −→ ECF −→ B
Šta je zatvorenje skupa atributa {A,B}?
Definicija FZDefinicija
Primeri
Ključevi relacije i FZ
Napomene
Pravila i zatvorenjeDekompozicija
Trivijalne i netrivijalne FZ
Zatvorenje skupa FZ
Armstrongove aksiome
Zatvorenje skupa atributa
Odredjivanje zatvorenjaskupa atributa
Pokrivač skupa FZ
Nereducibilni skup FZ
Nereducibilni skup FZ
Nereducibilni skup FZ -Algoritam
Primer
Projekcija FZ
7.24
Pokrivač skupa FZ
• Ako su S1 i S2 dva skupa FZ i ako jesvaka FZ iz S1 uključena u S2, tj. ako jeS+1 podskup od S
+2 tada je S2 pokrivač
za S1.• Ako je S1 pokrivač od S2 i S2 pokrivač
od S1 tada su S1 i S2 ekvivalentni• Ako RSUBP obezbedi FZ u S2 tada će
automatski biti obezbedjene i FZ u S1
Definicija FZDefinicija
Primeri
Ključevi relacije i FZ
Napomene
Pravila i zatvorenjeDekompozicija
Trivijalne i netrivijalne FZ
Zatvorenje skupa FZ
Armstrongove aksiome
Zatvorenje skupa atributa
Odredjivanje zatvorenjaskupa atributa
Pokrivač skupa FZ
Nereducibilni skup FZ
Nereducibilni skup FZ
Nereducibilni skup FZ -Algoritam
Primer
Projekcija FZ
7.25
Nereducibilni skup FZ
Definicija: FZ X −→ Y u skupu Sfunkcionalnih zavisnosti jelevo-nereducibilna ako iz X ne može da seukloni ni jedan atribut bez promenezatvorenja S+
Zašto nereducibilni skup FZ:Nadkljuc K je kandidat za ključ relacije Rakko je njen nereducibilni nadključ
Definicija FZDefinicija
Primeri
Ključevi relacije i FZ
Napomene
Pravila i zatvorenjeDekompozicija
Trivijalne i netrivijalne FZ
Zatvorenje skupa FZ
Armstrongove aksiome
Zatvorenje skupa atributa
Odredjivanje zatvorenjaskupa atributa
Pokrivač skupa FZ
Nereducibilni skup FZ
Nereducibilni skup FZ
Nereducibilni skup FZ -Algoritam
Primer
Projekcija FZ
7.26
Nereducibilni skup FZ
Definicija: Skup FZ je nereducibilan ako• Desna strana svake FZ u S sadrži
tačno jedan atribut• Leva strana svake FZ je levo
nereducibilna• Ni jedna FZ ne može da se ukloni iz S
bez promene S+
Skup FZ koji zadovoljava prethodna pravilase naziva i minimalan ili kanonički
Definicija FZDefinicija
Primeri
Ključevi relacije i FZ
Napomene
Pravila i zatvorenjeDekompozicija
Trivijalne i netrivijalne FZ
Zatvorenje skupa FZ
Armstrongove aksiome
Zatvorenje skupa atributa
Odredjivanje zatvorenjaskupa atributa
Pokrivač skupa FZ
Nereducibilni skup FZ
Nereducibilni skup FZ
Nereducibilni skup FZ -Algoritam
Primer
Projekcija FZ
7.27
Nereducibilni skup FZ - Algoritam
Algoritam za nalaženje nereducibilnogskupa S FZ:• Koristeći pravilo dekompozicije
prepisati sve FZ u S tako da desnastrana sadrži tačno jedan atribut• Eliminisati sve redundantne FZ iz
skupa funkcionalnih zavisnostidobijenih prethodnim postupkom
Definicija FZDefinicija
Primeri
Ključevi relacije i FZ
Napomene
Pravila i zatvorenjeDekompozicija
Trivijalne i netrivijalne FZ
Zatvorenje skupa FZ
Armstrongove aksiome
Zatvorenje skupa atributa
Odredjivanje zatvorenjaskupa atributa
Pokrivač skupa FZ
Nereducibilni skup FZ
Nereducibilni skup FZ
Nereducibilni skup FZ -Algoritam
Primer
Projekcija FZ
7.28
Nereducibilni skup FZ - primer
Neka relvar R ima atribute A,B,C,D i skupFZ:• A −→ BC• B −→ C• A −→ B• AB −→ C• AC −→ D
Naći nereducibilni skup FZ ekvivalentandatom skupu
Definicija FZDefinicija
Primeri
Ključevi relacije i FZ
Napomene
Pravila i zatvorenjeDekompozicija
Trivijalne i netrivijalne FZ
Zatvorenje skupa FZ
Armstrongove aksiome
Zatvorenje skupa atributa
Odredjivanje zatvorenjaskupa atributa
Pokrivač skupa FZ
Nereducibilni skup FZ
Nereducibilni skup FZ
Nereducibilni skup FZ -Algoritam
Primer
Projekcija FZ
7.29
Nereducibilni skup FZ - primer
Prvi korak: prepisati skup FZ tako da je nadesnoj strani samo jedan atribut• A −→ B• A −→ C• B −→ C• A −→ B• AB −→ C• AC −→ D
Kako se FZ A −→ B javlja dva puta, jednopojavljivanje se eliminiše
Definicija FZDefinicija
Primeri
Ključevi relacije i FZ
Napomene
Pravila i zatvorenjeDekompozicija
Trivijalne i netrivijalne FZ
Zatvorenje skupa FZ
Armstrongove aksiome
Zatvorenje skupa atributa
Odredjivanje zatvorenjaskupa atributa
Pokrivač skupa FZ
Nereducibilni skup FZ
Nereducibilni skup FZ
Nereducibilni skup FZ -Algoritam
Primer
Projekcija FZ
7.30
Nereducibilni skup FZ - primer
Drugi korak: atribut C se eliminiše sa levestrane FZ AC −→ D jer važi• A −→ C (dobijeno u prvom koraku)• A −→ AC (proširenje)• Kako važi i AC −→ D =⇒ A −→ D
(tranzitivnost)Na osnovu prethodnog, dobija se da je Cna levoj strani AC −→ D redundantno
Definicija FZDefinicija
Primeri
Ključevi relacije i FZ
Napomene
Pravila i zatvorenjeDekompozicija
Trivijalne i netrivijalne FZ
Zatvorenje skupa FZ
Armstrongove aksiome
Zatvorenje skupa atributa
Odredjivanje zatvorenjaskupa atributa
Pokrivač skupa FZ
Nereducibilni skup FZ
Nereducibilni skup FZ
Nereducibilni skup FZ -Algoritam
Primer
Projekcija FZ
7.31
Nereducibilni skup FZ - primer
Treći korak: FZ AB −→ C se eliminiše jervaži• A −→ C (dobijeno u prvom koraku)• AB −→ CB (proširenje)• AB −→ C (dekompozicija)
Na osnovu prethodnog, dobija se da jeAB −→ C redundantno
Definicija FZDefinicija
Primeri
Ključevi relacije i FZ
Napomene
Pravila i zatvorenjeDekompozicija
Trivijalne i netrivijalne FZ
Zatvorenje skupa FZ
Armstrongove aksiome
Zatvorenje skupa atributa
Odredjivanje zatvorenjaskupa atributa
Pokrivač skupa FZ
Nereducibilni skup FZ
Nereducibilni skup FZ
Nereducibilni skup FZ -Algoritam
Primer
Projekcija FZ
7.32
Nereducibilni skup FZ - primer
Četvrti korak: FZ A −→ C se eliminiše jervaži• FZ A −→ C (dobijeno u prvom koraku)• A −→ B (dato)• B −→ C (dato)• A −→ C (tranzitivnost)
Na osnovu prethodnog, dobija se da jeA −→ C redundantnoDobijeni nereducibilni skup FZ je
A −→ B B −→ C A −→ D
Definicija FZDefinicija
Primeri
Ključevi relacije i FZ
Napomene
Pravila i zatvorenjeDekompozicija
Trivijalne i netrivijalne FZ
Zatvorenje skupa FZ
Armstrongove aksiome
Zatvorenje skupa atributa
Odredjivanje zatvorenjaskupa atributa
Pokrivač skupa FZ
Nereducibilni skup FZ
Nereducibilni skup FZ
Nereducibilni skup FZ -Algoritam
Primer
Projekcija FZ
7.33
Projekcija FZ
Neka se relacija R sa skupom S FZprojektuje na relaciju R1 = π{R}. Koje FZsu važeće u R1?
Odredjuje se se projekcija FZ S koja sadržisve FZ takve da• Mogu da se izvedu iz S• Uključuju jedino atribute iz R1
Definicija FZDefinicija
Primeri
Ključevi relacije i FZ
Napomene
Pravila i zatvorenjeDekompozicija
Trivijalne i netrivijalne FZ
Zatvorenje skupa FZ
Armstrongove aksiome
Zatvorenje skupa atributa
Odredjivanje zatvorenjaskupa atributa
Pokrivač skupa FZ
Nereducibilni skup FZ
Nereducibilni skup FZ
Nereducibilni skup FZ -Algoritam
Primer
Projekcija FZ
7.34
Projekcija FZ - algoritam
• Neka je T skup FZ u R1. Inicijalno je T = ∅
• ∀X ⊆ R1 odrediti X+ u odnosu na FZ u S.Atributi koji su u R ali ne i u R1 mogu da sekoriste u izračunavanju X+. Dodati u T svenetrivijalne FZ X −→ A takve daA ⊂ X+ ∧ A ⊂ R1
Definicija FZDefinicija
Primeri
Ključevi relacije i FZ
Napomene
Pravila i zatvorenjeDekompozicija
Trivijalne i netrivijalne FZ
Zatvorenje skupa FZ
Armstrongove aksiome
Zatvorenje skupa atributa
Odredjivanje zatvorenjaskupa atributa
Pokrivač skupa FZ
Nereducibilni skup FZ
Nereducibilni skup FZ
Nereducibilni skup FZ -Algoritam
Primer
Projekcija FZ
7.35
Projekcija FZ - algoritam
• Odredjuje se minimalni skup T na sledećinačin:
• Ako postoji F ⊂ T koja može da seizvede iz drugih FZ u T , ukloniti FZ F
• Neka je Y −→ B FZ iz T sa najmanjedva atributa u Y i neka je Z dobijeno iz Yuklanjanjem jednog od atributa. AkoZ −→ B može da se izvede iz FZ u T(uključujući Y −→ B), tada se Y −→ Bzamenjuje sa Z −→ B
• Ponoviti prethodne korake sve dok imapromena u T
Definicija FZDefinicija
Primeri
Ključevi relacije i FZ
Napomene
Pravila i zatvorenjeDekompozicija
Trivijalne i netrivijalne FZ
Zatvorenje skupa FZ
Armstrongove aksiome
Zatvorenje skupa atributa
Odredjivanje zatvorenjaskupa atributa
Pokrivač skupa FZ
Nereducibilni skup FZ
Nereducibilni skup FZ
Nereducibilni skup FZ -Algoritam
Primer
Projekcija FZ
7.36
Projekcija FZ - primer
Neka R{A,B,C,D} sadrži FZ• A −→ B
• B −→ C
• C −→ D
Neka je R1{A,C,D} = π{R}. Odrediti skupFZ relacije R1.
Definicija FZDefinicijaPrimeriKljucevi relacije i FZNapomene
Pravila i zatvorenjeDekompozicijaTrivijalne i netrivijalne FZZatvorenje skupa FZArmstrongove aksiomeZatvorenje skupa atributaOdredjivanje zatvorenja skupa atributaPokrivac skupa FZNereducibilni skup FZNereducibilni skup FZNereducibilni skup FZ - AlgoritamProjekcija FZ