Fakta-fakta Bilangan Sempurna

Disusun Oleh: Liah Purnawati

Bilangan Sempurna

Dalam Wikipedia.org 6, 28, 496, 8128 adalah bilangan sempurna, karena 1,2, dan 3 adalah faktor dari 6, dan ketika 1 + 2 + 3 = 6. Bilangan selanjutnya adalah 28 dan mempunyai faktor yang apabila di jumlahkan 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. Begitupun dengan 496, 8128 apabila faktor-faktornya dijumlahkan akan menghasilkan bilangan itu sendiri.

Keempat bilangan sempurna diatas di temukan oleh seorang matematikawan dari abad ke-1 yang bernama Nicomachus ( 60 - 120M ). Hanya empat bilangan sempurna yang pertama inilah yang diketahui oleh ahli zaman Yunani Kuno.

Kebetulan atau tidak, ternyata semua bilangan sempurna yang ditemukan sampai saat ini merupakan bilangan genap semua. Euclide menemukan bahwa bilangan sempurna pertama dihasilkan oleh:

2p-1(2p-1)Dengan P adalah suatu bilangan prima.

Menyadari bahwa dalam setiap kasus 2p – 1 adalah bilangan prima, Euclide membuktikan bahwa “2p-1 ( 2p – 1 ) adalah bilangan sempurna genap jika 2p – 1 adalah bilangan prima”(Euclide, Prop IX.36).

Bilangan prima dengan bentuk 2m –1 memunculkan bilangan sempurna, seperti yang ditemukan di buku Euclide, bilangan prima demikian dinamakan Mersenne primes.

Supaya 2p – 1 menjadi prima, maka perlu bahwa p itu sendiri adalah prima. Bilangan prima berbentuk 2p-1 dikenal sebagai bilangan prima Mersenne setelah ditemukan oleh biarawan Marin Mersenne abad ketujuh belas (ke-17), yang belajar teori bilangan dan bilangan sempurna. Bilangann mersenne adalah sebuah bilangan prima dengan rumus Mn = 2n – 1, dengan “n” adalah bilangan prima biasa. Namun tidak semua bilangan berbentuk 2p – 1 dengan “p” prima adalah bilangan Mersenne, hanya 33 dari 78.498 bilangan prima tersebut

Dalam perkembangannya bilangan sempurna genap ternyata akan mempunyai sisa 1 (satu) apabila dibagi dengan angka 9 (Sembilan), akan tetapi ini tidak berlaku bagi bilangan sempurna 6 (enam) yang dimana angka 6 tidak bisa di bagi oleh 9. Kalaupun bisa dibagi hasilnya akan berbentuk bilangan desimal. Contoh bilangan sempurna yang dapat dibagi 9 sisa 1 adalah 28 apabila dibagi dengan 9 hasilnya 27 dan mempunyai sisa 1, begitupun dengan bilangan sempurna 496 apabila dibagi 9 hasilnya 55 dan mempunyai sisa 1.

Aplikasi yang digunakan untuk menentukan apakah bilangan tersebut adalah bilangan sempurna dapat menggunakan program C++- dengan menggunakan kode.