DETERMINAN MATRIKS

Aljabar Linear 2

Determinan Matriks

Sub Pokok BahasanDeterminan MatriksDeterminan dengan Ekspansi KofaktorSifat Determinan

Aplikasi penggunaan determinan

• Beberapa Aplikasi Determinan– Solusi SPL– Optimasi– Model Ekonomi – dan lain-lain

Aljabar Linear 4

Definisi Determinan Matriks

Hasil kali elementer A hasilkali n buah unsur A tanpa ada pengambilan unsur dari baris/kolom yang sama.Contoh :

Ada 6 (3!) hasil kali elementer dari matriks A, yaitu:a11 a22 a33, a11 a23 a32 , a12 a21 a33 ,

a12 a23 a31 , a13 a21 a32 , a13 a22 a31

nnnn

n

n

aaa

aaaaaa

A

11

21111

11111

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

A

Aljabar Linear 5

Hasil kali elementer bertandaa11 a22 a33

– a11 a23 a32

– a12 a21 a33

a12 a23 a31

a13 a21 a32

– a13 a22 a31

Jadi, Misalkan Anxn maka determinan dari matriks A didefinisikan sebagai jumlah dari semua hasil kali elementer bertanda matriks tersebut.

Notasi : Det(A) atau |A|

Perhatikan…Tanda (+/-) muncul sesuai hasil

klasifikasi permutasi indeks kolom, yaitu : jika genap + (positif) jika ganjil - (negatif)

Aljabar Linear 6

Contoh : Tentukan Determinan matriks

Jawab :Menurut definisi :Det(A3x3) = a11 a22 a33 – a11 a23 a32 – a12 a21 a33 +

a12 a23 a31 + a13 a21 a32 – a13 a22 a31

atau

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

A

2331

2221

1211

333231

232221

131211

aaaaaa

aaaaaaaaa

A

Aljabar Linear 7

Contoh :Tentukan determinan matriks

Jawab :

122011123

B

122011123

det

B

)1)(1)(2()2)(0)(3()2)(1)(1()2)(1)(1()2)(0)(2()1)(1)(3(

202203

1

221123

Aljabar Linear 8

bcaddcba

A

det)det(

Syarat suatu matrik mempunyai determinan: matrik bujursangkarLambang determinan matrik A adalah det(A) atau A

Dengan menggunakan determinan matrik 2x2 ini, akan didefinisikan determinan matrik yang berordo yang lebih besar

Aljabar Linier 9

332112322311312213322113312312332211

333231

232221

131211

)det( aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

A

det(A)= )()1()()1()()1( 3122322131

133123332121

123223332211

11 aaaaaaaaaaaaaaa

det(A)=3231

22213113

3331

23212112

3332

23221111 )1()1()1(

aaaa

aaaaa

aaaaa

a

det(A)= )()1()()1()()1( 3112321132

233113331122

223213331212

21 aaaaaaaaaaaaaaa

det(A)= 3231

12113223

3331

13112222

3332

13121221 )1()1()1(

aaaa

aaaaa

aaaaa

a

Dari kenyataan di atas dapat dirumuskan berikut:

22/04/23 08:56 MA-1223 Aljabar Linear 10

Determinan dengan ekspansi kofaktorMisalkan

Beberapa definisi yang perlu diketahui :• Mij disebut Minor- ij yaitu determinan matriks A

dengan menghilangkan baris ke_i dan kolom ke-j matriks A.Contoh :

nnnn

n

n

aaa

aaaaaa

A

...:::

......

21

22221

11211

2 1 0 1 2 1 0 1 2

A 11 0

2 1 maka 13 M

Aljabar Linear 11

• Cij Matrik dinamakan kofaktor - ij yaitu (-1)i+j Mij

Contoh :

maka

= (– 1)3 .2 = – 2

2 1 0 1

1 1221

C

2 1 0 1 2 1 0 1 2

A

Aljabar Linear 12

Secara umum, cara menghitung determinan dengan ekspansi kofaktor :

• Menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-i

det (A) = ai1 Ci1 + ai2 Ci2 + . . . + ain Cin

• Menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke-j

det (A) = a1j C1j + a2j C2j + . . . + anj Cnj

Contoh 6 :Hitunglah Det(A) dengan ekspansi kofaktor :

2 1 0 1 2 1

0 1 2 A

Aljabar Linear 13

Jawab :Misalkan, kita akan menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-3

= a31 C31 + a32 C32 + a33 C33

= 0 – 2 + 6 = 4

3

133)det(

jjjcaA

23)1(10 1 1 0 2 33)1(2

2 1 1 2

2 1 0 1 2 1

0 1 2 A

Aljabar Linear 14

Menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke-3

= a13 C13 + a23 C23 + a33 C33

= 0 – 2 + 6 = 4

3

133)det(

iii caA

32)1(10 1 0 1 2 33)1(2

2 1 1 2

2 1 0 1 2 1

0 1 2 A

Aljabar Linear 15

Misal, diketahui matriks kofaktor dari A :

Maka matriks Adjoin dari A adalah :

1- 1 1 2- 1 2 2 1- 1-

C

1- 2- 2 1 1 1- 1 2 1-

)( TCAadj

• Invers Matriks dengan menggunakan Adjoin

• Maka, tentukan invers dari matiks A sebelumnya!

Aljabar Linear 17

Latihan1. Tentukan determinan matriks dengan

determinan/cramer dan ekspansi kofaktor

dan

2. Diketahui :

dan

Tunjukan bahwa : det (A) det (B) = det (AB)

211121112

P

144010023

Q

200043012

A

105217311

B

Aljabar Linear 18

3. Diketahui :

Tentukan k jika det (D) = 294. Diketahui matriks

Jika B = A-1 dan At merupakan transpos dari A. Tentukan nilai

43101

51

k

kD

543012001

A

BA

BAx

tdet

5det2det 2

Aljaar Linear 19

Sifat-sifat determinan

1. det(AB)=det(A)det(B)2. det(AT)=det(A)3. Jika A matrik diagonal, maka det(A)=a11a22...ann

{perkalian dari semua entri pada diagonal utama}4. Jika A matrik segitiga, maka det(A)=a11a22...ann

{perkalian dari semua entri pada diagonal utama}5. Jika Anxn, maka det(kA)=kndet(A)6. det(A-1)=1/det(A)7. Jika A memuat baris nol atau kolom nol, maka

det(A)=0

Aljabar Linear 20

Sifat-sifat determinan

8. Terhadap operasi baris elementer, determinan mempunyai sifat, sebagai berikut:

a. Jika A’ diperoleh dari A dengan cara mengalikan satu baris dari A dengan konstanta k0, maka det(A’)=k det(A)

b. Jika A’ diperoleh dari A dengan cara menukar dua baris, maka det(A’) = - det(A)

c. Jika A’ diperoleh dari A dengan cara menjumlahkan kelipatan satu baris dengan baris yang lain, maka det(A’)=det(A)

9. Jika A memuat dua baris yang saling berkelipatan atau dua kolom yang saling berkelipatan, maka det(A)=0