APUNTES DE DERIVE

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8.-DERIVADAS

ESTUDIO DE LA DERIVABILIDAD DE UNA FUNCIN:

Ejercicio1: Probar que la siguiente funcin no es derivable en x = 2, pero s continua.

=

+=

2 xsi 0

2 xsi e1

2-x

f(x) 2-x1

Estudio de la continuidad:

Como + 1x 2

x-2

x-2lim 1 e

+

= -

1x 2

x-2

x-2lim 1 e

+

= 0 = f (2)

La funcin es continua en 2.

Estudio de la derivabilidad:

Como no coincide la derivada por la derecha con la derivada por la izquierda, la funcin no es derivable en 2.

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CLCULO DE DERIVADAS: Para hallar la derivada de una funcin:

Ejercicio 2: Deriva y = xLx x. Escribimos DIF(xLN(x)-x,x) aparece la primera expresin y dando a igual tenemos la derivada.

Ejercicio 3: Deriva y = 2

xarc sen

1 + x.

Escribimos: Aparece: y clic a igual y la solucin es:

Escribimos la funcin y damos clic al icono Calcular derivadas, aparece una ventana y all tenemos que indicar la variable y el orden de derivada: primera, segunda...

O escribimos DIF(f,x), esta funcin halla la funcin derivada de f con

respecto a x.

En los dos casos aparece: si es la primera derivada, dando al

icono igual aparece la solucin:

O escribimos DIF(f,x,n), para hallar la derivada n-sima de f con respecto a

x, por ejemplo la tercera derivada =

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Para ver la sintaxis del arco seno, hay que ir a Ayuda a Funciones trigonomtricas inversas.

Ejercicio 4: Calcula la derivada de 1+cosxy = L1-cosx

. Solucin: -cosecx

Ejercicio 5: Calcula la derivada de senxy = x . Solucin:

Expresado de otra forma: senx 1y' = x cos x Lx +

x senx

Ejercicio 6: Calcula la tercera derivada de y = 1 x1 - x

+.

Solucin: y=

ECUACIN DE LA RECTA TANGENTE A UNA CURVA EN UN PUNTO:

Supongamos que queremos hallar la ecuacin de la recta tangente a la curva y = 2x3 + 3x2 12x + 7 en el punto de abscisa x = -1. Seguimos los siguientes pasos:

1. Cargamos el fichero de utilidades DIF_APPS para poder utilizar la funcin TANGENT.

Men Archivo / Leer / Utilidad.

En la ventana que aparece abrimos el fichero DIF_APPS. 2. Definimos la funcin como: f:=2x3 + 3x2 12x + 7 3. Escribimos: TANGENT(f,x,-1) y presionamos en el icono = 4. Aparece : 8 12x Esto quiere decir que la ecuacin de la tangente es: y = 8 12x. Si realizamos la representacin de la curva y de la tangente en los mismos ejes:

=

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Ejercicio 7: Hallar la ecuacin de la tangente a la curva y = 1x13x

2

2

+ en el punto de

abscisa 2. Solucin: 2)-x(916

313

-y = 71- 16x y = 9

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Ejercicio 8: Hallar la ecuacin de la tangente a la curva y = x . lnx x en el punto de abscisa x = e. Solucin: y = x e.