AZ INFORMATIKA LOGIKAI ALAPJAI
4. gyakorlat
Előadó: Dr. Mihálydeák Tamás Sándor Gyakorlatvezető: Kovács Zita2017/2018. I. félév
ALAPJAI
Interpretáció
A ϱ függvényt az L(0) = ⟨LC, Con, Form⟩ nulladrendűnyelv egy interpretációjának nevezzük, ha
� Dom(ϱ) = Con
� Ha p∈Con, akkor ϱ(p)∈{0,1}.� Ha p∈Con, akkor ϱ(p)∈{0,1}.
Megjegyzések
� az interpretáció feladata az, hogy szemantikai értéketrendeljen a nemlogikai konstansokhoz.
� A nulladrendű logikában a nemlogikai konstansokállítások helyettesítésére szolgálnak.
� (Az állítások lehetséges szemantikai értékei azigazságértékek, így egy interpretáció mindennemlogikai konstanshoz egy igazságértéket rendel.)
� Ha a nulladrendű nyelvben n darab nemlogikaikonstans van, akkor a különböző interpretációk száma2n.
Szemantikai szabályok
∣∣∣∣A∣∣∣∣ϱ jelöli az A formula ϱ interpretáció szerinti értékét.
� Ha p∈Con, akkor ∣p∣ϱ=ϱ(p)
� Ha A∈Form, akkor ∣¬A∣ϱ=1-∣A∣ϱ.
� Ha A,B∈Form, akkor∣ ⊃ ∣
∈ ∣ ∣ ∣ ∣
� Ha A,B∈Form, akkor� ∣(A⊃B)∣ϱ=
� 0, ha∣A∣ϱ=1 és ∣B∣ϱ=0
� 1, egyébként.
� ∣(A∧B)∣ϱ=
� 1, ha∣A∣ϱ=1 és ∣B∣ϱ=1
� 0, egyébként.
� ∣(A∨B)∣ϱ=
� 0, ha∣A∣ϱ=0 és ∣B∣ϱ=0
� 1, egyébként.
� ∣(A≡B)∣ϱ=
1, ha∣A∣ =∣B∣
Szemantikai szabályok
∣ ∣
� 1, ha∣A∣ϱ=∣B∣ϱ� 0, egyébként.
Példa
Tfh. ∣∣∣∣p∣∣∣∣ϱ = 0 és ∣∣∣∣q∣∣∣∣ϱ = 0
Ekkor ∣∣∣∣¬(¬p∧∧∧∧(p∨∨∨∨q)) ∣∣∣∣ϱ = ?
∣ ¬(¬p∧(p∨q)) ∣ϱ = 1 - ∣ (¬p∧(p∨q)) ∣ϱ = *� ∣¬p∣ = 1
∨ ∣
∣∣∣∣ ∣∣∣∣
∣ ∧ ∨ ∣ ∣ ∧ ∨ ∣
� ∣¬p∣ϱ= 1
�|(p∨q)) ∣ϱ = 0
� ezért: ∣ (¬p∧(p∨q)) ∣ϱ = 0
* = 1- 0 = 1
Igazságfunktorok
Azokat a logikai konstansokat (logikai műveleteket),amelyek szemantikai szabálya egy f:{0,1}(n)→{0,1}függvénnyel megadható, n argumentumúigazságfunktoroknak nevezzük.
A logikai konstansok igazságfunktorok:� A logikai konstansok igazságfunktorok:� negáció (n=1)� implikáció (n=2)� konjunkció (n=2)� diszjunkció (n=2)� ekvivalencia (n=2)
A negáció
� igazságtáblázata
� Tipikus természetes nyelvi alakja: 'Nem igaz, hogy ...'
� Legyen A∈Form. ¬A kiolvasása:
p ¬p
0 1
1 0
� Legyen A∈Form. ¬A kiolvasása: � Nem igaz, hogy A.
� Non A.
� Negáció A.
� Kettős negáció törvénye: ¬¬A⇔A
Az implikáció
� igazságtáblázata
� Tipikus természetes nyelvi alakja: Ha ..., akkor ...
� Legyen A,B∈Form. (A⊃B) kiolvasása: � Ha A, akkor B.
⊃⊃⊃⊃ 0 1
0 1 1
1 0 1
∈ ⊃
� Ha A, akkor B.
� Amennyiben A, úgy B.
� A implikáció B.
� A implikálja B-t.
Az implikáció tulajdonságai
� ⊨(A⊃A)
� Modus ponens (leválasztási szabály): {(A⊃B),A}⊨B
� Modus tollens (indirekt cáfolás sémája):{(A⊃B),¬B}⊨¬A
⊃ ⊃ ⊨ ⊃
⊃ ⊃ ⊨
⊃ ⊨
sémája):{(A⊃B),¬B}⊨¬A
� Láncszabály: {(A⊃B),(B⊃C)}⊨(A⊃C)
� Redukció ad abszurdum: {(A⊃B),(A⊃¬B)}⊨¬A
� ¬A⊨(A⊃B)
� B⊨(A⊃B)
Az implikáció tulajdonságai
� Áthelyezési törvény: ((A∧B)⊃C)⇔(A⊃(B⊃C))
� Kontrapozíció: (A⊃B)⇔(¬B⊃¬A)
� (A⊃¬A)⊨¬A
� (¬A⊃A)⊨A
⊃ ⊃ ⇔ ⊃ ⊃ ⊃
⊃ ⇔ ⊃
⊃ ⊨
� (¬A⊃A)⊨A
� (A⊃(B⊃C))⇔((A⊃B)⊃(A⊃C))
� ⊨(A⊃(¬A⊃B))
� ((A∨B)⊃C)⇔((A⊃C)∧(B⊃C))
A konjunkció
� igazságtáblázata
� Tipikus természetes nyelvi alakja: ... és ...
� Legyen A,B∈Form. (A∧B) kiolvasása: � A és B.
∧∧∧∧ 0 1
0 0 0
1 0 1
∈ ∧
� A és B.
� A konjunkció B.
A konjunkció tulajdonságai
� Felcserélhető (kommutatív): (A∧B)⇔(B∧A)
� Csoportosítható (asszociatív): (A∧(B∧C))⇔((A∧B)∧C)
� Idempotens: (A∧A)⇔A
� (A∧B)⊨A, (A∧B)⊨B
⊨ ∧
∧ ∧ ⇔ ∧ ∧
∧ ⇔
� (A∧B)⊨A, (A∧B)⊨B
� Az ellentmondás törvénye: ⊨¬(A∧¬A)
A diszjunkció
� igazságtáblázata
� Tipikus természetes nyelvi alakja: ... vagy ... (megengedő értelemben)
� Legyen A,B∈Form. (A∨B) kiolvasása:
∨∨∨∨ 0 1
0 0 1
1 1 1
� Legyen A,B∈Form. (A∨B) kiolvasása:� A vagy B.
� A diszjunkció B.
A diszjunkció tulajdonságai
� Felcserélhető (kommutatív): (A∨B)⇔(B∨A)
� Csoportosítható (asszociatív): (A∨(B∨C))⇔((A∨B)∨C)
� Idempotens: (A∨A)⇔A
� A⊨(A∨B)
∨ ⊨
∨ ∨ ⇔ ∨ ∨
∨ ⇔
� A⊨(A∨B)
� {(A∨B),¬A}⊨B
� A kizárt harmadik törvénye. ⊨(A∨¬A)
A (materiális) ekvivalencia
� igazságtáblázata
� Tipikus természetes nyelvi alakja: ... akkor és csak akkor, ha ...
� Legyen A,B∈Form. (A≡B) kiolvasása: A akkor és csak akkor, ha B.
≡ 0 1
0 1 0
1 0 1
∈
� A akkor és csak akkor, ha B.
� A ekvivalens B(-vel).
� A materiálisan ekvivalens B(-vel).
� A materiális jelzőt gyakran elhagyjuk. Szerepeltetését pusztán az indokolja, hogy megkülönböztessük a (materiális) ekvivalencia műveletét a logikai ekvivalencia relációjától.
A (materiális) ekvivalencia tulajdonságai
� ⊨(A≡A)
� ⊨¬(A≡¬A)
� Kommutatív: (A≡B)⇔(B≡A)
� Asszociatív: (A≡(B≡C))⇔((A≡B)≡C)
⊨
⇔
� Asszociatív: (A≡(B≡C))⇔((A≡B)≡C)
A konjunkció és a diszjunkció
� De Morgan törvények
� Mit állítunk akkor, amikor egy konjunkcióttagadunk?�¬(A∧∧∧∧B)⇔⇔⇔⇔(¬A∨∨∨∨¬B)�¬(A∧∧∧∧B)⇔⇔⇔⇔(¬A∨∨∨∨¬B)
� Mit állítunk akkor, amikor egy diszjunkcióttagadunk?�¬(A∨∨∨∨B)⇔⇔⇔⇔(¬A∧∧∧∧¬B)
Az első De Morgan törvény bizonyítása
A B ¬A ¬B (¬A∨∨∨∨¬B) (A∧∧∧∧B) ¬(A∧∧∧∧B)
0 0 1 1 1 0 1
0 1 1 0 1 0 1
1 0 0 1 1 0 1
1 1 0 0 0 1 0
A második De Morgan törvény bizonyítása
A B ¬A ¬B (¬A∧∧∧∧¬B) (A∨∨∨∨B) ¬(A∨∨∨∨B)
0 0 1 1 1 0 1
0 1 1 0 0 1 0
1 0 0 1 0 1 0
1 1 0 0 0 1 0
Centrális logikai fogalmak
� modell
� kielégíthetőség
� kielégíthetetlen
� következményreláció� következményreláció
� érvényesség
� logikai ekvivalencia
Modell
�Legyen L(0)=⟨LC,Con,Form⟩ egy nulladrendű nyelv ésΓ⊆Form egy tetszőleges formulahalmaz.A ϱ interpretáció nulladrendű modellje a Γ
formulahalmaznak, ha minden A∈Γ esetén∣ ∣
⟨ ⟩
formulahalmaznak, ha minden A∈Γ esetén∣A∣ϱ=1.
�Legyen L(0)=⟨LC,Con,Form⟩ egy nulladrendűnyelv és A∈Form egy tetszőleges formula.Az A formula modelljén az {A} egyeleműformulahalmaz modelljét értjük.
Példák
� Γ={A, B, (A∨B)} modellje:
�∣A∣ϱ=1
�∣B∣ϱ=1
mert így ∣(A∨B)∣ =1, tehát Γ minden eleme
∣ ∣
∣ ∣
�mert így ∣(A∨B)∣ϱ=1, tehát Γ minden eleme igaz ϱ szerint
� Γ={A, (A⊃B), (A∨B)} modellje:
�∣A∣ϱ=1
�∣B∣ϱ=1
Példák – modell megkeresése igazságtáblával
Γ = {p, (q ⊃ ¬p), (q ∨ p)}
p (q ⊃⊃⊃⊃ ¬ p) (q ∨∨∨∨ p)
0 0 1 1 0 0 0 0
Keressük azt az interpretációt, amely szerint a formulahalmaz minden eleme igaz.
Ehhez felírjuk táblázatos formában a halmaz minden formuláját, alá pedig minden lehetséges interpretációt, azazp és q összes lehetséges igazságértékét sorra vesszük. Ebből négyfélét tudunk
Alkalmazzuk a szemantikai szabályokat és kiszámoljuk az egyes műveletek alatti
A harmadik sor, azaz interpretáció lesz a modell. Ennek a sornak és a p 0 0 1 1 0 0 0 0
0 1 1 1 0 1 1 0
1 0 1 0 1 0 1 1
1 1 0 0 1 1 1 1
Ebből négyfélét tudunk elkészíteni:p hamis, q hamis (1. sor)p hamis, q igaz (2. sor)p igaz, q hamis (3. sor)p igaz, q igaz (4. sor)A lényeg, hogy minden p alatt ugyanaz az oszlop és minden q alatt ugyanaz az oszlop lesz.
egyes műveletek alatti oszlopokat is. Így kapunk 3 főoszlopot.Olyan sort kell keresni, amelyben mindhárom zöld szám igaz (azaz 1). Ha találunk, akkor megvan a modell.
Ennek a sornak és a p oszlopának a metszetében 1-es szerepel, tehát a modell 1-et rendel p-hez. Hasonló módon megállapíthatjuk, hogy a q-hoz 0-t rendel a modell. Tehát:
ϱ(p)=1 és ϱ(q)=0
Kielégíthetőség
Legyen L(0)=⟨LC, Con, Form⟩ egy nulladrendűnyelv és Γ⊆Form egy tetszőleges formulahalmaz.A Γ formulahalmaz kielégíthető, ha vanmodellje.
⟨ ⟩
modellje.
Legyen L(0)=⟨LC, Con, Form⟩ egy nulladrendűnyelv és A∈Form egy tetszőleges formula. Az Aformula kielégíthető, ha az {A} formulahalmazkielégíthető.
Példa
� Γ={A, B, (A∨B)} kielégíthető-e? – IGEN, van modellje:
∣A∣ϱ=1 és ∣B∣ϱ=1
∨∨∨∨A B (A∨∨∨∨B)
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
Kielégíthetetlenség
Legyen L(0)=⟨LC, Con, Form⟩ egy nulladrendű nyelv és Γ⊆Form egy tetszőleges formulahalmaz. A Γ
fomulahalmaz kielégíthetetlen, ha nem kielégíthető, azaz nincs modellje.
⟨ ⟩Legyen L(0)=⟨LC, Con, Form⟩ egy nulladrendű nyelv ésA∈Form egy tetszőleges formula.Az A formula kielégíthetetlen, ha az {A} formulahalmazkielégíthetetlen.
Példa
� Γ={A, B, ¬(A∧B), (A∨B)} kielégíthetetlen-e? –IGEN, nincs modellje:
A B ¬(A∧∧∧∧B) (A∨∨∨∨B)
0 0 1 0
0 1 1 1
1 0 1 1
1 1 0 1
Következményreláció
Legyen L(0)=⟨LC, Con, Form⟩ egy nulladrendű nyelv,Γ⊆Form egy tetszőleges formulahalmaz és A,B∈Formkét tetszőleges formula.A Γ formulahalmaznak logikai következménye az A
∪
⊨
⊆ ∈
A Γ formulahalmaznak logikai következménye az Aformula, ha a Γ∪{¬A} formulahalmaz kielégíthetetlen.Jelölés: Γ⊨A.
Az A formulának logikai következménye a B formula, ha a {A}⊨B. Jelölés: A⊨B
Példa
� {A, B, (A∨B)} ⊨(AV¬B)? - IGEN
A B (A∨∨∨∨B) ¬(A∨∨∨∨¬B)
0 0 0 0
0 1 1 1
1 0 1 0
1 1 1 0
Érvényesség
Legyen L(0)=⟨LC, Con, Form⟩ egy nulladrendűnyelv, és A∈Form egy tetszőleges formula.Az A formula érvényes, ha ∅⊨A, azaz ha az Aformula logikai következménye az üres
⊨
∈
∅⊨
formula logikai következménye az üreshalmaznak.
Jelölés: ⊨A
Példa
� ⊨(AV¬B)? - NEM
A B ¬(A∨∨∨∨¬B)
0 0 00 0 0
0 1 1
1 0 0
1 1 0
Logikai ekvivalencia
Legyen L(0)=⟨LC, Con, Form⟩ egy nulladrendűnyelv, és A,B∈Form két formula.Az A és a B formula logikailag ekvivalens, ha A⊨B és B⊨A.
⇔
∈
A⊨B és B⊨A. Jelölés: A⇔B
Példa
¬(¬A∧B) ⇔ (AV¬B)? - Ha I. és II.
I. ¬(¬A∧B)⊨(AV¬B)? - IGEN
A B ¬A ¬B (¬A∧∧∧∧B) ¬(¬A∧∧∧∧B) (AV¬B) ¬(AV¬B)A B ¬A ¬B (¬A∧∧∧∧B) ¬(¬A∧∧∧∧B) (AV¬B) ¬(AV¬B)
0 0 1 1 0 1 1 0
0 1 1 0 1 0 0 1
1 0 0 1 0 1 1 0
1 1 0 0 0 1 1 0
Példa
¬(¬A∧B) ⇔ (AV¬B)?
II. (AV¬B)⊨ ¬(¬A∧B)? - IGEN
A B ¬A ¬B (¬A∧∧∧∧B) ¬(¬A∧∧∧∧B) (AV¬B) ¬¬(¬A∧∧∧∧B)A B ¬A ¬B (¬A∧∧∧∧B) ¬(¬A∧∧∧∧B) (AV¬B) ¬¬(¬A∧∧∧∧B)
0 0 1 1 0 1 1 0
0 1 1 0 1 0 0 1
1 0 0 1 0 1 1 0
1 1 0 0 0 1 1 0
Centrális logikai fogalmak tulajdonságai
Legyen L(0)=⟨LC, Con, Form⟩ egy nulladrendű nyelv,Γ⊆Form egy tetszőleges formulahalmaz és A,B∈Formkét tetszőleges formula.
1. Ha Γ kielégíthető formulahalmaz és Δ⊆Γ, akkor Δkielégíthető formulahalmaz.
⊆
⊆kielégíthető formulahalmaz.
2. Ha Γ kielégíthetetlen formulahalmaz, és Γ⊆Δ,akkor Δ kielégíthetetlen formulahalmaz.
3. Γ⊨A akkor és csak akkor, ha a Γ formulahalmazminden modellje modellje az A formulának (azazaz {A} egyelemű formulahalmaznak) is.
Centrális logikai fogalmak tulajdonságai
4. Ha A érvényes formula (⊨A), akkor mindenΓ⊆Form formulahalmaz esetén Γ⊨A.
5. Ha a Γ formulahalmaz kielégíthetetlen, akkorminden A formula esetén Γ⊨A.
∪ ⊨ ⊨ ⊃
⊆ ⊨
minden A formula esetén Γ⊨A.
6. Dedukció tétel: Ha Γ∪{A}⊨B, akkor Γ⊨(A⊃B).
7. Dedukció tétel megfordítása: Ha Γ⊨(A⊃B),akkor Γ∪{A}⊨B.
Centrális logikai fogalmak tulajdonságai
8. A⊨B akkor és csak akkor, ha ⊨(A⊃B)
9. A⇔B akkor és csak akkor, ha ⊨(A≡B)
10. Metszet tétel: Ha Γ∪{A}⊨B és Δ⊨A, akkor∪ ⊨
⇔ ⊨
10. Metszet tétel: Ha Γ∪{A}⊨B és Δ⊨A, akkorΓ∪Δ⊨B.
Megjegyzés: bizonyítások lásd KISKÁTÉ