AZ INFORMATIKA LOGIKAI ALAPJAI

4. gyakorlat

Előadó: Dr. Mihálydeák Tamás Sándor Gyakorlatvezető: Kovács Zita2017/2018. I. félév

ALAPJAI

Interpretáció

A ϱ függvényt az L(0) = ⟨LC, Con, Form⟩ nulladrendűnyelv egy interpretációjának nevezzük, ha

� Dom(ϱ) = Con

� Ha p∈Con, akkor ϱ(p)∈{0,1}.� Ha p∈Con, akkor ϱ(p)∈{0,1}.

Megjegyzések

� az interpretáció feladata az, hogy szemantikai értéketrendeljen a nemlogikai konstansokhoz.

� A nulladrendű logikában a nemlogikai konstansokállítások helyettesítésére szolgálnak.

� (Az állítások lehetséges szemantikai értékei azigazságértékek, így egy interpretáció mindennemlogikai konstanshoz egy igazságértéket rendel.)

� Ha a nulladrendű nyelvben n darab nemlogikaikonstans van, akkor a különböző interpretációk száma2n.

Szemantikai szabályok

∣∣∣∣A∣∣∣∣ϱ jelöli az A formula ϱ interpretáció szerinti értékét.

� Ha p∈Con, akkor ∣p∣ϱ=ϱ(p)

� Ha A∈Form, akkor ∣¬A∣ϱ=1-∣A∣ϱ.

� Ha A,B∈Form, akkor∣ ⊃ ∣

∈ ∣ ∣ ∣ ∣

� Ha A,B∈Form, akkor� ∣(A⊃B)∣ϱ=

� 0, ha∣A∣ϱ=1 és ∣B∣ϱ=0

� 1, egyébként.

� ∣(A∧B)∣ϱ=

� 1, ha∣A∣ϱ=1 és ∣B∣ϱ=1

� 0, egyébként.

� ∣(A∨B)∣ϱ=

� 0, ha∣A∣ϱ=0 és ∣B∣ϱ=0

� 1, egyébként.

� ∣(A≡B)∣ϱ=

1, ha∣A∣ =∣B∣

Szemantikai szabályok

∣ ∣

� 1, ha∣A∣ϱ=∣B∣ϱ� 0, egyébként.

Példa

Tfh. ∣∣∣∣p∣∣∣∣ϱ = 0 és ∣∣∣∣q∣∣∣∣ϱ = 0

Ekkor ∣∣∣∣¬(¬p∧∧∧∧(p∨∨∨∨q)) ∣∣∣∣ϱ = ?

∣ ¬(¬p∧(p∨q)) ∣ϱ = 1 - ∣ (¬p∧(p∨q)) ∣ϱ = *� ∣¬p∣ = 1

∨ ∣

∣∣∣∣ ∣∣∣∣

∣ ∧ ∨ ∣ ∣ ∧ ∨ ∣

� ∣¬p∣ϱ= 1

�|(p∨q)) ∣ϱ = 0

� ezért: ∣ (¬p∧(p∨q)) ∣ϱ = 0

* = 1- 0 = 1

Igazságfunktorok

Azokat a logikai konstansokat (logikai műveleteket),amelyek szemantikai szabálya egy f:{0,1}(n)→{0,1}függvénnyel megadható, n argumentumúigazságfunktoroknak nevezzük.

A logikai konstansok igazságfunktorok:� A logikai konstansok igazságfunktorok:� negáció (n=1)� implikáció (n=2)� konjunkció (n=2)� diszjunkció (n=2)� ekvivalencia (n=2)

A negáció

� igazságtáblázata

� Tipikus természetes nyelvi alakja: 'Nem igaz, hogy ...'

� Legyen A∈Form. ¬A kiolvasása:

p ¬p

0 1

1 0

� Legyen A∈Form. ¬A kiolvasása: � Nem igaz, hogy A.

� Non A.

� Negáció A.

� Kettős negáció törvénye: ¬¬A⇔A

Az implikáció

� igazságtáblázata

� Tipikus természetes nyelvi alakja: Ha ..., akkor ...

� Legyen A,B∈Form. (A⊃B) kiolvasása: � Ha A, akkor B.

⊃⊃⊃⊃ 0 1

0 1 1

1 0 1

∈ ⊃

� Ha A, akkor B.

� Amennyiben A, úgy B.

� A implikáció B.

� A implikálja B-t.

Az implikáció tulajdonságai

� ⊨(A⊃A)

� Modus ponens (leválasztási szabály): {(A⊃B),A}⊨B

� Modus tollens (indirekt cáfolás sémája):{(A⊃B),¬B}⊨¬A

⊃ ⊃ ⊨ ⊃

⊃ ⊃ ⊨

⊃ ⊨

sémája):{(A⊃B),¬B}⊨¬A

� Láncszabály: {(A⊃B),(B⊃C)}⊨(A⊃C)

� Redukció ad abszurdum: {(A⊃B),(A⊃¬B)}⊨¬A

� ¬A⊨(A⊃B)

� B⊨(A⊃B)

Az implikáció tulajdonságai

� Áthelyezési törvény: ((A∧B)⊃C)⇔(A⊃(B⊃C))

� Kontrapozíció: (A⊃B)⇔(¬B⊃¬A)

� (A⊃¬A)⊨¬A

� (¬A⊃A)⊨A

⊃ ⊃ ⇔ ⊃ ⊃ ⊃

⊃ ⇔ ⊃

⊃ ⊨

� (¬A⊃A)⊨A

� (A⊃(B⊃C))⇔((A⊃B)⊃(A⊃C))

� ⊨(A⊃(¬A⊃B))

� ((A∨B)⊃C)⇔((A⊃C)∧(B⊃C))

A konjunkció

� igazságtáblázata

� Tipikus természetes nyelvi alakja: ... és ...

� Legyen A,B∈Form. (A∧B) kiolvasása: � A és B.

∧∧∧∧ 0 1

0 0 0

1 0 1

∈ ∧

� A és B.

� A konjunkció B.

A konjunkció tulajdonságai

� Felcserélhető (kommutatív): (A∧B)⇔(B∧A)

� Csoportosítható (asszociatív): (A∧(B∧C))⇔((A∧B)∧C)

� Idempotens: (A∧A)⇔A

� (A∧B)⊨A, (A∧B)⊨B

⊨ ∧

∧ ∧ ⇔ ∧ ∧

∧ ⇔

� (A∧B)⊨A, (A∧B)⊨B

� Az ellentmondás törvénye: ⊨¬(A∧¬A)

A diszjunkció

� igazságtáblázata

� Tipikus természetes nyelvi alakja: ... vagy ... (megengedő értelemben)

� Legyen A,B∈Form. (A∨B) kiolvasása:

∨∨∨∨ 0 1

0 0 1

1 1 1

� Legyen A,B∈Form. (A∨B) kiolvasása:� A vagy B.

� A diszjunkció B.

A diszjunkció tulajdonságai

� Felcserélhető (kommutatív): (A∨B)⇔(B∨A)

� Csoportosítható (asszociatív): (A∨(B∨C))⇔((A∨B)∨C)

� Idempotens: (A∨A)⇔A

� A⊨(A∨B)

∨ ⊨

∨ ∨ ⇔ ∨ ∨

∨ ⇔

� A⊨(A∨B)

� {(A∨B),¬A}⊨B

� A kizárt harmadik törvénye. ⊨(A∨¬A)

A (materiális) ekvivalencia

� igazságtáblázata

� Tipikus természetes nyelvi alakja: ... akkor és csak akkor, ha ...

� Legyen A,B∈Form. (A≡B) kiolvasása: A akkor és csak akkor, ha B.

≡ 0 1

0 1 0

1 0 1

∈

� A akkor és csak akkor, ha B.

� A ekvivalens B(-vel).

� A materiálisan ekvivalens B(-vel).

� A materiális jelzőt gyakran elhagyjuk. Szerepeltetését pusztán az indokolja, hogy megkülönböztessük a (materiális) ekvivalencia műveletét a logikai ekvivalencia relációjától.

A (materiális) ekvivalencia tulajdonságai

� ⊨(A≡A)

� ⊨¬(A≡¬A)

� Kommutatív: (A≡B)⇔(B≡A)

� Asszociatív: (A≡(B≡C))⇔((A≡B)≡C)

⊨

⇔

� Asszociatív: (A≡(B≡C))⇔((A≡B)≡C)

A konjunkció és a diszjunkció

� De Morgan törvények

� Mit állítunk akkor, amikor egy konjunkcióttagadunk?�¬(A∧∧∧∧B)⇔⇔⇔⇔(¬A∨∨∨∨¬B)�¬(A∧∧∧∧B)⇔⇔⇔⇔(¬A∨∨∨∨¬B)

� Mit állítunk akkor, amikor egy diszjunkcióttagadunk?�¬(A∨∨∨∨B)⇔⇔⇔⇔(¬A∧∧∧∧¬B)

Az első De Morgan törvény bizonyítása

A B ¬A ¬B (¬A∨∨∨∨¬B) (A∧∧∧∧B) ¬(A∧∧∧∧B)

0 0 1 1 1 0 1

0 1 1 0 1 0 1

1 0 0 1 1 0 1

1 1 0 0 0 1 0

A második De Morgan törvény bizonyítása

A B ¬A ¬B (¬A∧∧∧∧¬B) (A∨∨∨∨B) ¬(A∨∨∨∨B)

0 0 1 1 1 0 1

0 1 1 0 0 1 0

1 0 0 1 0 1 0

1 1 0 0 0 1 0

Centrális logikai fogalmak

� modell

� kielégíthetőség

� kielégíthetetlen

� következményreláció� következményreláció

� érvényesség

� logikai ekvivalencia

Modell

�Legyen L(0)=⟨LC,Con,Form⟩ egy nulladrendű nyelv ésΓ⊆Form egy tetszőleges formulahalmaz.A ϱ interpretáció nulladrendű modellje a Γ

formulahalmaznak, ha minden A∈Γ esetén∣ ∣

⟨ ⟩

formulahalmaznak, ha minden A∈Γ esetén∣A∣ϱ=1.

�Legyen L(0)=⟨LC,Con,Form⟩ egy nulladrendűnyelv és A∈Form egy tetszőleges formula.Az A formula modelljén az {A} egyeleműformulahalmaz modelljét értjük.

Példák

� Γ={A, B, (A∨B)} modellje:

�∣A∣ϱ=1

�∣B∣ϱ=1

mert így ∣(A∨B)∣ =1, tehát Γ minden eleme

∣ ∣

∣ ∣

�mert így ∣(A∨B)∣ϱ=1, tehát Γ minden eleme igaz ϱ szerint

� Γ={A, (A⊃B), (A∨B)} modellje:

�∣A∣ϱ=1

�∣B∣ϱ=1

Példák – modell megkeresése igazságtáblával

Γ = {p, (q ⊃ ¬p), (q ∨ p)}

p (q ⊃⊃⊃⊃ ¬ p) (q ∨∨∨∨ p)

0 0 1 1 0 0 0 0

Keressük azt az interpretációt, amely szerint a formulahalmaz minden eleme igaz.

Ehhez felírjuk táblázatos formában a halmaz minden formuláját, alá pedig minden lehetséges interpretációt, azazp és q összes lehetséges igazságértékét sorra vesszük. Ebből négyfélét tudunk

Alkalmazzuk a szemantikai szabályokat és kiszámoljuk az egyes műveletek alatti

A harmadik sor, azaz interpretáció lesz a modell. Ennek a sornak és a p 0 0 1 1 0 0 0 0

0 1 1 1 0 1 1 0

1 0 1 0 1 0 1 1

1 1 0 0 1 1 1 1

Ebből négyfélét tudunk elkészíteni:p hamis, q hamis (1. sor)p hamis, q igaz (2. sor)p igaz, q hamis (3. sor)p igaz, q igaz (4. sor)A lényeg, hogy minden p alatt ugyanaz az oszlop és minden q alatt ugyanaz az oszlop lesz.

egyes műveletek alatti oszlopokat is. Így kapunk 3 főoszlopot.Olyan sort kell keresni, amelyben mindhárom zöld szám igaz (azaz 1). Ha találunk, akkor megvan a modell.

Ennek a sornak és a p oszlopának a metszetében 1-es szerepel, tehát a modell 1-et rendel p-hez. Hasonló módon megállapíthatjuk, hogy a q-hoz 0-t rendel a modell. Tehát:

ϱ(p)=1 és ϱ(q)=0

Kielégíthetőség

Legyen L(0)=⟨LC, Con, Form⟩ egy nulladrendűnyelv és Γ⊆Form egy tetszőleges formulahalmaz.A Γ formulahalmaz kielégíthető, ha vanmodellje.

⟨ ⟩

modellje.

Legyen L(0)=⟨LC, Con, Form⟩ egy nulladrendűnyelv és A∈Form egy tetszőleges formula. Az Aformula kielégíthető, ha az {A} formulahalmazkielégíthető.

Példa

� Γ={A, B, (A∨B)} kielégíthető-e? – IGEN, van modellje:

∣A∣ϱ=1 és ∣B∣ϱ=1

∨∨∨∨A B (A∨∨∨∨B)

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

Kielégíthetetlenség

Legyen L(0)=⟨LC, Con, Form⟩ egy nulladrendű nyelv és Γ⊆Form egy tetszőleges formulahalmaz. A Γ

fomulahalmaz kielégíthetetlen, ha nem kielégíthető, azaz nincs modellje.

⟨ ⟩Legyen L(0)=⟨LC, Con, Form⟩ egy nulladrendű nyelv ésA∈Form egy tetszőleges formula.Az A formula kielégíthetetlen, ha az {A} formulahalmazkielégíthetetlen.

Példa

� Γ={A, B, ¬(A∧B), (A∨B)} kielégíthetetlen-e? –IGEN, nincs modellje:

A B ¬(A∧∧∧∧B) (A∨∨∨∨B)

0 0 1 0

0 1 1 1

1 0 1 1

1 1 0 1

Következményreláció

Legyen L(0)=⟨LC, Con, Form⟩ egy nulladrendű nyelv,Γ⊆Form egy tetszőleges formulahalmaz és A,B∈Formkét tetszőleges formula.A Γ formulahalmaznak logikai következménye az A

∪

⊨

⊆ ∈

A Γ formulahalmaznak logikai következménye az Aformula, ha a Γ∪{¬A} formulahalmaz kielégíthetetlen.Jelölés: Γ⊨A.

Az A formulának logikai következménye a B formula, ha a {A}⊨B. Jelölés: A⊨B

Példa

� {A, B, (A∨B)} ⊨(AV¬B)? - IGEN

A B (A∨∨∨∨B) ¬(A∨∨∨∨¬B)

0 0 0 0

0 1 1 1

1 0 1 0

1 1 1 0

Érvényesség

Legyen L(0)=⟨LC, Con, Form⟩ egy nulladrendűnyelv, és A∈Form egy tetszőleges formula.Az A formula érvényes, ha ∅⊨A, azaz ha az Aformula logikai következménye az üres

⊨

∈

∅⊨

formula logikai következménye az üreshalmaznak.

Jelölés: ⊨A

Példa

� ⊨(AV¬B)? - NEM

A B ¬(A∨∨∨∨¬B)

0 0 00 0 0

0 1 1

1 0 0

1 1 0

Logikai ekvivalencia

Legyen L(0)=⟨LC, Con, Form⟩ egy nulladrendűnyelv, és A,B∈Form két formula.Az A és a B formula logikailag ekvivalens, ha A⊨B és B⊨A.

⇔

∈

A⊨B és B⊨A. Jelölés: A⇔B

Példa

¬(¬A∧B) ⇔ (AV¬B)? - Ha I. és II.

I. ¬(¬A∧B)⊨(AV¬B)? - IGEN

A B ¬A ¬B (¬A∧∧∧∧B) ¬(¬A∧∧∧∧B) (AV¬B) ¬(AV¬B)A B ¬A ¬B (¬A∧∧∧∧B) ¬(¬A∧∧∧∧B) (AV¬B) ¬(AV¬B)

0 0 1 1 0 1 1 0

0 1 1 0 1 0 0 1

1 0 0 1 0 1 1 0

1 1 0 0 0 1 1 0

Példa

¬(¬A∧B) ⇔ (AV¬B)?

II. (AV¬B)⊨ ¬(¬A∧B)? - IGEN

A B ¬A ¬B (¬A∧∧∧∧B) ¬(¬A∧∧∧∧B) (AV¬B) ¬¬(¬A∧∧∧∧B)A B ¬A ¬B (¬A∧∧∧∧B) ¬(¬A∧∧∧∧B) (AV¬B) ¬¬(¬A∧∧∧∧B)

0 0 1 1 0 1 1 0

0 1 1 0 1 0 0 1

1 0 0 1 0 1 1 0

1 1 0 0 0 1 1 0

Centrális logikai fogalmak tulajdonságai

Legyen L(0)=⟨LC, Con, Form⟩ egy nulladrendű nyelv,Γ⊆Form egy tetszőleges formulahalmaz és A,B∈Formkét tetszőleges formula.

1. Ha Γ kielégíthető formulahalmaz és Δ⊆Γ, akkor Δkielégíthető formulahalmaz.

⊆

⊆kielégíthető formulahalmaz.

2. Ha Γ kielégíthetetlen formulahalmaz, és Γ⊆Δ,akkor Δ kielégíthetetlen formulahalmaz.

3. Γ⊨A akkor és csak akkor, ha a Γ formulahalmazminden modellje modellje az A formulának (azazaz {A} egyelemű formulahalmaznak) is.

Centrális logikai fogalmak tulajdonságai

4. Ha A érvényes formula (⊨A), akkor mindenΓ⊆Form formulahalmaz esetén Γ⊨A.

5. Ha a Γ formulahalmaz kielégíthetetlen, akkorminden A formula esetén Γ⊨A.

∪ ⊨ ⊨ ⊃

⊆ ⊨

minden A formula esetén Γ⊨A.

6. Dedukció tétel: Ha Γ∪{A}⊨B, akkor Γ⊨(A⊃B).

7. Dedukció tétel megfordítása: Ha Γ⊨(A⊃B),akkor Γ∪{A}⊨B.

Centrális logikai fogalmak tulajdonságai

8. A⊨B akkor és csak akkor, ha ⊨(A⊃B)

9. A⇔B akkor és csak akkor, ha ⊨(A≡B)

10. Metszet tétel: Ha Γ∪{A}⊨B és Δ⊨A, akkor∪ ⊨

⇔ ⊨

10. Metszet tétel: Ha Γ∪{A}⊨B és Δ⊨A, akkorΓ∪Δ⊨B.

Megjegyzés: bizonyítások lásd KISKÁTÉ