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APPUNTI DI ANALISI MATEMATICA 3

Appunti di Analisi

Matematica 3

APPUNTI DEL CORSO DI ANALISI MATEMATICA 3 FRANCESCO PERRELLI

Capitolo 1: funzioni in campo complesso ( 1 – 52)

Capitolo 2: trasformazioni conformi (53 – 63)

Capitolo 3: integrazione in campo complesso (64 – 116)

Capitolo 4: modelli matematici (117 – 206)

Capitolo 5: formula di derivazione sotto integrale (207 –210)

Capitolo 6: trasformata di Fourier e di Laplace (211 –239)

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CAPITOLO 1: FUNZIONI IN CAMPO COMPLESSO

Capitolo 1: funzioni in

campo complesso

APPUNTI DEL CORSO DI ANALISI MATEMATICA 3 FRANCESCO PERRELLI

Sommario Numeri complessi ............................................................................................................................................. 4

Introduzione ai numeri complessi ................................................................................................................ 4

Parte reale e parte immaginaria di un numero complesso ......................................................................... 4

Operazioni di somma e prodotto in campo complesso e proprietà ........................................................... 4

Relazione d’ordine in campo complesso ...................................................................................................... 6

Numeri complessi ed estensione dei numeri reali ...................................................................................... 6

Rappresentazione dei numeri complessi ..................................................................................................... 7

Riduzione di un numero complesso alla forma algebrica .................................................................. 8

Numeri complessi in forma trigonometrica .......................................................................................... 8

Formule di passaggio da coordinate polari a cartesiane e viceversa .............................................. 9

Esempi di forma algebrica e forma trigonometrica .......................................................................... 10

Prodotto tra due numeri complessi ..................................................................................................... 10

Potenze di numeri complessi e formula di De Moivré ..................................................................... 11

Radici n-esime di un numero complesso ............................................................................................. 11

Esercizi sulle radici di un numero complesso ..................................................................................... 12

Funzioni in campo complesso ......................................................................................................................... 14

Intorno in campo complesso ...................................................................................................................... 14

Punto interno, punto esterno e punto di frontiera, insieme aperto ........................................................ 15

Limite in campo complesso e continuità .................................................................................................... 16

Campo complesso ampliato ....................................................................................................................... 16

Funzione complessa di variabile complessa ≡ 2 funzioni reali di due variabili reali ............................... 17

Esempi di funzioni ....................................................................................................................................... 18

Funzione 𝒇𝒛 = 𝒛𝟐 .................................................................................................................................................................................... 18

Funzione 𝒇𝒛 = 𝑹𝒆𝒛 .................................................................................................................................................................................. 18

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Sommario

Esempi di funzioni ....................................................................................................................................... 18

Funzione 𝒇𝒛 = 𝒛𝟐 .................................................................................................................................................................................... 18

Funzione 𝒇𝒛 = 𝑹𝒆𝒛 .................................................................................................................................................................................. 18

Funzione 𝒇𝒛 = 𝟏/𝒛 ................................................................................................................................................................................... 19

Funzione 𝒇𝒛 = 𝒛𝟐 .................................................................................................................................................................................... 19

Funzione 𝒇𝒛 = 𝐀𝐫𝐠 𝒛 ............................................................................................................................................................................... 19

Derivabilità in campo complesso ................................................................................................................... 20

Proprietà della derivazione in campo complesso ...................................................................................... 20

Teorema di Cauchy-Riemann ......................................................................................................................... 21

Applicazioni del teorema di Cauchy-Riemann ........................................................................................... 22

𝒇𝒛 = 𝒛𝟐 = 𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 + 𝟐 𝒙𝒚 𝒊 ................................................................................................................................................................... 22

𝒇𝒛 = 𝑹𝒆𝒛 = 𝒙 + 𝟎 𝒊 ................................................................................................................................................................................. 22

𝒇𝒛 = 𝒛 = 𝒙 − 𝒊 𝒚, 𝒛 ∈ ℂ .......................................................................................................................................................................... 22

𝒇𝒛 = 𝒛𝟐 = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 → 𝒖𝒙, 𝒚 = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐, 𝒗𝒙, 𝒚 = 𝟎 ............................................................................................................................... 22

𝒇𝒛 = 𝐀𝐫𝐠 𝒛 , 𝒛 ∈ ℂ − 𝟎 ............................................................................................................................................................................ 22

Dimostrazione della condizione di Cauchy-Riemann ................................................................................ 22

Teorema di Goursat ........................................................................................................................................ 24

Conseguenze del teorema di Cauchy-Riemann ............................................................................................. 24

Jacobiano della trasformazione ................................................................................................................. 24

Condizioni di Cauchy-Riemann in coordinate polari ................................................................................. 25

Armonicità di 𝒖 e 𝒗 ..................................................................................................................................... 25

Serie di funzioni in campo complesso ............................................................................................................ 27

Convergenza puntuale ................................................................................................................................ 27

Convergenza uniforme ............................................................................................................................... 28

Differenza tra convergenza uniforme e puntuale ...................................................................................... 28

Convergenza assoluta ................................................................................................................................. 29

Convergenza totale ..................................................................................................................................... 29

Relazione tra convergenza totale e convergenza assoluta ....................................................................... 29

Relazione tra convergenza uniforme e convergenza puntuale ................................................................. 29

Relazione tra convergenza uniforme e convergenza totale ...................................................................... 30

Serie di potenze .............................................................................................................................................. 30

Teorema di Abel .......................................................................................................................................... 30

Dimostrazione del primo punto ................................................................................................................................................................ 31

Insieme di convergenza di una serie di potenze ........................................................................................ 33

Calcolo del raggio di convergenza .............................................................................................................. 34

Teorema di Cauchy-Hadamard ................................................................................................................................................................. 34

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Teorema di D’Alambert ............................................................................................................................................................................ 34

Teorema di Picard .................................................................................................................................................................................... 34

Esempi di serie di potenze .......................................................................................................................... 34

𝒏 = 𝟏 +∞𝒛𝒏 ........................................................................................................................................................................................... 35

𝒏 = 𝟏 +∞𝒛𝒏𝒏 ........................................................................................................................................................................................ 35

𝒏 = 𝟏 +∞𝒛𝒏𝒏𝟐 ...................................................................................................................................................................................... 36

𝒏 = 𝟏 +∞𝒛𝒏𝒏! ....................................................................................................................................................................................... 36

Ricapitolazione ............................................................................................................................................ 36

Convergenza uniforme nel cerchio di convergenza ................................................................................... 37

Teorema di continuità del limite di una serie ............................................................................................ 37

Continuità della somma di una serie di potenze ....................................................................................... 37

Olomorfismo della somma di una serie di potenze ................................................................................... 38

Accenno alla dimostrazione ...................................................................................................................................................................... 38

Derivate n-esime della serie di potenze ..................................................................................................... 40

Funzioni elementari in campo complesso...................................................................................................... 41

Funzione esponenziale in campo complesso ............................................................................................. 41

𝒙 ∈ 𝑹, 𝒆𝒙 = 𝟏 + 𝒙 + 𝒙𝟐𝟐 +⋯+ 𝒙𝒏𝒏! + ⋯ ............................................................................................ 41

Proprietà dell’esponenziale in campo complesso ..................................................................................... 42

Esponenziale della somma di due numeri complessi ................................................................................................................................. 42

𝒆𝒛 = 𝒆𝒙𝐜𝐨𝐬𝒚 + 𝒊𝐬𝐢𝐧𝒚 .............................................................................................................................................................................. 42

Modulo della funzione esponenziale ........................................................................................................................................................ 43

Periodicità della funzione esponenziale .................................................................................................................................................... 44

Olomorfia della funzione esponenziale ..................................................................................................................................................... 44

Funzioni seno e coseno ............................................................................................................................... 44

Proprietà delle funzioni seno e coseno ...................................................................................................... 45

Simmetria ................................................................................................................................................................................................ 45

Periodicità ................................................................................................................................................................................................ 45

Identità fondamentale della trigonometria ............................................................................................................................................... 45

Zeri .......................................................................................................................................................................................................... 45

Olomorfia ................................................................................................................................................................................................ 46

Funzione tangente ...................................................................................................................................... 46

Funzione logaritmo ..................................................................................................................................... 47

Isolare una determinazione del logaritmo................................................................................................................................................. 48

Logaritmo principale ................................................................................................................................................................................ 49

Logaritmo come estensione di quello reale ............................................................................................................................................... 49

Olomorfismo della funzione logaritmo (per casa) ...................................................................................................................................... 50

Funzione potenza ........................................................................................................................................ 50

Arcoseno in campo complesso ................................................................................................................... 51

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Numeri complessi

Introduzione ai numeri complessi

I numeri complessi vengono introdotti di solito in maniera assiomatica. Si possono paragonare gli assiomi

alle regole di un gioco da tavolo: prima di cominciare a giocare, c’è bisogno di fissare con i giocatori

delle regole che siano le minime possibili. L’impostazione assiomatica fa una cosa analoga: fissa un numero

minimo di regole, che sono gli assiomi, e, con tali assiomi, si comincia ad operare e a vedere cosa si

ottiene. In particolare, i numeri complessi erano stati introdotti in Analisi Matematica 1 come coppie di

numeri reali, per cui l’insieme dei numeri complessi era l’insieme delle coppie di numeri reali.

Definiamo ora invece i numeri complessi come espressioni del tipo 𝑎 + 𝑖𝑏, per cui diciamo che l’insieme

dei numeri complessi ℂ è un insieme di tutte le espressioni del tipo 𝑎 + 𝑖𝑏, dove 𝑎 e 𝑏 sono numeri reali

e 𝑖 è un simbolo, detto unità immaginaria, che ha la proprietà che 𝒊𝟐 = −𝟏

ℂ = {𝑎 + 𝑖𝑏: 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ}, 𝑖2 = −1

Parte reale e parte immaginaria di un numero complesso

Dato un numero complesso 𝑧, esprimibile in forma algebrica, come: 𝑧 = 𝑎 + 𝑖𝑏

si adottano le seguenti definizioni:

𝒂 si definisce parte reale di 𝒛 e si indica: 𝑎 = Re{𝑧}

𝒃 si definisce coefficiente della parte immaginaria di 𝒛, e si indica: 𝑏 = Im{𝑧}

Operazioni di somma e prodotto in campo complesso e proprietà

Sono definite nell’insieme complesso due operazioni, somma e prodotto, come segue, con le solite regole

del calcolo letterario, o meglio per la somma e il prodotto sono fissate le seguenti definizioni (si tratta di

definizioni, cioè di assiomi, regole di base che fissiamo). Dati due numeri complessi 𝑎 + 𝑖𝑏 e 𝑐 + 𝑖𝑑 (quindi

𝑎, 𝑏 𝑐 e 𝑑 per definizione di numero complesso sono tutti numeri reali):

- si definisce la somma tra i due numeri complessi 𝑎 + 𝑖𝑏 e 𝑐 + 𝑖𝑑 il numero ancora complesso

𝑎 + 𝑐 + 𝑖(𝑏 + 𝑑):

𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℝ, (𝒂 + 𝒊𝒃) + (𝒄 + 𝒊𝒅) ≝ 𝒂 + 𝒄 + 𝒊 (𝒃 + 𝒅)

- si definisce il prodotto tra i due numeri complessi 𝑎 + 𝑖𝑏 e 𝑐 + 𝑖𝑑 il numero ancora complesso

𝑎𝑐 − 𝑏𝑑 + 𝑖(𝑎𝑑 + 𝑏𝑐), ottenibile applicando le classiche regole del calcolo letterario (si tenga conto

che 𝑖2 = −1):

𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℝ, (𝒂 + 𝒊𝒃) ∙ (𝒄 + 𝒊𝒅) ≝ 𝑎𝑐 + 𝑖𝑎𝑑 + 𝑖𝑏𝑐 − 𝑏𝑑 = 𝒂𝒄 − 𝒃𝒅 + 𝒊 (𝒂𝒅 + 𝒃𝒄)

In conclusione si sono introdotte due operazioni, la somma e il prodotto, nell’insieme dei numeri complessi:

(ℂ, +,∙)

Tuttavia tra numeri complessi è banale pensare che si possano fare anche operazioni di sottrazione e

divisione. Per introdurre quest’ultime due vanno considerati ulteriori due assiomi. ww

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In primis, rispetto alle operazioni di somma e moltiplicazione, un ulteriore assioma definisce che valgono

le seguenti proprietà, cioè la proprietà associativa e commutativa sia per la somma che per il prodotto, e

vale anche la proprietà distributiva di somma rispetto al prodotto:

1) proprietà associativa e commutativa per + e ∙

proprietà distributiva di + rispetto a ∙

Altro assioma definisce poi l’esistenza dell’elemento neutro sia rispetto alla somma che rispetto al

prodotto, dove per elemento neutro rispetto alla somma e rispetto al prodotto si definiscono

rispettivamente i numeri complessi 0 + 𝑖0 e 1 + 𝑖0: in quanto elementi neutri si avrà che:

0 + 𝑖0, che è indicato più semplicemente con il simbolo 0, in quanto elemento neutro rispetto alla somma,

sarà tale che la sua somma con un qualsiasi numero complesso restituirà tale numero complesso;

1 + 𝑖0, che è più semplicemente con il simbolo 1, sarà tale che la sua moltiplicazione con un qualsiasi

numero complesso restituirà tale numero complesso1:

2) ∃ 𝟎 + 𝒊𝟎 ≡ 𝟎 ∶ (𝒂 + 𝒊𝒃) + (𝟎 + 𝒊𝟎) = 𝒂 + 𝒊𝒃

∃ 𝟏 + 𝒊𝟎 ≡ 𝟏 ∶ (𝒂 + 𝒊𝒃) ∙ (𝟏 + 𝒊𝟎) = 𝒂 + 𝒊𝒃

Terza proprietà, introdotta sempre come assioma, ci dice che, preso un qualunque numero complesso 𝑎 +

𝑖𝑏, è sempre possibile costruirne un altro, a cui diamo il nome di opposto di 𝑎 + 𝑖𝑏, fatto in maniera tale

che, sommato al numero complesso di partenza, restituisca l’elemento neutro rispetto alla somma:

3) ∀𝒂 + 𝒊𝒃 ≠ 𝟎, ∃ − 𝒂 − 𝒊𝒃 ∶ (𝒂 + 𝒊𝒃) + (−𝒂 − 𝒊𝒃) = 𝟎 + 𝒊𝟎

Quarta proprietà è l’analogo nel caso della moltiplicazione per cui, preso un numero complesso 𝑎 + 𝑖𝑏 (in

questo caso però non qualunque ma diverso da 0 + 𝑖0), esiste (cioè riesco a costruire) un numero

complesso detto reciproco, indicato in maniera sintetica come (𝑎 + 𝑖𝑏)−1, che è fatto come 𝑎/(𝑎2 +

𝑏2) + 𝑖(−𝑏)/(𝑎2 + 𝑏2), o in altri termini è fatto dividendo entrambi le parti reali e immaginarie per 𝑎2 +

𝑏2, che gode della proprietà che la moltiplicazione tra 𝑎 + 𝑖𝑏 e il suo reciproco restituisce l’elemento

neutro rispetto alla moltiplicazione, l’unità:

4) ∀𝒂 + 𝒊𝒃 ≠ 𝟎, ∃ (𝒂 + 𝒊𝒃)−𝟏 =𝒂

𝒂𝟐+𝒃𝟐+ 𝒊

−𝒃

𝒂𝟐+𝒃𝟐: (𝒂 + 𝒊𝒃) ∙ (𝒂 + 𝒊𝒃)−𝟏 = 𝟏 + 𝒊 𝟎

Pur avendo definito in C le sole due operazioni di somma e moltiplicazione, a partire da questi ultimi

assiomi si possono individuare anche le operazioni di sottrazione e divisione, rispettivamente attraverso

l’opposto e il reciproco.

L’insieme ℂ, con tali operazioni di somma e prodotto, costituisce un campo.

1 Infatti (𝑎 + 𝑖𝑏) ∙ (1 + 𝑖0) = 𝑎1 + 𝑎 ∙ 𝑖0 + 1𝑖𝑏 + 𝑖𝑏 ∙ 𝑖0 = 𝑎 + 0 + 𝑖𝑏 + 0 = 𝑎 + 𝑖𝑏

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Relazione d’ordine in campo complesso

Si noti che, mentre il campo dei numeri reali è un campo totalmente ordinato (presi due numeri reali

qualunque è sempre possibile dire che uno è più piccolo e uno è più grande, tanto è vero che li si può

rappresentare mettendoli in ordine su una retta, fissato lo zero da qualche parte su di essa), questo non

è vero per i numeri complessi: non c’è una relazione d’ordine tra i numeri complessi.

Lo si può vedere facilmente attraverso una dimostrazione per assurdo.

Si supponga per assurdo che esista una relazione d’ordine in campo complesso. Allora essa dovrebbe

essere un’estensione della relazione d’ordine che vale in ℝ e dovrebbe essere sempre possibile

confrontare due numeri complessi qualsiasi e stabilire qual è maggiore e qual è minore.

Si considerino allora i numeri complessi 𝒊 (cioè quel numero complesso che ha parte reale nulla e

coefficiente dell’immaginario unitario) e 𝟎 (cioè quel numero complesso che ha parte reale nulla e

coefficiente dell’immaginario nullo), e si provi a confrontarli, cosa che, nell’ipotesi di esistenza di una

relazione d’ordine in campo complesso, dovrebbe essere certamente possibile.

In particolare in base all’esistenza di una relazione d’ordine dovrebbe verificarsi o che 𝒊 > 𝟎 o che 𝒊 <

𝟎: a priori non sappiamo chi di due è maggiore, ma sicuramente in presenza di una relazione d’ordine una

delle due relazioni dovrebbe essere verificata.

Proviamo per prima cosa 𝒊 > 𝟎. Si noti che, moltiplicando ambo i membri di una diseguaglianza per un

numero positivo, così come lo è 𝑖 nel caso che si sta considerando, il verso della diseguaglianza non

cambia. Si ottiene però un assurdo:

𝑖 > 0 => 𝑖 ∙ 𝑖 > 0 ∙ 𝑖 => −1 > 0

Ne consegue che, se esiste una relazione d’ordine, avendo escluso 𝑖 > 0, sicuramente dovrebbe essere che

𝒊 < 𝟎. Tuttavia anche in questo caso, tenendo conto che moltiplicando ambo i membri di una

diseguaglianza per un numero negativo il verso della diseguaglianza cambia, si ottiene un assurdo:

𝑖 < 0 => 𝑖 ∙ 𝑖 > 0 ∙ 𝑖 => −1 > 0

Allora 𝒊 è un numero complesso che non può essere né positivo né negativo, in altri termini non vi

è una relazione d’ordine tra i numeri complessi, cioè questi non si possono confrontare.

Numeri complessi ed estensione dei numeri reali

Si noti che il motivo per cui sono introdotti i numeri complessi è per estendere i numeri reali non

essendo possibile con questi ultimi risolvere disequazioni del tipo 𝑥2 + 1 = 0.

Essendo allora il campo complesso un’estensione dei numeri reali, è lecito chiedersi “dove” si trovano i

numeri reali nel campo complesso: ebbene, i numeri reali sono tutti quei numeri complessi che hanno

il coefficiente dell’immaginario pari a 𝟎.

Quindi l’insieme dei numeri complessi contiene l’insieme dei numeri reali come sottoinsieme . Si è visto

però che non si estende al campo complesso la relazione d’ordine in quanto il campo complesso non è

ordinato.

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Rappresentazione dei numeri complessi

I numeri complessi possono essere rappresentati sul piano di Gauss.

Per rappresentare i numeri complessi in tale piano si noti che, dato un numero complesso 𝑧 = 𝑎 + 𝑖𝑏, si

può introdurre un’applicazione, o meglio una funzione, che va dall’insieme dei numeri complessi ℂ in ℝ2

che associa ad ogni numero complesso 𝒛 la coppia di numeri reali che ha come prima coordinata la

parte reale, come seconda la parte immaginaria, (𝒂, 𝒃):

ℂ − − − − −−→ ℝ𝟐

𝒛 = 𝒂 + 𝒊𝒃 − −→ (𝒂, 𝒃)

Si tratta di un’applicazione invertibile in quanto si ha anche che una coppia di numeri reali qualunque,

(𝛼, 𝛽), la si può sempre pensare come immagine di un numero complesso avente per parte reale 𝛼 e per

parte immaginaria 𝛽, cioè 𝛼 + 𝑖𝛽.

Allora, moralmente, è possibile far coincidere ℂ con ℝ2, cioè moralmente si può identificare un numero

complesso 𝒛 con una coppia di 𝑹𝟐 costruita come si è visto.

Detto ciò, si introduca nel piano un sistema di assi cartesiani (x asse delle ascisse, y asse delle ordinate),

con origine in un punto 𝑶 detto origine, sistema monometrico (in quanto ha la stessa unità di misura

su entrambi gli assi) ortogonale (perché gli assi sono ortogonali).

In tale sistema di riferimento cartesiano è noto come rappresentare una coppia (𝑎, 𝑏) e tale coppia

identifica un punto 𝑃 di coordinate (𝑎, 𝑏), rappresentativo del numero complesso 𝑧 = 𝑎 + 𝑖𝑏.

Si dice modulo di 𝒛, |𝒛|, la radice quadrata della somma dei quadrati delle sue parti reale e immaginaria

e geometricamente rappresenta la distanza del punto 𝑃 dall’origine: 𝑧 = 𝑎 + 𝑖𝑏, |𝑧| = √𝑎2 + 𝑏2

Si dice coniugato di 𝒛, 𝒂 + 𝒊𝒃, il numero complesso che ha per parte reale la stessa parte reale di 𝑧 ma

per parte immaginaria l’opposto e geometricamente è mostrato in figura: 𝒛 = 𝒂 + 𝒊𝒃, 𝒛 = 𝒂 + (−𝒊𝒃)

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