Download pdf - ANALISI IN FREQUENZA - ingegneriaterni.altervista.orgingegneriaterni.altervista.org/wp-content/uploads/2013/10/Fourier.pdf · L’autospettro è l’ampiezza al quadrato dello spettro

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA

Istituto di Energetica

FACOLTÀ DI INGEGNERIA

Analisi in Frequenza

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ANALISI IN FREQUENZA

Consideriamo una funzione periodica ( qi(t) = qi(t+T) ), di periodo T.

Se soddisfa le condizioni di Dirichelet (singolo valore, finita, numero finito di

discontinuità, massimi e minimi in un periodo), può essere rappresentata come

somma di componenti sinusoidali (Serie di Fourier).

x t aT

an t

Tb sin

n t

Tn nn( )

/( cos

/ /)

0 1

1

2 2 2

dove:

aT

x t dtT

T

0 2

21

( )

/

/

aT

x tt

Tdtn T

T

2 2

22

2

( )cos//

/

bT

x t sint

Tdtn T

T

2 2

22

2

( )//

/

Il numero di termini sarebbe infinito ma generalmente si approssima ad un numero

finito significativo.

In generale utilizzeremo un numero tanto più elevato di termini quanto più rapide

sono le variazioni di qi(t).

I vari elementi costitutiscono lo Spettro di Vibrazione in Frequenza.

Vibrazioni Periodiche producono spettri formati da linee discrete mentre per

Vibrazioni Random gli spettri sono continui e non sono applicabili i discorsi sin qui

svolti.





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Si utilizzano due modi tradizionali per eseguire l’analisi in frequenza di un

segnale:

1) la tecnica digitale di analisi attraverso l’utilizzo di filtri di frequenza,

2) la tecnica digitale di analisi consistente nella valutazione diretta numerica della

trasformata di Fourier (DFT, FFT)

Utilizzo dei Filtri di frequenza. Per rilevare le singole componenti in

frequenza che costituiscono il segnale a banda larga si ricorre ad un filtro che lascia

passare solo quelle parti del segnale che sono contenute in una stretta banda di

frequenza. Il passabanda del filtro viene spostato sequenzialmente sull’intero

campo di interesse in modo da ottenere letture separate dei livelli di vibrazione per

ciascuna banda.

Il filtro può essere costituito da un certo numero di filtri singoli, adiacenti, a

frequenza fissa, che vengono esplorati sequenzialmente in frequenza mediante

commutazione, oppure, la copertura continua della gamma di frequenze può

essere ottenuta mediante un unico filtro singolo mobile, sintonizzabile.

Esistono due tipi fondamentali di filtro: il filtro a larghezza di banda costante che

ha una ampiezza di banda costante, e il filtro a percentuale costante di

ampiezza di banda in cui la banda del filtro è una percentuale costante della

frequenza centrale.





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La Trasformata di Fourier

Una funzione x(t) che soddisfa la condizione x t dt( )

può essere

rappresentata dalla sua Trasformata di Fourier, vale a dire dall’integrale:

X i x t e dt x t t dt i x t sin t dtii t

i i( ) ( ) ( ) cos( ) ( ) ( )

e cioè da uno Spettro Continuo.

Risulta:

X i X iq

qiO I

o

i

( ) ( )

La Funzione di Trasferiemnto Sinusoidale caratterizza in modo completo il

comportamento dinamico di un sistema.





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Nella analisi numerica si utilizza la DFT o Trasformata Discreta di Fourier che.

come dice il nome, non è altro che la discretizzazione della forma prima esposta.

Per tale rappresentazione una funzione che è definita solo in N punti discreti (per t =

tk , con k =1,N) può essere rappresentata da una serie finita:

X kN

x ni kn

N

n

N

e( ) ( )

1 2

0

1

l’indice k=0, 1, ..., N-1 si riferisce alle frequenze fk

N tkc

1

l’indice n si riferisce agli istanti di campionalento t n tn c





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E’ da notare che:

la DFT è la forma dell’Analisi di Fourier più utilizzata negli analizzatori digitali di

spettro;

la DFT assume necessariamente che la funzione x(t) sia periodica;

la rappresentazione DFT è valida solo per lo specificato valore xk (x(t) per t = tk )

usato nella descrizione discretizzata della x(t);

nella DFT la Trasformata di Fourier è descritta da N valori.

Un algoritmo estremamente efficiente per calcolare la DFT è la FFT (Fast

Fourier Trasform). Tale algoritmo è quello utilizzato per il calcolo della DFT in tutti

o quasi gli analizzatori di spettro.

Quindi attraverso l’utilizzo delle DFT e/o FFT (analizzatori di spettro) si

valutano gli Spettri delle funzioni ingresso f(t) e uscita x(t).





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La Funzione Risposta in Frequenza

Un modello molto efficace di sistema lineare è costituito da un modello nel

dominio della frequenza, nel quale lo spettro in uscita è espresso come lo spettro in

ingresso ponderato da un descrittore del sistema:

X() = H() F()

Questo descrittore del sistema H() è chiamato Funzione Risposta in

Frequenza (FRF),ed è definito come:

H() = X() F()

rappresenta il rapporto complesso tra uscita ed ingresso, in funzione della

frequenza . Il termine "complesso" indica che la funzione ha una magnitudine

H() ed una fase H()=().

L'interpretazione fisica di FRF è la seguente: una forza sinusoidale in

ingresso, alla frequenza , produrrà un movimento sinusoidale in uscita avente la

stessa frequenza. L'ampiezza dell'uscita sarà moltiplicata per un valore |H()| e la

fase, tra l'uscita e l'ingresso, sarà spostata di un valore H().

Poiché ci siamo imposti di trattare solo con sistemi lineari, ogni spettro

ingresso/uscita può essere considerato come la somma di sinusoidi. La FRF

descrive le proprietà dinamiche di un sistema, indipendentemente dal tipo di

segnale usato per la misura. La FRF è quindi egualmente applicabile all'eccitazione

armonica, transiente o casuale.





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La definizione di FRF comporta che, nel misurare una funzione specifica, le

misure possono essere eseguite in modo sequenziale, a frequenze distinte, o

simultaneamente, a diverse frequenze. Una tecnica utile consiste nell'usare una

forza d'eccitazione ad ampia larghezza di banda di frequenza. Questo riduce in

modo notevole il tempo di misura, rispetto all'eccitazione sinusoidale, nella quale

viene misurata una sola frequenza alla volta.





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TRASFORMATA DI FOURIER

Interpretazione grafica

INTERPRETAZIONE GRAFICA DELLA TRASFORMATA DI FOURIER

Trasformata di Fourier diretta Qi(i) di un ingresso transitorio q

i(t), che è zero

per t < 0, è data da:

Q i q t t dt i q t sin t dti i i( ) ( )cos( ) ( ) ( )

0 0

Si consideri un transitorio che si estingue dopo un tempo t0;

Si scelga un valore numerico di , per esempio 1;

cos(1t) è una curva perfettamente definita e può essere disegnata rispetto al

tempo;

Si moltiplichi qi(t) e cos(

1t) punto per punto per ottenere una curva

qi(t)cos(

1t);

Si integri con un appropriato metodo numerico o grafico la curva qi(t)cos(

1t)

da t=0 a t=t0;

Si indichi il valore numerico dell'integrale (area sottesa dalla curva) con a1;





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Si ripeta la procedura per qi(t)sin(

1t) e si indichi il valore dell'integrale con

b1;

Qi(i1)=a1+ib

1

Si ripeta per ogni frequenza desiderata in modo da ottenere una curva di

Qi(i1) in funzione di





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DOMINIO DEL TEMPO E DOMINIO DELLA FREQUENZA.

010

2030

40

0

0.5

1

1.5-5

0

5

tHz

V





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DIFFERENZA NEL CONTENUTO IN FREQUENZA DI UN TRANSITORIO LUNGO O

BREVE.





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SPETTRO IN FREQUENZA DI UN IMPULSO





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INTERPRETAZIONE GRAFICA DELLA TRASFORMATA INVERSA DI FOURIER

q t Q i t di i( ) Re[ ( )]cos( )

0

t > 0

qi(t) = 0 t < 0





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SPETTRO LINEARE (Densità Spettrale quadratica media)

Lo spettro lineare è la Trasformata di Fourier di un segnale x(t).

S f F x tx ( ) [ ( )]

Esso da informazioni sia sull’ampiezza che sulla fase per ogni frequenza della

banda di analisi.

AUTOSPETTRO

L’autospettro è l’ampiezza al quadrato dello spettro lineare, cioè:

G f S f S fxx x x( ) ( ) ( )*

L’autospettro è quindi una funzione che contiene solo informazioni riguardanti

l’ampiezza, non la fase.

CROSS SPETTRO (Densità Spettrale quadratica media incrociata)

Il cross spettro è una misura della potenza mutua tra due segnali per ogni

frequenza della banda di analisi. È definito come:

G f S f S fyx y x( ) ( ) ( )*

Il cross spettro contiene informazioni sia sull’ampiezza che sulla fase.





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LA COERENZA

La funzione di coerenza costituisce un mezzo per stabilire il grado di linearità tra

i segnali di ingresso e di uscita.

( )

( )

( ) ( )

2

2

G

G G

xy

xx yy

dove:

Gxy ( ) Cross Spettro

Gxx ( ) Autospettro

0 12 ( )

I valori limiti della coerenza sono: 1, nel caso di assenza di rumore nelle misure,

0 nel caso di rumore puro nelle misure.

In altre parole risulta: G G GXF XX FFy( ) ( ) 2

, cioè se qualsiasi autospettro

contiene del rumore non coerente, il valore del cross spettro elevato al quadrato

sarà inferiore al prodotto degli autospettri. Questo perché i contributi del rumore

non coerente sono mediate dal cross spettro.

La funzione di coerenza per ogni frequenza indica il grado di relazione lineare

tra il segnale d’ingresso misurato ed il segnale di uscita. La funzione di coerenza

è analoga al coefficiente di correlazione, al quadrato, usato nel campo statistico.





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