I. Transformada de Fourier Parte B

• Alan V. Oppenheim, Alan S. Willsky, S. Hamid Nawab, «Señales y sistemas», 2e Ed.

• Capítulo 4

Matemáticas Cuatrimestre Agosto – Diciembre 2012

CENIDET Maestría en Ingeniería Mecatrónica

Transformada de Fourier

• Ecuación de síntesis:

𝑥 𝑡 =1

2𝜋 𝑋 𝑗𝜔 𝑒𝑗𝜔𝑡𝑑𝜔

+∞

−∞

• Ecuación de análisis

𝑋 𝑗𝜔 = 𝑥 𝑡 𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡+∞

−∞t

• 𝑋 𝑗𝜔 − ℱ 𝑥 𝑡

• 𝑥 𝑡 − ℱ−1 𝑋 𝑗𝜔

Par de transformadas de Fourier:

𝑥 𝑡 ℱ↔

𝑋 𝑗𝜔

I. Transformada de Fourier 1.4 Propiedades de la transformada de Fourier

40

I. Transformada de Fourier 1.4 Propiedades de la transformada de Fourier

Propiedad de la linealidad

Si 𝑥 𝑡 ℱ↔ 𝑋 𝑗𝜔

y 𝑦 𝑡ℱ↔ 𝑌 𝑗𝜔

Entonces:

𝒂𝒙 𝒕 + 𝒃𝒚 𝒕𝓕↔𝒂𝑿 𝒋𝝎 + 𝒃𝒀 𝒋𝝎

A propiedad de linealidad se extiende fácilmente a una combinación lineal de un número arbitrario de señales

Desplazamiento en el tiempo

Si 𝑥 𝑡ℱ↔𝑋 𝑗𝜔

Entonces:

𝒙 𝒕 − 𝒕𝟎𝓕↔𝒆−𝒋𝝎𝒕𝟎𝑿 𝒋𝝎

Una consecuencia de la propiedad de desplazamiento es que una señal que es desplazada en el tiempo no tiene alterada la magnitud de su transformada de Fourier. Expresando 𝑋 𝑗𝜔 en su forma polar:

ℱ 𝑥 𝑡 = 𝑋 𝑗𝜔 = 𝑋 𝑗𝜔 𝑒𝑗∡𝑋 𝑗𝜔

Entonces: 𝓕 𝒙 𝒕 − 𝒕𝟎 = 𝒆−𝒋𝝎𝟎𝒕𝟎𝑿 𝒋𝝎

= 𝑿 𝒋𝝎 𝒆𝒋 ∡𝑿 𝒋𝝎 −𝝎𝟎𝒕𝟎 De esta manera, el efecto de un desplazamiento en el tiempo de una señal es introducir en su transformada un desplazamiento de fase (−𝜔𝑡0). Ejemplo 4.9 (pg.302 -T

41

Conjugación y simetría conjugada

Si 𝑥 𝑡 ℱ↔ 𝑋 𝑗𝜔

• Entonces la propiedad de conjugación establece que:

𝑥∗ 𝑡ℱ↔𝑋∗ −𝑗𝜔

• Si 𝑥 𝑡 es real, entonces 𝑋 𝑗𝜔 tiene simetría conjugada, esto es:

𝑋 −𝑗𝜔 = 𝑋∗ 𝑗𝜔

Consecuencias de estas propiedades:

i. Si 𝑥 𝑡 es real: La parte real de la transformada de Fourier es una función par de 𝜔 y ∡𝑋 𝑗𝜔 es una función impar de 𝜔 ∴ las partes ℜ𝑒 e ℑ𝑚, o 𝑋 𝑗𝜔 y ∡𝑋 𝑗𝜔 de la transformada se especifican para 𝜔 > 0, ya que la parte negativa se obtiene a partir de esta.

i. Si 𝑥 𝑡 es real y par:

𝑋 𝑗𝜔 es real y par

ℇ𝑣 𝑥 𝑡ℱ↔ℜ𝑒 𝑋 𝑗𝜔

ii. Si 𝑥 𝑡 es real e impar: 𝑋 𝑗𝜔 es puramente imaginaria e impar

ℴ𝑑 𝑥 𝑡ℱ↔𝑗ℑ𝑚 𝑋 𝑗𝜔

I. Transformada de Fourier 1.4 Propiedades de la transformada de Fourier

42

I. Transformada de Fourier 1.4 Propiedades de la transformada de Fourier

Diferenciación

• Sea 𝑥 𝑡 una señal con transformada de Fourier 𝑋 𝑗𝜔 . Entonces al diferenciar ambos miembros de la ecuación de síntesis de la transformada de Fourier tenemos:

𝑑𝑥 𝑡

𝑑𝑡=

1

2𝜋 𝑗𝜔𝑋 𝑗𝜔 𝑒𝑗𝜔𝑡𝑑𝜔

+∞

−∞

Por lo tanto:

𝒅𝒙 𝒕

𝒅𝒕

𝓕↔ 𝒋𝝎𝑿 𝒋𝝎

La diferenciación en el dominio del tiempo corresponde a al multiplicación por 𝑗𝜔 en el dominio de la frecuencia.

Integración

Por lo tanto podemos concluir que la integración involucraría la división entre 𝑗𝜔 en el dominio de la frecuencia. -- Este es el caso, solo en parte

La relación exacta es:

𝒙 𝝉𝒕

−∞

𝒅𝝉 𝓕↔

𝟏

𝒋𝝎𝑿 𝒋𝝎 + 𝝅𝑿 𝟎 𝜹 𝝎

43

I. Transformada de Fourier 1.4 Propiedades de la transformada de Fourier

Escalamiento del tiempo y la frecuencia:

Si:

𝑥 𝑡ℱ↔𝑋 𝑗𝜔

𝒙 𝒂𝒕𝓕↔

𝟏

𝒂𝑿

𝒋𝝎

𝒂

• Tarea - Comprobar a partir de la definición de transformada de Fourier

• Calcular para 𝑎 = −1

• Al invertir una señal en el tiempo se invierte también su transformada de Fourier

Dualidad

44

Otras propiedades de la transformada de Fourier obtenidas a partir de la propiedad de la dualidad:

• 𝑋 𝑗𝜔 = 𝑥 𝑡 𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡+∞

−∞ (definición de transformada de Fourier)

Derivando con respecto a 𝜔 :

−𝑗𝑡𝑥 𝑡ℱ↔

𝑑𝑋 𝑗𝜔

𝑑𝜔

• 𝑥 𝑡 − 𝑡0ℱ↔𝑒−𝑗𝜔𝑡0𝑋 𝑗𝜔 (propiedad de desplazamiento)

𝑒𝑗𝜔0𝑡𝑥 𝑡ℱ↔𝑋 𝑗 𝜔 − 𝜔0

• 𝑥 𝜏𝑡

−∞𝑑𝜏

ℱ↔

1

𝑗𝜔𝑋 𝑗𝜔 + 𝜋𝑋 0 𝛿 𝜔 (propiedad de integración)

−1

𝑗𝑡𝑥 𝑡 + 𝜋𝑥 0 𝛿 𝑡

ℱ↔ 𝑋 𝜂 𝑑𝜂

+∞

−∞

I. Transformada de Fourier 1.4 Propiedades de la transformada de Fourier

45

I. Transformada de Fourier 1.4 Propiedades de la transformada de Fourier

Relación de Parseval

Si 𝑥 𝑡 ℱ↔ 𝑋 𝑗𝜔

Entonces:

𝑥 𝑡 2𝑑𝑡+∞

−∞

=1

2𝜋 𝑋 𝑗𝜔 2𝑑𝜔

+∞

−∞

Energías total de la señal

= Se puede calcular determinando la energía por unidad de tiempo y después integrando sobre todo el tiempo.

=o se puede calcular determinando la energía por unidad de frecuencia e integrando sobre todas las frecuencias.

𝑋 𝑗𝜔 2 = espectro de densidad de energía de la señal

Propiedad de la convolución

𝑥 𝑡 =1

2𝜋 𝑋 𝑗𝜔 𝑒𝑗𝜔𝑡𝑑𝜔

+∞

−∞

= lim𝜔0→0

1

2𝜋 𝑋 𝑗𝑘𝜔0 𝑒𝑗𝑘𝜔0𝑡𝜔0

+∞

𝑘=−∞

La respuesta de un sistema lineal con respuesta al impulso ℎ 𝑡 a una exponencial compleja 𝑒𝑖𝑘𝜔0𝑡 es 𝐻 𝑗𝑘𝜔0 𝑒𝑖𝑘𝜔0𝑡, donde:

𝐻 𝑗𝑘𝜔0 = ℎ 𝑡 𝑒−𝑗𝑘𝜔0𝑡𝑑𝑡+∞

−∞

= transformada de Fourier de la respuesta del sistema al impulso

46

Entrada: 1

2𝜋 𝑋 𝑗𝑘𝜔0 𝑒𝑗𝑘𝜔0𝑡𝜔0

+∞𝑘=−∞ →

Salida: 1

2𝜋 𝑋 𝑗𝑘𝜔0 𝐻 𝑗𝑘𝜔0 𝑒𝑗𝑘𝜔0𝑡𝜔0

+∞𝑘=−∞

𝑦 𝑡 = lim𝜔𝑜→0

1

2𝜋 𝑋

+∞

−∞

𝑗𝑘𝜔0 𝐻 𝑗𝑘𝜔0 𝑒𝑗𝑘𝜔𝑡𝜔0

=1

2𝜋 𝑋 𝑗𝜔 𝐻 𝑗𝜔 𝑒𝑗𝜔𝑡𝑑𝜔

+∞

−∞

𝑦 𝑡 =1

2𝜋 𝑌 𝑗𝜔 𝑒𝑗𝜔𝑡𝑑𝜔

+∞

−∞

De aquí:

𝑌 𝑗𝜔 = 𝑋 𝑗𝜔 𝐻 𝑗𝜔

Considerando la integral de convolución:

𝑦 𝑡 = 𝑥 𝜏 ℎ 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏+∞

−∞

Definimos 𝑌 𝑗𝜔 como: 𝑌 𝑗𝜔 = ℱ 𝑦 𝑡

= 𝑥 𝜏 ℎ 𝑡+∞

−∞

+∞

−∞

− 𝜏 𝑑𝜏 𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡

I. Transformada de Fourier 1.4 Propiedades de la transformada de Fourier

47

𝑌 𝑗𝜔 = 𝑥 𝜏 ℎ 𝑡 − 𝜏 𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡+∞

−∞

𝑑𝜏+∞

−∞

Propiedad de desplazamiento

= 𝑥 𝜏 𝑒−𝑗𝜔𝑡𝐻 𝑗𝜔 𝑑𝜏+∞

−∞

= 𝐻 𝑗𝜔 𝑥 𝜏 𝑒−𝑗𝜔𝜏𝑑𝜏 +∞

−∞

𝑌 𝑗𝜔 = 𝑋 𝑗𝜔 𝐻 𝑗𝜔

𝑦 𝑡 = ℎ 𝑡 ∗ 𝑥 𝑡ℱ↔𝑌 𝑗𝜔 = 𝐻 𝑗𝜔 𝑋 𝑗𝜔

convolución

• La convolución de señales ℱ↔ producto de sus

transformadas de Fourier

• La respuesta de la frecuencia = 𝐻 𝑗𝜔

• Transformada inversa = respuesta al impulso unitario ℎ 𝑡

• La respuesta al impulso de la conexión en cascada de dos sistemas LTI es la convolución de las respuestas al impulso de los sistemas individuales.

• La respuesta al impulso total no depende del orden en el cual los sistemas en cascada estén conectados. Fig. 4.19, pg. 316

• El análisis de Fourier para estudiar sistemas LTI → sistemas estables – sistemas cuyas respuestas al impulso posean transformada de Fourier.

• Sistemas LTI inestables → se analizan con la generalización de la transformada continua de Fourier → La Transformada de Laplace.

I. Transformada de Fourier 1.4 Propiedades de la transformada de Fourier

48

convolución

49

Propiedad de la multiplicación ( o propiedad de la modulación)

• La convolución en el dominio del tiempo corresponde a la multiplicación en el dominio de la frecuencia.

• Por dualidad:

𝑟 𝑡 = 𝑠 𝑡 𝑝 𝑡ℱ↔𝑅 𝑗𝜔 =

1

2𝜋𝑆 𝑗𝜔 ∗ 𝑃 𝑗𝜔

• Cuando se multiplican dos señales se puede considerar que una de ellas se usa para escalar o modular la amplitud de otra, la multiplicación de las dos señales de denomina: modulación en amplitud.

I. Transformada de Fourier 1.4 Propiedades de la transformada de Fourier

50