Algoritmi di fattorizzazione

anti RSAanti RSA

Di Cristiano Armellini

cristiano.armellini@alice.it

Algoritmo del MCD

qp

qppqn

=

<=grandi molto primi ,

;

pnnnfloorMCD

np

pnnfloorMCD

=⇒

<<

=

]);mod()!([

2

];)!([

Implementazione veloce

• I := 1;

• D := floor(sqrt(n));

• A : = D

• While ( MCD(A mod n ; n) ==1):• While ( MCD(A mod n ; n) ==1):A := D(D-I);

I := I+1;

• Print(MCD(A mod n; n) = p);

• Il MCD si calcola con l’algoritmo di Euclide

• Per n piccoli si può invertire ovvero partire da D = 2 D = 2*3, D = 2*3*4…..

In PARI/GP

{fattore(n) =local(A,D);

D = floor(sqrt(n));

A = D;

i = 1;i = 1;

while( (p=gcd(Mod(A,n),n)) == 1, A = D*(D-i); i = i+1 );

print p;

q = n/p;

print q

}

Esempio 1

• 187 = 11*17

• floor(sqrt(187))= 13

• 13 ! = 6227020800• 13 ! = 6227020800

• 13 ! Mod 187 = 88

• MCD (88; 187) = 11

Esempio 2

• 91 = 7*13

• Floor(sqrt(91))= 9

• 9 ! = 362880• 9 ! = 362880

• 9! Mod 91 = 63

• MCD (63, 91)=7

Serie di Fibonacci Generalizzate

bx

ax

pqn

1

0

==

=

qpnVMCDnVMCD

nxV

xxx

ba

bx

kk

kk

kkk

,),(1),(

)mod(

) is.Fibonacc1(

21

1

=⇒≠=

+=⇒==

=

−−

Esempio 1

• 91 = 3*13

• Fibonacci classico 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,21,…

• MCD (91, 1) =1• MCD (91, 1) =1

• MCD(91, 2 ) =1

• MCD (91, 3) = 3 stop

Esempio 2

• 187 = 11*17

• Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34

• MCD(187, 1) = 1

• MCD(187, 2) = 1• MCD(187, 2) = 1

• MCD(187, 3) = 1

• MCD(187, 8) = 1

• MCD(187, 13) =1

• MCD(187, 21) = 1

• MCD(187, 34) = 17 stop