TARTU ÜLIKOOL
MATEMAATIKA-INFORMAATIKATEADUSKOND
Kaido Kariste
AJALUGU MATEMAATILISES HARIDUSES
Magistriõppe lõputöö
Juhendaja: dots. Elts Abel
Autor .…....…....…………................................................“ ….. „ juuni 2011
Juhendaja…….....………..................................................“…... „ juuni 2011
Lubatud kaitsmisele
Magistrieksami komisjoni esimees ...................................“…... „ juuni 2011
Tartu 2011
2
SISUKORD
SISSEJUHATUS ................................................................................................................... 4
1. AJALOO FRAGMENTIDE KASUTAMISEST JA SELLE OLULISUSEST
ERINEVATE MAADE MATEMAATIKA ÕPETUSES ........................................................ 6
1.1 Lühiülevaade riiklikest koolisüsteemidest ................................................................ 6
1.2 Hiina ........................................................................................................................ 7
1.3 Brasiilia ................................................................................................................... 8
1.4 USA......................................................................................................................... 8
1.5 Itaalia ....................................................................................................................... 9
1.6 Kreeka ................................................................................................................... 10
1.7 Prantsusmaa ........................................................................................................... 10
1.8 Taani ..................................................................................................................... 11
1.9 Norra ..................................................................................................................... 12
1.10 Eesti....................................................................................................................... 13
2. MATEMAATIKA AJALOO TÄHTSUS ÜLDISES ÕPPETÖÖS ................................. 15
2.1 Probleemid matemaatika ajaloo lülitamisega õppetöösse ........................................ 15
2.2 Matemaatika ajaloo võimalikud kasutusviisid matemaatikatunnis .......................... 17
2.3 Ideid ja näidiseid ajalooliste materjalide kasutamiseks klassis ................................ 19
2.3.1 Ajaloolistel tekstidel baseeruvad uurimistööd ................................................. 19
2.3.2 Töölehed ......................................................................................................... 19
2.3.3 Ajaloolised probleemid ................................................................................... 20
2.3.4 Probleemid, mis on siiani lahenduseta või lahendatud suurte raskustega ......... 26
2.3.5 Näidendid ja filmid ......................................................................................... 26
2.3.6 Internet ja muu meedia .................................................................................... 27
3. AJALOOLINE KÄSITLUS KITSA MATEMAATIKA KURSUSTEL......................... 29
3.1 Ajaloost inspireeritud sissejuhatus teemasse ........................................................... 29
3.1.1 II kursus „Trigonomeetria“ ............................................................................. 29
3.1.2 IV kursus „Tõenäosus ja statistika“ ................................................................. 32
3.1.3 V kursus „Funktsioonid I“ .............................................................................. 37
3.2 Õpitulemuse saavutamine läbi ajaloolise käsitluse.................................................. 38
3.2.1 Liitprotsendiline kasvamine ning kahanemine ning arv „e“ ............................. 38
3.2.2 Aritmeetiline ja geomeetriline jada ................................................................. 42
3.3 Ühised jooned ajaloo ja õppimise vahel ................................................................. 43
3.3.1 Negatiivsed arvud ja täisarvude hulk ............................................................ 43
3
3.3.2 Irratsionaalarvud ............................................................................................. 44
3.3.3 Lõpmatuse ja piirväärtuse mõistmine .............................................................. 46
KOKKUVÕTE .................................................................................................................... 48
SUMMARY ........................................................................................................................ 49
KASUTATUD KIRJANDUS .............................................................................................. 50
LISA 1 Adam Kochanski konstruktsioon ringi kvadratuuri probleemile
LISA 2 Rhind´i papüüruse aritmeetilise jada ülesanne
LISA 3 Malemängu probleem
LISA 4 Jerzy Ossolinski ja hobuse rautamine
LISA 5 Ruudu diagonaal ja ühismõõduta lõigud
LISA 6 Kuldlõige ja selle ilmnemine erinevates valdkondades
4
SISSEJUHATUS
Enamik põhikooli ja keskkooli õpilasi tajub matemaatikat ainena, millel puudub
ajalugu. Tegu on suletud struktuuriga, mis asub õpetaja peas. Õpetajast saab kõigi
vajalike teadmiste allikas ja tema ülesandeks jääb ainult need teadmised sobival moel
õpilasteni viia. Samuti on õpetaja otsustajaks, kas mõni vastus on õige või vale. Seetõttu
läheb sageli juhendamise käigus kaotsi arusaamine matemaatikast kui loomeprotsessist.
Peamiseks probleemiks avaldatud matemaatika õpikutel ja artiklitel loetakse autori
ignorantsus tausta, raskuste ja vigade suhtes, mis viisid tema poolt kirjutatavatele
ideedele. [27]
Mitmed juhtivad matemaatikud ja õpetlased on läbi sajandite väljendanud mõtteid
ajaloo vajalikkusest matemaatika õpetamisel. Nende hulgas on olnud näiteks Joseph
Louis Lagrange (1736–1813), Niels Henrik Abel (1802 – 1829) ja August De Morgan
(1806–1871). [4] Üks silmapaistvamaid 19. sajandi matemaatikuid Jules Henri Poincaré
(1854–1912) on oma teoses „Science et méthode“ öelnud: „Matemaatika tuleviku
nägemiseks on õigeks teeks õppida selle teaduse minevikku ja olevikku.“ [22] Huvi
suurenemine matemaatika ajaloo kasutamise kohta tunnis on siiski tekkinud alles
viimastel kümnenditel. Matemaatikaajaloolased Frank Swetz, John Fauvel ja Victor
Katz rääkisid ajaloo kasulikkusest matemaatikatunnis oma 1995. aastal avaldatud
raamatus. [27] Kõige põhjalikuma uurimuse käesoleva teema kohta on läbi viinud ICMI
(International Commission on Mathematical Instruction) aastatel 1997-1998, mille
kokkuvõtteks ilmus 2000. aastal 437-leheküljeline raport. Hilisematest uurimustest
tõstaks autor esile Kristina Juteri 2006. aastal avaldatud artikli [9], milles ta analüüsis
põhjalikult uurimistulemusi, kuidas on seotud ajaloos olnud raskused tänapäeval
ilmnevate probleemidega funktsiooni piirväärtuse mõistmisel. Piirväärtuse mõistmisega
seotud raskusi on käsitletud „Koolimatemaatika“ kogumikus [16] ja see teema on hetkel
meil Eestis samuti aktuaalne.
Antud magistritöö eesmärgiks on lähtuvalt uue ainekava kitsa matemaatika moodulist
uurida, kuidas ja millistes valdkondades aitaks matemaatika ajaloo tutvustamine tunnis
kaasa aine omandamisele.
Käesolev töö koosneb kolmest peatükist. Töös on kokku 10 joonist, 2 tabelit ja 6 lisa.
Esimene peatükk sisaldab ülevaadet erinevate riikide õppekavadest vastavalt ICMI
5
2000. aastal välja antud raportile. Uuringu põhjal selgus, et suuremat tähelepanu
pööratakse matemaatika ajaloo käsitlemise kajastamisele nende riikide õppekavades,
millel on pikad ajaloolised traditsioonid. Seetõttu on Aasiast vaatlusalusteks riikideks
Hiina ja Jaapan ning Ameerikast Brasiilia ja USA. Euroopast on võetud vaatluse alla
pika matemaatika ajaloo traditsioonidega riigid Kreeka ja Itaalia. Lisaks neile uuritakse
uuenduslikku Taani ning Norra koolisüsteeme. Eesti olukorda ICMI raport ei
puudutanud ja ülevaade on autori enda poolt kokku pandud vastavalt allikatele [6], [24],
[25], [26].
Teises peatükis analüüsitakse võimalikke probleeme, mis võivad tekkida ajaloo
lülitamisega õppetöösse ja refereeritakse erialases kirjanduses esitatud seisukohti.
Samas pakutakse välja võimalikke lahendusi kuni konkreetsete ideedeni ning näidisteni.
Ideede selgitamiseks ja vastavate näidete leidmiseks on antud peatüki koostamisel olnud
autorile abiks allikad [1], [7], [10].
Kolmas peatükk keskendub ajaloo kasutamise võimalikkusesse uue ainekava kitsa
matemaatika kursustel Eestis. Selleks vaadeldakse täpsemalt, kuidas mõnda teemat
käsitlema asudes teha ajaloost inspireeritud sissejuhatust või saavutada läbi ajaloolise
käsitluse konkreetset õpitulemust. Lisaks uuritakse võimalikke viise ette näha või
mõista mõne teema õpetamisel tulenevaid raskusi, lähtudes antud teema ajaloolisest
kontekstist. Iga alapeatükk on varustatud lisaks teooriale konkreetsete näidetega ajaloost
või viidetega lisades esitatud näidetele. Peatüki kokkupanemisel ja näidete leidmisel oli
käesoleva töö autorile suureks abiks allikad [3], [8], [21], [27].
Magistritöö valdkonnaks on matemaatika ajalugu, täpsemalt selle kasutusvõimalused
koolimatemaatika tundides. Antud töö on sobilik materjal õpetajatele, kes on juba
kasutanud matemaatika ajalugu oma tundide ilmestamiseks või soovivad seda tulevikus
teha. Samuti on töös toodud ajaloolised ideed kasutatavad õpetajakoolituse mitmete
ainete ilmestamiseks ning õpetajate näidetepagasi suurendamiseks.
6
1. AJALOO FRAGMENTIDE KASUTAMISEST JA SELLE
OLULISUSEST ERINEVATE MAADE MATEMAATIKA
ÕPETUSES
1.1 Lühiülevaade riiklikest koolisüsteemidest
Järgnev ülevaade tugineb ICMI (International Commission on Mathematical
Instruction) poolt 2000. aastal välja antud raportile [4]. Kokku uuriti 16 erineva riigi
õppekavasid ning matemaatika ainekavasid. Nendeks riikideks olid Argentiina, Austria,
Brasiilia, Hiina, Taani, Prantsusmaa, Kreeka, Iisrael, Itaalia, Jaapan, Holland, Uus-
Meremaa, Norra, Poola, Suurbritannia ja USA.
Kuigi koolisüsteemid on riigiti väga erinevad, on koolis õpetatav siiski reguleeritud
ning õppekavade ja ainekavade täitmist kontrollitakse haridusministeeriumi ja valitsuse
poolt. Ainult suurteks autonoomseteks piirkondadeks jaotatud riikides on valitsuse
regulatsioonid nõrgemad (nt USA, Brasiilia). Väikeseks erandiks võib veel lugeda
Suurbritanniat, kus traditsiooniliselt on juba välja kujunenud, et koolidel ja õpetajatel on
õpetamise kohapealt suur autonoomia. [4]
Muudatusi õppekavas tehakse tavaliselt koos suurema haridusreformiga. Näiteks tõi
kooliaasta 1999/2000 Poolas kaasa olulisi muudatusi üldises haridussüsteemis. Enne
seda oli kasutusel 8+4 süsteem ehk kaheksa klassi põhikooli ja neli klassi gümnaasiumi.
Alates 1999. aastast asendati see 6+3+3 süsteemiga ehk kuus klassi põhikooli, kolm
klassi gümnaasiumi ja kolm klassi lütseumi. Peamiseks ideeks uue õppekava
koostamisel oli selgelt raamistada hariduse võtmekomponendid nagu planeerimisoskus,
organiseerimisoskus, enda õppimise jälgimine, efektiivne suhtlus ja koostöö ning IKT
vahendite kasutamisoskus. Prantsusmaal 1995. aastal toimunud reformid olid sarnase
eesmärgiga. Taheti siduda matemaatika õpetus rohkem füüsika ja tehnikaga ning
arendada õpilastes omaalgatuslikku initsiatiivi. Ainukeseks erandiks on Jaapan, kus
õppekava reformitakse perioodiliselt – üks kord kümne aasta jooksul.
Matemaatika ajaloo kasutamise kohta tunnis on erinevatel riikidel üsna sarnane
arusaam. Näiteks Jaapanis, Poolas ja Suurbritannias ei ole õppekavas sõnakestki
mainitud matemaatika ajaloo kasutamise kohta. Argentiina, Hollandi ja Austria
õppekavades mainitakse matemaatika ajalugu kui head lisamaterjali. Matemaatika
7
ajaloole on pööratud rohkem tähelepanu tugevate matemaatiliste traditsioonidega
riikides, millest tuleb järgnevalt põhjalikumalt juttu.
1.2 Hiina
Peale iseseisvuse väljakuulutamist 1949. aastal algatas valitsus patriotismi liikumise ja
ühe osana hõlmas see laste patriootliku mõtlemise kasvatamist läbi Hiina matemaatika
ajaloo. Selle tagajärjel koostasid Hiina matemaatika ajaloo uurijad uued õpikud ja
mitmetele matemaatilistele tulemustele anti autorite nimed, kes neid Hiinas esimestena
tutvustasid. Näiteks peale 1949. aastat hakkas Pythagorase teoreem kandma nime Gou
Gu teoreem, Pascali kolmnurk sai nimeks Yang Hui kolmnurk ja Cavalieri printsiip
nimetati ümber Zu Gen printsiibiks.
Õpetajakoolituse erialadel Hiina ülikoolides on matemaatika ajalugu olemas
valikainena. Isegi kui õpilased matemaatika ajalugu valiksid, saab vastavate
õppejõudude puudus sageli määravaks selle aine läbiviimisel. Hiina õpetajad saavad
oma peamised ajaloolised teadmised teistest matemaatika ainetest. Viimastel aastatel on
toimunud suured muutused selles valdkonnas ja tänaseks päevaks on erinevates
õpetajaid koolitavates institutsioonides kokku rohkem kui sada ajaloolast.
Matemaatika magistriõppes on olemas aluskursus filosoofiast ja matemaatika ajaloost.
Sellepärast pööravad Hiina matemaatikud ja matemaatikaõpetajad palju tähelepanu
matemaatika loogilisele aspektile. Paljud kõrgema matemaatika raamatud selgitavad
põhjalikult kolme matemaatilise kriisi tausta: irratsionaalarvu avastamine, lõpmatuse
käsitlus ning paradoksid ja hulgateooria.
Hiina matemaatika ainekava säilitab formaalse, karmi ja deduktiivse süsteemi. Paljud
matemaatikaõpetajad arvavad, et loogilise mõtlemise treenimine on matemaatika
õppimise alus ja iga mitteformaalne lähenemine on õpilastele kahjulik. Veel 1996.
aastal kinnitas Hiina haridusminister matemaatika ainekava, milles oli ühe lausega
mainitud ajaloo kasutamist õppetöös: „Ajaloo abil on võimalik tõsta laste patriotismi“.
Samal aastal avaldatud matemaatika õpetamise ja õppimise programmis on välja
toodud, et näidates iidseid ja moodsaid saavutusi Hiinas, kasvavad noortes rahvuslik
uhkus ning patriootlikud mõtted. [4]
8
1.3 Brasiilia
Kuni 1954. aastani oli Brasiilias ühtne õppekava, kuid sellest ajast alates lubatakse igal
osariigil ise oma hariduselu korrigeerida. Siiski muudavad traditsioonid ja kasutusel
olevad õpikud erinevate osariikide haridussüsteemi üpris sarnaseks. Aastal 1997
kehtestas haridusminister tulise vaidluse tulemusel mõned üldised riiklikud nõudmised.
Rõhuasetus matemaatika ajaloole on klassides 1–8 suur. Õpilasteni proovitakse viia
teadmine, et matemaatika ei ole ainult teadmiste kogum vaid ka protsess, mis kulges
aeglaselt vastavuses inimeste suurenevale vajadusele ja uudishimule. Samuti on üldistes
nõudmistes sätestatud, et matemaatikat ei peaks eraldatama teistest õppeainetest. Ajaloo
kasutamise kohta tunnis ütleb eeskiri järgmist: „ Matemaatika ajalugu koos teiste
didaktiliste ja metodoloogiliste võtetega võib anda suure panuse matemaatika õpetamise
ja õppimise protsessi. Paljastades matemaatika kui inimloome tulemuse, näidates
erinevate perioodide ja kultuuride vajadusi, säilitades siinjuures võrdlusmomendi
mineviku ja tänapäeva matemaatiliste arusaamade vahel, on võimalus õpetajal
kujundada soosivam suhtumine ainesse ja selle õppimisse“. Mitmetes olukordades võib
matemaatika ajalugu selgitada õpilaste poolt konstrueeritud matemaatilisi ideid.
Ainukeseks puuduseks võib seaduses pidada seda, et õpetajale öeldakse, miks oleks hea
ajalugu kasutada, aga ei selgitata täpsemalt, kuidas seda teha. [4]
1.4 USA
USA-s varieeruvad nõuded haridusele väga palju, sest enamik otsuseid tehakse osariigi
tasemel. Matemaatika õppekava reformimisel kasutavad haridusagentuurid Rahvusliku
Matemaatika Õpetajate Nõukogu poolt ettekirjutatud standardeid.
Muudatuste tegemine õppekavas on osariigiti erinev. Näiteks Floridas peavad
taotletavad standardid saama osariigi haridusministeeriumi heakskiidu. Floridas ei pea
olema matemaatikaõpetaja matemaatikat süvitsi õppinud, kuid näiteks Michiganis peab
olema õpetajal ette näidata vastav tunnistus, mis kindlustaks, et õpetaja on saanud hea
ettevalmistuse.
Mis puutub matemaatika ajaloo õpetamisse, siis ollakse erinevatel positsioonidel.
Rahvusliku Matemaatika Õpetajate Nõukogu positsioon on järgnev: „Õpilased peaksid
saama kogemusi matemaatika kultuurilise, ajaloolise ja teadusliku arengu kohta nii, et
9
nad suudaksid hinnata matemaatika rolli meie ühiskonna arengus. Sellest tingitult tuleb
juhtida õpilaste tähelepanu seostele matemaatika ja ajalooliste situatsioonide vahel“. [4]
Seda on väga hästi ära kasutatud matemaatilise analüüsi ühe eesmärgi selgitamiseks:
„On oluline, et õpilased saaksid teada ja hindaksid ajaloolisi algeid ja kultuurilist panust
matemaatilise analüüsi arengusse“. [4]
Rahvusliku Matemaatika Õpetajate Nõukogu standard on mõjutanud palju nii kohalikku
kui riiklikku hariduselu. Kaua on rõhutanud panust, mida ajalugu võib matemaatika
õpetamisse anda ja pikemalt võetakse teema kokku 31. aastaraamatus pealkirjaga
„Historical topics for mathematics classroom.“ Teise institutsioonina propageerib ajaloo
kasutamist Ameerika Matemaatika Assotsiatsioon. Juba 1991. aastal soovitati õpetajatel
võtta ajalugu oma tundides kasutusele.
1.5 Itaalia
Tänu suurtele Itaalia õpetlastele, kes on teaduses üle maailma tuntuks saanud, omab
matemaatika sidumine ajalooga pikki traditsioone. Tõendeid ajaloo kasutamise kohta on
leitud juba 1900. aastast, kui õpilastele mõeldud matemaatika ajakirjas oli matemaatika
ajalugu üks peamisi käsitlusteemasid.
Ajalooline orienteeritus paistab silma samuti tänases Itaalia matemaatika programmides.
Õpilaste kohta vanuses 14–16 ütleb programm järgnevat: “Põhikooli lõpuks peab
õpilane omama ajaloolist ülevaadet tähelepanuväärsematest momentidest matemaatilise
mõtlemise arengus.“ See on olnud paigas alates 1923. aastast. 1985. aastal koostati
eksperimentaalne uus programm, milles sisaldus järgnev märge: „Uurimused ajaloolisel
alal pakuvad õpetaja kaasabiga parimaid võimalusi arendada õpilase võimet teha oletusi
ja pakkuda hüpoteese matemaatiliste küsimuste lahendamiseks.“. Õpilastele vanuses
11–13 on 1979. aastast alates eesmärk olnud järgnev: “Õpetaja peab viima õpilased
lähemale teaduse ajaloolisele taustale.“ Selle kõige saavutamiseks hakati 1990. aastal
korraldama täienduskursuseid tegevõpetajatele, mille sisuks oli ajalugu ja sellest lähtuv
didaktika ning epistemoloogia. [4]
Õpetajakutses ei ole ajaloo teadmine kohustuslik, kuigi vastavaid kursusi ülikoolis
pakutakse. Kursused pannakse kokku vastava ala uurijate poolt ja on seetõttu tihti
tehniliselt rasked. Tegevõpetajate ajaloolised teadmised pärinevad peamiselt õpikutesse
10
lisatud ajaloolistest märkmetest. Üllatavaks võib pidada, et hoolimata rikkalikust
ajaloost, on itaalia keelde tõlgitud siiski vähe matemaatika ajalugu puudutavaid õpikuid.
Positiivse küljena võib välja tuua informatsiooni hulga selle kohta, kuidas ja miks
õpetajad kasutavad ajalugu oma tundides. Näiteks kasutatakse paradokse, et välja
juurida väärarusaamu matemaatilistest tõdedest, arutletakse kriitiliselt erinevate
matemaatiliste kontseptsioonide üle, uuritakse õpilaste arusaamu matemaatika arengust
ja geomeetria õpetamiseks kasutatakse algallikaid.
1.6 Kreeka
Kreekas koostab õppekava haridusministeerium koostöös teiste haridusega seotud
institutsioonidega. Erinevalt mõnest teisest riigist on Kreekas iga aine jaoks üks õpik.
Seetõttu omab sisu eriti suurt tähtsust. Peaaegu iga peatükk neis raamatuis lõppeb
ajaloolise märkmega, trükitud teist värvi paberile, mis on rangelt lahus ülejäänud
peatüki sisust. Vastavalt haridusinstituudi poolt välja antavale „Matemaatika õpetamise
juhendile“ on nende märkmete eesmärgiks tõsta õpilaste huvi aine vastu ja panna õpilasi
matemaatikat armastama. Õpetajatel on isegi soovitatav kasutada neid märkmeid
klassidiskussioonides. Kahjuks seda eriti sageli ei juhtu. Kuigi mõned ajaloolised
märkused on huvitavad, on nende isoleerimine üldisest kontekstist muutnud nad
matemaatika õppimisel ja õpetamisel kasutuks. Lisaks on õpetajatel endil väga vähe
kogemusi ja kindlust selles osas, mis puudutab ajaloo käsitlemist.
Haridusministeeriumil oli plaan ajaloo osa veel suurendada, kuid taoline negatiivne
praktiline vastuvõtt õpetajate poolt on lükanud idee arutamise teadmata ajaks edasi.
Aastal 1999 aastal ilmus uus teadusele orienteeritud matemaatika õpik. Ajaloolise
materjali puhul muudeti selle asukohta, viies see peatüki lõpust algusesse. Eesmärgiks
oli tagada ajalooline sissejuhatus teemasse, mille käsitlemine muudeti kohustuslikuks.
[4]
1.7 Prantsusmaa
Prantsusmaal on tsentraliseeritud haridussüsteem, milles seatakse peamised
ettekirjutused õpilaste poolt valitavatele kursustele. Kuni 1995. aastani kehtis süsteem,
kus õpetaja õpetas tavaliselt 45 õpilast, 16 – 20 tundi nädalas. Töö käis kogu klassiga
või siis jagati need tegevuse baasil väiksemateks gruppideks. Kaks kuni viis tundi
nädalas tegeleti harjutustega, milleks kasutati vahepeal arvuti abi. Üks tund kahe nädala
11
jooksul töötasid õpilased kolmestes gruppides suuliste küsimuste kallal. Kirjeldatud
süsteem läks reformimisele 1995. aastal eesmärgiga siduda matemaatika õpetus rohkem
füüsika ja tehnikaga ning arendada õpilastes omaalgatuslikku initsiatiivi. Õpilased
peavad õppekava kohaselt oskama käsitseda arvuteid ja matemaatilise sisuga
programme. Matemaatiline haridus peab arendama intuitsiooni, kujutlusvõimet ja
kriitilist mõtlemist. Samuti ei mindud reformis mööda matemaatika ajaloost. Seadus
ütleb selle kohta nii: „On oluline, et matemaatika kultuurilist konteksti ei ohverdataks
tema tehnilistele aspektidele. Täpsemalt võimaldavad ajaloolised tekstid analüüsida
seoseid matemaatiliste probleemide ja saadud tulemuste vahel. Hakatakse nägema, et
matemaatika on arenev ja dogmatism ei ole ühiskonnas soositud“. Reformi tulemusena
hakati laialdaselt kasutama projektõpet, mis andis õpetajatele suurema vabaduse
matemaatika ajaloo tutvustamiseks. [4]
1.8 Taani
Kuni 1970. aastani mängis matemaatika ajalugu üldises õppekavas väga väikest rolli.
Kuigi ülikooli astmes oli matemaatika ajalugu valikainena olemas ja osad üliõpilased
kirjutasid sel teemal oma lõputöid, ei mõjutanud see üldplaanis matemaatika õppimist ja
õpetamist. Koolis piirduti ajaloo osas ainult mõningate nimedega teoreemides. Ainult
ühes komplektis õpikutes oli õpingute vürtsitamiseks lisatud anekdoote.
Muutused algasid 1972. aastal, kui Roskilde Ülikoolile anti ülesanne tuua värskust
Taani haridusellu. Selle tingis 1970. aastate keskel läbi viidud koolireform, millega
suurenes järsult gümnaasiumiõpilaste hulk. Enam ei tulnud matemaatikat õpetada 10%
vaid juba 30% põhikooli lõpetanutest. Tänapäevaks on see arv kasvanud 50%-le.
Matemaatika ajalugu lisati programmi kohe alguses. Roskilde programmi idee oli
matemaatika kujutamine distsipliinina, mis eksisteerib, areneb ja mida kasutatakse nii
ajas kui ruumis. Tudengitelt ei nõuta niivõrd spetsiaalsete ajalookursuste võtmist, kui
ajaloolist mõtlemist läbi õpingute. Need õpingud baseeruvad tugevalt erinevatel
projektidel.
Üle terve riigi algasid õpetajate poolt erinevad eksperimendid, mis sisaldasid endas
uurimust, kuidas kaasata matemaatika ajalugu õppimisse ja õpetamisse. Eksperimendi
käigus saadud tulemuste põhjal tehti riiklikus õppekavas 1980. aastal mõned
muudatused. Hetkel on seal matemaatika ajaloo kohta kirjas järgnev: „Õpilased peavad
12
omandama teadmised matemaatika ajaloo elementidest ja matemaatikast nii
kultuurilises kui ka sotsiaalses kontekstis. Mõningate peamiste teemade õpetamisel on
seatud prioriteediks sisu selgitamine läbi ajaloo, kultuuri ning ühiskonna, millest need
teadmised alguse said“. Fakt, et matemaatika ajalooline aspekt tehti kohustuslikuks
gümnaasiumis, mõjutas ka ülikooli õpetajakoolituse programmi.
Gümnaasiumiõpetajana tööle asudes sai kohustuslikuks nõudeks matemaatika ajaloo
kursuse läbimine. Seega pidid kõik Taani ülikoolid vähesel määral matemaatika ajalugu
puudutama. Põhikooli õppekavas ei ole matemaatika ajalugu sees ja see on tegelikult
mõistetav. Põhikooli õpetajaid koolitatakse iseseisvates õpetajate seminarides.
Põhjus, miks matemaatika ajaloo elemendid saavutasid olulise osa gümnaasiumis ja
ülikooli matemaatika programmides, ei peitunud erinevate indiviidide lobitöös, vaid
pigem oli see koolis toimunud muutuste tagajärg. Reformi tulemusel muutusid täielikult
gümnaasiumi ja matemaatikaõpetamise eesmärgid. Keegi ei uskunud, et asjad oleksid
võinud jätkuda vanaviisi. Teiseks olid uue õppekava väljatöötajad omandanud piisavalt
kogemusi innovatiivsest õppimisest ja õpetamisest, et pakkuda välja ideid, mis võiksid
esinenud probleemidele lahendust pakkuda. [4]
1.9 Norra
Norras on koolitööd korraldanud riiklik õppekava juba alates 1827. aastast.
Inspireerituna Taanis toimunud muudatustest, sõnastati Norras 1994–98 aastatel
läbiviidud reformides selgelt matemaatika ajalooga seotud õppetulemused. Näiteks
1994. aastal vastu võetud gümnaasiumi õppekava sätestab järgneva: „Õpilased peaksid
saama ülevaate matemaatika ajaloost ja teadma selle tähtsust meie kultuurilises ning
sotsiaalses elus. Õpilased peaksid valdama matemaatika ajaloo peamisi teemasid,
teadma erinevate kultuuride matemaatilist tausta ja tüüpilisemaid tulemeid, mõistma
matemaatika tähtsust tehnika- ja teaduskultuuris ning tooma näiteid matemaatika ja
kunsti vahelistest seostest“.
Huvitav seik selles reformis on, et ülaltoodud seisukoht sai meedias päris tugevat
kriitikat. Avalikkuse arvates peaks matemaatika peamiseks eesmärgiks olema ja jääma
matemaatiliste probleemide lahendamine. Teine peamine vastuväide oli, et eesmärgid
on liiga üldised ning õpetajad pole saanud vastavat väljaõpet. Teisest küljest võimaldas
see tuua reformi läbiviijatel vastuargumente. Üheks tähtsamaks oli, et ajalugu peegeldab
13
olulist osa rahvuslikust pärandist ja see aitab selgitada, kuidas on matemaatika seotud
teiste õppeainetega.
Põhikooli õppekava on samuti ajaloo õppimisele avatud. Näiteks vanuses 13-16 peaksid
õpilased omandama arusaama erinevates kultuurides kasutusel olevatest
arvusüsteemidest ja kogema geomeetria ilu läbi praktiliste näidete arhitektuurist,
kunstist ja käsitööst ning nägema kultuurilist ja ajaloolist sidet.
1.10 Eesti
Eesti hariduse jaoks kujunes pöördeliseks Eesti Õpetajate Kongress 1987. aasta kevadel.
Kongressil kritiseerisid Eesti üldhariduskoolide õpetajad senist õppekorraldust ja
taotlesid sisuliselt Eesti hariduse suveräänsust. Võitluse tuumaks kujunes nõue luua
Eesti üldharidusele oma õppekava. Kuulutati välja avalik konkurss üldhariduse uue
õppekava projekti saamiseks. 1987. aasta jaanilaupäeval toimus projektide arutelu ja
hindamine nüüd juba koondunud avalikkuse osavõtul. Teadlased, filosoofid, kirjanikud,
õppejõud, õpetajad, õpilased, üliõpilased ja koolijuhid arutasid erinevaid projekte ning
langetasid hääletuse teel otsuse. 1987–1988 töötasid ainekomisjonid uute programmide
kallal ja 1988/89. õppeaastal mindi juba üle õpetamisele uue õppekava alusel. [26]
Hetkel on toimumas järkjärguline üleminek uuele õppekavale vastavalt 1. septembrist
2010. a. jõustunud uuele Põhikooli– ja gümnaasiumiseadusele, mis loodetakse lõpule
viia aastaks 2013. [6] ,[24] ,[25]. Matemaatikat õpitakse I kooliastmel 10 nädalatundi
ning II ja III kooliastmel 13 nädalatundi. Gümnaasiumis jaotub matemaatika
ainevaldkond kaheks – kitsas matemaatika, mis koosneb 8 kursusest ning lai
matemaatika, mis koosneb 14 kursusest. [6],[25]
Mida ütleb uus õppekava matemaatika ajaloo käsitlemise kohta? Matemaatikaalase
pädevuse all mõistetakse lisaks muule ka huvi matemaatika vastu ja matemaatika
sotsiaalse, kultuurilise ja personaalse tähenduse mõistmist. Täpsemalt on eelnev mõte
lahti kirjutatud väärtuspädevuse kujundamise all, kus läbi eri maade ja ajastute
matemaatikute tööde tutvustamisel suunatakse õpilasi tunnetama loogiliste
mõttekäikude elegantsi. Konkreetselt on matemaatika ajalugu mainitud läbiva teema
„Kultuuriline identiteet“ õpetamisel, mis ütleb järgmist: „Olulisel kohal on antud teema
käsitlemisel matemaatika ajaloo elementide tutvustamine ning ühiskonna ja
matemaatikateaduse arengu seostamine“. [6],[25]
14
Matemaatika ajalooga seotud raamatuid on eesti keeles ilmunud vähe.
Kaheksakümnendatel aastatel on ilmunud kaks raamatut [12] ja [13], mis sel ajal oli
mõeldud gümnaasiumi fakultatiivkursuse „Matemaatika ajaloo elemente“ õppimisel.
Valitsenud korra tõttu on neis raamatutes lisaks matemaatika ajaloole sisse kirjutatud
palju sotsialistlikku ideoloogiat ja seetõttu vajaksid autori arvates enne koolis
kasutamist mõningast kohendamist. Peeter Müürsepa sulest on ilmunud põhjalik
viieosaline sari XVII–XX sajandil elanud tuntumate matemaatikute elulugudest, mille
loetelu on ära toodud kasutatud kirjanduse lõpus soovitatavate lisamaterjalide all.
15
2. MATEMAATIKA AJALOO TÄHTSUS ÜLDISES ÕPPETÖÖS
2.1 Probleemid matemaatika ajaloo lülitamisega õppetöösse
Matemaatikat seostatakse vaimusilmas sageli aksioomide, teoreemide ja tõestuste
kogumina. Avalikult koosneb see lihvitud produktidest, milles võib suhelda, mida võib
kritiseerida ja mis võivad olla mõne uue töö aluseks. Siiski on kasvamas arusaam, et
tegu on ainult ühe aspektiga matemaatilisest teadmisest. Matemaatika loomeprotsess on
sama tähtis kui tulem, eriti didaktilisest vaatevinklist. See protsess hõlmab endas vigade
tegemist, kahtluste ja arusaamatuste omamist ja isegi tagasipöördumist matemaatika
aluste juurde. Selle arusaama kohaselt ei ole matemaatilise teadmise tähendus ainult
asjaoludes, mis puudutavad deduktiivset struktureeritud matemaatilist teooriat, vaid ka
protseduurides, mis selleni algupäraselt viisid. [4]
Matemaatika õppimine ei seisne pelgalt sümbolitega manipuleerima õppimisest ja
teooriate loogilise ülesehitusega tutvumisest. Lisaks eelnevale lisandub siia kindlate
probleemide ja küsimuste tausta mõistmine. Matemaatika õpetamisest kujuneb seeläbi
palju keerulisem ettevõtmine, kui lihtsalt hästi struktureeritud matemaatika arengu
eksponeerimine õpilastele. Sellest lähtuvalt pakub matemaatika ajalugu palju võimalusi
avastusprotsessi jälgimiseks ning mängib olulist rolli matemaatilises hariduses. [4]
Matemaatika ajaloo lisamisest matemaatikaõpetusse on räägitud pikka aega. Bologna
Ülikooli professor Eugenio Beltrami (1835–1899) on 1873. aastal ilmunud ajakirjas
„Giornale di matematice” väitnud, et õpilased peaksid juba varases eas õppima suurte
meistrite suuri töid selle asemel, et muuta oma mõistus steriilseks lõpmatu hulga
ülesannetega, mille varju oleks hiljem hea peita oma saamatus”. [4]
Teisest küljest on tõstetud esile mitmeid raskusi, mida ajaloo lisamine tundidesse võib
põhjustada. Kõige levinumaks arvamuseks on, et ajalugu ei ole siiski matemaatika.
Õpilastel võib olla korrapäratu arusaam üldajaloost, mis teeb matemaatika ajaloo
õpetamise võimatuks ja muudab kogu aine hoopis piinavamaks, keerulisemaks ja
segadust tekitavamaks. Lisades siia veel ajanappuse ning vastavate vahendite puuduse,
oleme saanud üsna veenva argumendi ajaloo mittekasutamiseks matemaatikatunnis. [4]
Vaatleme nüüd mõningaid pooldavaid argumente matemaatika ajaloo kasutamiseks
õppetöös. ICMI uuring on toonud välja viis peamist valdkonda, kus matemaatika
16
õpetamise protsessi saaks toetada, rikastada ja arendada läbi ajaloo juurutamise
õppeprotsessi. [4]
Esimeseks valdkonnaks on uuringu põhjal üldine lähenemine matemaatika õppimisele
ja õpetamisele. Matemaatikat õpetatakse tavaliselt deduktiivsele meetodile orienteeritud
õppeasutustes. Ajalooline areng näitab siiski, et deduktiivne lähenemine mingile
matemaatilisele distsipliinile järgneb alles siis, kui see distsipliin on täielikult küps.
Mitte ühtki matemaatilist ideed ei ole kunagi avaldatud sel kujul nagu ta avastati.
Matemaatiliste ideede organiseerimine on vajalik, et vähendada erinevate
õppematerjalide mahtu, samas jäävad seetõttu varju need peamised motiveerivad
küsimused, tänu millele antud ideeni jõuti. Seetõttu võib õiges mahus ajaloo lisamine
aidata meil paljastada, kuidas meie matemaatilised struktuurid, arusaamad ja ideed
tekkisid organiseerimaks nähtusi füüsilises, sotsiaalses ja vaimses maailmas. [4]
Teise valdkonnana toodi uuringus välja matemaatilise tegevuse ja vaadete olemuse
avamine. Käsitledes ajalooliselt tähtsaid küsimusi, võime anda palju selgema ülevaate
matemaatikast ja matemaatilisest tegevusest. Õpilased võivad õppida, et vead,
kahtlused, vastuväited ja alternatiivsed lähenemised ei ole pelgalt matemaatikaga
tegelemisel kaasnev nähtus, vaid üks matemaatika osa. Õpilased võivad saada julgust
formuleerida oma küsimusi, teha oletusi ja proovida neid lahendada. Ajalugu muudab
samuti nii õpilasele kui ka õpetajale paremini nähtavaks matemaatika arengulise
loomuse. [4]
Kolmandaks valdkonnaks oli õpetajate didaktiline taust ja pedagoogiline repertuaar.
Ajalugu uurides ja erinevate teemade ajaloolist arengut didaktiliselt sobilikult
rekonstrueerides õpivad õpetajad tundma uue matemaatilise idee tekkimise tausta. See
võib anda parema ettekujutuse, miks mõnest teemast arusaamine tekitab õpilastele palju
probleeme. Lisaks võimaldab see õpetajal rikastada oma näidete baasi või pakkuda
ülesannetele erinevaid alternatiivseid lähenemisi. [4]
Neljandaks räägiti uuringus matemaatika ajaloost kui eelarvamuste kujundajast.
Ajalooga võib selgitada, et matemaatika on pigem arenev ja inimlik aine kui ainuõigete
tõdede süsteem. Tegu ei ole jumalast antud lõpliku produktiga, mis on mõeldud
masinlikuks õppimiseks. Ajaloo abil saame suunata õpilasi mitte heituma
17
ebaõnnestumistest, vigadest, kahtlustest või arusaamatustest, sest need on olnud
ehituskivideks paljudele suurtele matemaatikutele oma teooriate loomisel. [4]
Viimase valdkonnana toodi uuringus välja matemaatika kui multikultuurse saavutuse
tajumise vajalikkus. Matemaatikat käsitletakse hetkel teatud lääne kultuuride
saavutusena. Läbi ajaloo õpingute tekib nii õpilastel kui ka õpetajatel võimalus saada
osa vähemtuntumatest lähenemistest, mis ilmnesid teistes kultuurides. Mõningates
kohtades võib see aidata õpetajatel toime tulla igapäevatöös erirahvuselistes klassides,
süstides austust ja mõistvat suhtumist kaasõpilastesse. [4]
Arutlus antud alapeatükis illustreeris autori arvates neid paljusid rolle, mida
matemaatika ajalugu mängib matemaatilises hariduses. Samuti vaadeldi selles arutluses
probleeme, mis võivad ette tulla matemaatika ajaloo kasutamisel tunnis. Kõige
arendamine ja juurutamine viib uuringu põhjal meid kahe peamise vajaduseni:
Vajadus kergesti ligipääsetavale materjalile, mis oleksid kättesaadavad nii
õpetajatele kui õpilastele.
Tulevaste õpetajate süstemaatiline ettevalmistus nii õpingute ajal kui õpingute
järgselt.
2.2 Matemaatika ajaloo võimalikud kasutusviisid matemaatikatunnis
Analüüsides, miks peaks matemaatika ajalugu tutvustama matemaatikatundides, jäi
lahtiseks küsimus, kuidas seda reaalselt teha. Kasutatud kirjanduse [4] põhjal oleks seda
kõige parem teha läbi mingi probleemi õpetamise, jälgides samal ajal ajaloolist
lähenemist antud probleemile.
Tegu on kombineeritud lähenemisega õpetamisest ja õppimisest. See ei ole rangelt
deduktiivne ega ka rangelt ajalooline. Põhiseisukohaks on, et teemat õpitakse alles siis,
kui ollakse piisavalt motiveeritud. Õpilane püütakse panna mõistma, et teatud
matemaatilist probleemi ei ole enne võimalik lahendada, kui nad pole uut teooriat või
käsitlust õppinud. Vajaduse tunnetamine moodustabki kogu lähenemise selgroo.
Esitatud vaatevinklist pakub ajalooline taust huvitavaid võimalusi sügavuti aine
mõistmiseks. Programmi täideviimiseks oleks enne vaja, et õpetaja omaks baasteadmisi
käsitletava teema ajaloolisest arengust. Ta peaks suutma identifitseerida kriitilised
sammud (võtmeideed ja küsimused, mis viisid läbimurdeni). Edasi muudetakse kogu
18
materjal sobilikuks klassis kasutamiseks. Rekonstrueeritud sammud esitatakse
ajalooliselt motiveerivate probleemidena nii, et raskusaste oleks järjest kasvav ja iga
järgnev toetuks eelmisele probleemile. Nende ülesannete vorm võib varieeruda lihtsatest
harjutustest kuni avatud küsimusteni. Avatud küsimuste uurimine võiks jääda mõne
uurimistöö või grupitöö sisuks.
Ajaloo juurutamine matemaatilisse haridusse hõlmab endas selgelt teadusliku materjali
kasutamist. Need materjalid võib laias laastus jagada kolme kategooriasse.
a) Algallikad (koopiad originaaldokumentidest).
b) Sekundaarsed allikad (õpikud või teatmikud, milles on sees ajaloolist käsitlust ja
konstrueeritud probleeme).
c) Didaktiline materjal.
Joonis 2.1 illustreerib, kuidas erinevaid materjale omavahel siduda.
Matemaatikaajaloolased on peamiselt huvitatud algallikatest. Õpetajatele võiks rohkem
sobida ajaloolaste kokku pandud sekundaarsed allikad, millest valmib ajaloost
inspireeritud esitus. Kombineerides eelnevat didaktilise materjaliga, saame sobilikud
õppematerjalid tunnis kasutamiseks.
Ajaloost inspireeritud
esitus
ÕPPETÖÖ KLASSIS
Ajaloo kasutamine õppetöös
Didaktiline
materjal
Sekundaarsed
allikad
Algallikad
Joonis 2.1 Ajaloost lähtuva materjali esitamine tunnis
19
2.3 Ideid ja näidiseid ajalooliste materjalide kasutamiseks klassis
Paljud matemaatikaõpikud üle maailma on juba varustatud erinevat liiki ja tüüpi
ajalooliste märgetega. Kogumikus [4] on toodud koos näidetega mitmeid erinevaid
viise, kuidas oleks võimalik matemaatika ajalugu kasutada klassisiseses õppetöös.
Käesoleva töö autor valis neist välja kuus, mida tema arvates on võimalik hetkel
valitsevates oludes õppetöös rakendada. Väljavalitud ideedeks oleksid järgnevad:
1. Ajaloolistel tekstidel baseeruvad uurimistööd
2. Töölehed
3. Ajaloolised probleemid
4. Probleemid, mis on siiani lahenduseta või lahendatud suurte raskustega
5. Näidendid ja filmid
6. Internet ja muu meedia
2.3.1 Ajaloolistel tekstidel baseeruvad uurimistööd
Konkreetseid näiteid uurimistöödest saab hetkel tuua ainult ülikooli astmelt, aga
kasutatavad printsiibid on rakendatavad ka madalamal tasemel. Heaks näiteks siinkohal
on Roskilde Ülikool, millele anti 1972. aastal ülesanne tuua värskust Taani haridusellu.
Roskilde Ülikoolis mängivad rühmatööd matemaatika magistrikraadi omandamisel
keskset rolli. Õpilased veedavad poole oma õpingute ajast väikestes gruppides, töötades
erinevate matemaatika aspektide kallal. Üks projekt kestab tüüpiliselt 1–2 semestrit,
mille lõpuks valmib 70–150 leheküljeline töö, mis kaitstakse vastava eksamikomisjoni
ees. Õpilased peavad tegema kokku kolm projekti, millest ühes peavad nad käsitlema
matemaatika olemust ja loomust. Projekti eesmärgiks on, et iga lõpetaja omaks
vähemalt mingisugustki arusaama, milline osa on matemaatikal üldises kultuuriloos ja
ühiskonnas ning kuidas see on teiste teadusvaldkondadega seotud. [4]
2.3.2 Töölehed
Töölehtede kasutamine on laialt levinud üle maailma. Need on tavaliselt mõeldud kas
individuaalseks tööks või rühmatööks. Töölehti on peamiselt kahte sorti. Esimene neist
sisaldab ülesandeid, et harjutada teatud matemaatilist võtet, teine on varustatud
erinevate küsimustega ja probleemidega, mille läbi tutvustatakse uut materjali.
Tavaliselt võetakse siinkohal arvesse õpilase eelnevaid teadmisi ja abistavad küsimused
20
viivad uue teema põhitulemusteni. Töölehed on mõeldud klassis kasutamiseks. Tehakse
seda paaris või väiksemas grupis õpetaja kaasabiga.
Ülalkirjeldatud teist tüüpi töölehed on eriti sobilikud ajaloo lisamiseks õppetöösse.
Tavaliselt sisaldavad need ühte lühikest ajaloolist probleemi ja juurde on lisatud, mis
kontekstis seda küsimust käsitleti. Järgnevad küsimused eesmärgiga aidata mõista kogu
probleemi sisu. Edasi arutletakse probleemi üle ja võrreldakse käsitlust sel ajal ning
tänapäeval. Lõpuks lahendatakse kas otseselt sellega sarnaseid või käsitletava
probleemiga seotud ülesandeid. Töölehtedele võib lisada vastustelehed, kus antud
teemat on veel põhjalikumalt seletatud. Neid töölehti võib teha nii kindla teema
õppimiseks kui kasutada lisamaterjalina õppekavas käsitletava teema illustreerimiseks.
2.3.3 Ajaloolised probleemid
Matemaatika ajalugu pakub hulgaliselt probleeme, mis võivad olla stimuleerivad ja
produktiivsed nii õpilasele kui õpetajale. Autori arvates sobiksid siinkohal esile tõsta
kolm vanaaja lahendamatut probleemi. Esimene neist on ülesanne ringi kvadratuurist
ehk teiste sõnadega ülesanne konstrueerida antud ringiga pindvõrdne ruut. Sellel
probleemil on pikk ja õpetlik ajalugu, mis seostub hästi arvu π ajalooga. [10]
Umbes 2000 a. eKr väitis vaarao Amenemhet III kroonik Ahmes, et ringi pindala, mille
diameeter on 2r, võrdub ruudu pindalaga, mille külje pikkus on
ringi diameetrist.
Lihtne arvutus näitab, et see väide on ekslik. Tõepoolest, kui
, st kui
, siis
Vale on juba teine arvu π number pärast koma
Võtnud egiptlastelt üle geomeetria, said kreeklased päranduseks ka ülesande ringi
kvadratuurist. Ringi kvadratuuriülesannetega tegelesid filosoofid, sofistid ja
matemaatikud: V sajandil eKr Anaxagoras Klazomenast ja Hippias Elisest; IV sajandil
eKr Hippokrates ja sofist Antiphon ja ka vanaaja suurim matemaatik Archimedes (287–
212 eKr).
Kuigi Archimedesel polnud algebra vahendeid, kasutas ta kavalalt ära 96-nurkse kõõl-
ja puutujahulknurga ümbermõõdu ning jõudis järelduseni, et arv π asetseb vahemikus
21
arvust
kuni arvuni
mis teeb ülemise ja alumise tõkke vaheks (ehk
)
ainult 0,002. Archimedes oli seega π välja arvutanud veaga, mis ei ületa 0,001. [28]
Hilisematel sajanditel tehti samuti korduvalt katset kvadratuuriülesannet lahendada.
Selle kallal murdsid pead Leonardo Fibonacchi (XIII saj.), Francois Viéte (XVI saj.),
Gottfried Wilhelm Leibniz, John Wallis (XVII saj.) ja Leonhard Euler (XVIII saj.).
Selle tulemusena saadi arvule π üha täpsemaid ja täpsemaid väärtusi, eriti pärast
diferentsiaal- ja integraalarvutuste loomist.
Ringi kvadratuuriülesande lahendust ei otsitud ainult Euroopas. India matemaatik
Aryabhata (V saj.) sai π väärtuseks ja Bhaskara (XII saj.) väitis, et
.
Hiinlane Chu Pei Suan (III saj.) määras π väärtuseks 3, tema kaasmaalane Li Hung (VI
saj) arvutas, et
.
„Kvadratistide“ seas peab meenutama kindlasti poola õpetlast Adam Kochanskit (1631–
1700), kuninga Jan Sobieski õukonnamatemaatikut ja raamatukoguhoidjat. Temale
kuulub üks ilusamaid ja kõige lihtsamaid teadaolevaid ringi kvadratuuriülesande
ligikaudsetest lahendustest, mille konstruktsioon ja sammud on toodud lisas 1.
Matemaatikud ei lõpetanud ringi kvadratuuriülesannete lahenduse otsimist. Pariisi
Teaduste Akadeemiale läkitati nii palju “lahendusi“, et 1775. aastal keeldus akadeemia
selleteemalisi saadetisi läbi vaatamast. Alles XIX sajandi teisel poolel tõestasid
matemaatikud prantslane Charles Hermite (1822–1901) ja sakslane Ferdinand von
Lindeman (1852–1939), et ainult sirkli ja joonlaua abil ei ole võimalik ringi
kvadratuurülesannet täpselt lahendada.
Miks on ülesanne sirkli ja joonlaua abil lahendamatu? Kui x on otsitav ruudu külg, siis
ehk . See tähendab, et kui on olemas lõik r (antud ringi raadius),
tuleb joonestada teine lõik korda pikem kui lõik r. Me teame, et π näitab, mitu korda
on ringi ümbermõõt pikem tema diameetrist. Vanaaja õpetlased kinnitasid, et on
ratsionaalarv ja otsisid seda visalt. Tõepoolest, kui on teada lõik r, võib sirkli ja
joonlaua abil joonestada mitte ainult lõigud 2r,
, vaid ka lõigud
(ringjoone sisse joonestatud võrdkülgse kolmnurga, ruudu ja
korrapärase viisnurga küljed). Siiski ei saa joonestada lõiku , sest arv π on
22
Joonis 2.2 Da Vinci konstruktsioon ristküliku
pindalast ruudu pindala saamiseks
transtsendentne, st arv, mis ei ole esitatav ratsionaalsete kordajatega algebralise võrrandi
lahendina. Pärast seda kui Charles Hermite (1822–1901) 1873. aastal tõestas, et e on
transtsendentne, tõestas 1882. aastal seda Ferdinand von Lindemann ka π kohta. Sellest
ajast peale jäeti ringi kvadratuuriülesanne rahule, sest oli täiesti kindlalt teada – sirkli ja
joonlaua abil on seda absoluutselt võimatu täpselt lahendada. Kuid näiteid, kus ülesanne
lahendatakse teatava täpsusega või mille korral kaasatakse täiendavaid vahendeid
praktikas vajaliku täpsuse saavutamiseks, leidub mitmeid. Ühte sobilikest näidetest
mainisime juba eelnevalt ning selle pikem lahenduskäik on toodud lisas üks. Teise
meetodi autoriks on kuulus itaalia teadlane ja kunstnik Leonardo da Vinci (1452–1519).
Leonardo da Vinci märkas, et kui silindri raadius on r ja kõrgus
, siis võrdub selle
külgpindala täpselt põhja pindalaga. Seega tarvitseb vaid vöötada silinder materjaliga,
mille laius on
, et saada ristkülik mõõtmetega 2πr ja
.
Kasutades ära lisas 1 toodud Adam
Kochanski konstruktsiooni on käesoleva
töö autor joonise 2.2 abil proovinud heita
valgust Leonardo da Vinci lahenduse
viimasesse etappi – silindri vööga
pindvõrdse ruudu konstrueerimisse.
Vastavalt teoreemile täisnurkse
kolmnurga kõrgusest on
π
π
Seega
π
π
Konstrueerides nüüd täisnurkse kolmnurga EFG hüpotenuusile ruudu, oleme saanud
ruudu GEHI, mille pindala on võrdne esialgse silindri külgpindalaga ja ühtlasi silindri
põhjaks oleva ringi pindalaga.
Teiseks vanaaja lahendamatuks probleemiks on kuubi duplikatsiooni e. Delose
ülesanne. Selle aluseks on Vana-Kreeka legend, mis jutustab järgmist [10]: Delose
23
saarel võimutsenud kunagi must surm – katk. Hirmunud saarlased tulid saare
kaitsejumala Apolloni templisse, et preestrite suu läbi küsida, kuidas jumalalt armu
saada ja inimesed nakkusest ning surmast päästa. Apollon nõudis, et suurendataks
templi kuubikujulist ohvrialtarit täpselt kaks korda. Inimesed panid templisse teise
täpselt niisama suure kuubikujulise altari, kuid must surm jätkas laastamistööd. Selgus,
et Apollon oli nõudnud muud: altarit oli vaja küll kaks korda suurendada, kuid nii, et
tema geomeetriline kuju jääks muutumatuks.
Matemaatilistes sümbolites võime ülesande kirja panna järgnevalt: ehk
, kus a on antud kuubi külg ja x kuubi külg, mille
ruumala on kaks korda suurem kui antud kuubil.
Antud tingimustel on Delose ülesande täpne lahendamine sirkli
ja joonlaua abil võimatu, sest Delose konstant
ei osutu
ühegi ruutvõrrandi lahendiks. Selle näitamine võttis siiski üle
2000 aasta aega. Esimese tõestuse konstrueeris Renè Descartes
(1596–1650) alles aastal 1637. [32]
Sellest hoolimata leidub näiteid, kuidas antud probleemi püüti
lahendada teiste meetoditega. Platon olevat kasutanud joonisel
2.3 kujutatud „ristjalga“. Ristjalg tuleb konstrueerida selliselt,
et üks õlg läbib ristjala tippu C, teine tippu B. Siis lõik OB = x. Saadud küljega kuubi
ruumala on kaks korda suurem antud esialgse kuubi ruumalast .
Tõepoolest, täisnurksetest kolmnurkadest EBC ja BCF (vt. joonist 2.3) järeldub, et
(1)
ning
(2)
Esimesest võrdusest saame
. Asendades selle y väärtuse võrdusesse (2), saame
ehk .
Sel viisil võimaldas Platoni ristjalg leida lõikude a ja 2a vahel kaks keskmist võrdelist
lõiku x ja y, kuna võrrandeid ja võib esitada suhetena
Joonis 2.3 Platoni ristjalg
24
See oli kooskõlas Hippokratese tõestusega, kes kinnitas, et antud kuubi ruumalast kaks
korda suurema ruumalaga kuubi külje leidmine tähendab kahe keskmise võrdelise
määramist. [10]
Teise näitena võib tuua Ateena matemaatiku Menaichmose (IV sajand eKr), kes püüdis
Delose ülesannet lahendada kahe parabooli abil (joon 2.4). Nüüdisaegset sümboolikat
kasutades võib tema lahenduse esitada järgmiselt
I parabooli võrrand on: (A);
II parabooli võrrand on: (B).
Et leida nende paraboolide lõikepunkti M koordinaate,
on vaja lahendada võrranditest (A) ja (B) koosnev
süsteem. Saame Järelikult osutub punkti M
abstsissiks niisuguse kuubi külg, mille ruumala on kaks
korda suurem antud kuubi ruumalast.
Kolmas ülesanne, mille vana maailma matemaatikud
järeltulijatele lahendamatuna pärandasid, on ülesanne
jaotada nurk ainult sirkli ja joonlaua abil kolmeks võrdseks
osaks e. nurga trisektsioon. [10] Esimesel pilgul tundub
see ebatavaliselt lihtne olevat. Tõepoolest, mõningaid
nurki, näiteks täisnurka, on väga kerge kolmeks võrdseks
osaks jaotada (joonis 2.5).
Pütaagorlased, kes tegelesid korrapäraste hulknurkadega, proovisid ka nurka suurusega
120° kolmeks võrdseks osaks jaotada, kuna see oleks
võimaldanud ehitada korrapärase üheksanurga, kuid tihti
võeti ligikaudne jaotus täpse pähe.
Ükskõik missuguse nurga ligikaudu kolmeks jaotamiseks
on välja mõeldud mitmeid meetodeid. Ühe neist, mis
põhineb hiljem kvadratrissiks nimetatud kõveral, võttis
kasutusele Hippias Elisest (V saj. eKr).
Joonis 2.4 Menaichmose lahendus Delose ülesandele
Joonis 2.5 Täisnurga
jaotamine kolmeks
võrdseks osaks
Joonis 2.6 Kvadratriss ja selle joonestamine
25
Joonis 2.7 Nurga α jaotamine
kolmeks kvadratrissi abil
Joonisel 2.6 on näidatud kvadratriss ja selle joonestamisviis. Kvadratriss moodustub
kahe ühtlase liikumise tulemusena. Ruudu ABDC külg CD, säilitades paralleelsuse
esialgse asendiga, nihkub ühtlaselt külje AB suunas; samaaegselt külg (raadius) AC
pöördub ümber punkti A (vaata noolt).
Sel ajal, kui külg CD nihkub ühtimiseni küljega AB, pöördub raadius AC nurga °
võrra ühtimiseni küljega AB. Külje CD ja raadiuse AC lõikepunktide hulka nimetatakse
kvadratrissiks. Kuna mõlemad liiguvad ühtlase kiirusega, peab jääma nende
liikumiskiiruste suhe samaks. See tähendab, et nurga α suhe nurka π
on sama, mis
punkti P kauguse suhe küljest AB külje AC pikkusesse. Kui võtta kasutusele tähistused
, mis on kvadratrissi punktide P kaugus poolusest A, a = CD on ruudu külg ja α
on polaarnurk, siis
millest saame kvadratrissi võrrandi
Nurga α muutumisel 0 kuni π
kirjeldab polaarraadiuse otspunkt P kvadratrissi. Seejuures
tuleb meeles pidada, et α
α , kui .
Oletame nüüd, et mingi nurk α tuleb jagada kolmeks
võrdseks osaks. Asetame nurga α ühe haara ruudu küljele
AC ja lõigaku nurga α teine haar AE kvadratrissi punktis
F. Tõmbame sirgega AB paralleelse sirge FS (joonis 2.7).
Lõigu DS jaotame kolmeks võrdseks osaks ja läbi
jaotuspunktide tõmbame sirgega AB paralleelsed sirged.
Punktides, kus need paralleelid lõikuvad kvadratrissiga,
tõmbame sirged pooluseni A (joonestame raadiuse r). Need sirged jaotavad nurga α
ligikaudselt kolmeks võrdseks osaks.
Me ei selgita siinkohal täpsemalt ülalkirjeldatud kõvera kasutamist ükskõik missuguse
nurga kolmeks võrdseks osaks jaotamisel, vaid vaatlesime üht meetodit nurga
ligikaudseks trisektsiooniks.
26
2.3.4 Probleemid, mis on siiani lahenduseta või lahendatud suurte raskustega
Arvuteooria hüpoteese, mis esimesel pilgul tunduvad väga lihtsad, on mõnikord
erakordselt raske tõestada. Niisuguste hulka kuulub ka tuntud prantsuse matemaatiku
Pierre de Fermat` (1601–1665) suur teoreem, mis kujutab endast Pythagorase teoreemi
üldistust: kui , siis võrrandil ei ole positiivseid täisarvulisi
lahendeid. [1], [10] Leonhard Euler (1707–1783) tõestas, et võrrandid ja
ei oma nullist erinevaid naturaalarvulisi lahendeid. Adrien Marie
Legendre (1752–1833) ja Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805–1859) tõestasid, et ka
võrrand ei oma positiivseid täisarvulisi lahendeid. Gabriel Lamé (1795–
1870) tõestas Fermat´ teoreemi n = 7 korral.[10]
XIX sajandi keskpaiku õnnestus Ernst Eduard Kummeril (1810–1893) tõestada Fermat`
teoreem kõikide korral. [10] 1995. aastal suutis lõpuks Andrew John Wiles
tõestada teoreemi ka üldjuhul. [1] Enam kui kolmsada aastat kestnud otsingud olid
selleks korraks lõppenud.
Kindlasti käib siia alla süütu olemusega Goldbachi hüpotees – oletus, mille kohaselt iga
arvust 2 suurem paarisarv peaks olema esitatav kahe algarvu summana. Seni on see
hüpotees kõigi paarisarvude jaoks veel tõestamata, samuti nagu ka Goldbachi teine
oletus, mille kohaselt iga arvust 2 suurem paaritu arv peaks olema kas algarv või siis
esitatav kolme algarvu summana [1].
2.3.5 Näidendid ja filmid
Näidendeid kasutatakse hariduses tavaliselt mingi inimliku situatsiooni väljenduseks, et
ilmutada moraalseid, eetilisi ja sotsiaalseid väärtusi. Seetõttu ei seostata neid kuidagi
matemaatikaga. Matemaatika ajalugu pakub siiski võimaluse kasutada näidendites
peituvat ära huvi tekitamiseks matemaatika õppimise vastu ning seda on tehtud nii
Itaalias kui Kreekas.[7],[21]
Näidendeid võib luua, et taas läbi elada matemaatiku elu minevikus ja näidata seeläbi
matemaatilise tegevuse inimlikku poolt. Itaalias viidi taoline eksperimendt läbi
keskkooli õpilastega, et julgustada neid matemaatikat õppima, näidates episoode Galois
tormilisest ja lühikesest elust. [23] Kreekas korraldatakse koolides õpilaste, õpetajate ja
vanemate osavõtul toimuvaid teatriõhtuid. [7] Tuginevad need Vana-Kreeka tekstidele
27
ja õpikutest pärit olevatele ajaloolistele kommentaaridele. Tekkinud tunded on siiski
veel vastandlikud: Ühest küljest on tegu õpilaste jaoks väga motiveeriva üritusega, kuid
teisest küljest arvasid paljud õpetajad, et tegu ei ole matemaatilise tegevusega.
Näidendeid võib luua ajaloost tuntud probleemide paremaks visualiseerimiseks.
Siinkohal keskendutakse mitte niivõrd inimlikule poolele kui just matemaatilisele
poolele. Neid näidendeid võib teha eraldi klassiga või läbi mitme õpetaja koostöö, et
sisu oleks mõjukam.
Matemaatika ajalooga seotud filmid võivad anda väga hea ülevaate matemaatika
kultuurilisest ja sotsiaalsest kontekstist. Suurbritannias valmis Open University poolt
neljaosaline teleseriaal „Story of maths“. Oxfordi Ülikooli professor Marcus du Sautoy
võtab selles neljaosalises sarjas kokku matemaatika arengu alates Egiptusest ja
lõpetades tänapäevaga. [4] 1996. aastal valmis Simon Singhi ja John Lynchi poolt
dokumentaalfilm Fermat` teoreemi ajaloost ja lahendamisest. Alejandro Amenábari
poolt valmis 2009. aastal Alexandrias tegutsenud kuulsa naismatemaatiku Hypatia
elulugu kirjeldav film „Agoraa“.
2.3.6 Internet ja muu meedia
Ajaloolist informatsiooni ei leidu ainult raamatutes ja filmides. Tänapäeval võib seda
leida internetis, CD-l ja DVD-l. Internetist on saanud oluline allikas neile, kes on
huvitatud matemaatika ajaloost. Selle teema kohta leidub sadu lehekülgi, kuid tavaliseks
probleemiks jääb ikka usaldatavus. Parimaks nõuandeks võikski olla: „Usalda, aga
kontrolli.“ [4]
Toome siinkohal ära mõned näidislehed, mis võivad olla kasulikud. Siiski peab meeles
pidama, et lehtede aadressid muutuvad aeg-ajalt ja nende leidmiseks on mõnikord vaja
kasutada otsingumootori abi. [4] Viimati toiminud aadressid on autori poolt toodud ära
kasutatud kirjanduse juures soovitusliku materjali all.
Hea koht alustamiseks on „The MacTutor History of Mathematics archive“. Siin leidub
väga palju materjali, kuid kõige väärtuslikum on nende suur kogu matemaatikute
elulugudest. See hõlmab endas autobiograafiat, fotosid ja väga sageli nende materjale.
David R. Wilkinsi poolt avatud leht „The History of Mathematics“ on hea näide, mida
annab internetis teha. Sellelt leheküljelt võime leida enamik George Berkeley, William
28
Hamiltoni ja Bernard Riemanni töid. Lisaks veel materjale George Boolelt, Isaac
Newtonilt ja Georg Cantorilt. Inimestele, kes otsivad algallikaid, on see aardekirstuks.
Antud lehele on lisatud veel viiteid teistele lehtedele, mis tegelevad matemaatika
ajalooga.
Järgnevat kahte lehte haldab Floridas töötav matemaatikaõpetaja Jeff Miller. Esimene
kannab nimetust „Earliest Uses of Various Mathematical Symbols“. See lehekülg
tegeleb matemaatikas kasutatavate sümbolite ajalooga. Teine lehekülg „Earliest Known
Uses of Some of The Words of Mathematics“ tegeleb matemaatika terminite ajaloo
uurimisega. Mõlemad leheküljed sisaldavad materjale, mida võib tunni ilmestamiseks
kasutada. [4]
29
3. AJALOOLINE KÄSITLUS KITSA MATEMAATIKA
KURSUSTEL
Aastal 2010 jõustus meie uus “Gümnaasiumi riiklik õppekava”, mis rõhutab mitmes
punktis matemaatika ajaloo elementide tutvustamise olulisust, kuid ei anna autori
arvates ühtegi sisulist soovitust selle täideviimiseks. [6] Järgnevas peatükis on
kirjeldatud autoripoolne nägemus, kuidas saaks matemaatika ajaloo abil erineval moel
rikastada uues õppekavas olevaid kitsa matemaatika kursuseid.
3.1 Ajaloost inspireeritud sissejuhatus teemasse
Väärtuste omistamine meid ümbritseva maailma objektidele, sündmustele ja nähtustele
algab nende märkamisest. Edasi järgneb valmisolek reageerida vajalikul viisil, millega
kaasnev rahulolu tundmine aitab kaasa väärtustava suhtumise kujunemisele.[11]
Matemaatikapädevus hõlmab ka huvi matemaatika vastu, matemaatika sotsiaalse,
kultuurilise ja personaalse tähenduse mõistmist. [25] Selle saavutamiseks peame autori
arvates esmalt tagama, et õpilane märkaks matemaatika olulisust teda ümbritsevale
sotsiaalsele ja kultuurilisele keskkonnale. Siinkohal võib matemaatika ajaloost olla suur
abi. Järgnevalt on toodud kolm näidet, kuidas ajalugu kasutades on võimalik teha
huvitav sissejuhatus uude teemasse ning rõhutada matemaatika olulisust tervele
ühiskonnale.
3.1.1 II kursus „Trigonomeetria“
Siinusfunktsiooni ajalugu ulatub tagasi Vana-Kreeka
astronoomi Hipparchuse (190–120 eKr) aega.
Sarnaselt teiste Kreeka astronoomidega, soovis temagi
leida mudelit, mis kirjeldaks tähtede ja planeetide
liikumist taevas. Taevast kujutati ülisuure sfäärina ja
tähtede asendit täpsustati nurkadega. Kuid nurkadega
töötamine osutus üpris keerukaks ning mugavamaks
kasutamiseks seoti need konkreetsete lõikudega.
Vastavaid lõike hakati kutsuma kõõludeks. Nagu näha joonisel 3.1, määrab kesknurk β
mingis fikseeritud raadiusega ringjoones lõigu, mida kutsume nurga β kõõluks.
Kasutades kõõle, oli võimalik arvutada tähtede ja planeetide hetkelisi ja tulevasi
positsioone.[3]
Joonis 3.1 Kõõl
30
Hipparchus uuris ringjoont raadiusega 3438 ühikut. Sel juhul on ringjoone ümbermõõt
väga lähedal 21600 ühikule. Kuna , siis järelikult ühele ühikule
ringjoone ümbermõõdust vastab nurga suurus 60 minutit. Ta koostas neist lõikudest
tabeli, mis kahjuks ei ole tänaseni säilinud. Seetõttu ei saa me teada, kuidas täpselt
nende kõõlude pikkused leiti. Hipparchuse töödest teame tänu teiste Kreeka
matemaatikute poolt tehtud viidetele.[3]
Kõige tuntumaks Vana-Kreeka astronoomiks oli kindlasti Klaudios Ptolemaios (85–
165). Tema teost „Almagest“ võime lugeda kõõlude teooria alguseks. Raamatu esimene
peatükk ongi pühendatud kõõludega seotud põhiteoreemide tõestamisele. Lisaks
teoreemide tõestamisele kirjeldas Ptolemaios, kuidas koostada kõõlude tabelit.
Alustades üksikutest täpsetest tulemustest, tuletas ta meetodi, mis võimaldas arvutada
ligikaudsed kõõlude pikkused nurkadele
° kuni °. [3]
Järgmine tähtis samm tehti Indias V sajandi esimesel poolel kui koostati poolkõõlude
tabelid. See peegeldab tähtsat tähelepanekut. Kõõl võib
olla kõige lihtsam meetod, kuidas siduda lõiku nurgaga,
kuid sageli on hoopis vaja kasutada kahekordse nurga
poolt kõõlu. Ilmneb, et India astronoomid mõistsid seda
ning läksid üle kõõlude arvutamiselt poolkõõlude
arvutamisele. [3]
Nagu näha jooniselt 3.2, on India matemaatikute
poolkõõl sama, mis meie siinus, ainult ühe vahega.
Meie jaoks on siinus nurgast selle poolkõõlu ja ringjoone raadiuse suhe. Nende jaoks oli
siinus kindla pikkusega lõik kindla raadiusega ringjoones. Tulemuste arvutamisel pidid
India matemaatikud kindlasti arvesse võtma ringjoonte raadiuste erinevusi. Varajased
India tabelid näitavad, et arvutusteks kasutati ringjoont raadiusega 3438, mis viitab
Hipparchuse mõjudele. [3]
Peaaegu alati jõudsid India matemaatikute ideed Euroopasse läbi araablaste. Nii oli see
ka poolkõõlude teooriaga. Araablased õppisid astronoomiat hindudelt ja selle käigus
lisasid juurde veel oma ideid. Nad ühendasid trigonomeetria ja algebra, täiendasid
poolkõõlude arvutusmeetodit ja tõid omalt poolt sisse „varju“ funktsiooni, mis vastab
Joonis 3.2 Poolkõõlud
31
tänapäeval meie tangensile. Araablaste trigonomeetria muutus tegelikult seeläbi üpris
keeruliseks. [3]
Kui eurooplased selle materjali avastasid, tekkis nagu tavaliselt suur tung neil seda
tõlkida ja õppida araablaste töödest. Kui jõudis kätte aeg tõlkida araablaste jiba, mis oli
araablaste poolkõõlude tabeli nimi, tegid euroopa tõlkijad vea. Araabia sõnad
kirjutatakse sageli ilma täishäälikuteta, mistõttu tõlkijad nägid tekstis ainult tähti jb.
Oletati, et tegu on Araabia sõnaga jaib, mis tähendab abajat või lahte. Ladinakeelseks
vasteks valitigi sinus. Seega tuli laialt kasutatav termin käibele tänu väikesele
tõlkeveale. [3]
Kuni XVI sajandini oli osa matemaatikast, mida me tänapäeval kutsume
trigonomeetriaks, osake astronoomiast. Alates XVI sajandist muutus trigonomeetria
iseseisvaks uurimisobjektiks. Selle perioodi tähtsamaks trigonomeetriliseks tööks sai
Johannes „Regiomontanus“ Mülleri (1436–1476) raamat „Igasugustest kolmnurkadest“.
Raamat ise avaldati mitmeid kümnendeid hiljem. Kuigi Müller teadis kindlasti läbi
araablaste tööde tangensfunktsiooni olemasolust, kasutas ta oma raamatus ainult siinust.
Mülleri töös ei ole siinus ikka veel suhe vaid kindla pikkusega lõik nagu hindudel.[3]
Oleme vaadelnud juba siinuse ja tangensi teket, aga kas on midagi teada koosinusest?
Väga sageli kasutati nurga täiendusnurga siinust, st
(vt. joonis 3.3). Selle ajani ei olnud keegi
veel antud suurusele leidnud sobivat nime. Kutsuti seda
lihtsalt sinus complementi ehk „täienduse siinuseks“.
Järgmiseks sajandiks oli sinus complementist saanud co.
sinus ja lõpuks cosinus.[3]
Regiomontanuse tööd avaldasid suurt mõju
trigonomeetria arengule. Järgneva kümnendi jooksul
ilmus palju samateemalisi töid. George Joachim
Rheticus (1514–1574) selgitas, kuidas on võimalik siinust ja teisi funktsioone
defineerida ainult täisnurkset kolmnurka kasutades. Thomas Fincke (1561–1613) leiutas
sõnad tangens ja seekans. Palju ilmus lihtsalt Regiomontanuse tööde ümbertöötlusi,
kuni lõpuks tuli läbimurre Bartholomeo Pitiscuse (1561–1613) tööga.[3]
Joonis 3.3 Koosinus
32
Bartholomeo Pitiscus leiutas sõna trigonomeetria, mida ta kasutab oma 1595. aastal
trükitud raamatu pealkirjas. [3] Sõna trigonomeetria tuleneb kreeka keelest, sõnadest
trigonon (kolmnurk) ja metreo (mõõdan). [29] Lisaks astronoomiale kirjeldab Pitiscus
oma raamatus, kuidas kasutada trigonomeetriat, et lahendada igapäevaseid
kolmnurkadega seotud praktilisi probleeme. Pitiscuse töö näitab, et trigonomeetria oli
muutunud astronoomia abiosast matemaatika haruks, millel oli palju erinevaid
rakendusi.
Trigonomeetria oli populaarne samuti 17. sajandil, kuid kõik erines sellest, mida me
õpime tänapäeval. Siinus oli ikka veel kindla pikkusega lõik kindla raadiusega
ringjoones, mitte suhe ja keegi ei olnud veel mõelnud siinusest kui funktsioonist selle
tänapäevases mõttes. Kõik see juhtus peale matemaatilise analüüsi leiutamist ning pandi
lõplikult paika Leonhard Euleri (1707–1783) poolt 18. sajandil. Tänu tema töödele
läheneme me trigonomeetriale nii nagu me teeme seda tänapäeval.[3]
3.1.2 IV kursus „Tõenäosus ja statistika“
Tõenäosusteooria ja kombinatoorika tekkisid XVI sajandil. Tolleaegse ühiskonna
priviligeeritud kihtide elus etendasid suurt osa hasartmängud. Kaardi- ja täringumängus
võideti ning kaotati kulda ja briljante, losse ja mõisaid, tõuhobuseid ja kalleid ehteid.
Väga populaarsed olid igasugused loteriid. Endastmõistetavalt puudutasid
kombinatoorikaülesanded esialgu peamiselt hasartmänge, nimelt küsimusi, mitmel viisil
võib saada teatud arvu silmi, kui heita kahte või kolme täringut, või mitu võimalust on
saada kaks kuningat ühes kaardimängus. Need ja teised probleemid arendasid
kombinatoorikat ja samaaegselt kujunevat tõenäosusteooriat. [31]
Esimeste seas hakkas täringumängus tekkivate kombinatsioonide loendamisega
tegelema itaalia matemaatik Niccolò Fontana Tartaglia (1499–1557). Ta koostas tabeli,
mis näitas, mitmel viisil võivad langeda r täringut. Seejuures ei arvestatud ta aga seda,
et ühe ja sama silmade summa võib saada mitmel viisil (näiteks 1+3+4 = 4+2+2).
Teoreetiliselt hakkasid kombinatoorikat uurima prantsuse teadlased Blaise Pascal
(1623–1662) ja Pierre de Fermat (1601–1665). Nende uurimiste lähtekohaks olid samuti
hasartmängude probleemid. [31] Tõenäosusteooria ja kombinatoorika algusloo kohta on
liikvel huvitav legend, mille kohaselt kirglik hasartmängija markii Chevalier de Méré`le
(1607–1684) hakkas järsku enda loodud reeglitega täringumängus pidevalt kaotama.
33
Probleemile lahenduse leidmiseks otsustas ta kirjutada ühele oma sõbrale, kes ei olnud
keegi muu kui Blaise Pascal (1623–1662). See 17. sajandil kirjutatud murekiri pani
aluse tõenäosusteooria arengule. Nende ülesannete lahendamiseks asus Pascal uurima
tõenäosuse ja mängu õnne printsiipe ning pöördus abi saamiseks teise kuulsa
matemaatiku Pierre de Fermat (1601–1665) poole. [30], [8]
Oma kirjas kurtis Chevalier de Méré Blaise Pascalile, et täringutepaar, mis oli sisse
toonud hulgaliselt raha, on hakanud nüüd järsku pidevalt kaotama. Algupäraselt oli
kihlveo tingimuseks, et mängija suudab ühe täringu veeretamisel nelja viskega saada
vähemalt ühe kuue. Kirja autorile tundus loogiline, et taolise kihlveoga peaks rohkem
võitma kui kaotama ning aja jooksul saadud võidud aina süvendasid seda uskumust.
Kihlvedusid ei jätkunud kuigi kauaks. Pidevad võidud kahandasid kiiresti nende
inimeste arvu, kes oleksid nõus kihlvedu vastu võtma. Seetõttu oli Chevalier de Méré
sunnitud mängureegleid muutma. Uueks kihlveotingimuseks sai, et 24 viskega suudab
ta visata vähemalt üks kord täringupaari silmade summaks 12. Ta oli õppinud, et siingi
peaks võimalused tema kasuks olema. Võrdsete summade puhul oli kahjuks tegu
kaotatud kihlveoga. Miks siis see kihlvedu ei tööta?[8]
Tõenäosusteooria puudumisel proovis Chevalier de Méré leida küsimusele vastust,
sooritades selleks suure hulga viskeid ja uurides silmade tuleku sagedusi. Pascal lisas
kirjas Fermat`ile selle kohta asjaliku märkuse: „Kuigi de Méré on tore inimene, ei ole ta
matemaatik ja nagu sa tead, on see suur viga.“
On ilmne, et esimest tüüpi panuse puhul leidis de Méré, et tal on esimesel viskel võrdne
võimalus kõigi täringu peal oleva kuue numbri veeretamiseks. Kuue tuleku tõenäosus,
nagu iga teise silmade arvu puhul, on
. Nelja viske puhul paistis talle, et tõenäosus läks
samuti neli korda paremaks, olles seega
või
. See ütles Chevalier de Méré´le, et ta
võidab iga kaotatud kihlveo kohta kaks, mis pidi virtuaalselt kindlustama talle suure
kasumi. Need arvutused ja järeldused, milleni jõuti, on siiski valed. Enne tõeseid
arvutusi vaatame, kuhu see viib meid Chevalier de Méré teise kihlveo puhul. Summa 12
võib tulla ainult siis, kui me saame mõlema viske korral silmade arvuks kuus. Kuna
mõlema tõenäosus on
, siis 12 tuleku tõenäosus on
. Viga tuleb loogikasse
sisse, kui korrutada
nüüd 24 ja öelda, et peale 24 viset on tõenäosus 12 tulekuks
34
vähemalt
või
. Need arvutused viisid eksitavale järeldusele, et teine kihlvedu on
täpselt sama hea kui esimene. Siiski see nii ei ole.[8]
On kerge näidata, et sellel arutlusel on midagi viga. Rakendame seda esimesele juhule
ja näeme, et veeretades täringut kuus korda nelja asemel, on kuue tuleku tõenäosus
. See tähendab, et kuue veeretamisega seerias on üks kord kuue tulek kindel
sündmus. Samas on selge, et kindlasti leidub selliseid juhuseid, kus kuue viske peale ei
saada ühtegi kuut.
Leidmaks tõenäosusi neile „vähemalt üks“ ülesannetele, on kõige mõtekam läheneda
ülesandele lõpust. Kõikide juhtude tõenäosuste summa peab kokku olema 1. Seega
saame leida kuue tuleku tõenäosuse vaadeldes juhtu, kus ei ole ühtegi kuute.[8]
Kuna ainult ühel juhul kuuest võib tulla täringu silmade arvuks 6, siis viiel juhul kuuest
on tegu ebaõnnestumisega. Ebaõnnestumise tõenäosus on siis
. Võttes arvesse, et iga
viske jaoks on ebaõnnestumise tõenäosus
, siis korrutame need ja saame, et neljal
korral ebaõnnestumise tõenäosuseks tuleb
. Võidu tõenäosuseks
tuleb
. Chevalieri võiduvõimalused esimeses mängus ei olegi
tegelikult nii head, kui esmapilgul paistis, kuid siiski piisavad, et kasumisse jääda. [8]
Teise mängu puhul peame esmalt vaatama, kui suur tõenäosus on ebaõnnestuda ühe
viskega visata silmade arvuks 12. Selleks saame
. Kahekümne neljal korral
ebaõnnestumise tõenäosus on
Võidu tõenäosuseks oleks
Järelikult kihlvedu, mis paistis Chevalier de Méré jaoks sama hea, toob talle tõesti
rohkem kahju kui kasu. Samas kui ta oleks natukene muutnud oma kihlveo tingimusi ja
otsustanud teha ühe viske rohkem, oleks võidu tõenäosus
35
Siinkohal oleks ta jäänud nulli või saanud isegi natuke kasumit.
Tõenäosusteooriaga tihedalt seotud matemaatikaharu on statistika. Statistika on sõna,
mida mõistetakse väga erinevalt ning sageli kasutatakse seda seal, kus on vaja kinnitust
muidu kahtlust tekitavale arvamusele. Me kasutame seda sageli, et viidata infole, eriti
numbrilisele infole. Statistikal on tegelikult pikk ajalugu, kuid eriliselt puhkes see
õitsele 20. sajandi esimesel poolel. [3]
Numbrilise info kogumine nagu karja suurus, vilja varud, armee tugevus, on tegelikult
väga iidne traditsioon. Taolisi nimekirju võib leida väga vanade tsivilisatsioonide
ülestähendustest. Need olid kasutusel sõjaväeliste ja poliitiliste juhtide poolt, et
ennustada ja valmistuda võimalikeks näljahädadeks, sõdadeks ja poliitiliseks
võimuvõitluseks. Sõna statistika pärineb inglise keelsest sõnast „state“ ning tähendab
seisundit. See võeti käibele 18. sajandil kirjeldamaks teaduslikku uuringut erinevatest
seisunditest. Üsna kiiresti pöörati valitsuse suurest huvist tingitult pilgud poliitikat
mõjutavate ja rahvastikku puudutavate andmete peale.
Andmete kogumine on kestnud nii kaua, kui on eksisteerinud valitsused. Mõned
õpetlased näevad isegi arvusüsteemi tekkimise põhjusi tarvidusest neid andmeid üles
märkida. Kuid alles viimastel sajanditel on inimesed hakanud mõtlema, kuidas neid
andmeid analüüsida ja tõlgendada. [3]
1662. aastal avaldas Londoni poeomanik John Graunt (1620–1674) pisitrükise, kus ta
oli kokku kogunud andmed Londonis ajavahemikul 1604–1661 aset leidnud matustest.
Ta tegi mõningaid vaatlusi ning märkas, et mehi sünnib rohkem kui naisi ning naised
elavad kauem kui mehed. Lisaks on aastane surmade arv (välja arvatud epideemia
aastal) peaaegu konstantne. Neid tabeleid hakati kutsuma „Londoni elu tabeliteks“.
John Graunt lõi koos oma sõbra William Pettyga (1623–1687) matemaatilise haru
nimega „Poliitiline aritmeetika“. Sisuliselt tähendas see info saamist rahvastiku kohta.
Esialgu analüüsisid nad näiteks arveid, mis esitati peredele matuse korraldamise eest.
Nende lähenemine oli väga pinnapealne ja ei andnud piisavalt usutavaid tulemusi.
Seetõttu hakati otsima paremaid matemaatilisi vahendeid, et andmeid töödelda. [3]
Näiteks avaldas inglise astronoom Edmund Halley (1656–1742) (kelle järgi on nime
saanud kuulus komeet) 1693. aastal täiendatud matustetabeli, mis pani aluse
36
tänapäevasele kindlustustööstuse tekkele. Selle järgi hakati arvutama erinevate
kindlustustega seotud riske.
18. sajandi esimesel poolel arenesid statistika ja tõenäosusteooria koos. Esimene teos,
kus neid mõlemat koos käsitleti, oli 1713. aastal avaldatud Jakob Bernoulli „Ars
Conjectandi“. Esimesed kolm raamatut selles neljaosalises sarjas käsitlesid populaarsete
hasartmängude kombinatoorikat ja tõenäosusteooriat. Neljandas osas pakkus Bernoulli
välja kombinatoorika ja tõenäosusteooria ideedele uusi rakendusi poliitikas, majanduses
ja isegi moraalsuse hindamisel. See tõstatas üles olulise küsimuse: Kui palju andmeid
on vaja koguda, et me saaksime olla kindlad tehtavate järelduste õigsuses? (Näiteks
mitut inimest peab küsitlema, et teha järeldusi eesolevate valimiste kohta.) Bernoulli
näitas, et mida suurem on andmete arv, seda tõenäolisem, et tehtavad järeldused on
õiged. Täpsemalt kutsutakse seda tänapäeval „Suurte arvude seaduseks“. [3]
Andmete usaldatavus oli 18. sajandi Euroopas tähtsaks probleemiks nii teaduses kui
kaubanduses. Astronoomidel oli näiteks tuhandeid vaatlusandmeid planeetide orbiitide
ja liikumise kohta. Samas olid need ebatäpsed ja seetõttu ei saanud neid hästi kasutada
erinevate vahemaade arvutamiseks, mis merel navigeerimiseks oleks olnud vajalik.
Samasugune probleem ilmnes Maa kuju määramisega. Näiteks käisid vaidlused selle
üle, kas Maa oli kergelt lapik poolustelt (nagu Newton pakkus) või ekvaatori lähedalt
(nagu pakkus Pariisi kuningliku observatooriumi direktor).
Selle probleemi lahendamiseks vajati esmalt veel rohkem matemaatikat. Täpsemalt oli
vaja tõenäosusteooria arendada välja nii, et seda saaks edukalt rakendada praktiliste
küsimuste lahendamiseks. Seda tegid mitmed autorid läbi 18. sajandi ja
kulminatsioonipunkt saabus 1812. aastal Pierre-Simon Laplace (1749–1827) poolt
avaldatud hiiglasliku mahuga raamatus „Analytical Theory of Probabilities“. Kuid
Pierre-Simon Laplace ei olnud ainuke suurepärane matemaatik 19. sajandi
Prantsusmaal. Aastal 1805 avaldas Adrien Marie Legendre (1752–1833) üldisest
andmete hulgast usaldatava informatsiooni eraldamiseks meetodi, mida ta nimetas
„vähimruutude meetodiks“. Johann Karl Friedrich Gauss (1777–1855) ja Pierre-Simon
Laplace kasutasid iseseisvalt tõenäosusteooriat selle meetodi õigustamiseks. 19. sajandi
edenedes levis Legendre meetod üle Euroopa ning muutus laialt kasutatavaks. [3]
37
Tänapäeval ei peeta statistikat enam üheks matemaatika haruks, kuigi selle juured on
tugevalt matemaatilised. Mõne sajandiga on lihtsatest matemaatilistest küsimustest
õitsele puhkenud täiesti iseseisev teadusharu oma eesmärkide ja standarditega.[3]
3.1.3 V kursus „Funktsioonid I“
Kitsa matemaatika V kursuse üks õpitulemustest nõuab, et kursuse lõpus õpilane suudab
selgitada logaritmi mõistet ja selle omadusi ning logaritmib ja potenseerib lihtsamaid
avaldisi. [6] Logaritmi teema sissejuhatuseks ja seostamiseks matemaatikateaduse
arenguga on üks väga hea lugu, mida koolis vähe räägitakse.
Milleks on logaritmid välja mõeldud? Muidugi arvutuste kergendamiseks ja
kiirendamiseks. Esimese logaritmide tabeli leiutaja John Napier (1550–1617) räägib
oma ajenditest järgmist: „Ma püüdsin, nii kuidas võisin ja oskasin, vabaneda arvutamise
raskusest ja igavusest, mille tüütus peletab tavaliselt üsna paljusid matemaatika
õppimisest eemale“. [21] Pierre-Simon Laplace ei kirjutanud asjatult, et logaritmide
leiutamine, lühendades mitme kuu töö mõnele päevale, just nagu kahekordistab
astronoomide eluiga. Suur matemaatik kõneleb astronoomidest, kuna neil tuleb teostada
eriti keerukaid ja väsitavaid arvutusi. Kuid tema sõnad kehtivad täie õigusega kõigi
kohta, kellel tuleb tegeleda arvutamisega. Meil, kes me oleme harjunud logaritme
kasutama ja nendega oma arvutusi lihtsustama, on raske kujutleda seda hämmastust ja
vaimustust, mille kutsus esile logaritmide ilmumine. Napier´iga samal ajal elanud
Henry Briggs (1561–1630), kes hiljem sai kuulsaks kümnendlogaritmide leiutamisega,
saanud Napier`i teose, kirjutas: “Oma uute ja imetlusväärsete logaritmidega pani Napier
mind intensiivselt tööle niihästi pea kui ka kätega. Ma loodan teda suvel näha. Mitte
kunagi pole ma lugenud raamatut, mis oleks mulle rohkem meeldinud ja mind enam
hämmastusse viinud“. [21] Briggs teostas oma kavatsuse ja sõitis Šotimaale, et
külastada logaritmide leiutajat. Kohtumisel ütles Briggs: „Ma võtsin selle pika reisi ette
ainsa sihiga näha teid ja teada saada, milline teravmeelsuse ja teaduse relv viis teid
esimesele mõttele logaritmidest –– suurepärasest abivahendist astronoomidele. Muide,
nüüd imestan ma rohkem selle üle, et keegi ei leidnud neid varem – seevõrra näivad nad
lihtsatena pärast seda, kui neid tunda.“ [21]
38
3.2 Õpitulemuse saavutamine läbi ajaloolise käsitluse
3.2.1 Liitprotsendiline kasvamine ning kahanemine ning arv „e“
Kursuse „Funktsioonid I“ lõpul peab õpilane suutma logaritmida ning potenseerida
lihtsamaid avaldisi, lahendada lihtsamaid eksponent- ja logaritmvõrrandeid astme ning
logaritmi definitsiooni vahetu rakendamise teel ning selgitama liitprotsendilise
kasvamise ning kahanemise olemust. Lisaks peab õpilane suutma tõlgendada reaalsuses
esinevaid protsentides väljendatavaid suurusi, sh laenudega seotud kulutusi ja ohte.
Seda on võimalik edukalt teha jälgides arvu e ajaloolist arengut. Arvu e tähtsust
elunähtuse kirjeldamisel rõhutavad mitmed matemaatikaõpikud [15] [20], kuid
käsitlemine piirväärtuste juures ei ava selle konstandi täielikku sisu ja potensiaali.
Arvu e ajaloolised juured ulatuvad tagasi 17. sajandi esimesse poolde, samasse aega, kui
Napier tegeles logaritmidega. [18] Sel perioodil kasvas erakordselt palju rahvusvaheline
kaubandus ning erinevate rahaliste tehingute arv. Tulemusena tekkis vajadus erinevate
intressimäärade arvutusvalemite järgi. Intressimäärade enda ajalugu ulatub tuhandeid
aastaid tagasi. Sellepärast oleks ajalooliselt põhjendatud enne arvu e käsitlemist rääkida
liitprotsendilisest kasvamisest ning kahanemisest.
Näiteks Mesopotaamia savitahvlil, mis pärineb aastast 1700 eKr ja asub tänasel päeval
Louvre muuseumis, on kirjas ülesanne aja arvutamise kohta mingi summa raha
kahekordistamiseks aastase intressimääraga 20%. [18]
Natuke hilisemast ajast on tuntuks saanud kuulsa ameerika riigiteadlase Benjamin
Franklini (1706–1790) testament. Toome siin sellest väljavõtte: [21]
„Määran tuhat naelsterlingit Bostoni elanikele. Kui nad võtavad need tuhat naela vastu,
siis peab see summa üle antama valitud kodanikele, kes aga annavad selle protsentidega
5 saja kohta aastas, laenuks noortele käsitöölistele. See summa suureneb saja aasta
pärast 131 000 naelsterlingini. Ma soovin, et siis 100 000 naela kasutataks
ühiskondlikeks ehitusteks, ülejäänud 31 000 naela aga antaks 100 aastaks protsentide
peale. Teise saja aasta kestel see summa kasvab 4 061 000 naelsterlingile, millest
1 060 000 naela jätan Bostoni elanikkude käsutusse, 3 000 000 aga Massachusettsi
kogukonna valitsusele. Kaugemale ma ei julge oma pilke küünitada.“
39
Pärandades kõigest 1 000 naela, jaotab Franklin miljoneid. Siin ei ole siiski midagi
arusaamatut. Matemaatiline arvutus tõestab, et pärandaja arutlus on täiesti reaalne. 1000
naela, suurenedes igal aastal 1,05 korda, peab 100 aasta pärast kasvama
naelaks.
Selle avaldise võib välja arvutada logaritmide abil:
millest
mis on kooskõlas testamendi tekstiga. Edasi, 31 000 naela muutub järgmise sajandi
kestel
naelaks,
millest, arvutades logaritmide abil leiame, et
s.o summa, mis ei erine oluliselt testamendis näidatust.
Uurime natuke lähemalt, kuidas liitprotsendiline kasvamine töötab. [18] Kujutame ette,
et me lisame 100€ arvele pangas, mis maksab aastas 5% intressi. Aasta lõpuks oleks
meil arvel
€
Pank arvestab nüüd seda uut summat kui järgmise aasta algväärtust, mis on
investeeritud sama intressimääraga. Seetõttu on teise aasta lõpus juba
€
ning kolmanda aasta lõpuks
€
ja nii edasi. Näeme, et summa kasvab geomeetrilises progressioonis, teguriga 1,05.
Lihtprotsendilise kasvamise puhul lisataks meie arvele igal aastal 5% algväärusest ja
seega oleks kolmanda aasta lõpus meil arvel 115€.
Antud näitest on hea näha, mis üldjuhul juhtub. Eeldame, et me investeerime P eurot
arvele pangas, milles makstakse aasta lõpus r protsenti intressi (arvutustes käsitleme
40
siinkohal r kui kümnendmurdu. Eelmise näite põhjal on see siis 0,05, mitte 5 protsenti).
See tähendaks, et esimese aasta lõpuks oleks meil arvel
teisel aastal
ja nii edasi, kuni peale t aastat oleks meil
Tähistades selle summa tähega S, saame lõplikuks valemiks
(1)
See valem on põhimõtteliselt alus kõikideks finantsarvutusteks, olgu need siis laenud,
kindlustused või väärtpaberid.
Mõned pangad ei arvesta ainult üks kord aastas intresse vaid teevad seda mitu korda.
Näiteks, kui aastast intressimäära 5% arvestada poole aasta kaupa, kasutab pank
perioodi makse tegemiseks poolt aastasest intressimäärast. Vaatame nüüd näidet, kus
100€ esialgsest väärtusest arvestatakse intresse kaks korda aastas, iga kord 2,5%. Seega
saadakse summaks ühe aasta pealt
,
Mis teeb kuus senti enam, kui liitprotsendilise kasvamise puhul, kus intresse arvutati
ainult üks kord aastas.
Panganduses võib leida igasuguseid erinevaid intressiperioode – aastaseid,
pooleaastaseid, kvartali kaupa, kuude kaupa, nädalate kaupa ja isegi päevaseid.
Eeldame, et arvestus toimub n korda aastas. Igal väljamakseperioodil kasutab pank
intressimäära
. Kuna t aasta jooksul on väljamakse perioodide arv nt, siis algväärtuse
P suuruseks peale t aastat oleks
(2)
Tuleb välja, et võrrand (1) on ainult võrrandi (2) erijuht, kus .
Oleks huvitav võrrelda raha kasvu peale ühte aastat, kus väljamaksed toimuvad
erinevatel kordadel aastas. Võtame näiteks P=100€, r=0,05. Tulemused on toodud
allolevas tabelis.
41
Tulemused, mida näeme
tabelis, on üpris üllatavad.
Päevane arvestusperiood
kasvatab kogu summat
ainult 13 sendi võrra,
võrreldes aastase
arvestusperioodiga ja
ainult üks sent enam
võrreldes nädalase või
kuisega!
Selle juhtumi edasi
uurimiseks kujutame ette
võrrandi (2) erijuhtu, kus
r=1. See tähendaks aastast intressimäära 100% ja kindlasti pole ükski pank kunagi
tulnud välja taolise suuremeelse pakkumisega. Arutluse lihtsustamiseks võtame
algväärtuseks P =1€ ja t=1 aastaga. Võrrand (2)
omandab seega kuju
(3)
Andes muutujale n erinevaid väärtusi, saame
tulemused, mis on esitatud tabelis 3.2.
Paistab, et n pidev suurenemine vaevalt mõjutab
lõplikku tulemust. Muutused toimuvad üha
väiksemates ja väiksemates ühikutes. Kuid kas see
muster jääb korduma lõpmatuseni? Kas on võimalik, et
ükskõik kui suureks n ei kasvaks, jääb
väärtus arvu 2,71828 lähedusse? See intrigeeriv
võimalus on tõepoolest tõestatud hoolika matemaatilise
analüüsi käigus. Ei ole teada, kes esimesena märkas
seda
kummalist käitumist, kui n läheneb lõpmatusele ja seega jääb konkreetne
sünniaeg arvul, mida hiljem hakati tähistama tähega e, teadmata. Napier ise oli lähedal
Tabel 3.1 100€ aastane kasvu varieeruvus erinevate arves-
tusperioodide korral, kui intressimäär on 5%
Arvestusperiood n
S
aasta 1 0.05 105,00
pool aastat 2 0.025 105,06
kvartal 4 0.0125 105,09
kuu 12 0,004166 105,12
nädal 52 0,0009615 105,12
päev 365 0,0001370 105,13
Tabel 3.2 100% intressimääraga
summa kasvamine aasta jooksul
erinevate arvestusperioodide
korral
42
arvu
avastamisele ja tema logaritmid lähtusidki sellest alusest. Seega arvamus
Napierist kui e avastajast ei vasta tõele. 1737. aastal tõestas Euler, et e on irratsionaalne
ja temalt pärineb samuti vastav tähistus. [18]
3.2.2 Aritmeetiline ja geomeetriline jada
Kursuse „Funktsioonid II“ üks õpitulemustest on, et õpilane suudab rakendada
aritmeetilise ja geomeetrilise jada üldliikme ning n esimese liikme summa valemit,
lahendades lihtsamaid elulisi ülesandeid. Neid ülesandeid on matemaatika ajalool
pakkuda päris mitmeid.
Vanim ülesanne progressioonidest ei ole kahe tuhande aasta vanune küsimus
tasumaksmisest male leiutajale, vaid palju vanem ülesanne vilja jaotamisest, mis on
kirjutatud kuulsale Rhind´i papüürusele. Papüürus on koostatud umbes 2000 aastat eKr
ning see on ärakiri ühest veel vanemast matemaatilisest teosest, mis pärineb arvatavasti
kolmandast aastatuhandest eKr. Selle dokumendi aritmeetika-, algebra- ja
geomeetriaülesannete hulgas leidub järgmine ülesanne, mille tekst ja lahendus on
toodud lisas 2. [21]
Aritmeetilise jada summat puudutavatest ülesannetest on kõige tuntumaks arvatavasti
lugu noorest Carl Friedrich Gaussist (1777–1855). Algkoolis olevat õpetaja kogu klassil
käskinud arvutada pikema iseseisva tööna kõigi naturaalarvude summa 1-st 100-ni.
Väike Gauss lahendas selle ülesande silmapilkselt. [13] Kõigepealt kirjutas Gauss saja
esimese arvu summa välja kaks korda. Esimene kord kasvavas järjestuses ja teine kord
kahanevas järjestuses:
Liites need paarid ülevalt alla, saame kõikide summaks 101
43
Kuna summasid 101 on parajasti 100 tükki, siis nende summa on 101 100 10100.
Summa 10100 on arvude 1 kuni 100 summa kahekordne, siis otsitav tulemus on
10100
2 5050. Seega on meil
Arvatavasti kõige tuntum lugu geomeetrilise jada summast on legend malemängu
leiutajast. Probleemi tuntuse tõttu ei peatu autor sellel siinkohal pikemalt. Probleemi
terviklik sõnastus ja lahendus on toodud lisas 3. Eelmisega sarnaseid ülesandeid on
teada hilisemastki ajast. Näitena võib tuua loo Poola aadlik Jerzy Ossolińskiga
juhtunust, mille põhjalikum kirjeldus on toodud lisas 4.
3.3 Ühised jooned ajaloo ja õppimise vahel
Matemaatika ajaloos puutume kokku mitmete valdkondadega, mille areng ja tulemuste
omaksvõtt matemaatikute seas olid väga vaevalised ning aeglased. Isegi siis ei tahetud
neid veel päris hästi aktsepteerida, kui sel alal oli saavutatud mitmeid tähtsaid
läbimurdeid. Tuginedes kogumikule [27] on autori arvates õigustatud oletada, et
õpilased võivad kogeda antud teemade õppimisel samu raskusi, mida kogesid
matemaatikud läbi ajaloo. Autor on probleemi illustreerimiseks valinud välja kaks
valdkonda, milles tulevad raskused tänapäeval ja ajaloos eriti hästi esile.
3.3.1 Negatiivsed arvud ja täisarvude hulk
Kes on õpetanud põhikoolis matemaatikat või olnud seotud õpetajakoolitusega, on
kindlasti teadlikud raskustest, mis ilmnevad õpilastel negatiivsete arvude mõistmisel ja
nendega opereerimisel. Õpilastel tekib raskusi äratundmisega, et on sama, mis
, et ja – ei pea alati tähistama negatiivset arvu. Negatiivsed
arvud paigutatakse arusaamades tähtsuselt kas positiivsete arvude või isegi nulli järele.
[27] Täisarvudes hulgast räägitakse Eestis uue õppekava kohaselt peale põhikooli veel
kitsa ja laia matemaatika esimesel kursusel. [6] Siinkohal olekski sobilik vaadata
ajaloos ilmnenud probleeme negatiivsete arvude mõistmisel. [27]
Arvu mõiste ajalooline areng paljastab üldlevinud vastuseisu negatiivsetele arvudele.
Juba kõige varasemates babüloonlaste töödes, mis puudutasid võrrandi lahendamist, ei
arvestatud näiteks negatiivseid juuri. Kõik reeglid, mis puudutavad negatiivsete
44
arvudega opereerimist, töötati välja hindu ja hiina matemaatikute poolt. Kuid veel 7–8.
sajandile ei leia me Araabia matemaatikute töödes ühtegi viidet neile, kuigi nad pidid
olema teadlikud hindude varasematest edusammudest. Negatiivsed arvud omandasid
mõningase tunnustuse Euroopas läbi kompleksarvude 16. sajandil. Nimelt Gerolamo
Cardano (1501–1576) avaldatud kuupvõrrandi lahendamise valemis oli juurte
leidmiseks vaja juurida negatiivset arvu. 17. sajandi prantsuse matemaatik Blaise Pascal
(1623 – 1662) ei näinud mingisugust tarvidust kasutada negatiivseid arve. Alles 19.
sajandil tunnustati negatiivseid arve täielikult ühe osana arvusüsteemist kuigi ka siis
leidus veel matemaatikuid, kes negatiivseid arve ei tahtnud aktsepteerida. Üks nendest
oli kuulus inglise matemaatik Augustus de Morgan (1806–1871), kes pidas negatiivseid
arve täiesti käsitlematuteks.
Negatiivsete arvude käsitlemise kohta koolis on teinud uurimuse Iisraelis Weizmanni
teadusinstituut. See toetab samuti hüpoteesi, et negatiivsete arvude ajalooline käsitlus
võib aidata õpilastel paremini mõista negatiivseid arve ning üle saada sellega
seonduvatest raskustest. [27]
3.3.2 Irratsionaalarvud
Erinevad rahvusvahelised uuringud näitavad, et koolimatemaatikas on seni pööratud
irratsionaalarvudele üpris vähe tähelepanu. [5] Samuti Eestis on autori arvates antud
probleem päevakajaline. Eestis välja antud X klassi õpikutes on kogumahust
pühendatud irratsionaalarvudele maksimaalselt neli lehekülge. [14], [19], [29] Seda
põhjustab koolimatemaatika ülesehitus, mis keskendub peamiselt arvutustehnika
omandamisele. Seeläbi ei jõua idee matemaatikast kui sidusast ja struktureeritud
teadmiste kogumist sageli õpilasteni. Didaktiliselt on tegu kindlasti raske ülesandega,
kuid õppekava ei peaks seda vältima. [5] Autori arvates soovitakse õppekavaga siiski, et
õpilased saaksid aimdust matemaatika suurusest ja olulisusest, mitte ei omandaks ainult
tööriistu praktiliseks vajaduseks. Sellest tunnetusest ei ole tegelikult puudus mitte ainult
õpilastel vaid ka neil, kes kunagi hakkavad matemaatikat õpetama.
Õpilaste arusaamine struktureeritud matemaatikast peab algama sidusa ja range
arvusüsteemide hierarhia rõhutamisest. Vaatleme täpsemalt reaalarvude käsitlust. Kui
on vaadeldud naturaalarvud ja täisarvud, jõutakse käsitlusega ratsionaalarvudeni.
Termin “ratsionaalarv“ viitab ise juba vastandmõiste „irratsionaalarvu“ olemasolule.
45
Kuidas on võimalik minna reaalarvude hulga juurde, pööramata suuremat tähelepanu
irratsionaalarvude hulgale? Irratsionaalarvud on osa süsteemist ja ilma nendeta ei ole
reaalarvu mõiste täielik. Väike hooletus nende käsitlemisel ja kogu süsteem vajub
kokku. On oletatud, et tänu lünkadele arvuhulkasid käsitlevas kursuses, ei ole õpilastel
ratsionaalarvude, irratsionaalarvude ja reaalarvude mõisted päris selged ja piirduvad
mõne üksiku näitega nagu ja π. [5]
Iisraelis läbi viidud uuringutes selgus kahjuks, et enamik 9. ja 10. klassi õpilastest ei
olnud siiski veel teadlikud arvu irratsionaalsusest. Leidus muidugi ka neid, kes ei
teadnud, et π üldse arv on. Vaadeldes murdu
, selgus, et mõisted ratsionaalne,
irratsionaalne oli enamikule 9. ja 10. klassi õpilastele tundmatud. Enamik
õpetajakoolituse üliõpilasi vastas siinkohal õigesti, kuid leidus ikkagi 24% neid, kes
arvasid, et tegu pole ratsionaalarvuga. Uuringu kokkuvõttes selgus, et irratsionaalarve
seostatakse tihti negatiivsete arvudega ja teise peamise arusaama kohaselt on arv
irratsionaalne siis, kui tal on lõpmata palju komakohtasid. [5]
Kuigi üks kõige üllatavamaid tulemusi varajases Kreeka matemaatikas oli see, et
ühismõõduta lõigud eksisteerivad (avastuse täpsem taust on toodud lisas 5), kujunes
range irratsionaalarvude teooria välja alles XIX sajandil tänu Dedekindi, Cantori ja
Weierstrassi teooriatele. Selline pikk paus ajaloos näitab, et irratsionaalarvu mõisteni
jõudmine nõuab pikka aega. [5] Siinkohal on autori arvates hea koht, kus vaadata tagasi
tehtule ja õppida varasematest raskustest. Ei tohiks eeldada, et õpilane suudab ainult
kahe või kolme näite najal kogu mõistet omandada. Seda kinnitab samuti ilmekalt
Iisraelis läbi viidud uuring, millest oli juba eespool juttu. Neid näiteid peaks olema
rohkem.
Riiklikus õppekavas on otseselt viidatud väärtuspädevuste kujundamisele läbi kuldlõike
käsitlemise. [25] Autori arvates ei peaks kuldlõiget ainult kasutatama väärtuspädevuse
kujundajana vaid see peaks olema üks kohustuslik osa irratsionaalarvudega tutvumisel.
Kuldlõike konstrueerimine aitab autori arvates tugevdada arusaamu irratsionaalarvudest
ning avab ukse ainetevaheliseks lõiminguks, millest on põhjalikult juttu lisas 6.
46
3.3.3 Lõpmatuse ja piirväärtuse mõistmine
Piirväärtuse mõiste on matemaatikas oluline, kuid samas ka üks keerulisematest
mõistetest. Selle mõistega on tihedalt seotud arusaamine lõpmatusest ja lõpmatutest
hulkadest, koolimatemaatikas eeskätt arvuhulkadest. Mitmed uurimused on näidanud, et
õpilastel on lõpmatute protsesside mõistmisega raskusi nii koolis kui ka kõrgkoolis.
Seda, et lõpmatuse ja piirväärtuse mõistmisega on raskusi, näitab ilmekalt ka Tartu
Ülikooli loodusteaduslike erialade I kursuse üliõpilaste seas läbi viidud küsitlus. [16]
Vastustest küsimustele „Mis on jada piirväärtus?“ selgus, et väga suur osa õpilastest
käsitleb lõpmatut protsessi lõplikuna, ehk protsessina, mille tulemus asub protsessi sees.
Vaid 25% vastanutest mõistis piirväärtust protsessina, mille tulemus asub väljaspool
protsessi. Jada piirväärtuse mõistet kirjeldas lõpmatu protsessi kaudu vaid 25%
küsitletutest. Üks nendest vastajatest määratles piirväärtust näiteks selliselt: kui jada
liikmete erinevus üksteisest kahaneb nii väikeseks, siis seda arvu loetaksegi
piirväärtuseks, millele jada liikmed lähenevad. Põhimõtteliselt õigesti suutis määratleda
jada piirväärtuse vaid 3% vastanutest. Nende vastustes oli väljendatud nii see, et
vaadeldakse jada protsessis , kui ka see, et selles protsessis tulevad jada liikmed
järjest lähemale mingile konkreetsele arvule. Uurimus näitas, et lõpmatute hulkade ja
piirprotsesside mõistmises on meie õpilastel olulisi puudujääke ka gümnaasiumi lõpus.
Nii lõpmatuid hulki, kui ka lõpmatuid protsesse käsitleb väga suur osa koolilõpetanutest
lõplikena. [16] Uurimistulemuse paremaks mõistmiseks on autori soovituseks heita pilk
ajalukku ja vaadelda piirprotsessi mõiste ajaloolist arengut.
Archimedes töötas piirprotsessi mõiste alustega, kuid kartuses lõpmatuse ees ei toonud
ta sisse selle mõistet. Piirprotsessi mõiste range käsitlemine oli samuti vastumeelne ühe
XVII sajandi suurele matemaatikule Bonaventura Francesco Cavalierile (1598–1647).
Tema jaoks oli range käsitlus rohkem filosoofiline kui matemaatiline probleem.
Bonaventura Cavalieri tutvustas küll mõistet „jagamatud“, kuid ei täpsustanud, mida ta
selle mõiste all silmas pidas. Ta kasutas lõpmata väikeseid pindalasid või ruumalasid
(„jagamatuid“ nagu ta neid ise nimetas) näitamaks geomeetriliste objektide võrdsust.
Pierre de Fermat` (1601–1665) luges funktsiooni maksimum- ja miinimumkohtade
arvutamisel lõpmata väikesed suurused vajalikul hetkel lihtsalt nulliks, süüvimata
suuremalt tekkivatesse vastuoludesse. Idee hakkas selgemaks saama alles Isaac Newtoni
(1643–1727) ja Gottfried Wilhelm Leibnizi (1646–1716) ajal. Mõlemad mehed arvasid,
47
et lõpmata väikesed suurused tegelikult ei eksisteeri, aga nad kasutasid neid siiski
sümbolina oma tõestustes. Taoline mitterange lõpmata väikeste suuruste kasutamine sai
loomulikult palju kriitikat. Üheks suuremaks kritiseerijaks oli iiri piiskop George
Berkeley (1685–1753), kelle arvates tugines Isaac Newtoni ja Gottfried Wilhelm
Leibnizi poolt rajatud matemaatika rohkem religoossetele kui loogilistele alustele.
George Berkeleyt häiris kõige rohkem Fermat` taoline käitumine lõpmata väikeste
suuruste käsitlemisel, kus need olid vahepeal mingid teatud suurused ja vahepeal loeti
neid nulliks. [9]
Oma lõpliku ranguse omandas piirprotsessi mõiste alles 19. sajandil tänu Augustin-
Louis Cauchy (1789–1867) ja Karl Theodor Wilhelm Weierstrassi (1815–1897)
töödele. [9]
Vaadates ajaloolist arengut ei maksaks autori arvates liialt muretseda, et õpilastel on
veel gümnaasiumi lõpus piirprotsesside mõistmises olulisi puudujääke. Pigem näitavad
saadud tulemused, et gümnaasiumi lõpuks on nad ajaloolises mõistes veel mitterange
teooria ajajärgus ja kohe astumas range käsitluse ajajärku.
48
KOKKUVÕTE
Matemaatikat on õpitud ja õpetatud juba tuhandeid aastaid, mille jooksul on saadud suur
hulk kogemusi erinevatele probleemidele lähenemiseks ja nende lahendamiseks.
Kahjuks ei ole siiani pööratud suuremat tähelepanu, kuidas neid kogemusi võiks ära
kasutada õppeprotsessi rikastamiseks. Alles viimastel aastatel on hakatud mõtlema,
kuidas matemaatika ajalugu efektiivsemalt õppetöös ära kasutada. Senised napid
kogemused pärinevad riikidelt, kellel endal on olemas pikad ajaloolised traditsioonid ja
sealgi täidab matemaatika ajalugu rohkem kolmandajärgulist rolli.
Viimastel kümnenditel läbiviidud uuringutes on selgunud, et ajaloolist materjali ei
peaks käsitletama õppetöös isoleerituna muust materjalist vaid seda peaks õpitava teema
paremaks näitlikustamiseks siduma käsitletava teooria ja ülesannetega. Lisaks on
toodud välja, et ajaloo kasutamine tunnis ei tähenda ajaloo enda õpetamist vaid
läbimurdele viinud ideede esitamist ning nende analüüsimist.
Autori panuseks oli nende uute tulemuste varal pakkuda oma nägemus ajaloolise
materjali kasutamisest uue ainekava kitsa matemaatika erinevate kursuste käsitlemisel.
Erialases kirjanduses toodud didaktilist materjali on töö autori poolt täiendatud ligemale
kahekümne matemaatika ajalooga seotud raamatutest leitud tuntud näitega.
Mõne ajaloolise probleemi leidmine ja selle kasutamine tunnis võib lähemal uurimisel
tänu võõrapärasele keelekasutusele ja mittestandardsele kirjaviisile osutuda didaktiliselt
keeruliseks ülesandeks. Raskustest hoolimata ei tohiks autori arvates seda teed hüljata.
Ajaloo lülitamine matemaatika õpetamisse viiks jälle sammukese lähemale terviklikuma
hariduse suunas. Õpilased hakkaksid tänu matemaatika ajaloole tajuma, milline on
olnud matemaatilise mõtlemise minevik, milline on olevik ja milline võiks olla tulevik.
Tänu interneti laiale levikule on tänapäeval võimalik leida ja lugeda ajaloolisi materjale,
mis varem olid kättesaamatud. Viimastel aastatel on valminud mitmeid matemaatika
ajaloole pühendatud raamatuid ja dokumentaalfilme. Matemaatika ajaloo edukaks
kasutamiseks tunnis on vaja rohkem metoodilisi ja didaktilisi juhendeid, mis lähtuksid
kehtivast ainekavast. Matemaatika ajaloo kasutamise eesmärgiks peab jääma siiski
õpitava teema selgitamine ja sidumine olemasolevate teadmistega, mitte selle muutmine
veel segasemaks ja raskemaks.
49
History in Mathematics Education
Kaido Kariste
SUMMARY
People have studied, learned and used mathematics for over four thousand years,
although it is only relatively recently that mathematics has been taught, in most
countries, to a high proportion of the population. Decisions on what is to be taught in
schools, and how, are ultimately political, influenced by a number of factors including
the experience of teachers, expectations of parents and employees, and the social
context of debates about the curriculum. The movement to integrate mathematics
history into teaching and learning of mathematics has been a theme of international
concern over much of the last century. The use of the history of mathematics in teaching
and learning mathematics requires didactical reflections.
The aim of the present Thesis is to study how and in which way can the history of
mathematics be used as part of the narrow mathematics course in Estonian national
curriculum.
The thesis consists of three chapters, ten figures, six appendixes and two tables. The
first chapter summarizes the experience of a number of countries across the world
according to an ICMI study which was carried out in the years 1997-1998. The final
section of this chapter concentrates on the situation of Estonian curriculum. The second
chapter reviews how the history of mathematics can be and has been harnessed and
integrated in mathematics education. This chapter provides several reasons on why the
history of mathematics may be relevant to the teaching and learning process, both for
the teacher and the student. The third chapter gives the authors view on how history of
mathematics may be used in Estonian national curricula narrow mathematics course.
Author’s contribution was to present his ideas about using history of mathematics in
national curricula narrow mathematics course and therefore collect examples, didactical
guidelines and hints on how to use historical material in lessons and provide more or
less ready made historical resources.
It is clear that in many parts of the world the situation is now changing, and that other
media, notably computers, are entering the classroom both as presentation tools for the
teachers and as working tools for the students. The internet provides access to historic
material which was unapproachable some years back. Still, didactic resource material
seems to be the most lacking in the public domain. Hopefully we will see in the future
more easily accessible and comprehensible resources, available to teachers and students
and a systematic preparation of future teachers both during their initial training and
through in-service studies.
50
KASUTATUD KIRJANDUS
1. Abel, E., Abel, M., Kaasik, Ü. Koolimatemaatika entsüklopeedia. Kd3. Tartu:
Ilmamaa, 2006.
2. Benjafield, J. The Golden Rectangle: Some New Data. –– American Journal of
Psychology, 1976, 89, 737-743.
3. Berlinghoff. W, Gouvea, F. Math Through the Ages: A Gentle History for Teachers
and Others. Ed 1. Washington: A joint publication of Oxton House Publishers and
The Mathematical Association of America, 2004.
4. Fauvel, J., van Maanen, J. History in Mathematics Education. Kd. 6. Dordrecht :
Kluwert Academic Publishers, 2000.
5. Fischbein, E., Jehiam, R., Cohen, D. The concept of irrational numbers in high-
school students and prospective teachers ––Educational Studies in Mathematics,
1995, 29(1), 29-44 [Online] SpringerLink (19.08.2010).
6. Gümnaasiumi riiklik õppekava –– Riigiteataja I, 11.02.2010, 6, 21.
7. Hellenic Society for the History of Science and Tecnology 1998. Report on the
meeting on History of mathematics and mathematics education: a theoretical
approach. –– Diastasi, 1998, 3, 123-130.
8. Huff, D. How to Take a Chance: The Laws of Probability. Harmondsworth: Penguin
Books, 1965.
9. Juter, K. Limits of Functions as They Developed Through Time and as Students
Learn Them Today. –– Mathematical Thinking and Learning, 2006, 8(4), 407–431.
10. Kowal, S. Meelelahutusest teadmisteni: mitmesugust matemaatikast. Tallinn: Valgus,
1979.
11. Krull, E. Pedagoogilise psühholoogia käsiraamat. Tartu: Tartu Ülikooli Kirjastus,
2000.
12. Kärner. O., Levin, A. Matemaatika ajaloo elemente: 1. osa. Tallinn: 1983.
13. Kärner. O., Levin, A. Matemaatika ajaloo elemente: 2. osa. Tallinn: 1986.
14. Lepmann, L., Lepmann, T., Velsker, K. Matemaatika: X klassile. Kd. 3 Tallinn:
Koolibri, 2004.
15. Lepmann, L., Lepmann, T., Velsker, K. Matemaatika: XI klassile. Kd. 2. Tallinn:
Koolibri, 2001.
16. Lepmann, L. Lõpmatuse ja piirväärtuse mõistmine. –– Koolimatemaatika XXXV.
Tartu: Tartu Ülikooli Kirjastus, 2008, 43-47.
17. Livio, M. The Golden Ratio: The story of phi, the world´s most astonishing number.
NY: Broadway Books, 2002.
18. Maor, E. e: The Story of a number. New Jersey: Princeton University Press, 1994.
19. Miinus, M. Matemaatika: X klass. Tallinn: Koolibri, 1992.
20. Miinus, M. Matemaatika: XI klass. Tallinn: Koolibri, 1993.
21. Perelman, J. I. Huvitav algebra. Tallinn: Eesti Riiklik Kirjastus, 1952.
22. Poncaré, H. Science and method. 2-nd ed. New York: Dover Publications, 2003.
51
23. Ponza, M.V. A role of the history of mathematics in the teaching and learning of
mathematics: an Argentinian experience. –– Mathematics in school , 1998, 27 (4),
10-13
24. Põhikooli- ja gümnaasiumiseadus. –– Riigiteataja I, 2010, 41, 240.
25. Põhikooli riiklik õppekava –– Riigiteataja I, 11.02.2010, 6, 22.
26. Ruus, V-R. Nõukogude haridussüsteemi lagunemine ja uue sünd. [WWW]
http://www.estonica.org/et/Haridus_ja_teadus/ (27.07.2010).
27. Swetz, F., Fauvel, J., Katz, V. Learn from the Masters. Washington: The
Mathematical Association, 1995.
28. Šarõgin, I. Tasandi geomeetria. Tallinn: Avita, 2000.
29. Tõnso,T., Veelmaa, A. Matemaatika: 10. klass. Tallinn: Koolibri, 1993.
30. Tõnso,T., Veelmaa, A. Matemaatika: 12. klass. Tallinn: Mathema, 1996.
31. Vilenkin, N. Kombinatoorika. Tallinn: Valgus, 1975.
32. Weisstein, E. W. Cube Duplication. [WWW]
http://mathworld.wolfram.com/CubeDuplication.html (02.04.2011)
SOOVITATAVAID LISAMATERJALE
1. Amenábar, A. Agoraa. [WWW] http://www.imdb.com/title/tt1186830/ (27.04.2011).
2. Miller, J. Earliest Known Uses of Some of The Words of Mathematics [WWW]
http://jeff560.tripod.com/mathword.html (27.04.2011).
3. Miller, J. Earliest Uses of Various Mathematical Symbols. [WWW]
http://jeff560.tripod.com/mathsym.html (27.04.2011).
4. Müürsepp, P. Kuulsaid 20. sajandi matemaatikuid. Tallinn: Valgus, 1988.
5. Müürsepp, P. Kuulsaid 19.-20. sajandi matemaatikuid. Tallinn: Valgus, 1985.
6. Müürsepp, P., Müürsepp, T. Kuulsaid XIX. sajandi matemaatikuid. Tallinn: Valgus,
1982.
7. Müürsepp, P., Müürsepp, T. Kuulsaid XVIII-XIX. sajandi matemaatikuid: etüüde
prantsuse matemaatikute elust. Tallinn: Valgus, 1978.
8. Müürsepp, P. Kuulsaid XVII-XVIII sajandi matemaatikuid. Tallinn: Valgus, 1975
9. The MacTutor History of Mathematics archive. [WWW] http://www-history.mcs.st-
and.ac.uk/ (27.04.2011).
10. Wilkins, D. The History of Mathematics. [WWW]
http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/ (27.04.2011).
52
LISA 1
Adam Kochanski konstruktsioon ringi kvadratuuri probleemile
Adam Kochanski (1631–1700)
joonestas sirkliga ringjoone ja
muutmata sirkli haarade laiust
jätkas järgmiselt. [10]
Lõik OB=r; AB=2r;
kõõl BD=r; ; CE=3r.
Näitame nüüd, et AE ≈ πr.
Meil on AB=2r; OB=r, BD=r,
CE=3r. Kuna
on kolmnurk DOB võrdkülgne ja . Edasi avaldame
°
Siis
Kolmnurgast ABE
saame, et
Seega
, ehk
Samal ajal teame, et poolringi pikkus πr ≈ 3,14159r. Tulemuse erinevused on väga
väikesed. Edasi arutles Adam Kochanski järgmiselt: ringi diameetrile ükskõik millisest
selle ringjoone punktist tõmmatud ristlõigu ruut võrdub nende lõikude korrutisega,
milleks see ristlõik diameetri jaotab, sest täisnurkses kolmnurgas võrdub hüpotenuusile
tõmmatud kõrguse ruut kaatetite projektsioonide korrutisega hüpotenuusil. Seega, kui
vaadelda lõigule AE, kui diameetrile, joonestatud poolringjoont ja selle punktist H
lõigule AE tõmmatud ristlõiku AG, kus , kehtivad võrdused
Avaldades nüüd täisnurkse kolmnurga GHE hüpotenuusi HE, saame
Konstrueerides hüpotenuusile HE ruudu, on selle pindala tegelikust ligikaudu
võrra ringi pindalast väiksem.
Adam Kochanski konstruktsioon kvadratuuri probleemile
53
LISA 2
Rhind´i papüüruse aritmeetilise jada ülesanne
Sada mõõtu vilja jaotada viie inimese vahel nii, et teine saaks nii palju rohkem
esimesest, kui palju kolmas saab rohkem teisest, neljas rohkem kolmandast ja viies
rohkem neljandast. Peale selle peavad kaks esimest saama 7 korda rohkem kolmest
ülejäänust. Kui palju vilja tuleb anda igaühele? [10]
Lahendus: Osavõtjate poolt jaotamisel saadud viljahulgad kujutavad endast ilmselt
kasvavat aritmeetilist progressiooni. Olgu selle esimene liige ja vahe d. Siis
esimese osa on
teise
kolmanda
neljanda
viienda
Ülesande tingimuste põhjal koostame kaks järgnevat võrrandit:
Pärast lihtsustamist kujuneb esimene võrrand järgmiseks:
ning teine:
Lahendades selle süsteemi, saame:
Tähendab, vili tuleb jaotada järgmisteks osadeks:
mõõtu
54
LISA 3
Malemängu probleem
Malemängust vaimustatud India kuningas Sheran tegi oma alamale, malemängu
leiutajale, ettepaneku nimetada mingi soov, mille kuningas võiks täita. Leiutaja soov oli
järgmine: üks nisutera malelaua 1. ruudu eest, 2 nisutera 2. ruudu eest, 4 nisutera 3.
ruudu eest, 8 nisutera 4 ruudu eest jne. Kuningas arvas, et see soov on liiga
tagasihoidlik. On see nii? [15]
Viljaterade arvud malelaual on geomeetrilise jada 1, 2, 4, 8, ..., esimesed liikmed.
Terade koguarv oleks selle jada esimese 64 liikme summa 1+2+4+8+...+ . Leiame
järgnevalt valemi geomeetrilise jada esimese n liikme summa arvutamiseks. Seda
summat tähistatakse sümboliga .
ehk
(1)
Korrutame viimast võrdust teguriga q:
(2)
Lahutades võrdusest (2) võrduse (1), saame
Pärast koondamist võrduse paremal pool saame ehk
Kui , saame viimasest võrdusest geomeetrilise jada esimese n liikme summa
valemi
Leiame nüüd viljaterade arvu, mis tuleks kuningal malelaua leiutajale anda.
Vaadeldavas jadas , q=2, n=64 ja
55
LISA 4
Jerzy Ossoliński ja hobuse rautamine
Jerzy Ossoliński (1595–1650), suundudes Roomas asuvasse saatkonda ja soovides kõiki
rabada ehete rikkalikkusega, tellis hobusele hõbedased rauad ja käskis need kinnitada
kullast kabjanaeltega. Kui sepp nimetas hinna, teatas Ossoliński, et nii kallist hinda ta
maksta ei kavatse. Meister naeratas ja ütles: „Ma teen neli hõbedast rauda teile ilma
rahata, kuid 24 kabjanaela eest maksate mulle järgmiselt: esimese eest 2 krossi, teise
eest 4 krossi, kolmanda eest 8 krossi ja nii edasi, iga järgmise eest kaks korda rohkem
kui eelmise eest.“ [10]
Riugast aimamata võttis Ossoliński tingimuse vastu; endamisi oli ta juba arvutanud, kui
palju läheb maksma esimene hobuseraud, ja leidis, et 126 krossi ei ole just palju. Kui
hobune oli rautatud, tõi sepp pärgamendile kirjutatud arve. Seda näinud, jahmus
Ossoliński ja palus seppa, et too nõustuks varem nimetatud summaga. Rahul
õppetunniga, mille ta kõrgeaulisele panile oli andnud, nõustus sepp esialgu küsitud tasu
vastu võtma. Missugune summa oli kirjutatud pärgamendile? Kui suure summa oleks
Jerzy Ossoliński maksma pidanud, kui meister ei oleks kokkuleppest taganenud?
Lahendus:
Tegemist on ühe geomeetrilise progressiooniga, mille esimene liige ja jada tegur
ja liikmete arv on . Arvutame välja geomeetrilise jada esimese n liikme
summa valemist, mitu krossi oleks Jerzy Ossoliński pidanud teise pakkumise puhul
sepale maksma.
56
LISA 5
Ruudu diagonaal ja ühismõõduta lõigud
Aastal 535 eKr asutas Pythagoras Lõuna-Itaalia linnas Krotonis nn. pütaagorlaste liidu.
See olevat olnud üheaegselt nii poliitiline organisatsioon, ususekt kui ka matemaatikaga
tegelev koolkond. [29] Kuigi irratsionaalarvude avastamise täpne aeg ei ole teada,
seostatakse seda pütaagorlase Hippasusega. [17]. Ühikruutu uurides oli ta jõudnud
järeldusele, et on olemas arve, mis ei ole täisarvud ega ratsionaalarvud. Nimelt
diagonaali pikkus ei osutu ratsionaalarvuks.
TEOREEM: Ühikruudu diagonaali pikkus ei
esitu ratsionaalarvuna. [29]
Tõestus: Olgu meil antud ruut külje pikkusega 1
(vt. joonist). Näitame, et ruudu diagonaali
pikkus ei ole ratsionaalarv. Oletame väite
vastaselt, et ühikruudu diagonaali d pikkus on
ratsionaalarv. Pythagorase teoreemist
ehk , siit . Kui on
ratsionaalarv, siis esitub ta taandumatu murruna kujul
. Seega
ning võttes viimase võrduse mõlemad pooled ruutu, saame
Kuna viimase võrduse parem pool on paarisarv, siis peab ka vasakul pool olema
paarisarv. Kui on paarisarv, siis on ka a paarisarv, sest ainult paarisarvu ruut on
paarisarv. Järelikult võime nüüd arvu a kui paarisarvu esitada kujul a=2c.
Tõstame võrduse mõlemad pooled ruutu, saame ning arvestades eespool
saadud tulemust saame, et
Viimasest võrdusest järeldub, et on paarisarv ning seetõttu on b paarisarv. Murd
pidi olema taandumatu murd, kuid selgus, et a ja b on paarisarvud ja seega murdu on
võimalik 2-ga taandada. Oleme jõudnud vastuoluni.
Ühikruudu diagonaali pikkus
57
See šokeeris kõiki Pythagorase järgijaid, kelle maailmavaade baseerus loomuomaselt
täisarvude ja nende suhete imetlemisel. Legend jutustab, et peale seda hirmsat avastust
ohverdas Phytagoras jumalatele sada härga, kuigi tegelikult on see äärmiselt
ebatõenäoline, sest Pythagoras oli taimetoitlane. Selge on see, et pütaagorlased pidasid
taoliste arvude eksistentsi nii hirmutavaks, et need pidid väljendama mingit sorti
kosmilist viga. Tegu oli arvudega, millest pidi vaikima ja mida pidi ranges saladuses
hoidma. [17]
58
LISA 6
Kuldlõige ja selle ilmnemine erinevates valdkondades
Kuldlõike esimese selge definitsiooni andis teadaolevalt 300. aastat eKr Eukleides.
Eukleidese sõnade järgi on lõik jaotatud kuldses suhtes siis, kui tervik suhtub pikemasse
lõiku nii nagu pikem lühimasse lõiku. [17]
Joonis 6.1 Kuldlõike definitsioon
Teisisõnu, kui me vaatame joonist 6.1, siis lõik CG on selgelt pikem lõigust CD. Samal
ajal on lõik CD pikem kui lõik DG. Kui lõigu CG suhe lõiku CD on sama, mis lõigu CD
suhe lõiku DG, siis öeldakse, et lõik AB on jaotatud kuldses suhtes. Kes oleks võinud
arvata, et Eukleidese poolt süütu välimusega geomeetriliseks otstarbeks defineeritud
lõigu jaotus on hämmastanud paljusid füüsikuid ja matemaatikuid läbi sajandite. Nende
hulgas on olnud Leonardo da Pisa (Fibonacci), Johannes Kepler ja ka Albert Einstein.
Kuldne suhe ilmneb väga ootamatutes valdkondades nagu anatoomia, rahandus,
rakendusmatemaatika, dermatoloogia, turundus ja sisekujundus. [2] Nüüd tekib
paratamatult küsimus, kuidas taolist lõiku konstrueerida ja milline see suhe on? Selleks
vaatame uuesti definitsiooni ning kirjutame selle välja matemaatiliste sümbolite abil
Viimasest võrdest saame
(1)
Järelikult on meie ülesandeks konstrueerida ristkülik külgedega CG ja DG, mille
pindala oleks võrdne küljega CD oleva ruudu pindalaga.
Olgu meil antud ruut ABDC (joonis 6.2). Lihtsuse mõttes võtame ruudu külje CD
pikkuseks 1 ühiku. Ristküliku konstrueerimiseks oleks tarvilik teada lõigu DG pikkust.
Asendades CD pikkuse valemisse 1, omandab see kuju , millest
Lahendades selle ruutvõrrandi, saame kaks lahendit
59
Neist teine ei lähe kokku ülesande tin-
gimustega, sest lõigu pikkus ei saa olla
negatiivne. Järelikult ristküliku ühe külje
saamiseks peame ruudu küljele lisama
juurde lõigu pikkusega
. Joonisel 6.2
on näidatud otsitava lõigu konstruktsioon.
[2] Leiame kõigepealt külje CD
keskpunkti E. Võttes raadiuseks EB, joonestame kaare, mis lõikab külje CD pikendust
kohal G. Kontrollime, kas meie konstruktsioon on korrektne. Raadius EB on kergesti
avaldatav Pythagorase teoreemist ning pikkuseks saame
Otsitav lõik DG avaldub siis
Järelikult jaotab punkt D nüüd lõigu CG kuldses suhtes. Jääb veel vastata küsimusele,
milline see suhe on. Definitsioonist saame, et
20. sajandi alguses tähistas ameerika matemaatik Mark Barr kuldse suhte tähega φ (fii)
kreeka skulptori Phidiase (490–430 eKr) järgi, kelle suurimateks saavutusteks olid
Ateena Parthenon ja Zeusi kuju Olympias. Mitmete kunstiajaloolaste väitel on Phidias
oma skulptuuride tegemisel kasutanud kuldset suhet. Terminit „kuldlõige“ kasutas
esimest korda 1835. a. saksa matemaatik Martin Ohm (kuulsa füüsiku Georg Simon
Ohmi vend) raamatus „Die Reine Elementar Mathematik“. [17]
Joonis 6.2 Kuldse suhte konstruktsioon
Recommended