TARTU ÜLIKOOL

MATEMAATIKA-INFORMAATIKATEADUSKOND

Kaido Kariste

AJALUGU MATEMAATILISES HARIDUSES

Magistriõppe lõputöö

Juhendaja: dots. Elts Abel

Autor .…....…....…………................................................“ ….. „ juuni 2011

Juhendaja…….....………..................................................“…... „ juuni 2011

Lubatud kaitsmisele

Magistrieksami komisjoni esimees ...................................“…... „ juuni 2011

Tartu 2011

2

SISUKORD

SISSEJUHATUS ................................................................................................................... 4

1. AJALOO FRAGMENTIDE KASUTAMISEST JA SELLE OLULISUSEST

ERINEVATE MAADE MATEMAATIKA ÕPETUSES ........................................................ 6

1.1 Lühiülevaade riiklikest koolisüsteemidest ................................................................ 6

1.2 Hiina ........................................................................................................................ 7

1.3 Brasiilia ................................................................................................................... 8

1.4 USA......................................................................................................................... 8

1.5 Itaalia ....................................................................................................................... 9

1.6 Kreeka ................................................................................................................... 10

1.7 Prantsusmaa ........................................................................................................... 10

1.8 Taani ..................................................................................................................... 11

1.9 Norra ..................................................................................................................... 12

1.10 Eesti....................................................................................................................... 13

2. MATEMAATIKA AJALOO TÄHTSUS ÜLDISES ÕPPETÖÖS ................................. 15

2.1 Probleemid matemaatika ajaloo lülitamisega õppetöösse ........................................ 15

2.2 Matemaatika ajaloo võimalikud kasutusviisid matemaatikatunnis .......................... 17

2.3 Ideid ja näidiseid ajalooliste materjalide kasutamiseks klassis ................................ 19

2.3.1 Ajaloolistel tekstidel baseeruvad uurimistööd ................................................. 19

2.3.2 Töölehed ......................................................................................................... 19

2.3.3 Ajaloolised probleemid ................................................................................... 20

2.3.4 Probleemid, mis on siiani lahenduseta või lahendatud suurte raskustega ......... 26

2.3.5 Näidendid ja filmid ......................................................................................... 26

2.3.6 Internet ja muu meedia .................................................................................... 27

3. AJALOOLINE KÄSITLUS KITSA MATEMAATIKA KURSUSTEL......................... 29

3.1 Ajaloost inspireeritud sissejuhatus teemasse ........................................................... 29

3.1.1 II kursus „Trigonomeetria“ ............................................................................. 29

3.1.2 IV kursus „Tõenäosus ja statistika“ ................................................................. 32

3.1.3 V kursus „Funktsioonid I“ .............................................................................. 37

3.2 Õpitulemuse saavutamine läbi ajaloolise käsitluse.................................................. 38

3.2.1 Liitprotsendiline kasvamine ning kahanemine ning arv „e“ ............................. 38

3.2.2 Aritmeetiline ja geomeetriline jada ................................................................. 42

3.3 Ühised jooned ajaloo ja õppimise vahel ................................................................. 43

3.3.1 Negatiivsed arvud ja täisarvude hulk ............................................................ 43

3

3.3.2 Irratsionaalarvud ............................................................................................. 44

3.3.3 Lõpmatuse ja piirväärtuse mõistmine .............................................................. 46

KOKKUVÕTE .................................................................................................................... 48

SUMMARY ........................................................................................................................ 49

KASUTATUD KIRJANDUS .............................................................................................. 50

LISA 1 Adam Kochanski konstruktsioon ringi kvadratuuri probleemile

LISA 2 Rhind´i papüüruse aritmeetilise jada ülesanne

LISA 3 Malemängu probleem

LISA 4 Jerzy Ossolinski ja hobuse rautamine

LISA 5 Ruudu diagonaal ja ühismõõduta lõigud

LISA 6 Kuldlõige ja selle ilmnemine erinevates valdkondades

4

SISSEJUHATUS

Enamik põhikooli ja keskkooli õpilasi tajub matemaatikat ainena, millel puudub

ajalugu. Tegu on suletud struktuuriga, mis asub õpetaja peas. Õpetajast saab kõigi

vajalike teadmiste allikas ja tema ülesandeks jääb ainult need teadmised sobival moel

õpilasteni viia. Samuti on õpetaja otsustajaks, kas mõni vastus on õige või vale. Seetõttu

läheb sageli juhendamise käigus kaotsi arusaamine matemaatikast kui loomeprotsessist.

Peamiseks probleemiks avaldatud matemaatika õpikutel ja artiklitel loetakse autori

ignorantsus tausta, raskuste ja vigade suhtes, mis viisid tema poolt kirjutatavatele

ideedele. [27]

Mitmed juhtivad matemaatikud ja õpetlased on läbi sajandite väljendanud mõtteid

ajaloo vajalikkusest matemaatika õpetamisel. Nende hulgas on olnud näiteks Joseph

Louis Lagrange (1736–1813), Niels Henrik Abel (1802 – 1829) ja August De Morgan

(1806–1871). [4] Üks silmapaistvamaid 19. sajandi matemaatikuid Jules Henri Poincaré

(1854–1912) on oma teoses „Science et méthode“ öelnud: „Matemaatika tuleviku

nägemiseks on õigeks teeks õppida selle teaduse minevikku ja olevikku.“ [22] Huvi

suurenemine matemaatika ajaloo kasutamise kohta tunnis on siiski tekkinud alles

viimastel kümnenditel. Matemaatikaajaloolased Frank Swetz, John Fauvel ja Victor

Katz rääkisid ajaloo kasulikkusest matemaatikatunnis oma 1995. aastal avaldatud

raamatus. [27] Kõige põhjalikuma uurimuse käesoleva teema kohta on läbi viinud ICMI

(International Commission on Mathematical Instruction) aastatel 1997-1998, mille

kokkuvõtteks ilmus 2000. aastal 437-leheküljeline raport. Hilisematest uurimustest

tõstaks autor esile Kristina Juteri 2006. aastal avaldatud artikli [9], milles ta analüüsis

põhjalikult uurimistulemusi, kuidas on seotud ajaloos olnud raskused tänapäeval

ilmnevate probleemidega funktsiooni piirväärtuse mõistmisel. Piirväärtuse mõistmisega

seotud raskusi on käsitletud „Koolimatemaatika“ kogumikus [16] ja see teema on hetkel

meil Eestis samuti aktuaalne.

Antud magistritöö eesmärgiks on lähtuvalt uue ainekava kitsa matemaatika moodulist

uurida, kuidas ja millistes valdkondades aitaks matemaatika ajaloo tutvustamine tunnis

kaasa aine omandamisele.

Käesolev töö koosneb kolmest peatükist. Töös on kokku 10 joonist, 2 tabelit ja 6 lisa.

Esimene peatükk sisaldab ülevaadet erinevate riikide õppekavadest vastavalt ICMI

5

2000. aastal välja antud raportile. Uuringu põhjal selgus, et suuremat tähelepanu

pööratakse matemaatika ajaloo käsitlemise kajastamisele nende riikide õppekavades,

millel on pikad ajaloolised traditsioonid. Seetõttu on Aasiast vaatlusalusteks riikideks

Hiina ja Jaapan ning Ameerikast Brasiilia ja USA. Euroopast on võetud vaatluse alla

pika matemaatika ajaloo traditsioonidega riigid Kreeka ja Itaalia. Lisaks neile uuritakse

uuenduslikku Taani ning Norra koolisüsteeme. Eesti olukorda ICMI raport ei

puudutanud ja ülevaade on autori enda poolt kokku pandud vastavalt allikatele [6], [24],

[25], [26].

Teises peatükis analüüsitakse võimalikke probleeme, mis võivad tekkida ajaloo

lülitamisega õppetöösse ja refereeritakse erialases kirjanduses esitatud seisukohti.

Samas pakutakse välja võimalikke lahendusi kuni konkreetsete ideedeni ning näidisteni.

Ideede selgitamiseks ja vastavate näidete leidmiseks on antud peatüki koostamisel olnud

autorile abiks allikad [1], [7], [10].

Kolmas peatükk keskendub ajaloo kasutamise võimalikkusesse uue ainekava kitsa

matemaatika kursustel Eestis. Selleks vaadeldakse täpsemalt, kuidas mõnda teemat

käsitlema asudes teha ajaloost inspireeritud sissejuhatust või saavutada läbi ajaloolise

käsitluse konkreetset õpitulemust. Lisaks uuritakse võimalikke viise ette näha või

mõista mõne teema õpetamisel tulenevaid raskusi, lähtudes antud teema ajaloolisest

kontekstist. Iga alapeatükk on varustatud lisaks teooriale konkreetsete näidetega ajaloost

või viidetega lisades esitatud näidetele. Peatüki kokkupanemisel ja näidete leidmisel oli

käesoleva töö autorile suureks abiks allikad [3], [8], [21], [27].

Magistritöö valdkonnaks on matemaatika ajalugu, täpsemalt selle kasutusvõimalused

koolimatemaatika tundides. Antud töö on sobilik materjal õpetajatele, kes on juba

kasutanud matemaatika ajalugu oma tundide ilmestamiseks või soovivad seda tulevikus

teha. Samuti on töös toodud ajaloolised ideed kasutatavad õpetajakoolituse mitmete

ainete ilmestamiseks ning õpetajate näidetepagasi suurendamiseks.

6

1. AJALOO FRAGMENTIDE KASUTAMISEST JA SELLE

OLULISUSEST ERINEVATE MAADE MATEMAATIKA

ÕPETUSES

1.1 Lühiülevaade riiklikest koolisüsteemidest

Järgnev ülevaade tugineb ICMI (International Commission on Mathematical

Instruction) poolt 2000. aastal välja antud raportile [4]. Kokku uuriti 16 erineva riigi

õppekavasid ning matemaatika ainekavasid. Nendeks riikideks olid Argentiina, Austria,

Brasiilia, Hiina, Taani, Prantsusmaa, Kreeka, Iisrael, Itaalia, Jaapan, Holland, Uus-

Meremaa, Norra, Poola, Suurbritannia ja USA.

Kuigi koolisüsteemid on riigiti väga erinevad, on koolis õpetatav siiski reguleeritud

ning õppekavade ja ainekavade täitmist kontrollitakse haridusministeeriumi ja valitsuse

poolt. Ainult suurteks autonoomseteks piirkondadeks jaotatud riikides on valitsuse

regulatsioonid nõrgemad (nt USA, Brasiilia). Väikeseks erandiks võib veel lugeda

Suurbritanniat, kus traditsiooniliselt on juba välja kujunenud, et koolidel ja õpetajatel on

õpetamise kohapealt suur autonoomia. [4]

Muudatusi õppekavas tehakse tavaliselt koos suurema haridusreformiga. Näiteks tõi

kooliaasta 1999/2000 Poolas kaasa olulisi muudatusi üldises haridussüsteemis. Enne

seda oli kasutusel 8+4 süsteem ehk kaheksa klassi põhikooli ja neli klassi gümnaasiumi.

Alates 1999. aastast asendati see 6+3+3 süsteemiga ehk kuus klassi põhikooli, kolm

klassi gümnaasiumi ja kolm klassi lütseumi. Peamiseks ideeks uue õppekava

koostamisel oli selgelt raamistada hariduse võtmekomponendid nagu planeerimisoskus,

organiseerimisoskus, enda õppimise jälgimine, efektiivne suhtlus ja koostöö ning IKT

vahendite kasutamisoskus. Prantsusmaal 1995. aastal toimunud reformid olid sarnase

eesmärgiga. Taheti siduda matemaatika õpetus rohkem füüsika ja tehnikaga ning

arendada õpilastes omaalgatuslikku initsiatiivi. Ainukeseks erandiks on Jaapan, kus

õppekava reformitakse perioodiliselt – üks kord kümne aasta jooksul.

Matemaatika ajaloo kasutamise kohta tunnis on erinevatel riikidel üsna sarnane

arusaam. Näiteks Jaapanis, Poolas ja Suurbritannias ei ole õppekavas sõnakestki

mainitud matemaatika ajaloo kasutamise kohta. Argentiina, Hollandi ja Austria

õppekavades mainitakse matemaatika ajalugu kui head lisamaterjali. Matemaatika

7

ajaloole on pööratud rohkem tähelepanu tugevate matemaatiliste traditsioonidega

riikides, millest tuleb järgnevalt põhjalikumalt juttu.

1.2 Hiina

Peale iseseisvuse väljakuulutamist 1949. aastal algatas valitsus patriotismi liikumise ja

ühe osana hõlmas see laste patriootliku mõtlemise kasvatamist läbi Hiina matemaatika

ajaloo. Selle tagajärjel koostasid Hiina matemaatika ajaloo uurijad uued õpikud ja

mitmetele matemaatilistele tulemustele anti autorite nimed, kes neid Hiinas esimestena

tutvustasid. Näiteks peale 1949. aastat hakkas Pythagorase teoreem kandma nime Gou

Gu teoreem, Pascali kolmnurk sai nimeks Yang Hui kolmnurk ja Cavalieri printsiip

nimetati ümber Zu Gen printsiibiks.

Õpetajakoolituse erialadel Hiina ülikoolides on matemaatika ajalugu olemas

valikainena. Isegi kui õpilased matemaatika ajalugu valiksid, saab vastavate

õppejõudude puudus sageli määravaks selle aine läbiviimisel. Hiina õpetajad saavad

oma peamised ajaloolised teadmised teistest matemaatika ainetest. Viimastel aastatel on

toimunud suured muutused selles valdkonnas ja tänaseks päevaks on erinevates

õpetajaid koolitavates institutsioonides kokku rohkem kui sada ajaloolast.

Matemaatika magistriõppes on olemas aluskursus filosoofiast ja matemaatika ajaloost.

Sellepärast pööravad Hiina matemaatikud ja matemaatikaõpetajad palju tähelepanu

matemaatika loogilisele aspektile. Paljud kõrgema matemaatika raamatud selgitavad

põhjalikult kolme matemaatilise kriisi tausta: irratsionaalarvu avastamine, lõpmatuse

käsitlus ning paradoksid ja hulgateooria.

Hiina matemaatika ainekava säilitab formaalse, karmi ja deduktiivse süsteemi. Paljud

matemaatikaõpetajad arvavad, et loogilise mõtlemise treenimine on matemaatika

õppimise alus ja iga mitteformaalne lähenemine on õpilastele kahjulik. Veel 1996.

aastal kinnitas Hiina haridusminister matemaatika ainekava, milles oli ühe lausega

mainitud ajaloo kasutamist õppetöös: „Ajaloo abil on võimalik tõsta laste patriotismi“.

Samal aastal avaldatud matemaatika õpetamise ja õppimise programmis on välja

toodud, et näidates iidseid ja moodsaid saavutusi Hiinas, kasvavad noortes rahvuslik

uhkus ning patriootlikud mõtted. [4]

8

1.3 Brasiilia

Kuni 1954. aastani oli Brasiilias ühtne õppekava, kuid sellest ajast alates lubatakse igal

osariigil ise oma hariduselu korrigeerida. Siiski muudavad traditsioonid ja kasutusel

olevad õpikud erinevate osariikide haridussüsteemi üpris sarnaseks. Aastal 1997

kehtestas haridusminister tulise vaidluse tulemusel mõned üldised riiklikud nõudmised.

Rõhuasetus matemaatika ajaloole on klassides 1–8 suur. Õpilasteni proovitakse viia

teadmine, et matemaatika ei ole ainult teadmiste kogum vaid ka protsess, mis kulges

aeglaselt vastavuses inimeste suurenevale vajadusele ja uudishimule. Samuti on üldistes

nõudmistes sätestatud, et matemaatikat ei peaks eraldatama teistest õppeainetest. Ajaloo

kasutamise kohta tunnis ütleb eeskiri järgmist: „ Matemaatika ajalugu koos teiste

didaktiliste ja metodoloogiliste võtetega võib anda suure panuse matemaatika õpetamise

ja õppimise protsessi. Paljastades matemaatika kui inimloome tulemuse, näidates

erinevate perioodide ja kultuuride vajadusi, säilitades siinjuures võrdlusmomendi

mineviku ja tänapäeva matemaatiliste arusaamade vahel, on võimalus õpetajal

kujundada soosivam suhtumine ainesse ja selle õppimisse“. Mitmetes olukordades võib

matemaatika ajalugu selgitada õpilaste poolt konstrueeritud matemaatilisi ideid.

Ainukeseks puuduseks võib seaduses pidada seda, et õpetajale öeldakse, miks oleks hea

ajalugu kasutada, aga ei selgitata täpsemalt, kuidas seda teha. [4]

1.4 USA

USA-s varieeruvad nõuded haridusele väga palju, sest enamik otsuseid tehakse osariigi

tasemel. Matemaatika õppekava reformimisel kasutavad haridusagentuurid Rahvusliku

Matemaatika Õpetajate Nõukogu poolt ettekirjutatud standardeid.

Muudatuste tegemine õppekavas on osariigiti erinev. Näiteks Floridas peavad

taotletavad standardid saama osariigi haridusministeeriumi heakskiidu. Floridas ei pea

olema matemaatikaõpetaja matemaatikat süvitsi õppinud, kuid näiteks Michiganis peab

olema õpetajal ette näidata vastav tunnistus, mis kindlustaks, et õpetaja on saanud hea

ettevalmistuse.

Mis puutub matemaatika ajaloo õpetamisse, siis ollakse erinevatel positsioonidel.

Rahvusliku Matemaatika Õpetajate Nõukogu positsioon on järgnev: „Õpilased peaksid

saama kogemusi matemaatika kultuurilise, ajaloolise ja teadusliku arengu kohta nii, et

9

nad suudaksid hinnata matemaatika rolli meie ühiskonna arengus. Sellest tingitult tuleb

juhtida õpilaste tähelepanu seostele matemaatika ja ajalooliste situatsioonide vahel“. [4]

Seda on väga hästi ära kasutatud matemaatilise analüüsi ühe eesmärgi selgitamiseks:

„On oluline, et õpilased saaksid teada ja hindaksid ajaloolisi algeid ja kultuurilist panust

matemaatilise analüüsi arengusse“. [4]

Rahvusliku Matemaatika Õpetajate Nõukogu standard on mõjutanud palju nii kohalikku

kui riiklikku hariduselu. Kaua on rõhutanud panust, mida ajalugu võib matemaatika

õpetamisse anda ja pikemalt võetakse teema kokku 31. aastaraamatus pealkirjaga

„Historical topics for mathematics classroom.“ Teise institutsioonina propageerib ajaloo

kasutamist Ameerika Matemaatika Assotsiatsioon. Juba 1991. aastal soovitati õpetajatel

võtta ajalugu oma tundides kasutusele.

1.5 Itaalia

Tänu suurtele Itaalia õpetlastele, kes on teaduses üle maailma tuntuks saanud, omab

matemaatika sidumine ajalooga pikki traditsioone. Tõendeid ajaloo kasutamise kohta on

leitud juba 1900. aastast, kui õpilastele mõeldud matemaatika ajakirjas oli matemaatika

ajalugu üks peamisi käsitlusteemasid.

Ajalooline orienteeritus paistab silma samuti tänases Itaalia matemaatika programmides.

Õpilaste kohta vanuses 14–16 ütleb programm järgnevat: “Põhikooli lõpuks peab

õpilane omama ajaloolist ülevaadet tähelepanuväärsematest momentidest matemaatilise

mõtlemise arengus.“ See on olnud paigas alates 1923. aastast. 1985. aastal koostati

eksperimentaalne uus programm, milles sisaldus järgnev märge: „Uurimused ajaloolisel

alal pakuvad õpetaja kaasabiga parimaid võimalusi arendada õpilase võimet teha oletusi

ja pakkuda hüpoteese matemaatiliste küsimuste lahendamiseks.“. Õpilastele vanuses

11–13 on 1979. aastast alates eesmärk olnud järgnev: “Õpetaja peab viima õpilased

lähemale teaduse ajaloolisele taustale.“ Selle kõige saavutamiseks hakati 1990. aastal

korraldama täienduskursuseid tegevõpetajatele, mille sisuks oli ajalugu ja sellest lähtuv

didaktika ning epistemoloogia. [4]

Õpetajakutses ei ole ajaloo teadmine kohustuslik, kuigi vastavaid kursusi ülikoolis

pakutakse. Kursused pannakse kokku vastava ala uurijate poolt ja on seetõttu tihti

tehniliselt rasked. Tegevõpetajate ajaloolised teadmised pärinevad peamiselt õpikutesse

10

lisatud ajaloolistest märkmetest. Üllatavaks võib pidada, et hoolimata rikkalikust

ajaloost, on itaalia keelde tõlgitud siiski vähe matemaatika ajalugu puudutavaid õpikuid.

Positiivse küljena võib välja tuua informatsiooni hulga selle kohta, kuidas ja miks

õpetajad kasutavad ajalugu oma tundides. Näiteks kasutatakse paradokse, et välja

juurida väärarusaamu matemaatilistest tõdedest, arutletakse kriitiliselt erinevate

matemaatiliste kontseptsioonide üle, uuritakse õpilaste arusaamu matemaatika arengust

ja geomeetria õpetamiseks kasutatakse algallikaid.

1.6 Kreeka

Kreekas koostab õppekava haridusministeerium koostöös teiste haridusega seotud

institutsioonidega. Erinevalt mõnest teisest riigist on Kreekas iga aine jaoks üks õpik.

Seetõttu omab sisu eriti suurt tähtsust. Peaaegu iga peatükk neis raamatuis lõppeb

ajaloolise märkmega, trükitud teist värvi paberile, mis on rangelt lahus ülejäänud

peatüki sisust. Vastavalt haridusinstituudi poolt välja antavale „Matemaatika õpetamise

juhendile“ on nende märkmete eesmärgiks tõsta õpilaste huvi aine vastu ja panna õpilasi

matemaatikat armastama. Õpetajatel on isegi soovitatav kasutada neid märkmeid

klassidiskussioonides. Kahjuks seda eriti sageli ei juhtu. Kuigi mõned ajaloolised

märkused on huvitavad, on nende isoleerimine üldisest kontekstist muutnud nad

matemaatika õppimisel ja õpetamisel kasutuks. Lisaks on õpetajatel endil väga vähe

kogemusi ja kindlust selles osas, mis puudutab ajaloo käsitlemist.

Haridusministeeriumil oli plaan ajaloo osa veel suurendada, kuid taoline negatiivne

praktiline vastuvõtt õpetajate poolt on lükanud idee arutamise teadmata ajaks edasi.

Aastal 1999 aastal ilmus uus teadusele orienteeritud matemaatika õpik. Ajaloolise

materjali puhul muudeti selle asukohta, viies see peatüki lõpust algusesse. Eesmärgiks

oli tagada ajalooline sissejuhatus teemasse, mille käsitlemine muudeti kohustuslikuks.

[4]

1.7 Prantsusmaa

Prantsusmaal on tsentraliseeritud haridussüsteem, milles seatakse peamised

ettekirjutused õpilaste poolt valitavatele kursustele. Kuni 1995. aastani kehtis süsteem,

kus õpetaja õpetas tavaliselt 45 õpilast, 16 – 20 tundi nädalas. Töö käis kogu klassiga

või siis jagati need tegevuse baasil väiksemateks gruppideks. Kaks kuni viis tundi

nädalas tegeleti harjutustega, milleks kasutati vahepeal arvuti abi. Üks tund kahe nädala

11

jooksul töötasid õpilased kolmestes gruppides suuliste küsimuste kallal. Kirjeldatud

süsteem läks reformimisele 1995. aastal eesmärgiga siduda matemaatika õpetus rohkem

füüsika ja tehnikaga ning arendada õpilastes omaalgatuslikku initsiatiivi. Õpilased

peavad õppekava kohaselt oskama käsitseda arvuteid ja matemaatilise sisuga

programme. Matemaatiline haridus peab arendama intuitsiooni, kujutlusvõimet ja

kriitilist mõtlemist. Samuti ei mindud reformis mööda matemaatika ajaloost. Seadus

ütleb selle kohta nii: „On oluline, et matemaatika kultuurilist konteksti ei ohverdataks

tema tehnilistele aspektidele. Täpsemalt võimaldavad ajaloolised tekstid analüüsida

seoseid matemaatiliste probleemide ja saadud tulemuste vahel. Hakatakse nägema, et

matemaatika on arenev ja dogmatism ei ole ühiskonnas soositud“. Reformi tulemusena

hakati laialdaselt kasutama projektõpet, mis andis õpetajatele suurema vabaduse

matemaatika ajaloo tutvustamiseks. [4]

1.8 Taani

Kuni 1970. aastani mängis matemaatika ajalugu üldises õppekavas väga väikest rolli.

Kuigi ülikooli astmes oli matemaatika ajalugu valikainena olemas ja osad üliõpilased

kirjutasid sel teemal oma lõputöid, ei mõjutanud see üldplaanis matemaatika õppimist ja

õpetamist. Koolis piirduti ajaloo osas ainult mõningate nimedega teoreemides. Ainult

ühes komplektis õpikutes oli õpingute vürtsitamiseks lisatud anekdoote.

Muutused algasid 1972. aastal, kui Roskilde Ülikoolile anti ülesanne tuua värskust

Taani haridusellu. Selle tingis 1970. aastate keskel läbi viidud koolireform, millega

suurenes järsult gümnaasiumiõpilaste hulk. Enam ei tulnud matemaatikat õpetada 10%

vaid juba 30% põhikooli lõpetanutest. Tänapäevaks on see arv kasvanud 50%-le.

Matemaatika ajalugu lisati programmi kohe alguses. Roskilde programmi idee oli

matemaatika kujutamine distsipliinina, mis eksisteerib, areneb ja mida kasutatakse nii

ajas kui ruumis. Tudengitelt ei nõuta niivõrd spetsiaalsete ajalookursuste võtmist, kui

ajaloolist mõtlemist läbi õpingute. Need õpingud baseeruvad tugevalt erinevatel

projektidel.

Üle terve riigi algasid õpetajate poolt erinevad eksperimendid, mis sisaldasid endas

uurimust, kuidas kaasata matemaatika ajalugu õppimisse ja õpetamisse. Eksperimendi

käigus saadud tulemuste põhjal tehti riiklikus õppekavas 1980. aastal mõned

muudatused. Hetkel on seal matemaatika ajaloo kohta kirjas järgnev: „Õpilased peavad

12

omandama teadmised matemaatika ajaloo elementidest ja matemaatikast nii

kultuurilises kui ka sotsiaalses kontekstis. Mõningate peamiste teemade õpetamisel on

seatud prioriteediks sisu selgitamine läbi ajaloo, kultuuri ning ühiskonna, millest need

teadmised alguse said“. Fakt, et matemaatika ajalooline aspekt tehti kohustuslikuks

gümnaasiumis, mõjutas ka ülikooli õpetajakoolituse programmi.

Gümnaasiumiõpetajana tööle asudes sai kohustuslikuks nõudeks matemaatika ajaloo

kursuse läbimine. Seega pidid kõik Taani ülikoolid vähesel määral matemaatika ajalugu

puudutama. Põhikooli õppekavas ei ole matemaatika ajalugu sees ja see on tegelikult

mõistetav. Põhikooli õpetajaid koolitatakse iseseisvates õpetajate seminarides.

Põhjus, miks matemaatika ajaloo elemendid saavutasid olulise osa gümnaasiumis ja

ülikooli matemaatika programmides, ei peitunud erinevate indiviidide lobitöös, vaid

pigem oli see koolis toimunud muutuste tagajärg. Reformi tulemusel muutusid täielikult

gümnaasiumi ja matemaatikaõpetamise eesmärgid. Keegi ei uskunud, et asjad oleksid

võinud jätkuda vanaviisi. Teiseks olid uue õppekava väljatöötajad omandanud piisavalt

kogemusi innovatiivsest õppimisest ja õpetamisest, et pakkuda välja ideid, mis võiksid

esinenud probleemidele lahendust pakkuda. [4]

1.9 Norra

Norras on koolitööd korraldanud riiklik õppekava juba alates 1827. aastast.

Inspireerituna Taanis toimunud muudatustest, sõnastati Norras 1994–98 aastatel

läbiviidud reformides selgelt matemaatika ajalooga seotud õppetulemused. Näiteks

1994. aastal vastu võetud gümnaasiumi õppekava sätestab järgneva: „Õpilased peaksid

saama ülevaate matemaatika ajaloost ja teadma selle tähtsust meie kultuurilises ning

sotsiaalses elus. Õpilased peaksid valdama matemaatika ajaloo peamisi teemasid,

teadma erinevate kultuuride matemaatilist tausta ja tüüpilisemaid tulemeid, mõistma

matemaatika tähtsust tehnika- ja teaduskultuuris ning tooma näiteid matemaatika ja

kunsti vahelistest seostest“.

Huvitav seik selles reformis on, et ülaltoodud seisukoht sai meedias päris tugevat

kriitikat. Avalikkuse arvates peaks matemaatika peamiseks eesmärgiks olema ja jääma

matemaatiliste probleemide lahendamine. Teine peamine vastuväide oli, et eesmärgid

on liiga üldised ning õpetajad pole saanud vastavat väljaõpet. Teisest küljest võimaldas

see tuua reformi läbiviijatel vastuargumente. Üheks tähtsamaks oli, et ajalugu peegeldab

13

olulist osa rahvuslikust pärandist ja see aitab selgitada, kuidas on matemaatika seotud

teiste õppeainetega.

Põhikooli õppekava on samuti ajaloo õppimisele avatud. Näiteks vanuses 13-16 peaksid

õpilased omandama arusaama erinevates kultuurides kasutusel olevatest

arvusüsteemidest ja kogema geomeetria ilu läbi praktiliste näidete arhitektuurist,

kunstist ja käsitööst ning nägema kultuurilist ja ajaloolist sidet.

1.10 Eesti

Eesti hariduse jaoks kujunes pöördeliseks Eesti Õpetajate Kongress 1987. aasta kevadel.

Kongressil kritiseerisid Eesti üldhariduskoolide õpetajad senist õppekorraldust ja

taotlesid sisuliselt Eesti hariduse suveräänsust. Võitluse tuumaks kujunes nõue luua

Eesti üldharidusele oma õppekava. Kuulutati välja avalik konkurss üldhariduse uue

õppekava projekti saamiseks. 1987. aasta jaanilaupäeval toimus projektide arutelu ja

hindamine nüüd juba koondunud avalikkuse osavõtul. Teadlased, filosoofid, kirjanikud,

õppejõud, õpetajad, õpilased, üliõpilased ja koolijuhid arutasid erinevaid projekte ning

langetasid hääletuse teel otsuse. 1987–1988 töötasid ainekomisjonid uute programmide

kallal ja 1988/89. õppeaastal mindi juba üle õpetamisele uue õppekava alusel. [26]

Hetkel on toimumas järkjärguline üleminek uuele õppekavale vastavalt 1. septembrist

2010. a. jõustunud uuele Põhikooli– ja gümnaasiumiseadusele, mis loodetakse lõpule

viia aastaks 2013. [6] ,[24] ,[25]. Matemaatikat õpitakse I kooliastmel 10 nädalatundi

ning II ja III kooliastmel 13 nädalatundi. Gümnaasiumis jaotub matemaatika

ainevaldkond kaheks – kitsas matemaatika, mis koosneb 8 kursusest ning lai

matemaatika, mis koosneb 14 kursusest. [6],[25]

Mida ütleb uus õppekava matemaatika ajaloo käsitlemise kohta? Matemaatikaalase

pädevuse all mõistetakse lisaks muule ka huvi matemaatika vastu ja matemaatika

sotsiaalse, kultuurilise ja personaalse tähenduse mõistmist. Täpsemalt on eelnev mõte

lahti kirjutatud väärtuspädevuse kujundamise all, kus läbi eri maade ja ajastute

matemaatikute tööde tutvustamisel suunatakse õpilasi tunnetama loogiliste

mõttekäikude elegantsi. Konkreetselt on matemaatika ajalugu mainitud läbiva teema

„Kultuuriline identiteet“ õpetamisel, mis ütleb järgmist: „Olulisel kohal on antud teema

käsitlemisel matemaatika ajaloo elementide tutvustamine ning ühiskonna ja

matemaatikateaduse arengu seostamine“. [6],[25]

14

Matemaatika ajalooga seotud raamatuid on eesti keeles ilmunud vähe.

Kaheksakümnendatel aastatel on ilmunud kaks raamatut [12] ja [13], mis sel ajal oli

mõeldud gümnaasiumi fakultatiivkursuse „Matemaatika ajaloo elemente“ õppimisel.

Valitsenud korra tõttu on neis raamatutes lisaks matemaatika ajaloole sisse kirjutatud

palju sotsialistlikku ideoloogiat ja seetõttu vajaksid autori arvates enne koolis

kasutamist mõningast kohendamist. Peeter Müürsepa sulest on ilmunud põhjalik

viieosaline sari XVII–XX sajandil elanud tuntumate matemaatikute elulugudest, mille

loetelu on ära toodud kasutatud kirjanduse lõpus soovitatavate lisamaterjalide all.

15

2. MATEMAATIKA AJALOO TÄHTSUS ÜLDISES ÕPPETÖÖS

2.1 Probleemid matemaatika ajaloo lülitamisega õppetöösse

Matemaatikat seostatakse vaimusilmas sageli aksioomide, teoreemide ja tõestuste

kogumina. Avalikult koosneb see lihvitud produktidest, milles võib suhelda, mida võib

kritiseerida ja mis võivad olla mõne uue töö aluseks. Siiski on kasvamas arusaam, et

tegu on ainult ühe aspektiga matemaatilisest teadmisest. Matemaatika loomeprotsess on

sama tähtis kui tulem, eriti didaktilisest vaatevinklist. See protsess hõlmab endas vigade

tegemist, kahtluste ja arusaamatuste omamist ja isegi tagasipöördumist matemaatika

aluste juurde. Selle arusaama kohaselt ei ole matemaatilise teadmise tähendus ainult

asjaoludes, mis puudutavad deduktiivset struktureeritud matemaatilist teooriat, vaid ka

protseduurides, mis selleni algupäraselt viisid. [4]

Matemaatika õppimine ei seisne pelgalt sümbolitega manipuleerima õppimisest ja

teooriate loogilise ülesehitusega tutvumisest. Lisaks eelnevale lisandub siia kindlate

probleemide ja küsimuste tausta mõistmine. Matemaatika õpetamisest kujuneb seeläbi

palju keerulisem ettevõtmine, kui lihtsalt hästi struktureeritud matemaatika arengu

eksponeerimine õpilastele. Sellest lähtuvalt pakub matemaatika ajalugu palju võimalusi

avastusprotsessi jälgimiseks ning mängib olulist rolli matemaatilises hariduses. [4]

Matemaatika ajaloo lisamisest matemaatikaõpetusse on räägitud pikka aega. Bologna

Ülikooli professor Eugenio Beltrami (1835–1899) on 1873. aastal ilmunud ajakirjas

„Giornale di matematice” väitnud, et õpilased peaksid juba varases eas õppima suurte

meistrite suuri töid selle asemel, et muuta oma mõistus steriilseks lõpmatu hulga

ülesannetega, mille varju oleks hiljem hea peita oma saamatus”. [4]

Teisest küljest on tõstetud esile mitmeid raskusi, mida ajaloo lisamine tundidesse võib

põhjustada. Kõige levinumaks arvamuseks on, et ajalugu ei ole siiski matemaatika.

Õpilastel võib olla korrapäratu arusaam üldajaloost, mis teeb matemaatika ajaloo

õpetamise võimatuks ja muudab kogu aine hoopis piinavamaks, keerulisemaks ja

segadust tekitavamaks. Lisades siia veel ajanappuse ning vastavate vahendite puuduse,

oleme saanud üsna veenva argumendi ajaloo mittekasutamiseks matemaatikatunnis. [4]

Vaatleme nüüd mõningaid pooldavaid argumente matemaatika ajaloo kasutamiseks

õppetöös. ICMI uuring on toonud välja viis peamist valdkonda, kus matemaatika

16

õpetamise protsessi saaks toetada, rikastada ja arendada läbi ajaloo juurutamise

õppeprotsessi. [4]

Esimeseks valdkonnaks on uuringu põhjal üldine lähenemine matemaatika õppimisele

ja õpetamisele. Matemaatikat õpetatakse tavaliselt deduktiivsele meetodile orienteeritud

õppeasutustes. Ajalooline areng näitab siiski, et deduktiivne lähenemine mingile

matemaatilisele distsipliinile järgneb alles siis, kui see distsipliin on täielikult küps.

Mitte ühtki matemaatilist ideed ei ole kunagi avaldatud sel kujul nagu ta avastati.

Matemaatiliste ideede organiseerimine on vajalik, et vähendada erinevate

õppematerjalide mahtu, samas jäävad seetõttu varju need peamised motiveerivad

küsimused, tänu millele antud ideeni jõuti. Seetõttu võib õiges mahus ajaloo lisamine

aidata meil paljastada, kuidas meie matemaatilised struktuurid, arusaamad ja ideed

tekkisid organiseerimaks nähtusi füüsilises, sotsiaalses ja vaimses maailmas. [4]

Teise valdkonnana toodi uuringus välja matemaatilise tegevuse ja vaadete olemuse

avamine. Käsitledes ajalooliselt tähtsaid küsimusi, võime anda palju selgema ülevaate

matemaatikast ja matemaatilisest tegevusest. Õpilased võivad õppida, et vead,

kahtlused, vastuväited ja alternatiivsed lähenemised ei ole pelgalt matemaatikaga

tegelemisel kaasnev nähtus, vaid üks matemaatika osa. Õpilased võivad saada julgust

formuleerida oma küsimusi, teha oletusi ja proovida neid lahendada. Ajalugu muudab

samuti nii õpilasele kui ka õpetajale paremini nähtavaks matemaatika arengulise

loomuse. [4]

Kolmandaks valdkonnaks oli õpetajate didaktiline taust ja pedagoogiline repertuaar.

Ajalugu uurides ja erinevate teemade ajaloolist arengut didaktiliselt sobilikult

rekonstrueerides õpivad õpetajad tundma uue matemaatilise idee tekkimise tausta. See

võib anda parema ettekujutuse, miks mõnest teemast arusaamine tekitab õpilastele palju

probleeme. Lisaks võimaldab see õpetajal rikastada oma näidete baasi või pakkuda

ülesannetele erinevaid alternatiivseid lähenemisi. [4]

Neljandaks räägiti uuringus matemaatika ajaloost kui eelarvamuste kujundajast.

Ajalooga võib selgitada, et matemaatika on pigem arenev ja inimlik aine kui ainuõigete

tõdede süsteem. Tegu ei ole jumalast antud lõpliku produktiga, mis on mõeldud

masinlikuks õppimiseks. Ajaloo abil saame suunata õpilasi mitte heituma

17

ebaõnnestumistest, vigadest, kahtlustest või arusaamatustest, sest need on olnud

ehituskivideks paljudele suurtele matemaatikutele oma teooriate loomisel. [4]

Viimase valdkonnana toodi uuringus välja matemaatika kui multikultuurse saavutuse

tajumise vajalikkus. Matemaatikat käsitletakse hetkel teatud lääne kultuuride

saavutusena. Läbi ajaloo õpingute tekib nii õpilastel kui ka õpetajatel võimalus saada

osa vähemtuntumatest lähenemistest, mis ilmnesid teistes kultuurides. Mõningates

kohtades võib see aidata õpetajatel toime tulla igapäevatöös erirahvuselistes klassides,

süstides austust ja mõistvat suhtumist kaasõpilastesse. [4]

Arutlus antud alapeatükis illustreeris autori arvates neid paljusid rolle, mida

matemaatika ajalugu mängib matemaatilises hariduses. Samuti vaadeldi selles arutluses

probleeme, mis võivad ette tulla matemaatika ajaloo kasutamisel tunnis. Kõige

arendamine ja juurutamine viib uuringu põhjal meid kahe peamise vajaduseni:

Vajadus kergesti ligipääsetavale materjalile, mis oleksid kättesaadavad nii

õpetajatele kui õpilastele.

Tulevaste õpetajate süstemaatiline ettevalmistus nii õpingute ajal kui õpingute

järgselt.

2.2 Matemaatika ajaloo võimalikud kasutusviisid matemaatikatunnis

Analüüsides, miks peaks matemaatika ajalugu tutvustama matemaatikatundides, jäi

lahtiseks küsimus, kuidas seda reaalselt teha. Kasutatud kirjanduse [4] põhjal oleks seda

kõige parem teha läbi mingi probleemi õpetamise, jälgides samal ajal ajaloolist

lähenemist antud probleemile.

Tegu on kombineeritud lähenemisega õpetamisest ja õppimisest. See ei ole rangelt

deduktiivne ega ka rangelt ajalooline. Põhiseisukohaks on, et teemat õpitakse alles siis,

kui ollakse piisavalt motiveeritud. Õpilane püütakse panna mõistma, et teatud

matemaatilist probleemi ei ole enne võimalik lahendada, kui nad pole uut teooriat või

käsitlust õppinud. Vajaduse tunnetamine moodustabki kogu lähenemise selgroo.

Esitatud vaatevinklist pakub ajalooline taust huvitavaid võimalusi sügavuti aine

mõistmiseks. Programmi täideviimiseks oleks enne vaja, et õpetaja omaks baasteadmisi

käsitletava teema ajaloolisest arengust. Ta peaks suutma identifitseerida kriitilised

sammud (võtmeideed ja küsimused, mis viisid läbimurdeni). Edasi muudetakse kogu

18

materjal sobilikuks klassis kasutamiseks. Rekonstrueeritud sammud esitatakse

ajalooliselt motiveerivate probleemidena nii, et raskusaste oleks järjest kasvav ja iga

järgnev toetuks eelmisele probleemile. Nende ülesannete vorm võib varieeruda lihtsatest

harjutustest kuni avatud küsimusteni. Avatud küsimuste uurimine võiks jääda mõne

uurimistöö või grupitöö sisuks.

Ajaloo juurutamine matemaatilisse haridusse hõlmab endas selgelt teadusliku materjali

kasutamist. Need materjalid võib laias laastus jagada kolme kategooriasse.

a) Algallikad (koopiad originaaldokumentidest).

b) Sekundaarsed allikad (õpikud või teatmikud, milles on sees ajaloolist käsitlust ja

konstrueeritud probleeme).

c) Didaktiline materjal.

Joonis 2.1 illustreerib, kuidas erinevaid materjale omavahel siduda.

Matemaatikaajaloolased on peamiselt huvitatud algallikatest. Õpetajatele võiks rohkem

sobida ajaloolaste kokku pandud sekundaarsed allikad, millest valmib ajaloost

inspireeritud esitus. Kombineerides eelnevat didaktilise materjaliga, saame sobilikud

õppematerjalid tunnis kasutamiseks.

Ajaloost inspireeritud

esitus

ÕPPETÖÖ KLASSIS

Ajaloo kasutamine õppetöös

Didaktiline

materjal

Sekundaarsed

allikad

Algallikad

Joonis 2.1 Ajaloost lähtuva materjali esitamine tunnis

19

2.3 Ideid ja näidiseid ajalooliste materjalide kasutamiseks klassis

Paljud matemaatikaõpikud üle maailma on juba varustatud erinevat liiki ja tüüpi

ajalooliste märgetega. Kogumikus [4] on toodud koos näidetega mitmeid erinevaid

viise, kuidas oleks võimalik matemaatika ajalugu kasutada klassisiseses õppetöös.

Käesoleva töö autor valis neist välja kuus, mida tema arvates on võimalik hetkel

valitsevates oludes õppetöös rakendada. Väljavalitud ideedeks oleksid järgnevad:

1. Ajaloolistel tekstidel baseeruvad uurimistööd

2. Töölehed

3. Ajaloolised probleemid

4. Probleemid, mis on siiani lahenduseta või lahendatud suurte raskustega

5. Näidendid ja filmid

6. Internet ja muu meedia

2.3.1 Ajaloolistel tekstidel baseeruvad uurimistööd

Konkreetseid näiteid uurimistöödest saab hetkel tuua ainult ülikooli astmelt, aga

kasutatavad printsiibid on rakendatavad ka madalamal tasemel. Heaks näiteks siinkohal

on Roskilde Ülikool, millele anti 1972. aastal ülesanne tuua värskust Taani haridusellu.

Roskilde Ülikoolis mängivad rühmatööd matemaatika magistrikraadi omandamisel

keskset rolli. Õpilased veedavad poole oma õpingute ajast väikestes gruppides, töötades

erinevate matemaatika aspektide kallal. Üks projekt kestab tüüpiliselt 1–2 semestrit,

mille lõpuks valmib 70–150 leheküljeline töö, mis kaitstakse vastava eksamikomisjoni

ees. Õpilased peavad tegema kokku kolm projekti, millest ühes peavad nad käsitlema

matemaatika olemust ja loomust. Projekti eesmärgiks on, et iga lõpetaja omaks

vähemalt mingisugustki arusaama, milline osa on matemaatikal üldises kultuuriloos ja

ühiskonnas ning kuidas see on teiste teadusvaldkondadega seotud. [4]

2.3.2 Töölehed

Töölehtede kasutamine on laialt levinud üle maailma. Need on tavaliselt mõeldud kas

individuaalseks tööks või rühmatööks. Töölehti on peamiselt kahte sorti. Esimene neist

sisaldab ülesandeid, et harjutada teatud matemaatilist võtet, teine on varustatud

erinevate küsimustega ja probleemidega, mille läbi tutvustatakse uut materjali.

Tavaliselt võetakse siinkohal arvesse õpilase eelnevaid teadmisi ja abistavad küsimused

20

viivad uue teema põhitulemusteni. Töölehed on mõeldud klassis kasutamiseks. Tehakse

seda paaris või väiksemas grupis õpetaja kaasabiga.

Ülalkirjeldatud teist tüüpi töölehed on eriti sobilikud ajaloo lisamiseks õppetöösse.

Tavaliselt sisaldavad need ühte lühikest ajaloolist probleemi ja juurde on lisatud, mis

kontekstis seda küsimust käsitleti. Järgnevad küsimused eesmärgiga aidata mõista kogu

probleemi sisu. Edasi arutletakse probleemi üle ja võrreldakse käsitlust sel ajal ning

tänapäeval. Lõpuks lahendatakse kas otseselt sellega sarnaseid või käsitletava

probleemiga seotud ülesandeid. Töölehtedele võib lisada vastustelehed, kus antud

teemat on veel põhjalikumalt seletatud. Neid töölehti võib teha nii kindla teema

õppimiseks kui kasutada lisamaterjalina õppekavas käsitletava teema illustreerimiseks.

2.3.3 Ajaloolised probleemid

Matemaatika ajalugu pakub hulgaliselt probleeme, mis võivad olla stimuleerivad ja

produktiivsed nii õpilasele kui õpetajale. Autori arvates sobiksid siinkohal esile tõsta

kolm vanaaja lahendamatut probleemi. Esimene neist on ülesanne ringi kvadratuurist

ehk teiste sõnadega ülesanne konstrueerida antud ringiga pindvõrdne ruut. Sellel

probleemil on pikk ja õpetlik ajalugu, mis seostub hästi arvu π ajalooga. [10]

Umbes 2000 a. eKr väitis vaarao Amenemhet III kroonik Ahmes, et ringi pindala, mille

diameeter on 2r, võrdub ruudu pindalaga, mille külje pikkus on

ringi diameetrist.

Lihtne arvutus näitab, et see väide on ekslik. Tõepoolest, kui

, st kui

, siis

Vale on juba teine arvu π number pärast koma

Võtnud egiptlastelt üle geomeetria, said kreeklased päranduseks ka ülesande ringi

kvadratuurist. Ringi kvadratuuriülesannetega tegelesid filosoofid, sofistid ja

matemaatikud: V sajandil eKr Anaxagoras Klazomenast ja Hippias Elisest; IV sajandil

eKr Hippokrates ja sofist Antiphon ja ka vanaaja suurim matemaatik Archimedes (287–

212 eKr).

Kuigi Archimedesel polnud algebra vahendeid, kasutas ta kavalalt ära 96-nurkse kõõl-

ja puutujahulknurga ümbermõõdu ning jõudis järelduseni, et arv π asetseb vahemikus

21

arvust

kuni arvuni

mis teeb ülemise ja alumise tõkke vaheks (ehk

)

ainult 0,002. Archimedes oli seega π välja arvutanud veaga, mis ei ületa 0,001. [28]

Hilisematel sajanditel tehti samuti korduvalt katset kvadratuuriülesannet lahendada.

Selle kallal murdsid pead Leonardo Fibonacchi (XIII saj.), Francois Viéte (XVI saj.),

Gottfried Wilhelm Leibniz, John Wallis (XVII saj.) ja Leonhard Euler (XVIII saj.).

Selle tulemusena saadi arvule π üha täpsemaid ja täpsemaid väärtusi, eriti pärast

diferentsiaal- ja integraalarvutuste loomist.

Ringi kvadratuuriülesande lahendust ei otsitud ainult Euroopas. India matemaatik

Aryabhata (V saj.) sai π väärtuseks ja Bhaskara (XII saj.) väitis, et

.

Hiinlane Chu Pei Suan (III saj.) määras π väärtuseks 3, tema kaasmaalane Li Hung (VI

saj) arvutas, et

.

„Kvadratistide“ seas peab meenutama kindlasti poola õpetlast Adam Kochanskit (1631–

1700), kuninga Jan Sobieski õukonnamatemaatikut ja raamatukoguhoidjat. Temale

kuulub üks ilusamaid ja kõige lihtsamaid teadaolevaid ringi kvadratuuriülesande

ligikaudsetest lahendustest, mille konstruktsioon ja sammud on toodud lisas 1.

Matemaatikud ei lõpetanud ringi kvadratuuriülesannete lahenduse otsimist. Pariisi

Teaduste Akadeemiale läkitati nii palju “lahendusi“, et 1775. aastal keeldus akadeemia

selleteemalisi saadetisi läbi vaatamast. Alles XIX sajandi teisel poolel tõestasid

matemaatikud prantslane Charles Hermite (1822–1901) ja sakslane Ferdinand von

Lindeman (1852–1939), et ainult sirkli ja joonlaua abil ei ole võimalik ringi

kvadratuurülesannet täpselt lahendada.

Miks on ülesanne sirkli ja joonlaua abil lahendamatu? Kui x on otsitav ruudu külg, siis

ehk . See tähendab, et kui on olemas lõik r (antud ringi raadius),

tuleb joonestada teine lõik korda pikem kui lõik r. Me teame, et π näitab, mitu korda

on ringi ümbermõõt pikem tema diameetrist. Vanaaja õpetlased kinnitasid, et on

ratsionaalarv ja otsisid seda visalt. Tõepoolest, kui on teada lõik r, võib sirkli ja

joonlaua abil joonestada mitte ainult lõigud 2r,

, vaid ka lõigud

(ringjoone sisse joonestatud võrdkülgse kolmnurga, ruudu ja

korrapärase viisnurga küljed). Siiski ei saa joonestada lõiku , sest arv π on

22

Joonis 2.2 Da Vinci konstruktsioon ristküliku

pindalast ruudu pindala saamiseks

transtsendentne, st arv, mis ei ole esitatav ratsionaalsete kordajatega algebralise võrrandi

lahendina. Pärast seda kui Charles Hermite (1822–1901) 1873. aastal tõestas, et e on

transtsendentne, tõestas 1882. aastal seda Ferdinand von Lindemann ka π kohta. Sellest

ajast peale jäeti ringi kvadratuuriülesanne rahule, sest oli täiesti kindlalt teada – sirkli ja

joonlaua abil on seda absoluutselt võimatu täpselt lahendada. Kuid näiteid, kus ülesanne

lahendatakse teatava täpsusega või mille korral kaasatakse täiendavaid vahendeid

praktikas vajaliku täpsuse saavutamiseks, leidub mitmeid. Ühte sobilikest näidetest

mainisime juba eelnevalt ning selle pikem lahenduskäik on toodud lisas üks. Teise

meetodi autoriks on kuulus itaalia teadlane ja kunstnik Leonardo da Vinci (1452–1519).

Leonardo da Vinci märkas, et kui silindri raadius on r ja kõrgus

, siis võrdub selle

külgpindala täpselt põhja pindalaga. Seega tarvitseb vaid vöötada silinder materjaliga,

mille laius on

, et saada ristkülik mõõtmetega 2πr ja

.

Kasutades ära lisas 1 toodud Adam

Kochanski konstruktsiooni on käesoleva

töö autor joonise 2.2 abil proovinud heita

valgust Leonardo da Vinci lahenduse

viimasesse etappi – silindri vööga

pindvõrdse ruudu konstrueerimisse.

Vastavalt teoreemile täisnurkse

kolmnurga kõrgusest on

π

π

Seega

π

π

Konstrueerides nüüd täisnurkse kolmnurga EFG hüpotenuusile ruudu, oleme saanud

ruudu GEHI, mille pindala on võrdne esialgse silindri külgpindalaga ja ühtlasi silindri

põhjaks oleva ringi pindalaga.

Teiseks vanaaja lahendamatuks probleemiks on kuubi duplikatsiooni e. Delose

ülesanne. Selle aluseks on Vana-Kreeka legend, mis jutustab järgmist [10]: Delose

23

saarel võimutsenud kunagi must surm – katk. Hirmunud saarlased tulid saare

kaitsejumala Apolloni templisse, et preestrite suu läbi küsida, kuidas jumalalt armu

saada ja inimesed nakkusest ning surmast päästa. Apollon nõudis, et suurendataks

templi kuubikujulist ohvrialtarit täpselt kaks korda. Inimesed panid templisse teise

täpselt niisama suure kuubikujulise altari, kuid must surm jätkas laastamistööd. Selgus,

et Apollon oli nõudnud muud: altarit oli vaja küll kaks korda suurendada, kuid nii, et

tema geomeetriline kuju jääks muutumatuks.

Matemaatilistes sümbolites võime ülesande kirja panna järgnevalt: ehk

, kus a on antud kuubi külg ja x kuubi külg, mille

ruumala on kaks korda suurem kui antud kuubil.

Antud tingimustel on Delose ülesande täpne lahendamine sirkli

ja joonlaua abil võimatu, sest Delose konstant

ei osutu

ühegi ruutvõrrandi lahendiks. Selle näitamine võttis siiski üle

2000 aasta aega. Esimese tõestuse konstrueeris Renè Descartes

(1596–1650) alles aastal 1637. [32]

Sellest hoolimata leidub näiteid, kuidas antud probleemi püüti

lahendada teiste meetoditega. Platon olevat kasutanud joonisel

2.3 kujutatud „ristjalga“. Ristjalg tuleb konstrueerida selliselt,

et üks õlg läbib ristjala tippu C, teine tippu B. Siis lõik OB = x. Saadud küljega kuubi

ruumala on kaks korda suurem antud esialgse kuubi ruumalast .

Tõepoolest, täisnurksetest kolmnurkadest EBC ja BCF (vt. joonist 2.3) järeldub, et

(1)

ning

(2)

Esimesest võrdusest saame

. Asendades selle y väärtuse võrdusesse (2), saame

ehk .

Sel viisil võimaldas Platoni ristjalg leida lõikude a ja 2a vahel kaks keskmist võrdelist

lõiku x ja y, kuna võrrandeid ja võib esitada suhetena

Joonis 2.3 Platoni ristjalg

24

See oli kooskõlas Hippokratese tõestusega, kes kinnitas, et antud kuubi ruumalast kaks

korda suurema ruumalaga kuubi külje leidmine tähendab kahe keskmise võrdelise

määramist. [10]

Teise näitena võib tuua Ateena matemaatiku Menaichmose (IV sajand eKr), kes püüdis

Delose ülesannet lahendada kahe parabooli abil (joon 2.4). Nüüdisaegset sümboolikat

kasutades võib tema lahenduse esitada järgmiselt

I parabooli võrrand on: (A);

II parabooli võrrand on: (B).

Et leida nende paraboolide lõikepunkti M koordinaate,

on vaja lahendada võrranditest (A) ja (B) koosnev

süsteem. Saame Järelikult osutub punkti M

abstsissiks niisuguse kuubi külg, mille ruumala on kaks

korda suurem antud kuubi ruumalast.

Kolmas ülesanne, mille vana maailma matemaatikud

järeltulijatele lahendamatuna pärandasid, on ülesanne

jaotada nurk ainult sirkli ja joonlaua abil kolmeks võrdseks

osaks e. nurga trisektsioon. [10] Esimesel pilgul tundub

see ebatavaliselt lihtne olevat. Tõepoolest, mõningaid

nurki, näiteks täisnurka, on väga kerge kolmeks võrdseks

osaks jaotada (joonis 2.5).

Pütaagorlased, kes tegelesid korrapäraste hulknurkadega, proovisid ka nurka suurusega

120° kolmeks võrdseks osaks jaotada, kuna see oleks

võimaldanud ehitada korrapärase üheksanurga, kuid tihti

võeti ligikaudne jaotus täpse pähe.

Ükskõik missuguse nurga ligikaudu kolmeks jaotamiseks

on välja mõeldud mitmeid meetodeid. Ühe neist, mis

põhineb hiljem kvadratrissiks nimetatud kõveral, võttis

kasutusele Hippias Elisest (V saj. eKr).

Joonis 2.4 Menaichmose lahendus Delose ülesandele

Joonis 2.5 Täisnurga

jaotamine kolmeks

võrdseks osaks

Joonis 2.6 Kvadratriss ja selle joonestamine

25

Joonis 2.7 Nurga α jaotamine

kolmeks kvadratrissi abil

Joonisel 2.6 on näidatud kvadratriss ja selle joonestamisviis. Kvadratriss moodustub

kahe ühtlase liikumise tulemusena. Ruudu ABDC külg CD, säilitades paralleelsuse

esialgse asendiga, nihkub ühtlaselt külje AB suunas; samaaegselt külg (raadius) AC

pöördub ümber punkti A (vaata noolt).

Sel ajal, kui külg CD nihkub ühtimiseni küljega AB, pöördub raadius AC nurga °

võrra ühtimiseni küljega AB. Külje CD ja raadiuse AC lõikepunktide hulka nimetatakse

kvadratrissiks. Kuna mõlemad liiguvad ühtlase kiirusega, peab jääma nende

liikumiskiiruste suhe samaks. See tähendab, et nurga α suhe nurka π

on sama, mis

punkti P kauguse suhe küljest AB külje AC pikkusesse. Kui võtta kasutusele tähistused

, mis on kvadratrissi punktide P kaugus poolusest A, a = CD on ruudu külg ja α

on polaarnurk, siis

millest saame kvadratrissi võrrandi

Nurga α muutumisel 0 kuni π

kirjeldab polaarraadiuse otspunkt P kvadratrissi. Seejuures

tuleb meeles pidada, et α

α , kui .

Oletame nüüd, et mingi nurk α tuleb jagada kolmeks

võrdseks osaks. Asetame nurga α ühe haara ruudu küljele

AC ja lõigaku nurga α teine haar AE kvadratrissi punktis

F. Tõmbame sirgega AB paralleelse sirge FS (joonis 2.7).

Lõigu DS jaotame kolmeks võrdseks osaks ja läbi

jaotuspunktide tõmbame sirgega AB paralleelsed sirged.

Punktides, kus need paralleelid lõikuvad kvadratrissiga,

tõmbame sirged pooluseni A (joonestame raadiuse r). Need sirged jaotavad nurga α

ligikaudselt kolmeks võrdseks osaks.

Me ei selgita siinkohal täpsemalt ülalkirjeldatud kõvera kasutamist ükskõik missuguse

nurga kolmeks võrdseks osaks jaotamisel, vaid vaatlesime üht meetodit nurga

ligikaudseks trisektsiooniks.

26

2.3.4 Probleemid, mis on siiani lahenduseta või lahendatud suurte raskustega

Arvuteooria hüpoteese, mis esimesel pilgul tunduvad väga lihtsad, on mõnikord

erakordselt raske tõestada. Niisuguste hulka kuulub ka tuntud prantsuse matemaatiku

Pierre de Fermat` (1601–1665) suur teoreem, mis kujutab endast Pythagorase teoreemi

üldistust: kui , siis võrrandil ei ole positiivseid täisarvulisi

lahendeid. [1], [10] Leonhard Euler (1707–1783) tõestas, et võrrandid ja

ei oma nullist erinevaid naturaalarvulisi lahendeid. Adrien Marie

Legendre (1752–1833) ja Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805–1859) tõestasid, et ka

võrrand ei oma positiivseid täisarvulisi lahendeid. Gabriel Lamé (1795–

1870) tõestas Fermat´ teoreemi n = 7 korral.[10]

XIX sajandi keskpaiku õnnestus Ernst Eduard Kummeril (1810–1893) tõestada Fermat`

teoreem kõikide korral. [10] 1995. aastal suutis lõpuks Andrew John Wiles

tõestada teoreemi ka üldjuhul. [1] Enam kui kolmsada aastat kestnud otsingud olid

selleks korraks lõppenud.

Kindlasti käib siia alla süütu olemusega Goldbachi hüpotees – oletus, mille kohaselt iga

arvust 2 suurem paarisarv peaks olema esitatav kahe algarvu summana. Seni on see

hüpotees kõigi paarisarvude jaoks veel tõestamata, samuti nagu ka Goldbachi teine

oletus, mille kohaselt iga arvust 2 suurem paaritu arv peaks olema kas algarv või siis

esitatav kolme algarvu summana [1].

2.3.5 Näidendid ja filmid

Näidendeid kasutatakse hariduses tavaliselt mingi inimliku situatsiooni väljenduseks, et

ilmutada moraalseid, eetilisi ja sotsiaalseid väärtusi. Seetõttu ei seostata neid kuidagi

matemaatikaga. Matemaatika ajalugu pakub siiski võimaluse kasutada näidendites

peituvat ära huvi tekitamiseks matemaatika õppimise vastu ning seda on tehtud nii

Itaalias kui Kreekas.[7],[21]

Näidendeid võib luua, et taas läbi elada matemaatiku elu minevikus ja näidata seeläbi

matemaatilise tegevuse inimlikku poolt. Itaalias viidi taoline eksperimendt läbi

keskkooli õpilastega, et julgustada neid matemaatikat õppima, näidates episoode Galois

tormilisest ja lühikesest elust. [23] Kreekas korraldatakse koolides õpilaste, õpetajate ja

vanemate osavõtul toimuvaid teatriõhtuid. [7] Tuginevad need Vana-Kreeka tekstidele

27

ja õpikutest pärit olevatele ajaloolistele kommentaaridele. Tekkinud tunded on siiski

veel vastandlikud: Ühest küljest on tegu õpilaste jaoks väga motiveeriva üritusega, kuid

teisest küljest arvasid paljud õpetajad, et tegu ei ole matemaatilise tegevusega.

Näidendeid võib luua ajaloost tuntud probleemide paremaks visualiseerimiseks.

Siinkohal keskendutakse mitte niivõrd inimlikule poolele kui just matemaatilisele

poolele. Neid näidendeid võib teha eraldi klassiga või läbi mitme õpetaja koostöö, et

sisu oleks mõjukam.

Matemaatika ajalooga seotud filmid võivad anda väga hea ülevaate matemaatika

kultuurilisest ja sotsiaalsest kontekstist. Suurbritannias valmis Open University poolt

neljaosaline teleseriaal „Story of maths“. Oxfordi Ülikooli professor Marcus du Sautoy

võtab selles neljaosalises sarjas kokku matemaatika arengu alates Egiptusest ja

lõpetades tänapäevaga. [4] 1996. aastal valmis Simon Singhi ja John Lynchi poolt

dokumentaalfilm Fermat` teoreemi ajaloost ja lahendamisest. Alejandro Amenábari

poolt valmis 2009. aastal Alexandrias tegutsenud kuulsa naismatemaatiku Hypatia

elulugu kirjeldav film „Agoraa“.

2.3.6 Internet ja muu meedia

Ajaloolist informatsiooni ei leidu ainult raamatutes ja filmides. Tänapäeval võib seda

leida internetis, CD-l ja DVD-l. Internetist on saanud oluline allikas neile, kes on

huvitatud matemaatika ajaloost. Selle teema kohta leidub sadu lehekülgi, kuid tavaliseks

probleemiks jääb ikka usaldatavus. Parimaks nõuandeks võikski olla: „Usalda, aga

kontrolli.“ [4]

Toome siinkohal ära mõned näidislehed, mis võivad olla kasulikud. Siiski peab meeles

pidama, et lehtede aadressid muutuvad aeg-ajalt ja nende leidmiseks on mõnikord vaja

kasutada otsingumootori abi. [4] Viimati toiminud aadressid on autori poolt toodud ära

kasutatud kirjanduse juures soovitusliku materjali all.

Hea koht alustamiseks on „The MacTutor History of Mathematics archive“. Siin leidub

väga palju materjali, kuid kõige väärtuslikum on nende suur kogu matemaatikute

elulugudest. See hõlmab endas autobiograafiat, fotosid ja väga sageli nende materjale.

David R. Wilkinsi poolt avatud leht „The History of Mathematics“ on hea näide, mida

annab internetis teha. Sellelt leheküljelt võime leida enamik George Berkeley, William

28

Hamiltoni ja Bernard Riemanni töid. Lisaks veel materjale George Boolelt, Isaac

Newtonilt ja Georg Cantorilt. Inimestele, kes otsivad algallikaid, on see aardekirstuks.

Antud lehele on lisatud veel viiteid teistele lehtedele, mis tegelevad matemaatika

ajalooga.

Järgnevat kahte lehte haldab Floridas töötav matemaatikaõpetaja Jeff Miller. Esimene

kannab nimetust „Earliest Uses of Various Mathematical Symbols“. See lehekülg

tegeleb matemaatikas kasutatavate sümbolite ajalooga. Teine lehekülg „Earliest Known

Uses of Some of The Words of Mathematics“ tegeleb matemaatika terminite ajaloo

uurimisega. Mõlemad leheküljed sisaldavad materjale, mida võib tunni ilmestamiseks

kasutada. [4]

29

3. AJALOOLINE KÄSITLUS KITSA MATEMAATIKA

KURSUSTEL

Aastal 2010 jõustus meie uus “Gümnaasiumi riiklik õppekava”, mis rõhutab mitmes

punktis matemaatika ajaloo elementide tutvustamise olulisust, kuid ei anna autori

arvates ühtegi sisulist soovitust selle täideviimiseks. [6] Järgnevas peatükis on

kirjeldatud autoripoolne nägemus, kuidas saaks matemaatika ajaloo abil erineval moel

rikastada uues õppekavas olevaid kitsa matemaatika kursuseid.

3.1 Ajaloost inspireeritud sissejuhatus teemasse

Väärtuste omistamine meid ümbritseva maailma objektidele, sündmustele ja nähtustele

algab nende märkamisest. Edasi järgneb valmisolek reageerida vajalikul viisil, millega

kaasnev rahulolu tundmine aitab kaasa väärtustava suhtumise kujunemisele.[11]

Matemaatikapädevus hõlmab ka huvi matemaatika vastu, matemaatika sotsiaalse,

kultuurilise ja personaalse tähenduse mõistmist. [25] Selle saavutamiseks peame autori

arvates esmalt tagama, et õpilane märkaks matemaatika olulisust teda ümbritsevale

sotsiaalsele ja kultuurilisele keskkonnale. Siinkohal võib matemaatika ajaloost olla suur

abi. Järgnevalt on toodud kolm näidet, kuidas ajalugu kasutades on võimalik teha

huvitav sissejuhatus uude teemasse ning rõhutada matemaatika olulisust tervele

ühiskonnale.

3.1.1 II kursus „Trigonomeetria“

Siinusfunktsiooni ajalugu ulatub tagasi Vana-Kreeka

astronoomi Hipparchuse (190–120 eKr) aega.

Sarnaselt teiste Kreeka astronoomidega, soovis temagi

leida mudelit, mis kirjeldaks tähtede ja planeetide

liikumist taevas. Taevast kujutati ülisuure sfäärina ja

tähtede asendit täpsustati nurkadega. Kuid nurkadega

töötamine osutus üpris keerukaks ning mugavamaks

kasutamiseks seoti need konkreetsete lõikudega.

Vastavaid lõike hakati kutsuma kõõludeks. Nagu näha joonisel 3.1, määrab kesknurk β

mingis fikseeritud raadiusega ringjoones lõigu, mida kutsume nurga β kõõluks.

Kasutades kõõle, oli võimalik arvutada tähtede ja planeetide hetkelisi ja tulevasi

positsioone.[3]

Joonis 3.1 Kõõl

30

Hipparchus uuris ringjoont raadiusega 3438 ühikut. Sel juhul on ringjoone ümbermõõt

väga lähedal 21600 ühikule. Kuna , siis järelikult ühele ühikule

ringjoone ümbermõõdust vastab nurga suurus 60 minutit. Ta koostas neist lõikudest

tabeli, mis kahjuks ei ole tänaseni säilinud. Seetõttu ei saa me teada, kuidas täpselt

nende kõõlude pikkused leiti. Hipparchuse töödest teame tänu teiste Kreeka

matemaatikute poolt tehtud viidetele.[3]

Kõige tuntumaks Vana-Kreeka astronoomiks oli kindlasti Klaudios Ptolemaios (85–

165). Tema teost „Almagest“ võime lugeda kõõlude teooria alguseks. Raamatu esimene

peatükk ongi pühendatud kõõludega seotud põhiteoreemide tõestamisele. Lisaks

teoreemide tõestamisele kirjeldas Ptolemaios, kuidas koostada kõõlude tabelit.

Alustades üksikutest täpsetest tulemustest, tuletas ta meetodi, mis võimaldas arvutada

ligikaudsed kõõlude pikkused nurkadele

° kuni °. [3]

Järgmine tähtis samm tehti Indias V sajandi esimesel poolel kui koostati poolkõõlude

tabelid. See peegeldab tähtsat tähelepanekut. Kõõl võib

olla kõige lihtsam meetod, kuidas siduda lõiku nurgaga,

kuid sageli on hoopis vaja kasutada kahekordse nurga

poolt kõõlu. Ilmneb, et India astronoomid mõistsid seda

ning läksid üle kõõlude arvutamiselt poolkõõlude

arvutamisele. [3]

Nagu näha jooniselt 3.2, on India matemaatikute

poolkõõl sama, mis meie siinus, ainult ühe vahega.

Meie jaoks on siinus nurgast selle poolkõõlu ja ringjoone raadiuse suhe. Nende jaoks oli

siinus kindla pikkusega lõik kindla raadiusega ringjoones. Tulemuste arvutamisel pidid

India matemaatikud kindlasti arvesse võtma ringjoonte raadiuste erinevusi. Varajased

India tabelid näitavad, et arvutusteks kasutati ringjoont raadiusega 3438, mis viitab

Hipparchuse mõjudele. [3]

Peaaegu alati jõudsid India matemaatikute ideed Euroopasse läbi araablaste. Nii oli see

ka poolkõõlude teooriaga. Araablased õppisid astronoomiat hindudelt ja selle käigus

lisasid juurde veel oma ideid. Nad ühendasid trigonomeetria ja algebra, täiendasid

poolkõõlude arvutusmeetodit ja tõid omalt poolt sisse „varju“ funktsiooni, mis vastab

Joonis 3.2 Poolkõõlud

31

tänapäeval meie tangensile. Araablaste trigonomeetria muutus tegelikult seeläbi üpris

keeruliseks. [3]

Kui eurooplased selle materjali avastasid, tekkis nagu tavaliselt suur tung neil seda

tõlkida ja õppida araablaste töödest. Kui jõudis kätte aeg tõlkida araablaste jiba, mis oli

araablaste poolkõõlude tabeli nimi, tegid euroopa tõlkijad vea. Araabia sõnad

kirjutatakse sageli ilma täishäälikuteta, mistõttu tõlkijad nägid tekstis ainult tähti jb.

Oletati, et tegu on Araabia sõnaga jaib, mis tähendab abajat või lahte. Ladinakeelseks

vasteks valitigi sinus. Seega tuli laialt kasutatav termin käibele tänu väikesele

tõlkeveale. [3]

Kuni XVI sajandini oli osa matemaatikast, mida me tänapäeval kutsume

trigonomeetriaks, osake astronoomiast. Alates XVI sajandist muutus trigonomeetria

iseseisvaks uurimisobjektiks. Selle perioodi tähtsamaks trigonomeetriliseks tööks sai

Johannes „Regiomontanus“ Mülleri (1436–1476) raamat „Igasugustest kolmnurkadest“.

Raamat ise avaldati mitmeid kümnendeid hiljem. Kuigi Müller teadis kindlasti läbi

araablaste tööde tangensfunktsiooni olemasolust, kasutas ta oma raamatus ainult siinust.

Mülleri töös ei ole siinus ikka veel suhe vaid kindla pikkusega lõik nagu hindudel.[3]

Oleme vaadelnud juba siinuse ja tangensi teket, aga kas on midagi teada koosinusest?

Väga sageli kasutati nurga täiendusnurga siinust, st

(vt. joonis 3.3). Selle ajani ei olnud keegi

veel antud suurusele leidnud sobivat nime. Kutsuti seda

lihtsalt sinus complementi ehk „täienduse siinuseks“.

Järgmiseks sajandiks oli sinus complementist saanud co.

sinus ja lõpuks cosinus.[3]

Regiomontanuse tööd avaldasid suurt mõju

trigonomeetria arengule. Järgneva kümnendi jooksul

ilmus palju samateemalisi töid. George Joachim

Rheticus (1514–1574) selgitas, kuidas on võimalik siinust ja teisi funktsioone

defineerida ainult täisnurkset kolmnurka kasutades. Thomas Fincke (1561–1613) leiutas

sõnad tangens ja seekans. Palju ilmus lihtsalt Regiomontanuse tööde ümbertöötlusi,

kuni lõpuks tuli läbimurre Bartholomeo Pitiscuse (1561–1613) tööga.[3]

Joonis 3.3 Koosinus

32

Bartholomeo Pitiscus leiutas sõna trigonomeetria, mida ta kasutab oma 1595. aastal

trükitud raamatu pealkirjas. [3] Sõna trigonomeetria tuleneb kreeka keelest, sõnadest

trigonon (kolmnurk) ja metreo (mõõdan). [29] Lisaks astronoomiale kirjeldab Pitiscus

oma raamatus, kuidas kasutada trigonomeetriat, et lahendada igapäevaseid

kolmnurkadega seotud praktilisi probleeme. Pitiscuse töö näitab, et trigonomeetria oli

muutunud astronoomia abiosast matemaatika haruks, millel oli palju erinevaid

rakendusi.

Trigonomeetria oli populaarne samuti 17. sajandil, kuid kõik erines sellest, mida me

õpime tänapäeval. Siinus oli ikka veel kindla pikkusega lõik kindla raadiusega

ringjoones, mitte suhe ja keegi ei olnud veel mõelnud siinusest kui funktsioonist selle

tänapäevases mõttes. Kõik see juhtus peale matemaatilise analüüsi leiutamist ning pandi

lõplikult paika Leonhard Euleri (1707–1783) poolt 18. sajandil. Tänu tema töödele

läheneme me trigonomeetriale nii nagu me teeme seda tänapäeval.[3]

3.1.2 IV kursus „Tõenäosus ja statistika“

Tõenäosusteooria ja kombinatoorika tekkisid XVI sajandil. Tolleaegse ühiskonna

priviligeeritud kihtide elus etendasid suurt osa hasartmängud. Kaardi- ja täringumängus

võideti ning kaotati kulda ja briljante, losse ja mõisaid, tõuhobuseid ja kalleid ehteid.

Väga populaarsed olid igasugused loteriid. Endastmõistetavalt puudutasid

kombinatoorikaülesanded esialgu peamiselt hasartmänge, nimelt küsimusi, mitmel viisil

võib saada teatud arvu silmi, kui heita kahte või kolme täringut, või mitu võimalust on

saada kaks kuningat ühes kaardimängus. Need ja teised probleemid arendasid

kombinatoorikat ja samaaegselt kujunevat tõenäosusteooriat. [31]

Esimeste seas hakkas täringumängus tekkivate kombinatsioonide loendamisega

tegelema itaalia matemaatik Niccolò Fontana Tartaglia (1499–1557). Ta koostas tabeli,

mis näitas, mitmel viisil võivad langeda r täringut. Seejuures ei arvestatud ta aga seda,

et ühe ja sama silmade summa võib saada mitmel viisil (näiteks 1+3+4 = 4+2+2).

Teoreetiliselt hakkasid kombinatoorikat uurima prantsuse teadlased Blaise Pascal

(1623–1662) ja Pierre de Fermat (1601–1665). Nende uurimiste lähtekohaks olid samuti

hasartmängude probleemid. [31] Tõenäosusteooria ja kombinatoorika algusloo kohta on

liikvel huvitav legend, mille kohaselt kirglik hasartmängija markii Chevalier de Méré`le

(1607–1684) hakkas järsku enda loodud reeglitega täringumängus pidevalt kaotama.

33

Probleemile lahenduse leidmiseks otsustas ta kirjutada ühele oma sõbrale, kes ei olnud

keegi muu kui Blaise Pascal (1623–1662). See 17. sajandil kirjutatud murekiri pani

aluse tõenäosusteooria arengule. Nende ülesannete lahendamiseks asus Pascal uurima

tõenäosuse ja mängu õnne printsiipe ning pöördus abi saamiseks teise kuulsa

matemaatiku Pierre de Fermat (1601–1665) poole. [30], [8]

Oma kirjas kurtis Chevalier de Méré Blaise Pascalile, et täringutepaar, mis oli sisse

toonud hulgaliselt raha, on hakanud nüüd järsku pidevalt kaotama. Algupäraselt oli

kihlveo tingimuseks, et mängija suudab ühe täringu veeretamisel nelja viskega saada

vähemalt ühe kuue. Kirja autorile tundus loogiline, et taolise kihlveoga peaks rohkem

võitma kui kaotama ning aja jooksul saadud võidud aina süvendasid seda uskumust.

Kihlvedusid ei jätkunud kuigi kauaks. Pidevad võidud kahandasid kiiresti nende

inimeste arvu, kes oleksid nõus kihlvedu vastu võtma. Seetõttu oli Chevalier de Méré

sunnitud mängureegleid muutma. Uueks kihlveotingimuseks sai, et 24 viskega suudab

ta visata vähemalt üks kord täringupaari silmade summaks 12. Ta oli õppinud, et siingi

peaks võimalused tema kasuks olema. Võrdsete summade puhul oli kahjuks tegu

kaotatud kihlveoga. Miks siis see kihlvedu ei tööta?[8]

Tõenäosusteooria puudumisel proovis Chevalier de Méré leida küsimusele vastust,

sooritades selleks suure hulga viskeid ja uurides silmade tuleku sagedusi. Pascal lisas

kirjas Fermat`ile selle kohta asjaliku märkuse: „Kuigi de Méré on tore inimene, ei ole ta

matemaatik ja nagu sa tead, on see suur viga.“

On ilmne, et esimest tüüpi panuse puhul leidis de Méré, et tal on esimesel viskel võrdne

võimalus kõigi täringu peal oleva kuue numbri veeretamiseks. Kuue tuleku tõenäosus,

nagu iga teise silmade arvu puhul, on

. Nelja viske puhul paistis talle, et tõenäosus läks

samuti neli korda paremaks, olles seega

või

. See ütles Chevalier de Méré´le, et ta

võidab iga kaotatud kihlveo kohta kaks, mis pidi virtuaalselt kindlustama talle suure

kasumi. Need arvutused ja järeldused, milleni jõuti, on siiski valed. Enne tõeseid

arvutusi vaatame, kuhu see viib meid Chevalier de Méré teise kihlveo puhul. Summa 12

võib tulla ainult siis, kui me saame mõlema viske korral silmade arvuks kuus. Kuna

mõlema tõenäosus on

, siis 12 tuleku tõenäosus on

. Viga tuleb loogikasse

sisse, kui korrutada

nüüd 24 ja öelda, et peale 24 viset on tõenäosus 12 tulekuks

34

vähemalt

või

. Need arvutused viisid eksitavale järeldusele, et teine kihlvedu on

täpselt sama hea kui esimene. Siiski see nii ei ole.[8]

On kerge näidata, et sellel arutlusel on midagi viga. Rakendame seda esimesele juhule

ja näeme, et veeretades täringut kuus korda nelja asemel, on kuue tuleku tõenäosus

. See tähendab, et kuue veeretamisega seerias on üks kord kuue tulek kindel

sündmus. Samas on selge, et kindlasti leidub selliseid juhuseid, kus kuue viske peale ei

saada ühtegi kuut.

Leidmaks tõenäosusi neile „vähemalt üks“ ülesannetele, on kõige mõtekam läheneda

ülesandele lõpust. Kõikide juhtude tõenäosuste summa peab kokku olema 1. Seega

saame leida kuue tuleku tõenäosuse vaadeldes juhtu, kus ei ole ühtegi kuute.[8]

Kuna ainult ühel juhul kuuest võib tulla täringu silmade arvuks 6, siis viiel juhul kuuest

on tegu ebaõnnestumisega. Ebaõnnestumise tõenäosus on siis

. Võttes arvesse, et iga

viske jaoks on ebaõnnestumise tõenäosus

, siis korrutame need ja saame, et neljal

korral ebaõnnestumise tõenäosuseks tuleb

. Võidu tõenäosuseks

tuleb

. Chevalieri võiduvõimalused esimeses mängus ei olegi

tegelikult nii head, kui esmapilgul paistis, kuid siiski piisavad, et kasumisse jääda. [8]

Teise mängu puhul peame esmalt vaatama, kui suur tõenäosus on ebaõnnestuda ühe

viskega visata silmade arvuks 12. Selleks saame

. Kahekümne neljal korral

ebaõnnestumise tõenäosus on

Võidu tõenäosuseks oleks

Järelikult kihlvedu, mis paistis Chevalier de Méré jaoks sama hea, toob talle tõesti

rohkem kahju kui kasu. Samas kui ta oleks natukene muutnud oma kihlveo tingimusi ja

otsustanud teha ühe viske rohkem, oleks võidu tõenäosus

35

Siinkohal oleks ta jäänud nulli või saanud isegi natuke kasumit.

Tõenäosusteooriaga tihedalt seotud matemaatikaharu on statistika. Statistika on sõna,

mida mõistetakse väga erinevalt ning sageli kasutatakse seda seal, kus on vaja kinnitust

muidu kahtlust tekitavale arvamusele. Me kasutame seda sageli, et viidata infole, eriti

numbrilisele infole. Statistikal on tegelikult pikk ajalugu, kuid eriliselt puhkes see

õitsele 20. sajandi esimesel poolel. [3]

Numbrilise info kogumine nagu karja suurus, vilja varud, armee tugevus, on tegelikult

väga iidne traditsioon. Taolisi nimekirju võib leida väga vanade tsivilisatsioonide

ülestähendustest. Need olid kasutusel sõjaväeliste ja poliitiliste juhtide poolt, et

ennustada ja valmistuda võimalikeks näljahädadeks, sõdadeks ja poliitiliseks

võimuvõitluseks. Sõna statistika pärineb inglise keelsest sõnast „state“ ning tähendab

seisundit. See võeti käibele 18. sajandil kirjeldamaks teaduslikku uuringut erinevatest

seisunditest. Üsna kiiresti pöörati valitsuse suurest huvist tingitult pilgud poliitikat

mõjutavate ja rahvastikku puudutavate andmete peale.

Andmete kogumine on kestnud nii kaua, kui on eksisteerinud valitsused. Mõned

õpetlased näevad isegi arvusüsteemi tekkimise põhjusi tarvidusest neid andmeid üles

märkida. Kuid alles viimastel sajanditel on inimesed hakanud mõtlema, kuidas neid

andmeid analüüsida ja tõlgendada. [3]

1662. aastal avaldas Londoni poeomanik John Graunt (1620–1674) pisitrükise, kus ta

oli kokku kogunud andmed Londonis ajavahemikul 1604–1661 aset leidnud matustest.

Ta tegi mõningaid vaatlusi ning märkas, et mehi sünnib rohkem kui naisi ning naised

elavad kauem kui mehed. Lisaks on aastane surmade arv (välja arvatud epideemia

aastal) peaaegu konstantne. Neid tabeleid hakati kutsuma „Londoni elu tabeliteks“.

John Graunt lõi koos oma sõbra William Pettyga (1623–1687) matemaatilise haru

nimega „Poliitiline aritmeetika“. Sisuliselt tähendas see info saamist rahvastiku kohta.

Esialgu analüüsisid nad näiteks arveid, mis esitati peredele matuse korraldamise eest.

Nende lähenemine oli väga pinnapealne ja ei andnud piisavalt usutavaid tulemusi.

Seetõttu hakati otsima paremaid matemaatilisi vahendeid, et andmeid töödelda. [3]

Näiteks avaldas inglise astronoom Edmund Halley (1656–1742) (kelle järgi on nime

saanud kuulus komeet) 1693. aastal täiendatud matustetabeli, mis pani aluse

36

tänapäevasele kindlustustööstuse tekkele. Selle järgi hakati arvutama erinevate

kindlustustega seotud riske.

18. sajandi esimesel poolel arenesid statistika ja tõenäosusteooria koos. Esimene teos,

kus neid mõlemat koos käsitleti, oli 1713. aastal avaldatud Jakob Bernoulli „Ars

Conjectandi“. Esimesed kolm raamatut selles neljaosalises sarjas käsitlesid populaarsete

hasartmängude kombinatoorikat ja tõenäosusteooriat. Neljandas osas pakkus Bernoulli

välja kombinatoorika ja tõenäosusteooria ideedele uusi rakendusi poliitikas, majanduses

ja isegi moraalsuse hindamisel. See tõstatas üles olulise küsimuse: Kui palju andmeid

on vaja koguda, et me saaksime olla kindlad tehtavate järelduste õigsuses? (Näiteks

mitut inimest peab küsitlema, et teha järeldusi eesolevate valimiste kohta.) Bernoulli

näitas, et mida suurem on andmete arv, seda tõenäolisem, et tehtavad järeldused on

õiged. Täpsemalt kutsutakse seda tänapäeval „Suurte arvude seaduseks“. [3]

Andmete usaldatavus oli 18. sajandi Euroopas tähtsaks probleemiks nii teaduses kui

kaubanduses. Astronoomidel oli näiteks tuhandeid vaatlusandmeid planeetide orbiitide

ja liikumise kohta. Samas olid need ebatäpsed ja seetõttu ei saanud neid hästi kasutada

erinevate vahemaade arvutamiseks, mis merel navigeerimiseks oleks olnud vajalik.

Samasugune probleem ilmnes Maa kuju määramisega. Näiteks käisid vaidlused selle

üle, kas Maa oli kergelt lapik poolustelt (nagu Newton pakkus) või ekvaatori lähedalt

(nagu pakkus Pariisi kuningliku observatooriumi direktor).

Selle probleemi lahendamiseks vajati esmalt veel rohkem matemaatikat. Täpsemalt oli

vaja tõenäosusteooria arendada välja nii, et seda saaks edukalt rakendada praktiliste

küsimuste lahendamiseks. Seda tegid mitmed autorid läbi 18. sajandi ja

kulminatsioonipunkt saabus 1812. aastal Pierre-Simon Laplace (1749–1827) poolt

avaldatud hiiglasliku mahuga raamatus „Analytical Theory of Probabilities“. Kuid

Pierre-Simon Laplace ei olnud ainuke suurepärane matemaatik 19. sajandi

Prantsusmaal. Aastal 1805 avaldas Adrien Marie Legendre (1752–1833) üldisest

andmete hulgast usaldatava informatsiooni eraldamiseks meetodi, mida ta nimetas

„vähimruutude meetodiks“. Johann Karl Friedrich Gauss (1777–1855) ja Pierre-Simon

Laplace kasutasid iseseisvalt tõenäosusteooriat selle meetodi õigustamiseks. 19. sajandi

edenedes levis Legendre meetod üle Euroopa ning muutus laialt kasutatavaks. [3]

37

Tänapäeval ei peeta statistikat enam üheks matemaatika haruks, kuigi selle juured on

tugevalt matemaatilised. Mõne sajandiga on lihtsatest matemaatilistest küsimustest

õitsele puhkenud täiesti iseseisev teadusharu oma eesmärkide ja standarditega.[3]

3.1.3 V kursus „Funktsioonid I“

Kitsa matemaatika V kursuse üks õpitulemustest nõuab, et kursuse lõpus õpilane suudab

selgitada logaritmi mõistet ja selle omadusi ning logaritmib ja potenseerib lihtsamaid

avaldisi. [6] Logaritmi teema sissejuhatuseks ja seostamiseks matemaatikateaduse

arenguga on üks väga hea lugu, mida koolis vähe räägitakse.

Milleks on logaritmid välja mõeldud? Muidugi arvutuste kergendamiseks ja

kiirendamiseks. Esimese logaritmide tabeli leiutaja John Napier (1550–1617) räägib

oma ajenditest järgmist: „Ma püüdsin, nii kuidas võisin ja oskasin, vabaneda arvutamise

raskusest ja igavusest, mille tüütus peletab tavaliselt üsna paljusid matemaatika

õppimisest eemale“. [21] Pierre-Simon Laplace ei kirjutanud asjatult, et logaritmide

leiutamine, lühendades mitme kuu töö mõnele päevale, just nagu kahekordistab

astronoomide eluiga. Suur matemaatik kõneleb astronoomidest, kuna neil tuleb teostada

eriti keerukaid ja väsitavaid arvutusi. Kuid tema sõnad kehtivad täie õigusega kõigi

kohta, kellel tuleb tegeleda arvutamisega. Meil, kes me oleme harjunud logaritme

kasutama ja nendega oma arvutusi lihtsustama, on raske kujutleda seda hämmastust ja

vaimustust, mille kutsus esile logaritmide ilmumine. Napier´iga samal ajal elanud

Henry Briggs (1561–1630), kes hiljem sai kuulsaks kümnendlogaritmide leiutamisega,

saanud Napier`i teose, kirjutas: “Oma uute ja imetlusväärsete logaritmidega pani Napier

mind intensiivselt tööle niihästi pea kui ka kätega. Ma loodan teda suvel näha. Mitte

kunagi pole ma lugenud raamatut, mis oleks mulle rohkem meeldinud ja mind enam

hämmastusse viinud“. [21] Briggs teostas oma kavatsuse ja sõitis Šotimaale, et

külastada logaritmide leiutajat. Kohtumisel ütles Briggs: „Ma võtsin selle pika reisi ette

ainsa sihiga näha teid ja teada saada, milline teravmeelsuse ja teaduse relv viis teid

esimesele mõttele logaritmidest –– suurepärasest abivahendist astronoomidele. Muide,

nüüd imestan ma rohkem selle üle, et keegi ei leidnud neid varem – seevõrra näivad nad

lihtsatena pärast seda, kui neid tunda.“ [21]

38

3.2 Õpitulemuse saavutamine läbi ajaloolise käsitluse

3.2.1 Liitprotsendiline kasvamine ning kahanemine ning arv „e“

Kursuse „Funktsioonid I“ lõpul peab õpilane suutma logaritmida ning potenseerida

lihtsamaid avaldisi, lahendada lihtsamaid eksponent- ja logaritmvõrrandeid astme ning

logaritmi definitsiooni vahetu rakendamise teel ning selgitama liitprotsendilise

kasvamise ning kahanemise olemust. Lisaks peab õpilane suutma tõlgendada reaalsuses

esinevaid protsentides väljendatavaid suurusi, sh laenudega seotud kulutusi ja ohte.

Seda on võimalik edukalt teha jälgides arvu e ajaloolist arengut. Arvu e tähtsust

elunähtuse kirjeldamisel rõhutavad mitmed matemaatikaõpikud [15] [20], kuid

käsitlemine piirväärtuste juures ei ava selle konstandi täielikku sisu ja potensiaali.

Arvu e ajaloolised juured ulatuvad tagasi 17. sajandi esimesse poolde, samasse aega, kui

Napier tegeles logaritmidega. [18] Sel perioodil kasvas erakordselt palju rahvusvaheline

kaubandus ning erinevate rahaliste tehingute arv. Tulemusena tekkis vajadus erinevate

intressimäärade arvutusvalemite järgi. Intressimäärade enda ajalugu ulatub tuhandeid

aastaid tagasi. Sellepärast oleks ajalooliselt põhjendatud enne arvu e käsitlemist rääkida

liitprotsendilisest kasvamisest ning kahanemisest.

Näiteks Mesopotaamia savitahvlil, mis pärineb aastast 1700 eKr ja asub tänasel päeval

Louvre muuseumis, on kirjas ülesanne aja arvutamise kohta mingi summa raha

kahekordistamiseks aastase intressimääraga 20%. [18]

Natuke hilisemast ajast on tuntuks saanud kuulsa ameerika riigiteadlase Benjamin

Franklini (1706–1790) testament. Toome siin sellest väljavõtte: [21]

„Määran tuhat naelsterlingit Bostoni elanikele. Kui nad võtavad need tuhat naela vastu,

siis peab see summa üle antama valitud kodanikele, kes aga annavad selle protsentidega

5 saja kohta aastas, laenuks noortele käsitöölistele. See summa suureneb saja aasta

pärast 131 000 naelsterlingini. Ma soovin, et siis 100 000 naela kasutataks

ühiskondlikeks ehitusteks, ülejäänud 31 000 naela aga antaks 100 aastaks protsentide

peale. Teise saja aasta kestel see summa kasvab 4 061 000 naelsterlingile, millest

1 060 000 naela jätan Bostoni elanikkude käsutusse, 3 000 000 aga Massachusettsi

kogukonna valitsusele. Kaugemale ma ei julge oma pilke küünitada.“

39

Pärandades kõigest 1 000 naela, jaotab Franklin miljoneid. Siin ei ole siiski midagi

arusaamatut. Matemaatiline arvutus tõestab, et pärandaja arutlus on täiesti reaalne. 1000

naela, suurenedes igal aastal 1,05 korda, peab 100 aasta pärast kasvama

naelaks.

Selle avaldise võib välja arvutada logaritmide abil:

millest

mis on kooskõlas testamendi tekstiga. Edasi, 31 000 naela muutub järgmise sajandi

kestel

naelaks,

millest, arvutades logaritmide abil leiame, et

s.o summa, mis ei erine oluliselt testamendis näidatust.

Uurime natuke lähemalt, kuidas liitprotsendiline kasvamine töötab. [18] Kujutame ette,

et me lisame 100€ arvele pangas, mis maksab aastas 5% intressi. Aasta lõpuks oleks

meil arvel

€

Pank arvestab nüüd seda uut summat kui järgmise aasta algväärtust, mis on

investeeritud sama intressimääraga. Seetõttu on teise aasta lõpus juba

€

ning kolmanda aasta lõpuks

€

ja nii edasi. Näeme, et summa kasvab geomeetrilises progressioonis, teguriga 1,05.

Lihtprotsendilise kasvamise puhul lisataks meie arvele igal aastal 5% algväärusest ja

seega oleks kolmanda aasta lõpus meil arvel 115€.

Antud näitest on hea näha, mis üldjuhul juhtub. Eeldame, et me investeerime P eurot

arvele pangas, milles makstakse aasta lõpus r protsenti intressi (arvutustes käsitleme

40

siinkohal r kui kümnendmurdu. Eelmise näite põhjal on see siis 0,05, mitte 5 protsenti).

See tähendaks, et esimese aasta lõpuks oleks meil arvel

teisel aastal

ja nii edasi, kuni peale t aastat oleks meil

Tähistades selle summa tähega S, saame lõplikuks valemiks

(1)

See valem on põhimõtteliselt alus kõikideks finantsarvutusteks, olgu need siis laenud,

kindlustused või väärtpaberid.

Mõned pangad ei arvesta ainult üks kord aastas intresse vaid teevad seda mitu korda.

Näiteks, kui aastast intressimäära 5% arvestada poole aasta kaupa, kasutab pank

perioodi makse tegemiseks poolt aastasest intressimäärast. Vaatame nüüd näidet, kus

100€ esialgsest väärtusest arvestatakse intresse kaks korda aastas, iga kord 2,5%. Seega

saadakse summaks ühe aasta pealt

,

Mis teeb kuus senti enam, kui liitprotsendilise kasvamise puhul, kus intresse arvutati

ainult üks kord aastas.

Panganduses võib leida igasuguseid erinevaid intressiperioode – aastaseid,

pooleaastaseid, kvartali kaupa, kuude kaupa, nädalate kaupa ja isegi päevaseid.

Eeldame, et arvestus toimub n korda aastas. Igal väljamakseperioodil kasutab pank

intressimäära

. Kuna t aasta jooksul on väljamakse perioodide arv nt, siis algväärtuse

P suuruseks peale t aastat oleks

(2)

Tuleb välja, et võrrand (1) on ainult võrrandi (2) erijuht, kus .

Oleks huvitav võrrelda raha kasvu peale ühte aastat, kus väljamaksed toimuvad

erinevatel kordadel aastas. Võtame näiteks P=100€, r=0,05. Tulemused on toodud

allolevas tabelis.

41

Tulemused, mida näeme

tabelis, on üpris üllatavad.

Päevane arvestusperiood

kasvatab kogu summat

ainult 13 sendi võrra,

võrreldes aastase

arvestusperioodiga ja

ainult üks sent enam

võrreldes nädalase või

kuisega!

Selle juhtumi edasi

uurimiseks kujutame ette

võrrandi (2) erijuhtu, kus

r=1. See tähendaks aastast intressimäära 100% ja kindlasti pole ükski pank kunagi

tulnud välja taolise suuremeelse pakkumisega. Arutluse lihtsustamiseks võtame

algväärtuseks P =1€ ja t=1 aastaga. Võrrand (2)

omandab seega kuju

(3)

Andes muutujale n erinevaid väärtusi, saame

tulemused, mis on esitatud tabelis 3.2.

Paistab, et n pidev suurenemine vaevalt mõjutab

lõplikku tulemust. Muutused toimuvad üha

väiksemates ja väiksemates ühikutes. Kuid kas see

muster jääb korduma lõpmatuseni? Kas on võimalik, et

ükskõik kui suureks n ei kasvaks, jääb

väärtus arvu 2,71828 lähedusse? See intrigeeriv

võimalus on tõepoolest tõestatud hoolika matemaatilise

analüüsi käigus. Ei ole teada, kes esimesena märkas

seda

kummalist käitumist, kui n läheneb lõpmatusele ja seega jääb konkreetne

sünniaeg arvul, mida hiljem hakati tähistama tähega e, teadmata. Napier ise oli lähedal

Tabel 3.1 100€ aastane kasvu varieeruvus erinevate arves-

tusperioodide korral, kui intressimäär on 5%

Arvestusperiood n

S

aasta 1 0.05 105,00

pool aastat 2 0.025 105,06

kvartal 4 0.0125 105,09

kuu 12 0,004166 105,12

nädal 52 0,0009615 105,12

päev 365 0,0001370 105,13

Tabel 3.2 100% intressimääraga

summa kasvamine aasta jooksul

erinevate arvestusperioodide

korral

42

arvu

avastamisele ja tema logaritmid lähtusidki sellest alusest. Seega arvamus

Napierist kui e avastajast ei vasta tõele. 1737. aastal tõestas Euler, et e on irratsionaalne

ja temalt pärineb samuti vastav tähistus. [18]

3.2.2 Aritmeetiline ja geomeetriline jada

Kursuse „Funktsioonid II“ üks õpitulemustest on, et õpilane suudab rakendada

aritmeetilise ja geomeetrilise jada üldliikme ning n esimese liikme summa valemit,

lahendades lihtsamaid elulisi ülesandeid. Neid ülesandeid on matemaatika ajalool

pakkuda päris mitmeid.

Vanim ülesanne progressioonidest ei ole kahe tuhande aasta vanune küsimus

tasumaksmisest male leiutajale, vaid palju vanem ülesanne vilja jaotamisest, mis on

kirjutatud kuulsale Rhind´i papüürusele. Papüürus on koostatud umbes 2000 aastat eKr

ning see on ärakiri ühest veel vanemast matemaatilisest teosest, mis pärineb arvatavasti

kolmandast aastatuhandest eKr. Selle dokumendi aritmeetika-, algebra- ja

geomeetriaülesannete hulgas leidub järgmine ülesanne, mille tekst ja lahendus on

toodud lisas 2. [21]

Aritmeetilise jada summat puudutavatest ülesannetest on kõige tuntumaks arvatavasti

lugu noorest Carl Friedrich Gaussist (1777–1855). Algkoolis olevat õpetaja kogu klassil

käskinud arvutada pikema iseseisva tööna kõigi naturaalarvude summa 1-st 100-ni.

Väike Gauss lahendas selle ülesande silmapilkselt. [13] Kõigepealt kirjutas Gauss saja

esimese arvu summa välja kaks korda. Esimene kord kasvavas järjestuses ja teine kord

kahanevas järjestuses:

Liites need paarid ülevalt alla, saame kõikide summaks 101

43

Kuna summasid 101 on parajasti 100 tükki, siis nende summa on 101 100 10100.

Summa 10100 on arvude 1 kuni 100 summa kahekordne, siis otsitav tulemus on

10100

2 5050. Seega on meil

Arvatavasti kõige tuntum lugu geomeetrilise jada summast on legend malemängu

leiutajast. Probleemi tuntuse tõttu ei peatu autor sellel siinkohal pikemalt. Probleemi

terviklik sõnastus ja lahendus on toodud lisas 3. Eelmisega sarnaseid ülesandeid on

teada hilisemastki ajast. Näitena võib tuua loo Poola aadlik Jerzy Ossolińskiga

juhtunust, mille põhjalikum kirjeldus on toodud lisas 4.

3.3 Ühised jooned ajaloo ja õppimise vahel

Matemaatika ajaloos puutume kokku mitmete valdkondadega, mille areng ja tulemuste

omaksvõtt matemaatikute seas olid väga vaevalised ning aeglased. Isegi siis ei tahetud

neid veel päris hästi aktsepteerida, kui sel alal oli saavutatud mitmeid tähtsaid

läbimurdeid. Tuginedes kogumikule [27] on autori arvates õigustatud oletada, et

õpilased võivad kogeda antud teemade õppimisel samu raskusi, mida kogesid

matemaatikud läbi ajaloo. Autor on probleemi illustreerimiseks valinud välja kaks

valdkonda, milles tulevad raskused tänapäeval ja ajaloos eriti hästi esile.

3.3.1 Negatiivsed arvud ja täisarvude hulk

Kes on õpetanud põhikoolis matemaatikat või olnud seotud õpetajakoolitusega, on

kindlasti teadlikud raskustest, mis ilmnevad õpilastel negatiivsete arvude mõistmisel ja

nendega opereerimisel. Õpilastel tekib raskusi äratundmisega, et on sama, mis

, et ja – ei pea alati tähistama negatiivset arvu. Negatiivsed

arvud paigutatakse arusaamades tähtsuselt kas positiivsete arvude või isegi nulli järele.

[27] Täisarvudes hulgast räägitakse Eestis uue õppekava kohaselt peale põhikooli veel

kitsa ja laia matemaatika esimesel kursusel. [6] Siinkohal olekski sobilik vaadata

ajaloos ilmnenud probleeme negatiivsete arvude mõistmisel. [27]

Arvu mõiste ajalooline areng paljastab üldlevinud vastuseisu negatiivsetele arvudele.

Juba kõige varasemates babüloonlaste töödes, mis puudutasid võrrandi lahendamist, ei

arvestatud näiteks negatiivseid juuri. Kõik reeglid, mis puudutavad negatiivsete

44

arvudega opereerimist, töötati välja hindu ja hiina matemaatikute poolt. Kuid veel 7–8.

sajandile ei leia me Araabia matemaatikute töödes ühtegi viidet neile, kuigi nad pidid

olema teadlikud hindude varasematest edusammudest. Negatiivsed arvud omandasid

mõningase tunnustuse Euroopas läbi kompleksarvude 16. sajandil. Nimelt Gerolamo

Cardano (1501–1576) avaldatud kuupvõrrandi lahendamise valemis oli juurte

leidmiseks vaja juurida negatiivset arvu. 17. sajandi prantsuse matemaatik Blaise Pascal

(1623 – 1662) ei näinud mingisugust tarvidust kasutada negatiivseid arve. Alles 19.

sajandil tunnustati negatiivseid arve täielikult ühe osana arvusüsteemist kuigi ka siis

leidus veel matemaatikuid, kes negatiivseid arve ei tahtnud aktsepteerida. Üks nendest

oli kuulus inglise matemaatik Augustus de Morgan (1806–1871), kes pidas negatiivseid

arve täiesti käsitlematuteks.

Negatiivsete arvude käsitlemise kohta koolis on teinud uurimuse Iisraelis Weizmanni

teadusinstituut. See toetab samuti hüpoteesi, et negatiivsete arvude ajalooline käsitlus

võib aidata õpilastel paremini mõista negatiivseid arve ning üle saada sellega

seonduvatest raskustest. [27]

3.3.2 Irratsionaalarvud

Erinevad rahvusvahelised uuringud näitavad, et koolimatemaatikas on seni pööratud

irratsionaalarvudele üpris vähe tähelepanu. [5] Samuti Eestis on autori arvates antud

probleem päevakajaline. Eestis välja antud X klassi õpikutes on kogumahust

pühendatud irratsionaalarvudele maksimaalselt neli lehekülge. [14], [19], [29] Seda

põhjustab koolimatemaatika ülesehitus, mis keskendub peamiselt arvutustehnika

omandamisele. Seeläbi ei jõua idee matemaatikast kui sidusast ja struktureeritud

teadmiste kogumist sageli õpilasteni. Didaktiliselt on tegu kindlasti raske ülesandega,

kuid õppekava ei peaks seda vältima. [5] Autori arvates soovitakse õppekavaga siiski, et

õpilased saaksid aimdust matemaatika suurusest ja olulisusest, mitte ei omandaks ainult

tööriistu praktiliseks vajaduseks. Sellest tunnetusest ei ole tegelikult puudus mitte ainult

õpilastel vaid ka neil, kes kunagi hakkavad matemaatikat õpetama.

Õpilaste arusaamine struktureeritud matemaatikast peab algama sidusa ja range

arvusüsteemide hierarhia rõhutamisest. Vaatleme täpsemalt reaalarvude käsitlust. Kui

on vaadeldud naturaalarvud ja täisarvud, jõutakse käsitlusega ratsionaalarvudeni.

Termin “ratsionaalarv“ viitab ise juba vastandmõiste „irratsionaalarvu“ olemasolule.

45

Kuidas on võimalik minna reaalarvude hulga juurde, pööramata suuremat tähelepanu

irratsionaalarvude hulgale? Irratsionaalarvud on osa süsteemist ja ilma nendeta ei ole

reaalarvu mõiste täielik. Väike hooletus nende käsitlemisel ja kogu süsteem vajub

kokku. On oletatud, et tänu lünkadele arvuhulkasid käsitlevas kursuses, ei ole õpilastel

ratsionaalarvude, irratsionaalarvude ja reaalarvude mõisted päris selged ja piirduvad

mõne üksiku näitega nagu ja π. [5]

Iisraelis läbi viidud uuringutes selgus kahjuks, et enamik 9. ja 10. klassi õpilastest ei

olnud siiski veel teadlikud arvu irratsionaalsusest. Leidus muidugi ka neid, kes ei

teadnud, et π üldse arv on. Vaadeldes murdu

, selgus, et mõisted ratsionaalne,

irratsionaalne oli enamikule 9. ja 10. klassi õpilastele tundmatud. Enamik

õpetajakoolituse üliõpilasi vastas siinkohal õigesti, kuid leidus ikkagi 24% neid, kes

arvasid, et tegu pole ratsionaalarvuga. Uuringu kokkuvõttes selgus, et irratsionaalarve

seostatakse tihti negatiivsete arvudega ja teise peamise arusaama kohaselt on arv

irratsionaalne siis, kui tal on lõpmata palju komakohtasid. [5]

Kuigi üks kõige üllatavamaid tulemusi varajases Kreeka matemaatikas oli see, et

ühismõõduta lõigud eksisteerivad (avastuse täpsem taust on toodud lisas 5), kujunes

range irratsionaalarvude teooria välja alles XIX sajandil tänu Dedekindi, Cantori ja

Weierstrassi teooriatele. Selline pikk paus ajaloos näitab, et irratsionaalarvu mõisteni

jõudmine nõuab pikka aega. [5] Siinkohal on autori arvates hea koht, kus vaadata tagasi

tehtule ja õppida varasematest raskustest. Ei tohiks eeldada, et õpilane suudab ainult

kahe või kolme näite najal kogu mõistet omandada. Seda kinnitab samuti ilmekalt

Iisraelis läbi viidud uuring, millest oli juba eespool juttu. Neid näiteid peaks olema

rohkem.

Riiklikus õppekavas on otseselt viidatud väärtuspädevuste kujundamisele läbi kuldlõike

käsitlemise. [25] Autori arvates ei peaks kuldlõiget ainult kasutatama väärtuspädevuse

kujundajana vaid see peaks olema üks kohustuslik osa irratsionaalarvudega tutvumisel.

Kuldlõike konstrueerimine aitab autori arvates tugevdada arusaamu irratsionaalarvudest

ning avab ukse ainetevaheliseks lõiminguks, millest on põhjalikult juttu lisas 6.

46

3.3.3 Lõpmatuse ja piirväärtuse mõistmine

Piirväärtuse mõiste on matemaatikas oluline, kuid samas ka üks keerulisematest

mõistetest. Selle mõistega on tihedalt seotud arusaamine lõpmatusest ja lõpmatutest

hulkadest, koolimatemaatikas eeskätt arvuhulkadest. Mitmed uurimused on näidanud, et

õpilastel on lõpmatute protsesside mõistmisega raskusi nii koolis kui ka kõrgkoolis.

Seda, et lõpmatuse ja piirväärtuse mõistmisega on raskusi, näitab ilmekalt ka Tartu

Ülikooli loodusteaduslike erialade I kursuse üliõpilaste seas läbi viidud küsitlus. [16]

Vastustest küsimustele „Mis on jada piirväärtus?“ selgus, et väga suur osa õpilastest

käsitleb lõpmatut protsessi lõplikuna, ehk protsessina, mille tulemus asub protsessi sees.

Vaid 25% vastanutest mõistis piirväärtust protsessina, mille tulemus asub väljaspool

protsessi. Jada piirväärtuse mõistet kirjeldas lõpmatu protsessi kaudu vaid 25%

küsitletutest. Üks nendest vastajatest määratles piirväärtust näiteks selliselt: kui jada

liikmete erinevus üksteisest kahaneb nii väikeseks, siis seda arvu loetaksegi

piirväärtuseks, millele jada liikmed lähenevad. Põhimõtteliselt õigesti suutis määratleda

jada piirväärtuse vaid 3% vastanutest. Nende vastustes oli väljendatud nii see, et

vaadeldakse jada protsessis , kui ka see, et selles protsessis tulevad jada liikmed

järjest lähemale mingile konkreetsele arvule. Uurimus näitas, et lõpmatute hulkade ja

piirprotsesside mõistmises on meie õpilastel olulisi puudujääke ka gümnaasiumi lõpus.

Nii lõpmatuid hulki, kui ka lõpmatuid protsesse käsitleb väga suur osa koolilõpetanutest

lõplikena. [16] Uurimistulemuse paremaks mõistmiseks on autori soovituseks heita pilk

ajalukku ja vaadelda piirprotsessi mõiste ajaloolist arengut.

Archimedes töötas piirprotsessi mõiste alustega, kuid kartuses lõpmatuse ees ei toonud

ta sisse selle mõistet. Piirprotsessi mõiste range käsitlemine oli samuti vastumeelne ühe

XVII sajandi suurele matemaatikule Bonaventura Francesco Cavalierile (1598–1647).

Tema jaoks oli range käsitlus rohkem filosoofiline kui matemaatiline probleem.

Bonaventura Cavalieri tutvustas küll mõistet „jagamatud“, kuid ei täpsustanud, mida ta

selle mõiste all silmas pidas. Ta kasutas lõpmata väikeseid pindalasid või ruumalasid

(„jagamatuid“ nagu ta neid ise nimetas) näitamaks geomeetriliste objektide võrdsust.

Pierre de Fermat` (1601–1665) luges funktsiooni maksimum- ja miinimumkohtade

arvutamisel lõpmata väikesed suurused vajalikul hetkel lihtsalt nulliks, süüvimata

suuremalt tekkivatesse vastuoludesse. Idee hakkas selgemaks saama alles Isaac Newtoni

(1643–1727) ja Gottfried Wilhelm Leibnizi (1646–1716) ajal. Mõlemad mehed arvasid,

47

et lõpmata väikesed suurused tegelikult ei eksisteeri, aga nad kasutasid neid siiski

sümbolina oma tõestustes. Taoline mitterange lõpmata väikeste suuruste kasutamine sai

loomulikult palju kriitikat. Üheks suuremaks kritiseerijaks oli iiri piiskop George

Berkeley (1685–1753), kelle arvates tugines Isaac Newtoni ja Gottfried Wilhelm

Leibnizi poolt rajatud matemaatika rohkem religoossetele kui loogilistele alustele.

George Berkeleyt häiris kõige rohkem Fermat` taoline käitumine lõpmata väikeste

suuruste käsitlemisel, kus need olid vahepeal mingid teatud suurused ja vahepeal loeti

neid nulliks. [9]

Oma lõpliku ranguse omandas piirprotsessi mõiste alles 19. sajandil tänu Augustin-

Louis Cauchy (1789–1867) ja Karl Theodor Wilhelm Weierstrassi (1815–1897)

töödele. [9]

Vaadates ajaloolist arengut ei maksaks autori arvates liialt muretseda, et õpilastel on

veel gümnaasiumi lõpus piirprotsesside mõistmises olulisi puudujääke. Pigem näitavad

saadud tulemused, et gümnaasiumi lõpuks on nad ajaloolises mõistes veel mitterange

teooria ajajärgus ja kohe astumas range käsitluse ajajärku.

48

KOKKUVÕTE

Matemaatikat on õpitud ja õpetatud juba tuhandeid aastaid, mille jooksul on saadud suur

hulk kogemusi erinevatele probleemidele lähenemiseks ja nende lahendamiseks.

Kahjuks ei ole siiani pööratud suuremat tähelepanu, kuidas neid kogemusi võiks ära

kasutada õppeprotsessi rikastamiseks. Alles viimastel aastatel on hakatud mõtlema,

kuidas matemaatika ajalugu efektiivsemalt õppetöös ära kasutada. Senised napid

kogemused pärinevad riikidelt, kellel endal on olemas pikad ajaloolised traditsioonid ja

sealgi täidab matemaatika ajalugu rohkem kolmandajärgulist rolli.

Viimastel kümnenditel läbiviidud uuringutes on selgunud, et ajaloolist materjali ei

peaks käsitletama õppetöös isoleerituna muust materjalist vaid seda peaks õpitava teema

paremaks näitlikustamiseks siduma käsitletava teooria ja ülesannetega. Lisaks on

toodud välja, et ajaloo kasutamine tunnis ei tähenda ajaloo enda õpetamist vaid

läbimurdele viinud ideede esitamist ning nende analüüsimist.

Autori panuseks oli nende uute tulemuste varal pakkuda oma nägemus ajaloolise

materjali kasutamisest uue ainekava kitsa matemaatika erinevate kursuste käsitlemisel.

Erialases kirjanduses toodud didaktilist materjali on töö autori poolt täiendatud ligemale

kahekümne matemaatika ajalooga seotud raamatutest leitud tuntud näitega.

Mõne ajaloolise probleemi leidmine ja selle kasutamine tunnis võib lähemal uurimisel

tänu võõrapärasele keelekasutusele ja mittestandardsele kirjaviisile osutuda didaktiliselt

keeruliseks ülesandeks. Raskustest hoolimata ei tohiks autori arvates seda teed hüljata.

Ajaloo lülitamine matemaatika õpetamisse viiks jälle sammukese lähemale terviklikuma

hariduse suunas. Õpilased hakkaksid tänu matemaatika ajaloole tajuma, milline on

olnud matemaatilise mõtlemise minevik, milline on olevik ja milline võiks olla tulevik.

Tänu interneti laiale levikule on tänapäeval võimalik leida ja lugeda ajaloolisi materjale,

mis varem olid kättesaamatud. Viimastel aastatel on valminud mitmeid matemaatika

ajaloole pühendatud raamatuid ja dokumentaalfilme. Matemaatika ajaloo edukaks

kasutamiseks tunnis on vaja rohkem metoodilisi ja didaktilisi juhendeid, mis lähtuksid

kehtivast ainekavast. Matemaatika ajaloo kasutamise eesmärgiks peab jääma siiski

õpitava teema selgitamine ja sidumine olemasolevate teadmistega, mitte selle muutmine

veel segasemaks ja raskemaks.

49

History in Mathematics Education

Kaido Kariste

SUMMARY

People have studied, learned and used mathematics for over four thousand years,

although it is only relatively recently that mathematics has been taught, in most

countries, to a high proportion of the population. Decisions on what is to be taught in

schools, and how, are ultimately political, influenced by a number of factors including

the experience of teachers, expectations of parents and employees, and the social

context of debates about the curriculum. The movement to integrate mathematics

history into teaching and learning of mathematics has been a theme of international

concern over much of the last century. The use of the history of mathematics in teaching

and learning mathematics requires didactical reflections.

The aim of the present Thesis is to study how and in which way can the history of

mathematics be used as part of the narrow mathematics course in Estonian national

curriculum.

The thesis consists of three chapters, ten figures, six appendixes and two tables. The

first chapter summarizes the experience of a number of countries across the world

according to an ICMI study which was carried out in the years 1997-1998. The final

section of this chapter concentrates on the situation of Estonian curriculum. The second

chapter reviews how the history of mathematics can be and has been harnessed and

integrated in mathematics education. This chapter provides several reasons on why the

history of mathematics may be relevant to the teaching and learning process, both for

the teacher and the student. The third chapter gives the authors view on how history of

mathematics may be used in Estonian national curricula narrow mathematics course.

Author’s contribution was to present his ideas about using history of mathematics in

national curricula narrow mathematics course and therefore collect examples, didactical

guidelines and hints on how to use historical material in lessons and provide more or

less ready made historical resources.

It is clear that in many parts of the world the situation is now changing, and that other

media, notably computers, are entering the classroom both as presentation tools for the

teachers and as working tools for the students. The internet provides access to historic

material which was unapproachable some years back. Still, didactic resource material

seems to be the most lacking in the public domain. Hopefully we will see in the future

more easily accessible and comprehensible resources, available to teachers and students

and a systematic preparation of future teachers both during their initial training and

through in-service studies.

50

KASUTATUD KIRJANDUS

1. Abel, E., Abel, M., Kaasik, Ü. Koolimatemaatika entsüklopeedia. Kd3. Tartu:

Ilmamaa, 2006.

2. Benjafield, J. The Golden Rectangle: Some New Data. –– American Journal of

Psychology, 1976, 89, 737-743.

3. Berlinghoff. W, Gouvea, F. Math Through the Ages: A Gentle History for Teachers

and Others. Ed 1. Washington: A joint publication of Oxton House Publishers and

The Mathematical Association of America, 2004.

4. Fauvel, J., van Maanen, J. History in Mathematics Education. Kd. 6. Dordrecht :

Kluwert Academic Publishers, 2000.

5. Fischbein, E., Jehiam, R., Cohen, D. The concept of irrational numbers in high-

school students and prospective teachers ––Educational Studies in Mathematics,

1995, 29(1), 29-44 [Online] SpringerLink (19.08.2010).

6. Gümnaasiumi riiklik õppekava –– Riigiteataja I, 11.02.2010, 6, 21.

7. Hellenic Society for the History of Science and Tecnology 1998. Report on the

meeting on History of mathematics and mathematics education: a theoretical

approach. –– Diastasi, 1998, 3, 123-130.

8. Huff, D. How to Take a Chance: The Laws of Probability. Harmondsworth: Penguin

Books, 1965.

9. Juter, K. Limits of Functions as They Developed Through Time and as Students

Learn Them Today. –– Mathematical Thinking and Learning, 2006, 8(4), 407–431.

10. Kowal, S. Meelelahutusest teadmisteni: mitmesugust matemaatikast. Tallinn: Valgus,

1979.

11. Krull, E. Pedagoogilise psühholoogia käsiraamat. Tartu: Tartu Ülikooli Kirjastus,

2000.

12. Kärner. O., Levin, A. Matemaatika ajaloo elemente: 1. osa. Tallinn: 1983.

13. Kärner. O., Levin, A. Matemaatika ajaloo elemente: 2. osa. Tallinn: 1986.

14. Lepmann, L., Lepmann, T., Velsker, K. Matemaatika: X klassile. Kd. 3 Tallinn:

Koolibri, 2004.

15. Lepmann, L., Lepmann, T., Velsker, K. Matemaatika: XI klassile. Kd. 2. Tallinn:

Koolibri, 2001.

16. Lepmann, L. Lõpmatuse ja piirväärtuse mõistmine. –– Koolimatemaatika XXXV.

Tartu: Tartu Ülikooli Kirjastus, 2008, 43-47.

17. Livio, M. The Golden Ratio: The story of phi, the world´s most astonishing number.

NY: Broadway Books, 2002.

18. Maor, E. e: The Story of a number. New Jersey: Princeton University Press, 1994.

19. Miinus, M. Matemaatika: X klass. Tallinn: Koolibri, 1992.

20. Miinus, M. Matemaatika: XI klass. Tallinn: Koolibri, 1993.

21. Perelman, J. I. Huvitav algebra. Tallinn: Eesti Riiklik Kirjastus, 1952.

22. Poncaré, H. Science and method. 2-nd ed. New York: Dover Publications, 2003.

51

23. Ponza, M.V. A role of the history of mathematics in the teaching and learning of

mathematics: an Argentinian experience. –– Mathematics in school , 1998, 27 (4),

10-13

24. Põhikooli- ja gümnaasiumiseadus. –– Riigiteataja I, 2010, 41, 240.

25. Põhikooli riiklik õppekava –– Riigiteataja I, 11.02.2010, 6, 22.

26. Ruus, V-R. Nõukogude haridussüsteemi lagunemine ja uue sünd. [WWW]

http://www.estonica.org/et/Haridus_ja_teadus/ (27.07.2010).

27. Swetz, F., Fauvel, J., Katz, V. Learn from the Masters. Washington: The

Mathematical Association, 1995.

28. Šarõgin, I. Tasandi geomeetria. Tallinn: Avita, 2000.

29. Tõnso,T., Veelmaa, A. Matemaatika: 10. klass. Tallinn: Koolibri, 1993.

30. Tõnso,T., Veelmaa, A. Matemaatika: 12. klass. Tallinn: Mathema, 1996.

31. Vilenkin, N. Kombinatoorika. Tallinn: Valgus, 1975.

32. Weisstein, E. W. Cube Duplication. [WWW]

http://mathworld.wolfram.com/CubeDuplication.html (02.04.2011)

SOOVITATAVAID LISAMATERJALE

1. Amenábar, A. Agoraa. [WWW] http://www.imdb.com/title/tt1186830/ (27.04.2011).

2. Miller, J. Earliest Known Uses of Some of The Words of Mathematics [WWW]

http://jeff560.tripod.com/mathword.html (27.04.2011).

3. Miller, J. Earliest Uses of Various Mathematical Symbols. [WWW]

http://jeff560.tripod.com/mathsym.html (27.04.2011).

4. Müürsepp, P. Kuulsaid 20. sajandi matemaatikuid. Tallinn: Valgus, 1988.

5. Müürsepp, P. Kuulsaid 19.-20. sajandi matemaatikuid. Tallinn: Valgus, 1985.

6. Müürsepp, P., Müürsepp, T. Kuulsaid XIX. sajandi matemaatikuid. Tallinn: Valgus,

1982.

7. Müürsepp, P., Müürsepp, T. Kuulsaid XVIII-XIX. sajandi matemaatikuid: etüüde

prantsuse matemaatikute elust. Tallinn: Valgus, 1978.

8. Müürsepp, P. Kuulsaid XVII-XVIII sajandi matemaatikuid. Tallinn: Valgus, 1975

9. The MacTutor History of Mathematics archive. [WWW] http://www-history.mcs.st-

and.ac.uk/ (27.04.2011).

10. Wilkins, D. The History of Mathematics. [WWW]

http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/ (27.04.2011).

52

LISA 1

Adam Kochanski konstruktsioon ringi kvadratuuri probleemile

Adam Kochanski (1631–1700)

joonestas sirkliga ringjoone ja

muutmata sirkli haarade laiust

jätkas järgmiselt. [10]

Lõik OB=r; AB=2r;

kõõl BD=r; ; CE=3r.

Näitame nüüd, et AE ≈ πr.

Meil on AB=2r; OB=r, BD=r,

CE=3r. Kuna

on kolmnurk DOB võrdkülgne ja . Edasi avaldame

°

Siis

Kolmnurgast ABE

saame, et

Seega

, ehk

Samal ajal teame, et poolringi pikkus πr ≈ 3,14159r. Tulemuse erinevused on väga

väikesed. Edasi arutles Adam Kochanski järgmiselt: ringi diameetrile ükskõik millisest

selle ringjoone punktist tõmmatud ristlõigu ruut võrdub nende lõikude korrutisega,

milleks see ristlõik diameetri jaotab, sest täisnurkses kolmnurgas võrdub hüpotenuusile

tõmmatud kõrguse ruut kaatetite projektsioonide korrutisega hüpotenuusil. Seega, kui

vaadelda lõigule AE, kui diameetrile, joonestatud poolringjoont ja selle punktist H

lõigule AE tõmmatud ristlõiku AG, kus , kehtivad võrdused

Avaldades nüüd täisnurkse kolmnurga GHE hüpotenuusi HE, saame

Konstrueerides hüpotenuusile HE ruudu, on selle pindala tegelikust ligikaudu

võrra ringi pindalast väiksem.

Adam Kochanski konstruktsioon kvadratuuri probleemile

53

LISA 2

Rhind´i papüüruse aritmeetilise jada ülesanne

Sada mõõtu vilja jaotada viie inimese vahel nii, et teine saaks nii palju rohkem

esimesest, kui palju kolmas saab rohkem teisest, neljas rohkem kolmandast ja viies

rohkem neljandast. Peale selle peavad kaks esimest saama 7 korda rohkem kolmest

ülejäänust. Kui palju vilja tuleb anda igaühele? [10]

Lahendus: Osavõtjate poolt jaotamisel saadud viljahulgad kujutavad endast ilmselt

kasvavat aritmeetilist progressiooni. Olgu selle esimene liige ja vahe d. Siis

esimese osa on

teise

kolmanda

neljanda

viienda

Ülesande tingimuste põhjal koostame kaks järgnevat võrrandit:

Pärast lihtsustamist kujuneb esimene võrrand järgmiseks:

ning teine:

Lahendades selle süsteemi, saame:

Tähendab, vili tuleb jaotada järgmisteks osadeks:

mõõtu

54

LISA 3

Malemängu probleem

Malemängust vaimustatud India kuningas Sheran tegi oma alamale, malemängu

leiutajale, ettepaneku nimetada mingi soov, mille kuningas võiks täita. Leiutaja soov oli

järgmine: üks nisutera malelaua 1. ruudu eest, 2 nisutera 2. ruudu eest, 4 nisutera 3.

ruudu eest, 8 nisutera 4 ruudu eest jne. Kuningas arvas, et see soov on liiga

tagasihoidlik. On see nii? [15]

Viljaterade arvud malelaual on geomeetrilise jada 1, 2, 4, 8, ..., esimesed liikmed.

Terade koguarv oleks selle jada esimese 64 liikme summa 1+2+4+8+...+ . Leiame

järgnevalt valemi geomeetrilise jada esimese n liikme summa arvutamiseks. Seda

summat tähistatakse sümboliga .

ehk

(1)

Korrutame viimast võrdust teguriga q:

(2)

Lahutades võrdusest (2) võrduse (1), saame

Pärast koondamist võrduse paremal pool saame ehk

Kui , saame viimasest võrdusest geomeetrilise jada esimese n liikme summa

valemi

Leiame nüüd viljaterade arvu, mis tuleks kuningal malelaua leiutajale anda.

Vaadeldavas jadas , q=2, n=64 ja

55

LISA 4

Jerzy Ossoliński ja hobuse rautamine

Jerzy Ossoliński (1595–1650), suundudes Roomas asuvasse saatkonda ja soovides kõiki

rabada ehete rikkalikkusega, tellis hobusele hõbedased rauad ja käskis need kinnitada

kullast kabjanaeltega. Kui sepp nimetas hinna, teatas Ossoliński, et nii kallist hinda ta

maksta ei kavatse. Meister naeratas ja ütles: „Ma teen neli hõbedast rauda teile ilma

rahata, kuid 24 kabjanaela eest maksate mulle järgmiselt: esimese eest 2 krossi, teise

eest 4 krossi, kolmanda eest 8 krossi ja nii edasi, iga järgmise eest kaks korda rohkem

kui eelmise eest.“ [10]

Riugast aimamata võttis Ossoliński tingimuse vastu; endamisi oli ta juba arvutanud, kui

palju läheb maksma esimene hobuseraud, ja leidis, et 126 krossi ei ole just palju. Kui

hobune oli rautatud, tõi sepp pärgamendile kirjutatud arve. Seda näinud, jahmus

Ossoliński ja palus seppa, et too nõustuks varem nimetatud summaga. Rahul

õppetunniga, mille ta kõrgeaulisele panile oli andnud, nõustus sepp esialgu küsitud tasu

vastu võtma. Missugune summa oli kirjutatud pärgamendile? Kui suure summa oleks

Jerzy Ossoliński maksma pidanud, kui meister ei oleks kokkuleppest taganenud?

Lahendus:

Tegemist on ühe geomeetrilise progressiooniga, mille esimene liige ja jada tegur

ja liikmete arv on . Arvutame välja geomeetrilise jada esimese n liikme

summa valemist, mitu krossi oleks Jerzy Ossoliński pidanud teise pakkumise puhul

sepale maksma.

56

LISA 5

Ruudu diagonaal ja ühismõõduta lõigud

Aastal 535 eKr asutas Pythagoras Lõuna-Itaalia linnas Krotonis nn. pütaagorlaste liidu.

See olevat olnud üheaegselt nii poliitiline organisatsioon, ususekt kui ka matemaatikaga

tegelev koolkond. [29] Kuigi irratsionaalarvude avastamise täpne aeg ei ole teada,

seostatakse seda pütaagorlase Hippasusega. [17]. Ühikruutu uurides oli ta jõudnud

järeldusele, et on olemas arve, mis ei ole täisarvud ega ratsionaalarvud. Nimelt

diagonaali pikkus ei osutu ratsionaalarvuks.

TEOREEM: Ühikruudu diagonaali pikkus ei

esitu ratsionaalarvuna. [29]

Tõestus: Olgu meil antud ruut külje pikkusega 1

(vt. joonist). Näitame, et ruudu diagonaali

pikkus ei ole ratsionaalarv. Oletame väite

vastaselt, et ühikruudu diagonaali d pikkus on

ratsionaalarv. Pythagorase teoreemist

ehk , siit . Kui on

ratsionaalarv, siis esitub ta taandumatu murruna kujul

. Seega

ning võttes viimase võrduse mõlemad pooled ruutu, saame

Kuna viimase võrduse parem pool on paarisarv, siis peab ka vasakul pool olema

paarisarv. Kui on paarisarv, siis on ka a paarisarv, sest ainult paarisarvu ruut on

paarisarv. Järelikult võime nüüd arvu a kui paarisarvu esitada kujul a=2c.

Tõstame võrduse mõlemad pooled ruutu, saame ning arvestades eespool

saadud tulemust saame, et

Viimasest võrdusest järeldub, et on paarisarv ning seetõttu on b paarisarv. Murd

pidi olema taandumatu murd, kuid selgus, et a ja b on paarisarvud ja seega murdu on

võimalik 2-ga taandada. Oleme jõudnud vastuoluni.

Ühikruudu diagonaali pikkus

57

See šokeeris kõiki Pythagorase järgijaid, kelle maailmavaade baseerus loomuomaselt

täisarvude ja nende suhete imetlemisel. Legend jutustab, et peale seda hirmsat avastust

ohverdas Phytagoras jumalatele sada härga, kuigi tegelikult on see äärmiselt

ebatõenäoline, sest Pythagoras oli taimetoitlane. Selge on see, et pütaagorlased pidasid

taoliste arvude eksistentsi nii hirmutavaks, et need pidid väljendama mingit sorti

kosmilist viga. Tegu oli arvudega, millest pidi vaikima ja mida pidi ranges saladuses

hoidma. [17]

58

LISA 6

Kuldlõige ja selle ilmnemine erinevates valdkondades

Kuldlõike esimese selge definitsiooni andis teadaolevalt 300. aastat eKr Eukleides.

Eukleidese sõnade järgi on lõik jaotatud kuldses suhtes siis, kui tervik suhtub pikemasse

lõiku nii nagu pikem lühimasse lõiku. [17]

Joonis 6.1 Kuldlõike definitsioon

Teisisõnu, kui me vaatame joonist 6.1, siis lõik CG on selgelt pikem lõigust CD. Samal

ajal on lõik CD pikem kui lõik DG. Kui lõigu CG suhe lõiku CD on sama, mis lõigu CD

suhe lõiku DG, siis öeldakse, et lõik AB on jaotatud kuldses suhtes. Kes oleks võinud

arvata, et Eukleidese poolt süütu välimusega geomeetriliseks otstarbeks defineeritud

lõigu jaotus on hämmastanud paljusid füüsikuid ja matemaatikuid läbi sajandite. Nende

hulgas on olnud Leonardo da Pisa (Fibonacci), Johannes Kepler ja ka Albert Einstein.

Kuldne suhe ilmneb väga ootamatutes valdkondades nagu anatoomia, rahandus,

rakendusmatemaatika, dermatoloogia, turundus ja sisekujundus. [2] Nüüd tekib

paratamatult küsimus, kuidas taolist lõiku konstrueerida ja milline see suhe on? Selleks

vaatame uuesti definitsiooni ning kirjutame selle välja matemaatiliste sümbolite abil

Viimasest võrdest saame

(1)

Järelikult on meie ülesandeks konstrueerida ristkülik külgedega CG ja DG, mille

pindala oleks võrdne küljega CD oleva ruudu pindalaga.

Olgu meil antud ruut ABDC (joonis 6.2). Lihtsuse mõttes võtame ruudu külje CD

pikkuseks 1 ühiku. Ristküliku konstrueerimiseks oleks tarvilik teada lõigu DG pikkust.

Asendades CD pikkuse valemisse 1, omandab see kuju , millest

Lahendades selle ruutvõrrandi, saame kaks lahendit

59

Neist teine ei lähe kokku ülesande tin-

gimustega, sest lõigu pikkus ei saa olla

negatiivne. Järelikult ristküliku ühe külje

saamiseks peame ruudu küljele lisama

juurde lõigu pikkusega

. Joonisel 6.2

on näidatud otsitava lõigu konstruktsioon.

[2] Leiame kõigepealt külje CD

keskpunkti E. Võttes raadiuseks EB, joonestame kaare, mis lõikab külje CD pikendust

kohal G. Kontrollime, kas meie konstruktsioon on korrektne. Raadius EB on kergesti

avaldatav Pythagorase teoreemist ning pikkuseks saame

Otsitav lõik DG avaldub siis

Järelikult jaotab punkt D nüüd lõigu CG kuldses suhtes. Jääb veel vastata küsimusele,

milline see suhe on. Definitsioonist saame, et

20. sajandi alguses tähistas ameerika matemaatik Mark Barr kuldse suhte tähega φ (fii)

kreeka skulptori Phidiase (490–430 eKr) järgi, kelle suurimateks saavutusteks olid

Ateena Parthenon ja Zeusi kuju Olympias. Mitmete kunstiajaloolaste väitel on Phidias

oma skulptuuride tegemisel kasutanud kuldset suhet. Terminit „kuldlõige“ kasutas

esimest korda 1835. a. saksa matemaatik Martin Ohm (kuulsa füüsiku Georg Simon

Ohmi vend) raamatus „Die Reine Elementar Mathematik“. [17]

Joonis 6.2 Kuldse suhte konstruktsioon