Investeşte în oameni !

FONDUL SOCIAL EUROPEAN

Programul Operaţional Sectorial pentru Dezvoltarea Resurselor Umane 2007 –2013

Axa prioritară nr. 1 „Educaţia şi formarea profesională în sprijinul creşterii economice şi dezvoltării societăţii bazate pe cunoaştere”

Domeniul major de intervenţie 1.2 „Calitate în învăţământul superior”

Numărul de identificare al contractului:POSDRU/156/1.2/G/138821

Beneficiar:Universitatea POLITEHNICA din Bucureşti

Titlul proiectului: Calitate, inovare, comunicare -instrumente eficiente utilizate pentru creşterea accesului şi promovabilităţii în învăţământul superior tehnic

Activitatea A5. Introducerea unor module specifice de

pregătire a studenţilor în vederea asigurării de şanse egale

MODUL DE INSTRUIRE: MATEMATICA

Curs: 7. Elemente de analiza matematica. Tipuri de functii: liniare, de gradul al doilea, exponentiale, logaritm, etc.

Grupele: M1, M4, M5, M8, M9, M11, M12

Formatori: BERCIA Romeo, IANCU Petrica, ENE Vladimir

1

PO

SD

RU

/15

6/1

.2/G

/13

88

21

2

PO

SD

RU

/15

6/1

.2/G

/13

88

21

Funcţii: Graficul unei functii

Se prezinta cele mai cunoscute tipuri de grafice siproprietatile lor,

1. Functia liniara 2. Functia de gradul al II lea3. Functia putere4. Functia exponentiala5. Functia logaritm6. Functii trigonometrice: sinus, cosinus, tangenta,

cotangenta, arcsinus, arccosinus,arctangenta, arccotangenta

Exercitii: Se reprezinta grafic functiile si se demonstreaza proprietatile lor.

3

PO

SD

RU

/15

6/1

.2/G

/13

88

21

Funcţii: Graficul functiei liniare

f : , f(x)=ax+b, a, b→ ∈R R R

Proprietati : 1. Monotonia: dacă a>0, atunci f este strict crescătoare; dacă 0<a<1, atunci f este strict descrescătoare. 3. Dacă a>1 şi x>0 atunci f(x)>1;

x<0 atunci f(x)<1; 0<a<1 şi x>0 atunci f(x)<1;

x<0 atunci f(x)>1. 4. Funcţia exponenţială este bijectivă

4

PO

SD

RU

/15

6/1

.2/G

/13

88

21

Funcţii: Graficul functiei putere

2nf : , f(x)=x , n *→ ∈R R N

Proprietati:

1. f este descrescatoare pe R- si descrescatoare pe R+

2. f nu este injectiva pe R dar restrictiile lui f la R- sau R+ sunt functii injective

3. f definita pe R cu valori in R+ este surjectiva

4. f definita pe R cu valori in R+ nu este bijectiva

5. f definita pe R cu valori in R+ para

5

PO

SD

RU

/15

6/1

.2/G

/13

88

21

Funcţii: Graficul functiei putere

2n+1f : , f(x)=x , n *→ ∈R R N

Proprietati:

1. f este descrescatoare pe R

2. f este injectiva pe R

3. f definita pe R cu valori in R este surjectiva

4. f definita pe R cu valori in R este bijectiva

5. f definita pe R cu valori in R+ este inversabila

6. f definita pe R cu valori in R+ este impara

6

PO

SD

RU

/15

6/1

.2/G

/13

88

21

Funcţii: Graficul functiei radical de ordin par

2nf : (0, ) (0, ), f(x)= x, n *∞ → ∞ ∈NProprietati:

1. f este crescatoare

2. f este injectiva

3. f este surjectiva

4. f este bijectiva

5. f este inversabila1 1 nf : , f (x) x− + + −→ =R R

7

PO

SD

RU

/15

6/1

.2/G

/13

88

21

Funcţii: Graficul functiei radical de ordin impar

2n+1f : , f(x)= x, n *→ ∈R R N

Proprietati:

1. f este crescatoare

2. f este injectiva

3. f este surjectiva

4. f este bijectiva

5. f este inversabila

6. f este impara

1 1 nf : , f (x) x− + + −→ =R R

8

PO

SD

RU

/15

6/1

.2/G

/13

88

21

Funcţii: Graficul functiei putere de ordin par

2n

1f : , f(x)= , n *

x→ ∈R R N

9

PO

SD

RU

/15

6/1

.2/G

/13

88

21

Funcţii: Graficul functiei putere de ordin impar

2n+1

1f : , f(x)= , n *

x→ ∈R R N

10

PO

SD

RU

/15

6/1

.2/G

/13

88

21

Funcţii: Graficul functiei exponentiala

xf : R (0, ), f(x)=a , a (1, )→ ∞ ∈ ∞Proprietati :1.Funcţia exponenţială este convexă. 2. Monotonia: dacă a>1, atunci f este strict crescătoare; dacă 0<a<1, atunci f este strict descrescătoare. 3. Dacă a>1 şi x>0 atunci f(x)>1;

x<0 atunci f(x)<1; 0<a<1 şi x>0 atunci f(x)<1;

x<0 atunci f(x)>1. 4. Funcţia exponenţială este bijectivă 5. f este inversabila

1 1af : (0, ) , f (x) log x− −∞ → =R

11

PO

SD

RU

/15

6/1

.2/G

/13

88

21

Funcţii: Graficul functiei logaritm

af : (0, ) , f(x)=log (x), x,a (1, )∞ → ∈ ∞R

Proprietăţile funcţiei logaritmice 1. f(1)=0 orice x din domeniu2. Dacă a>0 funcţia logaritmică este

strict crescătoare; 3. Dacă a>0, x<1, atunci f(x) <0

a>0, x>1, atunci f(x) >04. Funcţia logaritmică este bijectivă 5. Funcţia logaritmică este inversabilă şi inversa ei este funcţia exponenţială.

1 -1 xf : (0, ), f (x)=a− → +∞R

12

PO

SD

RU

/15

6/1

.2/G

/13

88

21

Funcţii: Graficul functiei logaritm

af : (0, ) , f(x)=log (x), x,a (0,1)∞ → ∈R

Proprietăţile funcţiei logaritmice 1. Daca 0<a<1 funcţia logaritmică este strict descrescătoare4. 0<a<1, x<1, atunci f(x) >0

0<a<1, x>1, atunci f(x) <05. F este injectiva, surjectiva,bijectivă 6. Funcţia logaritmică este inversabilă şi inversa ei este funcţia exponenţială.

1 -1 xf : (0, ), f (x)=a− → +∞R

13

PO

SD

RU

/15

6/1

.2/G

/13

88

21

Funcţii: Graficul functiei sinus

f : [ 1,1], f(x)=sin x→ −R

Proprietăţile funcţiei 1. f este surjectiva2. f nu este injectiva3. f este periodica de perioada 2kπ4. f este impara5. f este marginita

6. f este bijectiva7. f este inversabila

f : , [ 1,1], f(x)=sin x2 2

π π − → −

1 -1f :[ 1,1] [ , ], f (x)= arcsin x2 2

− π π− → −

14

PO

SD

RU

/15

6/1

.2/G

/13

88

21

Funcţii: Graficul functiei cosinus

f : [ 1,1], f(x)= cos x→ −R

Proprietăţile funcţiei 1. f este surjectiva2. f nu este injectiva3. f este periodica de perioada 2kπ4. f este para5. f este marginita

6. f este bijectiva7. f este inversabila

[ ]f : 0, [ 1,1], f(x)= cos xπ → −

1 -1f :[ 1,1] [0, ], f (x)= arccos x− − → π

15

PO

SD

RU

/15

6/1

.2/G

/13

88

21

Funcţii: Graficul functiei tangenta

f : \ k , f(x)=tgx, k2

π + π → ∈

R R N

Proprietăţile funcţiei 1. f este surjectiva2. f nu este injectiva3. f este periodica de perioada kπ4. f este impara

5. f este bijectiva6. f este inversabila

f : , , f(x)=tgx2 2

π π − →

R

1 -1f : , , f (x)=arctgx2 2

− π π → −

R

16

PO

SD

RU

/15

6/1

.2/G

/13

88

21

Funcţii: Graficul functiei cotangenta

{ }f : \ k , f(x)=ctgx, kπ → ∈R R N

Proprietăţile funcţiei 1. f este surjectiva2. f nu este injectiva3. f este periodica de perioada kπ4. f este impara

5. f este bijectiva6. f este inversabila

( )f : 0, , f(x)=ctgxπ →R

1 -1f : (0, ), f (x)=arcctgx− → πR

17

PO

SD

RU

/15

6/1

.2/G

/13

88

21

Funcţii: Graficul functiei arcsinus

f :[ 1,1] , , f(x)= arcsin x2 2

π π − → −

Proprietăţile funcţiei 1. f este surjectiva2. f este injectiva3. f este bijectiva4. f este impara5. f este marginita6. f este inversabila

1 -1f : , [ 1,1], f (x)=sin x2 2

− π π − → −

18

PO

SD

RU

/15

6/1

.2/G

/13

88

21

Funcţii: Graficul functiei arccosinus

[ ]f :[ 1,1] 0, , f(x)= arccos x− → π

Proprietăţile funcţiei 1. f este surjectiva2. f este injectiva3. f este bijectiva4. f este marginita5. f este inversabila

1 -1f :[0, ] [ 1,1], f (x)= cos x− π → −

19

PO

SD

RU

/15

6/1

.2/G

/13

88

21

Funcţii: Graficul functiei arctangenta

f : , , f(x)= arc tgx2 2

π π → − R

Proprietăţile funcţiei 1. f este surjectiva2. f este injectiva3. f este bijectiva4. f este impara5. f este marginita6. f este inversabila

1 -1f : , , f (x)=tgx2 2

− π π − → R

20

PO

SD

RU

/15

6/1

.2/G

/13

88

21

Funcţii: Graficul functiei arccotangenta

f : (0, ), f(x)= arcctgx→ πR

Proprietăţile funcţiei 1. f este surjectiva2. f este injectiva3. f este bijectiva4. f este marginita5. f este inversabila

1 -1f : (0, ) , f (x)=ctgx− π →R