บทท 7
การแปลงเชงเสน
บทนจะศกษาการแปลงเชงเสน โดยปกตแลวสามารถใชการแปลงเพอท าใหปญหาตางๆ งายขน เชน การหาค าตอบของระบบสมการเชงเสน โดยการแปลงปญหาใหอยในรปเมทรกซเพอใหสะดวกในการหาค าตอบมากยงขน หรอตองการตรวจสอบวาฟงกชนทมเปนฟงกชนเพมหรอฟงกชนลด กท าการแปลงฟงกชนใหอยในรปอนพนธ แลวท าการพจารณาอนพนธของฟงกชนนน เปนตน การแปลงดงกลาวเปนฟงกชนและการแปลงเชงเสน T ทกลาวถดไปกเปนฟงกชนจากปรภมเวกเตอรหนงไปยงอกปรภมเวกเตอรหนง โดยฟงกชนอยในรป T v w ซงจะกลาวถงดงตอไปน
7.1 การแปลงเชงเสน
ความสมพนธทสมาชกแตละตวของเซตแรกจบคกบสมาชกของเซตอกเซตหนงเพยงตวเดยวเทานน ความสมพนธดงกลาวจะเรยกวา ฟงกชน (Function) หรอเรยกอกอยางวาการแปลง (Transformation) หรอการสง (Mapping)
ก าหนดให V และ W เปนปรภมเวกเตอร และ T เปนการแปลงจาก V ไป Wเขยนแทนดวย :T V W เมอ v V แปลงเปน w W ภายใตการแปลง T เขยนแทนดวย T v w
v T v w
V W
T
ภาพท 7.1 แสดงการแปลง T v w
228
บทนยามท 7.1 ก าหนดให V และ W เปนปรภมเวกเตอรบนสนาม F และ T ฟงกชนจาก V ไป W ทมคณสมบตดงตอไปน แลว T เปนการแปลงเชงเสนจากปรภมเวกเตอร V ไปยงปรภมเวกเตอร W 1. T u v T u T v ส าหรบทก ,u v ใน V 2. T ku kT u ส าหรบ u ใน V และ k เปนสเกลารใดๆ
หมายเหต :T V W แทน T เปนการแปลงเชงเสนจากปรภมเวกเตอร V ไปยงปรภมเวกเตอร W นนคอ T เปนฟงกชนทม V เปนโดเมน และสบเซตของ W เปนเรนจ
ตวอยางท 7.1 ก าหนดให 2 2:T R R โดยท , 5 ,0T a b b จงแสดงวา T เปนการแปลงเชงเสน วธท า ก าหนดให , , ,u a b v c d เมอ 2,u v R และ k เปนสเกลารใดๆ ดงนน u v , ,a b c d ,a c b d 1. T u v ,T a c b d
5 ,0b d
5 ,0 5 ,0b d T u T v 2. T ku ,T k a b
,T ka kb 5 ,0kb
5 ,0k b kT u ดงนน T เปนการแปลงเชงเสน
ตวอยางท 7.2 ก าหนดให 3 2:T R R โดยท 1 2 3 1 2, , ,T x x x x x จงแสดงวา T เปนการแปลงเชงเสน วธท า ก าหนดให 1 2 3 1 2 3, , , , ,u x x x v y y y เมอ 3,u v R และ k เปนสเกลารใดๆ ดงนน u v 1 2 3 1 2 3, , , ,x x x y y y
1 1 2 2 3 3, ,x y x y x y
229
1. T u v 1 1 2 2 3 3, ,T x y x y x y
1 1 2 2,x y x y 1 2 1 2, ,x x y y 1 2 3 1 2 3, , , ,T x x x T y y y
T u v T u T v 2. T ku 1 2 3, ,T k x x x
1 2 3, ,T kx kx kx
1 2,kx kx 1 2,k x x 1 2 3, ,kT x x x kT u
ดงนน T เปนการแปลงเชงเสน
ตวอยางท 7.3 ก าหนดให 2 2:T R R เปนฟงกชนท T u เปนภาพสะทอนของ u กบแกน x จงแสดงวา T เปนการแปลงเชงเสน วธท า
x
y
u
,a b
T u
,a b
ภาพท 7.2 แสดง T u เปนภาพสะทอนของ u กบแกน x
ดงนน T u เปนการแปลงท , ,T a b a b ก าหนดให , , ,u a b v c d เมอ 2,u v R และ k เปนสเกลารใดๆ
u v , ,a b c d
,a c b d
230
1. T u v ,T a c b d
,a c b d
,a c b d , ,a b c d , ,T a b T c d
T u T v 2. T ku ,T k a b
,T ka kb
,ka kb ,k a b ,kT a b kT u
ดงนน T เปนการแปลงเชงเสน ตวอยางท 7.4 ก าหนดให V เปนปรภมเวกเตอร และ k เปนสเกลารใดๆ ให :T V V โดยท T v kv จะไดวา T เปนการแปลงเชงเสน วธท า ถา 0 1k จะเรยก T วาเปนการยอสวน (Contraction) ของ V
ถา 1k จะเรยก T วาเปนการขยายสวน (Dilation) ของ V
x
y
v
kv
ภาพท 7.3 แสดง T วาเปนการยอสวน (Contraction) ของ V
231
x
y
v
kv
ภาพท 7.4 แสดง T วาเปนการขยายสวน (Dilation) ของ V
ตวอยางท 7.5 ก าหนดให 2 3:T R R โดยท , , ,2T x y x y x y x จงแสดงวา Tเปนการแปลงเชงเสน วธท า ก าหนดให 1 1 2 2, , ,u x y v x y เมอ 2,u v R และ k เปนสเกลารใดๆ ดงนน u v 1 1 2 2, ,x y x y 1 2 1 2,x x y y 1. T u v 1 2 1 2,T x x y y
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2, ,2x x y y x x y y x x 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2, ,2 2x y x y x y x y x x
1 1 1 1 1 2 2 2 2 2, ,2 , ,2x y x y x x y x y x 1 1 2 2, ,T x y T x y
T u T v 2. T ku 1 1,T k x y
1 1,T kx ky
1 1 1 1 1, ,2kx ky kx ky kx 1 1 1 1 1, , 2k x y k x y k x 1 1,kT x y kT u
ดงนน T เปนการแปลงเชงเสน จากตวอยางท 7.5 สามารถเขยนเวกเตอรในอยในรปของเมทรกซดงน
232
1 1
1 1
2 2 0
x yx x
T x yy y
x
ในกรณทวไป ถา A เปนเมทรกซขนาด m n จะได 11 12 13 1
21 22 23 2
1 2 3
...
...
... ... ... ......
...
n
n
m m m mn
a a a a
a a a aA
a a a a
และ
1
2
:
n
x
xu
x
เปนเวกเตอรใน nR แลว Au เปนเวกเตอรใน mR และฟงกชน : n mT R R
เมอ
11 12 13 1 1
21 22 23 2 2
1 2 3
...
...
... ... ... ... :...
...
n
n
m m m mn n
a a a a x
a a a a xT u Au
a a a a x
T เปนการแปลงเชงเสน เนองจาก u และ v เปนเมทรกซมต 1n และ k เปนสเกลารใดๆ 1. A u v Au Av 2. A ku k Au เรยกการแปลงเชงเสนขางตนนวา การแปลงเชงเมทรกซ (Matrix Transformation)
หมายเหต
1. จาก 1 2 3 1 2, , ,T x x x x x เขยนเวกเตอรใหอยในรปเมทรกซไดดงน
1 1
2 2
3 3
1 0 0
0 1 0
x x
T x x
x x
2. ให 2 2:T R R เปนการแปลงเชงเสน T u Au โดยท 1
2
xu
x
ถา 1 0
0 1A
เรยก T วาการสะทอน (Reflection) ของ u กบแกน x
233
ถา 1 0
0 1A
เรยก T วาการสะทอน (Reflection) ของ u กบแกน y
ถา cos sin
sin cosA
เรยก T วาการหมน (Rotation) เปนการหมนทวนเขม
นาฬกาเปนมม
3. ให 3 3:T R R เปนการแปลงเชงเสน T u Au โดยท 1
2
3
x
u x
x
ถา 1 0 0
0 1 0
0 0 1
A
เรยก T วาการสะทอนเทยบกบระนาบ xy
ถา 1 0 0
0 1 0
0 0 1
A
เรยก T วาการสะทอนเทยบกบระนาบ xz
ถา 1 0 0
0 1 0
0 0 1
A
เรยก T วาการสะทอนเทยบกบระนาบ yz
ถา 0 0
0 0
0 0
r
A r
r
เรยก T วาการเปลยนมต
ถา cos sin 0
sin cos 0
0 0 1
A
เรยก T วาการหมนทวนเขมนาฬกาไปเปนมม ใน
ระนาบ xy
234
ตวอยางท 7.6 ก าหนดใหV และ W เปนปรภมเวกเตอร :T V W โดยท 0T u เมอ u V และ 0 W จะเปนการแปลงเชงเสน และเรยกวา การแปลงศนย (Zero
Transformation)
วธท า ก าหนดให ,u v V และ k เปนสเกลารใดๆ 1. T u v 0
0 0 T u T v 2. T ku 0
0k kT u
ดงนน T เปนการแปลงเชงเสน
บทนยามท 7.2 ก าหนดใหV และ W เปนปรภมเวกเตอร :T V W โดยท 0T u เมอ u V และ 0 W จะเปนการแปลงเชงเสน และเรยกวา การแปลงศนย (Zero
Transformation)
บทนยามท 7.3 ก าหนดใหV เปนปรภมเวกเตอร :T V V โดยท T u u เมอ u V เรยก T วาการแปลงเอกลกษณ (Identity Transformation) บน V
ตวอยางท 7.7 ก าหนดใหV เปนปรภมเวกเตอร :T V V โดยท T u u เมอ u V จงแสดงวา T เปนการแปลงเชงเสน วธท า ก าหนดให ,u v V และ k เปนสเกลารใดๆ 1. T u v u v
T u T v 2. T ku ku kT u
ดงนน T เปนการแปลงเชงเสน
235
ตวอยางท 7.8 ก าหนดให ,V C a b เปนปรภมของฟงกชนคาจรงทตอเนองบนชวงปด
,a b ให : ,T C a b R โดยท b
a
T f f x dx เมอ ,f C a b จงแสดงวา T เปน
การแปลงเชงเสน วธท า ก าหนดให , ,f g C a b และ k เปนสเกลารใดๆ
1. T f g b
a
f g x dx
( )
b
a
f x g x dx
b b
a a
f x dx g x dx
T f T g
2. T kf b
a
kf x dx
b
a
k f x dx
kT f
ดงนน T เปนการแปลงเชงเสน
หมายเหต การแปลงบางอยางอาจดคลายกบจะเปนการแปลงเชงเสน แตไมเปนเชน :T R R โดยท 3 7T x x กราฟเปนกราฟเสนตรงในระนาบ xy แตไมเปนการแปลง
เชงเสนเนองจาก
T x y 3 7x y
3 3 7x y
แต T x T y 3 7 3 7x y
3 3 14x y
ซง T x y T x T y
ดงนน 3 7T x x ไมเปนการแปลงเชงเสน
236
บทนยามท 7.4 การแปลงเชงเสน :T V W เปนการแปลงเชงเสนไมเอกฐาน (Nonsingular Linear Transformation) กตอเมอ 1 0 0W VT
บทนยามท 7.5 ก าหนดให T เปนการแปลงเชงเสนจากปรภมเวกเตอร V ไปบนปรภมเวกเตอรW ถา T เปนทงการแปลงเชงเสนหนงตอหนงและทวถงแลว เรยก T วาเปนการแปลงเชงเสนถอดแบบ (Isomorphism) และเรยก V กบ W วาถอดแบบกน (V and W are isomorphic)
ตวอยางท 7.9 ก าหนดให ฟงกชน : n
nT R R ซงนยามโดย
1
2
1 2, ,...,:
n
n
x
xT x x x
x
ทกเวกเตอร 1 2, ,..., nx x x ใน nR จงแสดงวา T เปนการแปลงเชงเสนถอดแบบ (จะแสดงวา (1) ฟงกชน T เปนการแปลงเชง (2) T เปนฟงกชนหนงตอหนง (3) T เปนฟงกชนทวถง) วธท า (1) 1. ก าหนดให 1 2, ,..., nx x x และ 1 2, ,..., ny y y เปนเวกเตอรใน nR
1 2 1 2, ,..., , ,...,n nT x x x y y y 1 1 2 2, ,..., n nT x y x y x y
1 1
2 2
:
n n
x y
x y
x y
1 1
2 2
: :
n n
x y
x y
x y
1 2 1 2, ,..., , ,...,n nT x x x T y y y
237
2. ก าหนดให 1 2, ,..., nx x x เปนเวกเตอรใน nR และ k เปนสเกลารใดๆ
1 2, ,..., nT k x x x 1 2, ,..., nT kx kx kx
1
2
:
n
kx
kx
kx
1
2
:
n
x
xk
x
1 2, ,..., nkT x x x จาก 1.และ 2. จะไดวา T เปนการแปลงเชงเสน (2) จะแสดงวา T เปนการแปลงเชงเสน หนงตอหนง สมมตให 1 2 1 2, ,..., , ,...,n nT x x x T y y y
จะได 1 1
2 2
: :
n n
x y
x y
x y
ท าให 1 1 2 2, ,..., n nx y x y x y
ดงนน 1 2 1 2, ,..., , ,...,n nx x x y y y ดงนนสรปไดวา T เปนการแปลงเชงเสน หนงตอหนง (3) จะแสดงวา T เปนการแปลงเชงเสนทวถง
สมมตให 1
2
:
n
x
x
x
เปนเวกเตอรใน nR ดงนนจะม 1 2, ,..., nx x x เปนเวกเตอรใน nR
ท
1
2
1 2, ,...,:
n
n
x
xT x x x
x
เพราะฉะนน T เปนการแปลงเชงเสนทวถง
จาก (1),(2) และ (3) จะได T เปนการแปลงเชงเสนถอดแบบ ดงนน nR และ nR ถอดแบบกน
238
7.2 คณสมบตของการแปลงเชงเสน
ทฤษฎบทท 7.1 ก าหนดให V และ W เปนปรภมเวกเตอรบนสนาม F ถา :T V W เปนการแปลงเชงเสนแลว 1. 0T 0 2. T v T v ส าหรบทก v V 3. T u v T u T v ส าหรบทก ,u v V 4. T au bv aT u bT v ส าหรบทก ,u v V และ ,a b เปนสเกลาร ใดๆ
พสจน ก าหนดให ,u v V และ ,a b เปนสเกลารใดๆ 1. 0T 0.0T 0 0T
0 2. T v 1T v
1 T v T v 3. T u v 1T u v
1T u T v
1T u T v T u T v 4. T au bv T au T bv
aT u bT v
ทฤษฎบทท 7.2 ก าหนดให V และ W เปนปรภมเวกเตอรบนสนาม F ถา :T V W เปนการแปลงเชงเสนแลว
1 1
n n
i i i i
i i
T a v a T v
ส าหรบทก iv V และ ia เปนสเกลารใดๆ เมอ
1,2,3,...,i n
239
พสจน โดยวธอปนยเชงคณตศาสตร 1. ถา 1n จะได 1 1 1 1T a v a T v จรงตามนยามของการแปลงเชงเสน
2. สมมตให 1k และ 1 1
k k
i i i i
i i
T a v a T v
เปนจรง
จะพสจนวา 1 1
1 1
k k
i i i i
i i
T a v a T v
เปนจรง
จาก 1
1
k
i i
i
T a v
1 1
1
k
i i k k
i
T a v a v
1 1
1
k
i i k k
i
a T v a T v
1
1
k
i i
i
a T v
นนคอ 1 1
k k
i i i i
i i
T a v a T v
เปนจรงส าหรบทกๆ จ านวนเตมบวก n
ก าหนดให 1 2, ,..., nS v v v เปนฐานของปรภมเวกเตอร V และให :T V W
เปนการแปลงเชงเสน ถาทราบคาของ 1 2, ,...., nT v T v T v แลวสามารถหาคาของ
T v เมอ v V โดยการเขยน v ในรปผลรวมเชงเสนของเวกเตอรในฐานกอนแลวจงหาคา T v
สมมตให 1 1 2 2 .... n nv k v k v k v จาก T เปนการแปลงเชงเสน จะไดวา
1 1 2 2 .... n nT v k T v k T v k T v
ตวอยางท 7.10 ก าหนดให 1 2 3, ,S v v v เปนฐานของปรภมเวกเตอร 3R โดยท
1 1,1,1v 2 1,1,0v และ 3 1,0,0v และให 3 2:T R R เปนการแปลงเชงเสน โดยท
1 2,0T v 2 1,2T v และ 3 3, 4T v จงหา 1 2 3, ,T x x x และ 1,3,2T
วธท า เนองจาก 1 2 3, ,S v v v เปนฐานของปรภมเวกเตอร 3R ดงนนจะมจ านวนจรง
1 2 3, ,k k k ทท าให 1 2 3, ,x x x 1 1 2 2 3 3k v k v k v
1 2 31,1,1 1,1,0 1,0,0k k k
240
จะได 1 2 3k k k 1x
1 2k k 2x 1k 3x นนคอ 1k 3x
2k 2 3x x 3k 1 2x x ดงนน 1 2 3, ,x x x 3 1 2 3 2 1 2 3x v x x v x x v นนคอ 1 2 3, ,T x x x 3 1 2 3 2 1 2 3x T v x x T v x x T v
3 2 3 1 22,0 1,2 3, 4x x x x x 3 2 3 2 3 1 2 1 22 ,0 ,2 2 3 3 , 4 4x x x x x x x x x 1 2 3 1 2 33 4 3 , 4 6 2x x x x x x 1,3,2T 3 1 4 3 3 2 , 4 1 6 3 2 2 9,18
ตวอยางท 7.11 ก าหนดให 2 2:T P P เปนการแปลงเชงเสน โดยท 1 2T x
23T x x x 2 25T x x x จงหา 2
0 1 2T a a x a x และ 23 4 2T x x วธท า ให 21, ,S x x ดงนน S เปนฐานหลกของ 2P และเนองจาก 2 2:T P P เปนการแปลงเชงเสน ดงนน 2
0 1 2T a a x a x 2
0 1 2T a T a x T a x 2
0 1 21a T a T x a T x 2 2
0 1 22 3 5 a x a x x a x x 2
0 1 2T a a x a x 2
0 2 0 1 2 1 22 5 3a a a a a x a a x และ 23 4 2T x x 22 3 5 4 3 3 4 2 3 4x x
23 11 7x x
241
ตวอยางท 7.12 ก าหนดให 0 1 2, ,S p p p เปนฐานของ 2P โดยท 0p x 2
1, 1p x 2
2p x x ถา 2 3:T P P เปนการแปลงเชงเสน เมอ 0T p x 3
1, 1T p x และ
2 3
2T p x x จงหา 25 7 3T x x วธท า เนองจาก 0 1 2, ,S p p p เปนฐานของ 2P จะมสเกลาร 0 1,k k และ 2k ทท าให 25 7 3x x 0 0 1 1 2 2k p k p k p (1) 2 2
0 1 21k x k x k x x
2
1 0 2 1 2k k k x k k x จะได 1k 5
0 2k k 7 1 2k k 3 นนคอ จะได 0k 9
1k 5 2k 2 จาก (1) จะได
25 7 3x x 0 1 29 5 2p p p 25 7 3T x x 0 1 29 5 2T p T p T p 3 2 39 1 5 1 2x x x x
2 34 9 2 3x x x
ทฤษฎบทท 7.3 ก าหนดให : n mT R R เปนการแปลงเชงเสนแลวจะมเมทรกซ A มต m n ซง T v Av ส าหรบทกๆ v ใน nR พสจน ก าหนดให 1 2, ,..., ne e e เปนฐานของ nR โดยท
1 2
1 0 0
0 1 0
, ,....,0 0 0
: : :
0 0 1
ne e e
242
ให เมทรกซ A มต m n ทม 1 2, ,..., nT e T e T e เปนเวกเตอรหลก
ถา
11 12 1
21 22 2
1 31 2 32 3
1 2
, ,....,
: : :
n
n
n n
m m mn
a a a
a a a
T e a T e a e a
a a a
แลว 11 12 13 1
21 22 23 2
1 2 3
...
...
... ... ... ......
...
n
n
m m m mn
a a a a
a a a aA
a a a a
จะแสดงวา การแปลงเชงเสน : n mT R R น T v Av
ให 1
2
1 1 2 2 ...:
n n
n
x
xv x e x e x e
x
เนองจาก T เปนการแปลงเชงเสน ดงนน
1 1 2 2 ... n nT v x T e x T e x T e
แต Av 11 12 13 1 1
21 22 23 2 2
1 2 3
...
...
... ... ... ... :...
...
n
n
m m m mn n
a a a a x
a a a a x
a a a a x
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
1 1 2 2
...
...
:
...
n n
n n
m m mn n
a x a x a x
a x a x a x
a x a x a x
11 12 1
21 22 2
1 31 2 32 3
1 2
...
: : :
n
n
n n
m m mn
a a a
a a a
x a x a x a
a a a
1 1 2 2 ... n nx T e x T e x T e แสดงวา T v Av
243
ตวอยางท 7.13 จงหาเมทรกซมาตรฐานส าหรบการแปลง 3 4:T R R โดยท 2 3
1
1
2
1 2
3
2
x xx
xT x
x xx
x
วธท า 1
01
10
10
0
T e T
2
10
01
10
1
T e T
และ 3
10
00
01
0
T e T
เมทรกซมาตรฐานส าหรบ T คอ
0 1 1
1 0 0
1 1 0
0 1 0
T
นนคอ T v T v
1
2
3
0 1 1
1 0 0
1 1 0
0 1 0
x
x
x
2 3
1
1 2
2
x x
x
x x
x
ตวอยางท 7.14 ให : n mT R R เปนการแปลงเชงเสน ซง 11 12 13 1
21 22 23 2
1 2 3
...
...
... ... ... ......
...
n
n
m m m mn
a a a a
a a a aA
a a a a
และ T v Av จงหาเมทรกซมาตรฐานส าหรบ T
วธท า
11 12 13 1 11
21 22 23 2 21
1 1
1 2 3 1
... 1
... 0
... ... ... ... :... :
... 0
n
n
m m m mn m
a a a a a
a a a a aT e Ae
a a a a a
ดงนนเมทรกซมาตรฐาน ส าหรบ T คอ 1 2/ / ... / nT e T e T e A นนคอเมทรกซมาตรฐานส าหรบการแปลงเชงเมทรกซคอเมทรกซตวมนเอง
244
ถา 3 4 7
5 3 8A
แลว A จะเปนเมทรกซมาตรฐานส าหรบการแปลงเชงเสน
จาก 3 2R R ทสง 1 2 3
1 0 0
0 , 1 , 0
0 0 1
e e e
ไปยง 3 4 7, ,
5 3 8
ตามล าดบ
ทฤษฎบทท 7.4 ก าหนดให V เปนปรภมเวกเตอร ซงมฐานคอ 1 2, ,..., nS v v v และมปรภมเวกเตอร W ซงมสมาชก 1 2, ,..., nw w w แลวจะมการแปลงเชงเสน T เพยงการแปลงเดยวเทานน ท :T V W ซง i iT v w ส าหรบ 1,2,...,i n
พสจน นยามฟงกชน T ไดดงน 1. i iT v w 2. ถา 1 1 2 2 ... n nv k v k v k v แลว
1 1 2 2 ... n nT v k w k w k w เนองจาก W เปนปรภมเวกเตอร ดงนน T v W ตอไปจะแสดงวา T เปนการแปลงเชงเสน ให 1 1 2 2 ... n nu k v k v k v และ 1 1 2 2 ... n nv l v l v l v แลว T u v 1 1 1 2 2 2 ... n n nT k l v k l v k l v
1 1 1 2 2 2 ... n n nk l w k l w k l w T u v 1 1 2 2 1 1 2 2... ...n n n nk w k w k w l w l w l w T u T v และ T ku 1 1 2 2 ... n nT k k v k k v k k v
1 1 2 2 ... n nkk w kk w kk w 1 1 2 2 ... n nk k w k w k w kT u นนคอ :T V W เปนการแปลงเชงเสน ซง i iT v w ส าหรบ 1,2,...,i n ก าหนดให :L V W เปนการแปลงเชงเสน ซง i iL v w ส าหรบ 1,2,...,i n จะพสจนวาT L
245
ให v V โดยท 1 1 2 2 ... n nv k v k v k v
T v 1 1 2 2 ... n nk w k w k w L v 1 1 2 2 ... n nk w k w k w ดงนน T v L v ส าหรบทกๆ v V นนคอ T L ตวอยางท 7.15 ก าหนดปรภมเวกเตอร 2R และ 3R และให
3, , / 3 0W x y z R x y z จะไดวา W เปนปรภมยอยของ 3R และฐานมาตรฐานของ 2R คอ 1 2,S v v โดยท 1 1,0v และ 2 0,1v จงหาการแปลงเชงเสน
2:T R W วธท า ถา , ,x y z W แลว 3y x z ให ,x s z t เมอ ,s t R จะได 3y s t ดงนนเวกเตอร w , ,x y z
, 3 ,s s t t , ,0 0, 3 ,s s t t 1,1,0 0, 3,1s t แสดงวา 1,1,0 , 0, 3,1W span และ 1,1,0 , 0, 3,1 เปนอสระเชงเสน เนองจากแตละเวกเตอรไมเปนผลคณสเกลารของอกเวกเตอรหนง และ 1,1,0 , 0, 3,1 เปนฐานของ W จะมการแปลงเชงเสน 2:T R W เพยงฟงกชนเดยวทท าให 1 1T v w และ
2 2T v w ให 2,x y R จะได
,x y 1,0 0,1x y ดงนน ,T x y 1,0 0,1T x y
1,0 0,1xT yT 1,1,0 0, 3,1x y , 3 ,x x y y
246
ทฤษฎบทท 7.5 ก าหนดให :T V W และ :L V W เปนการแปลงเชงเสน จะไดวาT L และ kT เปนการแปลงเชงเสน เมอ 1. :T L V W นยามโดย T L v T v L v
2. :kT V W นยามโดย kT v k T v
พสจน จะพสจนวา :T L V W เปนการแปลงเชงเสน ก าหนดให ,u v เปนเวกเตอรใน V และ l เปนสเกลารใดๆ 1. T L u v T u v L u v T u T v L u L v T u L u T v L v
T L u v T L u T L v 2. T L lv T lv L lv lT v lL v l T v L v l T L v ดงนน T L เปนการแปลงเชงเสน จะพสจนวา kT เปนการแปลงเชงเสน ก าหนดให ,u v เปนเวกเตอรใน V และ l เปนสเกลารใดๆ 1. kT u v kT u v k T u T v kT u k T v 2. kT lv kT lv k lT v kl T v l kT v
l kT v ดงนน kT เปนการแปลงเชงเสน
247
7.3 เรนจและเคอรเนลของการแปลงเชงเสน
บทนยามท 7.6 ก าหนดให :T V W เปนการแปลงเชงเสน เรนจ (Range) ของ T เขยนแทนดวย R T จะเปนเซตของเวกเตอรใน W ทเปนภาพของเวกเตอรทงหมดใน V ภายใต T นนคอ / ,R T w W T v w v V
บทนยามท 7.7 ก าหนดให :T V W เปนการแปลงเชงเสน เคอรเนล (Kernel) ของ T เขยนแทนดวย ker T จะเปนเซตของเวกเตอรใน V ซง T สงสมาชกตวนไปทเวกเตอร 0 ใน W นนคอ ker / 0T v V T v
ตวอยางท 7.16 จงพจารณาวาเวกเตอรตอไปนอยในเรนจ ของการแปลงเชงเสน 3 2:T R R เมอ , , ,T a b c a b c
1. 2, 1
2. 4,7
วธท า 1. พจารณาวามบางเวกเตอร , ,a b c โดยท
, ,T a b c 2, 1 , ,T a b c ,a b c 2, 1 จะได a 2 (1) b c 1 (2) จะเหนไดวามค าตอบหนงในหลายๆค าตอบของสมการ (2) คอ 0b และ 1c นนคอ 2,0,1T 2, 1 ดงนน 2, 1 เปนเรนจของ 2,0,1 และท าให 2, 1 อยในเรนจของ T หรอ R T 2. พจารณาวามบางเวกเตอร , ,a b c โดยท
, ,T a b c 4,7 , ,T a b c ,a b c 4,7 จะได a 4 (3) b c 7 (4) จะเหนไดวามค าตอบหนงในหลายๆค าตอบของสมการ (4) คอ 9b และ 2c
248
นนคอ 4,9,2T 4,7 ดงนน 4,7 เปนเรนจของ 4,9,2 และท าให 4,7 อยในเรนจของ T หรอ R T
ตวอยางท 7.17 จงพจารณาวาเวกเตอรตอไปนเวกเตอรใดเปนสมาชกใน ker T ของการแปลงเชงเสน 3 2:T R R เมอ , , ,T a b c a b c
1. 0,0,0
2. 0,5, 5
3. 1,1,0
4. 0,7,7
วธท า 1. เนองจาก 0,0,0T 0,0 0
0,0 ดงนน 0,0,0 ker T 2. เนองจาก 0,5, 5T 0,5 5
0,10 ดงนน 0,5, 5 ker T 3. เนองจาก 1,1,0T 1,1 0
1,1 ดงนน 1,1,0 ker T 4. เนองจาก 0,7,7T 0,7 7
0,0 ดงนน 0,7,7 ker T
ตวอยางท 7.18 ก าหนดการแปลงเชงเสน 3 3:T R R เมอ , , 0, ,T a b c a b จงหา
R T และ ker T วธท า จะไดวาเรนจของ T จะเปนระนาบ yz เขยนไดในรป
R T 0, , / ,a b a b R และ 3ker , , / 0,T a b c R a b c R 30,0, /c R c R
249
ตวอยางท 7.19 ก าหนดการแปลงเชงเสน 3 3:T R R เมอ
1 2 3 1 3 1 2 3 1 2 3, , , 2 ,2 3T x x x x x x x x x x x จงหา ker T และ R T
วธท า 1
2
3
x
T x
x
1 3
1 2 3
1 2 3
2
2 3
x x
x x x
x x x
1
2
3
1 0 1
1 1 2
2 1 3
x
x
x
ให 1 0 1
1 1 2
2 1 3
A
1 1
3
2 2
3 3
0
/ 0
0
x x
Ker T x R A x
x x
พจารณาสมการ 1
2
3
0
0
0
x
A x
x
จะไดเมทรกซแตงเตมดงน 1 0 1 0
1 1 2 0
2 1 3 0
ใชการด าเนนการแบบแถวได 1 0 1 0
0 1 1 0
0 0 0 0
จะได 1 3x x 2 3x x ให 3x s โดยท s เปนสเกลารใดๆ จะได
1x s 2x s 3x s
เพราะฉะนน
1
1 /
1
Ker T s s R
250
ให 1
2
3
a
a
a
เปนเวกเตอรใดๆใน 3R จะหา 1
2
3
x
x
x
ใน 3R ทท าให
1 1
2 2
3 3
x a
T x a
x a
จาก 1
2
3
x
T x
x
1
2
3
a
a
a
จะได 1
2
3
1 0 1
1 1 2
2 1 3
x
x
x
1
2
3
a
a
a
จะไดเมทรกซแตงเตมดงน 1
2
3
1 0 1
1 1 2
2 1 3
a
a
a
ใชการด าเนนการแบบแถวได 1
2 1
3 2 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0
a
a a
a a a
จะมผลเฉลยเมอ 3 2 1 0a a a
เพราะฉะนน 1
2 3 3 2 1
3
/ 0
a
R T a R a a a
a
ทฤษฎบทท 7.6 ก าหนดให :T V W เปนการแปลงเชงเสน แลว 1. ker T เปนปรภมยอยของ V 2. R T เปนปรภมยอยของ W พสจน 1. ก าหนดให ,u v เปนเวกเตอรใน ker T และ k เปนสเกลารใดๆ
T u v T u T v
0 0w w 0w
251
ดงนน keru v T
T ku kT u
0wk 0w ดงนน kerku T จงสรปไดวา ker T เปนปรภมยอยของ V 2.ก าหนดให 1 2,w w เปนเวกเตอรใน R T และ k เปนสเกลารใดๆ จากนยามของ R T จะม 1v และ 2v ใน V ทซง 1 1T v w และ 2 2T v w เนงจาก 1 2T v v 1 2T v T v
1 2w w ดงนน 1 2w w R T
1T kv 1kT v
1kw ดงนน 1kv R T จงสรปไดวา R T เปนปรภมยอยของ W
ทฤษฎบท 7.7 ก าหนดให :T V W เปนการแปลงเชงเสน ขอความตอไปนสมมลกน
(1) T เปนการแปลงเชงเสนไมเอกฐาน (2) T เปนการแปลงเชงเสนหนงตอหนง (3) มการแปลงเชงเสน * :T range T V ทท าให *
VT T I
พสจน (1) (2) สมมตให T เปนการแปลงเชงเสนจาก V ไปยง W และ T เปนการแปลงเชงเสน
ไมเอกฐาน เพราะฉะนน 1 0 0W vT ก าหนดให 1 2,v v V โดยท 1 2T v T v หรอ 0w 1 2 1 2T v T v T v v
252
เพราะฉะนน 1
1 2, 0Wv v T นนคอ 1 2 0vv v ผลทตามมาคอ 1 2 0vv v ซงท าให 1 2v v ดงนน T เปนการแปลงเชงเสนหนงตอหนง (2) (3) สมมตวา T เปนการแปลงเชงเสน 1-1 ดงนน :T V rangeT เปนการแปลงเชงเสนถอดแบบ จาก 1 :T rangeT V เปนการแปลงเชงเสนถอดแบบ นยามการแปลงเชงเสน * :T rangeT V โดยท * 1T T ดงนน *T เปนการแปลงเชงเสนถอดแบบดวย สรปวามการแปลงเชงเสน * :T rangeT V ทท าให *
VT T I (3) (1) สมมตวามการแปลงเชงเสน * :T rangeT V ทท าให *
VT T I ก าหนดให v เปนสมาชกของ 1 0WT เพราะฉะนน 0wT v จะได * *T T v T หรอ 0wv ดงนน 1 0 0W VT นนคอ T เปนการแปลงเชงเสนไมเอกฐาน
บทนยามท 7.8 ก าหนดให :T V W เปนการแปลงเชงเสน คาล าดบชนของ T (Rank of T ) คอ มตของปรภมเวกเตอร R T คานลลตของ T (Nullity of T ) คอ มตของปรภมเวกเตอร ker T
ตวอยางท 7.20 ก าหนดใหการแปลงเชงเสน 3 3:T R R ซงนยามโดย
1 1
2 2
3 3
0 1 1
1 1 0
0 1 2
a a
T a a
a a
จงหาคาล าดบชนของ T และคานลลตของ T
วธท า ก าหนดให a
v b
c
เปนเวกเตอรใน 3R
253
พจารณาระบบสมการ 1
2
3
0 1 1
1 1 0
0 1 2
x a
x b
x c
จะไดเมทรกซแตงเตมของระบบสมการคอ 0 1 1
1 1 0
0 1 2
a
b
c
ใชการด าเนนการแบบแถวได 1 0 0 2
0 1 0 2
0 0 1
b c a
a c
c a
ดงนนผลเฉลยของระบบสมการคอ 1 22 , 2x b c a x a c และ 2x c a
ทกเวกเตอร a
b
c
ใน 3R มเวกเตอร 2
2
b c a
a c
c a
ใน 3R ทท าให 2
2
b c a a
T a c b
c a c
เพราะฉะนน T เปนการแปลงเชงเสนแบบทวถง ท าใหได 3R T R นนคอ ล าดบชนของ T = มตของ 3R = 3
พจารณาระบบสมการ 1
2
3
0 1 1 0
1 1 0 0
0 1 2 0
x
x
x
ซงระบบสมการเอกพนธ
เพราะวา 0 1 1
1 1 0
0 1 2
เปนเมทรกซไมเอกฐาน จะไดวามผลเฉลยชด คอ
1 20, 0x x และ 3 0x
จะไดวา 1
2
3
0
0
0
x
T x
x
กตอเมอ 1
2
3
0
0
0
x
x
x
ดงนน
0
0
0
Ker T
นนคอ dim Ker T = มตของ 0
0 0
0
จะได คานลลตของ 0T
254
7.4 เมทรกซของการแปลงเชงเสน
ในหวขอนจะกลาวถง เมทรกซทจะเปนตวแทนของการแปลงเชงเสน (Matrices of
Linear Transformations) แทนทจะพจารณาสมบตของการแปลงเชงเสน อาจพจารณาสมบตของเมทรกซซงเปนตวแทนของการแปลงเชงเสน พจารณาการแปลงเชงเสนจากตวอยางตอไปน ตวอยางท 7.21 ก าหนดให 3 4:T R R นยามโดย
1 2 3 2 1 1 2 2 3, , , , ,T x x x x x x x x x ดงนน 1 1,0,0 1,1,0,0T e T
2 0,1,0 1,1,1,0T e T 3 0,0,1 0,0,0,1T e T เมอ 1 2,e e และ 3e เปนเวกเตอรฐานหลกแบบมาตรฐานของ 3R จะได 1 2 3, ,T x x x 1 2 3,0,0 0, ,0 0,0,T x x x
1 2 31,0,0 0,1,0 0,0,1T x x x
1 2 31,0,0 0,1,0 0,0,1x T x T x T 1 2 31,1,0,0 1,1,1,0 0,0,0,1x x x
1 21 2
1 21 2
22
3 3
0
0
00
0 0
x xx x
x xx x
xx
x x
จะเหนวา 1
1 2 3 2
3
1 1 0
1 1 0, ,
0 1 0
0 0 1
x
T x x x x
x
ดงนน ก าหนดให
1 1 0
1 1 0
0 1 0
0 0 1
m T
จะเหนวาหลกท 1, 2 และ 3 ไดมาจาก 1 2,T e T e และ 3T e ตามล าดบ ขณะนจะเหนไดวา การแปลงเชงเสน T และเมทรกซ m T มความสมพนธกนโดย
255
1
1 2 3 2
3
1 1 0
1 1 0, ,
0 1 0
0 0 1
x
T x x x x
x
ตอไปพจารณาในความหมายทกวางขน ก าหนด ให : n mT R R เปนการแปลงเชงเสนและ
1 2, ,..., ne e e เปน เวกเตอรฐานหลกแบบมาตรฐานของ nR เมอ
11 12 13 1 1
21 22 23 2 2
1 2 3
...
...
... ... ... ... :...
...
n
n
m m m mn n
a a a a x
a a a a xT u Au
a a a a x
สมมตให 1 11 21 31 11,0,0,...,0 , , ,..., mT e T a a a a
2 12 22 32 20,1,0,...,0 , , ,..., mT e T a a a a 3 13 23 33 30,0,1,...,0 , , ,..., mT e T a a a a
1 2 30,0,0,...,1 , , ,...,n n n n mnT e T a a a a
และก าหนดให
11 12 13 1
21 22 23 2
1 2 3
...
...
... ... ... ......
...
n
n
m m m mn
a a a a
a a a am T
a a a a
1 2 3 ... nT e T e T e T e ก าหนดให x เปนเวกเตอรใน nR โดยท 1 2, ,..., nx x x x ดงนน
1 1 2 2 ... n nx x e x e x e เพราะฉะนน T x 1 1 2 2 ... n nT x e x e x e
1 1 2 2 ... n nx T e x T e x T e
256
11 12 1
21 22 2
1 2
1 2
...: : :
n
n
n
m m mn
a a a
a a ax x x
a a a
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
1 1 2 2
...
...
:
...
n n
n n
m m mn n
a x a x a x
a x a x a x
a x a x a x
11 12 13 1 1
21 22 23 2 2
1 2 3
...
...
... ... ... ... :...
...
n
n
m m m mn n
a a a a x
a a a a x
a a a a x
ดงนน T x m T x
บทนยามท 7.9 ก าหนดให T เปนการแปลงเชงเสน และ 1 2, ,..., ne e e เปนเวกเตอรฐาน
หลกแบบมาตรฐานของ nR A เปนเมทรกซมต m n ซงหลกท i ของ A คอ iT e ทกคา 1,2,...,i n เรยก A วาเปนเมทรกซของการแปลงเชงเสน T แบบมาตรฐาน ( Standard Matrix of a Linear Transformation T )
ตอไปจะศกษาเมทรกซของการแปลงเชงเสน T จากปรภมเวกเตอรมตจ ากด V ไปยงปรภมเวกเตอรมตจ ากด W ก าหนดให V ปรภมเวกเตอรมต n และ 1 2, ,..., nB v v v เปนฐานหลกของปรภมเวกเตอร V ดงนนทกเวกเตอร v ใน V จะม สเกลาร 1 2, ,..., nk k k ทท าให
1 1 2 2 ... n nv k v k v k v เพราะฉะนน พกดของ v เทยบกบฐานหลก B คอ
1
2
:B
n
k
kv
k
ก าหนดให W ปรภมเวกเตอรมต m และ 1 12 1, ,..., nC w w w เปนฐานหลกของ W ดงนนทกเวกเตอร w ใน W จะมสเกลาร
1 2, ,..., nl l l ทท าให
257
1 1 2 2 ... n nw l w l w l w หรอ
1
2
:C
n
l
lw
l
ก าหนดให :T V W เปนการแปลงเชงเสน ดงนน 1T v เปนเวกเตอรใน W นนคอมสเกลาร 11 21 1, ,..., ma a a ทท าให
1 11 1 21 2 1... m mT v a w a w a w
ซงท าใหได
11
21
1
1
:C
m
a
aT v
a
ในท านองเดยวกน ส าหรบแตละ j ซง 2 j n จะมสเกลาร
1 2, ...,j j mja a a ทท าให 1 1 2 2 ...j j j mj mT v a w a w a w
ดงนน
1
2
:
j
j
jC
mj
a
aT v
a
ก าหนดให
11 12 13 1
21 22 23 2
1 2 3
...
...
... ... ... ......
...
n
n
m m m mn
a a a a
a a a am T
a a a a
และถา v เปนเวกเตอรใดๆ ใน V โดยท
1
2
:B
n
k
kv
k
จาก T v 1 1 2 2 ... n nT k v k v k v 1 1 2 2 ... n nk T v k T v k T v 1 11 1 21 2 1 2 12 1 22 2 2... ... ...m m m mk a w a w a w k a w a w a w 1 1 2 2 ...n n n mn mk a w a w a w
1 11 2 12 1 1 1 21 2 22 2 2... ... ...n n n nk a k a k a w k a k a k a w 1 1 2 2 ...m m n mn mk a k a k a w
258
ดงนน C
T v 1 11 2 12 1
1 21 2 22 2
1 1 2 2
...
...
:
...
n n
n n
m m n mn
k a k a k a
k a k a k a
k a k a k a
11 12 13 1 1
21 22 23 2 2
1 2 3
...
...
... ... ... ... :...
...
n
n
m m m mn n
a a a a k
a a a a k
a a a a k
B
m T v
นนคอ BC
T v m T v
บทนยามท 7.10 ก าหนดให V และ W เปนปรภมเวกเตอรมตจ ากด B และ C เปนฐานหลกของ V และ W ตามล าดบ ฟงกชน :T V W เปนการแปลงเชงเสน เมทรกซ
ij m nm T a
เรยกวาเปน เมทรกซของการแปลงเชงเสนขนอยกบฐานหลก B
และ C กตอเมอ B C
m T v T v ทกเวกเตอร v ใน V
ก าหนดให :T V W เปนการแปลงเชงเสนซง B และ C เปนฐานหลกV และ W ตามล าดบ สามารถหาคา T V โดยอาศยเมทรกซของการแปลงเชงเสนไดดงน ส าหรบเวกเตอร v ใน V 1. หาพกดของ v ทสมพทธกบฐานหลก B 2. หาพกดของ iT v ทสมพทธกบ C ทกเวกเตอร iv ใน B 3. ก าหนดให m T เปนเมทรกซมต m n โดยทใหหลกท i ของ m T คอ i C
T v ทกคา i 4.
BCT v m T v
จากลกษณะของ m T จะพบวา m T จะขนกบฐานหลก B ของปรภมเวกเตอร V และกยงขนอยกบล าดบทของเวกเตอรในฐานหลก B อกดวยปญหาทสนใจ ในขนแรกคอเมทรกซของการแปลงเชงเสน T ทขนอยกบฐานหลก B และ C ของปรภมเวกเตอร V และ W ตามล าดบ จะมไดกแบบ ถาล าดบทของเวกเตอรใน B และ C ไมเปลยนแปลง
259
ทฤษฎบท 7.8 ก าหนดให V และ W เปนปรภมเวกเตอร มต n และ m ตามล าดบ ซง :T V W เปนการแปลงเชงเสน 1 2, ,..., nB v v v และ 1 2, ,..., mC w w w เปนฐานหลก
ของ V และ W ตามล าดบจะไดวาเมทรกซของการแปลงเชงเสน T ทขนอยกบฐานหลกของ B และ C มไดแบบเดยวเทานน
พสจน ก าหนดให m T และ m T เปนเมทรกซของการแปลงเชงเสน T ทขนอยกบฐานหลกของ B และ C จะแสดงวา m T m T ก าหนดให kl m n
m T a
และ kl m nm T a
ส าหรบทกเวกเตอร iv ใน B , 1 i n ไดวาพกดของ iv ทสมพทธกบฐานหลก B คอ
0
0
:
1
0
:
0
i Bv
thi และ iT v มพกดสมพทธกบ C เปน i CT v
ดงนน
0 0
0 0
: :
1 1
0 0
: :
0 0
i Cm T T v m T
นนคอ
0 0
0 0
: :
1 1
0 0
: :
0 0
kl klm n m na a
260
จะไดวา 1 1
2 2
: :
i i
i i
mi mi
a a
a a
a a
ดงนน kl kla a ทกคา 1,2,..,k m ทกคา 1,2,..,l n และ
สามารถสรปไดวา kl kla a kta = kta ทกคา 1,2,..,k m ทกคา 1,2,..,l n นนคอ m T m T
ตวอยางท 7.22 ก าหนดให V เปนปรภมพหนามคาจรง ซงมดกรนอยกวาหรอเทากบ 2 นยามโดย 5 2T p x p x p x p x ทก p x ใน V จงหาเมทรกซของ T ทขนกบฐานหลก 21, ,B x x เมอ p x และ p x เปนอนพนธอนดบท 1 และ 2 ของ p x ตามล าดบ วธท า 1T p 5 1 2 1 1p p p 1
21 1 0 0x x
T p x 5 2p x p x p x 2 x
22 1 1 0x x
2T p x 2 2 25 2p x p x p x 210 4x x
210 1 4 1x x
ดงนนเมทรกซของ T ทขนกบฐานหลก 1 2 10
0 1 4
0 0 1
B
บทสรป
การแปลงเชงเสนเปนฟงกชนจากปรภมเวกเตอรหนงไปยงปรภมอกเวกเตอรหนง ซงสอดคลองกบคณสมบต 2 ขอ เรยกการแปลงเชงเสนวาการแปลงเชงเสนถอดแบบ ถาการแปลงเชงเสนนนเปนการแปลงเชงเสนหนงตอหนงและทวถง คาล าดบชนและคานลลตของการแปลงเชงเสนเปนมตของเรนจและมตของเคอรเนลของการแปลงเชงเสนนนตามล าดบ
261
แบบฝกหด
1. จงตรวจสอบวาฟงกชนทก าหนดใหตอไปนเปนการแปลงเชงเสนหรอไม 1.1 2 2: , , ,T R R T x y x y x y
1.2 2: , ,T R R T x y xy 1.3 2 3: , , 1, ,T R R T x y x y x y
1.4 3 3: , , , , ,T R R T x y z x y y x z
2. จงตรวจสอบวาฟงกชนทก าหนดใหตอไปนเปนการแปลงเชงเสนหรอไม 2.1 : , T
nn nnT M M T A A 2.2 : , T
nn nnT M M T A A A
2.3 : , T
nn nnT M M T A A A
3. จงตรวจสอบวาฟงกชนทก าหนดใหตอไปนเปนการแปลงเชงเสนหรอไม
3.1 2
2 1 0 1 2 0 1: ,T P P T a a x a x a a x
3.2 2
2 1 0 1 2 1 2: ,T P P T a a x a x a a x
3.3 2
2 4: ,T P P T p x p x
4. จงอธบายความหมายทางเรขาคณตของการแปลงเชงเสนทก าหนดใหตอไปน
4.1 2 2: , , 0,T R R T x y y 4.2 2 2: , , ,T R R T x y x y
4.3 3 3: , , , 0, ,T R R T x y z y z
5. จงแสดงวาฟงกชน 22 23:T M M ก าหนดโดย T A AB เมอ B เปนเมทรกซมต 2 3 เปนการแปลงเชงเสน
6. ก าหนดให T เปนตวด าเนนการเชงเสนบน 3R และ ,u v เปนเวกเตอรอสระเชงเสนใน 2R ถา T u u และ T v v แลวจงแสดงวา T เปนการแปลงเอกลกษณ
7. ก าหนดให 3 4:T R R เปนการแปลงเชงเสนและ 1 2 3, ,s v v v เปนฐานหลกของ 3R
โดยท 1 22, 1,1 , 0,1,3v v และ 3 1,4,2v จงหา
7.1 1 2 3, ,T x x x เมอ 1 11,0,1,1 , 1, 1,2,3T v T v และ 3 0, 2,1,5T v
7.2 2,0,4T
262
8. ก าหนดให 2 2:T P P เปนการแปลงเชงเสนและ 1 2 3, ,s p p p เปนฐานหลกของ 2P
โดยท 2 2 2
1 2 34 3 , 6 5 2 , 8 4p x x p x x p x x และ
2 2
1 21 ,T p x x T p x x 2
3,T p x จงหา 220 30T x x
9. ก าหนดให 2 2:T R R เปนการแปลงเชงเสน โดย , ,0T a b a
9.1 0,2 เปนเวกเตอรใน Ker T หรอไม
9.2 0,2 เปนเวกเตอรใน Ker T หรอไม
9.3 3,0 เปนเวกเตอรใน range T หรอไม
9.4 3,2 เปนเวกเตอรใน range T หรอไม
9.5 จงหา Ker T และ range T
10. ก าหนดให :T V W เปนการแปลงเชงเสน จงพสจนวา T เปนการแปลงหนงตอหนง ก ตอเมอ dim dimrange T V 11. ก าหนดให :T V W เปนการแปลงเชงเสน จงพสจนวา T เปนการแปลงหนงตอหนง ก ตอเมอเซตของเวกเตอรทเปนภาพฉายของเวกเตอรทเปนอสระเชงเสนใน V จะเปนอสระ เชงเสนใน W