97

บทท่ี 6 แรงปฏิกิริยาและฐานรองรับ

6.1 ความน า การวิเคราะห์เพื่อการออกแบบ หาขนาดและความแข็งแรงของโครงสร้างอาคาร จะต้องอาศัยการก าหนดสัญลักษณ์แทนชิ้นส่วนโครงสร้าง จากชิ้นส่วนจริงโครงสร้างทุกประเภทจะต้องมีที่รองรับที่เหมาะสม เพื่อให้โครงสร้างนั้นเกิดการสมดุล 6.2 สัญลักษณ์ของแรงปฏิกิริยา ในโครงสร้างจริงจุดต่อและจุดที่รองรับมีด้วยกันหลายรูปแบบ เมื่อเขียนออกมาเ พื่อการค านวณจะต้องมีรูปแบบ สัญลักษณ์และเคร่ืองหมายเฉพาะโครงสร้างโดยทั่วไปมีที่รองรับอยู่ 3 แบบคือ 6.2.1 แบบยึดหมุน (Hinge) ที่รองรับแบบนี้ จะไม่มีการเคลื่อนที่การท างานคล้ายบานพับ คือหมุนได้รอบแกน ค่าของโมเมนต์ที่จุดนี้มีค่าเป็นศูนย์ สามารถจะรับแรงได้ทั้งแนวดิ่งและแนวนอน มีแรงปฏิกิริยาเกิดขึ้น2ทางดูตามรูปที่ 6.1 ก และ ข

รูปท่ี 6.1 ก และ ข

6.2.2 แบบหมุนและเคลี่อนที่ได้ทางเดียว (Roller Support) เป็นที่รองรับไม่สามารถรับโมเมนต์ดัดได้ที่หมุนได้ ที่รองรับชนิดนี้สามารถหาแรงได้ตามแนวด่ิงอย่างเดียว มีแรงปฏิกิริยาที่เกิดขึ้นในแนวว่ิงดูตามรูปที่ 6.2 ก และ ข

(ก) (ข)

98

รูปท่ี 6.2 ก และ ข

6.2.3 แบบยึดแน่น (Fixed support) ที่รองรับแบบนี้จะยึดแน่นอยู่กับที่ไม่สามารถหมุนได้ไม่สามารถเคลื่อนที่ จึงเกิดมีปฏิกิริยาทุกทางและโมเมนต์ของจุดนี้ไม่เท่ากับศูนย์ ดูตามรูปที่ 6.3 ก และ ข

รูปท่ี 6.3 ก และ ข

6.3 ชนิดของคาน

M

M

A

A

99

ชนิดของคานแบ่งตามที่รองรับได้ดังน้ี 6.3.1 คานอย่างง่าย (Simple beam) เป็นคานช่วงเดียวมีที่รองรับ (Support) เป็นแบบ Hinge และแบบ Roller เมื่อมีน้ าหนักภายนอกมากระท าจะเกิดการแอ่นโค้งตลอดคาน ตามรูปที่ 6.4 ก เป็นรูปอาคารอย่างง่าย A – B เป็นที่รองรับเป็นคานไม้ และขันน๊อตติดกับเสาอีกข้างหนึ่งสอดเข้ารูกลางเสาจะได้รูปการวิเคราะห์โครงสร้าง ตามรูปที่ 6.4 ข และเส้นปะ คือ เส้นการแอ่น (Elastic curve)

รูปท่ี 6.4 ก และ ข

6.3.2 คานยึดปลาย (Fixed-end beam) หมายถึงคานที่มีที่รองรับทั้งสองข้างเป็นแบบยึดแน่น การแอ่นของคานชนิดนี้ เมื่อมีน้ าหนักบรรทุกมากระท าตรงปลายยึดเกือบจะไม่เกิดการแอ่น แต่ตรงกลางคายเกิดการแอ่น ตามรูปที่ 6.5 ก เป็นอาคารจริงส่วนรูปที่ 6.5 ข เป็นโครงสร้างวิเคราะห์ปลายคาน A – B เชื่อมกับเสา ซึ่งคานนี้รับน้ าหนักพื้น น้ าหนักบรรทุก และผนังอิฐ

P

เส้นการแอ่น

100

รูปท่ี 6.5 ก และ ข

6.3.3 คานยื่น (Cantilever beam) หมายถึงคานมีที่รองรับข้างหนึ่งยึดแน่น อีกข้างหนึ่งไม่มีที่รองรับ ตามรูปที่ 6.6 (ข)

รูปท่ี 6.6 ก และ ข

6.3.4 คานปลายยื่น (Over – hanging beam) หมายถึงคานที่ยื่นปลายออกจากที่รองรับจะยื่นข้างเดียว หรือ ทั้งสองข้างก็ได้ ตามรูปที่ 6.7 ก และ ข

W kg/m

C

101

รูปท่ี 6.7 ก และ ข

6.3.5 คานต่อเนื่อง (Continuous beam) หมายถึงคานที่มีที่รองรับมากกว่า 2 แห่ง ดูตามรูที่ 6.8 (ก)(ข)

รูปท่ี 6.8 ก และ ข

6.4 การหาแรงปฏิกิริยาในโครงสร้าง ดังกล่าวตามข้อ 10.2 สามารถแบ่งตามลักษณะของแรงปฏิกิริยาได้ 2 แบบ คือ

P1 P2 W /m

m /m

P1 P2 w/m

w/m

102

6.4.1 โครงสร้างแบบง่าย (Statically deteminate structure) คือ โครงสร้างที่ มีจ านวนแรงปฏิกิริยาเท่ากับสามสมการสมดุลย์ สามารถจะหาแรงปฏิกิริยาได้โดยสมการสมดุลย์ เมื่อโครงสร้างนั้นอยู่ในภาวะสมดุลย์ คือ 1. 0H 2. 0V 3. 0M ตามรูปที่ 6.9 (ก)(ข)(ค) เป็นโครงสร้างแบบง่าย

รูปท่ี 6.9 (ก) มีปฏิกิริยา 3 ตัว คือ

รูปท่ี 6.9 (ข) มีปฏิกิริยา 3 ตัว คือ

รูปท่ี 6.9 (ข) มีปฏิกิริยา 3 ตัว คือ

รูปที่ 6.9 (ค) เป็นคานต่อเน่ืองก็จริงแต่มีตัวเชื่อม คือ จุด E โครงสร้างต่อกันด้วยจุดหมุน (hinge) จุดนี้ไม่มีการถ่ายโมเมนต์ฉะนั้นสมการแยกออกมาได้ 2 คานและเป็นโครงสร้างอย่างง่ายดังรูปที่ 6.10

103

รูปท่ี 6.10 แสดงคานที่มีจุดต่อเป็นจุดหมุน(hinge)

6.4.2 โครงสร้างแบบยาก (Statically Indeterminate structure) คือโครงสร้างที่มีตัวปฏิกิริยาเกินสมควรสมดุลย์ ดูตามรูปที่ 6.11 ก. คานมีปฏิกิริยา 6 ตัว เกินสมการสมดุลย์อยู่ 3 ตัวหรือตามรูปที่ 6.11 ข. มีปฏิกิริยาอยู่ 4 ตัว

รูปท่ี 6.11 แสดงโครงสร้างแบบยาก

การหาแรงปฏิกิริยาในที่นี้จะกล่าวเฉพาะการหาปฏิกิริยาของโครงสร้างแบบง่ายทั้งวิธีเขียนรูป

และวิธีค านวณ 6.4.2.1 วิธีเขียนรูป (Graphical method) ข้อสมมติเบื้องต้น (1) เขียนแทนด้วยเวคเตอร์ คือ ขนาดแทนด้วยเส้นตรง ทิศทางแทนได้ด้วยหัวลูกศร (2) ภาวะสมดุลย์จะเกิดขึ้นได้ เมื่อมีแรงตั้งแต่ 2 แรงขึ้นไป

(ก)

(ข)

E

104

(3) ถ้ามีแรงสองแรงไม่ขนานกัน สามารถจะหาแรงลัพธ์ได้โดยการเขียนรูป (4) สร้างรูปหลายเหลี่ยมแทนแรง ดูตามรูปที่ 6.12 จะเห็นว่ามีแรง ก ข ค ง และ จ กระท าต่อคานสามารถจะหาแรงลัพธ์รวมและแรงปฏิกิริยาได้ดังนี้ คือ ใช้มาตราส่วนก าหนดขนาดของแรง เช่น 10 กก.ต่อ 1 ชม. ลากเส้นตรงให้ขนานกับแรง ก ข ค ง และ จ ต่อกันไป จะได้เส้น a b c d e f ขั้นตอนที่ 2 ก าหนดจุดรวม (pole) คือจุด P ลากเส้นตรงจาก a, b, c, d, e, f, & P ขั้นตอนที่ 3 ลากเส้นตรงเส้นหนึ่งให้ขนานกับเส้น a – P ตัดเส้นตรงที่ต่อจากแนวแรง ก ที่จุด 1 ลากเส้นตรงจาก 1 ให้ขนานกับ b – p ตัดเส้นต่อจากแนวแรง ข ที่จุด 2 ตามล าดับ จนถึงเส้น f – p เรียกรูปนี้ว่า Equilibrium polygon ขั้นตอนที่ 4 ลากเส้นตรงทับเส้น ก – 1 และเส้น จ – 5 จะตัดกันที่จุด g เป็นจุดที่แรงลัพธ์ลากเส้นตรงจาก P ให้ขนานกับ 1 – 5 จะได้ตัดกับเส้น a - f ที่จุด 0 เส้น a – 0 จะแทนปฏิกิริยาที่จุด ก และระยะทาง 0 – f จะแทนปฏิกิริยาที่จุด จ

รูปท่ี 6.12

105

ตัวอย่างที่ 6.1 จงหาขนาดของแรงปฏิกิริยาที่ A และ B ตามรูปที่ 6.13

รูปท่ี 6.13 วิธีท า 1. ก าหนดอักษร a, b ลงบนเส้นตรง A – B 2. ก าหนดมาตราส่วนความยาว คือ 2 ซม. แทน 1 ม. และ 500 กก. แทน 1 ซม. 3.ก าหนดเส้นตรง AB ในแนวด่ิงขนานกับแนวราบ 2000 kg ก าหนดจุด p ลากเส้น a-p และ b-p จากจุดในแนวดิ่งที่จุด A ลากเส้นขนานกับ a-p ตัดเส้นแนวดิ่งที่ลากตามแนว 2000 kg และลากเส้น 2-3 ขนานกับเส้น b-p จากนั้นลากเส้น 1-3 และop ขนานกับ 1-3 จุด 0 จะเป็นจุดแบ่งขนาดของแรงปฏิกิริยา วัดขนาดของแรง ตามรูปที่ 10.13

.กก1200obR

.กก800aoR

B

A

6.4.2.2 โดยวิธีค านวณ (Analytical Method) ถ้ามีแรงมากระท าต่อโครงสร้างแบบง่าย (Determinate Structure) และโครงสร้างนั้นอยู่ในภาวะสมดุลย์สามสมการต่อไปนี้ เป็นจริงเสมอ ( 1) H = 0 (ผลบวกทางพีชคณิตของแรงตามแนวนอน = 0) ( 2) V = 0 (ผลรวมทางพีชคณิตของแรงตามแนวด่ิง = 0) (3) M = 0 (ผลรวมทางพีชคณิตของโมเมนต์ของแรงรอบจุดใด ๆ = 0)

2000 kg

106

ตัวอย่างที่ 6.2 คาน A – B เป็นคานอย่างง่าย (Simple Beam) จงหาแรงปฏิกิริยา RA และ RB

รูปท่ี 6.14

วิธีท า เมื่อคาน A – B อยู่ในภาวะสมดุลย์ จะได้ H = 0 ................(1) V = 0 ................(2) M = 0 ................(3) ที่รองรับ A มี แรงปฏิกิริยา 2 แรง คือ HA และ VA ที่รองรับ B มีแรงปฏิกิริยา 1 แรง คือ VB ให้โมเมนต์ของแรงหมุนรอบจุด A ให้พิจารณาตามล าดับทีละแรง MA = 0 (ผลรวมทางพีชคณิตของแรงรอบจุด A เท่ากับศูนย์) +400 x 2 - VB x 4 = 0 - VB x 4 = - 800

VB = 4

800

VB = 200 กก. V = 0 (ผลรวมของแรงตามแนวด่ิง = 0) VA+ VB- 400 = 0 แต่ VB = 200 กก. VA = 200 – 400 = 0 VA = 200 กก. ตอบ

107

ตัวอย่างที่ 6.3 คาน AB เป็นคานอย่างง่ายมีน้ าหนักเฉลี่ยสม่ าเสมอจงหาแรงปฏิกิริยาที่ A และB ตามรูปที่ 6.15

รูปท่ี 6.15

วิธีท า เขียนแรงปฏิกิริยาที่ A และ B ได้ HA, VA, และ VB ตามล าดับ ต้องการหา VB ให้โมเมนต์ของแรงต่าง ๆ หมุนรอบจุด A MA = 0

(400x4)x24 - VB x 4 = 0

- VB x 4 = - 3200 VB = 800 กก. V = 0 VA+ VB- 400 x 4 = 0 VA+ 800- 1600 = 0 VA = 800 กก. ตอบ ตัวอย่างที่ 6.4 จงหา Reaction ของ Support A, และ Support B ดังรูปที่ 6.16

รูปท่ี 6.16

108

วิธีท า เมื่อมีน้ าหนักกดลงบนคานมากเท่าไรปฏิกิริยา ที่ A และ B ก็จะต้านไว้มากตามไปด้วย เพื่อรักษาสภาพของคาน AB ให้อยู่ในภาวะสมดุลย์ การรักษาสภาวะสมดุล ของคาน AB จะมีผลท าให้ ;0MA ;0MB

;0V ;0H จาก 0MA

+200 x 2 + 400 x 3 + 600 x 6 - RB x 7 = 0 RB = 742 กก. จาก 0V

RA+ RB-200-400-600 = 0 RA = 1200 – 742 = 458 กก. ตอบ ตัวอย่างที่ 6.5 จงหา Reaction ของคานดังรูป 6.17

รูปท่ี 6.17

วิธีท า Sketch free body diagram ของคานจะได้ดังรูป

109

H = 0

HA- P53

= 0

HA = P53

MA = 0

- RB x L + P54

x L41

= 0

RB = P51

V = 0

P54

- RA- RB = 0

RA = P53

ตรวจสอบ

MB = 0

53

x Px L - P54

x L43

= 0

P53

- P53

= 0 ตอบ

หมายเหตุ ในกรณีที่มีน้ าหนักภายนอกมากระท าต่อคานหลาย ๆ อัน เพื่อการสับสนเคร่ืองหมายโมเมนต์ของแรงจึงขอก าหนดเคร่ืองหมายไว้ดังนี้ เมื่อหาโมเมนต์รอบจุดใด ๆ ถ้าโมเมนต์หมุนไปตามเข็มนาฬิกาก็ให้เคร่ืองหมายเป็น + และถ้าโมเมนต์หมุนทวนเข็มนาฬิกาก็ให้เคร่ืองหมายเป็น -,

110

ตัวอย่างที่ 6.6 จงหา Reaction ของคานดังรูป 6.19

รูปที่ 6.19

วิธีท า

MA = 0

- P x 6 + RA x 5- P x 4- P x 2 x

22

+ P x 1 = 0

RA = 5P11

MA = 0

- P x 1+ P x 1+(P x 2)x

22

21 -RB x 5 + P x 6 = 0

RB = 5P14

ตรวจสอบ

V = 0 +RA+RB- P – P – P x 2 - P = 0

5P11

+5P14

- 5P = 0 ตอบ

kg/m

111

แบบฝึกหัดบทที่ 6 จงหา Reaction ของ Support ต่อไปนี้

(1)

รูปท่ี 6.20 (2)

รูปท่ี 6.21 (3)

รูปท่ี 6.22

P1 P2

400 kg

A B

l

P

A B

A B

A

a b c

2.00 2.00

112

(4)

รูปท่ี 6.23

(5)

รูปท่ี 6.24 (6)

รูปท่ี 6.25

(7)

รูปท่ี 6.26

w kg/m

400 kg/m

600 kg/m

800 kg

800 kg

A B

l

A B

l

A B

A B

2.00 1.00 2.00

1.00 1.00 4.00

113

(8)

รูปท่ี 6.27

(9)

รูปท่ี 6.28

(9)

รูปท่ี 6.29

(10) รูปท่ี 6.30

2000 kg/m

200 kg/m

A B

1.00 6.00

A B

B

A

4.00 2.00 1.50

2.00 2.00 2.00

800 kg/m 400 kg

Hing

P

l

114

(11) รูปท่ี 6.31

รูปท่ี 6.32

(12)

รูปท่ี 6.33 (13)

รูปท่ี 6.34

w kg/m

w kg/m

200 kg/m

200 kg

2.00

115

(14)

รูปท่ี 6.35