4/25/2014 Nattawoot Koowattanatianchai 1
4/25/2014 Nattawoot Koowattanatianchai 2
Lecture 8
การจ าลองแบบมอนตคาโลและเทคนคการลดความ
แปรปรวน
(Monte Carlo Simulation and Variance
Reduction Techniques)
หวขอการบรรยาย
การจ าลองแบบมอนตคาโล
เทคนคการลดความแปรปรวนดวย
วธ antithetic variates
เทคนคการลดความแปรปรวนดวย
วธ moment matching
4/25/2014 Nattawoot Koowattanatianchai 3
เอกสารประกอบการสอน
Ross, S. (1976), The Arbitrage
Theory of Option Pricing, Journal
of Economic Theory, Vol 13 no.
3, pp. 341-360.
4/25/2014 Nattawoot Koowattanatianchai 4
การจ าลองแบบมอนตคาโล (Monte
Carlo Simulation) นยาม
กระบวนการทประกอบดวย (1) การสราง
ตวเลขแบบสมมาจากการแจกแจงความ
นาจะเปนทเปนตวบงชแหลงความไม
แนนอน (เชน ยอดขายผลตภณฑใหม
ราคาหน อตราดอกเบย อตราแลกเปลยน
เงนตราตางประเทศ ราคาสนคาโภค
ภณฑ) (2) การใชตวเลขทจ าลองไดมา
วเคราะหถงผลลพธและความเสยงท
นาจะเกดขนของสงทสนใจ
4/25/2014 Nattawoot Koowattanatianchai 5
การจ าลองแบบมอนตคาโล (Monte
Carlo Simulation) การใชงาน
ใชวเคราะหความไมแนนอนในการด าเนนธรกจ หรอ
ผลลพธทเปนไดของสงทยงไมเกดขน เชน กอนทจะม
การประกาศใชเงนยโร นกวจยใชการจ าลองแบบมอนต
คาโลในการศกษาผลกระทบตอคณสมบตตางๆ ของกลม
หลกทรพยทประกอบดวยหลกทรพยของหลายประเทศ
ในยโรป ซงมการคาดการณวาหลงจากมการใชเงนสกล
ยโร สหสมพนธของระหวางตลาดในยโรปจะเพมขน
4/25/2014 Nattawoot Koowattanatianchai 6
การจ าลองแบบมอนตคาโล (Monte
Carlo Simulation) การใชงาน
ใชประเมนราคาตราสารสทธ ทไมมสตรตายตวในการหา
คา เชน ราคาของ Asian options
ใชยนยนผลทางทฤษฎวาเปนจรงหรอไม เชน ตรวจสอบ
การแจกแจงของราคาหน GBM
ใชตรวจสอบการแจกแจงความนาจะเปนของตวแปรท
เราสนใจ ทไมมทฤษฎรองรบ
4/25/2014 Nattawoot Koowattanatianchai 7
standard simulation
สมมตวาเรารรปแบบของตวแปรสม แตเราไมรคณ
สมบตของตวแปรสมตวน เราจงจะจ าลองตวแปรน
มา n คา แลวหลงจากนนจงท าการศกษาคณสมบต
ตวอยาง: เราตองการประมาณราคา call แบบ
ยโรเปยน โดยทหนอางองเคลอนทตาม GBM
4/25/2014 Nattawoot Koowattanatianchai 8
0,max)( KSeC T
tTr
t
tTZtTrSS tT )(exp 2
21
standard simulation
สงเกตไดวา μ ใน GBM จะถกแทนทดวยอตรา
ดอกเบยทปราศจากความเสยง r ตามทฤษฎ risk-
neutral pricing
การประเมนราคา call ท าไดดวยการสมเลอก
ตวเลขจาก N(0,1) เพอทจะจ าลอง ST แรกตามน
4/25/2014 Nattawoot Koowattanatianchai 9
tTZtTrSS tT )1(2
21)1( )(expˆ
standard simulation
ราคา call (จ าลอง) ราคาแรกสามารถค านวณไดตามน
ท าซ าขนตอนขางบน n ครง ราคาประเมนของ call ตว
นจะค านวณไดตามน
ซง C^t จะมคาคาดหมาย = Ct และความแปรปรวนท
แปรผกผนกบ n
4/25/2014 Nattawoot Koowattanatianchai 10
0,max )1()()1( KSeC T
tTr
t
n
i
i
tt Cn
C1
)(1ˆ
standard simulation
ถา X1, X2, …, Xn เปน iid ทมคาเฉลย μ = E(Xi)
และความแปรปรวน σ2 = var(Xi) <
แปลวาถาเราเพมจ านวนคาสงเกตในกลมตวอยาง
คาเฉลยของกลมตวอยางจะมความแปรปรวนลดลงเรอยๆ
(CLT)
4/25/2014 Nattawoot Koowattanatianchai 11
n
i
inXX
nXX
1
1
2
var
standard simulation
จ าลอง 1000 คาของ ST จากขอมลดงน
S0 = 100
r = .06
σ = .3
T = 1 ป
∆t = 1/250 ป = 1 วน
lnST จะมการแจกแจงแบบปกต
คาเฉลย = lnS0 + (r – .5 ×σ2)T
ความแปรปรวน = σ2T
4/25/2014 Nattawoot Koowattanatianchai 12
4/25/2014 Nattawoot Koowattanatianchai 13
histogram of 1000 simulated log-ST from GBM
share price
rela
tive
frequ
ency
4.0 4.5 5.0 5.5
0.0
1.0
histogram of 1000 simulated ST from GBM
share price
rela
tive
frequ
ency
50 100 150 200 250
0.00
00.
010
0.02
0
standard simulation
ก าหนดให K = 5, i = 1, 2, …, 1000
C^t = exp(-.06×1) × คาเฉลยของ max(S(i)
T – K,0) =
95.02587
ราคา call ตวน (ทม S0 = 100, r = .06, σ = .3, T = 1
ป) ตามสตร Black-Scholes = 95.29118 (ขนาดความ
ผดพลาดของ C^t = 0.26538)
C^t = 95.1781 ถาท าซ า 10,000 ครง (ขนาดความ
ผดพลาด = 0.1130773)
C^t = 95.30597 ถาท าซ า 100,000 ครง (ขนาด
ความผดพลาด = 0.01479267)
4/25/2014 Nattawoot Koowattanatianchai 14
standard simulation
เนองจาก C^t เปนคาเฉลยของกลมตวอยาง คา
เบยงเบนมาตรฐานของ C^t หรอคาคลาดเคลอน
มาตรฐานของ Monte Carlo Simulation = σ/√n
σ = คาเบยงเบนมาตรฐานของ C(i)t
n = จ านวนการท าซ าในการจ าลองแตละครง
ถาตองการลดคาคลาดเคลอนมาตรฐานลงสองเทา n
ใหมตองเพมเปนสเทาของ n เดม
4/25/2014 Nattawoot Koowattanatianchai 15
12
1
2
2
2
4
2
1
nn
nn
Antithetic variates
Moment matching
methods
4/25/2014 Nattawoot Koowattanatianchai 16
variance reduction techniques
antithetic variates
แนวคดของวธ AV นคลายกบหลกการของการ
กระจายความเสยงในกลมหลกทรพย (สรางกลม
หลกทรพยทประกอบดวยหลกทรพยทไมม
สหสมพนธแบบสมบรณระหวางกน) ซงหลกทรพยท
มประโยชนในการกระจายความเสยง ไดแก
หลกทรพยทมสหสมพนธแบบลบกบตลาด
เนองจาก Z มสหสมพนธลบแบบสมบรณกบ –Z
และทงสองตวแปรมการแจกแจงแบบปกตมาตรฐาน
ดงนนราคา S(i)T ทไดจาก Z และ S(i)
T ทไดจาก –Z
กจะมการแจกแจงทถกตองเชนเดยวกน
4/25/2014 Nattawoot Koowattanatianchai 17
antithetic variates
S(i)T ทไดจาก Z
S(i)T ทไดจาก –Z
4/25/2014 Nattawoot Koowattanatianchai 18
tTZtTrSS i
t
i
T )(2
21)( )(exp
tTZtTrSS i
t
i
T )()(exp~ )(2
21)(
0,max )()()( KSeC i
T
tTri
t
0,~
max~ )()()( KSeC i
T
tTri
t
antithetic variates
ถาเราน า Z ทสมเลอกมา n ตว และ –Z (n ตว) มา
เรยงจดการแจกแจง การแจกแจงดงกลาวจะเปน
ระเบยบมากกวา การแจกแจงของ Z ทสมมา 2n ตว
คาเฉลยของ {Z,-Z} = 0 เสมอ ในขณะทคาเฉลยของ Z
จะไมมทาง = 0 ไมวาจะสมเลอกมากตวกตาม
เชนเดยวกน การแจกแจงของ {S(i)T ทไดจาก Z, S(i)
T ท
ไดจาก –Z} จะเปนระเบยบมากกวาการแจกแจงของ S(i)T
ทไดจาก Z เพยงอยางเดยว
4/25/2014 Nattawoot Koowattanatianchai 19
antithetic variates
ราคา call ทประเมนไดดวยวธ AV ไดแก
4/25/2014 Nattawoot Koowattanatianchai 20
n
i
i
t
i
tt
CC
nC
1
)()(
2
~1ˆ
4/25/2014 Nattawoot Koowattanatianchai 21
histogram of 1000 simulated log-ST-tilda from GBM
share price
rela
tive
frequ
ency
4.0 4.5 5.0 5.5
0.0
1.0
histogram of 1000 simulated ST-tilda from GBM
share price
rela
tive
frequ
ency
50 100 150 200
0.00
00.
010
Antithetic variates
ราคาของ call จากวธ AV (n =1000) = 95.24201
(ขนาดความผดพลาด = 0.04916733 ซงนอยกวา
กรณ standard simulation ทม n = 1000)
4/25/2014 Nattawoot Koowattanatianchai 22
moment matching
แนวคดของวธ MM ไดแก การท าให Z หรอ S(i)T ท
จ าลองขนมโมเมนตของกลมตวอยางเทากบ
โมเมนตตามทฤษฎ
MM1: จบคโมเมนตแรกของ Z
คาเฉลยของกลมตวอยาง Z มกไมเทากบ 0 แตคาเฉลย
ของกลมตวอยาง Ž จะเทากบ 0
4/25/2014 Nattawoot Koowattanatianchai 23
n
i
iii Zn
ZZZZ1
)()()( 1~
moment matching
การประเมนราคา call ตาม MM1
4/25/2014 Nattawoot Koowattanatianchai 24
tTZtTrSS i
t
i
T )(2
21)( ~
)(exp~
0,~
max~ )()()( KSeC i
T
tTri
t
moment matching
MM2: จบคสองโมเมนตแรกของ Z
μZ = 0
σZ = 1
sZ = คาเบยงเบนมาตรฐานของกลมตวอยาง Z
คาเฉลยและความแปรปรวนของกลมตวอยาง Ž จะ
เทากบ 0 และ 1 ตามล าดบ ในขณะทคาเฉลยและความ
แปรปรวนของกลมตวอยาง Z จะไมเทากบตวเลขทาง
ทฤษฎ
4/25/2014 Nattawoot Koowattanatianchai 25
Z
Z
Zii
sZZZ
)()(~
moment matching
ลองสราง Z มา 1000 คา แลวแปลง Z ตาม MM1
และ MM2 ไดผลดงน
4/25/2014 Nattawoot Koowattanatianchai 26
Sample mean Sample standard
deviation
Z -0.01613096 1.012485
Ž (MM1) 4.634144×10-18 1.012485
Ž (MM2) 5.727928×10-18 1
moment matching
MM3: จบคโมเมนตแรกของ S(i)T
คาเฉลยของกลมตวอยางหลงจากทแปลง S(i)T ตาม
MM3 จะเทากบตวเลขทางทฤษฎ
4/25/2014 Nattawoot Koowattanatianchai 27
)exp(~
0
)()(rTSSSS
TT SST
i
T
i
T
moment matching
MM3: จบคสองโมเมนตแรกของ S(i)T
σ คอ สมประสทธของความผนผวนจาก GBM
คาเฉลยและความแปรปรวนของกลมตวอยางหลงจากท
แปลง S(i)T ตาม MM3 จะเทากบตวเลขทางทฤษฎ
4/25/2014 Nattawoot Koowattanatianchai 28
1)exp(
~
22
00
)()(
TrT
SS
S
S
S
T
i
T
i
T
eeSrTS
sSSS
TT
T
T
T
moment matching
Boyle, P., Broadie, E. and Glasserman, P.
(1997). Monte Carlo methods for security
pricing. Journal of Economic Dynamics and Control, 21, 1267-1321
ใช n = 1000 ครงในการประเมนราคา call ดวยวธ
standard simulation และวธ MM
ท าซ าแบบเดม 10000 ครง แลวใชคาเบยงเบนมาตรฐาน
ของตวประมาณคา 10000 ตว เปนตวแทนคา
คลาดเคลอนมาตรฐานของตวประมาณคาทไดจาก
standard simulation และ MM
4/25/2014 Nattawoot Koowattanatianchai 29
moment matching
σ S0/K Standard
simulation
MM1 MM2 MM3 MM4
0.2 0.9 0.24 0.19 0.11 0.19 0.09
1.0 0.62 0.29 0.09 0.26 0.10
1.1 0.93 0.19 0.09 0.15 0.11
0.4 0.9 0.80 0.55 0.24 0.51 0.17
1.0 1.22 0.66 0.19 0.56 0.23
1.1 1.61 0.63 0.17 0.48 0.28
0.6 0.9 1.40 0.95 0.38 0.84 0.28
1.0 1.93 1.1 0.31 0.91 0.39
1.1 2.38 1.13 0.25 0.85 0.49
4/25/2014 Nattawoot Koowattanatianchai 30
4/25/2014 Nattawoot Koowattanatianchai 314/25/2014 Nattawoot Koowattanatianchai 31
4/6/2011 Natt Koowattanatianchai 31
4/25/2014 Nattawoot Koowattanatianchai 32
Email:
Homepage:
http://fin.bus.ku.ac.th/nattawoot.htm
Phone:
02-9428777 Ext. 1221
Mobile:
087- 5393525
Office:
ชน 9 ตกใหมคณะบรหารธรกจ