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Vibrao e Ruido
Universidade Metodista de Angola Faculdade de Engenharia Mectronica
Prof. MSc. Davyd da Cruz Chivala
Davyd da Cruz Chivala 2
Programa
3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.1-Resposta em vibrao livre no amortecida 3.2-Resposta em vibrao livre com amortecimento
viscoso 3.3-Resposta me Vibrao livre amortecida 3.4-Movimento harmonico da base de suporte 3.5-Transmissibilidade. Isolamento de vibraes
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3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.1-Resposta em vibrao livre no amortecida
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3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.1-Resposta em vibrao livre no amortecida
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3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.2-Resposta em vibrao livre com amortecimento viscoso
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3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.2-Resposta em vibrao livre com amortecimento viscoso
Assumindo soluo do tipo (1) teremos: que se pode tambem escrever A soluo desta equao subistituindo na eq.1 teremos:
(2)
Analizando (2) temos: 1. o termo eh exponencialmente decrescente
( ) tCetq =02 =++ kcm 02 =++
mk
mc
mk
mc
mc
=
2
2,1 22
( ) tt eCeCtq 21 21 +=
( )
( )
+=
+=
+
tmk
mct
mk
mc
mc
tmk
mc
mct
mk
mc
mc
eCeCetq
eCeCtq22
22
2
2
2
12
22
2
22
1
mc
e 2
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3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.2-Resposta em vibrao livre com amortecimento viscoso
2. Quando os expoentes sero numeros reais e no ocorrera oscilaes, nestas condies o sistemas chaman-se superamortecidos
3. Quando os expoentes sero numeros imaginarios e ocorrero oscilaes , caracteristica de um movimento oscilatorio subamortecido
4. Quando tem caracteristica de amortecimento critico, quando perturbabo o sistema no oscila e volta rapidamente para a posio de equilibrio.
mk
mc
2
2
mk
mc
=
2
2
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3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.2-Resposta em vibrao livre com amortecimento viscoso
Coeficiente de amortecimento Factor de amortecimento
nc mc 2=
kmC
CC
c 2==
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3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.2.1-Movimento oscilatorio subamortecido
A equao tambem pode ser escrita
da seguinte forma subistituindo em
(2) temos e apois manipulaes matematicas chega-se a: (3)
( )10
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3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.2.1-Movimento oscilatorio subamortecido
Em que conhecida como frequencia angular natural amortecida
A e B obtidas por condies iniciais de deslocamento e de velocidade
outra forma comun de apresentar (3)
( )10
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3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.2.1-Movimento oscilatorio subamortecido
( )10
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3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.2.2-Movimento superamortecido
A soluo eh dada por
A e B so obtidas por condies iniciais
( )1>
( ) tt nn BeAetq
+
+=11 2222
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )12
010
12010
2
2
2
2
+=
++=
n
n
n
n
qqB
qqA
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3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.2.2-Movimento superamortecido
( )1>
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3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.2.3-Movimento superamortecido
A soluo dada por
( )1=
( ) ( ) ( )( ) ( )[ ]000 qttqqetq ntn ++=
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3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.3-Decremento logaritmico
( )10
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3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.3-Decremento logaritmico
apois manipulaes algebricas temos:
Ou ainda da forma
212
=
224 +
=
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3-Sistemas com um grau de Liberdade Exercicio
Calcula a equao do movimento e a frequencia natural no amortecida do sistema
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3-Sistemas com um grau de Liberdade Exercicio
Considere um sistema massa-mola-amortecedor com massa m=20kg e de deslocamento inicial x0=0.01m conforme figura abaixo. Estime os coeficientes equivalentes de rigidez e amortecimento viscoso deste sistema
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3-Sistemas com um grau de Liberdade Exercicio
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3-Sistemas com um grau de Liberdade Exercicio
Uma haste delgada fina uniforme de massa m e de comprimento l eh articulada em A e esta ligada a quatro molas lineares e uma torcional, como mostra a figura abaixo. Determine a frequencia natural no amortecida se
mlradmNKmNK t 5,.1000,2000 ===
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3-Sistemas com um grau de Liberdade Exercicio
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3-Sistemas com um grau de Liberdade Exercicio
Determine a equao de movimento e frequenia natural da barra rigida OA de comprimento l e massa m, conforme figura abaixo.
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3-Sistemas com um grau de Liberdade Exercicio
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3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.4-Vibraes foradas
Considere a equao do movimento massa-mola-amortecedor no caso em que temos uma fora harmonica actuando no sistema
sendo F(t) harmonica teremos: Em que F a amplitude da fora e medida em N
esta equao diferencial no ordinaria e a soluo dada pela soma das
( )tFkqqcqm =++ ( ) ( )tFtF sin=
( )tFkqqcqm sin=++
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3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.4-Vibraes foradas
ou seja a soma da soluo homogenia que ja foi calculada nos pontos anteriores e de uma soluo particular que adimite-se que seja do tipo:
subistituindo em teremos: e a soluo particular dada por:
tiAeq =
( ) ( ) ( )tqtqtq ph +=
( )tFkqqcqm =++ ( ) titi FeAecikm =++ 2
( )( ) ( )
titi FecmkcimkFe
cikmtq
222
2
2
1+
=
++=
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3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.4-Vibraes foradas
aonde
em que a parte imaginaria :
( )( ) ( )
( ) titi FeHFecmkcimktq
=
+
=
222
2
( )( ) ( )222
2
cmkcimk
FAH
+
==
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
+=
+
+= 2
1
222222
2
sinsincos
mk
ctgtcmk
FFcmk
tmktctq
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3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.4-Vibraes foradas
A equao tem soluo:
A soluo geral composta por um termo transitorio e um estacinario.
A amplitude da resposta forada dada por:
( ) ( ) ( )tqtqtq ph +=
( ) ( )( ) ( )
+++= 2
1
22221 sinsincos
mk
ctgtcmk
FtAtAetq aatn
( ) ( ) ( ) ( )222222 211
+=
+=
kF
cmk
FAn
=
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3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.4-Vibraes foradas
O factor de ampliao dado por:
( )( ) ( )222 21
1,
+
===F
kAAAM p
st
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3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.4.1-Ressonncia
Ocorre quando a frequencia de exitao igual a frequencia natural do sistema
Em projectos deve-se sempre evitar estar zona pois induzem vibraes de grandes amplitudes ao sistema
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3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.4.1-Ressonncia
O pico de resonncia que o valor maximo de M obtido por:
E
( )nd
dM
=== 2210,
2max 121
=M
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3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.4.2-Vibraes causadas por foras de desbalanceamento em
maquinas rotativas No caso em que temos maquinas rotativas com massa
desbalanceada, o sistema excitado por esta massa a sua velocidade angular com a sua excentricidade
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3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.4.2-Vibraes causadas por foras de desbalanceamento em
maquinas rotativas A fora de desbalance :
A equao do movimento dada
A amplitude de vibrao em regime permanente sera
dada por
( )temkqqcqm sin20=++
( ) ( )temtFe sin20=
( ) ( )2222
0
21
+=
kemqp
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3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.4.2-Vibraes causadas por foras de desbalanceamento em
maquinas rotativas A quantidade representa a quantidade de
desbalanceamento do sistema. Em geral obtido a partir de teste experimental para procurar adidionar
massas para corrigir este desbalanceamento, uma vez que esta excitao em niveis muito grandes pode
Comprometer o funcionamento de uma maquina e siminuir o seu tempo de vida util. Dividindo
por m obtm-se o factor de Amplio adimensional
em0
( ) ( )2222
0
21
+=
kemqp
em0
( ) ,
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3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.4.2-Vibraes causadas por foras de desbalanceamento em
maquinas rotativas
( )( ) ( )222
2
0 21,
+
==em
mqp
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3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.4.2-Vibraes causadas por foras de desbalanceamento em
maquinas rotativas
e ocorre quando 2max 12
1
=2max 12
1
=
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3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.4.3- Movimento harmonico da base de suporte
No caso em que a base de suporte do sistema sofre um
movimento harmonico
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3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.4.3- Movimento harmonico da base de suporte
A equao diferencial do movimento:
ou
O deslocamento do suporte harmonico dado por
E a resposta sera da forma subistituindo na
equao do mov. Teremos
e
( ) 0)( =++ yqkyqcqm kyyckqqcqm +=++
tiYey =
( ) = tiAeq
( )( ) ( )222
2
2121
+
+= YA ( ) ( )222
21
212
+
= tg
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3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.4.3- Movimento harmonico da base de suporte
A relao A/Y conhecida como transmissibilidade
( )( ) ( )222
2
2121
+
+=
YA
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3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.4.5- Transmissibilidade. Isolamento de vibraes
Transmissibilidade de foras, consiste em estudar
mecanismo de modo a minimiza os esforos transmitidos as fundaes ou lugar aonde esta apoiada as maquinas
As forcas transmitidas so por dois processos: atravez da rigides K z dos amortecedores C
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3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.4.5- Transmissibilidade. Isolamento de vibraes
A fora transmitida
qcKqftr +=
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3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.4.5- Transmissibilidade. Isolamento de vibraes
Admitindo excitao harmonica, a magnitude e fase da fora aplicada e das outras foras sera:
e a resposta ao sistema sera dado por
assim a fora transmitida sera
tiapap eFF
=
apFcimkA
+= 2
1
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3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.4.5- Transmissibilidade. Isolamento de vibraes
Transmissibilidade=TR=
Graficamente temos:
aptr FcimkcikcAiKAF
+
+=+= 2
( )( ) ( )222
2
2121
+
+=
ap
tr
FF
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3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.4.5- Transmissibilidade. Isolamento de vibraes
Verifica-se que Fap e Ftr so iguais no ponto em que Ou seja Ftr soh eh maior que Fap quando
2=
n 2>
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3-Sistemas com um grau de Liberdade Exercicios
1. Uma maquina com 45kg, eh montada em cima de um
isolador no-amortecido, composto de quatro molas em paralelo com rigidez de em cada mola. Quando opera a uma velocidade de 32Hz, a amplitude em regime permanente corresponde 0 1.5mm. Qual eh a magnitude da fora que excita esta maquina nesta velocidade?
mN2102
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3-Sistemas com um grau de Liberdade Exercicios
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3-Sistemas com um grau de Liberdade Exercicios
Vibrao e Ruido Programa 3-Sistemas com um grau de Liberdade3.1-Resposta em vibrao livre no amortecida 3-Sistemas com um grau de Liberdade3.1-Resposta em vibrao livre no amortecida 3-Sistemas com um grau de Liberdade3.2-Resposta em vibrao livre com amortecimento viscoso 3-Sistemas com um grau de Liberdade3.2-Resposta em vibrao livre com amortecimento viscoso 3-Sistemas com um grau de Liberdade3.2-Resposta em vibrao livre com amortecimento viscoso 3-Sistemas com um grau de Liberdade3.2-Resposta em vibrao livre com amortecimento viscoso 3-Sistemas com um grau de Liberdade3.2.1-Movimento oscilatorio subamortecido 3-Sistemas com um grau de Liberdade3.2.1-Movimento oscilatorio subamortecido 3-Sistemas com um grau de Liberdade3.2.1-Movimento oscilatorio subamortecido 3-Sistemas com um grau de Liberdade3.2.2-Movimento superamortecido 3-Sistemas com um grau de Liberdade3.2.2-Movimento superamortecido 3-Sistemas com um grau de Liberdade3.2.3-Movimento superamortecido 3-Sistemas com um grau de Liberdade3.3-Decremento logaritmico 3-Sistemas com um grau de Liberdade3.3-Decremento logaritmico 3-Sistemas com um grau de LiberdadeExercicio 3-Sistemas com um grau de LiberdadeExercicio 3-Sistemas com um grau de LiberdadeExercicio 3-Sistemas com um grau de LiberdadeExercicio 3-Sistemas com um grau de LiberdadeExercicio 3-Sistemas com um grau de LiberdadeExercicio 3-Sistemas com um grau de LiberdadeExercicio 3-Sistemas com um grau de Liberdade3.4-Vibraes foradas 3-Sistemas com um grau de Liberdade3.4-Vibraes foradas 3-Sistemas com um grau de Liberdade3.4-Vibraes foradas 3-Sistemas com um grau de Liberdade3.4-Vibraes foradas 3-Sistemas com um grau de Liberdade3.4-Vibraes foradas 3-Sistemas com um grau de Liberdade3.4.1-Ressonncia 3-Sistemas com um grau de Liberdade3.4.1-Ressonncia 3-Sistemas com um grau de Liberdade3.4.2-Vibraes causadas por foras de desbalanceamento em maquinas rotativas 3-Sistemas com um grau de Liberdade3.4.2-Vibraes causadas por foras de desbalanceamento em maquinas rotativas 3-Sistemas com um grau de Liberdade3.4.2-Vibraes causadas por foras de desbalanceamento em maquinas rotativas 3-Sistemas com um grau de Liberdade3.4.2-Vibraes causadas por foras de desbalanceamento em maquinas rotativas 3-Sistemas com um grau de Liberdade3.4.2-Vibraes causadas por foras de desbalanceamento em maquinas rotativas 3-Sistemas com um grau de Liberdade3.4.3- Movimento harmonico da base de suporte 3-Sistemas com um grau de Liberdade3.4.3- Movimento harmonico da base de suporte 3-Sistemas com um grau de Liberdade3.4.3- Movimento harmonico da base de suporte 3-Sistemas com um grau de Liberdade3.4.5- Transmissibilidade. Isolamento de vibraes 3-Sistemas com um grau de Liberdade3.4.5- Transmissibilidade. Isolamento de vibraes 3-Sistemas com um grau de Liberdade3.4.5- Transmissibilidade. Isolamento de vibraes 3-Sistemas com um grau de Liberdade3.4.5- Transmissibilidade. Isolamento de vibraes 3-Sistemas com um grau de Liberdade3.4.5- Transmissibilidade. Isolamento de vibraes 3-Sistemas com um grau de LiberdadeExercicios 3-Sistemas com um grau de LiberdadeExercicios 3-Sistemas com um grau de LiberdadeExercicios
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