4 Sistemascomumgraudeliberdade 111222061007 Phpapp01

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Vibrao e Ruido

Universidade Metodista de Angola Faculdade de Engenharia Mectronica

Prof. MSc. Davyd da Cruz Chivala

Davyd da Cruz Chivala 2

Programa

3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.1-Resposta em vibrao livre no amortecida 3.2-Resposta em vibrao livre com amortecimento

viscoso 3.3-Resposta me Vibrao livre amortecida 3.4-Movimento harmonico da base de suporte 3.5-Transmissibilidade. Isolamento de vibraes


3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.1-Resposta em vibrao livre no amortecida


3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.2-Resposta em vibrao livre com amortecimento viscoso



Assumindo soluo do tipo (1) teremos: que se pode tambem escrever A soluo desta equao subistituindo na eq.1 teremos:

(2)

Analizando (2) temos: 1. o termo eh exponencialmente decrescente

( ) tCetq =02 =++ kcm 02 =++

mk

mc

mk

mc

mc

=

2

2,1 22

( ) tt eCeCtq 21 21 +=

( )

( )

+=

+=

+

tmk

mct

mk

mc

mc

tmk

mc

mct

mk

mc

mc

eCeCetq

eCeCtq22

22

2

2

2

12

22

2

22

1

mc

e 2



2. Quando os expoentes sero numeros reais e no ocorrera oscilaes, nestas condies o sistemas chaman-se superamortecidos

3. Quando os expoentes sero numeros imaginarios e ocorrero oscilaes , caracteristica de um movimento oscilatorio subamortecido

4. Quando tem caracteristica de amortecimento critico, quando perturbabo o sistema no oscila e volta rapidamente para a posio de equilibrio.

mk

mc

2

2

mk

mc

=

2

2



Coeficiente de amortecimento Factor de amortecimento

nc mc 2=

kmC

CC

c 2==


3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.2.1-Movimento oscilatorio subamortecido

A equao tambem pode ser escrita

da seguinte forma subistituindo em

(2) temos e apois manipulaes matematicas chega-se a: (3)

( )10



Em que conhecida como frequencia angular natural amortecida

A e B obtidas por condies iniciais de deslocamento e de velocidade

outra forma comun de apresentar (3)

( )10



( )10


3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.2.2-Movimento superamortecido

A soluo eh dada por

A e B so obtidas por condies iniciais

( )1>

( ) tt nn BeAetq

+

+=11 2222

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )12

010

12010

2

2

2

2

+=

++=

n

n

n

n

qqB

qqA



( )1>



A soluo dada por

( )1=

( ) ( ) ( )( ) ( )[ ]000 qttqqetq ntn ++=


3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.3-Decremento logaritmico

( )10


3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.3-Decremento logaritmico

apois manipulaes algebricas temos:

Ou ainda da forma

212

=

224 +

=


3-Sistemas com um grau de Liberdade Exercicio

Calcula a equao do movimento e a frequencia natural no amortecida do sistema



Considere um sistema massa-mola-amortecedor com massa m=20kg e de deslocamento inicial x0=0.01m conforme figura abaixo. Estime os coeficientes equivalentes de rigidez e amortecimento viscoso deste sistema



Uma haste delgada fina uniforme de massa m e de comprimento l eh articulada em A e esta ligada a quatro molas lineares e uma torcional, como mostra a figura abaixo. Determine a frequencia natural no amortecida se

mlradmNKmNK t 5,.1000,2000 ===



Determine a equao de movimento e frequenia natural da barra rigida OA de comprimento l e massa m, conforme figura abaixo.


3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.4-Vibraes foradas

Considere a equao do movimento massa-mola-amortecedor no caso em que temos uma fora harmonica actuando no sistema

sendo F(t) harmonica teremos: Em que F a amplitude da fora e medida em N

esta equao diferencial no ordinaria e a soluo dada pela soma das

( )tFkqqcqm =++ ( ) ( )tFtF sin=

( )tFkqqcqm sin=++



ou seja a soma da soluo homogenia que ja foi calculada nos pontos anteriores e de uma soluo particular que adimite-se que seja do tipo:

subistituindo em teremos: e a soluo particular dada por:

tiAeq =

( ) ( ) ( )tqtqtq ph +=

( )tFkqqcqm =++ ( ) titi FeAecikm =++ 2

( )( ) ( )

titi FecmkcimkFe

cikmtq

222

2

2

1+

=

++=



aonde

em que a parte imaginaria :

( )( ) ( )

( ) titi FeHFecmkcimktq

=

+

=

222

2

( )( ) ( )222

2

cmkcimk

FAH

+

==

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

+=

+

+= 2

1

222222

2

sinsincos

mk

ctgtcmk

FFcmk

tmktctq



A equao tem soluo:

A soluo geral composta por um termo transitorio e um estacinario.

A amplitude da resposta forada dada por:

( ) ( ) ( )tqtqtq ph +=

( ) ( )( ) ( )

+++= 2

1

22221 sinsincos

mk

ctgtcmk

FtAtAetq aatn

( ) ( ) ( ) ( )222222 211

+=

+=

kF

cmk

FAn

=



O factor de ampliao dado por:

( )( ) ( )222 21

1,

+

===F

kAAAM p

st


3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.4.1-Ressonncia

Ocorre quando a frequencia de exitao igual a frequencia natural do sistema

Em projectos deve-se sempre evitar estar zona pois induzem vibraes de grandes amplitudes ao sistema


3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.4.1-Ressonncia

O pico de resonncia que o valor maximo de M obtido por:

E

( )nd

dM

=== 2210,

2max 121

=M


3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.4.2-Vibraes causadas por foras de desbalanceamento em

maquinas rotativas No caso em que temos maquinas rotativas com massa

desbalanceada, o sistema excitado por esta massa a sua velocidade angular com a sua excentricidade



maquinas rotativas A fora de desbalance :

A equao do movimento dada

A amplitude de vibrao em regime permanente sera

dada por

( )temkqqcqm sin20=++

( ) ( )temtFe sin20=

( ) ( )2222

0

21

+=

kemqp



maquinas rotativas A quantidade representa a quantidade de

desbalanceamento do sistema. Em geral obtido a partir de teste experimental para procurar adidionar

massas para corrigir este desbalanceamento, uma vez que esta excitao em niveis muito grandes pode

Comprometer o funcionamento de uma maquina e siminuir o seu tempo de vida util. Dividindo

por m obtm-se o factor de Amplio adimensional

em0

( ) ( )2222

0

21

+=

kemqp

em0

( ) ,



maquinas rotativas

( )( ) ( )222

2

0 21,

+

==em

mqp



maquinas rotativas

e ocorre quando 2max 12

1

=2max 12

1

=


3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.4.3- Movimento harmonico da base de suporte

No caso em que a base de suporte do sistema sofre um

movimento harmonico



A equao diferencial do movimento:

ou

O deslocamento do suporte harmonico dado por

E a resposta sera da forma subistituindo na

equao do mov. Teremos

e

( ) 0)( =++ yqkyqcqm kyyckqqcqm +=++

tiYey =

( ) = tiAeq

( )( ) ( )222

2

2121

+

+= YA ( ) ( )222

21

212

+

= tg



A relao A/Y conhecida como transmissibilidade

( )( ) ( )222

2

2121

+

+=

YA


3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.4.5- Transmissibilidade. Isolamento de vibraes

Transmissibilidade de foras, consiste em estudar

mecanismo de modo a minimiza os esforos transmitidos as fundaes ou lugar aonde esta apoiada as maquinas

As forcas transmitidas so por dois processos: atravez da rigides K z dos amortecedores C



A fora transmitida

qcKqftr +=



Admitindo excitao harmonica, a magnitude e fase da fora aplicada e das outras foras sera:

e a resposta ao sistema sera dado por

assim a fora transmitida sera

tiapap eFF

=

apFcimkA

+= 2

1



Transmissibilidade=TR=

Graficamente temos:

aptr FcimkcikcAiKAF

+

+=+= 2

( )( ) ( )222

2

2121

+

+=

ap

tr

FF



Verifica-se que Fap e Ftr so iguais no ponto em que Ou seja Ftr soh eh maior que Fap quando

2=

n 2>


3-Sistemas com um grau de Liberdade Exercicios

1. Uma maquina com 45kg, eh montada em cima de um

isolador no-amortecido, composto de quatro molas em paralelo com rigidez de em cada mola. Quando opera a uma velocidade de 32Hz, a amplitude em regime permanente corresponde 0 1.5mm. Qual eh a magnitude da fora que excita esta maquina nesta velocidade?

mN2102



Vibrao e Ruido Programa 3-Sistemas com um grau de Liberdade3.1-Resposta em vibrao livre no amortecida 3-Sistemas com um grau de Liberdade3.1-Resposta em vibrao livre no amortecida 3-Sistemas com um grau de Liberdade3.2-Resposta em vibrao livre com amortecimento viscoso 3-Sistemas com um grau de Liberdade3.2-Resposta em vibrao livre com amortecimento viscoso 3-Sistemas com um grau de Liberdade3.2-Resposta em vibrao livre com amortecimento viscoso 3-Sistemas com um grau de Liberdade3.2-Resposta em vibrao livre com amortecimento viscoso 3-Sistemas com um grau de Liberdade3.2.1-Movimento oscilatorio subamortecido 3-Sistemas com um grau de Liberdade3.2.1-Movimento oscilatorio subamortecido 3-Sistemas com um grau de Liberdade3.2.1-Movimento oscilatorio subamortecido 3-Sistemas com um grau de Liberdade3.2.2-Movimento superamortecido 3-Sistemas com um grau de Liberdade3.2.2-Movimento superamortecido 3-Sistemas com um grau de Liberdade3.2.3-Movimento superamortecido 3-Sistemas com um grau de Liberdade3.3-Decremento logaritmico 3-Sistemas com um grau de Liberdade3.3-Decremento logaritmico 3-Sistemas com um grau de LiberdadeExercicio 3-Sistemas com um grau de LiberdadeExercicio 3-Sistemas com um grau de LiberdadeExercicio 3-Sistemas com um grau de LiberdadeExercicio 3-Sistemas com um grau de LiberdadeExercicio 3-Sistemas com um grau de LiberdadeExercicio 3-Sistemas com um grau de LiberdadeExercicio 3-Sistemas com um grau de Liberdade3.4-Vibraes foradas 3-Sistemas com um grau de Liberdade3.4-Vibraes foradas 3-Sistemas com um grau de Liberdade3.4-Vibraes foradas 3-Sistemas com um grau de Liberdade3.4-Vibraes foradas 3-Sistemas com um grau de Liberdade3.4-Vibraes foradas 3-Sistemas com um grau de Liberdade3.4.1-Ressonncia 3-Sistemas com um grau de Liberdade3.4.1-Ressonncia 3-Sistemas com um grau de Liberdade3.4.2-Vibraes causadas por foras de desbalanceamento em maquinas rotativas 3-Sistemas com um grau de Liberdade3.4.2-Vibraes causadas por foras de desbalanceamento em maquinas rotativas 3-Sistemas com um grau de Liberdade3.4.2-Vibraes causadas por foras de desbalanceamento em maquinas rotativas 3-Sistemas com um grau de Liberdade3.4.2-Vibraes causadas por foras de desbalanceamento em maquinas rotativas 3-Sistemas com um grau de Liberdade3.4.2-Vibraes causadas por foras de desbalanceamento em maquinas rotativas 3-Sistemas com um grau de Liberdade3.4.3- Movimento harmonico da base de suporte 3-Sistemas com um grau de Liberdade3.4.3- Movimento harmonico da base de suporte 3-Sistemas com um grau de Liberdade3.4.3- Movimento harmonico da base de suporte 3-Sistemas com um grau de Liberdade3.4.5- Transmissibilidade. Isolamento de vibraes 3-Sistemas com um grau de Liberdade3.4.5- Transmissibilidade. Isolamento de vibraes 3-Sistemas com um grau de Liberdade3.4.5- Transmissibilidade. Isolamento de vibraes 3-Sistemas com um grau de Liberdade3.4.5- Transmissibilidade. Isolamento de vibraes 3-Sistemas com um grau de Liberdade3.4.5- Transmissibilidade. Isolamento de vibraes 3-Sistemas com um grau de LiberdadeExercicios 3-Sistemas com um grau de LiberdadeExercicios 3-Sistemas com um grau de LiberdadeExercicios

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