UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ FACULTAD DE CIENCIAS INFORMÁTICAS
CARRERA DE INGENIERÍA EN SISTEMAS
DIARIO METACOGNITIVO
ING. JOSE CEVALLOS SALAZAR DOCENTE
WILLIAM CASTRO LEON ESTUDIANTE
PORTOVIEJO ABRIL –AGOSTO DEL 2012
Misión:
Ser una unidad con alto prestigio
académico, con eficiencia, transparencia
y calidad en la educación, organizada en
sus actividades, protagonistas del
progreso regional y nacional.
Visión:
Formar profesionales eficientes e
innovadores en el campo de las ciencias
informáticas, que con honestidad,
equidad y solidaridad, den respuestas a
las necesidades de la sociedad
elevando su nivel de vida.
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ FACULTAD DE CIENCIAS INFORMÁTICAS
CARRERA DE INGENIERÍA EN SISTEMAS
DIARIO METACOGNITIVO
Clase No 1:
TEMA DISCUTIDO:
ANALISIS DE FUNCIONES
PRODUCTO CARTESIANO: Definición: Representación gráfica
RELACIONES: Definición, dominio y recorrido de una relación
DEFINICIÓN, NOTACIÓN
Dominio, recorrido o rango de una función, Silva Laso, 857. Smith, 13, Larson, 25 Variables: dependiente e independiente Constante. Representación gráfica de una función, Silva Laso, 891, Larson, 4 Criterio de recta vertical.
OBJETIVOS DE DESEMPEÑO:
Definir y reconocer: producto cartesiano, relaciones y funciones. Definir y reconocer: dominio e imagen de una función. Definir y graficar funciones, identificación de las mismas aplicando criterios.
PERIODO: Del 16 de Abril al 24 Agosto del 2012
TIEMPO: 4 HORAS EN DOS JORNADAS DE 2 HORAS
FECHA: Martes, 17 de abril-jueves, 19 de Abril del 2012.
DOCENTE GUIA: Ing. José Cevallos Salazar
COMPETENCIA GENERAL: Definiciones, identificaciones y trazos de gráficas.
ACTIVIDADES DURANTE LA CLASE
Presentación del docente
Reflexión “oración a mí mismo”
Mi reflexión sobre esta diapositiva titulada “oración a mí mismo” es que nosotros somos los
oídos y ojos de Dios el creador nunca tenemos que sentirnos solos porque el todo poderoso
siempre está junto a nosotros cuidándonos y llenándonos de bendiciones por ello en cada
amanecer tenemos que dar gracias al señor por un día nuevo de vida y asi en el transcurrir de
nuestras vidas dar una oración al señor es darnos una “oración a mí mismo”
Participación del estudiante ante la reflexión
Explicación del portafolio
Modelo de portafolio semestre anterior
Parámetros del portafolio a presentar
Entrega de material lógico de apoyo para el estudiante
Notas a evaluar en el semestre
Políticas del curso y de clases
Análisis de funciones
DESCRIPTORES ANALIZADOS
Función
Relación
Grafo
Dominio
Codominio
Conjunto
Imagen
Recorrido
Conjunto de llegada
Variables independientes y dependientes
Constantes
Productos cartesianos
Par
Función implícita y explicita
Función creciente
DATOS INTERESANTES DISCUTIDOS HOY:
Producto cartesiano
En el cual hay que formar pares con los datos de nuestras galeras y ordenándolos en pares(x, y).
Dados los conjuntos A y B definimos un conjunto definimos un producto cartesiano de A con B.
Los elementos de A Y B son parejas ordenadas donde el primer elemento pertenece al conjunto A y el
segundo elemento al conjunto B.
FUNCION
Una función es un conjunto de parejas ordenadas (x,y) en el cual no hay dos ordenadas distintas que
tengan el mismo primer elemento.
¿QUÉ COSAS FUERON DIFÍCILES?,
Se me hizo difícil el análisis de funciones pero a medida de la explicación iva entendiendo poco a poco
¿PORQUE?
Me falta perfeccionar porque no se cómo trabajar con el rango para crear la tabla de datos de “x” y “y”
el rango de (-4 a 4)
¿CUÁLES FUERON FÁCILES?,
El análisis numérico
El método grafico
REFLEXION
¿PORQUE?
Me falta perfeccionar pero puse atención a la explicacion del ing José Cevallos y gracias a ellos puedo
aplicar los conocimientos adquiridos para perfeccionar las técnicas para realizar de forma clara los
ejercicios
¿QUÉ APRENDÍ HOY?
En esta clase aprendí a reconocer cuando es función y cuando no es función
rápidamente aplicando el criterio de la recta vertical
No es función porque su dominio se
relaciona con doble imagen por efecto del
radical
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FACULTAD DE CIENCIAS INFORMÁTICAS
CARRERA DE INGENIERÍA EN SISTEMAS
DIARIO METACOGNITIVO
Clase No 2:
CONTENIDOS:
FUNCIONES
Situaciones objetivas donde se involucra el concepto de función, Silva Laso, 867
Función en los Reales: función inyectiva, sobreyectiva y biyectiva, Silva laso, 142, 874
Gráficas, criterio de recta horizontal, Silva Laso, 876
TIPOS DE FUNCIONES:
Función Constante, Silva Laso, 891, Smith, 14
Función de Potencia: función de Identidad, cuadrática, cúbica, hipérbola, equilátera y función
raíz, Silva Laso, 919, Larson,37
OBJETIVOS DE DESEMPEÑO:
Definir modelos matemáticos donde se involucra el concepto de función
Definir, reconocer y graficar diferentes tipos de funciones.
COMPETENCIA GENERAL:
Definición de modelos matemáticos, trazar graficas de diferentes tipos de funciones
PERIODO: Del 16 de Abril al 24 Agosto del 2012
TIEMPO: 4 HORAS EN DOS JORNADAS DE 2 HORAS
FECHA: Martes, 24 de abril-jueves, 26 de Abril del 2012.
DOCENTE GUIA: Ing. José Cevallos Salazar
DATOS INTERESANTES DISCUTIDOS HOY
ACTIVIDADES REALIZADAS EN CLASES
Explicación de estructura del portafolio
Reflexión ( que le pasa a la juventud)
Mi reflexión sobre esta diapositiva creada por los problemas psicosociales de los estudiantes,
fue compartido de una forma personal enfocada en la realidad de cada uno de ellos en su día a
día por las cosas buenas y malas que cada uno asimila ante las circunstancias que pasan, mi
reflexión se baso en que hay que saber aprovechar las enseñanzas de las pequeñas cosas
asimilando los problemas como experiencias ya que un tropiezo no es caída. Eso sucede en la
juventud que no asimilar y afrontar para poder superar los problemas y suelen buscar refugio
en vicios que contribuyen al deterioro como persona y dan rienda suelta a destruir una vida sin
regreso alguno.
Participación cada estudiante creando la reflexión del tema
Introducción al tema
Analizamos descriptores
Participación por cada estudiante en la pizarra y por grupos
DESCRIPTORES ANALIZADOS
Criterio ; observación
Cociente ; tabular
Despeje
Problemas
Objetivos
Dibujo
Datos
Área
Perímetro
Lazo
Ancho
CONTENIDO
FUNCIONES
Una función es un conjunto de parejas ordenadas (x,y) en el cual no hay dos parejas ordenadas distintas
que tengan el mismo primer elemento, y se expresa por:
( ) *( ) ( )+
OBTENICION DEL DOMINIO E IMAGEN
Obtención del dominio de una función f: R→R
Se dijo anteriormente que el dominio de una función son los valores posibles de x (variable
independiente) y estos valores serán aquellos para los cuales la expresión y= ( )exista, es decir,
y= ( )este definida en los reales.
10. y=x½= √ 11. y= √
Existe si x ≥ 0 existe si, x +2 ≥ 0
Por lo que: por lo que: x ≥-2
D={x ϵR/ x ≥ D = {x ϵR/ x ≥ -2} = [-2, )
COCIENTE; TABULAR
16.
√
El cociente junto con el radical existe si :
2- x ˃ 0
2 ˃ x
X ˂ 2
DESPEJE
17.
√
El cociente junto con el radical existe si:
˃ 0
( )( )
La solución de esta desigualdad es:
( )⋃( )
Por lo que:
D = {x ϵR/ x ˂ } = ( ) ⋃( )
PROBLEMAS
EXPRESAR EL AREA DE UN CUADRADO EN FUNCION DE SU PERIMETRO
1)
PROBLEMAS Y
X
2) IDENTIFICADORES DE LAS VARIABLES
Y=Y=lados
A=área
P=perímetro
3) PREGUNTA
A(p)=?
4) PLANTEAMIENTO
4.1) Ecuación Primaria
A=x^2
A=(x)=x^2
4.2) Ecuación Secundaria
P= A(x)=x^2
P= 4X A(P)=(P/4)^2
P/4= X A(P)=P^2/16
X=P/4
LADO AL CUADRADO
LADOS
FUNCION INYECTIVA
Definición.
Una función →B ES INYECTIVA si y solo si se satisface la siguiente propiedad:
Si a ≠ b entonces ( )≠ ( )
Donde a y b son elementos del dominio
NOTA: Es decir una función inyectiva, ya que todas las parejas tienen segundo elemento diferente.
*( ) ( ) ( )+
Si es funcion inyectiva, ya que todas las parejas tienen segundo elemento diferente.
FUNCION SOBREYECTIVA
Definición
Una funcion →B ES SOBREYECTIVA si y solo si se satisface la siguiente propiedad.
Para toda b e B,existea e Atal que ( )
EJEMPLO:
42. Sea: → B, A ={x, y, z}
B = {a, b, c}
Y *( ) ( ) ( )+
Imagen = {a, b, c} = B
Si es función sobreyectiva.
FUNCION BIYECTIVA
Definición.
Una funcion → B es BIYECTIVAsi y solo si:
i) es inyectiva
ii) es sobreyectiva
sea → B, A = {x, y, z}
y *( ) ( ) ( )+
Es función biyectiva ya que es inyectiva y sobreyectiva
DATOS INTERESANTES DISCUTIDOS HOY
ACTIVIDADES REALIZADAS EN CLASES
Explicación de estructura del portafolio
Reflexión ( que le pasa a la juventud)
Participación cada estudiante creando la reflexión del tema
Introducción al tema
Analizamos descriptores
Participación por cada estudiante en la pizarra y por grupos
DESCRIPTORES ANALIZADOS
CRITERIO ; OBSERVACION
COCIENTE ; TABULAR
DESPEJE
PROBLEMAS
OBJETIVOS
DIBUJO
DATOS
AREA
PERIMETRO
LAZO
ANCHO
¿QUÉ COSAS FUERON DIFÍCILES?
Tuve dificultas al entender el despeje cuando tratamos diferentes funciones y el resultado del
dominador no puede ser cero obtenemos valores que no son igual a la incógnita entonces tenemos que
utilizar el despeje adecuado y con ello encontrar su dominio e imagen.
¿POR QUÉ?
Es porque obtenemos valores que no son igual a la incógnita entonces tenemos que utilizar el despeje
adecuado y con ello encontrar su dominio e imagen o cual sería el metodo apropiado
¿QUÉ COSAS FUERON FACILES?
Tuve mayor facilidad al entender el método grafico para identificar las funciones inyectivas,
sobreyectivas y biyectivas.
¿POR QUÉ?
Gracias a la facilitar al entender la explicacion del Ing. José Cevallos adquirí conocimientos que me son
de gran ayuda
REFLEXION
¿QUÉ APRENDÍ HOY?
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ FACULTAD DE CIENCIAS INFORMÁTICAS
CARRERA DE INGENIERÍA EN SISTEMAS
DIARIO METACOGNITIVO
Clase No 3:
CONTENIDOS:
TIPOS DE FUNCIONES:
Función polinomial, Silva Laso, 920, Larson, 37
Función racional, Silva Laso, 949, Smith, 23
Funciones seccionadas, Silva Laso, 953
Función algebraica.
Funciones trigonométricas. Silva Laso, 598, 964, Smith, 33
Función exponencial, Silva Laso, 618, Smith, 41
Función inversa, Silva Laso, 1015
Función logarítmica: definición y propiedades, Silva laso, 618
Funciones trigonométricas inversa, J. Lara, 207, Smith, 454
Transformación de funciones: técnica de graficación rápida de funciones, Silva Laso, 973, Smith,
52
OBJETIVOS DE DESEMPEÑO:
Definir, reconocer y graficar diferentes tipos de funciones.
PERIODO: Del 16 de Abril al 24 Agosto del 2012
TIEMPO: 2 HORAS
FECHA: Jueves, 3 de mayo del 2012.
DOCENTE GUIA: Ing. José Cevallos Salazar
COMPETENCIA GENERAL:
Trazar graficas de diferentes tipos de funciones
DATOS INTERESANTES DISCUTIDOS HOY
ACTIVIDADES REALIZADAS EN CLASES
Introducción al tema
Reflexión ( carta en el 2070)
Mi aportación ante la reflexión en la diapositiva titulada carta en el 2070 es que hay que
aprovechar valorar y no despreciar las cosas que ahora tenemos y no mal utilizarlas porque por
que se pueden dar decisiones y daños irremediables en este caso como ejemplo del agua , que
ahora mientras la utilizamos para lavar carros o regar en la calle para que no se levante el polvo
pues en un futuro sera tan difícil obtener el liquido vital a tal punto que existirán empresas que
separen el agua de la sal y el sueldo de los empleados sera a cambios de litros de agua.
Participación cada estudiante creando la reflexión del tema
Revisión de los portafolios
Aclaración de varios aspectos inconclusos del portafolio
Planteamiento de problemas (tipos de funciones)
Participación por cada estudiante en la pizarra y por grupos
CONTENIDOS
FUNCIÓN POLINOMIAL, Silva Laso, 920, Larson, 37
Una expresión de la forma
Donde n es un entero positivo, son números reales , es llamada
función polinomial de grado n
Ejemplo de funciones polinomiales
( )
( )
FUNCION LINEAL
Una función polinomial tiene una forma ( ) y su grafica es una lineal recta tal que:
m=es la pendiente o razón de cambio de y con respecto de x
b= es la intersección de la recta con el eje de las y o el valor de las y o el valor de y cuando el
valor de x es cero.
m=?
P(x,y) ; m Punto pendiente
(y-y`)=m(x-x`)
m=0 ( )
m=1 , b=0 f(x)=x
( )
+m
Función creciente
Función lineal sirve por ejemplo para un análisis económico
-m
FUNCIÓN DECRECIENTE
b
Las funciones de identidad pasan por el origen
FUNCIÓN CUADRATICA
Sea a, b y c números reales con a0
Es una función cuadrática y su grafica es una parábola
a)
Cuando a>0 va abierta hacia arriba ; a<0 abre hacia abajo c=b=0
FUNCION CUBICA
Sean a, b,c y d números reales con a0
La grafica de una función cubica puede tener una de las siguientes formas:
Tenemos que tener en claro las siguientes observaciones.
a) Si el coeficiente de x^3 es positivo entonces los valores de y empezaran desde menos infinito ,
o si el coeficiente x^3 de es negativo los valores de y empezaran desde más infinito
b) Intersección con el eje de las y , o valor al origen cuando x=0 .
Son los puntos de la función cubica donde se cruza el eje de las y, es decir , son aquellos
valores de y es decir , son aquellos valores de y cuando x=0
GRAFICAS DE TRASLACIONES
( )
( )
( )
FUNCION ALGEBRAICAS
PARTE DE LAS CONICAS
Graficas funciones que son parte de una parábola horizontal, si consideramos que la ecuación
Si a>0 , esta ecuación representa una parábola que se abre hacia la derecha con vértice el punto (b/a,0)
En la cual podemos observar que no es una función, ya que para cada valor de x permisible, se tienen
dos valores de la variable y.
Sin embargo en esta grafica consideramos solo los valores de y positivos tendremos una función cuya
ecuación es:
√ √
FUNCIONES QUE SON PARTE DE UNA CIRCUNFERENCIA
Si consideramos la ecuación que representa una circunferencia con su centro en el origen
y radio a.
Si en esta grafica consideramos solamente los valores de y positivos tendremos una función cuya
ecuación es √
Si consideramos los valores de y negativos tendremos una función cuya ecuación es √
GRAFCICAS QUE SON PARTE DE UNA HIPERBOLA
Si consideramos la ecuación de la hipérbola sabemos que es una hipérbola horizontal con
centro en el origen y vértices V(A,0) y V(-a,0).
Sin embargo, si en este grafica consideramos solo los valores de y positivos , tendremos una función
cuya ecuación es √ , y si consideramos los valores de y negativos también tendremos una
función cuya ecuación es √ .
FUNCION RACIONAL
La grafica de una función racional será la de su simplificación (considerando que se puede simplificar),
eliminando aquellos valores de x donde la función racional no está definida
Ejemplo
FUNCIONES SECCIONADAS
Son funciones que se grafican en un mismo plano
El dominio se a dividido en tres subconjuntos
Y en cada sección tenemos una función distinta, cuyas graficas son rectas al eje de las x.
FUNCION SECCIONADA
VALOR ABSOLUTO
La función valor absoluto expresada por y=|x, se define por
FUNCION ESCALON UNITARIO
( ) ( ) 0 si x<0
1 si x≥0
y=0 ; x<0 y=1 ; x≥0
x y x y
0 0 0 1
-1 0 1 1
-2 0 2 1
-3 0 3 1
-4 0 4 1
- 0 1
F(x)=|x+1| f(x)=|x|-2
1
F(x)=U(x)-5 f(x)=|x+5|-3
EJEMPLOS EN CLASE
DATOS INTERESANTES DISCUTIDOS HOY( FECHA: 15-05-2012)
ACTIVIDADES REALIZADAS EN CLASES
ACTIVIDADES
REFLEXION (AQUÍ ESTOY YO)
ESTUDIO Y ANALISIS DEL TEMA: FUNCIONES ALGEBRAICAS
CONTENIDO
FUNCION SIGNO
La función signo de x denotada por sgn(x) está definida por:
Su grafica es:
FUNCION ENTERO MAYOR
La expresión f [|x|] se define como el mayor entero que es menor o igual a x .
FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
P= periodo = menor conjunto
L= amplitud = el valor que toma la imagen
0 ≤ x ≤ 2pi
Función seno
180 360
Función coseno
90 270
FUNCION TRIGONOMETRICA INVERSA
f(x)=arc Sen (x)
f(x)= x
-
FUNCION INVERSA
( )
1.1 ( )
( )
( ) ( )
( )
VERIFICACION POR IDENTIDAD
a) ( ( ))
b) ( ( ))
a) ( ( ))
( ( )) (
)
(
(
)
b) ( ( )) .
/ .
/
.
/ =
FUNCION LOGARITMICA EXPONENCIAL
( )
FUNCION COMPUESTA
Sea una función cuyo dominio e imagen son, respectivamente, una función cuyo dominio e
imagen son, respectivamente .
La FUNCION COMPUESTA de f con g ,denotada por fog, se define por :
(fog)(x)=f(g(x))
Que se lee f compuesta con g.
DATOS INTERESANTES DISCUTIDOS HOY (FECHA: 15-05-2012)
ACTIVIDADES REALIZADAS EN CLASES
reflexión (aquí estoy yo)
Mi aporte ante esta reflexión que se presento titulada “Aquí estoy yo” puedo sintetizarla con el
conocimiento de Dios que nos a dado y sin embargo nos olvidamos por momentos que él está a nuestro
lado siempre en buenas y malas , en buenos y malos actos el siempre está con nosotros esperando por
nosotros para con sus bendiciones cuidarnos y protegernos .
Dios fue nuestro creador del mundo y cada microscópica vida el cuida de ella por eso no tenemos que
sentirnos solos porque el siempre está a nuestro lado.
estudio y análisis del tema: funciones algebraicas
FUNCIONES DE ENTERO MAYOR
La expresión f [|x|] se define como el mayor entero que es menor o igual a x.
Funciones Trigonométricas
P= periodo = menor conjunto
L= amplitud = el valor que toma la imagen
0 ≤ x ≤ 2pi
Función Seno
180 360
Función Coseno
Función Trigonométrica inversa
f(x)=arcSen (x)
f(x)= x
-
Funciòn Inversa
( )
1.2 ( )
( )
( ) ( )
( )
¿QUE COSAS FUERON FACILES?
En esta de clase se hizo fácil entender las diferentes funciones sean de cualquier tipo ante la
visualización gráficamente denotando a cuál de ellas pertenece podría ser por sus características de
signos(+,-) para ver hacia que cuadrante del plano cartesiano corren y también los símbolos que para
cada uno de las funciones se utilizan en ello .
REFLEXION
¿POR QUÉ?
Porque para ver hacia que cuadrante del plano cartesiano corren y también los símbolos que para cada
uno de las funciones se utilizan en ello podemos tener las de valor absoluto en donde tenemos (|x|) o
las de función unitarias representadas por una U, o cuando tenemos las funciones que son de traslación
que se puede representar dos en la misma grafica (±).
¿QUE COSAS FUERON DIFICILES?
Cosas difíciles de entender las cuales no tengo claras son las funciones racionales y compuestas por su
complejidad en la parte analítica numérica y su representación grafica.
Función algebraica.
Funciones trigonométricas. Silva Laso, 598, 964, Smith, 33
Función exponencial, Silva Laso, 618, Smith, 41
Función inversa, Silva Laso, 1015
Función logarítmica: definición y propiedades, Silva laso, 618
Funciones trigonométricas inversa, J. Lara, 207, Smith, 454
Transformación de funciones: técnica de graficación rápida de funciones, Silva Laso, 973, Smith,
52
¿POR QUÉ?
Porque se me hizo difícil entender las funciones racionales y compuestas ya que son bien complejas
pero con practica y dedicación podre resolver esta falta de conocimiento vpara poder resolver los
ejercicios de una manera clara
¿QUÉ COSAS APRENDÍ HOY?
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ
FACULTAD DE CIENCIAS INFORMÁTICAS
CARRERA DE INGENIERÍA EN SISTEMAS
DIARIO METACOGNITIVO
Clase Nº 4
CONTENIDOS:
COMBINACIÓN DE FUNCIONES:
Algebra de funciones: Definición de suma, resta, producto y cociente de funciones,
Silva Laso, 994
Composición de funciones: definición de función compuesta, Silva Laso, 999
APROXIMACIÓN A LA IDEA DE LÍMITE.
LIMITE DE UNA FUNCIÓN
Concepto de límite: Propiedades de límites, Silva Laso, 1029, 1069, Smith, 68, Larson,
46
Límites indeterminados, Silva Laso, 1090
LIMITES UNILATERALES
Límite lateral derecho, Silva Laso, 1041
Límite lateral izquierdo
PERIODO: Del 16 de Abril al 24 Agosto del 2012
TIEMPO: 4 HORAS EN DOS JORNADAS DE 2 HORAS
FECHA: Abril 29 del 2012
DOCENTE GUIA: Ing. José Cevallos Salazar
Límite bilateral
OBJETIVOS DE DESEMPEÑO:
Definir operaciones con funciones.
Definir y calcular límites.
COMPETENCIA GENERAL:
Definición de operaciones y cálculo de límite de funciones.
DATOS INTERESANTES DISCUTIDOS HOY
ACTIVIDADES REALIZADAS EN CLASES
Introducción al tema
Reflexión ( nadie te ama como yo )
Mi reflexión ante esta diapositiva “nadie te ama como yo” trata del amor que Dios nos entrega
a diario en cada instante sin importar el momento ni las circunstancias por la que estemos
pasando en el siempre estará a nuestro lado y si las cosas no salen como nosotros queremos no
hay que preocuparnos él sabe como hace las cosa porque nadie nos ama como el por su vida
que entrego por nuestros pecados.
Participación del líder del grupo en conclusión del curso sobre la reflexión
Revisión de los portafolios
Planteamiento de problemas
CONTENIDOS
ALGEBRA DE FUNCIONES
Para cada función encontrar f(x)+g(x),f(x)-g(x),f(x)g(x), f(x)/g(x) y además dar
Df,Dg,Df+Dg,Df-Dg,Dfg,Df/g.
f(x)=3x-5 g(x)= 2x+7
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
( )
( )
* + * +
=
FUNCION COMPUESTA
Sea una función cuyo dominio e imagen son, respectivamente, una función cuyo
dominio e imagen son, respectivamente .
La FUNCION COMPUESTA de f con g , denotada por fog, se define por :
(fog)(x)=f(g(x))
Que se lee f compuesta con g.
APROXIMACIÓN A LA IDEA DE LÍMITE.
INDETERMINACION
0-0=
LIMITE DE UNA FUNCIÓN
FUNCION CONTINUA
f(a)=existe
a)
b) f(a)
Si ( ) ( )
DISCONTINUA
DISCONTINUA
REMOVIBLE
DISCONTINUA
ESCENCIAL
NO EXISTA EXISTA
TEOREMA DE UNICIDAD
Es función cuando toca un punto cerrado si toca dos puntos no existe limite pero por el criterio
de unicidad si la hay .
¿QUE COSAS FUERON FACILES?
En este tema hablamos sobre los límites y sus teoremas siendo la parte fundamental para entrar con
bases al estudio del cálculo, aquí analizamos sus teoremas la cual son de apoyo para el desarrollo del
mismo poder llegar a su entendimiento es decir cuando el límite de una función tiende al infinito (∞+,
∞-)
¿POR QUÉ?
Porque en este tema analizamos sus teoremas lo cual es de apoyo para el desarrollo del mismo y poder
llegar a su entendimiento es decir cuando el límite de una función tiende al infinito (∞+, ∞-)
¿QUE COSAS SE ME HICIERON DIFICIL?
A manera que va avanzando el temas de limites se siente su complejidad para salir de la
indeterminación aplicando sus teoremas sin embargo cuando se intenta salir de su indeterminación
fuera de los modelos matemáticos se torna más fácil y se desempeña destreza en el tema
¿POR QUÉ?
Porque se me hizo muy difícil entender las funciones continuas y discontinuas luego aplicando el
teorema de unicidad pero nada que un poco de practica pueda resolver.
REFLEXION
¿QUÉ COSAS APRENDI HOY?
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ
FACULTAD DE CIENCIAS INFORMÁTICAS
CARRERA DE INGENIERÍA EN SISTEMAS
DIARIO METACOGNITIVO
Clase Nº 5
CONTENIDOS:
LIMITE INFINITO:
Definición, teoremas, Silva Laso, 1090, Larson, 48
LIMTE AL INFINITO:
Definición, teoremas.
Limite infinito y al infinito, Smith, 95
ASÍNTOTAS:
Asíntotas verticales, definición, gráficas, Silva Laso, 1102, Smith, 97
Asíntotas horizontales, definición, gráficas.
Asíntotas oblicuas, definición, gráficas.
OBJETIVO DE DESEMPEÑO
Definir y calcular límite infinito, al infinito e infinito y al infinito.
Definir y graficar asíntotas horizontales, verticales y oblicuas.
PERIODO: Del 16 de Abril al 24 Agosto del 2012
TIEMPO: 4 HORAS EN DOS JORNADAS DE 2 HORAS
FECHA: MAYO 15 DEL 2012
DOCENTE GUIA: Ing. José Cevallos Salazar
COMPETENCIA GENERAL:
Definición y cálculo de límites, trazado de asíntotas.
CONTENIDOS:
LIMITE INFINITO:
ASINTOTAS
Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va aproximando indefinidamente, cuando por lo
menos una de las variables (x o y) tienden al infinito.
Si un punto (x, y) se desplaza continuamente por una función y = f(x) de tal forma que, por lo menos,
una de sus coordenadas tienda al infinito, mientras que la distancia entre ese punto y una recta
determinada tiende a cero, esta recta recibe el nombre de asíntota de la función.
Las funciones tienen un comportamiento curioso. Al ir aumentando (o disminuyendo) constantemente
el valor de la x vemos que su valor imagen, F(x), tiende a estabilizarse, tendiendo a un número Real (que
es el límite). En el caso mostrado se observa cómo la función tiende a uno cuando x tiende a números
muy grandes y cuando tiende a un número muy pequeño (negativos, F(x) tiende a cero por los
negativos; por debajo del eje x).
DESARROLLO
Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va aproximando indefinidamente, cuando por lo menos
una de las variables (x o y) tienden al infinito.
Una definición más formal es:
DEFINICIÓN
Si un punto (x,y) se desplaza continuamente por una función y=f(x) de tal forma que, por lo menos, una
de sus coordenadas tienda al infinito, mientras que la distancia entre ese punto y una recta determinada
tiende a cero, esta recta recibe el nombre de asíntota de la función.
Las asíntotas se clasifican en:
ASÍNTOTAS VERTICALES
Si existe, se presenta en funciones racionales de la forma y corresponde
aquellos valores para los cuales se indetermina la función para cuando q(x) = 0 , o mediante la
interpretación del siguiente limite
Las asíntotas vert icales son rectas vert icales a las cuales la función se va acercando
indefinidamente s in l legar nunca a cortar las.
Ejemplos
Función racional. Indeterminación K/0
FUNCIÓN LOGARÍTMICA
ASÍNTOTAS HORIZONTALES
Las asíntotas horizontales se refieren a la tendencia de una función. Las tendencias se descubren
calculando los límites de la función para valores muy grandes (infinitos) o para valores muy negativos
(menos infinito).
Las asíntotas horizontales pueden ser bilaterales en un mismo valor, bilaterales con diferente valor, o
unilaterales.
Hay funciones en las cuales las asíntotas horizontales no se tocan ni cruzan, hay otras en las cuales sí se
puede cruzar la asíntota horizontal. En este espacio, veremos los dos casos. No hay que confundir, que
las asíntotas verticales no se pueden tocar ni cruzar, ya que ellas dependen de las no definiciones de la
función, y si la función no está definida en una asíntota vertical, no puede adoptar el valor de x de la
asíntota vertical.
Ejemplos
ASÍNTOTAS OBLICUAS
Si
es un número real distinto de cero diremos que la función tiene una asíntota oblicua por
la derecha.
En este caso, la asíntota oblicua por la derecha es la recta de ecuación
donde
Si
es un número real distinto de cero diremos que la función tiene una asíntota oblicua por
la izquierda.
En este caso, la asíntota oblicua por la izquierda es la recta de ecuación
donde
Pueden darse los siguientes casos:
1. 1. No existe ninguna asíntota oblicua.
1. 2. Existe una unica asíntota oblicua por la derecha pero no existe asíntota
oblicua por la izquierda.
1. 3. Existe una unica asíntota oblicua por la izquierda pero no existe asíntota
oblicua por la derecha.
1. 4. Existen dos asíntotas oblicuas, una por la izquierda y otra por la derecha.
En este ultimo caso, las asíntotas oblicuas por la derecha y por la izquierda pueden coincidir,
pero, en general, no tienen porque coincider.
Si por la derecha ( izquierda ) existe asíntota horizontal, no existe asíntota
oblicua por la derecha ( izquierda ) y viceversa.
Es decir, no puede darse el caso que una función tenga asíntotas horizontal y oblicua por la
derecha ( izquierda ).
[editar] Ejemplo 1
Gráfica de una función con asíntotas oblicuas por la derecha y por la izquierda.
[editar] Ejemplo 2
Sea
Como
La función tiene una asíntota oblicua por la derecha de pendiente 1.
Para calcular su ordenada en el origen calculamos el siguiente limite
Por tanto la ecuación de la asíntota oblicua por la derecha es
Como
La función tiene una asíntota oblicua por la izquierda de pendiente 1.
Para calcular su ordenada en el origen calculamos el siguiente limite
Por tanto la ecuación de la asíntota oblicua por la izquierda es tambien
En este ejemplo, las asíntotas oblicuas por la izquierda y por la derecha coinciden.
¿QUE COSAS FUERON FÀCILES?
Esta reflexión se trata sobre límites en el cual se aplica una variedad de teoremas como hemos visto en
casos anteriores en el cual se ve cuando el límite de x tiende al +∞
¿POR QUÉ?
Porque se me hizo fácil de entender y más en los tipos de asíntotas porque aplicando la destreza de
reconocer sus graficas hay facilidad
¿QUE COSAS FUERON DIFÌCILES?
El tema en fue un poco complicado pero después con la ayuda del Ing. José Cevallos el cual nos enseña
de una manera clara y precisa y con la ayuda de la practica fui mejorando mis conocimientos.
¿POR QUÉ?
Porque se me hizo difícil ya que el tema es complicado pero poniendo atención y practicando se puede
aclarar las dudas
REFLEXION
¿QUÉ COSAS APRENDÍ HOY?
Asíntota Horizontal Asíntota Vertical Asíntota Oblicua
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ
FACULTAD DE CIENCIAS INFORMÁTICAS
CARRERA DE INGENIERÍA EN SISTEMAS
DIARIO METACOGNITIVO
Clase Nº6
LÍMITES TRIGONOMETRICOS:
Límite trigonométrico fundamental, Silva Laso, 1082, Larson, 48
Teoremas.
CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN NÚMERO:
Definición, Silva Laso, 1109
Criterios de continuidad.
Discontinuidad removible y esencial.
OBJETIVOS DE DESEMPEÑO:
Definir y calcular límites trigonométricos.
Definir y demostrar la continuidad o discontinuidad de una función.
PERIODO: Del 16 de Abril al 24 Agosto del 2012
TIEMPO: 4 HORAS EN DOS JORNADAS DE 2 HORAS
FECHA: Martes, 22 de mayo-jueves, 24 de mayo del 2012.
DOCENTE GUIA: Ing. José Cevallos Salazar
COMPETENCIA GENERAL:
Definición y cálculo de límites trigonométricos, demostración de continuidad y
discontinuidad de funciones aplicando criterios.
CONTENIDOS:
LIMITE TRIGONOMETRICO
( )
√
=
√
= √ √
=
√
APLICANDO TEOREMAS
√
)
√
√
√
√
√
√ √
1.2) LIMITES APLICANDO A UN RADICAL
√
)
√ ,
- 0
1
( )
,
-
( )
)
√ ( )
( )
√
FUNCION CONTINUA
NOTA:
Debe cumplir que la función exista y el límite exista
1) X=1 2) X=-2 3) X=0
f (2)=3 f(-2)=2 f(0)=2
( )
( )
( )
F(2)≠ ( ) f(-2) ≠ ( ) f(0)= ( )
¿QUÉ COSAS FUERON FÁCILES?
En este tema entendí y comprendí los límites y su aplicación en especial sus teoremas resolviendo los
ejercicios varias veces para manejar los teoremas a facilidad
Eh llegado asi a definir y calcular limites trigonométricos eh aquí un ejemplo
√
√
√ √
√
REMOVIBLE CUANDO EL
LIMITE EXISTA
ESCENCIAL CUANDO NO
ES REMOVIBLE
F. DISCONTINUA FUNCION ESCENCIAL FUNCION
CONTINUA
REFLEXION
¿POR QUÉ?
Porque al principio lo más adecuado es resolverlo sin teoremas para luego aplicarlos y asi estar seguro
de su respuesta
Por ejemplo:
√
√
√ √
√
¿QUÉ COSAS FUERON DIFÍCILES?
Se me hizo muy difícil de entender la demostración de continuidad y discontinuidad de funciones
aplicando criterios.
¿POR QUÉ?
Porque la demostración de continuidad y discontinuidad de funciones aplicando criterios es muy
complicada pero practicando se puede resolver esa dificultad.
¿QUÉ COSAS APRENDÍ HOY?
√
√
√ √
√
√
)
√
√
√
√
√
√ √
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ FACULTAD DE CIENCIAS INFORMÁTICAS
CARRERA DE INGENIERÍA EN SISTEMAS
DIARIO METACOGNITIVO
Clase Nº7
CONTENIDOS:
CALCULO DIFERENCIAL.
PENDIENTE DE LA RECTA TANGENTE:
Definiciones, Silva laso, 1125, Smith, 126, Larson, 106
DERIVADA:
Definición de la derivada en un punto, Smith, 135
Interpretación geométrica de la derivada.
La derivada de una función.
Gráfica de la derivada de una función, Smith, 139
Diferenciabilidad y continuidad. Larson, 112
OBJETIVOS DE DESEMPEÑO:
Definir y demostrar la pendiente de la recta tangente en un punto de la curva.
Definir la derivada de una función.
PERIODO: Del 16 de Abril al 24 Agosto del 2012
TIEMPO: 4 HORAS EN DOS JORNADAS DE 2 HORAS
FECHA: 12 JUNIO DEL 2012
DOCENTE GUIA: Ing. José Cevallos Salazar
COMPETENCIA GENERAL:
Aplicación de la definición de la pendiente de la recta tangente y derivada en
diferentes tipos de funciones.
CONTENIDOS
PENDIENTE DE LA RECTA TANGENTE
La pendiente de la recta tangente en el punto de la curva f(x) lo representamos asi:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
La derivada definición ( )
( ) ( )
MODELOS MATEMATICOS
1. y
( )
2. y ;
( )
3. y ;
( )
4. y ;
5. ;
6. y
7. y
⁄
8. y √
√
, √
-
9. y
Funciones Trigonométricas
10. y
11. y
12. y
13. y
14. y
15. y
Aplicación
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )
.
/
( ⁄ )
( ) , -
( )
¿QUE COSAS FUERON FACILES?
Ejercicios resueltos en clase fue de la manera que pude entenderlos
.
/
( )
( )
( ) √
(√ )
√
( )
( )
( )
√ √
( )
( )
(√ )
√ ( )
√
,√
-
REFLEXIONES
¿POR QUÉ?
Porque gracias a los ejercicios realizados en clase pude entender y aclarar dudas para asi poder llegar a
realizar los ejercicios sin dificultad alguna
¿QUE COSAS FUERON DIFICILES?
No logre entender la aplicación de los teoremas en las funciones trigonométricas de derivadas
tengo problemas al aplicarlas suele haber confusión.
¿QUÉ COSAS APRENDÍ HOY?
En esta clase aprendí el uso adecuado de los modelos matemáticos para obtener el resultado
adecuado
MODELOS MATEMATICOS
16. y
( )
17. y ;
( )
18. y ;
( )
19. y ;
20. ;
21. y
22. y
⁄
23. y √
√
, √
-
24. y
¿POR QUÉ?
Porque gracias a la demostración de el uso adecuado de los modelos matemáticos se obtiene el
resultado adecuado