Transformadas de Laplace
O MTODO
O mtodo de transformada de Laplace um mtodo muito til para resolver equaes diferenciais ordinrias (EDO). Com a transformada de Laplace, pode-se converter muitas funes comuns, tais como, senoidais e amortecidas, em equaes algbricas de uma varivel complexa "s". As equaes diferenciais tambm podem ser transformadas em equaes algbricas atravs da transformada de Laplace. DEFINIO A transformada de Laplace uma operao semelhante a transformada logartmica. As equaes diferenciais so transformadas em equaes algbricas, em que pode-se realizar operaes algbricas normais no domnio "s" e depois retornando ao domnio "t" atravs da inversa. Esquematicamente:
O matemtico francs Pierre Simon de Laplace (1749 - 1827) descobriu um meio de resolver as equaes diferenciais que consiste em:
Multiplicar cada termo da equao por e s t Integrar cada termo em relao ao tempo de zero a infinito "s" uma constante de unidade de um 1/tempo.
A transformada de Laplace de uma funo f(t) definida como:
( ) ( )[ ] ( )F s f t f t e dtst= = L0
Onde: F(s) - Smbolo da transformada de Laplace f(t) - Funo do tempo contnua para 0 < t < L - Operador de Laplace
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Inversa da transformada de Laplace ( ) ( )[ ]f t f s= L 1 Onde: f(t) - Funo do tempo que no definida para t
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5. Derivada segunda de uma funo
( ) ( ) ( ) ( ) ( )L d f t
dts F s sf
dfdt
ondeddt
f t2
22 0
00
= =:
fazendo = dfdt
ou ( ) ( ) ( ) s sF s f= 0
[ ] ( ) ( )L Ld f dt d dt s s2 2 0 = = substituindo ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )L d f dt s sF s f s F s sf f2 2 20 0 0 0= = '
6. Derivada n-sima de uma funo
( ) ( ) ( ) ( ) ( )L ddt
f t s F s S f Sddt
fddt
fn
nn n n
n
=
1 21
0 0 0......
7. Integral de uma funo entre instantes 0 e t
( ) ( ) ( )L f tsF s
sF s
t
0
1 1 = =
EXEMPLOS DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE 1. Funo constante ( )f s a=
( ) ( )[ ]f s f t ae dt as e ass t s t= = = =
L
0 0
0
( )F s as
=
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2. Funo de grau unitrio
( )f t p tp t=