Transformadas de Laplace O MÉTODO O método de transformada de Laplace é um método muito útil para resolver equações diferenciais ordinárias (EDO). Com a transformada de Laplace, pode-se converter muitas funções comuns, tais como, senoidais e amortecidas, em equações algébricas de uma variável complexa "s". As equações diferenciais também podem ser transformadas em equações algébricas através da transformada de Laplace. DEFINIÇÃO A transformada de Laplace é uma operação semelhante a transformada logarítmica. As equações diferenciais são transformadas em equações algébricas, em que pode-se realizar operações algébricas normais no domínio "s" e depois retornando ao domínio "t" através da inversa. Esquematicamente: O matemático francês Pierre Simon de Laplace (1749 - 1827) descobriu um meio de resolver as equações diferenciais que consiste em: • Multiplicar cada termo da equação por e st − • Integrar cada termo em relação ao tempo de zero a infinito • "s" é uma constante de unidade de um 1/tempo. A transformada de Laplace de uma função f(t) é definida como: ( ) () [ ] () Fs ft fte dt st = = ∞ − ∫ L 0 Onde: F(s) - Símbolo da transformada de Laplace f(t) - Função do tempo contínua para 0 < t < ∞ L - Operador de Laplace
O mtodo de transformada de Laplace um mtodo muito til para
resolver equaes diferenciais ordinrias (EDO). Com a transformada de
Laplace, pode-se converter muitas funes comuns, tais como,
senoidais e amortecidas, em equaes algbricas de uma varivel
complexa "s". As equaes diferenciais tambm podem ser transformadas
em equaes algbricas atravs da transformada de Laplace. DEFINIO A
transformada de Laplace uma operao semelhante a transformada
logartmica. As equaes diferenciais so transformadas em equaes
algbricas, em que pode-se realizar operaes algbricas normais no
domnio "s" e depois retornando ao domnio "t" atravs da inversa.
Esquematicamente:
O matemtico francs Pierre Simon de Laplace (1749 - 1827)
descobriu um meio de resolver as equaes diferenciais que consiste
em:
Multiplicar cada termo da equao por e s t Integrar cada termo em
relao ao tempo de zero a infinito "s" uma constante de unidade de
um 1/tempo.
A transformada de Laplace de uma funo f(t) definida como:
( ) ( )[ ] ( )F s f t f t e dtst= = L0
Onde: F(s) - Smbolo da transformada de Laplace f(t) - Funo do
tempo contnua para 0 < t < L - Operador de Laplace
Transformadas de Laplace
Modelos Dinmicos Prof. Josemar dos Santos
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Inversa da transformada de Laplace ( ) ( )[ ]f t f s= L 1 Onde:
f(t) - Funo do tempo que no definida para t
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5. Derivada segunda de uma funo
( ) ( ) ( ) ( ) ( )L d f t
dts F s sf
dfdt
ondeddt
f t2
22 0
00
= =:
fazendo = dfdt
ou ( ) ( ) ( ) s sF s f= 0
[ ] ( ) ( )L Ld f dt d dt s s2 2 0 = = substituindo ( ) ( ) ( )[
] ( ) ( ) ( ) ( )L d f dt s sF s f s F s sf f2 2 20 0 0 0= = '
6. Derivada n-sima de uma funo
( ) ( ) ( ) ( ) ( )L ddt
f t s F s S f Sddt
fddt
fn
nn n n
n
=
1 21
0 0 0......
7. Integral de uma funo entre instantes 0 e t
( ) ( ) ( )L f tsF s
sF s
t
0
1 1 = =
EXEMPLOS DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE 1. Funo constante ( )f s
a=
