15. INTEGRAL (ANTI DIVERENSIAL)
A. Integral Tak Tentu
1) Rumus-Rumus Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar dan Trigonometri
1. ∫ dx = x + c
2. ∫ a dx = a ∫ dx = ax + c
3. ∫ xn dx = 1
11 ++
nn
x + c
4. ∫ sin ax dx= – a1 cos ax + c
5. ∫ cos ax dx = a1 sin ax + c
6. ∫ sec2 ax dx = a1 tan ax + c
7. ∫ [ f(x) ± g(x) ] dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx
Catatan
1. Identitas trigonometri yang biasa digunakan
a. 2sinA⋅ cosB = sin(A + B) + sin(A – B)
b. –2sinA⋅ sinB = cos(A + B) – cos(A – B)
c. sin2A = }2cos1{21 A−
d. cos2A = }2cos1{21 A+
e. sin 2A = 2sin A ⋅ cos A
2. Teknik Penyelesain Bentuk Integran
Misalkan u(x) dan v(x) masing-masing adalah fungsi dalam variabel x, maka metode
pengintegralan yang bisa digunakan adalah:
a. Metode substitusi
Jika bentuk integran : ∫ u v dx , dengan u dan v memiliki hubungan, yaitu v dx = du
b. Metode Parsial dengan TANZALIN
Jika bentuk integran : ∫ u dv , dengan u dan v tidak memiliki hubungan, yaitu v dx ≠ du
LATIH UN Prog. IPA Edisi 2011http://www.soalmatematik.com
SOAL PENYELESAIAN1. UN 2011 PAKET 12
Hasil ∫−+
+dx
xx
x
193
32
2 = …
a. cxx +−+ 1932 2
b. cxx +−+ 193 231
c. cxx +−+ 193 232
d. cxx +−+ 193 221
e. cxx +−+ 193 223
Jawab : c
2. UN 2011 PAKET 46
Hasil dxxx∫ + 536 2 = …
a. cxx +++ 56)56( 2232
b. cxx +++ 53)53( 2232
c. cxx +++ 5)5( 2232
d. cxx +++ 5)5( 2223
e. cxx +++ 53)53( 2223
Jawab : b
3. UN 2009 PAKET A/B
Hasil dxx
x∫
+ 42
33
2
= …
a. 424 3 +x + C
b. 422 3 +x + C
c. 42 3 +x + C
d. 42 321 +x + C
e. 42 341 +x + C
Jawab : c
Kemampuan mengerjakan soal akan terus meningkat jika terus berlatih mengerjakan ulang soal yang lalu
155
LATIH UN Prog. IPA Edisi 2011http://www.soalmatematik.com
SOAL PENYELESAIAN4. UN 2006
Hasil dari ∫ (x – 3)(x2 – 6x + 1)–3 dx = …
a. c)1x6x( 4281 ++−− −
b. c)1x6x( 4241 ++−− −
c. c)1x6x( 4221 ++−− −
d. c)1x6x( 2241 ++−− −
e. c)1x6x( 2221 ++−− −
Jawab : d5. UAN 2003
Hasil dx1xx∫ + = …
a. c1x)1x(1x)1x( 232
52 +++−++
b. c1x)2xx3( 2152 ++−+
c. c1x)4xx3( 2152 ++++
d. c1x)2xx3( 2152 ++−−
e. c1x)2xx( 252 ++−+
Jawab : b6. UN 2011 PAKET 12
Hasil dari ∫ cos4 2x sin 2x dx = …
a. cx +− 2sin5101
b. cx +− 2cos5101
c. cx +− 2cos551
d. cx +2cos551
e. cx +2sin5101
Jawab : b7. UN 2011 PAKET 46
Hasil ∫ sin3 3x cos 3x dx = …
a. cx +3sin 441
b. cx +3sin 443
c. cx +3sin4 4
d. cx +3sin 431
e. cx +3sin 4121
Jawab : e
Kemampuan mengerjakan soal akan terus meningkat jika terus berlatih mengerjakan ulang soal yang lalu
156
LATIH UN Prog. IPA Edisi 2011http://www.soalmatematik.com
SOAL PENYELESAIAN8. UN 2010 PAKET A
Hasil ∫ (sin2 x – cos2 x) dx adalah …
a. 21 cos 2x + C
b. –2 cos 2x + Cc. – 2 sin 2x + C
d. 21 sin 2x + C
e. – 21 sin 2x + C
Jawab : c9. UN 2010 PAKET B
Hasil dari ∫ (3 – 6 sin2 x) dx = …
a. 23 sin2 2x + C
b. 23 cos2 2x + C
c. 43 sin 2x + C
d. 3 sin x cos x + C
e. 23 sin 2x cos 2x + C
Jawab : d10. UN 2009 PAKET A/B
Hasil ∫ 4sin 5x ⋅ cos 3x dx = …a. –2 cos 8x – 2 cos 2x + C
b. xx 2cos8cos41 −− + C
c. xx 2cos8cos41 + + C
d. xx 2cos8cos21 −− + C
e. xx 2cos8cos21 + + C
Jawab : b11. UN 2008 PAKET A/B
Hasil dari ∫ sin2 x cos x dx = …
a. 31 cos3 x + C
b. 31− cos3 x + C
c. 31− sin3 x + C
d. 31 sin3 x + C
e. 3 sin3 x + C
Jawab : d
12. UN 2006Hasil dari ∫ (x2 – 3x + 1) sin x dx = …a. (–x2 + 3x + 1) cos x + (2x – 3) sin x + cb. (–x2 + 3x – 1) cos x + (2x – 3) sin x + cc. (x2 – 3x + 1) sin x + (2x – 3) cos x + cd. (x2 – 3x + 1) cos x + (2x – 3) sin x + ce. (x2 – 3x + 3) cos x + (2x – 3) sin x + c
Kemampuan mengerjakan soal akan terus meningkat jika terus berlatih mengerjakan ulang soal yang lalu
157
LATIH UN Prog. IPA Edisi 2011http://www.soalmatematik.com
Jawab : aSOAL PENYELESAIAN
13. UN 2005
Hasil dari dxxcos)1x( 2∫ + = …
a. x2 sin x + 2x cos x + cb. (x2 – 1) sin x + 2x cos x + cc. (x2 + 3) sin x – 2x cos x + cd. 2x2 cos x + 2x2 sin x + ce. 2x sin x – (x2 – 1)cos x + c
Jawab : b
14. UN 2004
Hasil dari dxx2sinx 2∫ = …
a. – 21
x2 cos 2x – 21
x sin 2x + 41
cos 2x + c
b. – 21
x2 cos 2x + 21
x sin 2x – 41
cos 2x + c
c. – 21
x2 cos 2x + 21
x sin 2x + 41
cos 2x + c
d. 21
x2 cos 2x – 21
x sin 2x – 41
cos 2x + c
e. 21
x2 cos 2x – 21
x sin 2x + 41
cos 2x + c
Jawab : c
Kemampuan mengerjakan soal akan terus meningkat jika terus berlatih mengerjakan ulang soal yang lalu
158
LATIH UN Prog. IPA Edisi 2011http://www.soalmatematik.com
2) Penggunaan Integral Tak TentuIntegral tak tentu di gunakan untuk mencari persamaan suatu kurva y = f(x) apabila diketahui turunan pertama dan sebuah titik pada kurva tersebut yaitu:
f(x) = ∫ f’(x) dx, dengan f’(x) adalah turunan pertama dari f(x) atau:
y = ∫ dxdxdy
, dengan dxdy
adalah turunan pertama y
SOAL PENYELESAIAN1. UN 2004
Gradien garis singgung suatu kurva adalah
m = dxdy
= 2x – 3. kurva itu melalui titik (3,2).
Persamaan kurva tersebut adalah …a. y = x2 – 3x – 2 b. y = x2 – 3x + 2c. y = x2 + 3x – 2 d. y = x2 + 3x + 2e. y = x2 + 3x – 1
Jawab : b
2. UAN 2003Jika grafik y = f(x) melalui titik (1, 2) dan turunannya f’(x) = x2 + 1, maka grafiknyay = f(x) memotong sumbu Y di titik …a. (0, 0)
b. (0, 31
)
c. (0, 32
)
d. (0, 1)e. (0, 2)Jawab : c
Kemampuan mengerjakan soal akan terus meningkat jika terus berlatih mengerjakan ulang soal yang lalu
159
LATIH UN Prog. IPA Edisi 2011http://www.soalmatematik.com
KUMPULAN SOAL SKL UN 2011 INDIKATOR 26 (i)Menghitung integral tak tentu fungsi aljabar dan fungsi trigonometri.
1. Hasil dari ∫ (x – 3)(x2 – 6x + 1)–3 dx = …
a. cxx ++−− −4281 )16(
b. cxx ++−− −4241 )16(
c. cxx ++−− −4221 )16(
d. cxx ++−− −2241 )16(
e. cxx ++−− −2221 )16(
2. Hasil dari ∫ +++ dxxxx 35
)53)(1( 32 = ...
a. 31 (x3 + 3x + 5) 3 23 )53( ++ xx + C
b. 31 (x3 + 3x + 5) 3 3 53 ++ xx + C
c. 81 (x3 + 3x + 5)2 3 23 )53( ++ xx + C
d. 81 (x3 + 3x + 5)2 3 3 53 ++ xx + C
e. 81 (x3 + 3x + 5)2 + C
3. Hasil dari ....562
)23(
2=
+−
−∫ dxxx
x
a. cxx ++−− 5622 2
b. cxx ++−− 562 2
c. cxx ++− 5622
1 2
d. cxx ++− 562 2
e. cxx ++− 5622
3 2
4. Hasil dxx
x∫+ 42
3
3
2
= …
a. 424 3 +x + C
b. 422 3 +x + C
c. 42 3 +x + C
d. 42 321 +x + C
e. 42 341 +x + C
5. Hasil dari ∫+
dxx
x
8
6
3
2
= ...
a. 83 +x + C d. 3 83 +x + C
b. 23
83 +x + C e. 4 8x3 + + C
c. 2 83 +x + C
6. Hasil dari ( )∫−+
+
5 33
2
12
46
xx
xdx = ...
a. ( )5 2352 12 −+ xx + C
b. ( )5 2325 12 −+ xx + C
c. ( )5 23 125 −+ xx + C
d. ( )5 33 125 −+ xx + C
e. ( )5 43 125 −+ xx + C
7. Hasil dari ( )∫−+
+
5 23
2
12
69
xx
xdx = ...
a. ( )5 2352 12 −+ xx + C
b. ( )5 2325 12 −+ xx + C
c. ( )5 23 125 −+ xx + C
d. ( )5 33 125 −+ xx + C
e. ( )5 43 125 −+ xx + C
8. Hasil ∫−+
+dx
xx
x
193
32
2 = …
a. cxx +−+ 1932 2
b. cxx +−+ 193 231
c. cxx +−+ 193 232
d. cxx +−+ 193 221
e. cxx +−+ 193 223
9. Hasil dxxx∫ + 536 2 = …
a. cxx +++ 56)56( 2232
b. cxx +++ 53)53( 2232
c. cxx +++ 5)5( 2232
d. cxx +++ 5)5( 2223
e. cxx +++ 53)53( 2223
Kemampuan mengerjakan soal akan terus meningkat jika terus berlatih mengerjakan ulang soal yang lalu
160
LATIH UN Prog. IPA Edisi 2011http://www.soalmatematik.com
10. Hasil dari ∫ cos4 2x sin 2x dx = …
a. cx +− 2sin5101
b. cx +− 2cos5101
c. cx +− 2cos551
d. cx +2cos551
e. cx +2sin5101
11. Hasil ∫ sin3 3x cos 3x dx = …
a. cx +3sin 441
b. cx +3sin 443
c. cx +3sin4 4
d. cx +3sin 431
e. cx +3sin 4121
12. Hasil dari ∫ sin2 x cos x dx = …
a. 31 cos3 x + C
b. 31− cos3 x + C
c. 31− sin3 x + C
d. 31 sin3 x + C
e. 3 sin3 x + C
13. Hasil dxxx∫ +1 = …
a. cxxxx +++−++ 1)1(1)1( 232
52
b. cxxx ++−+ 1)23( 2152
c. cxxx ++++ 1)43( 2152
d. cxxx ++−− 1)23( 2152
e. cxxx ++−+ 1)2( 252
14. Hasil ∫ 4sin 5x ⋅ cos 3x dx = …a. –2 cos 8x – 2 cos 2x + C
b. xx 2cos8cos41 −− + C
c. xx 2cos8cos41 + + C
d. xx 2cos8cos21 −− + C
e. xx 2cos8cos21 + + C
15. Hasil dari ∫ dxxx cos.3sin = ... .
a. −81 sin 4x – 4
1 sin 2x + C
b. −81 cos 4x – 4
1 cos 2x + C
c. −41 cos 4x – 2
1 cos 2x + C
d. 81 cos 4x – 8
1 cos 2x + C
e. 41 cos 4x – 2
1 cos 2x + C
16. Hasil dari ( )∫ − xx 2sin22cos dx = ...
a. 2 sin 2x + x + Cb. sin 2x + x + Cc. sin 2x – x + Cd. −2 sin 2x + x + Ce. −cos 2x + x + C
17. Hasil dari ( )∫ + xx 2coscos221 dx = ...
a. 85 sin 2x + 4
1 x + C
b. 85 sin 2x + 8
1 x + C
c. 85 cos 2x + 4
1 x + C
d. −85 sin 2x + 4
1 x + C
e. −85 cos 2x + 4
1 x + C
18. Hasil dari ( )∫ − dxxx 221 sin2cos = ...
a. 85 sin 2x – 4
1 x + C
b. 85 sin 2x – 8
1 x + C
c. 85 cos 2x – 4
1 x + C
d. −85 cos 2x – 4
1 x + C
e. −85 sin 2x – 4
1 x + C
19. Hasil ∫ (sin2 x – cos2 x) dx adalah …
a. 21 cos 2x + C
b. –2 cos 2x + Cc. – 2 sin 2x + C
d. 21 sin 2x + C
e. – 21 sin 2x + C
Kemampuan mengerjakan soal akan terus meningkat jika terus berlatih mengerjakan ulang soal yang lalu
161
LATIH UN Prog. IPA Edisi 2011http://www.soalmatematik.com
20. Hasil dari ∫ (3 – 6 sin2 x) dx = …
a. 23 sin2 2x + C
b. 23 cos2 2x + C
c. 43 sin 2x + C
d. 3 sin x cos x + C
e. 23 sin 2x cos 2x + C
21. Hasil dari ∫ (x2 – 3x + 1) sin x dx = …a. (–x2 + 3x + 1) cos x + (2x – 3) sin x + cb. (–x2 + 3x – 1) cos x + (2x – 3) sin x + cc. (x2 – 3x + 1) sin x + (2x – 3) cos x + cd. (x2 – 3x + 1) cos x + (2x – 3) sin x + ce. (x2 – 3x + 3) cos x + (2x – 3) sin x + c
22. Hasil dari dxxx∫ + cos)1( 2 = …
a. x2 sin x + 2x cos x + c
b. (x2 – 1) sin x + 2x cos x + cc. (x2 + 3) sin x – 2x cos x + cd. 2x2 cos x + 2x2 sin x + ce. 2x sin x – (x2 – 1)cos x + c
23. Hasil dari dxxx∫ 2sin2 = …
a. – 21
x2 cos 2x – 21
x sin 2x + 41
cos 2x
+ c
b. – 21
x2 cos 2x + 21
x sin 2x – 41
cos 2x
+ c
c. – 21
x2 cos 2x + 21
x sin 2x + 41
cos 2x
+ c
d. 21
x2 cos 2x – 21
x sin 2x – 41
cos 2x +
c
e. 21
x2 cos 2x – 21
x sin 2x + 41
cos 2x +
c
Kemampuan mengerjakan soal akan terus meningkat jika terus berlatih mengerjakan ulang soal yang lalu
162
B. INTEGRAL TENTU
Misalkan kurva y = f(x) kontinu pada interval tertutup [a, b], maka luas daerah L yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu X, garis x = a, dan garis x = b, ditentukan dengan rumus:
L = ∫ −==b
a
ba aFbFxFdxxf )()()]([)( , dengan F(x) adalah integral (antidiferensial) dari f(x)
1) Integral Tentu Fungsi Aljabar dan TrigonometriSOAL PENYELESAIAN
1. UN 2011 PAKET 12
Hasil ∫ −+−4
2
2 )86( dxxx = …
a. 338
b. 326
c. 320
d. 316
e. 34
Jawab : e
2. UN 2011 PAKET 46
Hasil ∫ +3
1612 )( dxx = …
a. 9 31
b. 9c. 8
d. 310
e. 3Jawab : b
3. UN 2010 PAKET A
Hasil dari dxx
x∫
−
2
12
2 1 = …
a. 59
b. 69
c. 611
d. 617
e. 619
LATIH UN Prog. IPA Edisi 2011http://www.soalmatematik.com
Jawab : c
SOAL PENYELESAIAN4. UN 2010 PAKET B
Hasil dari ∫ −+2
0
)6)(1(3 dxxx = …
a. –58 b. –56c. –28d. –16e. –14
Jawab : a
5. UN 2009 PAKET A/BNilai a yang memenuhi persamaan
∫ +1
22 )1(12a
dxxx = 14 adalah …
a. –2b. –1c. 0
d. 21
e. 1
Jawab : c
6. UN 2008 PAKET A/B
Hasil dari ∫−
+0
1
532 )2( dxxx = …
a. 385
b. 375
c. 1863
d. 1858
e. 1831
Jawab : e
7. UN 2007 PAKET A
Diketahui ∫ +p
132 dx)x(x3 = 78.
Nilai (–2p) = …a. 8b. 4c. 0d. –4
Kemampuan mengerjakan soal akan terus meningkat jika terus berlatih mengerjakan ulang soal yang lalu
164
LATIH UN Prog. IPA Edisi 2011http://www.soalmatematik.com
e. –8Jawab : e
SOAL PENYELESAIAN8. UN 2007 PAKET B
Diketahui ∫ −+p
1
2 dt)2t6t3( = 14.
Nilai (–4p) = …a. –6b. –8c. –16d. –24e. –32
Jawab : b
9. EBTANAS 2002
Hasil dari ∫ −−
1
1
2 dx)6x(x = …
a. –4
b. 21−
c. 0
d. 21
e. 214
Jawab : a
10. EBTANAS 2002
∫ +a
22
dx)1x
4( =
a
1. Nilai a2 = …
a. –5b. –3c. 1d. 3e. 5Jawab : e
11. UN 2011 PAKET 12
Hasil ∫ +π
0
)cos3(sin dxxx = …
a. 310
b. 38
c. 34
d. 32
Kemampuan mengerjakan soal akan terus meningkat jika terus berlatih mengerjakan ulang soal yang lalu
165
LATIH UN Prog. IPA Edisi 2011http://www.soalmatematik.com
e. 31
Jawab : d
SOAL PENYELESAIAN12. UN 2011 PAKET 46
Hasil ∫ −2
0
)2cossin2(
π
dxxx = …
a. 25−
b. 23
c. 1d. 2
e. 25
Jawab : d13. UN 2010 PAKET A
Nilai dari ∫ +6
0
)3cos3(sin
π
dxxx = …
a. 32
b. 31
c. 0
d. – 31
e. – 32
Jawab : a14. UN 2010 PAKET B
Hasil dari ∫ −π
ππ
32
21
)3cos( dxx = …
a. –1
b. – 31
c. 0
d. 31
e. 1Jawab : b
15. UN 2004
Nilai dari ∫ −−2
3
)3sin()3cos(
π
πππ dxxx =
a. – 61
b. – 121
c. 0
Kemampuan mengerjakan soal akan terus meningkat jika terus berlatih mengerjakan ulang soal yang lalu
166
LATIH UN Prog. IPA Edisi 2011http://www.soalmatematik.com
d.121
e.61
Jawab : eSOAL PENYELESAIAN
16. UAN 2003
∫π
0dxxcosx = …
a. –2b. –1c. 0d. 1e. 2
Jawab : a17. UAN 2003
∫
π4
0dxxsinx5sin = …
a. –21 d.
81
b. –61 e.
125
c. 121 Jawab : c
18. EBTANAS 2002
∫ ++π
ππ6
033
dx)xcos()xsin( = …
a. –41 d.
41
b. –81 e.
83
c. 81 Jawab c
19. EBTANAS 2002
∫ ππ1
0
22 dxxcosxsin = …
a. 0 d. 81 π
b. 81 e.
41 π
c. 41 Jawab : b
20. EBTANAS 2002
∫π
π2
dxxsinx = …
a. π + 1
Kemampuan mengerjakan soal akan terus meningkat jika terus berlatih mengerjakan ulang soal yang lalu
167
LATIH UN Prog. IPA Edisi 2011http://www.soalmatematik.com
b. π – 1 c. – 1 δ. πe. π + 1
Jawab : b
Kemampuan mengerjakan soal akan terus meningkat jika terus berlatih mengerjakan ulang soal yang lalu
168
LATIH UN Prog. IPA Edisi 2011http://www.soalmatematik.com
2) Penggunan Integral Tentua) Untuk Menghitung Luas Daerah
a. Luas daerah L pada gb. 1
L = ∫b
a
dxxf )( ,
untuk f(x) ≥ 0
b. Luas daerah L pada gb. 2
L = – ∫b
a
dxxf )( , atau
L = ∫b
a
dxxf )( untuk f(x) ≤ 0
c. Luas daerah L pada gb. 3
L = ∫ −b
a
dxxgxf )}()({ ,
dengan f(x) ≥ g(x)
SOAL PENYELESAIAN1. UN 2011 PAKET 12
Luas daerah yang dibatasi kurva y = 4 – x2 , y = -x + 2 dan 0 ≤ x ≤ 2 adalah …
a. 38 satuan luas
b. 310 satuan luas
c. 314 satuan luas
d. 316 satuan luas
e. 326 satuan luas
Jawab : b
2. UN 2011 PAKET 46Luas daerah yang dibatasi kurva y = x2 , y = x + 2, sumbu Y dikuadran I adalah …
a. 32 satuan luas
b. 34 satuan luas
c. 36 satuan luas
d. 38 satuan luas
e. 310 satuan luas
Jawab : e
SOAL PENYELESAIAN
Kemampuan mengerjakan soal akan terus meningkat jika terus berlatih mengerjakan ulang soal yang lalu
169
LATIH UN Prog. IPA Edisi 2011http://www.soalmatematik.com
3. UN 2010 PAKET ALuas daerah yang dibatasi parabola y = x2 – x – 2 dengan garis y = x + 1 pada interval 0 ≤ x ≤ 3 adalah …a. 5 satuan luasb. 7 satuan luasc. 9 satuan luas
d. 10 31 satuan luas
e. 10 32 satuan luas
Jawab : c
4. UN 2010 PAKET BLuas daerah di kuadran I yang dibatasi kurva y = x3, y = x, x = 0, dan garis x = 2 adalah …
a. 2 41 satuan luas
b. 2 21 satuan luas
c. 3 41 satuan luas
d. 3 21 satuan luas
e. 4 41 satuan luas
Jawab : b
SOAL PENYELESAIAN5. UN 2009 PAKET A/B
Kemampuan mengerjakan soal akan terus meningkat jika terus berlatih mengerjakan ulang soal yang lalu
170
LATIH UN Prog. IPA Edisi 2011http://www.soalmatematik.com
Luas daerah yang dibatasi oleh parabola y = x2 – 6x + 8, garis y = x – 2 dan sumbu X dapat dinyatakan dengan …
a. dxxx∫ +−−4
2
2 )86( +
∫ +−−−4
3
2 ))86()2(( xxx
b. dxxx∫ +−−4
2
2 )86(
c. ( )dxxxx∫ +−−−4
3
231 )86()3(
d. dxxx∫ +−−4
3
2 )86( +
( )dxxxx∫ +−−−5
4
2 )86()3(
e. dxx∫ −4
2
)2( +
( )dxxxx∫ +−−−5
4
2 )86()2(
Jawab : e
SOAL PENYELESAIAN
Kemampuan mengerjakan soal akan terus meningkat jika terus berlatih mengerjakan ulang soal yang lalu
171
LATIH UN Prog. IPA Edisi 2011http://www.soalmatematik.com
6. UN 2008 PAKET A/BLuas daerah yang dibatasi oleh kurva
y = 1+x , sumbu X dan 0 ≤ x ≤ 8 adalah
…a. 6 satuan luas
b. 6 32 satuan luas
c. 17 31 satuan luas
d. 18 satuan luas
e. 18 32 satuan luas
Jawab : c
7. UN 2007 PAKET ALuas daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva x = y2 dan garis y = x – 2 adalah …
a. 0 satuan luasb. 1 satuan luas
c. 4 21 satuan luas
d. 6 satuan luase. 16 satuan luas
Jawab : c
8. UN 2006 Luas daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva y = 6x – x2 dan y = x2 – 2x pada interval 0 ≤ x ≤ 5 sama dengan …a. 30 satuan luasb. 26 satuan luas
c. 364 satuan luas
d. 350 satuan luas
e. 314 satuan luas
Jawab : b
9. UAN 2003Luas daerah pada kuadran I yang dibatasi oleh kurva y = x2, sumbu Y, dan garis x + y = 12 adalah … a. 57,5 satuan luasb. 51,5 satuan luasc. 49,5 satuan luasd. 25,5 satuan luase. 22,5 satuan luasJawab : e
SOAL PENYELESAIAN
Kemampuan mengerjakan soal akan terus meningkat jika terus berlatih mengerjakan ulang soal yang lalu
172
LATIH UN Prog. IPA Edisi 2011http://www.soalmatematik.com
10. UAN 2003Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 – 9x + 15 dan y = –x2 + 7x – 15 adalah …
a. 2 32
satuan luas
b. 2 52
satuan luas
c. 2 31
satuan luas
d. 3 32
satuan luas
e. 4 31
satuan luas
Jawab : a
11. EBTANAS 2002Luas daerah yang dibatasi parabola y = 8 – x2 dan garis y = 2x adalah … a. 36 satuan luas
b. 41 31
satuan luas
c. 41 32
satuan luas
d. 46 satuan luas
e. 46 32
satuan luas
Jawab : a
Kemampuan mengerjakan soal akan terus meningkat jika terus berlatih mengerjakan ulang soal yang lalu
173
LATIH UN Prog. IPA Edisi 2011http://www.soalmatematik.com
b) Untuk Menghitung Volume Benda Putar
V = ∫b
a
dxxf 2))((π atau V = ∫b
a
dxy 2π V = ∫d
c
dyyg 2))((π atau V = ∫d
c
dyx 2π
V = ∫ −b
a
dxxgxf )}()({( 22π atau V = ∫ −b
a
dxyy )( 22
21π V = ∫ −
d
c
dyygyf )}()({ 22π atau V =
∫ −d
c
dyxx )( 22
21π
Kemampuan mengerjakan soal akan terus meningkat jika terus berlatih mengerjakan ulang soal yang lalu
174
LATIH UN Prog. IPA Edisi 2011http://www.soalmatematik.com
SOAL PENYELESAIAN1. UN 2011 PAKET 12
Volum benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2, garis y =2x dikuadran I diputar 360° terhadap sumbu X adalah …
a. π1520 satuan volum
b. π1530 satuan volum
c. π1554 satuan volum
d. π1564 satuan volum
e. π15
144 satuan volum
Jawab : d
2. UN 2010 PAKET AVolum benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = 2x – x2 dan y = 2 – x diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360° adalah …
a. 51 π satuan volum
b. 52 π satuan volum
c. 53 π satuan volum
d. 54 π satuan volum
e. π satuan volum
Jawab : a
Kemampuan mengerjakan soal akan terus meningkat jika terus berlatih mengerjakan ulang soal yang lalu
175
LATIH UN Prog. IPA Edisi 2011http://www.soalmatematik.com
SOAL PENYELESAIAN3. UN 2010 PAKET B
Volum benda putar yang terjadi bila daerah yang dibatasi oleh kurva
y = x2 dan y = x diputar mengelilingi
sumbu X sejauh 360° adalah …
a. 103 π satuan volum
b. 105 π satuan volum
c. 31 π satuan volum
d. 310 π satuan volum
e. 2π satuan volum
Jawab : a
4. UN 2009 PAKET A/BPerhatikan gambar di bawah ini:Jika daerah yang diarsir pada gambar diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360° maka volume benda putar yang terjadi adalah … satuan volume
a. π15123
b. π1583
c. π1577
d. π1543
e. π1535
Jawab : c
Kemampuan mengerjakan soal akan terus meningkat jika terus berlatih mengerjakan ulang soal yang lalu
176
LATIH UN Prog. IPA Edisi 2011http://www.soalmatematik.com
SOAL PENYELESAIAN5. UN 2008 PAKET A/B
Daerah yang dibatasi oleh kurva y = 4 – x, x = 1, x = 3, dan sumbu X diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360°, maka volume benda putar yang terjadi adalah …
a. 4 32 π satuan volume
b. 6 31 π satuan volume
c. 8 32 π satuan volume
d. 10 32 π satuan volume
e. 12 31 π satuan volume
Jawab : c
6. UN 2007 PAKET AVolum benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = 2x dan parabola y = x2 diputar sejauh 360º mengelilingi sumbu X adalah …
a. 532 π satuan volume
b. 1564 π satuan volume
c. 1552 π satuan volume
d. 1548 π satuan volume
e. 1532 π satuan volume
Jawab : b
7. UN 2007 PAKET AVolum benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 + 1 dany = 3 diputar mengelilingi sumbu Y sejauh 360º adalah … a. 2π satuan volum.
b. 2 21 π satuan volum.
c. 3π satuan volum.
d. 4 31 π satuan volum.
e. 5π satuan volum.
Jawab : a
Kemampuan mengerjakan soal akan terus meningkat jika terus berlatih mengerjakan ulang soal yang lalu
177
LATIH UN Prog. IPA Edisi 2011http://www.soalmatematik.com
SOAL PENYELESAIAN8. UN 2005
Volum benda putar yang terjadi karena daerah yang dibatasi oleh parabola y = x2
dan y2 = 8x diputar 360º mengelilingi sumbu Y adalah ….
a. 2 54 π satuan volum
b. 3 54 π satuan volum
c. 4 54 π satuan volum
d. 5 54 π satuan volum
e. 9 54 π satuan volum
Jawab : c
9. UAN 2003Volum benda putar yang terjadi karena daerah yang dibatasi oleh sumbu X, sumbu Y, dan kurva y = x4 − diputar terhadap sumbu Y sejauh 360º, dapat dinyatakan dengan …
a. ∫ −π2
0
22 )y4( dy satuan volume
b. ∫ −π2
0
2y4 dy satuan volume
c. ∫ −π2
0
2 )y4( dy satuan volume
d. ∫ −π2
0
22 )y4(2 dy satuan volume
e. ∫ −π2
0
2 )y4(2 dy satuan volume
Jawab : a
Kemampuan mengerjakan soal akan terus meningkat jika terus berlatih mengerjakan ulang soal yang lalu
178
LATIH UN Prog. IPA Edisi 2011http://www.soalmatematik.com
SOAL PENYELESAIAN10. EBTANAS 2002
Gambar berikut merupakan kurva dengan
persamaan y = x 2x3030 − . Jika daerah
yang diarsir diputar mengelilingi sumbu X, maka volum benda putar yang terjadi sama dengan …
a. 6π satuan volumb. 8π satuan volumc. 9π satuan volumd. 10π satuan volume. 12π satuan volum
Jawab : b
Kemampuan mengerjakan soal akan terus meningkat jika terus berlatih mengerjakan ulang soal yang lalu
179
LATIH UN Prog. IPA Edisi 2011http://www.soalmatematik.com
KUMPULAN SOAL INDIKATOR 26 (ii) UN 2011 Menghitung integral tentu fungsi aljabar dan fungsi trigonometri.
1. Hasil ∫ −+−4
2
2 )86( dxxx = …
a. 338 c. 3
20 e. 34
b. 326 d. 3
16
2. Hasil ∫ +3
1612 )( dxx = …
a. 9 31 c. 8 e. 3
b. 9 d. 310
3. Hasil dari dxx
x∫
−2
12
2 1 = …
a. 59 c. 6
11 e. 619
b. 69 d. 6
17
4. Hasil dari ∫ −+2
0
)6)(1(3 dxxx = …
a. –58 c. –28 e. –14b. –56 d. –16
5. Hasil dari ∫−
−1
1
2 )6( dxxx = …
a. –4 c. 0 e. 214
b. 21− d. 2
1
6. Nilai a yang memenuhi persamaan
∫ +1
22 )1(12a
dxxx = 14 adalah …
a. –2 c. 0 e. 1
b. –1 d. 21
7. Hasil dari ∫−
+0
1
532 )2( dxxx = …
a. 385 c. 18
63 e. 1831
b. 375 d. 18
58
8. Hasil ∫ +π
0
)cos3(sin dxxx = …
a. 310 c. 3
4 e. 31
b. 38 d. 3
2
9. Hasil ∫ −2
0
)2cossin2(
π
dxxx = …
a. 25− c. 1 e. 2
5
b. 23 d. 2
10. Nilai dari ∫ +6
0
)3cos3(sin
π
dxxx = …
a. 32 c. 0 e. – 3
2
b. 31 d. – 3
1
11. Hasil dari ∫ −π
π
π32
21
)3cos( dxx = …
a. –1 c. 0 e. 1
b. – 31 d. 3
1
12. ∫π
0
cos dxxx = …
a. –2 c. 0 e. 2b. –1 d. 1
13. ∫π
π2
sin dxxx = …
a. π + 1 c. – 1 e. π + 1b. π – 1 d. π
14. ∫4
0
sin5sin
π
dxxx = …
a. –21 c.
121 e.
125
b. –61 d.
81
Kemampuan mengerjakan soal akan terus meningkat jika terus berlatih mengerjakan ulang soal yang lalu
180
LATIH UN Prog. IPA Edisi 2011http://www.soalmatematik.com
15. ∫ ++6
033
)cos()sin(
π
ππ dxxx = …
a. –41 c.
81 e.
83
b. –81 d.
41
16. Nilai dari ∫ −−2
3
)3sin()3cos(
π
πππ dxxx =
a. –61 c. 0 e.
61
b. –121 d.
121
17. ∫1
0
22 cossin dxxx ππ = …
a. 0 c. 41 e.
41 π
b. 81 d.
81 π
18. Hasil dari ∫ =−π
4
1
0
44 ....)cossin2 dxxx
a. -1 c. 1 e. ½ √3b. 0 d. ½ √2
19. Diberikan ( )∫ =−3
1
2 4422 dxxax . Nilai a = ...
a. 1 c. 3 e. 6b. 2 d. 4
20. Di berikan ( ) 20231
2 =−∫−
a
dxxx .
Nilai a2 + a = ... . a. 2 c. 6 e. 24b. 3 d. 12
21. Diketahui ∫ +p
1
2 dx 2x) (3x = 78.
Nilai p2
3= ...
a. 4 c. 8 e. 12b. 6 d. 9
22. Diketahui ∫ +p
dxxx1
32 )(3 = 78.
Nilai (–2p) = …a. 8 c. 0 e. –8b. 4 d. –4
23. Diketahui ∫ −+p
dttt1
2 )263( = 14.
Nilai (–4p) = …a. –6 c. –16 e. –32b. –8 d. –24
24. ∫ +a
dxx2
2)1
4( =
a
1. Nilai a2 = …
a. –5 c. 1 e. 5b. –3 d. 3
KUMPULAN SOAL INDIKATOR 27 UN 2011 Kemampuan mengerjakan soal akan terus
meningkat jika terus berlatih mengerjakan ulang soal yang lalu181
LATIH UN Prog. IPA Edisi 2011http://www.soalmatematik.com
Menghitung luas daerah dan volume benda putar dengan menggunakan integral.
1. Luas daerah yang dibatasi parabola y = x2 – x – 2 dengan garis y = x + 1 pada interval 0 ≤ x ≤ 3 adalah … satuan luas
a. 5 c. 9 e. 10 32
b. 7 d. 10 31
2. Luas daerah yang dibatasi kurva y = 4 – x2 , y = -x + 2 dan 0 ≤ x ≤ 2 adalah … satuan luas
a. 38 c. 3
14 e. 326
b. 310 d. 3
16
3. Luas daerah yang dibatasi kurva y = x2 , y = x + 2, sumbu Y dikuadran I adalah …
a. 32 c. 3
6 e. 310
b. 34 d. 3
8
4. Luas daerah di kuadran I yang dibatasi kurva y = x3, y = x, x = 0, dan garis x = 2 adalah … satuan luas
a. 2 41 c. 3 4
1 e. 4 41
b. 2 21 d. 3 2
1
5. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 1+x , sumbu X dan 0 ≤ x ≤ 8 adalah … satuan luas
a. 6 c. 17 31 e. 18 3
2
b. 6 32 d. 18
6. Luas yang dibatasi oleh kurva y = 2x2 – 8, dan sumbu X, pada 0 ≤ x ≤ 3 adalah .... satuan luas
a. 103
2 c. 153
1 e. 173
1
b. 133
1 d. 163
2
7. Luas daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva x = y2 dan garis y = x – 2 adalah … satuan luas
a. 0 c. 4 21 e. 16
b. 1 d. 6
8. Luas daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva y = 6x – x2
dan y = x2 – 2x pada interval 0 ≤ x ≤ 5 sama dengan … satuan luas
a. 30 c. 364 e. 3
14
b. 26 d. 350
9. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 – 9x + 15 dan y = –x2 + 7x – 15 adalah … satuan luas
a. 232 c. 2
31 e. 4
31
b. 252 d. 3
32
10. Luas daerah pada kuadran I yang dibatasi oleh kurva y = x2, sumbu Y, dan garis x + y = 12 adalah … satuan luasa. 57,5 c. 49,5 e. 22,5b. 51,5 d. 25,5
11.Luas daerah yang dibatasi parabola y = 8 – x2 dan garis y = 2x adalah … satuan luas
a. 36 c. 4132 e. 46
32
b. 4131 d. 46
12. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 9 – x2 dan garis y = x + 3 adalah.... satuan luas
a. 2 6
5 c. 19
6
5e. 21
6
5
b. 3 6
5 d. 20
6
5
13. Volum benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = 2x – x2 dan y = 2 – x diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360° adalah … satuan volum
a. 51 π c. 5
3 π e. π
b. 52 π d. 5
4 π14. Volum benda putar yang terjadi
bila daerah yang dibatasi oleh
Kemampuan mengerjakan soal akan terus meningkat jika terus berlatih mengerjakan ulang soal yang lalu
182
LATIH UN Prog. IPA Edisi 2011http://www.soalmatematik.com
kurva y = x2 dan y = x diputar
mengelilingi sumbu X sejauh 360° adalah … satuan volum
a. 103 π c. 3
1 π e. 2π
b. 105 π d. 3
10 π15.Daerah yang dibatasi oleh kurva y
= 4 – x, x = 1, x = 3, dan sumbu X diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360°, maka volume benda putar yang terjadi adalah … satuan volum
a. 4 32 π c. 8 3
2 π e. 12 31 π
b. 6 31 π d. 10 3
2 π
16.Volum benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = 2x dan parabola y = x2 diputar sejauh 360º mengelilingi sumbu X adalah … satuan volum
a. 5
32 π c. 1552 π e.
1532 π
b. 1564 π d.
1548 π
17. Volum benda yang terjadi, jika daerah yang dibatasi oleh kurva
29 xy −= dan garis 7+= xy diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360o adalah … satuan volum
a. 1514178 π c. 5
453 π e. 5435 π
b. 5366 π d. 5
451 π
18. Volum benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 + 1 dany = 3 diputar mengelilingi sumbu Y sejauh 360º adalah … satuan voluma. 2π c. 3π e. 5πb. 2 2
1 π d. 4 31 π
19. Volum benda putar yang terjadi karena daerah yang dibatasi oleh parabola y = x2 dan y2 = 8x diputar 360º mengelilingi sumbu Y adalah …. satuan volum
a. 254 π c. 4
54 π e. 9
54 π
b. 354 π d. 5
54 π
20. Volum benda yang terjadi, jika daerah yang dibatasi oleh kurva
2−= xy dan garis 022 =+− xy diputar mengelilingi sumbuY sejauh 360o adalah … satuan volum
a. 311 π c. 5 π e. 5
39 π
b. 2 π d. 9 π 21. Gambar berikut merupakan kurva
dengan persamaan y = x23030 x− . Jika daerah yang diarsir
diputar mengelilingi sumbu X, maka volum benda putar yang terjadi sama dengan … satuan volum
a. 6π c. 9π e. 12πb. 8π d. 10π
22. Volum benda putar yang terjadi karena daerah yang dibatasi oleh sumbu X, sumbu Y, dan kurva y =
x−4 diputar terhadap sumbu Y sejauh 360º, dapat dinyatakan dengan …
a. ∫ −2
0
22 )4( yπ dy satuan volum
b. ∫ −2
0
24 yπ dy satuan volum
c. ∫ −2
0
2 )4( yπ dy satuan volum
d. ∫ −2
0
22 )4(2 yπ dy satuan volum
e. ∫ −2
0
2 )4(2 yπ dy satuan volum
23.Perhatikan gambar di bawah ini:
Kemampuan mengerjakan soal akan terus meningkat jika terus berlatih mengerjakan ulang soal yang lalu
183
LATIH UN Prog. IPA Edisi 2011http://www.soalmatematik.com
Jika daerah yang diarsir pada gambar diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360° maka volume benda putar yang terjadi adalah … satuan volum
a. π15123 c. π
1577 e. π
1535
b. π1583 d. π
1543
24. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh sumbu Y, kurva y = 2x , garis y = 2, dan y =5 diputar mengelilingi sumbu Y ádalah … satuan voluma. 3 ½ c. 9 ½ e. 11 ½b. 4 ½ d. 10 ½
25. Perhatikan gambar berikut!
Jika daerah yang diarsir diputar mengelilingi sumbu-X sejauh 360°, maka volume benda putar yang terjadi adalah ... satuan volum
a. 1588 π c. 15
184 π e. 15280 π
b. 1596 π d. 15
186 π
26. Perhatikan gambar berikut!
Jika daerah yang diarsir diputar mengelilingi sumbu-X sejauh 360°, maka volume benda putar yang terjadi adalah ... satuan volum
a. 16π c. 532 π e. 15
32 π
b. 332 π d. 10
32 π27. Perhatikan gambar berikut!
Jika daerah yang diarsir diputar mengelilingi sumbu-Y sejauh 360°, maka volume benda putar yang terjadi adalah ...
a. 486 π c. 48
9 π e. 4811 π
b. 488 π d. 48
10 π
Kemampuan mengerjakan soal akan terus meningkat jika terus berlatih mengerjakan ulang soal yang lalu
184
LATIH UN Prog. IPA Edisi 2011http://www.soalmatematik.com
Kemampuan mengerjakan soal akan terus meningkat jika terus berlatih mengerjakan ulang soal yang lalu
185