Upload
chandra-rosalina
View
205
Download
11
Embed Size (px)
Citation preview
APLIKASI INTEGRAL
Ida Mariati Hutabarat
Pendahuluan Penggunaan Integral
Pilar-pilar jembatan pada gambar di atas
membentuk partisi-partisi yang akan kita temukan
dalam pokok bahasan menghitung luas daerah
dengan menggunakan integral.
=
= 2(2)3 – 2(2)2 – [2(-1)3 – 2(-1)2]
= 16 – 8 + 2 + 2 = 12
2
1
2 dx 46 xx 2123 22 xx
Integral Tentu Luas Daerah Luas Daerah
Hitunglah nilai dari
2
1
2 dx 46 xx
Contoh 1 :
Jawab
Misalkan f adalah fungsi yang kontinyu pada selang [a, b] dan
misalkan F adalah anti turunan dari f pada selang tersebut, maka
berlaku :
Untuk meringkas penulisan, F(b) – F(a) dinotasikan sebagai
Teorema Dasar Kalkulus
)(F)(F )( abdxxfb
a
bax)(F
Secara geometri definisi integral Riemaan di atas dapat diartikan sebagai
luas daerah di bawah kurva y = f(x) pada interval [a, b].
y
x
0 a b x
y
a
x
0 b
b
a
dxxf )(
Jumlah Luas Partisi Berubah Menjadi Integral
Tentukan limitnya
n
)(xf
n
iii xxf
1)(
)(xf
Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah Luas Daerah
i
n
ii
n
b
a
xxfdxxfL 1
)()( lim
Kegiatan pokok dalam menghitung luas
daerah dengan integral tentu adalah:
1. Gambar daerahnya.
2. Partisi daerahnya
3. Aproksimasi luas sebuah partisi
Li f(xi) xi
4. Jumlahkan luas partisi
L f(xi) xi
5. Ambil limitnya L = lim f(xi) xi
6. Nyatakan dalam integral
x
0
y )(xfy
a
xi
xi
)( ixfLi
Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah Luas Daerah
a
dxxf0
)(L
Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2, sumbu x, dan garis x = 3
Contoh 1.
Langkah penyelesaian :
1. Gambarlah daerahnya
2. Partisi daerahnya
3. Aproksimasi luasnya Li xi2 xi
4. Jumlahkan luasnya L xi2 xi
5. Ambil limit jumlah luasnya
L = lim xi2 xi
6. Nyatakan dalam integral dan
hitung nilainya
y
0
x
3
2)( xxf
dxx3
0
2L
903
333
03
3L
x
Li
xi
xi
2ix
Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah Luas Daerah
Jawab
Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2, sumbu Y, dan garis y = 4
Contoh 2.
Langkah penyelesaian :
1. Gambarlah daerahnya
2. Partisi daerahnya
3. Aproksimasi luasnya L xi.y
4. Jumlahkan luasnya L y. y
5. Ambil limit jumlah luasnya
L = lim y. y
6. Nyatakan dalam integral dan
hitung nilainya
y
0
x
4
dyy4
0
.L
3
168.
3
2
3
2L
4
0
2
3
y
Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah Luas Daerah
Jawab
xi
2)( xxf
y
y
Langkah penyelesaian:
1. Gambar dan Partisi daerahnya
2. Aproksimasi : Li (4xi - xi2)xi dan
Aj -(4xj - xj2)xj
3. Jumlahkan : L (4xi - xi2)xi dan A
-(4xj - xj2)xj
4. Ambil limitnya L = lim (4xi - xi2)xi
dan A = lim -(4xj - xj2)xj
5. Nyatakan dalam integral
6. dan
y
0 x 6 4
24)( xxxf
dx)xx4(
4
0
2
L dxxx
6
4
2 )4(A
xi
Li
xi
xj
Aj
xj
24 ii xx
)4(0 2xx
Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah Luas Daerah
Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = 4x - x2, sumbu x,
dan garis x = 6
Contoh 3.
Jawab
dxxx 4
0
2)4(L
dxxx
6
4
2 )4(A
y
0 x 6 4
24)( xxxf
xi
Li
xi
xj
Aj
xj
24 ii xx
)4(0 2xx
40
33122L xx
3643
312 320)4()4(2L
64
3
3122A xx
3
3123
312 )4()4(2)6()6(2A
364
3216 3272A
40A 3152
3
1214032daerah Luas 3
1523
64
Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah Luas Daerah
Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah Luas Daerah
Kesimpulan :
b
a
dyxL .b
a
dxyL .
y
0
x
y
y
x
0
)(xfy xi
xi
)( ixf
y
LUAS DAERAH ANTARA DUA KURVA
Perhatikan kurva y = f(x) dan y = g(x) dengan f(x) > g(x) pada selang
[a, b] di bawah ini. Dengan menggunakan cara : partisi, aproksimasi,
jumlahkan, ambil limitnya, integralkan, maka dapat ditentukan luas
daerah antara dua kurva tersebut.
Langkah penyelesaian:
1. Gambar daerahnya
2. Partisi daerahnya
3. Aproksimasi : Li [ f(x) – g(x) ] x
4. Jumlahkan : L [ f(x) – g(x) ] x
5. Ambil limitnya :
L = lim [ f(x) – g(x) ] x
6. Nyatakan dalam integral tertentu
y
b a
)(xfy
)(xgy
0
x Li
x
x
)()( xgxf
Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah Luas Daerah
dxxgxfb
a )()(L
Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2 dan garis y = 2 - x
Contoh 4.
Langkah penyelesaian:
1. Gambar daerahnya
2. Tentukan titik potong kedua kurva
x2 = 2 – x x2 + x – 2 = 0 (x + 2)(x – 1) = 0
diperoleh x = -2 dan x = 1
3. Partisi daerahnya
4. Aproksimasi luasnya
Li (2 - x - x2)x
5. Nyatakan dalam integral tertentu
dxxx
1
2
2)2(L 0
x
1 2 -1 -2 -3
2xy
xy 2y
1
2
3
4
5
Li
x
x
2)2( xx
Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah Luas Daerah
Jawab
dxxx
1
2
2)2(L
0
x
1 2 -1 -2 -3
2xy
xy 2y
1
2
3
4
5
Li
x
x
2)2( xx
1232
32
2L
xxx
3
3)2(
2
2)2(
3
312
21 )2(2)1(2L
38
31
21 242L
38
31
21 242L
21
21 45L
Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah Luas Daerah
Untuk kasus tertentu pemartisian
secara vertikal menyebabkan ada
dua bentuk integral. Akibatnya
diperlukan waktu lebih lama untuk
menghitungnya.
)(xfy
y
a b
Li x
x
)()( xgxf
)(2 xf
Ai
0
x
)(xgy
Luas daerah = a
dxxf0
)(2 b
a
dxxgxf )()(
Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah Luas Daerah
Jika daerah tersebut dipartisi secara horisontal, maka akan diperoleh
satu bentuk integral yang menyatakan luas daerah tersebut. Sehingga
penyelesaiannya menjadi lebih sederhana dari sebelumnya.
)()( yfxxfy y
0
x
)()( ygxxgy
Luas daerah = d
c
dyyfyg )()(
Li y
c
d
)()( yfyg
Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah Luas Daerah
Hitunglah luas daerah di kuadran I yang dibatasi kurva y2 = x, garis x + y = 6,
dan sumbu x
Contoh 5.
Langkah penyelesaian:
1. Gambar daerahnya
2. Tentukan titik potong kedua kurva
y2 = 6 – y y2 + y – 6 = 0 (y + 3)(y – 2) = 0
diperoleh y = - 3 dan y = 2
3. Partisi daerahnya
4. Aproksimasi luasnya
Li (6 - y - y2)y
5. Nyatakan dalam integral tertentu
Luas daerah = 2
0
26 dyyy
2yx
yx 6
2
y
6
x
0
6
Li y y
2)6( yy
Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah Luas Daerah
Jawab
Luas daerah = 2
0
26 dyyy
2yx
yx 6
2
y
6
x
0
6
Li y y
2)6( yy
Luas daerah =
2
03
3
2
26
yy
y
Luas daerah = 03
3224)2(6
Luas daerah =
38212
Luas daerah = 3
22
Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah Luas Daerah
PENERAPAN INTEGRAL
Volume benda putar
Pendahuluan Volume Benda Putar Volume Benda Putar
Suatu daerah jika di putar
mengelilingi garis tertentu sejauh
360º, maka akan terbentuk suatu
benda putar. Kegiatan pokok dalam
menghitung volume benda putar
dengan integral adalah: partisi,
aproksimasi, penjumlahan,
pengambilan limit, dan menyatakan
dalam integral tentu. Gb. 4
Pendahuluan Volume Benda Putar Volume Benda Putar
Dalam menentukan volume benda putar yang harus diperhatikan adalah
bagaimana bentuk sebuah partisi jika diputar. Berdasarkan bentuk partisi
tersebut, maka metode yang digunakan untuk menentukan volume benda
putar dibagi menjadi :
1. Metode cakram
2. Metode cincin
3. Metode kulit tabung
y
0 x
y
x
0
x
1 2 -
2
-
1
y
1
2
3
4
Metode Cakram Volume Benda Putar Volume Benda Putar
Metode cakram yang digunakan dalam
menentukan volume benda putar dapat
dianalogikan seperti menentukan volume
mentimun dengan memotong-motongnya
sehingga tiap potongan berbentuk cakram.
Metode Cakram Volume Benda Putar Volume Benda Putar
Bentuk cakram di samping dapat
dianggap sebagai tabung dengan jari-jari
r = f(x), tinggi h = x. Sehingga
volumenya dapat diaproksimasi sebagai
V r2h atau V f(x)2x.
Dengan cara jumlahkan, ambil
limitnya, dan nyatakan dalam integral
diperoleh:
V f(x)2 x
V = lim f(x)2 x
dxxfa0
2)]([v
x
h=x
x
x
y
0 x
y
x a
)(xf
)(xfr
dxy
a
0
2V
Metode Cakram Volume Benda Putar Volume Benda Putar
x
h=x
x
x
y
0 x
y
x a
)(xf
)(xfr
dxy
a
.V0
2
x
h=y
)(yfxr
y
y
y
x
)()( yfxxfy
x
y
)(xfy
dyx
a
0
2.V
Metode Cakram Volume Benda Putar Volume Benda Putar
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2 + 1,
sumbu x, sumbu y, garis x = 2 diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360º.
Contoh 6.
Langkah penyelesaian:
1. Gambarlah daerahnya
2. Buat sebuah partisi
3. Tentukan ukuran dan
bentuk partisi
4. Nyatakan dalam bentuk
integral.
y
2 x
12 x
x
12 xy
1
y
h=x
x
x
12 xr
x
Jawab
dxyV
2
0
.2
dxxV
2
0
22 )1(
Metode Cakram Volume Benda Putar Volume Benda Putar
y
h=x
x
x
12 xr
dxxV
2
0
22 )1(
dxxxV
2
0
24 )12(
20
3325
51 xxxV
1511
316
532 13)02( V
dxyV
2
0
.2
Metode Cakram Volume Benda Putar Volume Benda Putar
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2,
sumbu y, garis y = 2 diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360º.
Contoh 7.
Langkah penyelesaian:
1. Gambarlah daerahnya
2. Buatlah sebuah partisi
3. Tentukan ukuran dan bentuk
partisi
4. Aproksimasi volume partisi yang
diputar, jumlahkan, ambil
limitnya, dan nyatakan dalam
bentuk integral.
2
y
y
2xy
x
y
y
x
y
h=y
y
yr
Jawab
Metode Cakram Volume Benda Putar Volume Benda Putar
dy
2
0
yV 2
20
2
21 yV
)04(21 V
x
y
h=y
y
yr
2
dyyV
2
0
2V
dy
2
0
2yfV y = x2
Metode Cincin Volume Benda Putar Volume Benda Putar
Metode cincin yang digunakan dalam
menentukan volume benda putar
dapat dianalogikan seperti
menentukan volume bawang bombay
dengan memotong-motongnya yang
potongannya berbentuk cincin.
Metode Cincin Volume Benda Putar Volume Benda Putar
Menghitung volume benda putar
dengan menggunakan metode
cincin dilakukan dengan
memanfaatkan rumus volume
cincin seperti gambar di samping,
yaitu V= (R2 – r2)h
h r
R
dan
b
a
dxyyV .2
2
2
1
b
a
dyxxV .2
2
2
1
Metode Cincin Volume Benda Putar Volume Benda Putar
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva
y = x2 dan garis y = 2x diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360º.
Contoh 8.
Langkah penyelesaian:
1. Gambarlah daerahnya
2. Buat sebuah partisi
3. Tentukan ukuran dan
bentuk partisi
4. Aproksimasi volume partisi
yang diputar, jumlahkan,
ambil limitnya, dan
nyatakan dalam bentuk
integral.
4
y
y = 2x
2
2xy
x
x
x
x2
2x
y
x
Jawab
Metode Cincin Volume Benda Putar Volume Benda Putar
y
x
4
y
y = 2x
2
2xy
x
x
x
r=x2
R=2x
V (R2 – r2) h
V [ (2x)2 – (x2)2 ] x
dxxxV 2
0
42 )4(
20
5513
34 xxV
)(532
332 V
)(15
96160 V
1564V
dxyyV
2
0
2
2
2
1 )(
Metode Kulit Tabung Volume Benda Putar Volume Benda Putar
Metode kulit tabung yang digunakan
untuk menentukan volume benda putar
dapat dianalogikan seperti menentukan
volume roti pada gambar disamping.
Metode Kulit Tabung Volume Benda Putar Volume Benda Putar
r r
h
h
2r Δr
V = 2rhΔr
a b
b
a
dxyxV ..2
Metode Kulit Tabung Volume Benda Putar Volume Benda Putar
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva
y = x2 , garis x = 2, dan sumbu x diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360º.
Contoh 9.
Langkah penyelesaian:
1. Gambarlah daerahnya
2. Buatlah sebuah partisi
3. Tentukan ukuran dan bentuk partisi.
4. Aproksimasi volume partisi yang
diputar, jumlahkan, ambil limitnya,
dan nyatakan dalam bentuk integral.
0
x
1 2 x
x
2xy
x2
y
1
2
3
4
Jawab
Metode Kulit Tabung Volume Benda Putar
0
x
1 2 x
x
2xy
x2
y
1
2
3
4
r = x
x
h = x2
0
x
1 2 1 2
y
1
2
3
4
V 2rhx
V 2(x)(x2)x
V 2x3x
V = lim 2x3x
dxxV 2
0
32
2
0
4412 xV
8V
dxyxV ..2
2
0
Metode Cincin Volume Benda Putar
Jika daerah pada contoh ke-9 tersebut dipartisi secara horisontal dan
sebuah partisi diputar mengelilingi sumbu y, maka partisi tersebut
membentuk cincin. Volume benda putar tersebut dihitung dengan metode
cincin adalah sebagai berikut.
0
x
1 2 -2 -1
y
1
2
3
4 dyyV
4
0
4
4
0
2214 yyV
)816( V
8V0
x
1 2 x
2xy
y
1
2
3
4
y r=x
R = 2
dyxxV
4
0
2
2
2
1