Upload
maesha
View
55
Download
6
Embed Size (px)
DESCRIPTION
mengaplikasikan bilngan integral pada mata kuliah kalkuslus
Citation preview
6. APLIKASI INTEGRAL6. APLIKASI INTEGRAL
MA1114 KALKULUS I 1
6.1 Menghitung Luas Daerah
a.Misalkan daerah { })(0,|),( xfybxayxD ≤≤≤≤=
Luas D = ?f(x)
D
Langkah :
1. Iris D menjadi n bagian dan luas satu buah
a b
D
xΔ
1. Iris D menjadi n bagian dan luas satu buahirisan dihampiri oleh luas persegi panjang dengan tinggi f(x) alas(lebar) xΔ
fA ΔΔ )( xxfA Δ≈Δ )(2. Luas D dihampiri oleh jumlah luas persegi panjang. Dengan mengambil limitnya diperoleh: b
MA1114 KALKULUS I 2∫a
dxxf )(Luas D = A =
Contoh : Hitung luas daerah yang dibatasi oleh k b d 22kurva sumbu x, dan x = 2.,2xy =
Luas irisan
A ΔΔ 22xy =
2x
xxA Δ≈Δ 2
Luas daerah
81 222 ⎤
2xΔ
38
31 2
0
32
0
22
0
2 =⎥⎦⎤=== ∫∫ xdxxdxxA
MA1114 KALKULUS I 3
b) Mi lk d h { })()(|)( hbb) Misalkan daerah { })()(,|),( xhyxgbxayxD ≤≤≤≤=
h(x)Luas D = ?Luas D = ?
Langkah :
1 I i D j di b i d l t b h
D h(x)-g(x)
xΔg(x)
a b
1. Iris D menjadi n bagian dan luas satu buahirisan dihampiri oleh luas persegi panjang dengan tinggi h(x)-g(x) alas(lebar)
xΔxxgxhA Δ−≈Δ )()(
a bxΔ
2. Luas D dihampiri oleh jumlah luas persegi panjang. Dengan mengambil p j p g p j g g glimitnya diperoleh:
Luas D = A = ∫ −b
dxxgxh )()(
MA1114 KALKULUS I 4
∫a
g )()(
C t h Hit l d h dib t i l h i +4Contoh : Hitung luas daerah yang dibatasi oleh garis y = x+4 dan parabola 22 −= xy
Titik potong antara garis dan
24 2 −=+ xx
Titik potong antara garis dan parabola
)2()4( 2 −−+ xx22 −= xy 062 =−− xx
0)2)(3( =+− xxy=x+4-2 3-2 3
x = -2, x = 3xΔ
Luas irisan
xxxA Δ−−+≈Δ ))2()4(( 2
MA1114 KALKULUS I 5
Sehingga luas daerah :
∫ ∫ ++−=−−+=3 3
22 )6())2()4(( dxxxdxxxA
Sehingga luas daerah :
∫ ∫− −
+++2 2
)6())2()4(( dxxxdxxxA
125611 323
⎥⎤++ xxx
66
23 2
=⎥⎦++−=
−
xxx
Ctt :
Jika irisan dibuat tegak lurus terhadap sumbu x maka tinggi irisanadalah kurva yang terletak disebelah atas dikurangi kurva yang b d di b l h b h Jik b t t d b h i i b b hberada disebelah bawah. Jika batas atas dan bawah irisan berubahuntuk sembarang irisan di D maka daerah D harus dibagi dua ataulebih
MA1114 KALKULUS I 6
Contoh : Hitung luas daerah yang dibatasi oleh sumbu xContoh : Hitung luas daerah yang dibatasi oleh sumbu x,2xy = dan y = -x + 2
Jawab
Titik potong
22 +−= xx 022 =−+ xx 0)1)(2( =−+ xx2+xx 02+ xx 0)1)(2( + xx
x = -2, x = 1
Jika dibuat irisan tegak maka daerah harus
2xy =
2
y=-x+2
Jika dibuat irisan tegak, maka daerah harusdibagi menjadi dua bagian
Luas irisan I
xxA Δ≈Δ 21
21 xΔxΔ
A ΔΔ )2(Luas irisan II
MA1114 KALKULUS I 7
xxA Δ+−≈Δ )2(2
Luas daerah I
∫ ===1
0
10
3312
1 31|xdxxA
0
Luas daerah II
2
∫ 21
221
12 |22 xxdxxA +−=+−= ∫
121)2()42( 2
1 =+−−+−=
Sehingga luas daerahSehingga luas daerah
65
21
31
21 =+=+= AAA
MA1114 KALKULUS I 8
623
c). Misalkan daerah { })()(,|),( yhxygdycyxD ≤≤≤≤=c). Misalkan daerah { })()(,|),( yhxygdycyxD ≤≤≤≤
d Luas D = ?
yΔ h(y)g(y) D Luas D = ?
Langkah :yΔh(y)-g(y)
c1. Iris D menjadi n bagian dan luas satu buah
irisan dihampiri oleh luas persegi panjang dengan tinggi h(y)-g(y) alas(lebar) yΔ
h(y) g(y)
yygyhA Δ−≈Δ )()(
∫d
dyygyh )()(
2. Luas D dihampiri oleh jumlah luas persegi panjang. Dengan mengambil limitnya diperoleh:
Luas D A
MA1114 KALKULUS I 9
∫ −c
dyygyh )()(Luas D = A =
23 yx −=Contoh: Hitung luas daerah yang dibatasi oleh 3 yxg y g
dan 1−= xyJawab : Titik potong antara garis dan
231 yy −=+
Titik potong antara garis danparabola
1−= xy
022 =−+ yy0)1)(2( =−+ yy
1
yΔ
23 yx −=
y = -2 dan y = 1)1()3( 2 +−− yy
Luas irisan
-2 yyyA Δ+−−=Δ )1()3( 2
MA1114 KALKULUS I 10
Sehingga luas daerah :Sehingga luas daerah :
∫ +−−=1
2 ))1()3(( dyyyL ∫ +−−=1
2 )2( dyyy∫−2
))()(( yyy ∫−2
)( yyy
.292
21
31 1
23 =⎥⎦⎤+−−= yyy
223 2⎥⎦ −
Ctt :
Jika irisan sejajar dengan sumbu x maka tinggi irisan adalah kurva yang terletak disebelah kanan dikurangi kurva yang berada disebelah kiri.Jik b t k d ki i i i b b h t k b i i di DJika batas kanan dan kiri irisan berubah untuk sembarang irisan di D maka daerah D harus dibagi dua atau lebih
MA1114 KALKULUS I 11
Soal Latihan
A. Gambarkan dan hitung luas daerah yang dibatasi oleh
2 2dan2 +== xyxy1.
8dan,,3 =−== yxyxy2. ,, yyy3. y = x , y = 4x , y = -x +2
4 y = sin x y = cos x x = 0 x = 2π4. y = sin x, y = cos x, x = 0 , x = 2π.
5. x = 4 - y2 dan y = x + 26 y x2 3x + 2 sumbu y dan sumbu x6. y = x2 – 3x + 2, sumbu y, dan sumbu x
MA1114 KALKULUS I 12
6.2 Menghitung volume benda putar
6.2.1 Metoda Cakram
{ })(0|)( xfybxayxD ≤≤≤≤=a Daerah diputar terhadap sumbu x{ })(0,|),( xfybxayxD ≤≤≤≤=a. Daerah diputar terhadap sumbu x
f(x)
D
a b
Daerah D
MA1114 KALKULUS I 13
Benda putarDaerah D? Volume benda putar
U t k hit l b d t k d k tUntuk menghitung volume benda putar gunakan pendekatanIris , hampiri, jumlahkan dan ambil limitnya.
f(x) Jika irisan berbentuk persegi panjangdengan tinggi f(x) dan alas diputarterhadap sumbu x akan diperoleh suatu
xΔ
a b
D
xΔ
cakram lingkaran dengan tebal danjari-jari f(x).
xΔ
sehinggaa bxΔxxfV Δ≈Δ )(2π
f(x)
∫=b
dxxfV )(2π
f(x)
MA1114 KALKULUS I 14
∫a
xΔ
Contoh: Tentukan volume benda putar yang terjadi jikaContoh: Tentukan volume benda putar yang terjadi jikadaerah D yang dibatasi oleh , sumbu x, dan garis x=2 diputar terhadap sumbu x
2xy =
Jika irisan diputar terhadap sumbu x k di l h k d j i j i2xy =
2x
akan diperoleh cakram dengan jari-jaridan tebal 2x xΔ
Sehingga
2xΔ
Sehingga
xxxxV Δ=Δ≈Δ 422 )( ππVolume benda putarVolume benda putar
∫ ===2
20
54
532|
5πππ xdxxV
2x
MA1114 KALKULUS I 15
∫0 55
xΔ
{ })(0,|),( ygxdycyxD ≤≤≤≤=b. Daerah
di t t h d bdiputar terhadap sumbu y
dd
x=g(y)
D
d
c c
Daerah D Benda putar
? Volume benda putar
MA1114 KALKULUS I 16
? Volume benda putar
U t k hit l b d t k d k tUntuk menghitung volume benda putar gunakan pendekatanIris , hampiri, jumlahkan dan ambil limitnya.
d
Jika irisan berbentuk persegi panjangdengan tinggi g(y) dan alas diputarterhadap sumbu y akan diperoleh suatu
yΔd
x=g(y)
D
yΔcakram lingkaran dengan tebal danJari-jari g(y).
yΔ
sehinggac
gg
yygV Δ≈Δ )(2π
yΔ
)(yg
∫=d
dyygV )(2π
MA1114 KALKULUS I 17
yΔ ∫c
Contoh : Tentukan volume benda putar yang terjadi jikaContoh : Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh garis y = 4, dan sumbu y diputar terhadap sumbu y
2xy =
4Jika irisan dengan tinggi dan tebal diputar terhadap sumbu y akan diperoleh
k d j i j i
y yΔ
Δ
2xy =
yΔcakram dengan jari-jari dan tebal
y
y yΔ
Sehingga yx =⇔
yyyyV Δ=Δ=Δ ππ 2)(Volume benda putar
y
Δ∫ ===4
0
40
2 8|2
πππ yydyV
MA1114 KALKULUS I 18
yΔ 0
B Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang diB. Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi-fungsi berikut diputar terhadap sumbu x
1. 2dan,0,3 === xyxy
2. 0dan9 2 =−= yxy2. 0dan9 yxy
C. Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi-fungsi berikut diputar terhadap
3. 0dan ,4,2 === xyxy
batasi oleh grafik fungsi fungsi berikut diputar terhadap sumbu y
di kuadran I
4. x = y2, y = 2, dan x = 0
0dan13 === xyxy5
MA1114 KALKULUS I 19
0dan ,1, xyxy5.
6.2.2 Metoda Cincin6.2.2 Metoda Cincin{ })()(,|),( xhyxgbxayxD ≤≤≤≤=a. Daerah
diputar terhadap sumbu xdiputar terhadap sumbu x
h(x)
D
g(x)
a b
Daerah DBenda putar
l b d
MA1114 KALKULUS I 20
? Volume benda putar
Untuk menghitung volume benda putar gunakan pendekatanh l hk d b l l
h(x)
Iris , hampiri, jumlahkan dan ambil limitnya.
Jik i i b b t k i jD
Jika irisan berbentuk persegi panjangdengan tinggi h(x)-g(x) dan alas diputarterhadap sumbu x akan diperoleh suatucincin dengan tebal dan jari –jari luar h(x)xΔ
xΔ
g(x)
a bxΔ
cincin dengan tebal dan jari –jari luar h(x)dan jari-jari dalam g(x).
xΔ
sehingga
xΔ xxgxhV Δ−≈Δ ))()(( 22πh(x)
∫ −=b
dxxgxhV ))()(( 22πg(x)
MA1114 KALKULUS I 21
∫a
Contoh: Tentukan volume benda putar yang terjadi jikadaerah D yang dibatasi oleh sumbu x dan2daerah D yang dibatasi oleh , sumbu x, dan garis x=2 diputar terhadap garis y=-1
2xy =
Jika irisan diputar terhadap garis y 1Jika irisan diputar terhadap garis y=1Akan diperoleh suatu cincin denganJari-jari dalam 1 dan jari-jari luar 21 x+
2xy =
21 x+D
Sehingga
xxV Δ+=Δ )1)1(( 222πxΔ 2
1
1 x+D xxV Δ−+=Δ )1)1((π
xxx Δ−++= )112( 24πy=-1 xxx Δ+= )2( 24π
2Volume benda putar :
MA1114 KALKULUS I 22
∫ =+=+=+=0
15186
316
5322
03
325
5124 )()|(2 ππππ xxdxxxV
C t tCatatan :
-Metoda cakram/cincin
I i dib t t k l t h d b tIrisan dibuat tegak lurus terhadap sumbu putar
- Metoda kulit tabungIrisan dibuat sejajar dengan sumbu putar
Jika daerah dan sumbu putarnya sama maka perhitungan dengan menggunakan metoda cakram/cincin dan metoda kulit tabung akan menghasilkan hasil yang sama
Contoh Tentukan benda putar yang terjadi jika daerah D yang dibatasiOl h b l i 2 d b di t t h d2Oleh parabola ,garis x = 2, dan sumbu x diputar terhadap
a. Garis y = 4b. Garis x = 3
2xy =
MA1114 KALKULUS I 23
a. Sumbu putar y = 4a. Sumbu putar y 4
(i) Metoda cincin
Jika irisan diputar terhadap garis y=4y=4
Jika irisan diputar terhadap garis y=4akan diperoleh cincin dengan
Jari-jari dalam = )4( 2xrd −=)4( 2x−
2xy = Jari-jari luar =4 4=lr
Sehingga
2
D
xΔxxV Δ−−≈Δ ))4()4(( 222π
xxx Δ−= )8( 42π )(
Volume benda putar
∫2
MA1114 KALKULUS I 24
∫ =−=−=−=0
15224
532
3642
05
513
3842 )(|)()8( ππππ xxdxxxV
b. Sumbu putar x=3b. Sumbu putar x 3
(i) Metoda cincinx=3 Jika irisan diputar terhadap garis x=3
di l h i i ddiperoleh cincin dengan
Jari-jari dalam = 1=dr
J i j i l 32xy =
D
yΔ 1
Jari-jari luar =
y 3
yrl −= 3
Sehingga 22
2
D
3
y y−3 yyV Δ−−≈Δ ))1()3(( 22π
yyy Δ+−= )68(π
Volume benda putar
dyyyV ∫ +4
)68(π ππ 8)|848( 42/3 +yy
MA1114 KALKULUS I 25
dyyyV ∫ +−=0
)68(π ππ 8)|848( 0 =+−= yy
D Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang diD. Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi-fungsi berikut diputar terhadap sumbu x
1.
2.
xyxy 4dan2 ==
y = sin x, y = cos x, x = 0 , x = π/42.
3.
y sin x, y cos x, x 0 , x π/4
1kuadrandi,dan3 xyxy ==2
4.
5.
xyxy == dan ,2
xyxy == dan,5. xyxy dan ,
MA1114 KALKULUS I 26
E Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang diE. Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi-fungsi berikut diputar terhadap sumbu y
1.
2.
xyxy 4dan2 ==
y = -x+1, y = x2, dan x = 0 di kuadran 12.
3.
y x+1, y x , dan x 0 di kuadran 1
1kuadrandi,dan3 xyxy ==2
4.
5.
xyxy == dan ,2
xyxy == dan,5. xyxy dan ,
MA1114 KALKULUS I 27
6.2.3 Metoda Kulit Tabung
{ })(0,|),( xfybxayxD ≤≤≤≤=Diketahui
Jika D diputar terhadap sumbu y diperoleh benda putar
f(x)
D
a b
Daerah D Benda putarDaerah D Benda putar
Volume benda putar ?
MA1114 KALKULUS I 28
Untuk menghitung volume benda putar gunakan pendekatanUntuk menghitung volume benda putar gunakan pendekatanIris , hampiri, jumlahkan dan ambil limitnya.
f(x) xΔJika irisan berbentuk persegi panjangdengan tinggi f(x) dan alas serta berjarakx dari sumbu y diputar terhadap sumbu y
a b
D
xΔ
akan diperoleh suatu kulit tabung dengan tinggi f(x), jari-jari x, dan tebal xΔ
a bxΔ
xΔ
x sehingga
xxfxV Δ≈Δ )(2πf(x)
x
∫b
dfV )(2MA1114 KALKULUS I 29
∫=a
dxxxfV )(2π
Contoh: Tentukan volume benda putar yang terjadi jikad h D dib t i l h b d2daerah D yang dibatasi oleh , sumbu x, dan garis x=2 diputar terhadap sumbu y
2xy =
xΔJika irisan dengan tinggi tebal2x xΔJika irisan dengan tinggi ,tebal dan berjarak x dari sumbu y diputar terhadapsumbu y akan diperoleh kulit tabung dengan tinggi , tebal dan jari
x
2x xΔ2xy =
2xD
g gg , jjari x
Sehingga
xΔ 2
D
x
Sehingga
xxxxxV Δ=Δ=Δ 32 22 ππ
Volume benda putarVolume benda putar
∫ ===2
0
20
43 8|2
2 πππ xdxxV
MA1114 KALKULUS I 30
0 2
C t tCatatan :
-Metoda cakram/cincin
I i dib t t k l t h d b tIrisan dibuat tegak lurus terhadap sumbu putar
- Metoda kulit tabungIrisan dibuat sejajar dengan sumbu putar
Jika daerah dan sumbu putarnya sama maka perhitungan dengan menggunakan metoda cakram/cincin dan metoda kulit tabung akan menghasilkan hasil yang sama
Contoh Tentukan benda putar yang terjadi jika daerah D yang dibatasiOl h b l i 2 d b di t t h d2Oleh parabola ,garis x = 2, dan sumbu x diputar terhadap
a. Garis y = 4b. Garis x = 3
2xy =
MA1114 KALKULUS I 31
(ii) Metoda kulit tabung(ii) Metoda kulit tabung
y=4Jika irisan diputar terhadap garis y=4
2xy =
y=4 akan diperoleh kulit tabung dengan
Jari-jari = r =y−4
y−4y
D
yΔ
y y−2
Tinggi = h = y−2
Tebal = yΔS hi2 Sehingga
yyyV Δ−−≈Δ )2)(4(2π
yyyyy Δ+−−= )248(2πVolume benda putar
∫ +=4
)248(2 dyyyyyV π 42/5222/38 |)8(2 yyyy +π π224=
MA1114 KALKULUS I 32
∫ +−−=0
)248(2 dyyyyyV π05
238 |)8(2 yyyy +−−= π π15=
(ii) Metoda kulit tabung(ii) Metoda kulit tabungx=3
Jika irisan diputar terhadap garis x=3diperoleh kulit tabung dengan
2xy =
diperoleh kulit tabung dengan
Tinggi = h =
2
2xJari-jari = r = 3-x
2
DxΔx
2xj
3-x
Tebal = xΔ
Sehingga x
3
3 xxxxV Δ−≈Δ 2)3(2π
xxx Δ−= )3(2 32πVolume benda putar
∫ −=2
32 )3(2 dxxxV π πππ 8)48(2|)(2 20
4413 =−=−= xx
MA1114 KALKULUS I 33
∫0
)( πππ 8)48(2|)(2 04 xx
F Daerah D dibatasi oleh kurva dan garis x = 2yF. Daerah D dibatasi oleh kurva dan garis x = 2y. Hitung volume benda putar, jika D diputar terhadap :
xy =
(1) sumbu x (4) sumbu y( ) ( ) y(2) garis x = -1 (5) garis y = -2 (3) garis y = 4 (6) garis x = 4
G. Daerah D dibatasi oleh parabol dan garis x+ y = 4. Hitung volume benda putar, jika D diputar terhadap :
24 xxy −=
(1) sumbu x (3) sumbu y(1) sumbu x (3) sumbu y(2) garis x = 6 (4) garis y = -1
MA1114 KALKULUS I 34
6 3 Panjang Kurva6.3 Panjang Kurva
Persamaan parameter kurva dibidang
x = f(t)y = g(t)
bta ≤≤,
Titik A(f( ) ( )) di b t titik k l k d titik B(f(b) (b)) di b t
(1)
Titik A(f(a),g(a)) disebut titik pangkal kurva dan titik B(f(b),g(b)) disebuttitik ujung dari kurva.
Definisi : Suatu kurva dalam bentuk parameter seperti (1) disebut mulusDefinisi : Suatu kurva dalam bentuk parameter seperti (1) disebut mulus jika
(i) 'f 'gdan kontinu pada [a,b]
Kurva tidak berubah sekonyong-konyong
(ii) 'f 'gdan tidak secara bersamaan nol pada (a,b)
MA1114 KALKULUS I 35
Misal diberikan kurva dalam bentuk parameter (1), akan dihitungp ( ) gpanjang kurva
Langkah
1. Partisi [a,b] menjadi n bagian, dengan titik-titik pembagian
btttta =<<<<= btttta no =<<<<= ...21
● ●●Q
1−iQ iQnQ
a b● ●● ●1t it1−it 1−nt ●1Q
●●oQ
Partisi pada [a,b]
Paritisi pada kurva
MA1114 KALKULUS I 36
2. Hampiri panjang kurva p p j g
Q
isΔ panjang busur ii QQ 1−
wΔ panjang tali busur QQiQ
isΔ
wΔ
iwΔ panjang tali busur ii QQ 1−
ΔΔ
Panjang busur dihampiri dengan panjang tali busur
iyΔ
1−iQ
iwΔii ws Δ≈Δ
ixΔ
iyΔ
22 )()( ii yx Δ+Δ=2
12
1 )]()([)]()([ −− −+−= iiii tgtgtftfDengan menggunakan teorema nilai rata-rata untuk turunan terdapat sehingga)(ˆ ttttturunan, terdapat sehingga ),(, 1 iiii tttt −∈
ttftftf iii Δ=− − )(')()( 1
tttt Δ)ˆ(')()(
MA1114 KALKULUS I 37
ttgtgtg iii Δ=− − )(')()( 1
dengan Δ tttdengan 1−−=Δ iii ttt
sehingga
22 ])ˆ('[])('[ iiiii ttgttfw Δ+Δ=Δ
iii ttgtf Δ+= 22 )]ˆ('[)]('[ iii gf )]([)]([
Panjang kurva dihampiri oleh jumlah panjang tali busur
∑=
Δ+≈n
iiii ttgtfL
1
22 )]ˆ('[)]('[
Dengan mengambil panjang partisi(||P||) menuju nol diperolehDengan mengambil panjang partisi(||P||) menuju nol diperoleh
dttgtfLb
∫ += 22 )]('[)]('[
MA1114 KALKULUS I 38
a∫
Ctt:
Jika persamaan kurva y=f(x), bxa ≤≤
( )bf −1b
( )
( )
dttgtfLf
af∫−
+=1
22 )]('[)]('[ dtdtdy
dtdxb
a∫ += 22 ][][
bb 22
dxdxdydt
dxdy
dtdx b
a
b
a∫∫ ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+=
222 1)1()(
( )
dfLdg
∫−1
22 )]('[)]('[
Jika persamaan kurva x=g(y), dyc ≤≤
dydxd
∫( )
dttgtfLcg∫−
+=1
22 )]('[)]('[ dtdtdy
dtdx
c∫ += 22 ][][
dydxdtdxdy dd
∫∫ ⎟⎟⎞
⎜⎜⎛
+⎟⎞
⎜⎛
+⎟⎟⎞
⎜⎜⎛
222 11)(
MA1114 KALKULUS I 39
dydy
dtdydt cc
∫∫ ⎟⎟⎠
⎜⎜⎝
+=⎟⎟
⎠⎜⎜
⎝+⎟⎟
⎠⎜⎜⎝
= 11)(
Contoh : Hitung panjang kurvag p j g
40;, 23 ≤≤== ttytx1.
23)(' ttx = tty 2)(', =
Panjang kurva
dtttL ∫ +=4
0
222 )2()3( dttt∫ +=4
0
24 49 ∫ +=4
0
22 )49( dttt
∫ +=4
0
2 49 dttt ∫+
+=4
0
22/12
18)49()49(
ttdtt
40
2/3232
181 |)49( += t )81080()84040( 27
1271 −=−=
MA1114 KALKULUS I 40
2. 2/32xy = antara x =1/3 dan x=72. 2xy = antara x =1/3 dan x=7
Jawab :
dy 2/13xdxdy
=
( )∫ ∫7 7
22/1 9131 ddL )91()91(7
2/11 d∫( )∫ ∫ +=+=3/1 3/1
2/1 9131 dxxdxxL )91()91(3/1
2/191 xdx ++= ∫
31
2727
3/12/3
272 37)8512(|)91( =−=+= x 3273/127 )(|)(
MA1114 KALKULUS I 41
H. Hitung panjang kurva berikut
≤≤ ttt 0;5cos4sin41
41;2/12,23 32 ≤≤−=+= ttytx
π≤≤−== ttytx 0;5cos4,sin41.
2.
10,)2(31 2/32 ≤≤+= xxy
ln2 xx
3.
42,4
ln2
≤≤−= xxxy
2/10)1ln( 2 ≤≤−= xxy
4.
5 2/10),1ln( ≤≤= xxy
90),3(31
≤≤−= yyyx
5.
6.
MA1114 KALKULUS I 42