Specijalne Specijalne Specijalne Specijalne Specijalne Specijalne Specijalne SpecijalneIn In In In In In In Inenjerskeenjerskeenjerskeenjerskeenjerskeenjerskeenjerskeenjerske Gra Gra Gra Gra Gra Gra Gra Graevine evine evine evine evine evine evine evineLjuske tipovi proraunprimjeriizvedenih graevinaLjuske:Oblici i znaajke ljusaka:Ljuska je zakrivljena plona konstrukcija koja preuzima optereenja primarno membranskim djelovanjem. Debljina h je mala u odnosu na druge dimenzije i u odnosu na glavni radijus zakrivljenosti (max h/R < 1/20).Srednja povrina ljuske je povrina koja dijeli ljusku na dvije ljuske jednakeSrednja povrina ljuske je povrina koja dijeli ljusku na dvije ljuske jednake debljine u svakoj toki. Odreuje oblik i debljinu h u svakoj toki ljuske.Analiza ljuske se sastoji od sljedeih koraka:- uspostavi ravnotee diferencijalnog elementa ljuske- ispunjenje uvjeta kompatibilnosti deformacija tako da svaki element ostane u kontinuitetu sa svim susjednim elementima nakon deformacije ljuskeLjuske:Teorija ljusaka obuhvaa u najjednostavnijem sluaju rjeavanje parcijalne diferencijalne jednadbe drugog reda koje omoguavaju dostatan opis ponaanja gotovo svih ljusaka koje se pojavljuju kao konstrukcije u graditeljstvu.Najee je mogue direktno rjeavanje navedenih jednadbi.Jednostavnost rezultira iz injenice da su unutarnje sile u tankoj ljusci (u odreenom smislu) statiki odreene, odnosno mogue ih je odrediti bez uzimanja u obzir elastinih (ili plastinih) osobina materijala od kojih su nainjene. Kod velikog broja ljusaka geometrija je bitna za preuzimanje optereenja.Teorija ljusaka:Kirchhoff-Love teorija Prva aproksimacija ljusaka:Pretpostavke prorauna:1. debljina ljuske je mala u odnosu na manji radijus zakrivljenosti srednje ravnineljuske2. deformacije i pomaci su mali u odnosu na debljinu ljuske3. toke koje su prije deformiranja bile na pravcu okomitom na srednju3. toke koje su prije deformiranja bile na pravcu okomitom na srednju povrinu ljuske nalaze se i poslije deformiranja na pravcu okomitom na deformiranu srednju povrinu (analogno Navier-ovoj hipotezi za grede) 4. normalna naprezanja okomito na srednju povrinu su tako mala da se moguzanemaritiRotacijske ljuske nastaju pomicanjem (zaokretanjem) pravca ili proizvoljne meridijalne krivulje (generatora) oko jedne najee vertikalne osi (direktrise).Tako se mogu razviti cilindrine i stoaste ljuske, hipari, kuglaste, zailjene i paraboloidne ljuske, prstenaste (torus) ljuske i drugi oblici ljusaka (sl.1.).Rotacijske ljuske nastaju pomicanjem (zaokretanjem) pravca ili proizvoljne meridijalne krivulje (generatora) oko jedne najee vertikalne osi (direktrise).Tako se mogu razviti cilindrine i stoaste ljuske, hipari, kuglaste,zailjene i paraboloidne ljuske, prstenaste (torus) ljuske i drugi oblici ljusaka (sl.1.).Translacijske ljuske nastajuTranslacijske ljuske nastaju paralelnim ili gotovo paralelnimpomicanjem generatora krivulje ili pravca uzdu dviju direktrisa. Sl.1 Rotacijske ljuske generator: (a) slomljeni skup pravaca, (b) pravac nagnut prema osi, (c) kruni lukTeorija ljusaka:Posljedice navedenih pretpostavki:- normale na srednju povrinu ostaju ravne i okomite na srednju povrinu nakon deformacije srednje ravnine - hipoteza iskljuuje pojavu poprenih posminih deformacija odnosno nema- hipoteza iskljuuje pojavu poprenih posminih deformacija odnosno nema promjene pravog kuta izmeu normale i bilo kojeg pravca na povrini- teorija vrijedi samo za tanke ljuske- nije primjenjiva za opis ponaanja u blizini koncentriranih sila ili uz rubove ljuske (pretpostavka (4) ne vrijedi u blizini koncentriranih poprenih sila)Teorija ljusaka:Flgge-Byrne teorija Druga aproksimacija ljusaka:Pretpostavke:- Usvojena je samo pretpostavka (2)- Smatra se aproksimacijom vieg reda Kirchhoff-Love pretpostavkiKlasifikacija ljusaka:Klasificiraju se prema glavnoj jednadbi geometrije:- rotacijski paraboloid - rotacijski hiperboloid - kruni cilindar- eliptini paraboloid- hiperbolini paraboloid- kruni stoacTeorija ljusaka:Geometrijska analiza ljusaka:a) Ortogonalni krivocrtni koordinatni sustavb) Glavni radijusi zakrivljenostic) Gaussova zakrivljenostgdje su rx i ry glavni radijusi zakrivljenosti1 1x yKr r= - K > 0 : Sinklastike ljuske :kuglaste kupole, eliptini paraboloidi- K = 0 (ili rx = ili ry = ): ljuske jednostruke zakrivljenosticilindri i stoci- K < 0 :Antiklastike ljuske, hiperbolini paraboloidi i hiperbole revolucijex yr rRotacijske ljuske nastaju pomicanjem (zaokretanjem) pravca ili proizvoljne meridijalne krivulje (generatora) oko jedne najee vertikalne osi (direktrise).Tako se mogu razviti cilindrine i stoaste ljuske, hipari, kuglaste,zailjene i paraboloidne ljuske, prstenaste (torus) ljuske i drugi oblici ljusaka (sl.1.).Translacijske ljuske nastajuTranslacijske ljuske nastaju paralelnim ili gotovo paralelnimpomicanjem generatora krivulje ili pravca uzdu dviju direktrisa. Sl.1 Rotacijske ljuske generator: (a) slomljeni skup pravaca, (b) pravac nagnut prema osi, (c) kruni lukNekada su se za bavaste i ed krovove koristili isjeci cilindrinih ljusaka sa horizontalnom osi direktrisom, dok se danas daje prednost translacijskim plohamaSl.2 Translacijske ljuske:(a) valovita ljuska, (b) konoid; (c) hipar; (d) translacijska kupola; (e) luna ljuskaNaroito omiljeni hiperbolini paraboloid (koji je svojim graevinama uinio poznatim Felix Candela), moe se kombinirati sa dodatnim hiparima uzdu generatora pravaca (sl.3). Obzirom da su i direktrise i generatori pravci za izvedbu nije potrebna zakrivljena oplata. Kombiniranjem isjeaka ljusaka mogu se dobiti zanimljive draesne zvjezdaste ljuske (sl.3).Sl.3. Ljuske sastavljene od hipara - plohe sudarene uzdu pravastih generatora nad pravokutnim tlocrtomU novije vrijeme rado se izvode fizikalno definirane ljuske. Njihov oblik izveden je npr. iz membrana (lim, guma, sapunica, tkivo) ili mrea, pod optereenjem od vlastite teine, sloja gipsa, utezanja ili pritiska plina ili tekuine (sl.4).Sl.4. Fizikalno definirani i slobodni oblici ljusaka(a) oblik ljuske izveden iz gumene krpe ispunjene vodom; (b) ljuska oblika kapi(b) ljuska oblika kapi tekuine (konstatno povrinsko naprezanje); (c) plastino deformirana membrana od lima (svugdje jednaka naprezanja);(d)kupolaste ljuske Heinza IsleraTeorija ljusaka:Heinz Isler je na taj nain prvi razvio vrlo elegantne plitke kupolaste ljuske na pojedinanim osloncima.Predlagani su i tekui oblici, kakvi se javljaju kod protjecanja viskoznih tekuina kroz cijevi.Konano esto se kao uzor koriste se prirodni oblici, geoloke erozije i sl., ili se razvijaju slobodni oblici ili se razvijaju slobodni obliciTemeljem Gauss-ove mjere zakrivljenostigdje su r1ir2glavni radijusi zakrivljenosti oblici se grubo mogu podijeliti u tri grupe sa nekim tipinim znaajkama: 1 1x yKr r= Teorija ljusaka:a) Eliptine plohe (npr. kupole) imaju pozitivnu Gauss-ovu zakrivljenostK(sinklastika zakrivljenost), jer oba glavna radijusa zakrivljenosti lee s iste strane tangentne plohe.Ovako formirane ljuske ne mogu mijenjati oblik bez deformiranja srednje plohe, te se zbog toga vrlo krute.plohe, te se zbog toga vrlo krute. Pretpostavka za to je dodue da su na rubovima oslonjene sukladno membrani, to znai da su na rubovima potrebni posebni rubni elementi za odranje oblika ljuske. Teorija ljusaka:Gore otvorena (nepridrana) cilindrina ljuska na elastinoj podlozi je primjerice vrlo mekana na horizontalne sile. To se mijenja ako se na gornjem rubu ugradi kruti, no okomito na svoju ravninu na savijanje mekani disk, ili alternativno izvede ojaanje ruba, odnosno ako je ljuska povezana s krutom podlogom (sl.6a). Bez gornjeg veznog diska cilindrina ljuska se neravnomjerno slijee iBez gornjeg veznog diska cilindrina ljuska se neravnomjerno slijee i prema vrhu sve vie mijenja oblik u poprenom smjeru bez uzdunih deformacija (sl.6b).Kod toga se kod neukruenog valjka javljaju manje uzdune sile nego ukruenog, to ponekad moe biti povoljno (diferencijalna slijeganja tla), no kod periodiki rastuih djelovanja (npr. udari vjetra) postoji opasnost od aerodinamike nestabilnosti treperenja (flutter) i sloma ljuske od savijanja.Teorija ljusaka:Sl. 5 kod nedovoljnog ukruivanja ljusaka mogu nastupiti velikedeformacije bez izduenja npr. uslijed razliitih znaajki tla a) ljuska sa ukrutom na vrhu b) ljuska bez ukrute na vrhuTeorija ljusaka:b) Hiperboline plohe (sedlaste plohe) :Imaju negativnu Gauss-ovu zakrivljenost K (antiklastika zakrivljenost), jer oba glavna radijusa zakrivljenosti lee na razliitim stranama tangentne plohe.Kod ovakvih ploha su zbog pravastih generatora mogua savijanja bez uzdunih deformacija tj. bez izduenja ili skraenja srednje plohe. uzdunih deformacija tj. bez izduenja ili skraenja srednje plohe.Hiperboline ljuske zbog toga nisu tako krute kao eliptine ljuske i potrebni su rubni ukrutni elementi sa stabilizaciju njihovog oblika.Teorija ljusaka:c) Paraboline plohe (cilindrine i stoaste ljuske):Imaju Gauss-ovu zakrivljenost K = 0, jer je jedan od glavnih radijusa zakrivljenosti neizmjerno velik. Te plohe s pravastim generatorima su jednostavno zakrivljene i za razlikuTe plohe s pravastim generatorima su jednostavno zakrivljene i za razliku od ostalih ploha daju se razviti. Mogua su savijanja srednje plohe bez uzdunih deformacija, obzirom da se samo savojna krutost suprotstavlja tom efektu. Tako formirane ljuske moraju imati vezne diskove da bi zadrale svoj oblik.Ljuske:Jednostruka zakrivljenost: zakrivljene plohe, koje vanjska djelovanja preuzimajumembranskim djelovanjem, tlanim, vlanim i posminim naprezanjima unutar plohe, to znai da je konstruktivna visina jednaka debljini ljuske zakrivljenost ljuske definirana je odnosom ravnine koja tangira ljusku prema plohi ljuske ako ravnina dodiruje plohu po ravnoj liniji ako prereemo plohu ravninom okomitom na liniju dodira dobit emo zakrivljeni popreni presjek razvijene plohe - mogu se razviti od ravnih plohatangentna linijaravninaLjuske postoje barem dvije meusobno okomite ravnine, koje prolaze dodirnom tokom, koje su okomite na tangentnu ravninu, a presjek s plohom im je krivulja plohe dvostruke zakrivljenosti ne mogu se razviti postoje dva tipa ploha dvostruke zakrivljenosti:SINKLASTIKE:- lei s jedne strane tangentne ravnine Dvostruka zakrivljenost:ANTIKLASTIKE:- negativna Gaussova zakrivljenost - ako se ploha nalazi djelomino s jedne - moe biti konveksna ilikonkavna - ima pozitivnu Gaussovu zakrivljenost- ako se ploha nalazi djelomino s jedne strane tangentne ravnine, a djelomino s druge strane u blizini dodirne tokeravninatangentna toka tangentnatokaLjuske krivulje presjeka plohe s dvije ortogonalne ravnine, okomite na tangentnu ravninu na mjestu dodirne toke lee na suprotnim stranama tangentne ravnine (osim za posebne orijentacije kod kojih dvije krivulje degeneriraju u pravce hiperbolini paraboloid)-ovakve plohe obino nazivamo sedlasteDvostruka zakrivljenost: ploha jedne ljuske moe biti sloena od kombinacije sinklastikih i antiklastikih dijelova, ali ako sadri i ravninske dijelove, ti dijelovi obino moraju preuzeti savijanjeLjuske zatvorene konveksne krivulje esto se koriste kod prostornih struktura ili kao rubni elementi ili kod nekih poprenih presjeka prsten je u konstruktivnom smislu posebni tip funikularnog oblika za skup uravnoteenih sila u ravnini, tako da je u istom vlaku ili istom tlakuPrstenovi:prsten u vlaku prsten u tlakuLjuske struktura dvostruke zakrivljenosti (ljuska obino konveksne zakrivljenosti) koja prekriva prostor priblino regularnog oblika (kruni, poligonalni)Kupole:SFERNA KUPOLA s plohom koja je dio kugle (sfere) sferna kupola moe preuzeti sva optereenja membranskim djelovanjem, osim koncentriranih sila koje mogu izazvati lokalno savijanje za razliku od funikularnih oblika, oblik zakrivljene plohe nije funkcija optereenjaoptereenja do lokalnog savijanja dolazi u tzv. zoni smetnje u okolini rubova, gdje uvjeti oslanjanja nisu kompatibilni s membranskim djelovanjemrebra isjeak kupoleprstenovisila u rebruposmine sile(nesimetrinooptereenje) sila u prstenuLjuske konstruktivna visina kupole je cijela visina kupole od baze do tjemena odnos konstruktivne visine prema rasponu je u granicama od za plitke kupole do za visoke kupole uobiajeni optimalni odnosi konstruktivne visine prema rasponu iznose 0,2 - 0,25 u sfernoj kupoli za simetrino optereenje sile u prstenima se mijenjaju od tlanih pri vrhu do vlanih kod dna (osim za plitke kupole) vlak je uzrokovao mnoge probleme kod povijesnih kupola od kamena, koje ga nisu Kupole: vlak je uzrokovao mnoge probleme kod povijesnih kupola od kamena, koje ga nisu mogle preuzeti ako je oblik meridijalno poloenih rebara funikularni oblik za vanjsko djelovanje, sile u prstenima nestaju, jer se puna ravnotea ostvaruje samo rebrimaLjuske kupole se esto oslanjaju na vertikalne zidove ili stupove ako se smjer pruanja oslonca razlikuje od tangente na meridijalna rebra potrebni su posebni prsteni na razini oslonaca za preuzimanje koncentracije vlanih ili tlanih sila prstenasta greda ili rubni prsten prsten preuzima horizontalnu reakciju, koja nastaje od razlike smjera tangente na plohu kupole i vertikale ako je vertikalni oslonac u odnosu na tangentu zaokrenut prema unutranjosti kupole Kupole: ako je vertikalni oslonac u odnosu na tangentu zaokrenut prema unutranjosti kupole (standardni sluaj) sila u prstenastoj rubnoj gredi je vlanavlastita teinarubni prsten (u vlaku)tlaniprstenovivlaniprstenoviisile u prstenovimaLjuske prstenasta rubna greda nije potrebna ako su stupovi ili zidovi nagnuti u smjeru tangente meridijalnih rebaraKupole:kupola bez prstenaste rubne gredeLjuske kupole mogu biti i drugih oblika, npr. konine konina kupola je jednostruke zakrivljenosti no prenosi sile direktnim (membranskim) djelovanjem, slino kao kod kupola dvostruke zakrivljenosti sile u prstenima ne mijenjaju predznakKupole:konina kupola konina kupolaLjuske geometrija ljusaka moe se generirati na razliite naine: zakrivljena ploha moe se generirati pomicanjem jedne krivulje uzdu druge krivulje ili uzdu para krivulja na taj nain mogu se generirati razliiti oblici ljusakaLjuske kada je nepomina krivuljadirektrisa u horizontalnoj ravnini, a pomina krivulja generator u vertikalnoj ravnini, plohu se obino definira s generatorom kao imenicom i direktrisom kao pridjevomHiperbolini paraboloid: ploha koja se dobije pomicanjem parabole u vertikalnoj ravnini uzdu hiperbole u horizontalnoj ravniniLjuskeHiperbolini paraboloid: vrsta ljuske vrlo pogodna za izradbu u betonu najjednostavniji nain geometrijske definicije je kao ploha generirana pomicanjem pravca po dva pravca koji nisu u istoj ravnini geometrijska svojstva hipara:- proizvoljna linija paralelna s granicom je pravac - hipar sadri dva ortogonalna skupa pravaca nad pravokutnim tlocrtom i zato nije potrebna zakrivljena oplata- ploha je antiklastika (sedlasta)- ploha je antiklastika (sedlasta) - vertikalna ravnina koja po dijagonali povezuje suprotne donje uglove sijee plohu po konveksnoj paraboli - druga dijagonala ini konkavnu parabolu- horizontalne ravnine sijeku plohu po hiperbolama koje se asimptotski pribliavaju donjim granicamaasimptotehiperboleLjuskeHiperbolini paraboloid: unutarnje sile hipara za jednoliko rasporeeno optereenje daju se jednostavno proraunati jedan skup parabola plohe su konveksne, tj. lukovi (tlak), a drugi skup konkavne parabole, tj. kabeli (vlak) u smjerovima paralelnim s dijagonalama ne postoje posmine sile; to su tzv. glavne osiElement u vlakuElement u tlakusile u rubnim elementimahiparaLjuskeHiperbolini paraboloid: na rubovima (granicama) sijeku se vlane sile od konkavnih dijagonala i vlane sile od konveksnih dijagonala s rezultantom u smjeru rubnog elementa ako je hipar prikladno oslonjen u rubnom elementu javljaju se samo uzdune sile, vlane, tlane ili dijelom vlane a dijelom tlane, ovisno o usvojenom poloaju rubnog elementaprimjer toka sila u rubnom elementu primjer toka sila u rubnom elementuLjuskeHiperbolini paraboloid: barem jedan kraj rubnog elementa mora se fiksirati i u horizontalnom smjeru optimalna dispozicija dobije se tako da se horizontalne komponente susjednih rubnih elementa meusobno ponitavaju, ime se postie da na stupove djeluju samo vertikalne sile uobiajena dispozicija hipara je sa konstruktivnom visinom (strelicom odnosno provjesom) od ukupne visine, a najmanja konstruktivna visina ne bi smjela biti manja od 1/10 rasponauinak pridranja na sile u rubnim elementimahorizontalnesile seponitavajuvlani taphorizontalnesile seponitavajuali ne i ovdje, potreba za vlanim tapomLjuskeHiperbolini paraboloid: Geometrija: kod hipara se sredita zakrivljenosti nalaze sa razliitih strana plohe (hiperbolina, antiklastika ili negativna Gaussova zakrivljenost) hipar ima ravne izvodnice u dva smjera pogodan je za prekrivanje pravokutnih ili romboidnih tlorisa Kada je koordinatni sustav x, y paralelan sa izvodnicama, jednadba hipara glasi:2zz k x y x y= = k = konstanta ta ista ploha sa koordinatnim sustavom u smjeru dijagonala odnosno linija glavne zakrivljenosti opisana je sljedeom jednadbom: presjeci vertikalnih ravnina paralelnih sa osima , su parabole sa radijusima zakrivljenosti r1odnosno r2 horizontalni presjeci su hiperbolezz k x y x yx y= = 2 21 22 2zr r = LjuskeHipar pod jednolikim kontinuiranim plonim optereenjem (vlastita teina + snijeg):a)Kvadratni tlocrtb1) i b2) dijagonalni presjecina oba donja uglac1) i c2) dijagonalni presjecina oba gornja uglad) Rastavljanje sila na jednom rubue) Oslanjanje na dva upornjaka na donjem uglu u smjeru rezultante R iz dvije rubne gredeLjuskeDeformacije hipara:srednji tlani luk i srednji vlani luk se promatraju zasebno:a) produljenje vlanog lukab)antimetrini horizontalni pomaci rubnih toakac)pomak donje rubne toke prema vand)gornja rubna toka ima nepomian leajLjuskeRubne grede hiparaa) Oslanjanje hiparab) Popreni presjeci ravnih rubnih gredac) Pojaanje ruba u udolini jedne zvjezdaste ljuskeLjuskeCilindrine ljuske: generiramo ih pomicanjem krivulje paralelne samoj sebi uzdu pravca ili obrnuto pomicanjem pravca uzdu krivulje, to pokazuje da se radi o plohi jednostruke zakrivljenosti cilindrine ljuske zahtijevaju za oslanjanje krute zabatne zidove,da bi zadrale oblik i da se osigura membransko djelovanje slobodne rubove treba ojaati da se izbjegne lokalno izboavanje i savijanjegeneriranje cilindrine ljuskevlani tapzabatni zidrubnaukrutaLjuskeCilindrine ljuske: cilindrina ljuska moe izgledati slino svodu, ali je njeno ponaanje potpuno drugaije svod je ravninska struktura funikularnog oblika, koja nosi po irini s oslanjanjem po uzdunim rubovima, a zabati nisu potrebni, a cilindrina ljuska nosi u smjeru duljinerazlika izmeu cilindrine ljuske i svodaLjuskeKonoidna ljuska: formira se pomicanjem pravca na jednom kraju po krivulji a na drugom kraju po pravcu ove ljuske su vrlo uinkovite za konzolne konfiguracije jer konstruktivna visina raste od najmanje vrijednosti na slobodnom rubu do najvee vrijednosti na upetom rubu, gdje su i momenti savijanja najvei upeti kraj npr. zabatni zid preuzeta momente savijanja ljuske pa mora imati i krutost u ravnini i krutost na savijanje (bonu krutost) ravnini i krutost na savijanje (bonu krutost)generiranje konoidne ljuske konoidna ljuska - konzolaLjuskeKonoidna ljuska:LjuskeKonoidna ljuska: primjeri natkrivanja konoidnom ljuskomLjuskePravasta ploha: generira se pomicanjem pravca preko dviju krivulja cilindrine i konoidne ljuske su posebni sluajevi ovakvih ploha ove plohe mogu biti jednostruke i dvostruke zakrivljenosti (npr. hiperbolini paraboloid)Rotacijske ljuske:- dobivaju se rotacijom krivulje oko krunice, npr. sferne i konine ljuske LjuskeTranslacijske ljuske: dobivaju se translacijom krivulje po drugoj krivulji cilindrine ljuske su primjer translacijskih ljusaka s pravcem kao generatoromLjuskePrimjer: natkrivanje kvadratnog prostora primjena reducirane sferne kupole kojoj se vertikalnim ravninama rubovi prostora odreu tako se nad rubovima dobivaju kruni lukovi translacijom krunog luka po identinom luku, okomitom na translatirani luk, generira se kupola vrlo slina reduciranoj sfernoj kupoliVARIJANTA 1 PRIMJENA REDUCIRANE SFERNE KUPOLEVARIJANTA 2 GENERACIJA TRANSLACIJSKE KUPOLERAZLIKE SU U RUBNIM LUKOVIMA: RAZLIKE SU U RUBNIM LUKOVIMA: kod reducirane sfere polumjer tih lukova manji je od polumjera sfere, a u vertikalnoj projekciji ti polumjeri su koncentrini kod translacijske kupole polumjer rubnih lukova jednak je polumjeru bilo koje vertikalne ravnine paralelne s rubovima translacijska kupolareducirana sferaAnaliza polukugle:- kugla konstantne debljine pod djelovanjem vlastite teine- oslonjena je po itavom slobodnom rubu- reakcija je jednoliki kontinuirani pritisak- iz ravnotee sila - lijeva strana izraza je suma reakcije po opsegu kruga - desna strana izraza je teina ljuske2(2 ) (2 ) t a t a = - desna strana izraza je teina ljuske- sreivanjem izraza gdje je: jedinina teina materijala tlana naprezanja tlana naprezanja na osloncima ne ovise o debljini ljuskea = Rezultanta membranskih naprezanja:- primjerenije je promatrati rezultantu naprezanja N u membranskoj analizi ljusaka, a ne naprezanja - stoga se vlastita teina w specificira kao teina po jedininoj povrini [kN/m2]- rezultanta membranskih naprezanja ima dimenziju:sila / duljina [kN/m]- rezultanta je sila dobivena sumiranjem naprezanja po debljini ljuskeN wa = na infinitezimalnom dijelu ljuske djeluju normalne i posmine sile NyNxNxyNyx= NxyNyxLjuske:- vrlo tanke ljuske mogu se lokalno izboiti- problem lokalnog izboavanja je znaajan za ljuske velikog raspona, a kod ljusaka manjeg raspona taj problem nije toliko izraen- lokalno izboavanje vrlo tankih ljusaka nastaje kod naprezanja:tKonstanta k 0,25R radijus zakrivljenosti ljusket debljina ljuskeE modul elastinosticrtk ER = Sferna ljuska konstantne debljine pod djelovanjem vlastite teine:- sfera ima jednostavnu geometriju to dovodi do jednostavne jednadbe - slika prikazuje meridijan radijusa a- toke na meridijanu definirane su kutom - toka na meridijanu je na udaljenosti r od vertikalne osi sfere sin a r =- granice izrezanog infinitezimalnog elementa ljuske su dva meridijana i dva paralelna kruga - element se moe zapisati sa dva kuta : po meridijanu - po meridijanu - po krunici - na element djeluje samo vlastita teinawdA wr d a d = cos N N wa + = 1 coswaN= +1cos1 cosN wa (= (+ 2 sin 0 N r W + =22 (1 cos ) W wa = Nmijenja predznak kod kuta 51,82Analiza cilindrine ljuske:- cilindrina ljuska se moe definirati kao zakrivljena ploa koja je izrezana iz cilindra- ploa je omeena sa dva ravna longitudinalna ruba paralelna sa uzdunom osi cilindra i dva zakrivljena poprena ruba u ravnini okomitoj na uzdunu os - ploa je zakrivljena samo u jednom smjeru - cilindrina ljuska je kruna kada je zakrivljenost konstantnaUtjecaj rubnih uvjeta ljuske na prijenos optereenja:rezultanta naprezanja u cilindrinim ljuskama:- 10 nepoznanica: (Nx , N, Nx, Nx) , (Qx , Q) , (Mx , M, Mx, Mx) problem je statiki neodreen- kod veine armiranobetonskih cilindrinih ljuski Mxi Qx su male vrijednosti Mx, Mxsu zanemarivi ostaje 6 nepoznanica (Nx , N, Nx, Nx) , (Q, M) ostaje 6 nepoznanica (Nx , N, Nx, Nx) , (Q, M)- linijska optereenja: linijske sile nanose se du slobodnih rubovaKlasifikacija:- Dugake ljuske - linijsko optereenje uzrokuje znaajne Qi M, a membranske sile postaju beznaajne - naprezanja se mogu procijeniti primjenom klasine gredne teorije2, 5Lr-Srednje ljuske - Kratke ljuske - linijske sile uzrokuju unutarnje sile u blizini uzdunih rubova- najvei dio ljuske se ponaa kao membrana0, 5Lr 0 : Utjecaji ruba brzo se priguuju i obino su ogranieni su samo na usko podruje na rubu. Sukladno, kod ovih ljusaka membranska teorija esto vrijedi na itavoj ljusci izuzev rubova.K = 0(ilirxili ry je ): Rubni utjecaji se priguuju, ali djeluju na irem podruju nego kod ljusaka sa pozitivnom zakrivljenou.K < 0 : Priguenje je znatno manje nego kod drugih ljusaka. Utjecaj rubnih utjecaja je zamjetan na velikim dijelovima ljuske.Dimenzioniranje cilindrine betonske ljuske:Armiranje jednostavno oslonjenih ljusaka:I: uzduna armatura u rubnim gredamaII:poprena membranska i poprena armatura za preuzimanje savijanjaIII: posmina armaturaIV: armatura za preuzimanje negativnih momenata savijanja u blizini dijafragmiNx= Nx(sredina ljuske)Za preuzimanjevlanih naprezanjaod MNx= Nx(sredina ljuske)za preuzimanje dijagonalnih vlanih naprezanja uslijed Nx= Nxkod kuta 45Nx (sredina debljine ljuske)armatura uz rubove ljuskeGeometrijska analiza ljusaka:Ortogonalni krivocrtni koordinatni sustav:Promatra se vektor poloaja:gdje su: kontinuirane funkcije jedne varijable. Ploha je odreena sa i , krivocrtne koordinate, u, v i w jedinini vektori u Kartezijevom koordinatnom sustavu. Ortogonalnost je opisana sa : unutarnji produkt je nula Ortogonalnost je opisana sa : unutarnji produkt je nulaUdaljenost izmeu (, ) i ( + d, + d) jeSkalarni produkt ds sa samim sobom iznosi:gdje su A i B Lame-ovi parametri. Ovaj izraz je prva kvadratna forma teorije ploha.Nelinearna analiza dvostruko zakrivljenim izoparametarskim tankim shell AB elementima (MKE):Pretpostavke:- ipke armature su modelirane ekvivalentnim anizotropnim slojevima (layer-ima) elika koristei odgovarajuu prilagodbu elastoplastine inkrementalne transformacije matrice deformacija naprezanja. Ti slojevi mogu prenijeti samo uzduna naprezanja u smjeru pruanja stvarnih ipki armature.- Ispunjena je kompatibilnost deformacija betona i armature.Konstitutivni zakon za izotropne materijale u matrinoj formi:Rezultanta naprezanja-deformacija i odnos moment zakrivljenost:u matrinoj formi:Sloenije ponaanje materijala moe se opisati modificiranjem [C] i [D]Inkrementalni odnos naprezanje deformacija:gdje je {d} = inkrement totalnog vektora naprezanja[D] = transformacijska matrica inkrementalnog elastoplastinog odnosa deformacija - naprezanje{d} = inkrement totalnog vektora deformacijaGeneralizirani odnos deformacija - naprezanje za betonske elemente:gdje jedN = inkrement rezultante naprezanja od normalne siledM = inkrement rezultante naprezanja od momenta savijanjad0= komponenta inkrementa deformacija u srednjoj ravninidk = savojna komponenta inkrementa deformacijaH = debljina elementa ljuskeNumerika integracija u analizi konanim elementima:U svakoj toki integracije elementa ljuske, zid ljuske je podijeljena u vie poloaja (stations) sa konstantnim intervalima T po debljini ljuske.Matrica [M] se odreuje koristei [D] na poetku svakog inkrementa i za svaki vor.Inkrementalni odnos naprezanje-deformacija za svaki sloj armaturesa anizotropnim osobinama konzistentnim sa jednoosnim uvjetom: gdje su:i ti= dio ekvivalentne povrine armature koja pridonosi i-tom poloaju integracijeGeneralizirani odnos naprezanje-deformacijau i-tom koraku:Za poloaje integracije bez doprinosa armature, mnoitelj Ri= 0Granice primjene membranske teorije i njena dopuna teorijom savijanja:U pojedinim sluajevima membranska teorija nije prikladna za opis prijenosa optereenje kod ljusaka:(a) nedovoljno ukruene ljuske kod kojih je mogua deformacija srednje ravnineljuske bez izduenja (b) lokalna optereenja ili optereenja iji se intenzitet mijenja po sinusnoj(b) lokalna optereenja ili optereenja iji se intenzitet mijenja po sinusnoj funkciji malog perioda(c) nekompatibilnost membranskih deformacija sa rubnim uvjetima(d) nejednolikost membranskih deformacija unutar povrine ljuske uslijed nejednolike raspodjele optereenja ili nejednolike geometrije ljuske, npr. promjene debljine ljuske(e) koncentrirane sile membrana ne moe preuzeti(f) membrana ne moe preuzeti linijsko optereenje osim linijsko optereenje zadano po rubovima(g) oslanjanje ljuske koje ne odgovara membranskim uvjetima(h) podruja u kojima ljuske nema zakrivljenost, takozvane ravne toke(i) diskontinuiteti u membranskim silama unutar konstantnog (pravilnog) hiparaPotrebno je na razliiti nain promatrati navedene sluajeve, ovisno o tome da li je mogue preuzeti djelovanja samo membranskim silama pri emu se javlja savijanje samo uslijed nekompatibilnosti deformacija (sluajevi (c), (d), (i)) ili je nemogua ravnotea sila bez momenata savijanja (sluajevi (e), (f), (g), (h)). - kada je mogue uspostaviti ravnoteu samo sa membranskim silama, dimenzioniranje ljuske je osigurano je prema 1. teoremu teorije plastinosti -statiki teorem- im nastanu pukotine uslijed momenata savijanja, opada savojna krutost na promatranom mjestu do pojave plastinog zgloba. - porast momenata savijanja u odnosu na membranske sile je mali - ljuska se primarno ponaa kao konstrukcija bez savojne krutosti sve do pojave sloma, ukoliko je osigurana dostatna duktilnost - eksperimentalna ispitivanja provedena u Stuttgartu na spremnicima koji su bili armirani prema membranskoj teoriji potvrdila su takvo ponaanje .LjuskeLjuske oblika mjehura od sapunice: imaju oblik koji bi se realizirao kad bi se iani model granica prostora uronio u sapunicu ove plohe se nazivaju i minimalnim plohama, jer se njima ostvaruje najmanja povrina ploha za zadanu granicu vlak u bilo kojem smjeru bilo kojeg elementa ovakve ljuske je konstantan ove plohe prikladne su za sloene granice prostora, a mogu se modelirati i na raunalu, s dodatnom prednosti mogunosti modifikacije plohe za proizvoljna funkcionalnadodatnom prednosti mogunosti modifikacije plohe za proizvoljna funkcionalna ogranienjaLjuskeLjuske slobodnih oblika: - plohe koje se ne mogu prikazati kao matematske funkcije -mogu se oblikovati temeljem fizikalnih modela ili generirati na raunalu primjenom optimizacijskih postupaka za proizvoljna ogranienja, kao to su granice prostora, mjesta oslanjanja, traeni gabaritii sl.LjuskeRestoran Los Manantiales u Xochimilco,(1958)Kapelica Lomas de Cuernavaca (1958)Ljuske: Drveni krov Park Paraiso, San Blas (Madrid)Ljuske: Drveni krov Park Paraiso, San Blas (Madrid)LjuskeLjuska krov tvornice ruma Bacardi (1960)Hiperbolina nesimetrina ljuskaLjuskePloaste i tapne ljuske: zamjena glatke plohe bilo koje ljuske sa: ili mreom zglobno spojenih tapnih elemenata (tapna ljuska) ili mreom zglobno spojenih ploa (ploasta ljuska)LjuskePloaste i tapne ljuske: geometrijsku krutost zakrivljene mree zglobno spojenih tapnih elemenata (tapne ljuske) moe se ostvariti samo ako mreu ine trokuti geometrijsku krutost zglobno spojenih ploa (ploaste ljuske) realizira se tako da se u pojedinom voru sijeku barem tri ruba susjednih ploaLjuskePloaste i tapne ljuske: Ne treba zaboraviti da elementi tapnih ljusaka preuzimaju samo normalne sile, a elementi ploastih ljusaka djeluju kao membrane to ukljuuje i posmine sile u ravnini ploe. tapne ljuske od elinih elemenata su mnogo tanje od betonskih ljusaka. Osnovni mehanizmi otkazivanja nosivosti su razne vrste izvijanja odnosno izboavanja (problem stabilnosti vitkih elemenata), izvijanje tapova, lokalno snapthrough izboavanje ilistabilnosti vitkih elemenata), izvijanje tapova, lokalno snapthrough izboavanje ili globalno izboavanje. Kod velikih raspona zakrivljenost je esto vrlo mala. Zbog netonosti izvedbe moe doi do lokalne nestabilnosti, to se obino izbjegava primjenom dvoslojnih konfiguracija.LjuskeOjaane kupole (braced domes): danas najea vrsta kupola velikih raspona ukupna teina im je od 4080 kg/m2, zajedno s pokrovom postoji vie geometrijskih oblika takovih kupola koje se razlikuju po diskretizaciji plohe kupole rebraste ljuske nastaju formiranjem plohe od mree meridijalnih rebara i prstenovarebrasta kupolaLjuskeSmjernice za oblikovanje ljusaka:a) Primarni nosivi sustav prijenos sila je membransko djelovanje.b) Oblik i dimenzije ljuske potrebno je prilagoditi optereenju. Ako djeluju koncentrirane sile, potrebno je podebljati ljuski ili predvidjeti rebra za prijenos naprezanjaLjuskeSmjernice za oblikovanje ljusaka:c) Debljinu ljuske je teorijski mogue odrediti prema naprezanjima u ljusci, jer naprezanja od vanjskog optereenja ne ovise o debljini ljuske. Ova tvrdnja je ograniena jer je membransko stanje naprezanja poremeeno dimenzijama ljuske, a ne samo nejednolikim optereenjima dimenzijama ljuske, a ne samo nejednolikim optereenjimad) Membranska naprezanja uslijed vlastite teine su neovisna o debljini ljuske kada je debljina ljuske konstantna. Debljinu je mogue smanjivati sve dok ljuska moe prenijeti vanjska optereenja sa dostatnom sigurnou protiv izboavanja.LjuskeSmjernice za oblikovanje ljusaka:e) Membrana treba imati membranske oslonce, odnosno sile na osloncima trebaju bitiuzdune sile i posmine sile smjetene u ravnini ljuske. Sile na osloncima okomite na ravninu ljuske uzrokuju savijanja na rubovima. Stoga se ljuske esto oslanjanju na tangencijalne pendl-stupove ili koso naStoga se ljuske esto oslanjanju na tangencijalne pendl-stupove ili koso na postavljene pomine leajeve (prenose samo silu u smjeru tangente na ljusku.) Ako je mogue samo vertikalno preuzimanje sila, potrebno je ojaati rub ljuske prstenom ili na neki drugi nain kako bi se preuzeo horizontalni posmik uslijed membranskog prijenosa sile. Deformacija rubova ljuske je pritom sprijeeno to uzrokuje dodatne posmine sile u ljuski..LjuskeSmjernice za oblikovanje ljusaka:f) Rubne uvjete je potrebno paljivo odrediti prema obliku ljuske, kako bi se uope mogao ostvariti membranski prijenos sila. Ako to nije ispunjeno tada ljuska prenosi sile kao savijena ploa. Oslonce je potrebno odabrati tako da se pri svakom moguem sluaju Oslonce je potrebno odabrati tako da se pri svakom moguem sluajuoptereenja ostvari kruto membransko stanje, a ne samo pri pojedinim kombinacijama i sluajevima optereenja. Stoga je slobodni rub rotacijske ljuske potrebno ojaati prstenom i kada se pretpostavlja da na tom rubu teoretski nema sila. Kada rub ne bi bio ojaan mogue su velike deformacije i momenti savijanja pod lokalnim djelovanjem optereenja.LjuskeSmjernice za oblikovanje ljusaka:g) Ljuske se najee dimenzioniraju samo na jednoliko kontinuirano optereenje vlastitom teinom i snijegom. Optereenje vjetrom se zadaje kontinuiranim plonim optereenjem. Ispitivanja u vjetrovnom tunelu su pokazala znatne razlike u naprezanjimaIspitivanja u vjetrovnom tunelu su pokazala znatne razlike u naprezanjima uslijed lokalnih utjecaja na ljuskama velikih raspona. Mogua je nejednoliko optereenje snijegom uslijed ienja krova ili pada dijela snijega sa krova. Stoga je ljusku potrebno dimenzionirati metodom konanih elemenata za lokalna i nejednolika optereenja.LjuskeSmjernice za oblikovanje ljusaka:h) Membranska ljuska je konstrukcija sa unutarnjim statiki odreenim sustavom. Ne posjeduje rezervu nosivosti kao zidovi kod kojih je mogua plastifikacija i duktilno ponaanje.duktilno ponaanje. Stoga je iznimno vano provesti detaljnu i tonu analizu silu.i) Tanke ljuske je potrebno konstruirati kao krute konstrukcije. Posebnu panju je potrebno posvetiti izboavanju i silama na deformiranom sustavu. LjuskePrimjer prorauna : Cilindrini rezervoarRezervoar sa temeljnom ploom pod hidrostatskim pritiskom vode:Prstenasta (radijalna) sila je proporcionalna horizontalnom pomaku toaka stijenke uslijed savijanja.LjuskeOptereenje vodom na stienke rezervoara: p = p0 (h x) / h Kod membranskog stanja naprezanja sile se preuzimaju prstenastim silama n =prgdje je:p0 hidrostatski pritisak vode na dnu rezervoara p0 hidrostatski pritisak vode na dnu rezervoarah visina rezervoara i vode u rezervoarux udaljenost promatrane toke od dna rezervoarar radijus cilindrinog rezervoara Radijalni pomak iznosi: w = p / C gdje je C = E d / r2Ljuske- deformacijska linija stijenke rezervoara pokazuje upetost ljuske u temelj - uslijed upetosti pojavljuju se u zidovima momenti savijanja mx, i poprene sile qx- oni uzrokuju prijenos dijela optereenja pB= mxII= E I wIVsavijanjem.- prstenasta horizontalno poloena armatura preuzima naprezanja pR= C w - prstenasta horizontalno poloena armatura preuzima naprezanja pR= C w- optereenje p se rastavlja na dva dijela pri emu se posmine deformacije kao to je uobiajeno kod ljusaka zanemaruju:pB+ pR= E I wIV+ C w = pLjuskePartikularno rjeenje diferencijalne jednadbe je membransko stanje naprezanja odnosno preuzimanje hidrostatskog optereenja prstenastom silama.Potrebno je homogeno rjeenje:E I wIV(1)+ C w(1)= 0Karakteristina duljina definira se izrazom:44 E ILC =Savojna krutost ljuske iznosi:Karakteristina duljina cilindrinog rezervoara:to je manja karakteristina duljina L u odnosu na duljinu ljuske h, to je manji doprinos savijanja u odnosu na prstenaste sile. 3112dI=2 240, 763r dL r d= = LjuskeUz pomo karakteristine duljine L mogue je homogenu diferencijalnu jednadbu nainiti bezdimenzionalnom i time olakati proraun:Tu diferencijalnu jednadbu moe se napisati i kao:xL=wL =44 4 (1)3 (1)4 41IV IVd d w dxL wd L dx d | |= = = |\ 4 0IV + =Potrebno je nai 4 nezavisne funkcije koje predstavljaju rjeenje problema rubnih uvjeta. Funkcije imaju oblik jako priguenih vibracija:-za praksu je dovoljno uzeti u obzir samo funkcije 1i 3, odnosno njihove linearne kombinacije 2i 4- kod vrlo kratkih ljusaka h < 3L potrebno je u obzir uzeti sva etiri lana, dakle uzeti u obzir etiri meusobno neovisna homogena rjeenja - prema dijagramu kod udaljenosti preko x = 3 L (kod betonskih ljuski L je oko 1,0 m ) od spoja ljuske sa temeljem utjecaj upetosti se moe zanemariti ( ) ( )1 2 3 4cos cos sin sin cos sin e e e e = = + = = LjuskeFunkcije rjeenja homogene bezdimenzionalne dif. jednadbe IV+ 4 = 0, gdje je = = = = 0 za LjuskeLjuskeTok sila u stijenkama vodospremnika cilindrinog oblika:a) zglobni spoj stijenke i temeljne ploe LjuskeTok sila u stijenkama vodospremnika cilindrinog oblika:b) stijenka upeta u temeljnu plouLjuskeTok sila u stijenkama vodospremnika cilindrinog oblika:c) Utjecaj ojaanja stijenke na dnu cilindra LjuskePrednapinjanje cilindrinog rezervoara: a) naprezanja od prednapinjanja su u ravnotei su sa unutarnjim pritiskom tekuineb) stijenka praznog rezervoara pod djelovanjem sile prednapinjanja Z LjuskePrednapinjanje cilindrinog rezervoara: Prednapinjanjem natega na silu Z = p r preuzima se unutarnji pritisak tekuine p.Silu prednapinjanja Z je potrebno poveati zbog puzanja i skupljanja betona. Tada puni rezervoar za vrijeme t = nema prstenastih naprezanja jer se ponitavajupritisak tekuine i naprezanja od prednapinjanja. pritisak tekuine i naprezanja od prednapinjanja.Rezervoar se prednapinje na veu silu ime se osigurava vodonepropusnost i sprjeavaraspucavanje betona : Z = p r + 0 d0= 0,50 do 1 MPa rezerva tlanih naprezanjaLjuskePrednapinjanje cilindrinih rezervoara i silosa:- dominantan prijenos sila ostvaruje se prstenastim vlanim silama