第八章 矩阵特征值计算 /* Chapter 8 Matrix Eigenvalue Problems */
计算矩阵的主特征根及对应的特征向量
Wait a second, what does that dominant eigenvalue mean?
That is the eigenvalue with the largest magnitude.
Why in the earth do I want to know that?
Don’t you have to compute the
spectral radius from time to time?
原始幂法
条件: A 有特征根 |1| > |2| … |n| 0 ,对应 n 个线性无关的特征向量 nxx
,...,1
思路:从任意 出发0)0(
0, 11
)0(
n
iii x
)0()1( A
n
iiii x
1
)1()2( A
n
iiii x
1
2
… … …
n
ii
k
ii
k
n
ii
kii
kk
x
xA
1 11
1
)1()(
| i / 1 | < 1
当 k 充分大时,有11
11
)1(111
)( , xx kkkk
这是 A 关于 1 的近似特征向量
)(1
111)(
k
kk xAA
1)1(
)(
)(
)(
i
ki
k
希望 | 2 / 1 | 越小越好。
引入矩阵 B A pI
规范化 /* normalization */
为避免大数出现,需将迭代向量规范化,即每一步先保证 ,再代入下一步迭代。一般用 。
1|||| ||max||||1
ini
v
记: |||||| )()( ki
k
k
则有:
1
0
)(
)0(1
)1(
)1()1(
||||1
k
s
si
k
ki
kk
sk v
vAvvu
1
0
)(
)0()1()(
||k
s
si
kkk
sv
vAuAv
|| )(
)()(
ki
kk
kvvu 1x
)()1(
)(
1 1
kik
i
ki
kv
u
v
反幂法 /* Inverse Power Method */
Ch.5 Power Method –Inverse Power Method
若 A 有 | 1 | | 2 | … > | n | ,则 A1 有对应同样一组特征向量。
11
111 …
nn
A1 的主特征根 A 的绝对值最小的特征根
Q: How must we compute in every step?)(1)1( kk A
A: Solve a linear system with A factorized.)()1( kkA
若知道某一特征根 i 的大致位置 p ,即对任意 j i 有 | i p | << | j p | ,并且如果 (A pI)1 存在,则可以用反幂法求 (A pI)1 的主特征根 1/(i p
) ,收敛将非常快。
思路