第八章 矩阵特征值计算 /* Chapter 8 Matrix Eigenvalue Problems */

计算矩阵的主特征根及对应的特征向量

Wait a second, what does that dominant eigenvalue mean?

That is the eigenvalue with the largest magnitude.

Why in the earth do I want to know that?

Don’t you have to compute the

spectral radius from time to time?

原始幂法

条件： A 有特征根 |1| > |2| … |n| 0 ，对应 n 个线性无关的特征向量 nxx

,...,1

思路：从任意 出发0)0(

0, 11

)0(

n

iii x

)0()1( A

n

iiii x

1

)1()2( A

n

iiii x

1

2

… … …

n

ii

k

ii

k

n

ii

kii

kk

x

xA

1 11

1

)1()(

| i / 1 | < 1

当 k 充分大时，有11

11

)1(111

)( , xx kkkk

这是 A 关于 1 的近似特征向量

)(1

111)(

k

kk xAA

1)1(

)(

)(

)(

i

ki

k

希望 | 2 / 1 | 越小越好。

引入矩阵 B A pI

规范化 /* normalization */

为避免大数出现，需将迭代向量规范化，即每一步先保证 ，再代入下一步迭代。一般用 。

1|||| ||max||||1

ini

v

记： |||||| )()( ki

k

k

则有：

1

0

)(

)0(1

)1(

)1()1(

||||1

k

s

si

k

ki

kk

sk v

vAvvu

1

0

)(

)0()1()(

||k

s

si

kkk

sv

vAuAv

|| )(

)()(

ki

kk

kvvu 1x

)()1(

)(

1 1

kik

i

ki

kv

u

v

反幂法 /* Inverse Power Method */

Ch.5 Power Method –Inverse Power Method

若 A 有 | 1 | | 2 | … > | n | ，则 A1 有对应同样一组特征向量。

11

111 …

nn

A1 的主特征根 A 的绝对值最小的特征根

Q: How must we compute in every step?)(1)1( kk A

A: Solve a linear system with A factorized.)()1( kkA

若知道某一特征根 i 的大致位置 p ，即对任意 j i 有 | i p | << | j p | ，并且如果 (A pI)1 存在，则可以用反幂法求 (A pI)1 的主特征根 1/(i p

) ，收敛将非常快。

思路