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§1.3 矩阵的秩与矩阵的初等变换. 主要问题: 1. 自由未知数个数的唯一性 2. 相抵标准形的唯一性 3. 矩阵秩的性质 4. 满秩矩阵的性质. 一、矩阵的秩 定理 矩阵用初等行变换化成的阶梯形矩阵中,主 元的个数(即非零行的数目)唯一。. 定义 矩阵 A 用初等行变换化成的阶梯形矩阵中主元的个数称为 矩阵 A 的 秩 ,记为 秩 ( A ) 或 。. 例 求下述矩阵的秩. 解. 所以 秩 ( A ) = 4 。 ▌. 性质 (1) 秩 ( A ) = 0 当且仅当 A = 0 - PowerPoint PPT Presentation
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主要问题: 1. 自由未知数个数的唯一性 2. 相抵标准形的唯一性 3. 矩阵秩的性质 4. 满秩矩阵的性质
一、矩阵的秩
定理 矩阵用初等行变换化成的阶梯形矩阵中,主元的个数(即非零行的数目)唯一。
定义 矩阵 A 用初等行变换化成的阶梯形矩阵中主元的个数称为矩阵 A 的秩,记为 秩 (A) 或 。)(Ar
44138600
2030000
823210
112221
23
24
3
)5(
RR
RR
2030000
44138600
823210
112221
34R
所以 秩 (A) = 4 。 ▌
性质(1) 秩 (A) = 0 当且仅当 A = 0
(2) 秩 ( )≤min{ m , n }
(3) 初等行变换不改变矩阵的秩。
nmA
定义 设 A 是 n 阶方阵。若 秩 (A) = n ,则称 A 是满秩方阵;若 秩 (A) < n ,则称 A 是降秩方阵。
定理 满秩方阵只用初等行变换即可化为单位方阵。
二、矩阵的初等变换
矩阵初等行变换的推广: ( 1 )用一个非零数乘某一列的全部元素 ( 2 )一列的倍数加到另一列上 ( 3 )互换两列的位置称上述对矩阵列的处理为矩阵的初等列变换。
矩阵的初等列变换矩阵的初等行变换
矩阵的初等变换
定义 设 A 和 B 是两个同型矩阵。若 A 可通过有限
次初等变换化为 B ,则称 A 相抵于 B ,记为 A B 。
性质 矩阵的相抵满足:(1) 自反性:(2) 对称性:(3) 传递性:
AA
ABBA CACBBA ,
结论:矩阵相抵是同型矩阵间的一个等价关系
例 用初等变换化下述矩阵为相抵标准型
2614
3021
4212
1211
A
解
2230
2230
2230
1211
2614
3021
4212
1211
12
13
14
)2(
)1(
)4(
RR
RR
RR
A
0000
1000
032
10
034
01
21 )1( RR
0000
1000
0010
0001
13
23
)3
4(
)3
2(
CC
CC
0000
0100
0010
0001
34C
。
2222
1111
222
111
222
111
222
111
2
2,
3
3,
cbba
cbbaD
abc
abcC
cba
cbaB
cba
cbaA
例 已知矩阵
问 A 与 B 、 C 、 D 之间有何联系?
例 已知矩阵
332211
321
321
321
321
321
222
,
acacac
aaa
bbb
B
ccc
bbb
aaa
A
,
100
001
010
P
,
120
010
001
Q
问 P 与 Q 如何与 A 相乘可得到 B ?
解 因为对 A 作两次初等行变换可得 B ,而 P 与 Q 均为初等矩阵,所以应有 PQA=B 或 QPA=B 。
321
321
321
321
321
32121
ccc
aaa
bbb
ccc
bbb
aaa
A RR
B
acacac
aaa
bbbRR
332211
321
3212
222
23
又 对应 P , 对应 Q12R 23 2RR
BPAQQPA )(
性质 ( 1 )初等矩阵是满秩方阵且初等矩阵的乘积也是满秩方阵; ( 2 )对任一初等矩阵 P ,均存在初等矩阵 Q ,使 PQ = QP = I 。
定理 满秩方阵可表示成若干初等矩阵的乘积。
推论 满秩方阵的乘积也是满秩方阵。
▌
定理 设 A 与 B 是两个 m×n 矩阵,则 A 相抵于 B的
充分必要条件是:存在 m 阶满秩方阵 P 与 n 阶满秩方
阵 Q ,使 PAQ = B 。 定理 同型矩阵 A 与 B 相抵的充分必要条件是 秩 (A) = 秩 (B)
推论 矩阵的初等列变换也不改变矩阵的秩。
定理 ( 1 )秩 ( A ) = 秩 ( 2 )设 A 是 m×n 矩阵, P 是 m 阶满秩方阵, Q 是 n阶满秩方阵,则 秩 (A) = 秩 (PA) = 秩 (AQ) = 秩 (PAQ)
)( TA
例 设 A 是 4×5 矩阵且 秩 (A) =3 ,
0004
0043
0432
4321
B
求 秩 (BA) 。