Zur Theorie der hyperkomplexen Zahlen.

Yon EMIL ARTIN in Hamburg.

Die bisherigen Definitionen der hyperkomplexen Zahlen leiden an dem Nachteil, daft gewisse Zahlsysteme, ffir die die ganze Theorie gfiltig bleibt, nicht unter die Definition fallen. So bildet zwar der Restklassen- bereich nach einer Primzahl ein hyperkomplexes Zahlsystem, die Rest- klassen nach einer Primzahlpotenz fallen aber nicht darunter.

Eine Erweiterang der Definition, die auch noch diese Fi~lle umfa•t, ist nun in der Tat m(iglich. Eine zentrale Stellung nehmen dabei die Kettensi~tze fiber Ideale ein, deren Fruehtbarkeit ffir Fragen der Algebra zuerst yon Fraulein E. NOETHER erkannt worden ist.

Die folgende Darstellung. setzt eine gewisse Vertrautheit mit der gew(ihnlichen Theorie der hyperkomplexen Zahlen voraus, da die Beweise nur bis zu der Stelle ausgeffihrt werden, yon der an sie wie iiblieh laufen. Ffir diese restlichen Teile verweise ich auf die Literature).

Es mtige noch bemerkt werden, daft alle Beweise ungei~ndert giiltig bleiben, wenn man die Definitionen von Modul und Ideal noch dureh die weitere Forderung einengt, daft sie R-Moduln in bezug auf einen beliebigen, mit ihnen kommutativ verbundenen Ring R sein sollen.

Im zweiten Teil werden auch noch Eindeutigkeitssi~tze bewiesen, die meines Wissens bisher nicht beachtet worden sind. Die fibrigen Satze dieses Tells stammen yon Herrn WEDDERBURN, Satz 12 yon DICKSON 1),

1.

Unter einem assoziativen Ring ~ verstehen wir ein System yon Elementen, zwisehen denen eine kommutative, assoziative und eindeutig umkehrbare Addition, sowie eine assoziative und beiderseits distributive Multiplikation erkli~rt ist.

Eine Teilmenge ~ vor ~ heifie nun ein Modul, wenn mit zwei Elementen x und y auch x - - y zu ~0~ gehtirt. In dcr iiblichen Weise werden nun aus zwei Moduln !)~ und !I~ zwei neue Moduln ~l-{-!]~z und ~1 ~ abgeleitet, und zwar besteht, wenn man mit xl irgend ein Element aus ~ , mit x~ irgend ein Element aus 9 ~ bezeichnet, ~)ll -~ ~ 2

1) Vgl. etwa J. H. MACLAGAN WEDDERBURN, On hypercomplex numbers, t~ro - ceedings of the London Mathematical Society, Bd. 6, S. 77--]18~ L.E. DxcKso~ Algebras and their Arithmetics. Chicago 1923.

18 *

252 E. Artin.

aus allen Elementen der Form x1-4-x,, ~ 1 ~)ls aus allen Elementen der Form ~ x t x~.

Ist x ein festes Element yon @, y irgend ein Element des Moduls ~ , so bilden die Elemente der Form x y einen neuen Modul, der mit x ~ bezeichnet wird.

Das Zeiehen ~ < ~ mag bedeuten, daft ~ , im mengentheore- tischen Sinn Teilmenge yon ~ ist. Ist ~ sogar echte Teilmenge yon ~ , so sehreiben wir ~ .< ~2 .

Ein Modul ~ heiflt nilpotent, wenn es eine ganze Zahl n gibt, so dal3 ~ " ~ - 0 ist, das heil~t, wenn der Modul ~ n nur aus dem Element 0 besteht. Analog heiflt ein Element x aus @ nilpotent, wenn bei passendem n gilt x n = 0.

Ein yon 0 verschiedenes Element e yon @, ffir das e ~ z e gilt. heifit idempotent.

Unter einem Rechtsideal a in ~ verstehen wit einen Modul, fiir den a@ ,< a gilt. Analog wird der BegriffLinksideal erklart. Ist a sowohl Rechtsideal in @ als auch Linksideal in @, so nennen wir a Ideal in ~ . Im allgemeinen wird kein Mifiverstitndnis entstehen, wenn die Zusi~tze ,,in @" fortgelassen werden, wenn man also a Rechtsideal schlechthin nennt. Summe und Produkt yon Rechtsidealen Jst wieder Rechtsideal.

Wir setzen nunmehr yon unserem Ring @ voraus, daft in ihm der sogenannte Doppelkettensatz ffir Rechtsideale gilt, also die beiden folgenden Postulate:

1. Der ,, Teilerkettensatz" f i t r Rechtsideale: Ist ai eine Folge von Rechts- idealen und ai ~ a~ < a~ . . . , so gill yon einer gewissen Stelle ab das Gleichheitszeicben

2. Der ,, Vielfachenkeltensatz" f i ir Rechtsideale: Ist wieder ai eine Folge yon Rechtsid~alen und gilt al >= a~_ >= a3 . . . , so gilt auch hier yon einer gewissen Stelle ab das Gleichheitszeichen. Fiir Linksideale setzen wit die Giiltigkeit dieser Postulate n ich t

voraus. Unmittelbar kann man diesen Postulaten folgendes entnehmen: Sa t z 1: Zst ai irgencl eine endliche oder unendliche Menge yon Rechts-

idealen, so gibt es in der Menge mindestens ein ,,umfassendstes" Recbls- ideal ak, d .h . ein solches, welches yon keinem weiteren Rechlsideal der Menge umfaflt wird. Ebenso gibt es mindestens ein ,,kleinstes" Reehts- ideal al, welches kein weiteres RecMsideal unserer Menge umfaflt.

Wendet man diesen Satz an auf die Menge aller Summen yon je endlich vielen der Ideale ai, so erhalt man:

S a t z 2: Ist oi irgend eine Menge yon Rechlsidealen, so gibt es endlich t~iele unter ihnen: al, a2, . . . , an, deren Summe jedes weitere Rechtsideal der Menge umfaflt.

Zur Theorie der hyperkomplexen Zahlen. 253

Unabhi~ngig vain Doppelket tensatz gilt: S a t z 3: Sind al und a~ nilpotente Rechtsideale (Linksideale), so ist

al + a~ nilpolent. --~ "~ ~ 0. Man untersuehe (a~-4-a2)-+m. Aus- Beweis: Sei a 1 %

gereehnet, besteht dieses Reehtsideal aus einer Summe, deren einzelne

Glieder Produkte van n + m Fak to ren al oder a~ sind. In einem solehen Glied t r i t t entweder al mindestens n real oder aber a.. mindestens m real als F a k t o r auf. Ist e twa das erstere der Fall, so ha t das betreffende Glied die Form . . . al . . . a~ . . . a~ . . . . . . a~ . . . , wo zwischen den einzehmn a~ eventuell Fak to ren a.~ stehen k(innen und a~ mindestens n mal vorkommt. Da nun entweder a~ ~ _<_ a~ oder aber ~ a , ~ al ist, so folgt auf jeden Fall :

" " " a l " " " a l " " " a l " " . . . . a l ~ - " " " Q1 a l a i " " " a l . . . . . . . a ~ ~ + r . . . . 0 .

Analog verfiihrt man im zweiten Fall . Also: (at + a ~ ) ''~"~ = 0. S a t z 4: Es gibt ein un~assendstes nilpotenles Reehlsideal m, welches

jedes nil1~otente Rechtsideal als Teilmenge enthtilt, to ist Ideal und um- fa f l t auch jedes nilpotente Link~ideal.

Beweis: Der erste Teil folgt unmi t t e lbm-aus Satz 2 und Satz 3. Es sei also a nilpotentes Linksideal, etwa a 'n ~ 0 und @a =< a. I)ann ist (a@) "*+1 - - - - - a (~a )~ .@ ~ a . a m. @ ~ 0, also a@ nilpotent, a und

a | sind nilpotente Linksideale, also auch a-4-a@. Wegen (a + a@)@ ---- a ~ + a ~ _ ~ a ~ + a ~ ~ a ~ ~ a + a ~ ist aber a + a ~ Reehtsideal und demnach Teilmenge yon to. Somit a ~ - t o . Endlieh ist to nil- potent und to ~ ~ to, also ahnlich wie bei a ist ~ t o nilpotent. Als Rechtsideal ist ~ t o somit (da to maximal i s t )Te i lmenge von to, so dab to als Linksideal und demnach als Ideal e rkannt ist.

Ein Element x 4 0 aus ~ heifie nun linker Nullteiler ffir den Modul ~ , wenn es ein Element y :~ 0 aus ~ gibt, so dab x y - ~ - 0 ist.

S a t z 5: 1st a Rechtsideal und x a - = a, so ist x kein linker Null- teiler f i i r a.

Beweis: Aus x a ----: a folgt aue.h x n a ~ a. Ware nun x l inker Nullteiler, so gi~be es ein Element y~ ~- 0 aus a, so dail xy~ = 0 ist. Wegen xna ~ a kann man dann in a ein Element y,,+~ finden, so dab ~ y , + ~ ~ yt ist. Dann ist xnyn+~ ~- O, dagegen x "+ly"+~ = 0. Nun bildet die Menge aller Elemente z aus a, fiir die ~ " z ~ 0 ist, ersiehtlieh

ein Reehtsideal e~ in | und es ist r ~ r Da aber y,~+~ Element yon r nieht aber yon c, ist, gilt sogar r < r Dies widersprieht

dem Tei lerket tensatz ~). S a t z 6: I n jedem nicht nilpote~den Rechlsideal a gibt es mindestens

.in idempotentes Element e.

;) Den Orundgedanken dieses Beweises verdanke ich Herrn B. L. vA-~ DFmW~z~DE-~.

254 E. Artin.

Beweis: Man ideale in 6 , die Reehtsideal c dieser Nach Konstruktion

betrachte die Menge aUer nieht nilpotenten Rechts- a sind. Nach Satz 1 gibt es mindestens ein kleinstes Art. Dann geniigt es, unseren Satz fiir c zu beweisen. ist r nieht nilpotent, wohl aber jedes Reehtsideal

in 6 , welches in c enthalten ist. Da c ~ <~ c, so auch c ~ ~ c.

so ist xc <~ c. Da xr Rechtsideal nilpotent ist. Dies kann nieht fiir naeh Satz 2 und Satz 3 auch die w~tre, was besag~e, d a f c nilpotent aus r so daft x c - - - c ist. Nach

Ist also x irgendein Element yon c, aus 6 ist. folgt aus x r 1 6 2 daf xc jedes x aus c der Fall sein, da sonst Summe aller xc, also c 2 nilpotent ist. Es gibt also mindestens ein x Satz 5 ist demnach x kein linker

Nullteiler fiir c. Es ;ibt also bei gegebenem y aus c stets genau ein z aus c, fiir das x z - - - y ist. Insbesondere gibt es ein e, fiir das x e ~ x ist. Wegen r 0 und xc ~ r ist x : ~ 0 , also auch e 4 0 . Ferner ist x e --~ ( x e ) e ~ - x e 2. Aus der eindeutigen L0sbarkeit yon x e ~ x folgt nunmehr e--~-e", also die Behauptung.

Wir setzen nunmehr voraus, daf 6 nicht nilpotent ist, daf also fiir jedes n stets 6 ~ 4 0 ist. Da 6 Rechtsideal ist, gibt es nach Satz 6 in 6 mindestens ein idempotentes Element e.

Zu jedem solchen idempotenten Element e yon 6 gehtlrt nun in bekannter Weise eine PEmCEsche Zerlegung yon 6 :

Es sei 2 die Menge aller Elemente x yon 6 , ffir die x e ~ 0 ist, !~ die Menge aller Elemente von 6 , ffir die e x - - - 0 ist, und E der Durchschnitt yon 92 und ~ , also die Menge aller Elemente, fiir die e x - ~ x e ~-- 0 ist.

Da nun identisch f~ir jedes x gilt:

(1) x - e x e ~ - e ( x - - x e ) + ( x - - e x ) e - ] - ( x - - e x - - x e + e x e )

und man mtihelos (wegen e ~ ~ e) feststellt, daf x - - x e zu 92, x - - e x zu !~ und die letzte Klammer zu (~ gehth-t, so folgt:

(2) 6 = e ~ e - T t - e 2 [ - t - ~ e - ~ - ~ .

Man fiberlegt auferdem leicht, daf die in (1)gegebene Zerfi~llung yon x in die der Formel (2) entsprechenden vier Komponenten die einzige ist. Aus der Definition yon 2 und !~ geht noch hervor, daft ~I Linksideal und ~ Rechtsideal in 6 ist. Da ferner jedes Element von e 6 e die Form y z e x e hat, folgt e y ~ y e ~ y , so d a f e die Haupt. einheit im Ring e 6 e ist. Die Definition zeigt noch, daf E ein Ring ist.

Alles Weitere beruht nun auf dem Nachweis yon: S.atz 7: I n den R i n g e n e 6 e u n d ~ g i l t der Doppe l ke t t ensa t z f l i t

Rech t s idea le i n diesen tgin.qen.

Zur Theorie der hyperkomplexen Zahlen. 255

Wir werden nitmlieh jedem Rechtsideal im Ring e~e in eindeutiger Weise ein RechtsideM in ~ zuordnen, und zwar derart, dab verschiedenen Reehtsidealen in e~e auch verschiedene Rechtsideale in ~ entspreehen und dab zwei Rechtsidealen a~ und a2 in e~e, ffir die a ~ a ~ gilt, auch wieder Rechtsideale in ~ entsprechen, die der gleichen Ungleichung gentigen. Da dann jede Kette von Rechtsidealen in e~e auf eine analoge Kette von Rechtsidealen in ~ fiihrt, wird unser Satz bewiesen sein. Genau dasselbe wird vom Ring E gezeigt. Die Zuordnung aber wird so gewonnen:

1. Sei a Rechtsideal in e| also: a ~ e ~ e und a . e ~ e ~- a. Da e Haupteinheit in e| ist, folgt ae~---a, also a ~ = a . e ~ = 0 und a ~ ----- aef~ = O. Somit nach (2): a ~ = a . e ~ e + a . e ~ J l

= a . e | Also ~ = a + a | ~ is tRechts ideal in ~, denn ~ = a ~ ~ o. Ferner ist ~e = a e + a ~ e = a, so da~ a durch ein bestimmtes Verfahren aus -d zurtickgewonnen werden kann. Damit ist alles gezeigt.

2. Se i cRech t s idea l in~ , a lsoc(~fs c E ~ c . Dannis t c e - - - - e r a l s o c ~ = c ! ~ e ~ c ( ~ u n d d e m n a c h - ( - - - - - c + c ~ = c ~ e + c . Wieder ist ~Rechtsideal in ~ und c die Menge aller Elemente x aus ~, ftir die x e = 0 ist. Ein Ring ~ ~ 0 ohne nilpotentes Ideal (auBer dem 0-Ideal) heil~t

halbeinfach. Wegen Satz 4 enthMt ~ dann auch keine nilpotenten Rechts- ideale und Linksideale.

Sa tz 8: Ist ~ halbeinfach und e idem~votent, so sind die beiden

Ringe e| m~d ~ halbeinfach (ff~ nur dann, wenn E ~ 0 ist). Beweis: 1. Sei a Rechtsideal in e| und a ~ ~--O. Sei ferner

~ - - a + a ~ = a + a 9 / = e a + e a ~ das im Beweis von Satz 7 zuge- ordnete Rechtsideal in ~ . Da ~Ie = 0 ist, erhis man ~ '~= ( ea+ea~l ) '~ = a n ~ - f l n - l o ~ ~ - O. Da aber | halbeinfach ist, folgt ~ - 0 und wegen a ~ K auch a = 0.

2. c sei Rechtsideal in E, c ~ - - 0 und wie vorhin c = c + c ~ - - c ~ e + c . Da ec == 0 ist, folgt ~-n= C n - ~ c n - - l c ~ e = O. Also wieder -c ~ - 0 und somit c = O.

Satz 9: 1st a ~ 0 Ideal im hcdbeinfachen System ~, so besitzt a (als J~ing anfgefaflt) eine Haupteinheit. Es gibt also ein Element e aus a yon der Art, daf l f i i r jedes x a~ts (i gilt ex = xe =: x . [;berdies ist dann fl = e ~ .

Beweis: Da ~ halbeinfach ist, ist a nicht nilpotent. Nach Satz 6 enthalt also ~ mindestens ein idempotentes Element e. Fiir jedes solche e ist eta Rechtsideal. Nach Satz 1 k0nnen wir uns e so gewMflt denken, dab das Rechtsideal ea yon keinem weiteren Reehtsideal dieser Form qmfa~t wird. Es sei nun (2) die zu diesem e geh0rige PEmCEsche Zer-

256 E. Anin.

legung van ~ und o~, as, as, a4 die Durehsehnit te van a mit e~e , ~I, !$, ~. Is t x Element van a, so zeigt (1), d a a Ideal ist, da~ die vier Kom- ponenten van x auch zu a gehCiren, so daft man die Zerf~tllung

(3) a ---- a t + e a s - r a a e + a 4

erhalt. Darin ist az Linksideal, as Rechtsideal ill ~ , wfihrend e a~ --=- ale =-- at und a s e ~ e a s - - - - e a 4 ~ a 4 e ~ 0 ist.

Nun ist a4"~ ts Da (~ ein Ring ist, folgt 0 4 ~ ~. Da aber

a Ideal und 04 "~ a ist, ~muf a4~ =<_ a sein. o4~ liegt also in a und E, so daft a4E : ( a~,,,a4 also Rechtsideal in (~ ist.

a4 mul~ nilpotent ~ein. Anderenfalls gabe es namlich in a4 nach

Satz 7 und Satz 6 ein i,,,empotentes Element e'. Als Element van a4 hat te e' die Eigensehaft , daft e e ' ~ e 'e ~ - 0 ist. Also ware aueh e x : e-~-e' idempotent und e~ e ~- eel ~- e, e'et ~- e~ e'=~ e'. Da e und e 'zu a geh0ren, geh0rte auch e~ zu a, und man hat te e a --~-- el e a ~ e~ a. Aus der Maximal- eigenschaft yon e folgte also e a ~ eta. Da et e' - - e' in ex a liegt, gibt es ein z, so daft ez ~ e' ist. Dann aber ist e' ~ e'. c'---- e'. ez -~ 0 ent- gegen Voraussetzung.

a4 ist demnaeh nilpotentes Reehtsideal in ~, nach Satz 8 also n~ ~ 0.

Wegen e a 3 a ~ a s a s e ~ O ist a s a ~ ( ~ . Da such a s a ~ o , so mu~

aa as ~ a4 ~ 0 sein. Nun folgt (as a3) s --- as as as aa ~ 0. Als nilpotentes Ideal in ~ muf also a, aa ~ 0 sein. Aus (3) ergibt sieh nun wegen a ~ e a ~ - ~ a t e , d a f a s a - ~ - 0 , a a a - ~ O ist. D a n u n o 2 ~ a u n d a s ~ a , so ist erst reeht a~ z a2 a2 ~ a2 a z 0 und a 3 a a ~ a a a ~ 0. Als nii- potentes Linksideal bzw. Reehtsideal muf also a~ z a3 =: 0 scin, was zusammen mit a4 ~ 0, a - - a~ ergibt. Wegen a~ ~ e | e ist alles bewiesen, da e ~ e die Haupte inhei t e besitzt. Wegen e ~ a und der Idealeigen- schaft yon a ist dann noch e ~ ~ a; andrerseits ist a ~ ea ~ e~ , so dail a ----- e ~ ~ @ e sein muff.

In der iiblichen Weise folgt nun die Zerlegung van ~ in eine direkte Summe eilffacher Systeme. Dabei h e i f t ein System ~ einfach, wenn es in ~ a u fe r dem 0-Ideal und ~ selbst keine Ideale gibt. Da

der Beweis sich nunmehr wtirtlich fibertragen laf t , k0nnen wir ihn iibergehen.

2.

Wi t gehen nun zur Betrat 'htung primarer Ringe mit, Haupteinhei t fiber und definieren:

1. E in R ing ~ mit Hauph4nhei t heiflt primiir, wenn ,]e(h~ co~ ~ cer- sehivde~te Ideal nilpotent ist.

2. E in R ing ~ mit Haupteinheit heiflt vol ls t i i ,do primiir, wenn jedes ran ~ verschiedene Rech_tsideal nilpotent ist.

Zur Theorie tier hyperkomplexen Zahlen. 257

Mall zeigt leieht: Sa t z 10. E i n R i n g ~ mi t Haup te inhe i t e ist d a n n u n d n u r d a n n

vollst~indig pr imi i r , w e n n es in ~ aufler e kein idempotentes E l emen t gibt.

Beweis: 1. Ist e ' 4 0 aus ~ idempotent, so liegt im Reehtsideal e ' ~

das idempotente Element e' = e'e, es ist also e ' ~ nicht nilpotent. Dies zieht e '~ = ~ nach sich. Da e in ~ liegt, gibt es ein z, so daft e 'z = e

r ~

ist. Dann aber ist e'e =- e'2z = e z -~- e. Andererseits, da e die Haupt- einheit ist, ist e ' e ~ e' . Also ist e ' = e.

2. Es enthalte ~ nur das idempotente Element e; a sei Rechtsideal in ~ . Wenn a nicht nflpotent ist, enthalt a ein idempotentes Element, also e. Da a Rechtsideal ist, liegt mit e auch e ~ in a. Da a b e r e die Haupteinheit von ~ ist, folgt a - - @, womit ~ als vollst~ndig primar erkannt ist.

Den Zusatz ,mit Haupteinheit" wollen wir nun immer weglassen. Nun sei ~ ein primi~rer Ring und e seine Haupteinheit, Wir

wahlen ein idempotentes Element el yon der Art, daft das Rechtsideal et kein weiteres Reehtsideal in ~ der gleichen Form enthalt. Dann gibt es in e~ ~ e~ au~er ex kein idempotentes Element. Denn ist e2 idempotent aus e~e~, so ist etwa e2 =- etze~ also exe~ : e~ = eje~. Somit e ~ < e x e j ~

et ~ . Wegen der Minimaleigenschaft yon e~ ist dann e~ ~ = ex ~, also etwa ex - - e~ y, woraus e~ et = ex f01gt. Demnach ist e~ el : e.~ = e~. Der Ring e~ ~ex ist somit vollst~ndig primer. Ein idempotentes Element e~, ffir das et ~e~ vollstandig primer ist, wollen wir nun primitiv nennen. Die Existenz solcher primitiver idempotenter Elemente wurde dann eben gezeigt.

Es seien nun el, e~, e~ drei primitive idempotente Elemente von ~. Wir setzen ~i~ : e i ~ e k und bezeichnen mi t xi~ irgendein Element yon ~ . Nun ist ~ e i ~ ein Ideal in ~ , welches ein idempotentes Element ei e; ei = ei enth[dt, also nicht nilpotent sein kann. Da ~ primi~r ist, muB ~ e i ~ - - ~ sein. Daraus folgt:

(4) ~ik ~kt ~--- ei ~ ek ~ el = ei ~ el = ~i t .

Nun ist J!ik ~ki <if- ~ ik ~h'i = ~i i nhd Xik ~ k i " ~i i : Xik ~ki. Also ist x i k ~ k i Reehtsideal in ~ii . Wenn x i k ~ a ~. ~ i i ist, muB also, da ~ii vollstandig primi~r ist, xi~ ~ nilpotent sein. Dies kann nicht fiir jedes xik der Fall sein, da sonst nach Satz 2 und 3 auch die Summe aller x~ ~ i nilpotent ware; diese Summe ist aber ~ ~ i := ~ii. Also gibt es sicher ein xi~ aus ~i~., fib- das xi~ ~,.i --= ~,ii ist. Ein solehes Element yon ~n, wollen wir regular nenlmn. Dann ist xi~ ~u,. = xi~ ~ i ~ i r

- ~ | ~i,. : ~i~. Zu vorgegebenem xi,. aus ~i,. li~l~t sich also bei regularem :c~z,. stets ein xz,-,-bestimmen, so daft xi~ x~,,. = xi,. ist. Endlich zeigen wir:

258 E. Artin.

Is t xk,. regular und xi~ :l: O, so ist xik x ~ # O. Aus xi~, x ~ = 0

folgte namlich nach Multiplikation mit | dal~ xi~ @~ = 0, in~besondere also x ~ . el, = xi~ ---- 0 ist.

Es sei nun el primitives idempotentes Element. Dann ist e' = e--e~ auch idempotent und e'e~ ~--- e ~ e ' = 0. Im Ring e ' ~ e ' suche man nut, ein idempotentes Element e~ yon der Art, daft das Rechtsideal e , ~ mtiglichst klein ist. D a n n ist Denn liege in e~ S e~ noch ein da e~e.~ : e ' e ~ e ~ e ' ~ e ' ~ e '

e~@ : e.,| was wie vorhin

auch e~ primitiv und e~e~ = e~e, = 0. 1 idempotentes Element ez, so hat te man,

ist, zufolge der Minimalforderung wieder auf einen Widerspruch ftihrt. Nun setze

man e" = e - e, - -e~ . Sollte e" ~: 0 sein, so suche man in e " ~ e " ein primitives idempotente: Element. Da die Rechtsideale e | e'@, e " | immer kleiner werden, mug der Proze~ abbrechen. Man erhalte etwa n primitive idempotente Elemente ei. Sie annullieren sich gegenseitig u n d e s ist

{5) e = el + e~ + . . . ~- e,~; ei ek = (~ik ek,

W0 ~ii ~--- 1, tiik = 0 ftir i =~: k ist. Man setze wieder ei @ek -= | und wahle fill" i =~ 1 aus | ein

regulares Element eil. Ferner setze man ea = ei. Nun bestimme man eli aus @1i so, daft eil eli = e i i ist. Das Element exi eil ist 4 0, da eil

regular ist. Ferner ist ( e l i e i l ) ~ -~- e l i . ea e,i . e i l : e u ei e i t : e l i ei l ,

also ist eli eil idempotent aus | Da in | nut das idempotente Element e~ liegt, ist eli en == el. Nun setze man eik = ell elk. Dann ist eik ekr : e i l e l k ek l e l f = e l l e l e l f = e i l e l f : e l : . Insbesondere ist also e~k eki = e l i , also eik :~ 0. Ist aber k ~ r , so folgt aus elk - - elk" ek.

daft eik e~s - : eik ek e,.s =--0 ist, denn es ist ek e,. = 0. Demnach gelten die Formeln:

(6) eik e,.s = : ~'kr e i s .

Gelten nun fiir eiu System e~k yon m ~ Elelnenten die Formeln ! ! I t l !

e~k e~, = ~k,. eie, ist e i i = ei primitiv nnd die Haupteinheit e = e~ ~ e~ ~- ..- �9 . . + e~, so sei etwa n ~ m. Man wahle aus e~| irgend ein regulares Element a. Da e ~ e ~ . e'l ~ e l = e l s e 1 ist, kann b a u s e ~ e l so bestimmt werden, da[3 a b = - e ~ ist. Dann i s t e l a - - a e ~ - - - a u n d e ~ b = b e l = b ; ferner ist (b a) 2 - - b a b a = b e~ a = b a =~ 0, da a regular ist. Also ist b a idempotentes Element aus e ~ | Da e~ primitiv ist, folgt b a = d .

n

Man setze nun x = ~ e,.1 ~ e ~ , , ; y : ~ e,.l' be1,. und findet: v : l I ' = 1

n

27 ' ' 2 : ' . l ' t] = e,.1 ( IcD. es.1 bel,, ~ - e, . l ( t e l bel,. I ' l l I * = 1

27 Ze,,,.--e.

Zur Theorie der hyperkomplexen Zahlen. 259

Also ist x + - - x + . ~ ~ x y + - - ~ und d e m n a e h x + --- ~ . Es ist

also x kein l inker Nulltei ler in + . Aus x y . x - ~ e x - ~ :, ~ x e folgt je tz t x ( y x - - e ) ~ O, also y x ~ e. Daraus erhfilt man:

! ! ! e - - y x -~- bevy e~,l

�9 ' ~ 1 ~ ' ~ 1

D a urspriinglieh e = ,~Y e,.,,' war, folgt je tzt vermt)ge e} ek =: $;g ek, ~ ' ~ 1

daft m - - n sein mu6. Ganz analog geht man im Fal le m r n vor;

man findet wieder m = n , so daft n eine Invariante yon ~ ist. Nun

ze ig t sich, daft (y = x -1 gesetzt ) :

n • E l l t I

,7 " - 1 e i k X ~ erl beD, �9 C i k �9 el.el a ~ l g ~ - ell bell � 9 �9 r aClk ~ ' - - 1 p = l

ist, woraus mall x - I e ~ k X - e~t~ errechnet. Dies zeigt uns, da6 nmn aus den Matrizeneinheiten em jades andere System mit denselben Eigen- schaften durch einen inneren Automorphismus yon | erh~lt. Mall hat damit einen Uberblick iiber alle mOglichen Systeme ei~. gewonnen.

Legt man nun der weiteren Betrachtung ein festes System yon e;~: zugrunde, so lassen sich die weiteren Schlfisse w6rtlich iibertragen. Bedeutet -- den Ring der mit jedem eil: vertauschbaren Elemente yon ~ , so findet mall, da6 -~ isomorph ist mit ~ u . Damit ist .~ als vollstiindig prim~tr erkannt. Ferner ist ~ das direkte Produkt yon .~ mit dem System der ei/,. Legt man nun an Stelle yon e~k die Matrizeneinheiten w -~ elk x zugrunde, so tritt an Stelle yon .~ alas isomorphe System x -~.~x.

Wir haben also: Sa t z 11. Ein primiirer icing ~ mit Haupteinheit ist dircktes

Produl,'[ eines vollstiind~q primiiren Rin.qes ~, mit cinem ,S~lstcm yon llIatrizeneinheite~. Z w d rerschiede~m Z(q'lequngen'lassen sich durch einen inneren Automo~Thismus yon ~ in ei~andcr iil>e~'ihre~, htsbesondere ist also ~ isomo~7~h mit dam System aller Mab'izen eines .qewisseu Grade.,: ~. <lere~ Elemente die Eleme~de ei~es vollsl6ndig primiiren Ri~Tgs darchhmfen. Der Grad <let Mat~'i?.vu sowie dic Struktur des voll.~tiind 0 primiiren Rings himge,~t nm" yon ~ ab, sind also In,'(~rianlen yon ~ .

Ist umgekehrt -~ ein vollstfindig 1)rimfirer Ring, ~l: irgendwelehe Elelnente yon -- und eil, ein System yon n 2 Matrizeneinheiten, so bildet

das System ~ aller Elemente (lel' Form x ---~ ~_~ ~il,:eik einen 1)rimiiren i ] I , ' ~ l

Ring. wenn die, Elemente yon ,~ lnit jedem el/, vertausehbar sind und sonst keine lineare Relation zwischen den Elementen $ nnd den eik besteht. Man findet niimlich leicht, da6 ein hteal a in ~ aus allen Elementen

260 E. Artin.

x ~ ~,~ ~ :il~eik besteht, wo die .~k alle Elemente eines Ideals ~ in durchlaufen.

Geht man zum Restklassenring modulo a fiber, so folgt aus dieser Uberlegung noch, dab die Zerf~tllung dieses Ringes ~ mit Hilfe des gleichen Matrizensystems eik erfolgen kann (falls a :~ | ist).

Von diesem Satz gilt auch noch die Umkehrung: S a t z 12: Es sei ~ primiir, a :~ ~ nilpotentes ideal ~lnd ~ der

(ebenfalls primdre) Restklassenring modulo a. Bedeuten die Eik ein System yon Matrizen~inheiten zur Ze~J'dllu~g yon ~ , so kann man in ~ ein Matrizensystem elk finden, welches zur Ze~figllung ~o'n ~ ~:erwendel werden kann, und wo eik in der Restklasse Elk liegt.

Beweis: Es sei e irgend ein zur Zerf~tllung yon ~ verwendbares Matrizensystem, E ' ik die Restklassen yon elk. Vermtige unserer friiheren Uberlegung iiber die Struktur der Ideale kann E ' ~k zur Zerfallung VOl).

verwendet werden. Nach Satz 11 gibt es also eine Restklasse X. so daft Elk ~ " ' X -1 XE ik ist. Nun wahle man in X ein Element x nnd in X -1 tin Element y. Dann ist xy-----e (modo), also x y = - e ~ - a , wo a zu a geh0rt, also nilpotent ist. Demzufolge bricht die unendliche Reihe c - - a ~ - a ~ - - a s ~ - . . . ~ b ab, und es ist (e~-a).b~---e. Also ist x(yb) ~ e. yb-~=y (rood a) und yb ~ x -~ in der Restklasse X -1.

! - - 1 Demnach liegen die Matrizeneinheiten e l k - ~ - x e i k x in den Rest- klassen Eo,, und alles ist gezeigt.

Von Nutzen sind auch noch folgende leicht beweisbare Tatsachen: S a t z 13: Das Zentrum des primdren Rin.qes ~ ist das Zentrum

des volistiindig primdren Ringes --. Sa tz 14: Ist ein rollstiindig primiirer Ring halbeinfach, so besitzt

er keine Nullteileq'. I n einem beliebigen vollstdndig primiiren Ring ist auch jedes yon ~ verschiedene Linksideal nilpotent.

H a m b u r g , Mathematisches Seminal', Januar1927.