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Z u r D i r a c s c h e n T h e o r i e y o n P r o t o n e n u n d E l e k t r o n e n .

Von G. L Pokrowski in Moskau.

Mit 3 Abbildungen. (Eingegangen am 26. September 1930.)

In der vorliegenden Mitteflung werden einige seheinbare Schwiarigkeiten der Theorie von Dirae besproohen und gezeigt, dab aus dieser Theorie die Existenz einer oberen Grenze fiir die Energie eines Quants folgt, was der Verfasser sohon frtiher in anderer Weise festgestellt hat. Ebenso folgt aus der Theorie yon Dirae , da[3 jede Bewegung zeitlioh gequan~elt werden kann, worauf friiher

G. Beck hingewiesen hat.

Ktirzlich hat D i r ae eine einheitliche Theorie von Protonen und

Elektronen vorgeschlagen*, dutch welche einige Ergebnisse der Arbeit

yon G. Beck** und einiger _&rbeiten yon

mir*** erkl'~rt oder wenigstens anschaulich

illustriert werden kSnnen.

Die Grundidee yon Di r ae kann mi~ rnacz dem Schema in Fig. 1 erlt~utert werden. -rnocs: X sei bier eine beliebige Raumkoordinate

und E sei die gesamte Energie eines Elek-

trons. Aus der Formel

• 1 c~

E

I

~//////////~//////~.

X

Fig. 1.

ist ersichtlich, da~ alle Werte yon E mSglieh sind, welche den Ungleichungen

E > m o c ~ und

E < - - m o c a gent~gen.

Zwischen diesen Energieniveaus liegt eine ,,verbotene" Zone, in welcher

sich kein Elektron befinden kann. Nun m~tssen die meisten Elektronen

sich auf dem niedrigst-m5glichen Niveau befinden. Es seien alle mSglichen

Zustt~nde in allen Elementarzellen des Raumes bis zum Niveau En dutch

Elektronen besetzr Dabei mfissen gemt~$ den thermodynamischen Gesetzen

* P. A. M. Dirae , Prec. Roy. See. London (A) 126, 360, 1930. ** G o t t f r i e d Beok, ZS. f. Phys. 53, 675, 1929.

*** G. I. P o k r o w s k i , obenda 51, 730, 737, 1928. Zeitschrift far Physik. Bd. 66. 9

130 G.I. Pokrowski,

dabei ist

die oberon Elektronen sich im allgemeinen auf einem u~d demselben Niveau befinden. Man wird hier also eine Art yon Fliissigkeitsoberfl/iche unter Wirkung yon Gravitation haben. Nur ganz selten kSnnen auf tier Ober- fl/iehe Lficken vork0mmen, die aaeh Dirae nichts anderes als Protonen sind. Die entspreehenden Elektronen miissen dann dureh Strahlungs- absorption (oder auch anders) in das Gebiet der positiven Energie gehoben sein, da im Goblet der negativen Energie (zwischen den Niveaus --moc ~ un~ E,) keine stabilen Quantenzustiinde bekannt sind. Irn Gebiet der positiven Energie kSnnen dagegen diese Elektronen in gewissen stabilen Zust/~nden existieren.

Im Gebiet der negativen Energie miissen die Elektronen die Eigen- schaft haben, nur dann in einem stabilen Zustande sieh zu befinden, falls alle niedrigeren Quantenzust/inde mit Elektronen besetzt sind. Die gesamte Zahl der niedrigsten Quantenzust/inde und die gesamte Zahl yon Elektronen steht nun in einem solchen Verh/iltnis, dab nahezu alle P1/~tze bis zum Niveau E . besetzt sind. Man hat hier also eine Art von ,,Elektronenozean", dessen Oberfl/iehe streng definiert ist*, obwohl die ,,Tiefe" unbekannt bleibt. Auf eine Schwierigkeit der Theorie von Dirac hat Tamm** hin- gewiesen. Es ist n/~mlich relativ sehr wahrscheinlich, dab ein Elektron aus dem Goblet der positiven Energie bis zum Niveau En herunr Dabei miissen dies Elektron und das entsprechende Proton sieh neutralisieren unter Aussendung entsprechender Strahlung. Eine solehe Erseheinung ist aber im allgemeinen erfahrungsgem/iB sehr wenig wahrseheinlieh. Dieser Widersprueh ist jedoch nur ein scheinbarer und zwar aus folgenden Grfinden:

1. Der Impulssatz fordert, dal~ bei dem genannten Prozel] wenigstens zwei gleiche Strahlungsquanten emittiert werden. Das kSnnte abet nur dann mSglich sein, falls ein entspreehendes Energieniveau zwisehen m o c 2 und E,, zu linden w/ire. Es ist leieht zu zeigen, dat~ dies Niveau Ex sieh im Gebiet der negativen Energie befinden mfiBte. Man hat n/imlieh im einfaehsten Falle:

eg 1. V:Ae ~

* Es ist klar, dab En = -- Me c: sein muff, wobei Me die Protonenmasse bedeutet.

** Ig. Tamm, ZS. f. Phys. 62, 545, 1930.

Zur Diracschen Theorie yon Protonen und Elektronen. 131

wo M o die :Ruhemasse des Protons bedeuteL

da M o > - -

+

m o

C 2

Daraus folgt

m~ Mo)

1 d

2

0 2

= /~ < 0,

ist, falls die Gesehwindigkeit des Elektrons nicht zu

gro~ ~.rd*. Da im negativen Gebiet aber keine stabilen Zustgnde be- kannt sind, so ist tier beschriebene ProzeB unmSglich.

2. Damit eine beschriebene Vereinigung yon Protonen und Elektronen mSglich wgre, ist g e m ~ dem Gesagten eine Zusammenwirkung yon mehr als zwei Teilchen nStig. Eine solche Zusammenwirkung kSnnte sich relativ sehr wahrscheinlich in den Atomkernen vollziehen. Dann kSnnte ein Strahlungsquant

h v > _ m o c 2 - - E,,, = ( too + M o ) e ~'

emittiert werden. Ein solches Quant wgre aber ~rinzipiell unbeobachtbar. Dies Quant kOnnte ein jedes Elektron yore Niveau E,~ in das positive Gebiet heben. Da die Zahl der Elektronen auf dem Niveau E , sehr groB ist, mfil~te das genannte Quant sehr schnell absorbiert werden. Diese Absorption wiirde wieder zur Bildung yon einem Proton und einem Elektron fiihren. Man kSnnte dabei also nur yon einer Verschiebung des Protons bzw. Elektrons sprechen. Die genaue Lage des Protons kann abet kaum exakt definiert werden. Somit wird die bei solchen nacheinander folgenden Prozessen entstehende (der Brownschen/~hnliche) Bewegung nicht beob- achtbar sein.

Aus dem soeben Gesagten folgL dab alle Quanten, fiir welche die Ungleichung

h v ~ (m o + Mo) c ~

gilt, sich nicht auf grS~ere Streeken fortpflanzen k6nnen und deshalb prinzipiell unbeobachtbar sind. Somit ist ~hier eine Grenze % fiir jede mSgliche Frequenz einer Strahlung gesetzt. Es ist also

(too + Mo)~ v~ = h '

* Weiter wird ersichtlioh sein, dab dieser letzte Fall auch kaum mSglich sein kann, da es sehr unwahrsoheinlich ist, ein entsprechendes Energiequan~ z u e r h a l t e n .

9*

132 G.I. Pokrowski,

oder angen~hert M o c a

% ~ h "

Das ist die Formel, auf welche ich schon vor einiger Zeit hingewiesen babe*.

Nach der Theorie yon Di rac mut~ die Bewegung eines Protons dutch den Ubergang der Elektronen mit negativer Energie aus einer Elementar- zelle in die nachsCe bedingt sein.

Diese ~berg~nge mtissen wahrscheinlich als Quantenspriinge aus einer Elementarzelle in die n~chste betrachtet werden. Unter den Dimensionen

der Elementarzellen mu~ man dabei die mittlere Entfernung zwischen zwei Elektronenzentren auf und unter dem Niveau E,, vers~ehen. Die grSl3te mSgliehe Geschwindigkeit ist c. Deshalb erh~lt man fiir die kiirzeste mSgliche Zeit zwischen zwei nacheinander folgenden Spriingen den Zeit- abschnitt

O '~o C

wo 2 o die Dimension einer Elementarzelle bedeutet.. Nimmt man an, dal~ ~o gleich dem klassischen Durchmesser des Elektrons ist, so erh.~lt man fiir O einen Weft, der sehr nahe demjenigen yon 1/% ist, wie es Beck** zuerst gezeigt hat. O hat somit ~yahrscheinlich die Bedeutung einer uni- versellen Konstante, was schon yon mir friiher*** hervorgehoben war.

Betrach~et man die Uberg~nge yon ]~lektronen aus einer Elementar- zelle in die n~chste ais einen Quantensprung, so mu~ man das VerhMtnis v/c (v die Geschwindigkeit des Protons) als die Wahrscheinlichkeit des ent- sprechenden Ubergangs des Protons bzw. Elektrons in die n~ehste Elementar- zelte w~hrend des Zeitabschnittes 6) bet rachten. Daraus folgt, da]~ die Bewegung der Elementarteilchen im allgemeinen sich sprungweise voll- zieht, was mit den Ergebnissen yon Beck**** iibereinstimmt.

Alle genannten Tatsachen kSnnen als eine zwanglose und unbedingte Folgertmg der Aufnahmen yon Di rac betrachtet werden. Es kSnnen abet auch viele andere Einzelheiten erdacht werden, welche mit dieser Theorie fibereinstimmen, aber keine unbedingten Folgerungen sind. Ich behalte mi rvor , weiteres dariiber zu berichten.

* G. I. Pokrowski , ZS. f. Phys. 51, 730, 1928. Experimentelle Priifung der ~'age vgl. bei E. Regener , Die Naturwissensch. 17, 183, 1929.

** G. Beck, l.o. *** G. I. Pokrowski , ZS. f. Phys. 51, 737, 1928.

**** Go t t f r i ed Beck, 1. o.

Zur Diracschen Theorie yon Protonen und Elektronen. 133

Aul~erdem ist ans dem besehriebenen Bilde klar, welehe Rolle bei der Bewegung die ~nderung der Masse spielen muB. Falls ein Proton keine Bewegung ausfiibxt mid seine gesamte Masse gleieh M o ist, muB sich diesem Proton identiseher freier Platz zwlsehen den Elektronen auf dem Niveau En befinden. Dabei liegt :(~;om thermodyaamisehen Stand- punkt aus gesehen) kein Grand vet, : dab ein Naehbarelektron aus einer Elementarzelle auf dem Niveau En in ~ine andere auf demselben Nive~u fibergeht. Hat aber das 2ro~on eine gewisse Energie und ist seine Masse grSBer als Me, so muB der entsprechende freie Platz niedriger als En liegen.

Dadureh entsteht auch die thermodynamische MSgliehkeit, dab ent- sprechende Elektronen diesen Platz einnehmen werden, was die Bewegung des Protons bedingt*.

Dabei mtissen die versehiedenen Kraftfelder, welehe die Bewegtmg von Protonen hervorrufen kSnnen, die Fl~che En so deformieren, dab ein Anstieg in der Richtung der zu erhaltenden Bewegung entsteht. Sonst wiire ja die Bewegung des Protons thermodynamisch unmSglieh. Es folgt daraus, dal~ die Ruhemassen der Protonen, die ja dureh die Entfernu~g zwisehen der Nullinie und dem Niveau E~ in Fig. 1 bestimmt werden, an versehiedenen Stellen des Raumes verschieden sein kSnnen. Hat man nun eine Gruppe yon N Protonen und gleichviel Elektronen, welehe aus einem Orte mit dem Gravitationspotential V x in einen anderen mit dem Potential V 2 fibergehen und deft bleiben, so muB die Beziehung

(V 2 -- V1) (i~/~ I + ml) N ~- (M 2 + #~2) c2 N -- ('~:~1 + ml) c2 N

bestehen. Hier sind Mi, m 1 und entsprechend M s und ms die Ruhemassen der Protonen bzw. Elektronen, die dem ersten und zweiten Orte entspreehen. Bei der Bewegung wird ein Tell der potentiellen Energie in kinetische iibergehen. Die Anwesenheit der kinetischen Energie wird die Konstanz** der Masse bedingen, obwohl das Niveau En sich heben wird. Nut naeh der Abbremst!ng am Ende der Bewegung, wenn diese Energie die Teilchen verlfi~t, wird ihre Masse sich entspreehend ~tndern. I)araus folgt:

(M,-t-m s 1)c'i Bei gegebenem M x muB naeh dem friiher Gesag~en

M~ ~ m o und m2 ~- me

* Ahnlioh der Bewegung einer Welle l~in~ tier Oberfl~iohe eines Wasser- kanals.

** Oder eine VergrSl3erung.

134 G.I. Pokrowski,

sein. Die Werte von M 1 und m 1 kSnnen relativ sehr bedeutend seth. Der grSl3te absolute Weft yon V ~ - V 1 ergibt sieh dann, wie sohon friiher yon lair gezeigt war*:

V ~ - - V 1 = - - c 2.

Das bedeutet nichts anderes, als dab die Krfimmung des Niveaus E , bet - - n , o c seine Grenze hat. Gemi~B dem zweiten Satz werden nun die Elementar- teilchen am wahrscheinlichsten in solehen Zusti~nden vorkommen, in denen ihre Energie mSglichst klein ist. Im allgemeinsten Falle miiBte 'dabei folgende ~-nderung der gahl der Teilehen bet der Verldeinerung der Energie am - - d E beobachtet werden** :

d n = - - A n d E ~ - - B n d M .

l-l_ier ist n die Teilehenzahl, M die Teilchenmasse und A und B sind Kon- stante. Daraus ergibt sich

lg n_~ = D (M~ - - M1), n~

we n 1 ~md na die Zahlen der Teilchen mit den Massen M 1 trod M 2 bedeuten. Diese Formel ist niehts anderes als ein sehr allgemeiner Fall der bekannten Beziehung zwisehen Gasdiehte und Potential in einem Kraftfelde (z. B. im Gravitationsfeld). Alles das stimmt gut mit dem Experiment iiberein.

Am bequemsten kSnnen die genannten Beziehungen dureh Vergleieh zwisehen Atolahi~ufigkeit im Kosmos und dem Massendefekt der Protonen in den Kernen entsprechender Atome illustriert werden. Der Massen- defekt ist bekanntlich gleieh

A H = M~ - - M l

(M 2 Masse des freien Protons, M 1 Masse desselben im Kern). Deshalb mul~ A H proportional lg n l /n ~ sein. Hier ist nl/n~ die relative Menge oder ann.~hernd die relative Hiiufigkeit der Atome betreffender Art. Die Werte yon lg n l /n 2 kSnnen einer kiirzlieh verSffentlichten Mitteilung yon I d a und Wa It er N o d da k*** entnommen werden. Bet passender Wahl des MaBstabes miissen dann die Kurven, welehe Ig n l /n s uad A H als Funktion der Atomaummer Z in einem Diagramm darstellen, parallel verlaufen. Das ist aus Fig. 2 ersiehtlich. Die Werte yon lg nl/n~, sind hier ein Mittel zwischen entsprechenden Zahlen ffir die Erdrinde und fiir Meteorite. Es

* G. I. Pokrowski , ZS. f. Phys. 49, 587, 1928. ** Das gilt selbstversti~ndlich nur ftir groi~e Systeme und kann nut in

statistisohem Sinne betrachtet werden. *** Ida u. Walter Noddak, Die Natttrwissensoh. 18, 757, 1930.

Zur Diracschen Theorie yon Protonen und Elektronen. 135

ist bemerkenswert, dal~ mit dieser Kurve eine Kurve ffi_r zJH iiberein-

sfimrat, die auf Grund meiner friiheren theoretischen Betrachtungen be-

rechnet war*. Die Experimentalwerte _ _ ] Z 1

yon As ton** wiirden dagegen eine r /g~ viel grSl~ere Diskrepanz zeigen, und 3H --z]Q~ zwar fiir Atomarten mit etwa o, oos- . [ ,~

7 / \ \ Dabei s~nd immer die gemessenen !-" \~zl Werte yon ]g nl /n ~ kleiner als man o:o~- ~ /I I

ist hier sehwer zu sagen, denn yon ---6 " ~ \ A s t o n sind nut wenige Elemente o, oo~H ~ - I untersucht worden, und die Kurve | - 1 I ~ ( z ) l

0 50 Z I00

fiir A H kann nur aus wenigen ~ig. 2. t~unk~en bestimmt werden. Dagegen kann die theoretisehe Kurve ffir A H sowie die Kurve fiir lg nl /n 2 nach Mittelwerten fiir fimf bis zehn Elemente konstruiert werden. Wiirde aber die gen~nnte Diskrepanz reell sein, so kSnnte das dutch die m5gliche Zer-

o 3i Fe

o, o08~--z C,l~ ~ Ca ...... 3n

~oQ7 :i[ "nz "

o,

~ ' ' ' z Fig. 3.

trfin~nerbarkeit der Elemente mi~ Z > 80 dutch h~r~ere Strahlungsarten*** erkl~r~ werden.

Schlie$1ieh kSnnen auch Zahlen fiir einzelne Elemente herangezogen werden. In Fig. 8 ist eine ~hnliehe Zusammenstellung flit die h~ufigs~en

* ZS. f. Phys. 54, 724, 1929, Formel (7); diese Formel ist eigentlich nur bis Z = 50 giiltig.

** F. W. Aston, Proo. Roy. Soo. London (A) 115, 487, 1927. *** Vgl. G. I. Pokrowski , ZS. f. Phys. 63, 561, 1930.

136 G.I. Pokrowski, Zur Diracsehen Theorie yon Protonen und Elektronen.

Elemente in Meteoriten gegeben. Die Werte yon A H sind ebenfalls frfiher yon mir bereehnet worden*. Da bei der Berechmmg yon A H die Prozesse im kc, smischen Raume betrachtet wurden und da die Meteorite wahrschein- lich sieh aueh direkt in diesem Raume kondensieren und nicht etwa Planeten- triimmer sind**, scheint eine solehe Zusammenstellnng bereehtigt zu sein. Hier ist aueh die Ubereinstimmung befriedigend. Es ist dabei bemerkens- weft, da~ die neutralen Gase He und Ne eine gro~e Al~weichung aufweisen. Das ist ohne weiteres klar, da sie in einem Meteorit naeh dem Durehgang dureh die Atmosphere kaum in grS~erer Menge vorhanden sein kSnnen. Dagegen ist die Menge von Sauerstoff sehr groG, was dutch die Oxydation des Meteorits beim Durehgang (lurch die Atmosphere zwanglos zu erkl~ren ist. Aueh die Menge yon Sn weist eine Abweichung auf, welehe vielleicht dureh die schon erwghnte Zertrfimmerbarkeit dieses Elements bedingt ist.

Zusammen/assung.

Aus dem Gesagten lassen sieh folge~de Schlfisse ziehen:

1. A1s tmbedingte Folgerungen der Theorie yon Di rac mtissen die Tatsaehen angesehen werden:

a) Es existiert eine obere Grenze ftir die Frequenz jeder Strahlung. Strahlung mit grSl~erer Frequenz kann sich im Raume auf makroskopisehe Streeken nieht fortpflanzen.

b) Jede Bewegung eines Elementarteilchens vollzieht sieh sprung- weise, wobei die ktirzeste Zeit zwischen zwei nacheinander folgenden Spriingen nicht kleiner als ein bestimmter Weft sein kann.

2. Aus Betraehtungen, die im Einklang mit dem Bilde yon Dirae sind, l~l~t sieh folgendes ableiten:

a) Die Gravitationspotentiale kSnnen einen bestimmten Wert nieht iiber schreiten.

b) Zwisehen Atomh~ufigkeit und Massendefekt existiert ein einfaeher Zusammenhang, weleher experimentell, teilweise quantitativ best~tigt wird.

Die Mehrzahl dieser Tatsachen war ffiiher vom Verfasser in anderer Weise abgeleitet.

Moskau, September 1930.

* ZS. i. Phys. 54, 123, 1929. ** Vgl. z.B. Ida u. Walter Noddak, 1. o.