Zulhendri (Strategi Kendala Aktif Dalam Menyelesaikan)

STRATEGI KENDALA AKTIF DALAM MENYELESAIKANPERSOALAN ALIRAN MULTI-KOMODITI

Oleh:Zulhendri

STKIP Pahlawan Tuanku Tambusai Riau, Indonesia

ABSTRAK

Sebagian besar persoalan manajemen berkenaan dengan penggunaan sumbersecara efisien atau alokasi sumber-sumber yang terbatas (tenaga kerja terampil,bahan mentah, modal) untuk mencapai tujuan yang diinginkan (desired objective) seperti, jumlah biaya transportasi harus minimum, keuntungan yang harus maksimum. Banyak metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persoalan aliran multi-komoditi seperti : metode Interior Point, metodePrimal Simplek, dan metode kendala aktif. Kendala aktif meliputi semua batasan persamaan dan semua ketidaksamaan yang berada pada titik persamaan. Strategi Kendala Aktif untuk mendapatkan solusi yang optimal. Sehingga persoalan aliran multi-komoditi dapat diselesaikan dengan baik.

Kata kunci: Persoalan Aliran Multi-Komoditi,TransportasidanLogistik, Himpunan Aktif

PENDAHULUANSuatu Aliran dapat didefinisikan sebagai suatu perjalanan objek dari satu tempat ke tempat lain pada jaringan kerja (network). Jaringan dapat dijumpai berbagai tempat dan bentuk, misalnya pada sistem transportasi, aliran listrik, jaringan telepon, jaringan komunikasi dan aliran multi-komoditi.

Persoalan aliran multi-komoditi merupakan permasalahan yang utama dalam network flow. Bentuk persoalan ini adalah menentukan biaya pengiriman komoditi (barang) melalui jaringan yang harus memenuhi Node pasokan(supplynode) dan node permintaan (demandnode), Vial, et. Al (2004).

Aliran multi-komoditi berhubungan dengan distribusi hasil produksi dari daerah penghasil ke daerah tujuan (konsumen). Pendistribusian hasil produksi suatu wilayah dengan wilayah

lain disebabkan oleh adanya saling ketergantungan, berdasarkan kesamaan kepentingan dan kebutuhan. Tingkat kepentingan dan kebutuhan antar wilayah biasanya diukur dari seberapa besar tingkat permintaan dan penawaran antara suatu wilayah dengan wilayah lainnya. Umumnya setiap wilayah tidak cukup memiliki kemampuan sendiri dalam pengembangan wilayah (exclusive), dikarenakan adanya keterbatasan sumberdaya, yaitu sumberdaya (manusia, alami dan buatan) tersebut akan dipenuhi (supply) oleh wilayah lain. Sebagai contoh satu wilayah sebagai wilayah produksi padi dan beras, maka wilayah lain sebagai wilayah pemasaran beras dan penyedia peralatan pertanian. Hubungan antara satu wilayah dengan wilayah lain merupakan jejaring yang saling ketergantungan (interdepency) dan akan berjalan dengan baik,

Kumpulan Penelitian Ilmu Pendidikan STKIP Pahlawan Tuanku Tambusai Riau Page 20

apabila kedua wilayah saling berkomplementer atau melengkapi, Johnson danPyke,(2009).

Multi-Komoditi yang didistribusikan terdiri dari multi-komoditi yang tahan lama dan multi-komoditi yang tidak tahan lama. Multi-Komoditi tahan lama seperti barang pecah belah, alat-alat kantor. Sedangkan multi-komoditi yang tidak tahan lama seperti produk hortikultura.

Produk hortikultura sangat mudah rusak pada saat panen maupun setelah panen. Kesalahan dalam Distribusi atau pengiriman produk hortikultura tersebut dapat menimbulkan kerugian yang cukup besar, yang disebabkan antara lain, adanya kerusakan fisiologis karena belum menggunakan kendaraan berpendingin, kerusakan fisik karena pemuatan dan pembongkaran yang kurang hati-hati dan kerusakan karena waktu kirim yang terlalu lama dalam pengiriman. Beberapa kerusakan yang terjadi pada saat pengiriman komoditi akan meningkatkan biaya yang ditanggung oleh pengirim sehingga memperkecil keuntungan yang diperoleh.

Untuk memperkecil biaya pengiriman atau memaksimalkan keuntungan dalam pengiriman diperlukan suatu model multi-komoditi, Model ini untuk menyederhanakan permasalahan atau mengelompokkan permasalahan, pengelompokkan ini bisa saja berdasarkan jenis produksi, kualitas barang, daerah permintaan atau kapasitas pengiriman.

RumusanMasalahPermasalahan yang sering muncul dalam

pengiriman komoditi adalahadanya kerusakan fisiologis karena belum menggunakan kendaraan berpendingin, kerusakan fisik karena pemuatan dan pembongkaran yang kurang hati-

hati dan kerusakan karena waktu kirim yang terlalu lama dalam pengiriman.

Untuk memperkecil biaya pengiriman atau memaksimalkan keuntungan dalam pengiriman diperlukan suatu model multi-komoditi dengan menggunakan strategi kendala aktif.

Tujuan PenelitianTujuan penelitian ini adalah

mengembangkan model pengiriman komoditi yang lebih dari satu jenis (multi-komoditi) dari daerah asal (supply) ke daerah tujuan (demand)dengan menggunakan strategi kendala aktif serta mempertimbangkan faktor yang ada.

METODE PENELITIANDesainPenelitianPenelitian ini bersifat literatur dan mengumpulkan informasi dari beberapa jurnal. Langkah-langkah yang dilakukan adalah sebagai berikut:1. Persoalanaliran multi-

komoditidapatdimodelkandalambentuk Graf Sebuah graf dapat disebut sebagai kumpulan titik yang disebut simpul (Node) dan dihubungkan oleh garis yang disebut busur (Arc). Aliran yang melalui busur (Arc) mempunyai kapasitas tertentu, biasa disebut fungsi kendala.

∑k ∈K

Zak≤ca

, ∀ a∈ A .merupakan Bundle constrainst yang membatasi total aliran semua komoditi pada arc (busur) dengan kapasitas busur tersebut (ca).

2. DenganmenggunakanStrictComplementarity

Theorem,diperoleh partisi A=A1¿∪A2

¿

dan himpunan pasangan dari Primal-dual

Optimal Solutions(Z¿ ,Q¿ ) sehingga :


∑ (Zak )¿ adalah total aliran komoditi pada

busur a.Partisi ini kadang-kadang disebut juga Optimal partition,

∑ (Zak )¿<ca , ∀ a∈ A2

¿

pertidaksamaan ini berguna untuk menyelesaikan persoalan Lagrangian relaxation

3. Partisi diatas digunakan sehingga persamaan Lagrangian relaxation menjadi

LA1

¿ ( Z , q A1¿ )=∑

a∈ A

pa ∑k∈ K

zak +∑

a∈ A

qa(∑k∈ K

zak−ca)

=

∑a∈ A

pa zak+ ∑

a∈ A

qa( zak−ca)

= ∑a∈ A

(qa+ pa )zak +∑

k∈K

pa zak− ∑

a∈ A1¿

qa ca

=

− ∑a∈ A1

¿

qa ca+∑a∈ A

(qa+ pa)∑k∈K

zak+ ∑

a∈ A 2¿

pa ∑k∈K

zak

4. Kendala aktifBerikut ini convex combination definisi aliran tiap komoditi (zk)dan total alirankomoditi ( r) tiaparc,

r=∑t=1

T

λt σ tdengan

∑i=1

t

λt=1 , λ≥0

A dipartisi dengan menggunakany untuk

mendapatkan A1={a|ra≥ca }dan

A2={a|ra<ca }. Himpunan A1 bisa digunakan

untuk menaksirA1¿

, dinamakan himpunan aktif.

Perpindahan elemen antaraA1 danA2 adalah

sebagai berikut: PindahdariA2 keA1 : semua

busur (arc) pada A2dimana (∑

t=0

T

λt σ t )a>ca ,

PindahdariA1 keA2 : misalkan A1¿⊂ A1

menjadisubset dari arc tidak aktif dalam himpunan aktif.

PEMBAHASAN

Strategi Kendala AktifSecara umum Vial, et. Al (2004)

mendefinisikan, kendala aktif meliputi semuabatasan persamaan dan semua ketidaksamaan yang berada pada titik persamaan. Definisi ini berarti bahwa semua ketidaksamaan dimasukkan di antara kendala aktif, Hal ini berhubungan dengan variabel nonbasis. Titik optimum akan menghasilkan solusi. Bila diselidiki lebih lanjut akan didapatkan daerah dimana titikuji itu berada dan sebaliknya, Hal ini memenuhi bahwa variabel sebahagian besar mempengaruhi kendala aktif di titik LP relaksasi optimum. Variabel kandidat mempunyai kendala aktif dengan cara memperhatikan dua komponen:(i) Berapa banyak pengaruh variabel di dalam

satu batasan tertentu,(ii) Banyak batasan yang mungkin

dipengaruhi oleh satu variabel tunggal.Pengaruh suatu variabel di dalam satu

kendala aktif meliputi; munculnya satu variabel kandidat dalam satu batasan, nilai koefisien dari satu variabel kandidat dalam satubatasan, nilai


qa¿>0dan∑ (Za

k )¿=ca , ∀ a∈ A1¿

qa¿=0 dan∑ (Za

k )¿<ca , ∀ a∈ A2¿

semua koefisien dari variabel kandidat baru. Ukuran berapa banyak kendala aktif dipengaruhi; evaluasi dari setiap kendalaaktif, koefisien baru variabel kandidat baru, atau invers dari jumlah variabel atau jumlah variabel kandidat.

Menurut Powell danTopaloglu, 2002. Masalah optimisasi diformulasikan dalam variabel keputusan. Setiap masalah optimisasi mempunyai 2 (dua) bagian yang utama yaitu fungsi tujuan dan satu kumpulan kendala. Fungsi tujuan menyatakan kriteria kinerja sistemnya. Kendala (constraint) menerangkan sistem atau proses yang akan direncanakan atau dianalisa dengan bentuk kendala kesamaan dan ketidaksamaan. Kendalaaktif merupakan kendala yang membentuk titik ekstrim.

Kendala tidak aktif adalah kendala yang tidak membentuk titik ekstrim. Jika suatu kendala tidak menentukan bagian dari batas daerah yang layak (feasible) dinamakan kendala berlebihan (Redundansi). Sebuah solusi layak dari suatu masalah optimisasi merupakan himpunan nilai-nilai variabel keputusan yang secara bersamaan memenuhi kendalanya. Daerah solusi layak (feasible region) dinyatakan oleh kendala-kendala yang ada. Solusi optimal merupakan himpunan nilai-nilai variabel keputusan yang memenuhi kendala. Ada dua cara yang dapat digunakan untuk mengoptimalkan model yaitu dengan menggunakan program linier dan program non linier. Metode program linier dapat digunakan untuk merumuskan masalah dengan jelas dengan menggunakan sejumlah informasi yang tersedia. Sesudah masalah terumuskan dengan baik, makalangkah berikutnya adalah menerjemahkan masalah ini kedalam bentuk

model matematika. Berikut ini beberapa metode yang digunakan untuk strategi kendala aktif.4.1 Lagrangian RelaxationBentuk umum dari lagrangian relaxation dari

persamaan ∑

k ∈K

zak≤ca

dan variabel q≥0 , yaitu:maxu≥0

L(q )(4.1)

Dimana

L(q )= minxk≥0 , k ∈K

{L( z , q )|Nzk =δ k ,∀ k∈ K },

(4.2)

dan L(z,q) adalah fungsi lagrangian.

L( z ,q )=∑a∈ A

pa ∑k∈K

zak+ ∑

a∈ A

qa ( ∑k∈K

zak−ca)

(4.3)

Lagrangian dual adalah minimum dari bentuk linear pada q. Kemudian untuk menunjukkan

satu elemen dari anti-subgradient dari L pada q ,

dan didapat solusi optimal z pada (4.1) pada q . Dapat didefenisikan L yaitu;

L(q )≤∑a∈ A

pa ∑k∈K

zak+ ∑

a∈ A

qa ( ∑k∈K

zak−ca)

Pertidaksamaan (4.2) dapat dilihat dengan jelas

bahwa −c+ ∑

k∈K

zk

adalah anti-subgradient. Pertidaksamaan (4.2) sering disebut optimality cut pada L. Meminimalkan pada Persamaan

(4.1) dapat digolongkan ke dalam |K|persoalan lintasan terpendek.

Dimensi dari variabel keputusan L(q) adalah |A|. Dariteorema complementarity, terdapat

setidaknya sepasang ( z¿ , q¿ ) dari


complementarity primal dan solusi ganda dari

. Sekarang diketahui sebuah partisi

unik A=A1¿∪A2

¿

dari himpunan arcyang saling komplemen.

qa¿>0 dan

∑ ( zak )¿=ca

, ∀ a∈ A1¿

qa¿=0 dan

∑ ( zak )¿<ca

, ∀ a∈ A2¿

Partisi ini sering disebut dengan optimal

partition.

Jika |A1

¿| lebih kecil dari |A|,maka lagrangian

dual juga mempunyai dimensi yang lebih kecil. Mengingat partisidi atas, kita mendefinisikan Lagrangian parsial sebagai berikut:

LA1

¿ ( z , qA1¿ )=∑

a∈ A

pa ∑k∈ K

zak + ∑

a∈ A1¿

qa (∑k∈ K

zak−ca)

(4.5) =

− ∑a∈ A1

¿

qa ca+ ∑a∈ A1

¿( pa+qa ) ∑

k∈ K

zak + ∑

a∈ A1¿

pa ∑k∈ K

zak

(4.6)Persoalan lagrangian dual adalah sebagai berikut:

maxuA 1

¿≥0{LA1¿ (qA

1¿ )=− ∑

a∈ A1¿

qa ca+M A1¿ (qA

1¿ )}

(4.7)Dengan

MA1

¿ (q A1¿ )=∑

k∈K

min ¿{ ∑a∈ A1¿

( pa +qa) zak+ ¿}¿{}¿

(4.8)Dengan catatan dapat memperoleh satu anti-

subgradient dari M

A1¿

pada fungsi lagrangian dual.

4.2 Strategi Himpunan AktifPenelitian yang dilakukan oleh Chardairedan Lisser (2002) untuk menyelesaikan persoalan aliran multi-komoditi dengan menggunakan metode ACCPM (Analytic Center Cutting Plane Method)

F (u , z )= ρ2‖u−u‖2−∑

i=0

T

log st−∑i=0

n

log ui

(4.9)Penelitian yang dilakukan oleh penulis untuk menyelesaikan persoalan aliran multi-komoditi menggunakan metode StrategiKendalaAktif.

Optimal partisi A=A1∪A2 tidak diketahui sebelumnya. Sehingga harus membahas cara-cara dinamis untuk memperkirakan itu. Skema ini didasarkan pada kenyataan bahwa selalu membangun aliran yang memenuhi semua permintaan. Jika total aliranyang dihasilkan tidak memenuh ibatasan kapasitas pada busurA2, maka busurini berpotensi mengikat supaya optimal dan harus pindah keA1. Askema yanglebih kompleks bergeser dari busur A1

kepada busur A2

Pada persamaan ∏ ¿=∑

k∈K

zk ¿adalah total aliran

yang dihasilkan dari pengiriman komoditi individu sepanjang lintasan. Dan kemudian juga


dinotasikan Γ=∑

k∈K∑a∈ A

ta xak

biaya yang berhubungan dengan aliran. Misalkan iterasi

yang dilakukan menghasilkan∏t¿ ¿, t = 1,. ..,T,

vektor yang berhubungan denganbiaya Γ t .

r=∑t=1

T

λt σ t ,dengan

∑i=1

t

λt=1 , λ≥0(4.10)

Kemudian A dipartisi terhadap y untuk

mendapatkan A1={a|ra≥ca } dan

A2={a|ra<ca }. Himpunan A1 dapat digunakan

untuk memperkirakan A1¿

, kemudian dinamakan himpunan aktif.Asumsikan diberikan satu kendala pada

lintasan dan partisi A=A1∪A2 menjadi himpunan aktif dan komplemen. Asumsikan

juga diberikan variabel q, dengan q A 1≥0dan

q A 2=0 dan himpunan tidak negatif variabel λ t

dan hasil penjumlahannya sama dengan 1.

min∑t

T

λt Γ t

(∑t=1

T

λ j σ t )a≤ca ,∀a∈ A1

dengan

∑t=1

T

λt=1

λ≥0

Asumsikan bahwa pasangan( λ , q )yang cukup tertutup untuk solusi optimal(4.2). Ada dua kondisi dari busur untuk dipindahkan ke himpunan tidak aktif. Pertama,aliran padabusur

harus lebih kecil darikapasitas yang tersedia.Kedua, variabel Lagrangian dualqaharus

lebih besar dari nol. ξ1>0 dan ξ2>0 .sehingga:

ua≤ξ1 dan (∑

t=1

T

λt σ t)a≤ξ2 ca

Keduakondisi di atas untuk menjamin bahwa busur yang dibuat tidak aktif tidak akan menjadi aktif pada proses selanjutnya. Kontribusi dari variabel dual q pada komponen linear lagrangian dual, yaitu qaca. Jika uaca kecil dan memberikan kontribusi pada total penjumlahan

∑a∈ A 1

qaca, ua di ubah menjadi nol, tidak akan

mempengaruhi bagian dari fungsi lagrangian.

qaca≤ξ3 ∑a∈ A 1

qa ca

Dimana ηξ3 adalah positif.

Secara ringkas mengenai aturan heuristik

untuk perpindahan elemen antara A1 dan A2 adalah sebagai berikut:

Pindah dari A2 ke A1 dimana (∑

t=0

T

λt σ t )a>ca ,

Pindah dari A1 ke A2 dimana

ua≤ξ1 , (∑t=0

T

λ t σ t )a≤ξ2 ca , dan


qa ca

KESIMPULAN

Aliran multi-komoditi yang merupakan perpindahan komoditi dari supply node ke demand node pada suatu busur (arc), dimana masing-masing busur mempunyai kapasitas ca, yang berfungsi untuk membatasi total aliran


komoditi pada busur (arc ). Untuk menyelesaikan persoalan aliran multi-komoditi ini diperlukan sebuah model matematika yaitu kendala aktif. Perpindahan element pada arcA2kearcA1 , sedemikian hingga

(∑t=0

T

λt σ t )a>ca ,. dan Perpindahan element pada

arcA1kearcA2 , sedemikian hingga

ua≤ξ1 , (∑t=0

T

λ t σ t )a≤ξ2 ca , dan


qa ca, sehingga persoalan aliran

multi-komoditi dapat diselesaiakan.

DAFTAR PUSTAKA

Bayrakataroglu, E. 2006. Approximation Schemes for Multicommodity Flow Problem.College of Computer & Information Science. Northeastern University.

Castro, J. 2000. A Specialized Interior Point Algorithm for Multicomodity Network Flows.SIAM journal on Optiminization, 10(3): 852-877.

Chardaire, P., and Lisser, A. 2002. Simplex and Interior Point Specialized Algorithms for Solving Non-Oriented Multicomodity Flow Problem. Operation Research, 50 (2): 260-276.

Farvolden,J.M., Powell, W.B., and Lustig, I.J. 1993. A primal partitioning solution forthe arc-chain formulation of a multicommodity network flow problem. Operations Research, 41(4):669–693.

Goffin, J.L., Haurie, A., and Vial.J.P.2002. Decomposition and nondifferentiable

optimizationwith the projective algorithm. Management Science, 38(2):284–302.

Johnson, M.E., and Pyke, D.F. 2009, Supply chain management, the tuck school of Business, Darmouth College, Haroven

Larsson, T., and Yuan, D. 2004. An augmented lagrangian algorithm for large scale multicommodityrouting. Computational Optimization and Applications, 27(2):187–215.

Lima, G.B., and Guardia, L.T. 2010. Interior Point Methods for Linear Multicommodity Flow Problems. 2nd

International Conference on Enggineering Optimation.

Mahey, P., and Duhamel, C. 2005. Multicommodity Flow Problem with a bounded number of paths: a flow deviation approach.

Mamer, J.W., and McBride, R.D. 1997. Solving multicommodity flow problems with a primal embedded network simplex algorithm. Informs Journal on Computing, 9(2).

McBride, R.D., and Mamer, J.W. 2000. A decomposition-based pricing for large-scale linearprogram : An application to the linear multicommodity flow problem. Management Science, 46:693-709.

Merle, O.D., and Vial, J.P.2002. Proximal ACCPM, a cutting plane method for columngeneration and Lagrangian relaxation: application to the p-median problem. Technicalreport, Logilab, University of Geneva, 40 Bd du Pont d’Arve, CH-1211 Geneva,Switzerland.

Orlin, J.B., and Bompadre, A. 2006. A simple Method for Improving the Primal Simplex


Method for the Multicommodity Flow Problem. United States.

Orlin,J.B., Magnanti, T.L., and Ahuja,R.K. 1993. NetworkFlow: Theory, Algorithms, and Applications. Prantice Hall, Englewood Cliffs. New Jersey.

Powell, W. B., and Topaloglu, H. 2002, Stochastic Programming In Transportation

and Logistic, Handbook of Operation Research and Management Science Volume 10

Vial, J.P., Merle, O.D., and Babonneau, F. 2004. Solving large scale linear multicommodity flow problems with an active set trategy and Proximal-ACCPM. Geneva, Switzerlan


Documents

Zulhendri (Strategi Kendala Aktif Dalam Menyelesaikan)