Základy stavební mechaniky pro architekty Pomůcka ke ...fast10.vsb.cz/michalcova/ZSM/Zaklady SM.pdf · řešené příklady Vladimíra Michalcová ... Na barevně vyznačeném

Základy stavební mechaniky pro architekty

Pomůcka ke studiu: řešené příklady

Vladimíra Michalcová

Tento studijní materiál je určen pro studenty začátečníky v oblasti stavební mechaniky. Pomůže jim

rychleji se zorientovat v dané problematice a pochopit základní principy stavební mechaniky při

řešení praktických příkladů. Studenti zde najdou podrobné komentáře a návody, jak lépe pochopit

probíranou látku i rady, jak si práci při řešení úloh usnadnit. Studijní materiál je zaměřen na úvodní

témata předmětu Základy stavební mechaniky, která dělají studentům největší potíže a bez jejich

pochopení mají studenti velké potíže při studiu dalších navazujících témat.

Goniometrické funkce

Jedním ze základních předpokladů řešení úloh stavební mechaniky je znalost goniometrických

funkcí. V rámci tohoto předmětu jsou nejpoužívanější základní goniometrické funkce sinus a

cosinus.

Pravoúhlý trojúhelník má speciálně pojmenované strany. Nejdelší strana se nachází naproti pravého úhlu a říká se jí přepona (černá strana na obrázku). Dvěma kratším stranám se říká odvěsny (červená a modrá strana).

Na následujícím obrázku pracujeme s úhlem , tedy s úhlem u vrcholu B. Černá strana je přepona, na ní se nic nemění. Červeně zvýrazněná strana c je přilehlá odvěsna, protože přiléhá k úhlu beta.

Modře zvýrazněná strana b je protilehlá odvěsna, protože je naproti úhlu .

Trojúhelník s vyznačenými odvěsnami vzhledem k úhlu

Obě funkce sinus a cosinus pracují s přeponou trojúhelníka, ta zůstává černá. Sinus pak pracuje

s protilehlou odvěsnou, což je – vzhledem k úhlu – modrá strana AC. Cosinus pracuje s přilehlou odvěsnou, což je červená strana AB. Cosinus úhlu alfa se rovná poměru délky přilehlé odvěsny k délce přepony.

Sinus úhlu se rovná poměru délky protilehlé odvěsny k délce přepony: sin � =��á

�ř��=

�

�

Cosinus úhlu se rovná poměru délky přilehlé odvěsny k délce přepony: cos � =�ř��á

�ř��=

�

�

Důležité je, že tyto pojmy vztahují vždy k danému úhlu. Pokud se budeme dívat na obrázek

z pohledu úhlu , dostaneme tento výsledek:

Trojúhelník s vyznačenými odvěsnami vzhledem k úhlu

Sinus úhlu se rovná poměru délky protilehlé odvěsny k délce přepony: sin � =��á

�ř��=

�

�

Cosinus úhlu se rovná poměru délky přilehlé odvěsny k délce přepony: cos � =�ř��á

�ř��=

�

�

Ve stavební mechanice goniometrické funkce nejčastěji využíváme při rozkladu sil, nebo v případě

šikmě uložených prutů.

Řešené rovinné úlohy jsou v rovině xz, pro kterou platí tato kladná znaménková konvence: kladná osa x

směřuje zleva doprava, kladná osa z směřuje shora dolů.

Rozklad šikmé síly

Zadání:

Danou sílu rozložte do složek ve směru os x a z ( = 60°):

Na první pohled je zřejmé, že síla Fx je k danému úhlu

„přilehlá“, úhel totiž leží mezi silou F a osou x (je

přilehlý k ose x, tedy i k složce síly Fx). Síla Fz je

„protilehlá“. Pokud potřebujete, nakreslete si sílu i

její složky samostatně bokem a schéma doplňte na

obdélník. Pravý úhel musí být mezi složkami Fx a Fz

(shodně jako mezi osami x a z). Síla F tvoří přeponu

obdélníku. Na barevně vyznačeném trojúhelníku je

již zřejmé, že síla Fx je k úhlu „přilehlá“ a velikost

síly Fz tvoří protilehlou odvěsnu k úhlu .

Platí tedy:

sin � =��á

�ř��=

��

�⟹ �� = � ∙ sin �

cos � =�ř��á

�ř��=

��

�⟹ �� = � ∙ cos �

Poznámka: Pokud si i teď nejste jisti správnosti goniometrické funkce, podívejte se na schéma

rozkladu síly. Z obrázku je zřetelné, že síla Fz musí být větší než síla Fx. Je ovšem důležité, abyste měli

úhel zakreslen alespoň částečně v měřítku – důležité je na schématu rozlišit, zda je jeho hodnota

pod nebo nad 45°.

Zadání:

Danou sílu rozložte do složek ve směru os x a z ( = 30°):

Na první pohled je zřejmé, že k danému úhlu je

přilehlá síla Fz.

Úhel leží mezi silou F a osou z (je „přilehlý“

k ose z, tedy i k složce síly Fz). Síla Fz je

k danému úhlu „přilehlá“ a síla Fx bude tedy

„protilehlá“. Pokud potřebujete, opět si

nakreslete sílu F i její složky bokem a schéma

doplňte na obdélník .

Platí tedy:

sin � =��á

�ř��=

��

�⟹ �� = � ∙ sin �

cos � =�ř��á

�ř��=

��

�⟹ �� = � ∙ cos �

Poznámka: Pokud si nejste jisti správnosti goniometrické funkce, podívejte se na schéma rozkladu

síly. Z obrázku je zřetelné, že i v tomto případě musí být síla Fz větší než síla Fx

Statický moment síly k bodu

Každá síla má otáčivý účinek k bodům, které od ní mají nenulovou vzdálenost. Jedná se o statický

moment M a jeho velikost je přímo úměrná velikosti síly a její (kolmé) vzdálenosti od daného bodu:

� = síla × ��á vzdálenost = F ∙ r [kNm].

Kladný statický moment je takový, který otáčí proti směru hodinových ručiček. Má-li síla otáčivý

účinek ve směru hodinových ručiček, jedná se o záporný směr. Tím je znaménková konvence pro

vnější síly (síly i momenty) v rovinné úloze jednoznačně dána

↺ .

Kladná znaménková konvence pro statický moment Kladná znaménková konvence pro síly i statický moment

Poznámka: pokud si otáčivý účinek nedovedete představit, nakreslete si schéma síly a bodu (na

obrázku modře). Jako pomůcku použijte třeba tužku, pomocí které spojíte sílu s bodem (na obrázku

červeně). Tužka uchycená v bodě se nemůže posouvat ani svisle, ani vodorovně. Pohybujte tužkou

tak, jako by na ni působila síla – nezbyde jí nic jiného, než se kolem bodu otáčet (síla má otáčivý

účinek vzhledem k danému bodu – vzniká statický moment síly k bodu). Poznáte také, zda se chce

tužka kolem bodu otáčet proti směru hodinových ručiček (kladný směr), nebo naopak. Důležité je,

aby tužka byla na sílu kolmá, protože vzdálenost bodu od síly je vždy kolmice k dané síle.

Poznámka: znaménko otáčivého účinku nesouvisí s tím, kterým směrem síla působí (zda kladným

nebo záporným), ale záleží pouze na tom, kterým směrem daná síla kolem daného bodu otáčí.

Důkaz je vidět na následujícím obrázku. V rovině xz působí 4 síly: 2 vodorovné a 2 svislé. Každá má

jinde své působiště. Přestože všechny síly směřují do kladných směrů os, je statický moment

vztažený k počátku osového kříže (k bodu O) je od sil s indexem 1 kladný (otáčivý účinek proti směru

hodinových ručiček) a od sil s indexem 2 záporný (otáčivý účinek ve směru hodinových ručiček),.

Statické momenty od vodorovných sil:

�� = F�� ∙ z�� [kNm] Síla otáčí kolem bodu O proti směru hodinových ručiček (kladný

směr), její (kolmá) vzdálenost od bodu O je zFx1.

�� = −F�� ∙ z�� [kNm] Síla otáčí kolem bodu O ve směru hodinových ručiček (záporný směr),

její (kolmá) vzdálenost od bodu O je zFx2.

Obě síly Fx1 i Fx2 směřují do kladného směru osy x, ovšem k počátku souřadného systému mají síly

vzájemně obrácený směr otáčivého účinku, tzn., mají rozdílná znaménka statického momentu M.

Stejný případ je také u svislých sil Fz1 a Fz2.

Statické momenty od svislých sil:

�� = F�� ∙ x�� [kNm] Síla otáčí kolem bodu O proti směru hodinových ručiček (kladný

směr), její (kolmá) vzdálenost od bodu O je xFz1.

�� = −F�� ∙ x�� [kNm] Síla otáčí kolem bodu O ve směru hodinových ručiček (záporný směr),

její (kolmá) vzdálenost od bodu O je xFz2.

Schéma sil a jejich (kolmých) vzdáleností od bodu O

Výpočet reakcí v podporách nosné stavební konstrukce

Podpory zajišťují rovnováhu konstrukce. To znamená, že brání pohybu nosné stavební konstrukce.

Síly, které v podporách vznikají, se nazývají reakce. Jejich velikost počítáme z podmínek rovnováhy.

Úkolem reakcí (podpor) je zabránit pohybu nosné stavební konstrukce. V rovinné úloze se jedná o:

vodorovné posunutí, svislé posunutí a otáčení konstrukce. Více při řešení praktických příkladů.

Poznámka k následujícím příkladům:

List sešitu rozdělte na 2 svisle oddělené části. V levé části budou schémata, v pravé pak výpočty.

Reakce příklad: konzola 1 U daného nosníku spočítejte reakce.

Veškeré zatížení (silové i momentové) a

reakce v podporách (síly i momenty) jsou

vnější síly.

Jejich kladná znaménková konvence je tato:

Nosník (prut) je podepřen v jednom místě (v bodě a). Prut je v tomto bodě vetknutý a nazývá se

konzola (konzolový nosník, konzolový prut). Jeho podepření (vetknutí) musí zajistit, aby nedošlo

k žádnému ze tří výše uvedených posunutí (vodorovný posun, svislý posun a pootočení).

Obecně o reakcích na konzole

Vodorovnému posunutí zabraňuje vodorovná silová vazba, ve které působí vodorovná síla – reakce

Rx. Její základní jednotka je Newton [N], nejčastěji se používají její násobky [kN] (1 kN = 1000 N).

Vysvětlení značení: R = reakce, index x = působení reakce ve směru osy x. Reakce Rx působí proti

směru snahy konstrukce se vodorovně posouvat. Řečeno jinými slovy: působí proti směru všech

vodorových zatížení tak, aby jejich účinek na posun konstrukce (vodorovný) byl vynulován.

Počítá se ze silové podmínky rovnováhy ve směru x: ∑ ��,� = 0

Slovní vyjádření této rovnice: součet všech sil (zatížení i reakce) působících na prut ve směru osy x

je roven nule. V této rovnici je jediná neznámá, hledaná vodorovná reakce Rx. Více viz řešení

přikladu.

Svislému posunutí zabraňuje svislá silová vazba, ve které působí svislá síla – reakce Rz. Její základní

jednotka je Newton [N], nejčastěji se používají její násobky [kN] (1 kN = 1000 N). Vysvětlení značení:

R = reakce, index z = působení reakce ve směru osy z. Reakce Rz působí proti směru snahy

konstrukce se svisle posouvat. Řečeno jinými slovy: působí proti směru všech svislých zatížení tak,

aby jejich účinek na posun konstrukce (svislý) byl vynulován.

Počítá se ze silové podmínky rovnováhy ve směru z: ∑ ��,� = 0

Slovní vyjádření této rovnice: součet všech sil (zatížení i reakce) působících na prut ve směru osy z

je roven nule. V této rovnici je jediná neznámá, hledaná vodorovná reakce Rz. Více viz řešení

přikladu.

a b

60°

F = 4 kN

2

M = 20 kNm

Pootočení zabraňuje momentová vazba ve vetknutí. Jedná se o momentovou reakci - moment M.

Jeho základní jednotka je Newtonmetr [Nm], nejčastěji se používají jeho násobky [kNm]

(1 kNm = 1000 Nm). Vnější síly (zatížení i reakce) mají obecně tendenci konstrukcí otáčet (mají

otáčivý účinek vztažený ke kterémukoliv bodu na prutu). Momentová reakce M působí proti směru

snahy konstrukce se otáčet.

Počítá se z momentové podmínky rovnováhy: ∑ �� = 0

Obecné slovní vyjádření této rovnice: součet všech statických momentů (vzniklých od zatížení i

od reakcí) k jakémukoliv bodu prutu je roven nule. Při řešení reakcí však volíme momentovou

podmínku rovnováhy vztaženou k bodům, kde působí reakce. Rovnice mají tímto jednodušší tvar. U

konzoly je v této rovnici jediná neznámá, hledaná momentová reakce - moment ve vetknutí M. Více

viz řešení přikladu.

Řešení: příprava

. Schéma zadaného prutu


Na nosník působí šikmá síla. V takovém

případě je nutné jako první každou šikmou

sílu rozložit do 2 složek ve směru os, tedy do

směru osy x a do směru osy z. Hodnoty sil Fx

a Fz je nutné spočítat podle pravidel

uvedených výše. V tomto případě je síla Fx

přilehlá k zadanému úhlu a naopak síla Fz

protilehlá, viz schéma vlevo.

Platí tedy:

�� = � ∙ cos 60° = 2,0 kN

�� = � ∙ sin 60° = 3,4641 kN

Poznámka: Pokud si nejste jisti správnosti

goniometrické funkce, podívejte se na

schéma rozkladu síly. Z obrázku je zřetelné,

že síla Fz musí být větší než síla Fx. Je ovšem

důležité, abyste měli úhel zakreslen alespoň

částečně v měřítku – důležité je rozlišit, zda

je jeho hodnota pod nebo nad 45°.

Dále je vhodné dívat se na zatížení prutu

pouze jako zatížení se složkami síly Fx a Fz

podle schématu vlevo.

Schéma rozkladu sil

Zatížení prutu složkami síly F

a b

60°

F = 4 kN

2

M = 20 kNm

a b

(F) Fz = 2 kN

Fx = 3,464 kN

M = 20 kNm

a b

60°

F = 4 kN Fz

Fx

M = 20 kNm

Řešení reakcí

Předpokládané směry reakcí:

Reakce zakreslete tak, ať máte prostor také

pro doplnění jejich hodnot

Pod schématem (po dopsání hodnot reakcí)

nechejte místo alespoň půl stránky

Vždy se snažíme odhadnout směry reakcí, které

musí působit proti zatížení. Reakce zakreslíme.

Viz obrázek vlevo.

Značení reakcí (platí vždy):

Rax … silová Reakce, působící v bodu a (index) a

ve směru osy x (index).

Raz … silová Reakce, působící v bodu a (index) a

ve směru osy z (index).

Ma … Momentová reakce, působící v bodu a

(index). Má otáčivý účinek, proto není uveden

druhý index – nepůsobí v žádném směru osy.

Předpokládaný směr je zde proti směru

hodinových ručiček.

Poznámka: V případě, že směr reakcí

neodhadnete správně, je nutné dodržet postup,

který je vysvětlen u momentové reakce

v následujícím příkladu.

K výpočtu reakcí na konzole využíváme všechny

3 podmínky rovnováhy v pořadí, jak byly

uvedeny na přednášce i v úvodu tohoto

příkladu:

Silová podmínka rovnováhy pro směr x (výpočet Rax):

∑ ��,� = � … součet všech sil působících na prut ve směru osy x je roven 0.

Na prut působí 2 síly ve směru osy x. V kladném směru osy x působí reakce Rax a v záporném směru

osy x působí vodorovná složka síly F, tedy síla Fx.

Matematické vyjádření silové podmínky rovnováhy ve směru x je:

�� − �� = 0 … každou podmínku rovnováhy je důležité nejprve zapsat v obecném tvaru,

�� − 2 = 0 … až po té dosazení do obecného tvaru.

Tyhle dva mezikroky nikdy nevynechávejte, jsou důležité.

Výsledek:

�� = � �� (→) výsledek zvýrazněte (např. podtrhněte) a do závorky zakreslete skutečný směr

reakce

Poznámka: Reakce Rax vyšla výpočtem kladně, to znamená, že její předpokládaný směr je správný.

Kdyby reakce vyšla záporně, znamenalo by to, že předpokládaný směr byl chybný a skutečný směr

reakce Rax by byl opačný. To platí pro každý výpočet všech reakcí: silových i momentových. Toto

řešení bude znázorněno na 2. příkladu nosníku na dvou podporách.

Rax

a b

Raz

Ma

(F)

Fx = 2 kN

M = 20 kNm

Fz = 3,464 kN

2

Poznámka k poznámce: Proč je důležité zakreslovat skutečné směry reakcí do závorky za výsledkem:

To, že výpočtem vyšla reakce Rax kladně, nikdy neznamená, že její směr musí být v kladném směru

osy x. Znamená to, že byl zvolen správný předpokládaný směr. V tomto příkladu platí obojí, ale je

to náhoda. Přesvědčíme se hned ve výpočtu reakce Raz. Proto je nutné skutečné směry všech

vypočtených reakcí značit. Toto platí pro každý výpočet všech reakcí silových momentových.

Hodnotu Rax zapište do schématu, viz další strana.

Silová podmínka rovnováhy pro směr z (výpočet Raz):

∑ ��,� = � … Součet všech sil působících na prut ve směru osy z je roven 0.

Na prut působí 2 síly ve směru osy z. V kladném směru osy z působí svislá složka síly F, tedy síla Fz a

v záporném směru osy z působí reakce Raz.

Matematické vyjádření silové podmínky rovnováhy ve směru z je:

−�� + �� = 0 … zápis v obecném tvaru

−�� + 3,464 = 0 … dosazení do obecného tvaru.

Tyhle dva mezikroky nikdy nevynechávejte, jsou důležité

Výsledek:

�� = �, �� (↑) výsledek zvýrazněte a do závorky zakreslete skutečný směr reakce

Hodnotu Raz zapište do schématu, viz další strana

Poznámka: Reakce Raz vyšla výpočtem také kladně. Znamená to, že její předpokládaný směr

(směrem nahoru) je správný, přestože směřuje do záporného směru osy z. V žádném případě to

neznamená, že reakce musí směřovat dokladného směru osy z. Předpokládali jsme, že reakce Raz

působí nahoru (proti zatížení), tedy do záporného směru osy z a tento předpoklad je správný.

Momentová podmínka rovnováhy vztažená k podporovému bodu a (výpočet Ma):

∑ ��,� = � … součet všech statických momentů vztažených k bodu a je roven 0.

Poznámka: Doporučuji uvádět jednotlivé momenty (zapisovat je do rovnic) v pořadí, jak jdou jejich

působící síly na prutu za sebou, ať na některý nezapomenete.

Na podporový bod a působí tyto statické momenty (uváděny jsou od volného konce konzoly,

tedy zprava):

Statický moment k bodu a od síly Fz. Tato síla má vzhledem k podporovému bodu otáčivý účinek

ve směru hodinových ručiček. Jedná se záporný směr (poznámka: všimněte si: záporný otáčivý

účinek, přestože síla Fz působí v kladném směru osy z). Kolmá vzdálenost síly Fz od podporového

bodu je shodná s délkou prutu, tedy 2 metry.

Statický moment k bodu a od síly Fx nevzniká, síla má nulovou (kolmou) vzdálenost od bodu a.

Statický moment k bodu a od momentu M. Moment M má otáčivý účinek ve směru hodinových

ručiček (záporný směr) a takto působí nejen na bod a, ale shodně na všechny body na prutu.

Statický moment k bodu a od reakcí Rax ani Raz nevzniká, obě reakce mají nulovou vzdálenost

od bodu a. Obě mají své působiště přímo v podporovém bodě (takzvaně tímto bodem procházejí)

Statický moment k bodu a od podporového momentu Ma. Stejně jako moment M i podporový

moment Ma má otáčivý účinek shodný ke všem bodům prutu, tudíž i k bodu a. Otáčí ovšem proti

směru hodinových ručiček (kladný směr).

Matematické vyjádření momentové podmínky rovnováhy k bodu a:

−�� ∙ 2 − � + �� = 0 … zápis v obecném tvaru.

Poznámka: všimněte si: otáčivý účinek od síly Fz je správně popsán

vztahem pro moment: síla × vzdálenost. Stejně tak je správně zapsán

otáčivý účinek od obou momentů. Tyto již nemohou být násobeny

vzdáleností, protože sámi o sobě jsou momenty. Vynásobením

momentů vzdálenostmi bychom získali úplně jiné veličiny a ty do

rovnice, která popisuje momenty, nepatří.

−3,464 ∙ 2 − 20 + �� = 0 … dosazení do obecného tvaru

Výsledek:

�� = ��, �� (↶) výsledek zvýrazněte a do závorky zakreslete skutečný směr reakce.

Hodnotu Ma zapište do schématu:

Poznámka: Tímto je příklad vyřešen. Pokud jste příklad počítali do sešitu, využjte toho, že máte

schéma na levé straně stránky a rovnice na straně pravé. Další příklad začněte řešit až na nové

straně, v dalším týdnu budete s tímto příkladem dále pracovat a budete potřebovat minimálně půl

stránky pod stávajícím textem i schématem.

Rax

= 2 kN a b

Raz

= 3,464 kN

Ma= 26,928 kNm

(F)

Fx= 2 kN

M = 20 kNm

Fz= 3,464 kN

2

Reakce příklad: konzola 2 případ, kdy je chybný odhad směru reakcí U daného nosníku spočítejte reakce.

Nosník (prut) se oproti předešlého příkladu

liší pouze změnou směru momentu M, který

teď má otáčivý účinek proti směru hodinových

ručiček (tudíž kladný směr). Z uvedeného

důvodu zde není vysvětlen rozklad sil a rovnou

je zakreslen nosník se sožkami síly F a také

s předpokládanými směry reakcí.

Předpokládané směry reakcí

se složkami síly F:

Pod schématem nechejte místo alespoň

půl stránky (po dopsání hodnot reakcí)

Silová podmínka rovnováhy pro směr x:

je shodná s předešlým příkladem.

Ve směru osy x nedošlo ke změně.

∑ ��,� = � součet všech sil působících na prut ve

směru osy x je roven 0

�� − �� = 0 zápis v obecném tvaru

�� − 2 = 0 dosazení do obecného tvaru

�� = � �� (→) výsledek zvýrazněte, do závorky

zakreslete skutečný směr reakce a zapište hodnotu do

schématu (viz druhá strana)

Silová podmínka rovnováhy pro směr z:


Ve směru osy z nedošlo ke změněně.

∑ ��,� = � součet všech sil působících na prut ve

směru z je roven 0 −�� + �� = 0 zápis v obecném tvaru

−�� + 3,464 = 0 dosazení do obecného tvaru

�� = �, �� (↑) výsledek zvýrazněte, do závorky

zakreslete skutečný směr reakce a zapište hodnotu do


Momentová podm. rovnováhy vztažená k bodu a:

∑ ��,� = � součet všech statických momentů vztažených

k bodu a a je roven 0.

Změna oproti předešlému příkladu je ve směru

momentu M, který teď má otáčivý účinek proti

směru hodinových ručiček (tudíž kladný směr).

Rax

a b

Raz

Ma

Fx = 2 kN

M = 20 kNm

Fz = 3,464 kN

a b

60°

F = 4 kN

2

M = 20 kNm

2

Momentová podmínka rovnováhy po dosazení:

−�� ∙ 2 + � + �� = 0 zápis v obecném tvaru.

−3,464 ∙ 2 + 20 + �� = 0 dosazení do obecného tvaru

�� = −13,072 kNm reakce vyšla záporně

�� = ��, �� (↻) pod vypočtený výsledek

je nutné zapsat výsledek s kladnou hodnotou

momentu a jeho skutečným směrem.

Poznámka: vyjde-li výpočtem záporná hodnota některé z reakcí, znamená to, že jste správně

neodhadli její směr. Skutečný směr bude obráceně od předpokládaného. V žádném případě vámi

předpokládaný směr této reakce nepřekreslujte. Jsou podle něj sestaveny podmínky rovnováhy a

ty musí být v souhlasu se schématem. Řešením je: vedle původního (chybného) směru odlišně

zakreslit směr skutečný tak, ať je zřetelné, pro který byly sestaveny podmínky rovnováhy a který je

skutečný. Znázorněno je na obrázku výše vlevo tak, že hodnota Ma je zapsána stejnou barvou jako

šipka skutečného směru. Efektivnějším řešením je zadání překreslit nově se správným směrem – viz obrázek dole vlevo. Toto však musí

být zakresleno pod původním zadáním (s původními odhadnutými směry), pro které byly sestaveny

podmínky rovnováhy.

Skutečné směry reakcí včetně hodnot:

Poznámka:

Výsledná hodnota reakce musí být kladné číslo

s uvedením skutečného směru. Postup je zřejmý

v rovnicích výše a je nutné jej dodržovat (musí být

matematicky zapsáno, že reakce vyšla záporně a

hned pod tímto nově uvedena kladná hodnota se

skutečným směrem: �� = −14,928 kNm

�� = ��, �� (↻)

Číselná hodnota musí být uvedena také ve schématu

u skutečného směru, viz oba obrázky vlevo výše.

Časté chyby studentů, když neodhadnou správné směry reakcí a kterým je nutné se vyvarovat:

Studenti zakreslí k původnímu chybnému směru i

směr nový, jak je na obrázku vlevo. Je to hrubá

chyba V tomto případě nelze ze schématu poznat

ani správný směr, ani směr, pro který byly

sestaveny podmínky rovnováhy.

V původním zadání vymažou původní (chybný)

směr a zakreslí pouze ten správný. Takto nelze,

protože schéma v tomto případě neodpovídá

sestaveným podmínkám rovnováhy – nepasují

znaménka. Je to hrubá chyba.

Rax

= 2 kN a b

Raz

= 3,464 kN

Ma= 13,072 kNm

Fx= 2 kN

M = 20 kNm

Fz= 3,464 kN

a b

Raz

= 3,464 kN

Ma= 14,928 kNm

Fx= 2

M = 20 kNm

Rax

= 2 kN

Rax

= 2 kN a b

Raz

= 3,464 kN

Ma= 14,928 kNm

Fx= 2 kN

M = 20 kNm

Fz= 3,464 kN


Nosník (prut) se oproti předešlého příkladu 2

liší pouze hodnotou momentu M.

Všimněte si: tímto se změnil směr momentové

reakce v podpoře.

Není vysvětlen rozklad sil a rovnou je

zakreslen nosník se sožkami síly F i

s předpokládanými směry reakcí, protož je

vyřešeno již v předešlém příkladě.




půl stránky



Ve směru osy x nedošlo ke změně.

∑ ��,� = � součet všech sil působících na prut ve směru

osy x je roven 0 �� − �� = 0 zápis v obecném tvaru

�� − 2 = 0 dosazení do obecného tvaru

�� = � �� (→) výsledek zvýraznit, do závorky zakreslit

skutečný směr reakce a zapsat hodnotu do schématu



Ve směru osy z nedošlo ke změně.

∑ ��,� = � součet všech sil působících na prut ve směru

osy z je roven 0 −�� + �� = 0 zápis v obecném tvaru


�� = �, �� (↑) výsledek zvýraznit, do závorky

zakreslit skutečný směr reakce a zapsat hodnotu do schématu

Momentová podm. rovnováhy vztažená k bodu a:

∑ ��,� = � součet všech statických momentů vztažených

k bodu a je roven 0.

Změna oproti předešlému příkladu 2 je pouze v

hodnotě momentu M. Otáčivý účinek má proti směru

hodinových ručiček (kladný směr).


−�� ∙ 2 + � + �� = 0 zápis v obecném tvaru.

−3,464 ∙ 2 + 5 + �� = 0 dosazení do obecného tvaru

�� = �, �� (↶)

Rax

= 2 kN a b

Raz

= 3,464 kN

Ma= 1,928 kNm

Fx= 2 kN

M = 5 kNm

Fz= 3,464 kN

Rax

a b

Raz

Ma

Fx = 2 kN

M = 5 kNm

Fz = 3,464 kN

a b

60°

F = 4 kN

2

M = 5 kNm

2


Nosník (prut) je pouze zrcadlově otočen

oproti prvního příkladu. Změna je tedy v tom,

že podporový bod je bod b (místo bodu a),

reakce budou tímto indexovány „b“ a

momentová podmínka bude sestavena k bodu

b. Opět není potřeba vysvětlovat rozklad sil (je

shodný s příkladem 1) a rovnou je zakreslen

nosník se sožkami síly F i s předpokládanými

směry reakcí.





Na prut působí 2 síly ve směru osy x. V kladném

směru osy x působí vodorovná složka síly F, tedy síla

Fx a v záporném směru osy x působí reakce Rbx.

∑ ��,� = � součet všech sil působících na prut

ve směru osy x je roven 0 �� − �� = 0 zápis v obecném tvaru

2 − �� = 0 dosazení do obecného tvaru

�� = � �� (←) výsledek zvýraznit, do závorky

zakreslit skutečný směr reakce a zapsat hodnotu do



Na prut působí 2 síly ve směru osy z. V kladném

směru osy z působí svislá složka síly F, tedy síla Fz a

v záporném směru osy z působí reakce Rbz.

∑ ��,� = � součet všech sil působících na prut ve směru osy z je roven 0

−�� + �� = 0 zápis v obecném tvaru


�� = �, �� (↑) výsledek zvýraznit, do závorky

zakreslit skutečný směr reakce a zapsat hodnotu do


Rbx

b a

Rbz

Mb

Fx = 2 kN

M = 20 kNm

Fz = 3,464 kN

b a

60°

F = 4 kN

2

M = 20 kNm

2



půl stránky

Momentová podm. rovnováhy vztažená k bodu b:

Na podporový bod a působí tyto statické momenty

(uváděny jsou od volného konce konzoly,

tedy zleva):

Statický moment od síly Fz. Tato síla má vzhledem

k podporovému bodu otáčivý účinek proti směru

hodinových ručiček (kladný směr).

Statický moment od momentu M. Moment M má

otáčivý účinek proti směru hodinových ručiček

(kladný směr).

Statický moment od podporového momentu Mb.

Otáčí ovšem ve směru hodinových ručiček (kladný

směr).

Síly Fx, Rbx a Rbz moment k podporovému bodu b

nevytváří – mají od něj nulovou vzdálenost.

∑ ��,� = � součet všech statických momentů vztažených k bodu b je roven 0.


�� ∙ 2 + � − �� = 0 zápis v obecném tvaru.

3,464 ∙ 2 + 20 − �� = 0 dosazení do obecného tvaru

�� = ��, �� (↻)

Rbx

= 2 kN a b

Rbz

= 3,464 kN

Mb= 26,928 kNm

Fx= 2 kN

M = 20 kNm

Fz= 3,464 kN

Reakce příklad: prostý nosník 1

Zadání příkladu

Nosník (prut) je podepřen ve dvou místech (v bodech a a b) na kloubových podporách. Nazývá se

prostý nosník. Jeho podepření musí zajistit, aby nedošlo k žádnému ze tří výše uvedených posunutí

(vodorovný a svislý posun a pootočení). Existuje dvojí značení pro kloubové podpory, které je patrné

z obrázku.

Schéma rozdílného značení kloubových podpor

Schéma prutu s předpokládanými směry reakcí

Bod a: v bodě a je posuvná kloubová podpora, to znaméná, že je schopná zabránit pouze svislému

posunutí v místě, kde je umístěna. Působí v ní pouze jedna složka reakce ve svislém směru Raz.

Bod b: v bodě b je pevná kloubová podpora, to znaméná, že je schopná zabránit svislému i

vodorovnému posunutí v místě, kde je umístěna. Působí v ní dvě složky reakcí ve svislém i

vodorovném směru Rbx a Rbz.

Každá kloubová podpora umožňuje otáčení prutu v kloubu (kloubová podpora není schopna zachytit

moment), proto musí tyto podpory působit současně na dvou místech a pouze takto je zabráněno

otáčení prutu.

Vodorovnému posunutí zabraňuje vodorovná silová vazba, v tomto připadě reakce Rbx. Jelikož

v tomo příkladu není vodorovné zatížení, je jasné, že reakce bude nulová, přesto ji do scématu

zakreslete (směr zvolte sami). Její nulovou hodntotu potvrdíte výpočtem.

Počítá se ze silové podmínky rovnováhy ve směru x: ∑ ��,� = 0

Slovní vyjádření této rovnice: součet všech sil (zatížení i reakce) působících na prut ve směru osy x

je roven nule.

Svislému posunutí zabraňují 2 svislé silové vazby, ve kterých působí svislé síly – reakce Raz a Rbz.

Obecně se počítá ze silové podmínky rovnováhy ve směru z: ∑ ��,� = 0

Slovní vyjádření této rovnice: součet všech sil (zatížení i reakce) působících na prut ve směru osy z

je roven nule. U daného nosníku na dvou podporách však figurují 2 neznáme sožky reakcí ve směru

osy z, proto se k jejich výpoštu využívá také momentová podmínka rovnováhy. Více viz řešení

přikladu.

Pootočení zabraňuje rozložení reakcí do dvou bodů, protože zde nefiguruje momentová vazba.

Momentová podmínka rovnováhy: ∑ �� = 0 se u nosníku na dvou podporách využívá k výpočtu

silových složek reakcí. Slovní vyjádření této rovnice: součet všech statických momentů (vzniklých od

zatížení i reakcí) vztažených k jakémukoliv bodu prutu je roven nule. Při řešení reakcí volíme

momentovou podmínku rovnováhy vztaženou k bodům, kde působí reakce (v tomto příkladu

k bodům a i b). Více viz řešení přikladu.

Jelikož nosník na dvou podporách nemá momentovou vazbu a vždy existují dvě neznámé složky

reakce v jednom ze dvou směrů x nebo z, je nutné při řešení pozměnit pořadí podmínek rovnováhy.

U nosníku na dvou podporách se provádí také kontrola správnosti výsledků. V tomto případě jsou

dvě neznámé složky reakcí ve směru osy z (tak to bude nejčastější případ, ale pozor - ne vždy).

K výpočtu reakcí u nosníku na dvou podporách využíváme tedy všechny podmínky rovnováhy

v následujícím pořadí:

Silová podmínka rovnováhy pro směr, ve kterém je pouze jedna neznámá složka reakce. U přímých

prutů to bývá nejčastěji vodorovná složka reakce.

∑ ��,� = � … Součet všech sil (zatížení i reakce) působících na prut ve směru osy x je roven nule.

Momentová podmínka rovnováhy vztažená k jednomu podporovému bodu.

∑ ��,� = � … Součet všech statických momentů vztažených k bodu a je roven 0.

Momentová podmínka rovnováhy vztažená k jednomu podporovému bodu.

∑ ��,� = � … Součet všech statických momentů vztažených k bodu b je roven 0.

Kontrolní silová podmínka rovnováhy pro směr, ve kterém působí dvě neznámé složky reakce.

U přímých prutů to bývá nejčastěji svislá složka reakce.

∑ ��,� = � … Součet všech sil (zatížení i reakce) působících na prut ve směru osy z je roven nule.



Řešení reakcí


Na prut působí pouze 1 síla ve směru osy x,

a to reakce Rbx. Zatížení ve směru osy x nepůsobí.

∑ ��,� = �

�� = 0

Poznámka: Přestože je na první pohled jasné, že vodorovná reakce je nulová, každopádně ji do schématu zakreslete a podmínku rovnováhy zapište. Pokud tak neučiníte, bude to hodnoceno jako chyba a bráno tak, že nevíte, která podpora je schopna zachytit vliv vodorovného zatížení.

Momentová podmínka rovnováhy vztažená k bodu a:

Na podporový bod a působí tyto statické momenty (uváděny jsou postupně z pravé strany, tedy od

bodu b):

Statický moment k bodu a od reakce Rbz. Tato reakce má vzhledem k podporovému bodu a

otáčivý účinek proti směru hodinových ručiček. Jedná se o kladný směr. (poznámka: kladný

otáčivý účinek, přestože reakce Rbz působí v záporném směru osy z – otáčivý účinek nezáleží,

kterým směrem síla působí (zda kladným nebo záporným), ale záleží pouze na tom, kterým

směrem kolem daného bodu otáčí). Kolmá vzdálenost reakce Rbz od podporového bodu a je

shodná s délkou prutu, tedy 6 metrů.

Statický moment k bodu a od síly F. Síla F má vzhledem k bodu a otáčivý účinek ve směru

hodinových ručiček. Jedná se o záporný směr. (poznámka: záporný otáčivý účinek, přestože síla

F působí v kladném směru osy z – znaménko otáčivého účinku nezáleží, kterým směrem síla

působí (zda kladným nebo záporným), ale záleží pouze na tom, kterým směrem kolem daného

bodu otáčí). Kolmá vzdálenost síly F od bodu a je 3 metry.

Statický moment k bodu a od momentu M. Moment M má otáčivý účinek ve směru hodinových

ručiček (záporný směr) a takto působí nejen na bod a, ale shodně na všechny body na prutu.

Statický moment k bodu a od reakcí Rbx ani Raz nevzniká, obě reakce mají nulovou (kolmou)

vzdálenost od podporového bodu a.


�� ∙ 6 − � ∙ 3 − � = 0 … zápis v obecném tvaru.

Poznámka: Všimněte si: silový účinek je správně popsán vztahem pro moment: síla × vzdálenost. Stejně tak je správně zapsán otáčivý účinek od momentu M. Ten již nemůže být násoben vzdáleností, protože sám o sobě je momentem. Vynásobením moment vzdáleností bychom získali úplně jinou veličinu a ta do momentové rovnice nepatří.

�� ∙ 6 − 6 ∙ 3 − 12 = 0 … dosazení do obecného tvaru.

Jediná neznámá je svislá silová reakce Rbz.

�� = � �� (↑) …výsledek zvýraznit a do závorky zakreslit skutečný směr reakce

Momentová podmínka rovnováhy vztažená k bodu b:

Na podporový bod b působí tyto statické momenty (uváděny jsou postupně z levé strany, tedy od

bodu a):

Statický moment k bodu b od reakce Raz. Tato reakce má vzhledem k podporovému bodu b

otáčivý účinek ve směru hodinových ručiček. Jedná se záporný směr. Kolmá vzdálenost reakce

Raz od podporového bodu a je shodná s délkou prutu, tedy 6 metrů.

Statický moment k bodu a od síly F. Síla F má vzhledem k bodu b otáčivý účinek proti směru

hodinových ručiček. Jedná se o kladný směr. (poznámka: všimněte si: síla F působí pořád směrem

dolů, přitom ke každému podporovému bodu má různě orientovaný otáčivý účinek – další důkaz,

že znaménko otáčivého účinku nezáleží, kterým směrem síla působí (zda kladným nebo

záporným), ale záleží pouze na tom, kterým směrem kolem daného bodu otáčí). Kolmá

vzdálenost síly F od bodu a je 3 metry.

Statický moment k bodu b od momentu M. Moment M má otáčivý účinek ve směru hodinových

ručiček (záporný směr) a takto působí nejen na bod b, ale shodně na všechny body na prutu.

Statický moment k bodu b od reakcí Rbx ani Rbz nevzniká, obě reakce mají nulovou (kolmou)


∑ ��,� = � … součet všech statických momentů vztažených k bodu b je roven 0.

−�� ∙ 6 + � ∙ 3 − � = 0 … zápis v obecném tvaru.

−�� ∙ 6 + 6 ∙ 3 − 12 = 0 … dosazení do obecného tvaru.

Jediná neznámá je svislá silová reakce Raz.

�� = � �� (↑) …výsledek zvýraznit a do závorky zakreslit skutečný směr reakce

Teď je nutné provést kontrolu výpočtu. Neodhalí sice chyby stoprocentně, ale řadu chyb přesto

odhalí.

Kontrolní silová podmínka rovnováhy pro směr z:

Na prut působí 3 síly ve směru osy z. V kladném směru osy z působí síla F, v záporném směru osy z

působí obě svislé reakce Raz a Rbz. Pořadí sil zleva:

∑ ��,� = � …součet všech sil působících na prut ve směru z je roven 0

−�� + ��−�� = 0 …zápis v obecném tvaru

−1 + 6 − 5 = 0 …dosazení do obecného tvaru

Kontrola naznačila, že by reakce mohly být spočítané správně (pozor-není to stoprocentní). Všechny

složky reakce jsou tímto spočítány. Teď je nutné jejich hodnoty zapsat do schématu (proveďte sami).

Po zapsání hodnot do schématu je výpočet reakcí hotov.

Reakce příklad: prostý nosník 2

Zadání nosníku

Zadaný nosník – pouze jiné značení reakcí

Zakreslena rozložená síla


Na nosník působí šikmá síla. Jako první je nutné

každou šikmou sílu rozložit do 2 složek ve směru os,

tedy do směru osy x a do směru osy z. Hodnoty sil Fx

a Fz je nutné spočítat podle pravidel uvedených výše.

V tomto případě je síla Fx přilehlá k zadanému úhlu a

naopak síla Fz protilehlá, viz schéma:

Platí tedy:

�� = � ∙ cos 30° = 20 ∙ 0,866 = 17,32 kN

�� = � ∙ sin 30° = 20 ∙ 0,5 = 10,0 kN

Dále je vhodné dívat se na zatížení prutu pouze jako

zatížení se složkami síly Fx a Fz podle schématu pod

původním zadáním vlevo.

Poznámka: Pokud si nejste jisti správnosti goniometrické funkce, podívejte se na schéma rozkladu síly. Z obrázku je zřetelné, že síla Fz musí být menší než síla Fx. Je ovšem důležité, abyste měli úhel zakreslen částečně v měřítku – důležité je rozlišit, zda je jeho hodnota pod nebo nad 45°.

Řešení reakcí

Bod a: v bodě a je pevná kloubová podpora, to znaméná, že je schopná zabránit svislému i

vodorovnému posunutí v místě, kde je umístěna. Působí v ní dvě složky reakcí ve svislém i

vodorovném směru Rax a Raz. Viz schéma na další straně.

Bod b: v bodě b je posuvná kloubová podpora, to znaméná, že je schopná zabránit posuze svislému

posunutí v místě, kde je umístěna. Působí v ní pouze jedna složka reakce ve svislém směru Rbz. Viz

schéma na další straně

Každá kloubová podpora umožňuje otáčení prutu v kloubu (kloubová podpora není schopna zachytit

moment), proto musí tyto podpory působit současně na dvou místech a pouze takto je zabráněno

otáčení prutu.

Zakresleny předpokládané směry reakcí

Předpokládané směry reakcí. Při zakreslování si nechejte prostor na dodatečné dopsaní hodnot vypočtených reakcí.

V zadaném nosníku je pouze jedná neznámá složka reakce ve směru osy x, proto začneme:

Silovou podmínkou rovnováhy pro směr x: Na prut působí 2 síly ve směru osy x. V kladném směru osy x působí reakce Rax i vodorovná složka síly F, tedy síla Fx.

∑ ��,� = � … součet všech sil působících na prut ve směru

osy x musí být roven nule

�� + �� = 0 … zápis v obecném tvaru

�� + 17,32 = 0 … dosazení do obecného tvaru

�� = −17,32 kN výsledek je záporný, neodhadli jsme

směr reakce, nutno zapsat:

�� = ��, �� (←) zapsat kladnou hodnotu a do

závorky zakreslit skut. směr.

Výsledek zvýrazněte a hodnotu reakce a zapište do

schématu včetně zřetelně (barevně) označeného

skutečného směru (v žádném případě nic nemažte,

ani nepřekreslujte!). Viz schéma vlevo. Původní

(chybný) odhad musí být vidět, protože rovnice

(znaménka) musí být v souladu se schématem.

Můžete nově překreslit celý prut s novými správnými

směry - pod původním, ať je vidět.

Poznámka: Při odhadu směru reakcí, byl skutečný směr dobře zřetelný, zkuste se vždy nejprve zamyslet, jak by směry mohly být. Pokud to však nepoznáte, nedělejte si s tím hlavu - poznáte výpočtem a provedete patřičné zápisy, jak jsme si ukázali.


Na podporový bod a působí tyto statické momenty (uváděny jsou postupně z pravé strany, tedy od

bodu b):

Statický moment od reakce Rbz. Tato reakce má vzhledem k bodu a otáčivý účinek proti směru

hodinových ručiček. Jedná se o kladný směr. Kolmá vzdálenost reakce Rbz od podporového bodu

a je shodná s délkou prutu, tedy 9 metrů.

Statický moment od momentu M. Moment M má otáčivý účinek ve směru hodinových ručiček

(záporný směr).

Statický moment od svislé složky zadané síly, tedy od síly Fz. Síla Fz má vzhledem k bodu a otáčivý

účinek ve směru hodinových ručiček. Jedná se o záporný směr. Kolmá vzdálenost síly Fz od bodu

a je 3 metry.

Statický moment k bodu a od reakcí Rax ani Raz nevzniká, obě reakce mají nulovou (kolmou)

vzdálenost od podporového bodu a. Obě reakce působí přímo v bodě a.


�� ∙ 9 − � − �� ∙ 3 = 0 … zápis v obecném tvaru. Pozor: moment nenásobit vzdáleností.

�� ∙ 9 − 3 − 10 ∙ 3 = 0 … dosazení do obecného tvaru. Jediná neznámá je svislá silová reakce Rbz.

�� = �, �� (↑) …výsledek zvýraznit a do závorky zakreslit skutečný směr reakce



bodu a):

Statický moment od reakce Raz. Tato reakce má vzhledem k bodu b otáčivý účinek ve směru

hodinových ručiček. Jedná se o záporný směr. Kolmá vzdálenost reakce Raz od podporového bodu

b je shodná s délkou prutu, tedy 9 metrů.

Statický moment od svislé složky zadané síly, tedy od síly Fz. Síla Fz má vzhledem k bodu b otáčivý

účinek proti směru hodinových ručiček. Jedná se o kladný směr. Kolmá vzdálenost síly Fz od bodu

b je 6 metrů.

Statický moment k bodu b od momentu M. Moment M má otáčivý účinek ve směru hodinových

ručiček (záporný směr) a takto působí nejen na bod b, ale shodně na všechny body na prutu.

Statický moment od reakcí Rax ani Rbz nevzniká, obě reakce mají nulovou (kolmou) vzdálenost od

podporového bodu a.

∑ ��,� = � … součet všech statických momentů vztažených k bodu b je roven 0.

−�� ∙ 9 + �� ∙ 6 − � = 0 … zápis v obecném tvaru. Pozor: moment nenásobit vzdáleností.

−�� ∙ 9 + 10 ∙ 6 − 3 = 0 … dosazení do obecného tvaru. Jediná neznámá je svislá silová reakce Raz.

�� = �, �� (↑) …výsledek zvýraznit a do závorky zakreslit skutečný směr reakce

Kontrolní silová podmínka rovnováhy pro směr z: nutné

Na prut působí 3 síly ve směru osy z. V kladném směru osy z působí síla Fz, v záporném směru osy z

působí obě svislé reakce Raz a Rbz. Pořadí sil zleva:

∑ ��,� = � …součet všech sil působících na prut ve směru z je roven 0

−�� + ��−�� = 0 …zápis v obecném tvaru

−6,33 + 10 − 3,67 = 0 …dosazení do obecného tvaru

Kontrola naznačila, že by reakce mohly být spočítané správně (pozor-není to stoprocentní) Všechny

složky reakce jsou tímto spočítány. Teď je nutné jejich hodnoty zapsat do schématu (proveďte sami).

Po zapsání hodnot do schématu je výpočet reakcí hotov.

Reakce příklad: nosník s převislými konci

Zadání nosníku


Všimněte si označení úhlu – je vztažen k jiné ose než

v předešlých případech

�� = � ∙ sin 60° = 20 ∙ 0,866 = 17,32 kN

�� = �� ∙ cos 60° = 20 ∙ 0,5 = 10 kN

Dále je vhodné dívat se na zatížení prutu pouze jako

zatížení se složkami síly F2x a F2z podle schématu

vlevo.

Poznámka: Pokud si nejste jisti správnosti goniometrické

funkce, podívejte se na schéma rozkladu síly. Z obrázku je

zřetelné, že síla Fz musí být menší než síla Fx. Je ovšem

důležité, abyste měli úhel zakreslen částečně v měřítku –

důležité je rozlišit, zda je jeho hodnota pod nebo nad 45°.

Zakreslena rozložena síla

Zakreslené předpokládané složky reakcí a jejich hodnoty

Pod schématem nechejte místo alespoň půl stránky

Předpokládané směry reakcí. Při zakreslování si nechejte prostor na dodatečné dopsaní hodnot vypočtených reakcí.

V zadaném nosníku je pouze jedná neznámá složka reakce ve směru osy x, proto začneme:

Silovou podmínkou rovnováhy pro směr x: Na prut působí 2 síly ve směru osy x. V kladném směru osy x působí reakce Rbx, v záporném směru osy x působí vodorovná složka síly F2, tedy síla F2x.

∑ ��,� = �

−�� − �� = 0

−�� − 17,32 = 0

�� = −17,32

�� = ��, �� (→)


∑ ��,� = �

�� ∙ 1 + �� + �� ∙ 6 − �� ∙ 9 = 0

4 ∙ 1 + 6 + �� ∙ 6 − 10 ∙ 9 = 0

�� = ��, �� (↑)

Na podporový bod a působí tyto statické momenty (uváděny jsou postupně z levé strany):

Statický moment od síly F1. Tato síla má vzhledem k bodu a otáčivý účinek proti směru

hodinových ručiček. Jedná se o kladný směr. Kolmá vzdálenost reakce F1 od bodu a je 1 metr.

Statický moment od reakce Raz nevzniká. Reakce bodem a přímo prochází a má od něj nulovou

vzdálenost.

Statický moment od momentu Md. Moment Md má otáčivý účinek proti směru hodinových

ručiček (kladný směr) a takto působí nejen na bod a, ale shodně na všechny body na prutu.

Statický moment od reakce Rbz. Tato reakce má vzhledem k bodu a otáčivý účinek proti směru

hodinových ručiček. Jedná se o kladný směr. Kolmá vzdálenost reakce Rbz od podporového bodu

a je 6 metrů.

Statický moment od svislé složky síly F2z. Síla F2z má vzhledem k bodu a otáčivý účinek ve směru

hodinových ručiček. Jedná se o záporný směr. Kolmá vzdálenost síly F2z od bodu a je 9 metrů.

Momentová podmínka rovnováhy vztažená k bodu b

∑ ��,� = �

�� ∙ 7 − �� ∙ 6 + �� − �� ∙ 3 = 0

4 ∙ 7 − �� ∙ 6 + 6 − 10 ∙ 3 = 0

�� = �, �� (↑)

Na podporový bod b působí tyto statické momenty (uváděny jsou postupně z levé strany):

Statický moment od síly F1. Tato síla má vzhledem k bodu a otáčivý účinek proti směru

hodinových ručiček. Jedná se o kladný směr. Kolmá vzdálenost reakce F1 od bodu b je 7 metrů.

Statický moment od reakce Raz. Tato reakce má vzhledem k bodu b otáčivý účinek ve směru

hodinových ručiček. Jedná se o záporný směr. Kolmá vzdálenost reakce Raz od podporového bodu

b je 6 metrů.

Statický moment od momentu Md. Moment Md má otáčivý účinek proti směru hodinových

ručiček. Jedná se o kladný směr.

Statický moment od reakce Rbz nevzniká. Reakce bodem b přímo prochází a má od něj nulovou

vzdálenost.

Statický moment od svislé složky síly F2z. Síla F2z má vzhledem k bodu b otáčivý účinek ve směru

hodinových ručiček. Jedná se o záporný směr. Kolmá vzdálenost síly F2z od bodu b je 3 metry.


Na prut působí 4 síly ve směru osy z. V kladném směru osy z působí síly F1 a F2z, v záporném směru

osy z působí obě svislé reakce Raz a Rbz. Pořadí sil zleva:

∑ ��,� = �

��−��−�� + �� = 0

4 − 0,67 + 10 − 13,33 = 0 … v pořádku

Po zapsání hodnot reakcí do schématu je výpočet reakcí hotov.

Reakce příklad: spojité zatížení 1 Spojité zatížení q [kN/m] je zatížení, které je rozložené po části prutu, často i po celé jeho délce. Jeho

výsledný účinek je síla, tzv. náhradní břemeno Q [kN] a jeho velikost je shodná s plochou zatížení q.

Působiště náhradního břemena Q je v těžišti zatěžovacího obrazce q. Náhradní břemeno značíme

čárkovaně a při řešení reakcí je výhodné s ním počítat místo q. Více viz řešené příklady.

Zadání nosníku

Schéma nosníku se zakreslenými Q1 a Q2 a předpokládanými směry reakcí


Poznámka: Přestože je reakce nulová, do schématu ji zakreslete a podmínku rovnováhy zapište.

Rovnoměrné (konstantní) spojité zatížení q1:

působí na délce 3 metry o velikosti q1 = 10kN/m,

zatěžovací obrazec tvoří obdélník 10 kN/m × 3m

Náhradní břemeno Q1:

�� = � ∙ � = 10 ∙ 3 = 30 kN,

jeho působiště je v těžišti obdélníku, tedy v polovině

délky, kde toto spojité zatížení působí. Viz schéma

vlevo.

Trojúhelníkové spojité zatížení q2:

působí na délce 3 metry, jeho velikost se mění od 0 na

levé straně až na hodnotu q2 = 10kN/m na jeho pravé

straně. Změna hodnoty q probíhá lineárně (po

přímce), zatěžovací obrazec tvoří

trojúhelník o délce 3 metry a výšce 10 kN/m.

Náhradní břemeno Q2:

�� =�

�∙ � ∙ � =

�

�∙ 10 ∙ 3 = 15 kN,

jeho působiště je v těžišti trojúhelníku, tedy

ve třetině, respektive ve 2/3 délky, kde toto spojité

zatížení působí. Viz schéma vlevo.

Výpočet reakcí

Jedná se o prostý nosník, je podepřen na 2 kloubových podporách. Levá je posuvná, pravá podpora je pevná a v případě vodorovného zatížení v ní bude působit vodorovná složka reakce. Při zakreslování předpokládaných směrů reakcí si nechejte prostor na dodatečné dopsaní hodnot vypočtených reakcí.


Na prut působí pouze 1 síla ve směru osy x, a to

reakce Rbx. Zatížení ve směru osy x nepůsobí.

∑ ��,� = � �� = 0


Poznámka: Náhradní břemeno Q má ekvivalentní vnější účinky jako vnější účinky od samotného

spojitého zatížení q. Při výpočtu reakcí je proto výhodné počítat s náhradním břemenem Q místo

spojitého zatížení q.

Na podporový bod a působí tyto statické momenty (uváděny jsou postupně z pravé strany, tedy

od bodu b):

Statický moment od reakce Rbz. Tato reakce má vzhledem k podporovému bodu a otáčivý účinek

proti směru hodinových ručiček. Jedná se o kladný směr. Kolmá vzdálenost reakce Rbz od bodu a

je shodná s délkou prutu, tedy 6 metrů.

Statický moment od rovnoměrného (konstantního) spojitého zatížení. Náhradní břemeno Q1

(shodně se spoj. zat. q1) má vzhledem k bodu a otáčivý účinek ve směru hodinových ručiček.

Jedná se o záporný směr. Kolmá vzdálenost Q1 od bodu a je 4,5 metry (Q1 působí v těžišti

obdélníku – zatěžovacího obrazce q1).

Statický moment od trojúhelníkového spojitého zatížení. Náhradní břemeno Q2 (shodně se spoj.

zat. q2) má vzhledem k bodu a otáčivý účinek ve směru hodinových ručiček. Jedná se o záporný

směr. Kolmá vzdálenost Q2 od bodu a je 2 metry (Q2 působí v těžišti trojúhelníku – zatěžovacího

obrazce q2).

Statický moment k bodu a od reakcí Rbx ani Raz nevzniká, obě reakce mají nulovou (kolmou)



�� ∙ 6 − �� ∙ 4,5 − �� ∙ 2 = 0 … zápis v obecném tvaru.

�� ∙ 6 − 30 ∙ 4,5 − 15 ∙ 2 = 0 … dosazení do obecného tvaru.

�� ∙ 6 = 30 ∙ 4,5 + 15 ∙ 2

�� = ��, � �� (↑) …výsledek zvýraznit a do závorky zakreslit skutečný směr reakce


Na podporový bod b působí tyto statické momenty (uváděny jsou postupně z pravé strany, tedy

od bodu b):


(shodně se spoj. zat. q1) má vzhledem k bodu b otáčivý účinek proti směru hodinových ručiček.

Jedná se o kladný směr. Kolmá vzdálenost Q1 od bodu b je 1,5 metry (Q1 působí v těžišti obdélníku

– zatěžovacího obrazce q1).


zat. q2) má vzhledem k bodu b otáčivý účinek proti směru hodinových ručiček. Jedná se o kladný

směr. Kolmá vzdálenost Q2 od bodu b je 4 metry (Q2 působí v těžišti trojúhelníku – zatěžovacího

obrazce q2).

Statický moment od reakce Raz. Tato reakce má vzhledem k podporovému bodu b otáčivý účinek

ve směru hodinových ručiček. Jedná se o záporný směr. Kolmá vzdálenost reakce Raz od bodu a

je shodná s délkou prutu, tedy 6 metrů.

Statický moment od reakcí Rbx ani Rbz nevzniká, obě reakce mají nulovou (kolmou) vzdálenost od

podporového bodu b. Reakce tímto bodem přímo procházejí.


�� ∙ 1,5 + �� ∙ 4 − �� ∙ 6 = 0 … zápis v obecném tvaru.

30 ∙ 1,5 + 15 ∙ 4 − �� ∙ 6 = 0 … dosazení do obecného tvaru.

�� ∙ 6 = 30 ∙ 1,5 + 15 ∙ 4

�� = ��, � �� (↑) …výsledek zvýraznit a do závorky zakreslit skutečný směr reakce


Na prut působí 4 zatížení ve směru osy z. V kladném směru osy z působí spojitá zatížení

rovnoměrné a trojúhelníkové, v záporném směru osy z působí obě svislé složky reakcí Raz a Rbz.

Pořadí sil zleva:

∑ ��,� = �

−��+�� + �� − �� = 0

−17,5 + 15 + 30 − 27,5 = 0 … v pořádku


Reakce příklad: spojité zatížení 2 Nosník je dlouhý i zatížený shodně jako v předešlém příkladu. Změna je pouze v uložení prutu.

Zadání nosníku

Spojitá zatížení jsou shodná jako v předešlém

příkladu

Náhradní břemena Q:

�� = 10 ∙ 3 = 30 kN,

�� = �

�∙ 10 ∙ 3 = 15 kN,

Schéma nosníku se zakreslenými Q1 a Q2 a předpokládanými směry reakcí

Výpočet reakcí

Jedná se o konzolový nosník (prut), je podepřen

v jednom místě (v bodě b). K výpočtu reakcí na

konzole využíváme všechny 3 podmínky rovnováhy v

pořadí, jak byly uvedeny na přednášce nebo v prvních

příkladech tohoto dokumentu.

Při zakreslování předpokládaných směrů reakcí si nechejte prostor na dodatečné dopsaní hodnot vypočtených reakcí.


Na prut působí pouze 1 síla ve směru osy x, a to reakce Rbx. Zatížení ve směru osy x nepůsobí.

∑ ��,� = �

�� = 0

Poznámka: Přestože je reakce nulová, do schématu ji zakreslete a podmínku rovnováhy zapište.

Pokud tak neučiníte, bude to hodnoceno jako chyba a bráno tak, že předpokládáte neschopnost

vetknutí zachytit vliv vodorovného zatížení, což je chybný předpoklad.


Na prut působí 3 zatížení ve směru osy z. V kladném směru osy z působí spojitá zatížení rovnoměrné

a trojúhelníkové, v záporném směru osy z působí svislá složka reakce Rbz. Pořadí sil zleva:

∑ ��,� = �

�� + �� − �� = 0

15 + 30 − �� = 0

�� = �� (↑)



bodu a):


zat. q2) má vzhledem k bodu b otáčivý účinek proti směru hodinových ručiček. Jedná se o kladný

směr. Kolmá vzdálenost Q2 od bodu b je 4 metry (Q2 působí v těžišti trojúhelníku – zatěžovacího

obrazce q2).


(shodně se spoj. zat. q1) má vzhledem k bodu b otáčivý účinek proti směru hodinových ručiček.

Jedná se o kladný směr. Kolmá vzdálenost Q1 od bodu b je 1,5 metry (Q1 působí v těžišti obdélníku

– zatěžovacího obrazce q1).

Statický moment od podporového momentu Mb. Mb má otáčivý účinek shodný ke všem bodům

prutu, tudíž i k bodu b. Otáčí ve směru hodinových ručiček (záporný směr).

Statický moment od reakcí Rbx ani Rbz nevzniká, obě reakce mají nulovou (kolmou) vzdálenost od

podporového bodu b. Reakce tímto bodem přímo procházejí.

∑ ��,� = �

�� ∙ 4 + �� ∙ 1,5 − �� = 0

15 ∙ 4 + 30 ∙ 1,5 − �� = 0

�� = 30 ∙ 1,5 + 15 ∙ 4

�� = �� (↷)

Kontrolní podmínka rovnováhy u konzoly není nutná.

Reakce příklad: spojité zatížení 3 Nosník s převislými konci.

Zadání nosníku

Schéma nosníku se zakreslenými Qi a předpokládanými směry reakcí


Spojitá zatížení

Spojité zatížení je rovnoměrné (konstantní) po celé

délce prutu a je rozděleno na 3 úseky.

Náhradní břemena Q:

�� = 5 ∙ 1 = 5 kN,

�� = 5 ∙ 4 = 20 kN,

�� = 5 ∙ 2 = 10 kN

Působiště všech Q viz schéma (vždy v těžištích

obdélníků)

Výpočet reakcí

Nosník (prut) je podepřen ve dvou místech (v bodech a a b) na koubových podporách. Pevná kloubová podpora, která je schopna zachytit vodorovný posun je v bodě a.


Na prut působí pouze 1 síla ve směru osy x, a to

reakce Rax. Zatížení ve směru osy x nepůsobí.

∑ ��,� = � �� = 0



od bodu b):

Statický moment od spojitého zatížení na pravém převislém konci dlouhém 2 metry. Náhradní

břemeno Q3 má vzhledem k bodu a otáčivý účinek ve směru hodinových ručiček. Jedná se

o záporný směr. Kolmá vzdálenost Q3 od bodu a je 5 metrů.



je 4 metry.

Statický moment od spojitého zatížení mezi podporami. Náhradní břemeno Q2 má vzhledem

k bodu a otáčivý účinek ve směru hodinových ručiček. Jedná se o záporný směr. Kolmá vzdálenost

Q2 od bodu a je 2 metry.

Statický moment od spojitého zatížení na levém převislém konci. Náhradní břemeno Q1 má

vzhledem k bodu a otáčivý účinek proti směru hodinových ručiček. Jedná se o kladný směr. Kolmá

vzdálenost Q1 od bodu a je 0,5 metru.




−�� ∙ 5 + �� ∙ 4 − �� ∙ 2 + �� ∙ 0,5 = 0 … zápis v obecném tvaru.

−10 ∙ 5 + �� ∙ 4 − 20 ∙ 2 + 5 ∙ 0,5 = 0 … dosazení do obecného tvaru.

�� ∙ 4 = 10 ∙ 5 + 20 ∙ 2 − 5 ∙ 0,5

�� = ��, �� (↑) …výsledek zvýraznit a do závorky zakreslit skutečný směr reakce



od bodu b):

Statický moment od spojitého zatížení na pravém převislém konci dlouhém 2 metry. Náhradní

břemeno Q3 má vzhledem k bodu b otáčivý účinek ve směru hodinových ručiček. Jedná se

o záporný směr. Kolmá vzdálenost Q3 od bodu a je 1 metr.

Statický moment od spojitého zatížení mezi podporami. Náhradní břemeno Q2 má vzhledem

k bodu b otáčivý účinek proti směru hodinových ručiček. Jedná se o kladný směr. Kolmá

vzdálenost Q2 od bodu b je 2 metry.


ve směru hodinových ručiček. Jedná se o záporný směr. Kolmá vzdálenost reakce Raz od bodu b

je 4 metry.

Statický moment od spojitého zatížení na levém převislém konci. Náhradní břemeno Q1 má

vzhledem k bodu b otáčivý účinek proti směru hodinových ručiček. Jedná se o kladný směr. Kolmá

vzdálenost Q1 od bodu b je 4,5 metru.

Statický moment k bodu a od reakcí Rax ani Rbz nevzniká, obě reakce mají nulovou (kolmou)



−�� ∙ 1 + �� ∙ 2 − �� ∙ 4 + �� ∙ 4,5 = 0 … zápis v obecném tvaru.

−10 ∙ 1 + 20 ∙ 2 − �� ∙ 4 + 5 ∙ 4,5 = 0 … dosazení do obecného tvaru.

�� ∙ 4 = 10 ∙ 1 − 20 ∙ 2 + 5 ∙ 4,5

�� = ��, �� (↑) …výsledek zvýraznit a do závorky zakreslit skutečný směr reakce


Na prut působí 5 zatížení ve směru osy z. V kladném směru osy z působí spojité zatížení (3 × Q),

v záporném směru osy z působí obě svislé složky reakcí Raz a Rbz. Pořadí sil zleva:

∑ ��,� = �

��−��+�� − �� + �� = 0

5−13,125 + 20 − 21,875 + 10 = 0 … v pořádku


Reakce příklad: spojité zatížení 4 Zatížení i uložení prutu je shodné s předešlým příkladem, liší se pouze jiným způsobem určené Q

Zadání nosníku

Spojitá zatížení

Jelikož je spojité zatížení konstantní po celé

délce prutu a má ve všech úsecích stejnou

hodnotu, je možné náhradní břemeno Q

stanovit jako jednu výslednou sílu, která

působí v těžišti celého obrazce zatížení

(uprostřed délky celého prutu) podle obrázku:

� = 5 ∙ 7 = 35 kN

Toto řešení je sice pro výpočet reakcí rychlejší,

ovšem při řešení vnitřních sil (viz další příklady)

je takto určené Q nepraktické.

Schéma nosníku se zakresleným Q a předpokládanými směry reakcí

Výpočet reakcí


Na prut působí pouze 1 síla ve směru osy x, a to reakce Rax. Zatížení ve směru osy x nepůsobí.

∑ ��,� = �

�� = 0



od bodu b):



je 4 metry.

Statický moment od spojitého zatížení. Náhradní břemeno Q má vzhledem k bodu a otáčivý

účinek ve směru hodinových ručiček. Jedná se o záporný směr. Kolmá vzdálenost Q od bodu a je

2,5 metry.



∑ ��,� = �

+�� ∙ 4 − � ∙ 2,5 = 0

�� ∙ 4 − 35 ∙ 2,5 = 0

�� = ��, �� (↑)



od bodu b):


ve směru hodinových ručiček. Jedná se o záporný směr. Kolmá vzdálenost reakce Raz od bodu b

je 4 metry.

Statický moment od spojitého zatížení mezi podporami. Náhradní břemeno Q má vzhledem

k bodu b otáčivý účinek proti směru hodinových ručiček. Jedná se o kladný směr. Kolmá

vzdálenost Q od bodu b je 1,5 metru.



∑ ��,� = �

−�� ∙ 4 + � ∙ 1,5 = 0

−�� ∙ 4 + 35 ∙ 1,5 = 0

�� = ��, �� (↑)


Na prut působí 3 zatížení ve směru osy z. V kladném směru osy z působí spojité zatížení Q,

v záporném směru osy z působí obě svislé složky reakcí Raz a Rbz. Pořadí sil zleva:

∑ ��,� = �

−��+� − �� = 0

−13,125 + 35 − 21,875 = 0 … v pořádku


Vnitřní síly přímého prutu

Vnější zatížení a reakce jsou vnější síly. Jejich působením vznikají uvnitř nosníku (prutu) vnitřní

síly. Jinými slovy: Účinek vnějších sil se přenáší po celém prutu pomocí vnitřních sil tak, aby nejen

celý prut, ale také každá jeho dílčí část byly v rovnováze.

Obecnou výslednici vnitřních sil rozkládáme na tři složky:

v ose prutu - normálová síla N [kN]

kolmo na osu prutu - posouvající síla V [kN]

ohybový moment M [kNm]

Průběh všech vnitřních sil po celé délce se znázorňuje graficky formou diagramu (grafu), ve kterém

je nutné uvést, o jaký průběh se jedná.

V případě konstantního průběhu vnitřní síly se jedná o polynom nultého stupně (pro konstantu

platí k∙x0) a značí se 0°.

V případě lineárního průběhu (průběh po přímce) se jedná o polynom prvního stupně (pro

přímku platí k∙x1) a značí se 1°.

V případě parabolického průběhu se jedná o polynom vyššího stupně (pro parabolu platí k∙x2

nebo k∙x3) a značí se 2°nebo 3°. Vyšší stupeň nebudeme potřebovat.

Vnitřní síly v osové úloze (síly působící v ose prutu (nosníku)):

Normálová síla N v libovolném průřezu nosníku je rovna algebraickému součtu všech vnějších sil

působících ve směru osy prutu zleva nebo zprava od daného průřezu. Kladná N vyvozuje v průřezu

tah a působí ven z průřezu. V opačném případě je normálová síla záporná a vyvozuje tlak.

Kladné normálové síly se v diagramu vynášejí nahoru, záporné normálové síly se vynášejí dolů.

Vnitřní síly v příčné úloze (síly působící kolmo na osu prutu a momentové zatížení):

Posouvající síla V v libovolném průřezu nosníku je rovna algebraickému součtu všech vnějších sil

působících kolmo k ose nosníku zleva nebo zprava od daného průřezu. Kladná posouvající síla

počítána zleva směřuje nahoru. V opačném případě je posouvající síla záporná.

Kladné posouvající síly se v diagramu vynášejí nahoru, záporné posouvající síly se vynášejí dolů.

Ohybový moment M v libovolném průřezu nosníku je roven algebraickému součtu všech statických

momentů od všech vnějších sil zleva nebo zprava od daného průřezu. Kladným ohybovým

momentem je nosník prohýbán směrem dolů, čímž jsou dolní vlákna tažena a horní tlačena.

U záporného ohybového momentu je to naopak.

Z tohoto plyne znaménková konvence pro výpočet: Kladný ohybový moment počítaný zleva otáčí

po směru chodu hodinových ručiček. V opačném případě je záporný. Kladný ohybový moment

počítaný zprava otáčí proti směru chodu hodinových ručiček. V opačném případě je záporný.

Schéma viz tabulka znaménkových konvencí pro vnitřní i vnější síly.

Všechny ohybové momenty se v diagramu vynášejí vždy na stranu tažených vláken (důležité), to

znamená: u přímého prutu (nosníku) se nahoru vynášejí vždy záporné ohybové momenty a dolů

vždy kladné hodnoty ohybových momentů.

Tabulka znaménkových konvencí pro vnitřní i vnější síly:

Kladná znaménková konvence pro vnitřní síly:

Záporná znaménková konvence pro vnitřní síly:

Kladná znaménková konvence pro vnější síly

Zatížení silové i momentové a všechny reakce:

Pravidla pro řešení vnitřních sil:

Vždy je nutné spočítat hodnotu příslušné vnitřní síly nejprve na krajích nosníku a poté všude tam,

kde se mění zatížení.

Kraj nosníku u konzoly je v místě vetknutí a na volném konci. Kraj prostého nosníku je v podporách,

pokud však má prut převislé konce, je kraj nosníku na konci převisu.

Průřez, kde se mění zatížení:

jedná se o místo (bod), kde změně zatížení ve směru příslušné vnitřní síly.

Při řešení normálové síly N: všude tam, kde působí (má své působiště) síla v ose prutu. Například u

následujícího příkladu se jedná o bod c. Z pohledu N sil v bodě d ke změně zatížení nedochází,

protože v tomto bodě působí pouze síla kolmá na osu prutu a ta se projeví jako posouvající síla.

Při řešení posouvající síly V: všude tam, kde působí (má působiště) síla kolmo na osu prutu.

Například u následujícího příkladu se jedná o bod d. Z pohledu V sil v bodě c ke změně zatížení

nedochází, protože v tomto bodě působí pouze síla v ose prutu a ta se projeví jako N síla.

Působí-li na prut spojité zatížení q, je nutné spočítat hodnotu V síly na začátku i na konci q. V obou

bodech totiž dochází ke změně zatížení.

Při řešení ohybového momentu M je nutné spočítat jeho hodnotu všude tam, kde dochází ke změně

příčného zatížení (popsáno v přešlém odstavci pro V síly) a také v každém bodě, kde působí moment

jako vnější zatížení. Tam, kde dochází ke změně zatížení v ose prutu, na kterém řešíme ohybový

moment, není nutné hodnotu M počítat, protože zatížení v ose tohoto prutu velikost M neovlivní.

Všechny vnitřní síly je možné počítat zleva nebo zprava. Směr je možné si vybrat podle toho, z které

strany je výpočet jednodušší. Pouze u výpočtu vnitřních sil pod trojúhelníkovým zatížením je směr

určen podle typu zatížení.

V místě, kde působí osamělé zatížení (bodové), je vždy nutné spočítat dvě hodnoty příslušné vnitřní

síly.

Vnitřní síly bodové zatížení: příklad 1 U daného nosníku spočítejte reakce a vykreslete vnitřní síly.

.

Nejprve je uvedeno řešení, jak by mělo vypadat.

Podrobný komentář k řešení je zapsán následovně.

Reakce:

Předpokládané směry reakcí jsou zakresleny vlevo.

Hodnoty spočítejte ze tří statických podmínek

rovnováhy a proveďte kontrolu. Nezapomeňte ve

výsledku zakreslit v závorce skutečný směr reakce.

Hodnoty zapište do schématu (viz vlevo).

�� = −�� = −15 kN

�� = 0 kN

�� = −�� = −15 kN

�� = �� = 33,33 kN

�� = − �� = −66,67 kN

�� = �� = 33,33 kN

�� = �� − �� = −66,67 kN

�� = �� = 0 kNm

�� = �� ∙ 4 = 133,33 kNm , nebo

�� = �� ∙ 2 = 133,33 kNm

Hodnoty vnitřních sil a jejich průběh po délce prutu zakreslete, jak je vidět na obrázcích. Všude, kde

dochází ke změně, musí být uvedena hodnota příslušné vnitřní síly. Je-li průběh vnitřní síly

konstantní po určité délce prutu, stačí označit hodnotu síly pouze 1x (není nutné značit na začátku i

na konci konstantního průběhu). Všimněte si také označení stupňů polynomů v průbězích vnitřních

sil.

Komentář k řešení vnitřních sil

Průběh normálových sil: Výpočet zleva, kladný směr ven z průřezu prutu:

Zleva působí na prut vodorovná reakce Rax = 15 kN. Reakce do prutu tlačí, proto vyvodí zápornou N

sílu. V grafu je vynesena dolů. Na úseku od bodu a až k bodu c žádná vnější síla v ose prutu nepůsobí.

Proto průběh N sil je konstantní až do bodu c. V tomto místě působí vodorovná F1 =15 kN.

Díváme-li se na ni zleva směřuje ven z prutu (ven z průřezu c). V diagramu je zakreslena od hodnoty

-15 směrem do kladného směru. Dostali jsme se tímto na nulu, a jelikož žádná jiná síla v ose prutu

již nepůsobí, obrazec je uzavřen.

Síla F2 normálové síly neovlivní, protože působí kolmo na osu prutu – vyvozuje posouvající sílu.

Matematický zápis (vysvětlení značení pomocí dvou indexů je u posouvajících sil):

Normálové síly v podporách:

�� = −�� = −15 kN

�� = 0 kN v bodě b nepůsobí reakce

Normálové síly mezi podporami:

�� = −�� = −15 kN

�� = −�� + �� = −15 + 15 = 0 kN

Nápověda:

při výpočtu si můžete pomáhat zakrytím (třeba papírem) části nosníku v místě, ve kterém počítáte

vnitřní síly. Například, chceme-li určit N sílu těsně vlevo od bodu c (těsně vlevo od působiště F1) a

řešíme to zleva:

Sečteme všechny síly v ose prutu, které vidíme vlevo od

bodu c: je to pouze Rax, která směřuje do prutu (tlačí do

něj).

Teď chceme určit N sílu těsně vpravo od bodu c (těsně

vpravo od působiště F1) a řešíme to zleva:

Vidíme nejen Rax, která směřuje do prutu (tlačí ho), ale

také sílu F1 (její působiště). Ta má směr ven z prutu (ven z

průřezu c), táhne ho (kladný směr).

Průběh normálových sil: Výpočet zprava, kladný směr ven z průřezu prutu:

Úsek od bodu b až po F1 je v ose prutu nezatížen. Síla F2 normálové síly neovlivní, protože působí

kolmo na osu prutu – vyvozuje posouvající sílu. Zprava působí na osu prutu až v průřezu c vodorovná

síla F1 = 15 kN, která do prutu tlačí, proto vyvodí zápornou N sílu. V grafu je vynesena dolů. Na úseku

od bodu c až k bodu a žádná vnější síla v ose prutu nepůsobí. Proto průběh N sil je konstantní až do

bodu a. V tomto místě působí vodorovná reakce Rax = 15 kN. Díváme-li se na ni zprava, směřuje ven

z prutu (ven z průřezu a). V diagramu je zakreslena od hodnoty -15 směrem do kladného směru.

Dostali jsme se tímto na nulu, reakce obrazec je uzavírá.

Matematický zápis (vysvětlení značení pomocí dvou indexů je u posouvajících sil):

Normálové síly v podporách:

�� = 0 kN v bodě b nepůsobí reakce

�� = −�� = −15 kN

Normálové síly mezi podporami:

�� = 0 kN

�� = −�� = −15 kN

Na úseku od b do c je nepůsobí žádná síla v ose prutu.

Na obrázku vlevo nevidíme ani působiště F1.

V průřezu c působí F1, která do něj při pohledu zprava

tlačí (záporná).

Průběh posouvajících sil: Výpočet zleva, kladný směr směrem nahoru:

Zleva působí na prut svislá reakce Raz = 33,33 kN. Reakce směřuje nahoru, proto vyvodí kladnou

V sílu Va = 33,33 kN. V grafu vyneseno nahoru. Na úseku od bodu a až k bodu d žádná vnější síla

kolmo na osu prutu nepůsobí. Síla F1 posouvající síly neovlivní, protože působí v ose prutu – vyvozuje

normálovou sílu. Proto průběh V sil je konstantní až do bodu d. V tomto místě působí směrem dolů

svislá F2 = 100 kN. Díváme-li se na ni zleva směřuje do záporného směru V sil. V diagramu je

zakreslena od hodnoty 33,33 směrem do záporného směru. Dostali jsme se tímto na hodnotu -66,66.

Jelikož žádná jiná síla kolmo na osu prutu mezi podporami již nepůsobí, obrazec uzavírá až reakce

Rbz = 66,66 kN. Reakce směřuje nahoru, při výpočtu zleva je to kladný směr V síly. V grafu vynášíme

od hodnoty -66,66 směrem nahoru a dostáváme se na 0. Obrazec je uzavřen.

Matematický zápis (vysvětlení značení pomocí dvou indexů bude následovat):

Posouvající síly v podporách:

�� = �� = 33,33 kN reakce v bodě a směřuje nahoru, podle znaménkové konvence V sil, je to

na levé straně prutu kladná V síla

�� = −�� = −66,66 kN reakce v bodě b směřuje nahoru, podle znaménkové konvence V sil, je to

na pravé straně prutu záporná V síla

Posouvající síly mezi podporami:

�� = �� = 33,33 kN

�� = �� − �� = 33,33 − 100 = −66,66 kN

Chceme-li určit V sílu těsně vlevo od bodu d (těsně vlevo

od působiště F2) a řešíme to zleva: Sečteme všechny síly

kolmo na osu prutu, které vidíme vlevo od průřezu d: je

to pouze Raz, která směřuje nahoru – kladně.

Teď chceme určit V sílu těsně vpravo od bodu d (těsně

vpravo od působiště F2) a řešíme to zleva:

Vidíme nejen Raz, která směřuje nahoru (kladně), ale také

směrem dolů (záporně) sílu F2.

Pokud je to možné, vykreslujeme V síly zleva (ne vždy to jde). Výpočet provádíme ze strany, která je jednodušší. V případě vykreslování V sil zleva koresponduje jejich vykreslení se směrem vnějších sil. Platí to v důsledku znaménkové konvence posouvajících sil pouze při vykreslování z levé strany.

Šipky vnějších sil při vykreslování V sil běžně nevykreslujte. Jsou zde jen na ukázku

Na obrázku je také dobře vidět, že účinek síly F2 = 100 kN se rozloží na dvě hodnoty posouvající síly (obecně vnitřní síly). Na část nosníku po její levici

(úsek da) působí posouvající síla Vda = 33,33 kN. Na

část nosníku po pravici síly F2 (úsek db) působí posouvající síla

Vdb = -66,66 kN.

Tímto je také vysvětleno značení vnitřních sil pomocí dvou indexů, což je nutné vždy, působí-li

osamělé zatížení (nikoli spojité zatížení) a příslušná vnitřní síla má v jednom bodě 2 hodnoty.

V případě N sil to nastává v působišti síly v ose prutu.

V případě V sil to nastává tam, kde působí síla kolmo na osu prutu.

V případě ohybových momentů M to nastává v působišti vnějšího momentového zatížení.

Vždy a ve všech případech platí toto značení vnitřních sil: První index značí bod, kde osamnělá

vnější síla (síla nebo moment) působí (v ukázce bod d), druhý index značí směr, který příslušná vnitřní

síla ovlivňuje. Značení směru se udává kterýmkoliv bodem, kderý se na dané straně

vyskytuje(nejčastěji krajní bod prutu na příslušné straně).

V ukázce to byly oba podporové body:

Vnitřní síla těšně vlevo od bodu d má označení Vda (od bodu d působí na úsek směrem k bodu a).

Vnitřní síla těšně vpravo od bodu d má označení Vdb (od d působí na úsek směrem k bodu b).

Průběh posouvajících sil: Výpočet zprava, kladný směr směrem doru:

Zprava působí na prut svislá reakce Rbz = 66,66 kN. Reakce směřuje nahoru, proto vyvodí zápornou

V sílu Vb = -66,66 kN. V grafu vyneseno dolu. V bodě d působí na prutu svislá síla F2 =100 kN směrem

dolů. Díváme-li se na ni zprava, směřuje do kladného směru V sil. V diagramu je zakreslena od

hodnoty

-66,66 směrem do kladného směru (nahoru). Dostali jsme se tímto na hodnotu +33,33. Na úseku

od bodu d až k bodu a žádná vnější síla kolmo na osu prutu nepůsobí. Síla F1 posouvající síly

neovlivní, protože působí v ose prutu – vyvozuje normálovou sílu. Proto průběh V sil je konstantní

až do bodu a, kde obrazec uzavírá až reakce Raz = 33,33 kN. Reakce směřuje nahoru, při výpočtu

zprava je to záporný směr V síly. V grafu vynášíme od hodnoty +33,33 směrem dolů a dostáváme se

na 0. Obrazec je uzavřen.

Matematický zápis (značení pomocí dvou indexů už znáte):

Posouvající síly v podporách:

�� = �� = 33,33 kN reakce v bodě a směřuje nahoru, podle znaménkové konvence V sil, je to

na levé straně prutu kladná V síla

�� = −�� = 66,66 kN reakce v bodě b směřuje nahoru, podle znaménkové konvence V sil, je to

na pravé straně prutu záporná V síla

Posouvající síly mezi podporami:

�� = −�� = −66,66 kN

�� = −�� + �� = −66,66 + 100 = 33,33 kN

Například: chceme-li určit V sílu těsně vpravo od bodu d

(těsně vpravo od působiště F2) a řešíme to zprava:

Sečteme všechny síly v ose prutu, které vidíme vpravo

od d: je to pouze Rbz, která směřuje nahoru – záporně.

Teď chceme určit V sílu těsně vlevo od bodu d (těsně vlevo

od působiště F2) a řešíme to zprava:

Vidíme nejen Rbz, která směřuje nahoru (záporně), ale

také směrem dolů sílu F2 (kladně).

Průběh ohybových momentů: výpočet zleva, + směr je ve směru hodinových ručiček:

V obou podporových bodech je ohybový moment nulový. Vychází to také z momentových podmínek

rovnováhy, které říkají, že součet všech momentů působících na podporové body je nulový. Podpory

jsou totiž na krajích nosníků a statické momenty na ně působí buď jen zprava (na bod a) nebo jen

zleva (na bod b).

Hodnoty ohybových momentů musíme spočítat všude tam, kde se mění zatížení v příčné úloze.

Jedná se o veškeré zatížení, které neprochází osou prutu (silové i momentové). V daném příkladu se

jedná o bod d, kde působí síla F2.

Jak bylo uvedeno v úvodu, při řešení ohybového momentu je nutné spočítat součet všech statických

momentů od všech vnějších sil zleva nebo zprava od daného bodu. Kladným ohybovým momentem

je nosník prohýbán směrem dolů, čímž jsou dolní vlákna tažena a horní tlačena. U záporného

ohybového momentu je to naopak.

Při výpočtu zleva, má otáčivý účinek k bodu d pouze

reakce Raz na vzdálenosti 4 metry. Otáčí kolem bodu d ve

směru hodinových ručiček a vytváří tímto kladný

ohybový moment (vnitřní sílu).

Síla F1 ohybový moment k bodu d nevytváří, protože

prochází osou prutu a má od bodu d nulovou vzdálenost.

Matematický zápis:

Ohybové momenty v podporách:

�� = �� = 0 kNm

Ohybové momenty mezi podporami zleva:

�� = �� ∙ 4 = 133,33 kNm

Jelikož žádné jiné zatížení na daném nosníku ohybový

moment neovlivňuje, spojíme nulové hodnoty M

v podporách s hodnotou ohybového momentu

v bodě d. Průběh je lineární (po přímce). Jedná se o

polynom prvního stupně a značí se 1°. Hodnotu

momentu do grafu zapište.

Poznámka 1: jelikož v bodě d není osamělé zatížení

momentem, Md vzniká pouze v důsledku příčného

silového zatížení, nejsou v bodě 2 hodnoty momentu

a tím pádem se značí pouze jedním indexem, který

značí místo (bod), kde tato hodnota ohybového

momentu (vnitřní síly) působí.

Poznámka 2: všimněte si, že extrém momentu je

v místě, kde je nulová hodnota V síly (v tomto případě

v místě, kde průběh V síly prochází nulou). Toto platí

vždy. Pokud vám to při řešení takto nevychází,

hledejte chybu a nepokračujte ve výpočtu.

Vychází to ze Schwedlerových vztahů (platí tzv. derivačně integrační schéma). Ze stejného důvodu

platí také vždy, že průběh M má vždy o jeden stupeň vyšší polynom, než u průběhů V sil.

Poznámka 3 důležitá: Průběhy všech vnitřních sil musí být vykresleny vždy pod schématem prutu

tak, aby jednotlivé body byly v jedné přímce pod sebou (viz řešení na začátku tohoto příkladu).

Vykreslení ohybových momentů nesmí být nikdy odděleně od vykreslení V sil, protože spolu přímo

souvisí (derivačně integrační schéma). Vždy musí být zřetelně vidět, že v místě, kde je V = 0, působí

extrém ohybového momentu, ať již lokální nebo absolutní. Je jedno, jestli se jedná o minimum nebo

maximum.

Průběh N sil zde není vykreslen záměrně, je zde vykresleno pouze schéma zatíženého nosníku a

všechny vnitřní síly pouze v příčné úloze.

Vnitřní síly bodové zatížení: příklad 2 U daného nosníku spočítejte reakce a vykreslete vnitřní síly.

.

Reakce:






Na nosník nepůsobí žádná síla ve směru osy prutu.

Prázdný obrazec přesto zakreslíme.

�� = �� = 4,286 kN

�� = �� = 4,286 kN protože reakce na pravé

straně prutu směřuje dolů, což je kladný směr pro V síly

�� = �� = 4,286 kN

�� = �� − �� = 4,286 − 10 = −5,714 kN

�� = �� − �� = 4,286 − 10 = −5,714 kN (zleva)

�� = �� − �� = 4,286 − 10 = −5,714 kN (zprava)

�� = �� = 4,286 kN

Stačí počítat jen z jedné strany (z té jednodušší), Vda je zde z obou stran jen pro názornost, protože složitosti rovnic jsou ekvivalentní. Další ýpočty z obou stran jsou naznačeny na další straně.

�� = �� = 0 kNm

�� = �� ∙ 2 = 4,286 ∙ 2 = 8,572 kNm

�� = −�� ∙ 2 = −4,286 ∙ 2 = −8,572 kNm

Všimněte si: ohybové momenty jsou opět značeny pouze jedním indexem (označení bodu, kde

působí). Důvodem je to, že zde není osamělé zatížení momentem a v daných bodech je jen jedna

hodnota M.

Opět platí (tak jako to bude vždy), extrém ohybového momentu (minimum nebo maximum) je

v místě nulové posouvající síly (nebo kde V síla přechází přes nulu) a průběhy M jsou polynomy o

jeden stupeň vyšší, než u průběhů V sil.

Nápověda k výpočtům:

Posouvající síly: Výpočet stačí provádět jen z jedné strany, která je jednodušší

Schéma značení posouvajících sil.

Posouvající síla v bodě c, výpočet zleva: �� = �� = 4,286 kN

�� = �� − �� = 4,286 − 10 = −5,714 kN

Posouvající síla v bodě c, výpočet zprava: �� = �� − �� + �� = 4,286 kN

�� = �� − �� = 4,286 − 10 = −5,714 kN

Ohybové momenty: Výpočet lze provádět také jen z jedné strany, která je jednodušší

Ohybový moment v bodě c, výpočet zleva: �� = �� ∙ 2 = 4,286 ∙ 2 = 8,572 kNm

Ohybový moment v bodě c, výpočet zprava: �� = −�� ∙ 5 + �� ∙ 3

�� = −4,286 ∙ 5 + 10 ∙ 3 = 8,572 kNm

Ohybový moment v bodě d, výpočet zleva: �� = �� ∙ 5 − �� ∙ 3

�� = 4,286 ∙ 5 − 10 ∙ 3 = −8,57 kNm

Ohybový moment v bodě d, výpočet zprava: �� = −�� ∙ 2 = −4,286 ∙ 2 = −8,572 kNm

Vnitřní síly bodové zatížení: příklad 3 Prut se od předešlého liší směrem síly F2.

.

Reakce:






Na nosník nepůsobí žádná síla ve směru osy prutu.

Prázdný obrazec přesto zakreslíme.

�� = �� = 10 kN

�� = −�� = 10 kN

�� = �� = 10 kN

�� = �� − �� = 10 − 10 = 0 kN

�� = −�� + �� = −10 + 10 = 0 kN

�� = −�� = −10 kN

�� = �� = 0 kNm

�� = �� ∙ 2 = 10 ∙ 2 = 20 kNm

�� = �� ∙ 5 − �� ∙ 3 = 10 ∙ 5 − 10 ∙ 3 = 20 kNm

nebo zrava:

�� = �� ∙ 2 = 10 ∙ 2 = 20 kNm

Všimněte si, že extrémní moment M = 20 kNm je po

celé délce, kde je nulová posouvající síla.

Vnitřní síly bodové zatížení: příklad 4

.

Reakce:


Poznámka: zakreslené momenty M u obou schémat s reakcemi jsou ekvivalentní, oba otáčejí proti směru hodinových ručiček.

Hodnoty spočítejte ze tří statických podmínek rovnováhy a proveďte kontrolu. Nezapomeňte ve výsledku zakreslit v závorce skutečný směr reakce.


Na nosník nepůsobí žádná síla ve směru osy prutu. Prázdný obrazec zakreslíme.

�� = �� = 2 kN

�� = �� = 2 kN

Žádná jiná síla kolmo na osu prutu zde nepůsobí.

Momentové zatížení M se projeví pouze při řešení M.

�� = �� = 0 kNm

�� = �� ∙ 3 = 2 ∙ 3 = 6 kNm

�� = �� ∙ 3 − � = 2 ∙ 3 − 8 = −2 kNm , nebo

�� = −�� ∙ 1 = −2 ∙ 1 = −2 kNm

Výpočet ohybových momentů v bodě c (osamělé zat. M)

Výpočet zleva:

�� = �� ∙ 3 = 2 ∙ 3 = 6 kNm působiště momentu

(bod c) nevidíme

Jelikož mezi body a a c není žádné zatížení, průběh M mezi těmito body je lineární (po přímce).

Vřele doporučuji hodnoty Ma a Mca spojit hned, neboť po výpočtu Mcd (který je od bodu a dále než Mca) se studenti často pletou ve spojení bodu a s bodem c.

�� = �� ∙ 3 − � = 2 ∙ 3 − 8 = −2 kNm

(působiště momentu M již vidíme).

Moment působí proti směru hodinových ručiček (zleva je to záporně). V grafu v bodě je c zakresleno jako skoková změna do záporu (nahoru) o hodnotu M = 8 kNm (od hodnoty Mca = 6 kNm na hodnotu Mcb = -2kNm)

Výpočet zprava:

�� = −�� ∙ 1 = −2 kNm …působiště M nevidíme

Vřele doporučuji hodnoty Mb a Mcb spojit hned.

�� = −�� ∙ 1 + � = −2 ∙ 1 + 8 = 6 kNm

(působiště momentu již vidíme). Moment působí pořád proti směru hodinových ručiček (zprava je to kladně). Opět vykreslíme skokovou změnu o hodnotu M = 8 kNm, tentokrát do kladného směru (dolů) od Mcb = -2kNm do Mca = 6 kNm.


Předpokládané směry reakcí jsou zakresleny vlevo

Na nosník nepůsobí žádná síla ani ve směru osy prutu,

ani kolmo na osu prutu. Prázdné obrazce zakreslíme.

Nejprve provádíme výpočet vnitřních sil (zde pouze

ohybových momentů) na krajích prutu:

Vlevo působí zadaný M = 6 kNm, který působí ve směru

hodinových ručiček, což je z levé strany záporný směr a

kreslíme jej nahoru.

Vpravo působí moment ve vetknutí Mb = 6 kNm ve

směru ručiček, což je zprava záporně, kreslíme nahoru.

Jelikož na prut nepůsobí žádné jiné zatížení, spojíme

lineárně hodnoty M v obou krajních bodech a řešení je

hotovo. Lineární průběh je konstantní.


Rozklad šikmé síly F:

Ze schématu je zřetelné, že přilehlá k označenému

úhlu je složka síly ve směru osy x, síla Fx:

�� = � ∙ cos 30° = 8,666 kN

�� = � ∙ sin 30° = 5,0 kN

Pohledem na rozklad sil vidíme, že podle schématu

musí být Fx větší než Fz a výpočet nám to potvrdil. U

řešení reakcí i vnitřních sil již pracujeme pouze se

složkami síly Fx a Fz.

Reakce: Směry a hodnoty reakcí jsou zakresleny vlevo.

�� = −�� = −8,67 kN

�� = −�� = −8,67 kN

Žádná jiná síla ve směru ve směru osy prutu nepůsobí.

�� = �� = 5 kN

�� = �� = 5 kN

Žádná jiná síla ve směru kolmo na osu prutu nepůsobí.

Momentová reakce Ma otáčí proti směru hodinových

ručiček, zleva je to záporný ohybový moment Ma:

�� = −�� = −35 kNm

Moment na volném konci je vždy nulový, pokud tam

není vnější momentové zatížení. Tady na volném konci

působí pouze síla (nikoli moment), takže:

�� = 0 kNm.

V bodě c je osamělé momentové zatížení, bude zde

skoková změna v průběhu M a je zde nutné spočítat

obě hodnoty.

Poznámka: Výpočet ohybových momentů na konzole

bývá často výhodnější počítat od volného konce:

�� = −�� ∙ 3 = −5 ∙ 3 = −15 kNm

Působiště momentu (bod c) zatím nevidíme.

Průběh od volného koce do c je lineární (po přímce).

Vřele doporučuji hodnoty Mb a Mcb spojit hned, neboť po výpočtu Mca (který je od bodu b „dále“ než Mcb) se studenti často pletou ve spojení bodu b s bodem c.

V grafu bude opět skoková změna o hodnotu Mc směrem nahoru (záporný směr) od Mcb = -15 kNm do Mca = -25 kNm.

�� = −�� ∙ 3 − �� = −5 ∙ 3 − 10 = −25 kNm

Působiště momentu (bod c) již vidíme. Ten působí ve

směru ručiček, což je zprava záporný směr.

Výpočet momentů zleva:

�� = −�� + �� ∙ 2 = −35 + 5 ∙ 2 = −25 kNm

�� = −�� + �� ∙ 2 + �� = −15 kNm

Moment M působí ve směru ručiček, což je zleva

kladný směr. Skoková změna je tentokrát směrem

dolů (zleva je moment Mc kladný).

Vnitřní síly bodové zatížení: příklad 7 Prut se od předešlého liší směrem momentu M v bodě c a v označení úhlu šikmé síly. Sklon síly

zůstává stejný, jako v předešlém příkladu.

Rozklad šikmé síly F:

Ze schématu je zřetelné, že přilehlá k označenému

úhlu je složka síly ve směru osy z, síla Fz:

�� = � ∙ sin 60° = 8,666 kN

�� = � ∙ cos 60° = 5,0 kN

I podle schématu musí být Fx větší než Fz. Při řešení

reakcí i vnitřních sil již pracujeme pouze se složkami síly

Fx a Fz.

Reakce: Směry a hodnoty reakcí jsou zakresleny vlevo

Složky síly F i reakce jsou shodné s předešlým

příkladem, proto také N a V síly budou shodné.

�� = −�� = −8,67 kN

�� = −�� = −8,67 kN

�� = �� = 5 kN

�� = �� = 5 kN

Momentová reakce Ma (na levé straně prutu) má směr

proti směru hodinových ručiček, vzniká tím záporný

vnitřní ohybový moment Ma:

�� = −�� = −15 kNm

Moment na volném konci:

�� = 0 kNm.

Ohybový moment v bodě c od volného konce:

�� = −�� ∙ 3 = −5 ∙ 3 = −15 kNm

Působiště momentu (bod c) zatím nevidíme.

Průběh od volného koce do c je lineární (po přímce).

Vřele doporučuji hodnoty Mb a Mcb spojit hned.

�� = −�� ∙ 3 + �� = −5 ∙ 3 + 10 = −5 kNm

Působiště momentu (bod c) již vidíme. Ten působí proti

směru ručiček, což je zprava kladný směr. V bodě c

bude skoková změna do kladného směru (dolů).

Výpočet momentů zleva:

�� = −�� + �� ∙ 2 = −35 + 5 ∙ 2 = −15 kNm

�� = −�� + �� ∙ 2 − � = −15 kNm

Moment M působí proti směru hodinových ručiček, což

je zleva záporný směr a skoková změna je nahoru.

Vnitřní síly: spojité zatížení

Pravidla při řešení vnitřních sil na prutu zatíženém spojitým zatížením se nemění, pouze se rozšiřují

o výpočet vnitřních sil pod spojitým zatížením. Opět platí Schwedlerovy vztahy. Na základě platnosti

derivačně integračního schéma platí pro výpočet vnitřních sil v libovolném místě x pod spojitým

zatížením vztahy uvedené v následující tabulce. Uvedené vztahy matematicky popisují vliv pouze

samotného q na velikost příslušné vnitřní síly pod tímto spojitým zatížením. Na jejich odvození

odkazuji na přednášku.

Popis q Posouvající síla Ohybový moment Nebezpečný

průřez

Poznámka k xn

(V síla zde přechází přes 0,

místo extrémního M). Odvození viz 1. příklad.

Rovnoměrné

spojité zatížení � = ��

��,� = ±� ∙ � zleva –

zprava +

��,� = −� ∙��

� �� =

�

�

V zde znamená hodnotu

posouvající síly v její

absolutní hodnotě

v bodě, kde q začíná.

Ohybový moment a tím

také xn je možné počítat

zleva nebo zprava.

Trojúhelníkové

spojité zatížení �� = � ∙

�

�

��,� = ±� ∙��

��

zleva –

zprava +

��,� = −� ∙��

��

l je délka

trojúhelníku,

nikoliv délka prutu

�� = ��

�

V zde znamená hodnotu

posouvající síly v její

absolutní hodnotě

v bodě, kde q začíná.

Ohybový moment a tím

také xn je možné počítat

pouze od tzv. špičky

trojúhelníkového

zatížení (od směru, kde

je qx = 0). Tím je směr

výpočtu V a M sil pod q

jednoznačně zadán.

Všimněte si nárůstu exponentů u proměnné x, které odpovídají stupňům polynomů obrazců

vnitřních sil (např. trojúhelníkové spojité zatížení: q (1°), V(2°), M(3°)).

Vnitřní síly rovnoměrné spojité zatížení: příklad 1 U daného nosníku spočítejte reakce a vyřešte vnitřní síly. Určete potřebné hodnoty i hodnoty

v polovině spojitého zatížení a v bodě d. V rámci procvičení počítejte V i M z obou stran.

Reakce: spočítejte podle pravidel sami.

N síly nejsou, přesto obrazec zakreslete.

V síly: zatížení se mění bodě c (zleva q začíná, zprava

končí). V tomto bodě je nutné počítat V.

�� = �� = 7,35 kN

�� = −�� = −13,65 kN

�� = �� = 7,35 kN

�� = −�� + Q = −13,65 + 21 = 7,35 kN

Mezi body a a c není žádné zatížení, proto je

V konstantní (polynom 0°). Mezi body c a b je

konstantní q (0°), proto tyto body spojíme lineárně

(po přímce) (1°).

V síla přechází přes nulu v bodě n, jeho polohu

určíme podle vztahů v tabulce výše:

�� =

��

�=

�,��

�= 2,45 m (vlevo q začíná v bodě c),

�� =

|��|

�=

��,��

�= 4,55 m (vpravo q začíná v b).

Odvození výpočtu xn následuje za výpočtem extrémních ohybových momentů.

Ohybové momenty:

�� = �� = 0 kNm

�� = �� ∙ 3 = 22,05 kNm

�� = �� ∙ 7 − � ∙ 3,5 = 22,05 kNm

Body a a c spojíme lineárně (1°), protože tam není žádné zatížení. (V síla je na tomto úseku konst.

(0°)). Mezi body c a b je konstantní q (polynom 0°), V síla lineární (1°), proto tyto body spojíme

parabolou (2°). Přechod mezi lineárním průběhem a parabolou musí být plynulý. Přímka ac je tedy

tečna k parabole v místě přechodu (ve schématu je zakreslena). Hodnota M musí být uvedena.

Parabola musí mít extrém v bodě n, protože v tomto bodě je V = 0. Extrém funkce má vodorovnou

tečnu, která je na obrázku také zakreslena.

Výpočet Mn (extrémní moment pod spojitým zatížením):

�� = �� ∙ (3 + ��

�) − � ∙��

��

�= 31,05 kNm viz obr vlevo

�� = �� ∙ ��

� − � ∙��

��

�= 31,05 kNm zakryjte si sami

Odvození výpočtu xn:

Hodnota V v libovolném místě pod q se rovná hodnotě posouvající síly, kde q začíná změněné o vliv

příslušné části spojitého zatížení, které k danému bodu působí.

Zleva: Spojité zatížení začíná v bodě c, posouvající síla v tomto bodě je Vc = 7,35 kN. Část spojitého

zatížení je na délce x a má svou výslednici (plochu obrazce) q∙x, viz obr. Směřuje směrem dolů, což

je zleva záporný směr.

Matematicky zapsáno:

�� = �� − � ∙ � ,

což odpovídá vztahu uvedenému v tabulce výše.

V bodě n je Vn =0 a x = xnL.

�� = �� − � ∙ ��

� = 0 ⟹ �� =

��

�

Zprava: Spojité zatížení začíná v bodě b, posouvající síla v tomto bodě je Vb = -13,65 kN. Část

spojitého zatížení je na délce x a má svou výslednici (plochu obrazce) q∙x, viz obr. vlevo. Směřuje

směrem dolů, což je zprava kladný směr.

Matematicky zapsáno:

�� = �� + � ∙ � ,

také odpovídá vztahu uvedenému v tabulce výše.

V bodě n je Vn =0 a x = xnP.

�� = �� + � ∙ ��

� = 0

�� = −

��

�−

��,��

�= +

��,��

�,

proto při výpočtu zprava zapisujeme posouvající sílu

v absolutní hodnotě:

�� =

|��|

�

Výpočet vnitřních sil v zadaných bodech:

Použijeme obecné rovnice pro výpočet V i M a dosadíme.

V bodě d zleva (v polovině délky spojitého zatížení):

x =3,5 m

�� = �� − � ∙ � = 7,35 − 3 ∙ 3,5 = −3,15 kN

�� = �� ∙ (3 + �) − � ∙

(�)�

�= 29,4 kNm

V bodě d zprava (v polovině délky spojitého zatížení):

x =3,5 m

�� = �� + � ∙ � = −13,65 + 3 ∙ 3,5 = −3,15 kN

�� = �� ∙ � − � ∙

��

�= 29,4 kNm

V bodě e zleva:

x =4 m

�� = �� − � ∙ � = 7,35 − 3 ∙ 4 = −4,65 kN

�� = �� ∙ (3 + �) − � ∙

��

�= 21,3 kNm

V bodě e zprava:

x =3 m

�� = �� + � ∙ � = −13,65 + 3 ∙ 3 = −4,65 kN

�� = �� ∙ � − � ∙

��

�= 21,3 kNm

Vnitřní síly rovnoměrné spojité zatížení: příklad 2 U daného nosníku spočítejte reakce a vyřešte vnitřní síly. Určete potřebné hodnoty i hodnoty

v bodech e a c.

.

�� = q ∙ 8 = 19,2 kN

�� = q ∙ 2 = 4,8 kN

Reakce: spočítejte podle pravidel sami. Schéma je na obrázku vlevo.

N síly nejsou, přesto obrazec zakreslete.

V síly:

Zatížení se mění v bodě b, působí zde reakce Rbz. Jedná

se o bodové zatížení osamělou silou kolmo k ose prutu.

Počítáme zde dvě hodnoty V síly. Krajní body jsou a a d,

v nich určíme V síly jako první:

�� = �� = 9 kN

�� = 0

�� = �� − �� = 9 − 19,2 = −10,2 kN

Vbc je jednodušší spočítat zprava:

�� = �� = 4,8 kN (sami použijte zakrytí levé strany prutu)

Přesto si ukážeme výpočet Vbc i zleva

(vyberte si, který použijete):

�� = �� − �� + �� = 9 − 19,2 + 15 = 4,8 kN

Výpočet Vba, si teď ukážeme zprava: (sami si vyberte směr)

�� = �� − �� = 4,8 − 15 = −10,2 kN

Úsek mezi podporami - mezi body a a b působí konstantní spojité zatížení q (0°), proto tyto body

spojíme lineárně (1°). Pozor: spojujeme hodnoty sil Va a Vba. Na převislém konci působí také

konstantní spojité zatížení q (0°), proto hodnoty sil Vbc a Vd spojíme také lineárně (1°).

Schéma značení posouvajících sil v bodě b a jejich postupné zakreslování zleva je naznačeno pod

schématem ohybových momentů.

V síla přechází přes nulu v bodě n. Leží na úseku mezi podporami, pro který platí:

Zleva spojité zatížení začíná v bodě a (V síla je zde Va), zprava začíná v bodě b a příslušná posouvající

síla je Vba. Polohu nebezpečného průřezu určíme podle známých vztahů:

�� =

��

�=

�

�,�= 3,75 m

�� =

|��|

�=

��,�

�,�= 4,25 m

Ohybové momenty:

Krajní body jsou a a d, v nich určíme ohybové momenty jako první:

�� = �� = 0 kNm

Moment, kde se mění zatížení, v bodě b (sami použijte zakrytí levé nebo pravé strany prutu) :

�� = �� ∙ 8 − �� ∙ 4 = 9 ∙ 8 − 19,2 ∙ 4 = −4,8 kNm

�� = −�� ∙ 1 = −4,8 kNm

Poznámka: Moment v bodě b značíme pouze jedním indexem, protože zde není osamělé

momentové zatížení, tím pádem je v bodě b pouze jedna hodnota ohybového momentu Mb.

Vykreslování ohybových momentů:

Po celé délce nosníku je konstantní spojité zatížení q (0°), průběhy posouvajících sil jsou všude

polynomy 1°,

Proto průběhy ohybových momentů budou všude paraboly 2°.

Úsek mezi podporami a a b: musíme spojit hodnotu Ma = 0 s hodnotou Mb = -4,8 kNm (záporný M

vykreslen nahoru) parabolou 2°tak, aby její vrchol byl v místě nebezpečného průřezu n (viz schéma

ohybových momentů). Ve vrcholu, kde působí Mn je označena vodorovná tečna k momentovému

obrazci.

Převislý konec: úsek mezi body d a b: musíme spojit hodnotu Md = 0 s hodnotou Mb = -4,8 kNm

rovněž parabolou 2°. Na tomto úseku je nulová hodnota posouvající síly v bodě d, proto v tomto

bodě bude také lokání extrém ohybového momentu. Tentokrát se jedná o minimum, Md = 0. V bodě

d bude tedy vodorovná tečna k momentovému obrazci (ve schématu je zakreslena) a tím pádem je

tvar paraboly jednoznačně dán.

Extrémní moment pod spojitým zatížením Mn:

Výpočet zleva je jednodušší, doporučuji použít:

�� = �� ∙ ��

� − � ∙��

��

�

�� = 9 ∙ 3,75 − 2,4 ∙

�,��

�= 16,875 kNm

Výpočet zprava je složitější a je zde jen na ukázku a k

procvičení:

�� = −�� ∙ (1 + ��

�) + �� ∙ �� − � ∙

��

�

�

�� = −4,8 ∙ (1 + 4,25) + 15 ∙ 4,25 − 2,4 ∙

�,��

�

�� = 16,875 kNm

Výpočet vnitřních sil v dalších zadaných bodech:

Použijeme obecné rovnice pro výpočet V i M a dosadíme.

V bodě e provedeme výpočet zleva, protože je jednoznačně

a výrazně jednodušší: x =2 m

�� = �� − � ∙ � = 9 − 2,4 ∙ 2 = 4,2 kN

�� = �� ∙ 2 − � ∙

��

�= 9 ∙ 2 − 2,4 ∙

��

�= 13,2 kNm

V bodě c provedeme výpočet zprava, protože je výrazně a

jednoznačně jednodušší:

x =1 m a působí na něm pouze spojité zatížení

�� = +� ∙ � = 2,4 ∙ 1 = 2,4 kN

Poznámka: přestože násobíte jedničkou, zapisujte ji

�� = −� ∙

��

�= −2,4 ∙

��

�= −1,2 kNm

Vnitřní síly trojúhelníkové spojité zatížení: příklad 1 Spočítejte reakce a vyřešte vnitřní síly. Určete potřebné hodnoty i hodnoty v bodě f.

Trojúhelníkové zatížení má lineární průběh (1°). V bodě c má

mulovou hodnotu a v bodě d maximální q = 10 kN/m.

Hodnota q v obecném místě je:

�� = � ∙�

� , kde l je vždy délka trojúhelníku (nikoliv nosníku).

Poznámka: Tento vztah je popsán od směru, kde je q = 0 (od

tzv. špičky trojúhelníku), proto veškeré další veličiny pod

zatížením je nutné řešit vždy směrem od špičky trojúhelníku.

V tomto příkladu je to zprava. Hodnoty mimo spojité zatížení

je možné řešit z libovolné strany.

Náhradní břemeno (plocha zatěžovacího obrazce) � =�

�� ∙ � má působiště v těžišti trojúhelníku,

tedy v třetině (0,6667 m), nebo ve dvou třetinách (1,3333 m) délky zatížení. Viz následující snímek.

Působiště Q nemá souvislost s polohou nebezpečného průřezu n, jak by se mohlo tady zdát.

Komentář se připravuje

Documents

Základy stavební mechaniky pro architekty Pomůcka ke ...fast10.vsb.cz/michalcova/ZSM/Zaklady SM.pdf · řešené příklady Vladimíra Michalcová ... Na barevně vyznačeném