Katedra stavební mechanikyFakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava

Stavební statika, 1.ročník bakalářského studia

Výpočet vnit řních sil I

přímý nosník, zatížení bodové

• Vnit řní síly - základní pojmy• Výpočet vnit řních sil p římého vodorovného nosníku

2

Vnit řní síly

• Prut v rovině – 3°volnosti

• Podepření - 3 vazby→ odebrány 3°volnosti, staticky ur čitá úloha

• Vnější zatížení a reakce – musí být v rovnováze → 3 podmínky rovnováhy, z nich 3 neznámé reakce

• Vnější zatížení a reakce se nazývají vnější síly

• Uvnitř nosníku působením vnějších sil vznikají vnitřní síly

• Obecnou výslednici vnitřních sil rozkládáme na tři složky: • v ose prutu - normálová síla [kN]• kolmo na osu prutu - posouvající síla [kN]• ohybový moment [kNm]

3

+z+y +x

a b

l

h

d

F2

F

1 2Osa prutu

P1 P2

1 2

Raz Rbz

Rax

a b

lStatické schéma:statický model nosné konstrukce

Průřez prutu

Výpočet nosníku v osové úlozePůsobí-li zatížení pouze v ose nosníku = ve směru normály průřezu, vzniká vnitřní síla – normálová síla

4

Normálová síla N [kN]

ba

F

+

ba

-

tah

tlak

FRax

Rax

NN

NN

N N osa nosníku

Normálová síla Nv libovolném průřezu xnosníku je rovna algebraickému součtu všech vnějších sil působících v ose nosníku zleva nebozprava od x.

Kladná normálová síla vyvozuje v průřezu x tah a působí ven z průřezu.

V opačném případě je normálová síla záporná a vyvozuje tlak.

+Vnější síly

5

Příklad – N síly

Řešení příkladu 4.2 Obr. 7.3. / str. 91

Zadání: sestrojit průběh normálových sil N

Průběh normálových sil po celé délce se znázorňuje graficky formou diagramu(grafu).

ba

b

a

F3 =16F1 =18

F3 =10

F2 =12

F1 =12 F2 =16Rax=18kN

Rbx=10kN

kladné normálové síly N se vynášejí nahoru, záporné normálové síly N se vynášejí dolů

6

Výpočet nosníku v p říčné úloze

Zatížení – síly kolmo na osu prutu a momentové zatížení.

l/2 l/2

P Rbx=0

RbzRaz

a b

M

V příčné úloze dva druhy vnitřních sil: posouvající síla a ohybový moment .

7

Posouvající síla Vv libovolném průřezu xnosníku je rovna algebraickému součtu všech vnějších sil působících kolmo k ose nosníku zleva nebozprava od x.

Kladná posouvající síla počítána zleva směřuje nahoru. V opačném případě je záporná.

Kladná posouvající síla počítána zprava směřuje dolů. V opačném případě je záporná.

Posouvající síla V [kN]

ba

VV

RbRa

F

VV-+

+V

V

osa nosníku

Vnější síly

8

Příklad – V síly

b

Rbz=18

a

Raz=344

F1=10kN F2=40kN F3=2kN

2 2

c d e2 2

b

Rbz=18

a

Raz=344

F1=10kN F2=40kN F3=2kN

2 2c d e

2 2

kladné posouvající síly Vse vynášejí nahoru,

záporné posouvající síly Vse vynášejí dolů

V

…… s podporami

…… bez podpor, jen síly

-10

24

-16

2

9

Ohybový moment M v libovolném průřezu x nosníku je roven algebraickému součtu všech statických momentů od všech vnějších sil zleva nebo zprava od x.

Kladný ohybový moment počítaný zleva otáčí po směru chodu hodinových ručiček. V opačném případě je záporný.

Kladný ohybový moment počítaný zprava otáčí proti směru chodu hodinových ručiček. V opačném případě je záporný.

Kladným ohybovým momentem jsou dolní vlákna tažena a horní tlačena (nosník je prohýbán směrem dolů). U záporného ohybového momentu je to naopak.

Ohybový moment M [kNm]

M M

b

Rb

a

Ra

FM M

b

Rb

a

Ra FM M

tah

tah

tlak

tlak

-

+

+

osa nosníku

10

Ohybový moment M [kNm] v libovolném průřezu x nosníku je roven algebr. součtu všech statických momentů od všech vnějších sil zleva nebo zprava od x. Má tendenci nosník deformovat – ohýbat . Jedná se o vnit řní sílu.

Ohybový moment verzus statický moment

M M+

osa nosníku

Statický moment Ms [kNm] v libovolném bodě nosníku je roven algebr. součtu všech statických momentů od všech vnějších sil (z obou stran). Má tendenci nosníkem otá čet. Jedná se o vnější účinek.

Ms

+osa nosníku

11

Příklad – ohybové momenty M

b

Rbz=18

a

Raz=344

F1=10kN F2=40kN F3=2kN

2 2

c d e2 2

b

Rbz=18

a

Raz=344

F1=10kN F2=40kN F3=2kN

2 2c d e

2 2

M

…… s podporami

…… bez podpor, jen síly

ohybové momenty M se vynášejí vždy na stranu tažených vláken (důležité),u nosníku nahoru záporné, dol ů kladné hodnoty

-20-4

28

12

M M

+V

V

N N

M M

-V

V

N N

Směr působení vnit řních sil

Kladné sm ěry vnit řních sil:

Záporné sm ěry vnit řních sil:

Kladné sm ěry vn ějších sil:Mezi vnější síly patří zatížení a reakce.Při jejich výpočtu využíváme znaménkovou konvenci pro vnější síly.

+

13

Podmínka rovnováhy elementu

N Nx1

x2F

Je-li nosná stavební konstrukce v rovnováze, musí být v rovnováze každá její část.

ba

Rax

→ je-li prut v rovnováze, musí být v rovnováze každý jeho bod.

→ každou dílčí část tělesa, které je v rovnováze, můžeme pomyslně osamostatnit a i tato osamostatněna část musí být v rovnováze.

Jeden ze základních principů stavební mechaniky:

14

Schwedlerovy vztahy -Diferenciální podmínka rovnováhy elementu v osové ú loze

N N+dNx1

x2 x

x dx

z

n

-N + (N+dN) + n.dx = 0

→ nx

N −=d

d

∑Fix = 0:

Výslednice všech sil působících na element musí být nulová:

15

Schwedlerovy vztahy –Diferenciální podmínky rovnováhy elementu v p říčné úloze

V

V+dV

M M+dM

x1

x2x

x dx

z

m

q

dQ = q.dx

-V + (V+dV) + q.dx = 0

-M + (M+dM) – V.dx + q.dx.dx/2 + m.dx = 0

→ qx

V −=d

d

→ mVx

M −=d

d

∑Fiz = 0:

Σ Mi,x2 = 0:

Výslednice všech sil působících na element musí být nulové:

pro m=0: Vx

M =d

d

Člen q.dx.dx/2 můžeme zanedbat (extrémně malý)

+

16

Závěry ze Schwedlerových vztah ů – extrémní hodnoty vnit řních sil

Závěry:( )

0d

d =x

xfExtrém funkce f(x):

0d

d =−= qx

V

0d

d == Vx

M

Extrém posouvajících sil Vje v průřezu, kde q=0

Extrém ohybových momentů M je v průřezu, kde V=0nebo mění znaménko

→

→

inte

grac

e

deriv

ace

M

V

-q

Derivačně – integra ční schéma

pro m=0:

qx

V −=d

d

Vx

M =d

d

Schwedlerovy vztahyJohann Wilhelm Schwedler (1823-1894)

významný německý inženýrn

x

N −=d

d.1 q

x

V −=d

d.2 V

x

M =d

d.3

3. Vztah odvozen pro m=0:

17

Extrém M může vzniknout:a) v podporových bodechb) v působištích osamělých sil

(znaménko V se mění skokem)c) pod spojitým zatížením v místě,

kde je V=0

Shrnutí - určení extrémních hodnot vnit řních sil

n = nebezpečný (kritický) průřez

0d

d == Vx

M Extrém M v průřezu, kde V=0 nebomění znaménko

→

1º

n

Mmax2º

+

+-

Mmax

M

Vn

1º

0º

+

+

-

18

Souvislost mezi spojitým p říčným zatížením a pr ůběhy vnit řních sil

Souvislost mezi spojitým příčným zatížením a průběhy vnitřních sil Obr. 7.23. / str. 103

qx

V −=d

d

d

dV

x

M =Závěry: d

d2

2

qx

M −=

inte

grac

e

deriv

ace

M

V

-q

1. řád funkce V(x) a M(x)→ typ čáry v diagramech

2. místa extrému u V(x) a M(x)

19

příklad 1 – normálové síly

a bc

Rax= 60,62kN

Raz= 23,33kN

Rbz = 11,67kN

P = 70 kN

Px = 60,62 kN

Pz = 35 kN60°

2 4

6

a bcRax

Px

N

Nac = - Rax

Ncb = - Rax + Px

Nbc = 0Nca = - Px

- 60,62

+ hodnoty kreslit nad osu

- 60,62 = Nca

+ +

+

+zleva:

zprava:

Ncb = 0

první index značí místo, ve kterém je síla určena (bod c), druhý index, zda se jedná o hodnotu vlevo

nebo vpravo od bodu (c)( tady Nca =-60,6kN, tedy hodnota těsně vlevo od bodu c (směrem k bodu a)

Značení vnit řní síly v p řípadě,že v jednom bod ě má 2 hodnoty- tady bod c(platí obecn ě pro všechny síly):

20

příklad 1 – posouvající síly

a bc

Raz Rbz

V

23,33

- 11,67 = Vcb

Pz = 35 kN Va=Vac = Raz

Vcb = Raz - Pz

Vb=Vbc = - Rbz

Vca = - Rbz + Pz

- 11,67

23,33 = Vca

+ hodnoty kreslit nad osu+ +

+

a bc

Rax= 60,62kN

Raz= 23,33kN Rbz = 11,67kN

P = 70 kN

Px = 60,62 kN

Pz = 35 kN

60°

2 4

6

+

zprava:

zleva:

+

V bodě c působí osamělé zatížení, proto počítat 2 hodnoty V síly – Vca a Vcb – silový skok

Dopsat stupně polynomů !!!

21

příklad 1 –posouvající síly–všechny rovnice zleva i zprava-porovnání

a bc

Raz Rbz

V

23,33

- 11,67 = Vcb

Pz = 35 kN Va=( Vac) = Raz

Vca = Raz

Vcb = Raz – Pz

Vb =( Vbc) = Raz – Pz

Vbc =( Vbc)= - Rbz

Vcb = - Rbz

Vca = - Rbz + Pz

Va =( Vac)= - Rbz + Pz

- 11,67

23,33 = Vca

+ +

+

a bc

Rax= 60,62kN

Raz= 23,33kN

Rbz = 11,67kN

P = 70 kN

Px = 60,62 kN

Pz = 35 kN

60°

2 4

6

+zprava:

zleva:

+

Výsledky výpočtů zleva i zprava jsou shodné, volíme

vždy variantu jednodušší.Není třeba uvádět všechny

rovnice. Zde jsou pouze pro názornost.

v bodě c počítat 2 hodnoty V síly– silový skok

22

zprava:Mb = 0

Mx = Rbz . x

Mc = Rbz . lbc

Mx = Rbz . x - Pz . (x - lbc)

Ma = Rbz . l - Pz . lac= 0

zleva:Ma = 0

Mx = Raz . x

Mc = Raz . lac

Mx = Raz . x - Pz . (x - lac)

Mb = Raz . l - Pz . lcb = 0

Raz

příklad 1 – ohybové momenty

a

bc

RbzPz = 35 kN

M

46,67 ( Raz . lac = Rbz . lbc )

oh.momenty vynášet na stranutažených vláken (dole + znaménko)

V

- 11,67

23,33

a bc

Raz Rbz

P = 70 kN

Px = 60,62 kN

Pz = 35 kN60°

lac = 2 lbc = 4

6

+

Rax

+

+

Dopsat stupně polynomů !!!

23

( )kNm33,231=⋅= azLd RM

příklad 1 – schéma vnitřních sil v bodě d

+Pz

Px

RbzRaz

Rax

Vd

Nd

Md ( )→−=−= kN6,60axLd RN

( )↑== kN33,23azL

d RV

a bc

Raz Rbz

P = 70 kN

Px = 60,6 kN

Pz = 35 kN

1 5

6

Rax

d

Pz

Px Rbz

Raz

Rax

Vd

Nd

Md

( )kNm33,2315 =⋅−⋅= zbzLd PRM

( )→−=−= kN6,60xPd PN

( )↓=+−= kN33,23zbzP

d PRV

24

( )kNm67,462 =⋅= azLc RM

příklad 1 – schéma vnitřních sil v bodě c vlevo od síly – výpočet zleva

+

Pz

PxRbz

Raz

Rax

Vca

Nca

Mc

( )→−=−= kN6,60axLca RN

( )↑== kN33,23azL

ca RV

a bc

Raz Rbz

P = 70 kN

Px = 60,6 kN

Pz = 35 kN

lac = 2 lbc = 4

6

Rax

V bodě c není osamělé momentové zatížení (není zde skoková změna v průběhu M),proto vnitřní moment v bodě c Mc nemusí mít značeni dvěma indexy.

V

Vcb

- 11,67

23,33 = Vca

+

25

( )kNm67,464 =⋅= bzLc RM

příklad 1 – schéma vnitřních sil v bodě c vlevo od síly – výpočet zprava

Pz

PxRbz

Raz

Rax

Vca

Nca

Mc

( )←−=−= kN6,60xPca PN

( )↓=+−= kN33,23zbzP

ca PRV

a bc

Raz Rbz

P = 70 kN

Px = 60,6 kN

Pz = 35 kN

lac = 2 lbc = 4

6

Rax

V bodě c není osamělé momentové zatížení (není zde skoková změna v průběhu M),proto vnitřní moment v bodě c Mc nemusí mít značeni dvěma indexy.

V

Vcb

- 11,67

23,33 = Vca

+

26

příklad 1 – schéma vnitřních sil v bodě c vpravo od síly – výpočet zleva

a bc

Raz Rbz

P = 70 kN

Px = 60,6 kN

Pz = 35 kN

lac = 2 lbc = 4

6

Rax +

Pz

Px Rbz

Raz

Rax

Vcb

NcbMc

0=+−= xaxLcb PRN

( )↓−=−= kN67,11zazL

cb PRV

( )kNm67,462 =⋅= azLc RM

V bodě c není osamělé momentové zatížení (není zde skoková změna v průběhu M),proto vnitřní moment v bodě c Mc nemusí mít značeni dvěma indexy.

V

Vcb=-11,67- 11,67

Vca+

27

příklad 1 – schéma vnitřních sil v bodě c vpravo od síly – výpočet zprava

a bc

Raz Rbz

P = 70 kN

Px = 60,6 kN

Pz = 35 kN

lac = 2 lbc = 4

6

Rax

Pz

Px

RbzRaz

Rax

Vcb

Ncb

Mc

0=PcbN

( )↑−=−= kN67,11bzP

cb RV

( )kNm67,464 =⋅= bzPc RM

V bodě c není osamělé momentové zatížení (není zde skoková změna v průběhu M),proto vnitřní moment v bodě c Mc nemusí mít značeni dvěma indexy.

V

- 11,67

Vca

+

Vcb=-11,67

28

Rax = 6,36kN

bRaz = 6,36kN

Ma = 31,82kNm 45°P = 9kNPz=6,36

Px=6,36

5

xP

M(x)P = - Pz . xL

-6,36

6,36

-31,82

M(x)L = Raz . xP - Ma

xL

a

N

V

M

a b

Raz=6,36kN

Ma=31,82kNm45°

P = 9kN

5

x

Rax=6,36kN

zadání

příklad 2

řešení

Zkontrolujte stupně polynomů !!!

1°

0°

29

příklad 3

M = 3kNm

6 39

a b

Raz = 0,333kN Rbz=0,333kN

-0,333

Mca =-2

Mcb =1

- Raz . x

-Raz.xL + M = Rbz.xP

czleva:

- úsek acMa = 0Mx = - Raz . xMca = - Raz . 6Mcb = - Raz . 6 + M

- úsek cbMx = - Raz . x + M Mb = - Raz . l + M = 0

zprava:- úsek cb

Mb = 0Mx = Rbz . xMcb = Rbz . 3Mca = Rbz . 3 – M

- úsek caMx = Rbz . x - M Mb = Rbz . l - M = 0

xL (zleva) x P (zprava)

v bodě c počítat 2 hodnoty momentu – momentový skok

= 0N

V

M

Zkontrolovat polynomy

0°

1°

1°

30

příklad 3 – schéma vnitřních sil v bodě c – výpočet zleva

M = 3kNm

6 3

a b

RazRbz

c

+

RazVc

Nc=0

Mca

Rbz

M

( )kNm26 −=⋅−= azLca RM

0=LcN

( )↓−=−= kN33,3azL

c RV

V bodě c není osamělé silové zatížení (není zde skoková změna v průběhu V ani N), proto vnitřní síly Vc i Nc v bodě c nemusí mít značeni dvěma indexy. U momentu nutno počítat 2 hodnoty.

Mca =-2

Mcb =1

M1°

1°

+

RazVc

Nc=0Mcb

Rbz

M

( )kNm16 =+⋅−= MRM azLcb

0=LcN

( )↓−=−= kN33,3azL

c RV

31

( )kNm23 −=−⋅= MRM bzPca

příklad 3 – schéma vnitřních sil v bodě c – výpočet zprava

M = 3kNm

6 3

a b

RazRbz

c

RazVc

Nc=0

Mca

Rbz

M0=P

cN

( )↑−=−= kN33,3bzP

c RV

Mca =-2

Mcb =1

M1°

1°

RazVc

Nc=0

Mcb

Rbz

M

( )kNm13 =⋅= bzPcb RM

0=PcN

( )↑−=−= kN33,3bzP

c RV

V bodě c není osamělé silové zatížení (není zde skoková změna v průběhu V ani N), proto vnitřní síly Vc i Nc v bodě c nemusí mít značeni dvěma indexy. U momentu nutno počítat 2 hodnoty.

32

Příklad 5

NM M

+V

V

N N

+

V

M

a bc

P = 10 kN

24

6

30°

-5,00

8,66

-17,32

4,33

Raz=4,33 Rbz=12,99Znaménková konvence

pro vnější síly

Znaménková konvencepro vnitřní síly

33

Okruhy problém ů k ústní části zkoušky

1. Výpočet vnitřních sil přímého nosníku

2. Diferenciální podmínky rovnováhy elementu přímého nosníku, Schwedlerovy vztahy, využití

3. Určení extrémních hodnot vnitřních sil

4. Značení vnitřních sil v místě působiště bodového zatížení